Résolution d'équations exponentielles. Exemples.
Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui sont "très égaux...")
Que s'est il passé équation exponentielle? C'est une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions avec elles sont dans indicateurs quelques degrés. Et seulement là-bas ! C'est important.
Te voilà exemples d'équations exponentielles:
3 x 2 x = 8 x + 3
Noter! Dans les bases des degrés (ci-dessous) - Seulement les chiffres... V indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec x. Si, soudainement, un x apparaît dans l'équation ailleurs qu'un indicateur, par exemple :
ce sera déjà une équation de type mixte. De telles équations n'ont pas de règles claires pour la résolution. Nous ne les considérerons pas pour le moment. Ici, nous traiterons en résolvant les équations exponentielles dans sa forme la plus pure.
En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours clairement résolues. Mais il existe certains types d'équations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Nous allons considérer ces types.
Solution des équations exponentielles les plus simples.
Commençons par quelque chose de très basique. Par exemple:
Même sans aucune théorie, il ressort d'une simple sélection que x = 2. Pas plus, non !? Aucun autre jet de valeur x. Jetons maintenant un coup d'œil à l'enregistrement de la solution de cette équation exponentielle astucieuse :
Qu'avons-nous fait? En fait, nous venons de jeter les mêmes bases (trois). Ils l'ont complètement jeté. Et, ce qui fait plaisir, faites mouche !
En effet, si l'équation exponentielle de gauche et de droite contient le même nombres dans toutes les puissances, ces nombres peuvent être supprimés et les exposants assimilés. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. Super, n'est-ce pas ?)
Cependant, rappelons-le ironiquement : vous ne pouvez retirer les bases que lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont parfaitement isolés ! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :
2 x +2 x + 1 = 2 3, ou
les deux ne peuvent pas être supprimés !
Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment passer d'expressions exponentielles diaboliques à des équations plus simples.
« Ce sont les temps ! » - vous dites. "Qui va donner un tel primitif sur les tests et examens !?"
Je suis d'accord. Personne ne donnera. Mais maintenant, vous savez où vous efforcer de résoudre des exemples déroutants. Il est nécessaire de l'amener au formulaire lorsque le même numéro de base est à gauche - à droite. Ensuite, tout sera plus facile. En fait, ce sont les classiques des mathématiques. Nous prenons l'exemple original et le transformons en celui souhaité. nousécouter. Par les règles des mathématiques, bien sûr.
Regardons des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les ramener au plus simple. Appelons-les équations exponentielles simples.
Résoudre des équations exponentielles simples. Exemples.
Lors de la résolution d'équations exponentielles, les règles principales sont - actions avec diplômes. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.
L'observation personnelle et l'ingéniosité doivent être ajoutées aux actions avec des degrés. Avons-nous besoin des mêmes nombres de base? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous forme explicite ou cryptée.
Voyons comment cela se fait en pratique ?
Donnons-nous un exemple :
2 2x - 8x + 1 = 0
Le premier coup d'œil vif est à terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir
Deux et huit sont apparentés en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :
8 x + 1 = (2 3) x + 1
Si vous vous souvenez de la formule des actions avec des pouvoirs :
(un n) m = un nm,
en général c'est super :
8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)
L'exemple d'origine ressemble maintenant à ceci :
2 2x - 2 3 (x + 1) = 0
nous transférons 2 3 (x + 1)à droite (personne n'a annulé les actions élémentaires des mathématiques !), on obtient :
2 2x = 2 3 (x + 1)
C'est pratiquement tout. On enlève les bases :
Nous résolvons ce monstre et obtenons
C'est la bonne réponse.
Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidés. Nous identifiés dans le huit est un deux crypté. Cette technique (crypter des bases communes sous des nombres différents) est une technique très répandue dans les équations exponentielles ! Et en logarithmes aussi. Il faut être capable de reconnaître dans les nombres les puissances des autres nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.
Le fait est qu'élever n'importe quel nombre à n'importe quelle puissance n'est pas un problème. Multipliez, même sur un morceau de papier, et c'est tout. Par exemple, tout le monde peut augmenter 3 à la cinquième puissance. 243 fonctionnera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, il est bien plus souvent nécessaire de ne pas élever à une puissance, mais au contraire... quel nombre à quel degré est caché derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.
Il faut connaître les puissances de certains nombres à vue, oui... On s'entraine ?
