Sections: Mathématiques

Objectifs de la leçon:

Éducatif : apprendre à résoudre des systèmes d'équations exponentielles ; consolider les compétences en résolution d’équations incluses dans ces systèmes

Pédagogique : cultiver la propreté.

Développemental : développer une culture de la parole écrite et orale.

Équipement: ordinateur; projecteur multimédia.

Pendant les cours

Organisation du temps

Professeur. Aujourd'hui, nous allons continuer à étudier le chapitre « Fonction exponentielle ». Nous formulerons le sujet de la leçon un peu plus tard. Pendant le cours, vous remplirez des formulaires de réponse qui se trouvent sur vos bureaux ( cm. demande n°1 ). Les réponses seront résumées.

Actualisation des connaissances.

Les élèves répondent aux questions :

• Quelle est la forme de la fonction exponentielle ?

Travail oral. Travaillez sur les diapositives 1 à 5.

• Quelle équation est appelée exponentielle ?
• Quelles méthodes de résolution connaissez-vous ?

Travail oral sur les slides 6 à 10.

• Quelle propriété fonction exponentielle utilisé pour résoudre des inégalités exponentielles ?

Travail oral sur les slides 11 à 15.

Exercice. Notez les réponses à ces questions sur la feuille de réponses n°1. ( cm. demande n°1 ). (diapositives 16 à 31)

Vérification des devoirs

.

Nous vérifions les devoirs comme suit.

Remplacez les racines des équations par la lettre correspondante et devinez le mot.

Les élèves regardent la feuille de réponses n°2 ( Annexe 1) . L'enseignant montre la diapositive numéro 33

(Les élèves nomment le mot (diapositive n°34)).

• Quels phénomènes se produisent selon les lois de cette fonction ?

Les étudiants sont invités à résoudre les tâches de l'examen d'État unifié B12 (diapositive 35) et à noter la solution sur le formulaire de réponse n° 3 ( Annexe 1).

Lors du contrôle devoirs et en résolvant la tâche B12, nous répéterons les méthodes de résolution d'équations exponentielles.

Les élèves concluent que la résolution d’une équation à deux variables nécessite une autre équation.

Ensuite, le sujet de la leçon est formulé (diapositive numéro 37).

Le système est noté dans des cahiers (diapositive n°38).

Pour résoudre ce système, nous répétons la méthode de substitution (diapositive numéro 39).

La méthode d'addition est répétée lors de la résolution du système (diapositives 38 à 39).

Consolidation primaire du matériau étudié

:

Les élèves résolvent indépendamment des systèmes d'équations dans les formulaires de réponse n° 4 ( Annexe 1 ), bénéficiant de consultations individuelles avec les enseignants.

Résumer. Réflexion.

Continuez les phrases.

• Aujourd'hui, en classe, j'ai répété...
• Aujourd'hui, en classe, j'ai renforcé...
• Aujourd'hui, en classe, j'ai appris...
• Aujourd'hui, en classe, j'ai appris...

À la fin du cours, les élèves écrivent leurs devoirs et remettent les formulaires de réponses.

Devoirs:

N° 59 (pair) et n° 62 (pair).

Littérature

1. Toutes les tâches du groupe d'examen d'État unifié 3000 problèmes - Maison d'édition « Examen » Moscou, 2011. Edité par A.L. Semenova, I.V. Iachchenko.
2. S.A. Chestakov, P.I. Examen d'État unifié Zakharov 2010, problème de mathématiques C1 édité par A.L. Semenova, I.V. Maison d'édition Yashchenko Moscou « MCNMO ».
3. Didacticiel Algèbre et débuts de l'analyse mathématique, 10e année Yu.M. Kolyagin Moscou « Lumières », 2008.

Cours et présentation sur le thème : "Équations exponentielles et inégalités exponentielles"

Matériaux additionnels
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Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 11e année
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Manuel interactif pour les classes 10-11 « Logarithmes »

Définition des équations exponentielles

Les gars, nous avons étudié les fonctions exponentielles, appris leurs propriétés et construit des graphiques, analysé des exemples d'équations dans lesquelles des fonctions exponentielles ont été trouvées. Aujourd'hui, nous étudierons les équations exponentielles et les inégalités.