Déterminez quelles puissances et quels nombres sont des nombres :
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Réponses (dans le désarroi, naturellement !) :
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir un fait étrange. Il y a beaucoup plus de réponses que de tâches ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6, 4 3, 8 2 font tous 64.
Supposons que vous ayez pris note des informations sur la familiarité avec les nombres.) Permettez-moi de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous utilisons la totalité stock de connaissances mathématiques. Y compris ceux des classes moyennes juniors. Tu n'es pas allé au lycée tout de suite, n'est-ce pas ?)
Par exemple, lors de la résolution d'équations exponentielles, il est souvent utile de placer le facteur commun en dehors des parenthèses (bonjour, 7e !). Voyons un exemple :
3 2x + 4 -11 9x = 210
Et encore, à première vue - aux fondations ! Les bases des degrés sont différentes... Trois et neuf. Et nous voulons qu'ils soient les mêmes. Bon, dans ce cas, l'envie est tout à fait réalisable !) Car :
9 x = (3 2) x = 3 2x
En suivant les mêmes règles pour le traitement des diplômes :
3 2x + 4 = 3 2x 3 4
C'est super, tu peux écrire :
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Nous avons amené l'exemple aux mêmes motifs. Alors, quelle est la prochaine !? Les trois ne doivent pas être jetés... Impasse ?
Pas du tout. Se souvenir de la règle de décision la plus polyvalente et la plus puissante de tout tâches mathématiques :
Si vous ne savez pas ce qui est nécessaire, faites ce que vous pouvez !
Vous regardez, tout sera formé).
Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle pouvez faire? Oui, sur le côté gauche, il demande directement la parenthèse ! Le facteur commun de 3 2x fait clairement allusion à cela. Essayons, et puis nous verrons :
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
L'exemple ne cesse de s'améliorer !
Rappelez-vous que pour éliminer les motifs, nous avons besoin d'un degré pur, sans aucun coefficient. Le nombre 70 se met en travers de notre chemin. On divise donc les deux membres de l'équation par 70, on obtient :
Oups! Tout a fonctionné !
C'est la réponse finale.
Il arrive cependant que le roulage sur les mêmes motifs soit obtenu, mais leur élimination ne l'est pas. Cela se produit dans les équations exponentielles d'un autre type. Maîtrisons ce type.
Changement de variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.
Résolvons l'équation :
4 x - 3 2 x +2 = 0
D'abord, comme d'habitude. Passons à une fondation. Au diable.
4 x = (2 2) x = 2 2x
On obtient l'équation :
2 2x - 3 2x +2 = 0
Et ici, nous allons geler. Les techniques précédentes ne fonctionneront pas, peu importe à quel point elles sont cool. Il va falloir sortir de l'arsenal d'un autre moyen puissant et polyvalent. On l'appelle remplacement variable.
L'essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas - 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple - t). Un tel remplacement apparemment insensé conduit à des résultats étonnants !) C'est juste que tout devient clair et compréhensible !
Alors laisse
Alors 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
Remplacez toutes les puissances par x dans notre équation par t :
Eh bien, ça se lève ?) Avez-vous déjà oublié les équations du second degré ? On résout par le discriminant, on obtient :
Ici, l'essentiel est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, il faut le X, pas le t. Nous revenons aux X, c'est-à-dire nous effectuons un remplacement de retour. Premier pour t 1 :
C'est-à-dire,
Trouvé une racine. On cherche le second, à partir de t 2 :
Euh... Gauche 2 x, droite 1... Un problème ? Pas du tout! Il suffit de se rappeler (à partir d'actions avec pouvoirs, oui...) qu'on est quelconque nombre au degré zéro. N'importe qui. Nous fournirons ce qui est nécessaire. Nous avons besoin d'un diable. Veux dire:
Maintenant c'est ça. On a 2 racines :
C'est la réponse.
À résolution d'équations exponentielles parfois, nous nous retrouvons avec une expression maladroite. Taper:
Des sept, deux à un premier degré ne fonctionne pas. Ils ne sont pas parents... Comment être ici ? Quelqu'un peut être confus... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet "Qu'est-ce qu'un logarithme ?" , ne sourit qu'avec parcimonie et écrit d'une main ferme la réponse absolument correcte :
Il ne peut y avoir une telle réponse dans les tâches « B » de l'examen. Là, un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches "C" - facilement.
Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons l'essentiel.
Conseils pratiques :
1. Tout d'abord, nous regardons fondations degrés. Nous examinons s'il est possible de les faire le même. Nous essayons de le faire en utilisant activement actions avec diplômes. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent aussi être convertis en puissances !
2. Nous essayons de réduire l'équation exponentielle à la forme lorsque la gauche et la droite sont le même nombres à n'importe quel degré. Nous utilisons actions avec diplômes et factorisation. Ce qui peut être compté en chiffres - nous comptons.
3. Si le deuxième conseil n'a pas fonctionné, nous essayons d'appliquer une substitution de variable. Le résultat final est une équation qui peut être facilement résolue. Le plus souvent il est carré. Ou fractionnaire, ce qui réduit également au carré.
4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître les puissances de certains nombres "à vue".
Comme d'habitude, à la fin de la leçon, on vous demande de décider un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.
Résoudre des équations exponentielles :
Plus difficile:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0
Trouvez le produit des racines :
2 3-x + 2x = 9
Arrivé?
Bon, alors l'exemple le plus compliqué (résolu pourtant dans la tête...) :
7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3
Quoi de plus intéressant ? Alors voici un mauvais exemple pour vous. Assez attiré par la difficulté accrue. Je vais laisser entendre que dans cet exemple, l'ingéniosité et la règle la plus universelle pour résoudre tous les problèmes mathématiques sauvent.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Un exemple est plus simple, pour le repos) :
9 2 x - 4 3 x = 0
Et pour le dessert. Trouver la somme des racines de l'équation :
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Oui oui! C'est une équation mixte ! Ce que nous n'avons pas pris en compte dans cette leçon. Et qu'ils doivent être considérés, ils doivent être résolus !) Cette leçon suffit amplement à résoudre l'équation. Eh bien, il faut du bon sens... Et que la septième année vous aide (c'est un indice !).
Réponses (dans le désordre, séparés par des points-virgules) :
un; 2 ; 3 ; 4 ; aucune solution ; 2 ; -2 ; -5 ; 4 ; 0.
Est-ce que tout va bien? Amende.
Il ya un problème? Aucun problème! Dans la section spéciale 555, toutes ces équations exponentielles sont résolues avec des explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il existe d'autres informations précieuses sur le travail avec toutes sortes d'équations exponentielles. Pas seulement ceux-ci.)
Une dernière question amusante à considérer. Dans ce tutoriel, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n'ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est une chose très importante, d'ailleurs ...
Si vous aimez ce site...
Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et connaître votre niveau. Tests de validation instantanés. Apprendre - avec intérêt !)
vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
Au stade de la préparation au test final, les étudiants seniors doivent améliorer leurs connaissances sur le sujet "Équations exponentielles". L'expérience des années passées montre que de telles tâches posent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les élèves du secondaire, quel que soit leur niveau de formation, doivent maîtriser parfaitement la théorie, mémoriser des formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de problèmes, les diplômés pourront compter sur des scores élevés lors de la réussite de l'examen de mathématiques.
Préparez-vous pour les tests d'examen avec Shkolkovo !
Lors de l'examen des matériaux couverts, de nombreux étudiants sont confrontés au problème de trouver les formules nécessaires pour résoudre des équations. Un manuel scolaire n'est pas toujours à portée de main et la sélection des informations nécessaires sur un sujet sur Internet prend beaucoup de temps.
Le portail éducatif "Shkolkovo" invite les étudiants à utiliser notre base de connaissances. Nous mettons en œuvre une toute nouvelle méthode de préparation aux tests finaux. En étudiant sur notre site Web, vous serez en mesure d'identifier les lacunes dans les connaissances et de prêter attention aux tâches qui causent les plus grandes difficultés.
Les enseignants de Shkolkovo ont rassemblé, systématisé et présenté tout le matériel nécessaire à la réussite de l'examen d'État unifié sous la forme la plus simple et la plus accessible.
Les principales définitions et formules sont présentées dans la section "Référence théorique".
Pour une meilleure assimilation de la matière, nous vous recommandons de vous entraîner à remplir les devoirs. Examinez attentivement les exemples d'équations exponentielles avec une solution présentés sur cette page pour comprendre l'algorithme de calcul. Après cela, passez aux tâches de la section "Répertoires". Vous pouvez commencer par les problèmes les plus simples ou passer directement à la résolution d'équations exponentielles complexes avec plusieurs inconnues ou. La base d'exercices sur notre site Web est constamment complétée et mise à jour.