Définition. Les équations de la forme : $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ sont appelées équations exponentielles.

En rappelant les théorèmes que nous avons étudiés dans le thème « Fonction exponentielle », nous pouvons introduire un nouveau théorème :
Théorème. L'équation exponentielle $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ est équivalente à l'équation $f(x)=g(x) $.

Exemples d'équations exponentielles

Exemple.
Résoudre des équations :
une) 3$^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) 5$^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Solution.
a) On sait bien que $27=3^3$.
Réécrivons notre équation : $3^(3x-3)=3^3$.
En utilisant le théorème ci-dessus, nous constatons que notre équation se réduit à l'équation $3x-3=3$ ; en résolvant cette équation, nous obtenons $x=2$.
Réponse : $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Ensuite, notre équation peut être réécrite : $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.

C) L'équation originale est équivalente à l'équation : $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ et $x_2=-3$.
Réponse : $x_1=6$ et $x_2=-3$.

Exemple.
Résolvez l'équation : $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Solution:
Effectuons une série d'actions séquentiellement et ramenons les deux côtés de notre équation aux mêmes bases.
Effectuons un certain nombre d'opérations sur le côté gauche :
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Passons au côté droit :
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
L'équation originale est équivalente à l'équation :
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.

Exemple.
Résolvez l'équation : $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Solution:
Réécrivons notre équation : $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Faisons un changement de variables, soit $a=3^x$.
En neuf équation variable prendra la forme : $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ et $a_2=3$.
Effectuons le changement inverse des variables : $3^x=-12$ et $3^x=3$.
Dans la dernière leçon, nous avons appris que les expressions exponentielles ne peuvent prendre que des valeurs positives, rappelez-vous le graphique. Cela signifie que la première équation n'a pas de solutions, la deuxième équation a une solution : $x=1$.
Réponse : $x=1$.

Faisons une liste de solutions équations exponentielles:
1. Méthode graphique. Nous représentons les deux côtés de l'équation sous forme de fonctions et construisons leurs graphiques, trouvons les points d'intersection des graphiques. (Nous avons utilisé cette méthode dans la dernière leçon).
2. Le principe d'égalité des indicateurs. Le principe repose sur le fait que deux expressions de mêmes bases sont égales si et seulement si les degrés (exposants) de ces bases sont égaux. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Méthode de remplacement variable. Cette méthode doit être utilisée si l'équation, lors du remplacement de variables, simplifie sa forme et est beaucoup plus facile à résoudre.

Exemple.
Résolvez le système d'équations : $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \fin (cas)$.
Solution.
Considérons les deux équations du système séparément :
27 $^y*3^x=1$.
3 $^(3 ans)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Considérons la deuxième équation :
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Utilisons la méthode de changement de variables, soit $y=2^(x+y)$.
L’équation prendra alors la forme :
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ et $y_2=-3$.
Passons aux variables initiales, à partir de la première équation on obtient $x+y=2$. La deuxième équation n'a pas de solution. Alors notre système d'équations initial est équivalent au système : $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \fin (cas)$.
Soustrayez la seconde de la première équation, nous obtenons : $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \fin (cas)$.
$\begin (cas) y=-1, \\ x=3. \fin (cas)$.
Réponse : $(3;-1)$.

Inégalités exponentielles

Passons aux inégalités. Lors de la résolution des inégalités, il est nécessaire de prêter attention à la base du diplôme. Il existe deux scénarios possibles pour l'évolution des événements lors de la résolution des inégalités.

Théorème. Si $a>1$, alors l'inégalité exponentielle $a^(f(x))>a^(g(x))$ est équivalente à l'inégalité $f(x)>g(x)$.
Si 0 $ a^(g(x))$ est équivalent à l'inégalité $f(x)

Exemple.
Résoudre les inégalités :
une) 3$^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Solution.
une) 3$^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Notre inégalité équivaut à l'inégalité :
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dans notre équation, la base est lorsque le degré est inférieur à 1, alors lors du remplacement d'une inégalité par une inégalité équivalente, il est nécessaire de changer de signe.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Notre inégalité est équivalente à l'inégalité :
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Utilisons la méthode de solution par intervalles :
Réponse : $(-∞;-5]U)