Ces exemples avec des indicateurs qui vous ont causé des difficultés peuvent être ajoutés à vos favoris. De cette façon, vous pouvez les trouver rapidement et discuter de la solution avec votre instructeur.
Pour réussir l'examen d'État unifié, étudiez tous les jours sur le portail Shkolkovo !
Retour en avant
Attention! Les aperçus des diapositives sont à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les options de présentation. Si vous êtes intéressé par ce travail, veuillez télécharger la version complète.
Type de cours
: une leçon de généralisation et d'applications complexes de connaissances, de compétences et d'aptitudes sur le thème « Équations exponentielles et moyens de les résoudre ».Objectifs de la leçon.
Équipement:
ordinateur et projecteur multimédia.La leçon utilise Informatique : support méthodologique pour le cours - présentation dans le programme Microsoft Power Point.
Pendant les cours
Chaque compétence est donnée par le travail
JE. Fixation des objectifs de la leçon(Diapositive numéro 2 )
Dans cette leçon, nous résumerons et généraliserons le sujet « Les équations exponentielles, leurs solutions ». Faisons connaissance avec les devoirs USE typiques de différentes années sur ce sujet.
Des problèmes pour résoudre des équations exponentielles peuvent être trouvés dans n'importe quelle partie des tâches d'examen. Dans la partie " V " ils proposent généralement de résoudre les équations exponentielles les plus simples. Dans la partie " AVEC " vous pouvez trouver des équations exponentielles plus complexes, dont la solution est généralement l'une des étapes de la tâche.
Par exemple ( Diapositive numéro 3 ).
- Examen d'État unifié - 2007
Q 4 - Trouver la plus grande valeur d'expression x y, où ( X; à) - solution système :
B 1 - Résoudre des équations :
une) X 6 3X – 36 6 3X = 0;
b) 4 X +1 + 8 4X= 3.
Q 4 - Trouver le sens de l'expression x + y, où ( X; à) - solution système :
- Examen d'État unifié - 2010
II. Mise à jour des connaissances de base. Répétition
(Diapositives numéro 4 - 6 présentations pour la leçon)L'écran affiche résumé de base du matériel théorique sur ce sujet.
Les questions suivantes sont discutées :
- Comment s'appellent les équations indicatif?
- Nommez les principaux moyens de les résoudre. Donnez des exemples de leurs types ( Diapositive numéro 4 )
- Quel théorème est utilisé pour résoudre les équations exponentielles les plus simples de la forme : et f (x) = a g (x) ?
- Quelles sont les autres méthodes pour résoudre les équations exponentielles ? ( Diapositive numéro 5 )
(Résolvez les équations proposées pour chaque méthode indépendamment et effectuez un auto-test à l'aide de la lame)
- Méthode de factorisation (basé sur les propriétés des degrés avec les mêmes bases, admission : le degré avec le plus petit exposant est sorti des parenthèses).
- Réception de la division (multiplication) par une expression exponentielle autre que zéro, lors de la résolution d'équations exponentielles homogènes .
- Conseils:
-
Résolution d'équations avec les deux dernières méthodes suivies de commentaires
(Diapositive numéro 6 ).
. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2x - 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,
t = (2/5)x, t > 0, 2t 2 - 3t - 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5)x, X= ?...
III. Résoudre les tâches de l'examen 2010
Les élèves résolvent indépendamment les tâches proposées au début de la leçon sur la diapositive numéro 3, en utilisant les instructions de la solution, vérifient leur cours de la solution et les réponses qui leur sont apportées à l'aide de la présentation ( Diapositive numéro 7). Au cours du travail, les options et les méthodes de solution sont discutées, l'attention est attirée sur les erreurs possibles dans la solution.
: a) 7 X- 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 fois = 36. Réponse: une) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 = 0. (Vous pouvez remplacer 0.5 = 4 - 0.5)Solution. ,
X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …
Réponse: X= -5/2, X = 1/2.
: 5 5 tg oui+ 4 = 5 -tg oui, à cos oui< 0.Indication à la solution
... 5 5 tg oui+ 4 = 5 -tg oui¦ 5 tg oui 0,5 5 2g oui+ 4 5 tg oui - 1 = 0. Soit X= 5 tg oui , …
5 tg oui = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.
Depuis tg oui= -1 et cos oui< 0, alors à II quartier coordonné
Réponse: à= 3/4 + 2k, k N.
IV. Collaborer au tableau
La tâche d'un niveau élevé de formation est considérée - Diapositive numéro 8... A l'aide de cette diapositive, un dialogue entre l'enseignant et les élèves a lieu, contribuant à l'élaboration de la solution.
- A quel paramètre une équation 2 2 X – 3 2 X + une 2 – 4une= 0 a deux racines ?Laisser t= 2 X, où t > 0 ... On a t 2 – 3t + (une 2 – 4une) = 0 .
un). Puisque l'équation a deux racines, D> 0;
2). Parce que t 1,2> 0, alors t 1 t 2> 0, c'est une 2 – 4une> 0 (?...).
Réponse: une(- 0,5 ; 0) ou (4 ; 4,5).
V. Travaux de vérification
(Diapositive numéro 9 )Les élèves jouent travail de vérification sur des feuilles de papier, exercer la maîtrise de soi et l'auto-évaluation du travail effectué à l'aide d'une présentation, confirmant le sujet. Ils déterminent indépendamment pour eux-mêmes un programme de régulation et de correction des connaissances basé sur les erreurs commises dans les cahiers d'exercices. Les feuilles avec les travaux indépendants complétés sont remises à l'enseignant pour vérification.
Chiffres soulignés - niveau de base, avec un astérisque - difficulté augmentée.
Solution et réponses.
3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,
x = -1.
4 * .3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,
3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,
3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (ne correspond pas),
(3/5) X = 5, x = -1.
Vi. Devoirs
(Diapositive numéro 10 )- Répéter § 11, 12.
- À partir des documents de l'examen d'État unifié 2008 - 2010, sélectionnez des tâches sur le sujet et résolvez-les.
- Travail d'essai à domicile :
Ne vous laissez pas intimider par mes propos, vous avez déjà rencontré cette méthode en 7e année, lorsque vous étudiiez les polynômes.
Par exemple, si vous aviez besoin de :
Regroupons : les premier et troisième termes, ainsi que les deuxième et quatrième.
Il est clair que le premier et le troisième sont la différence des carrés :
et les deuxième et quatrième ont un facteur commun de trois :
Alors l'expression originale est équivalente à ceci :
Où sortir le facteur commun n'est plus difficile:
D'où,
C'est approximativement comment nous allons agir lors de la résolution d'équations exponentielles : recherchez le « communauté » parmi les termes et mettez-le en dehors des parenthèses, eh bien - quoi qu'il arrive, je pense que nous aurons de la chance =))
Exemple n°14
A droite c'est loin d'être un degré sept (j'ai vérifié !) et à gauche - pas beaucoup mieux...
Vous pouvez, bien sûr, "couper" le facteur a du deuxième du premier terme, puis traiter le résultat, mais faisons-le avec plus de prudence avec vous.
Je ne veux pas m'occuper des fractions qui viennent inévitablement de la « mise en évidence », alors ne vaudrait-il pas mieux que j'endure ?
Alors je n'aurai pas de fractions : comme on dit, les loups sont nourris et les moutons sont en sécurité :
Comptez l'expression entre parenthèses.
D'une manière magique, magique, il s'avère que (surprenant, mais à quoi pouvons-nous nous attendre d'autre ?).
Ensuite, nous annulerons les deux côtés de l'équation par ce facteur. Nous obtenons :, d'où.
Voici un exemple plus compliqué (un peu, vraiment) :
Quel ennui ! Nous n'avons pas de terrain d'entente ici !
Ce qu'il faut faire maintenant n'est pas tout à fait clair.
Faisons ce que nous pouvons : d'abord, déplaçons les "quatre" d'un côté et les "cinq" de l'autre :
Déplaçons maintenant le "commun" vers la gauche et la droite :
Et maintenant ?
Quel est l'avantage d'un groupe aussi stupide? À première vue, ce n'est pas du tout visible, mais regardons de plus près :
Eh bien, faisons en sorte qu'à gauche nous n'ayons que l'expression avec, et à droite - tout le reste.
Comment faisons-nous cela?
Et voici comment : Divisez d'abord les deux côtés de l'équation par (de cette façon, nous nous débarrassons du degré à droite), puis divisez les deux côtés par (de cette façon, nous nous débarrassons du facteur numérique sur la gauche).
On obtient finalement :
Incroyable!
À gauche, nous avons une expression et à droite, nous en avons une simple.
On conclut alors immédiatement que
Exemple n°15
Je vais donner sa solution courte (sans trop vous soucier des explications), essayez de comprendre vous-même toutes les "subtilités" de la solution.
Maintenant, la consolidation finale du matériel passé.
Résoudre les 7 problèmes suivants par moi-même (avec réponses)
- Sortons le facteur commun des parenthèses :
- Nous représentons la première expression sous la forme :, diviser les deux parties en et obtenir que
- , alors l'équation d'origine est transformée sous la forme : Eh bien, maintenant un indice - regardez où vous et moi avons déjà résolu cette équation !
- Imaginez comment, comment et, eh bien, divisez les deux parties par pour obtenir l'équation exponentielle la plus simple.
- Sortez des supports.
- Sortez des supports.
ÉQUATIONS EXPLORATIVES. NIVEAU MOYEN
Je suppose qu'après avoir lu le premier article qui disait que sont les équations exponentielles et comment les résoudre, vous maîtrisez le minimum de connaissances nécessaires pour résoudre les exemples les plus simples.
Maintenant, je vais analyser une autre méthode pour résoudre des équations exponentielles, cette ...
Méthode d'introduction d'une nouvelle variable (ou remplacement)
Il résout la plupart des problèmes "difficiles" sur le thème des équations exponentielles (et pas seulement des équations).
Cette méthode est l'une des le plus souvent utilisé en pratique. Tout d'abord, je vous recommande de vous familiariser avec le sujet.
Comme vous l'avez déjà compris d'après son nom, l'essence de cette méthode est d'introduire un tel changement de variable que votre équation exponentielle se transforme miraculeusement en une que vous pouvez déjà résoudre facilement.
Après avoir résolu cette très « équation simplifiée », il ne vous reste plus qu'à faire un « remplacement inverse » : c'est-à-dire revenir du remplacé au remplacé.
Illustrons ce que nous venons de dire avec un exemple très simple :
Exemple 16. Méthode de substitution simple
Cette équation est résolue en utilisant "Remplacement simple", comme l'appellent avec mépris les mathématiciens.
En effet, le remplacement ici est le plus évident. Il n'y a qu'à voir ça
Ensuite, l'équation d'origine se transforme en ceci:
Si vous imaginez également comment, alors ce qui doit être remplacé est tout à fait clair ...
Bien sûr, .
En quoi l'équation originale se transformera-t-elle alors ? Et voici quoi :
Vous pouvez facilement trouver ses racines par vous-même :.
Que devons-nous faire maintenant?
Il est temps de revenir à la variable d'origine.
Qu'ai-je oublié d'indiquer ?
A savoir : lors du remplacement d'un certain degré par une nouvelle variable (c'est-à-dire lors du changement de vue), je m'intéresserai à que des racines positives !
Vous-même pouvez facilement répondre pourquoi.
Ainsi, vous et moi ne sommes pas intéressés, mais la deuxième racine nous convient tout à fait :
Alors où.
Réponse:
Comme vous pouvez le voir, dans l'exemple précédent, le remplaçant demandait nos mains. Malheureusement, ce n'est pas toujours le cas.
Cependant, n'allons pas directement au triste, mais pratiquons avec un autre exemple avec un remplacement assez simple
Exemple 17 Méthode de substitution simple
Il est clair qu'il sera très probablement nécessaire de remplacer (c'est le plus petit des degrés inclus dans notre équation).
Cependant, avant d'introduire le remplacement, notre équation doit être « préparée » pour cela, à savoir :,.
Ensuite, vous pouvez remplacer, en conséquence j'obtiens l'expression suivante :
Oh horreur : une équation cubique avec des formules complètement effrayantes pour sa solution (enfin, en termes généraux).
Mais ne désespérons pas tout de suite, mais réfléchissons à ce qu'il faut faire.
Je vais proposer de tricher : nous savons que pour obtenir une « belle » réponse, nous devons l'obtenir sous la forme d'une puissance de triplet (pourquoi cela, hein ?).
Essayons de deviner au moins une racine de notre équation (je commencerai à deviner avec des puissances de trois).
Première hypothèse. Ce n'est pas une racine. Hélas et ah...
.
Le côté gauche est égal.
Partie droite : !
Il y a! Vous avez deviné la première racine. Maintenant, les choses vont devenir plus faciles !
Connaissez-vous le schéma de division « corner » ? Bien sûr, vous savez que vous l'utilisez lorsque vous divisez un nombre par un autre.
Mais peu de gens savent qu'on peut faire la même chose avec les polynômes.
Il y a un grand théorème :
Appliqué à ma situation, cela me dit ce qui est divisible par.
Comment s'effectue la division ? C'est comme ça:
Je regarde quel monôme je dois multiplier pour obtenir
Il est clair que sur, alors :
Soustrayez l'expression résultante de, obtenez :
Maintenant, par quoi dois-je multiplier pour obtenir ?
Il est clair que sur, alors j'obtiendrai :
et soustraire à nouveau l'expression résultante de l'expression restante :
Eh bien, la dernière étape, je vais multiplier par et soustraire de l'expression restante :
Hourra, la division est terminée! Qu'avons-nous économisé en privé ?
Par lui-même: .
On obtient alors la décomposition suivante du polynôme d'origine :
Résolvons la deuxième équation :
Il a des racines :
Alors l'équation d'origine :
a trois racines :
Nous rejetterons bien entendu la dernière racine, puisqu'elle est inférieure à zéro.
Et les deux premiers après le remplacement inverse nous donneront deux racines :
Réponse: ..
Je ne voulais pas vous effrayer avec cet exemple !
Au contraire, mon objectif était de montrer que si nous avions un remplacement assez simple, cela conduisait néanmoins à une équation assez complexe, dont la résolution nous demandait des compétences particulières.
Eh bien, personne n'est à l'abri de cela. Mais le remplacement dans ce cas était assez évident.
Exemple # 18 (avec un remplacement moins évident)
Ce que nous devons faire n'est pas du tout clair : le problème est que dans notre équation il y a deux bases différentes et qu'une base ne peut pas être obtenue à partir de l'autre en élevant à un degré (raisonnable, naturellement).
Cependant, que voyons-nous?
Les deux bases ne diffèrent que par le signe, et leur produit est la différence de carrés, égale à un :
Définition:
Ainsi, les nombres qui sont les bases dans notre exemple sont conjugués.
Dans ce cas, un geste intelligent serait multiplier les deux membres de l'équation par le nombre conjugué.
Par exemple, sur, alors le côté gauche de l'équation devient égal, et le côté droit.
Si nous effectuons une substitution, notre équation d'origine deviendra ainsi :
ses racines, alors, et en s'en souvenant, nous comprenons cela.
Réponse: , .
En règle générale, la méthode de remplacement est suffisante pour résoudre la plupart des équations exponentielles "scolaires".
Les tâches suivantes d'un niveau de complexité accru sont tirées des versions de l'examen.
Trois tâches de complexité accrue parmi les options de l'examen
Vous êtes déjà suffisamment compétent pour résoudre ces exemples de manière indépendante. Je ne donnerai que le remplacement requis.
- Résous l'équation:
- Trouver les racines de l'équation :
- Résous l'équation:. Trouvez toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment :
Et maintenant, brèves explications et réponses :
Exemple n°19
Ici, il nous suffit de noter que et.
Alors l'équation originale sera équivalente à ceci :
Cette équation est résolue en remplaçant
Faites les calculs supplémentaires vous-même.
En fin de compte, votre tâche sera réduite à résoudre la trigonométrie la plus simple (selon le sinus ou le cosinus). Nous analyserons la solution de tels exemples dans d'autres sections.
Exemple n° 20
Ici, vous pouvez même faire sans remplacement ...
Il suffit de déplacer la soustraite vers la droite et de représenter les deux bases par des puissances de deux :, puis de passer directement à l'équation quadratique.
Exemple n°21
Il se résout aussi de manière assez classique : imaginons comment.
Ensuite, en remplaçant nous obtenons une équation quadratique : alors,
Savez-vous déjà ce qu'est un logarithme ? Pas? Alors lisez le sujet de toute urgence !
La première racine, évidemment, n'appartient pas au segment, et la seconde est incompréhensible !
Mais on le saura très bientôt !
Puisque, alors (c'est une propriété du logarithme !)
Soustrayez des deux parties, alors nous obtenons:
Le côté gauche peut être représenté comme :
multiplier les deux parties par :
peut être multiplié par, alors
Comparons alors :
depuis:
Alors la deuxième racine appartient à l'intervalle requis
Réponse:
Comme tu vois, la sélection des racines des équations exponentielles nécessite une connaissance suffisamment approfondie des propriétés des logarithmes je vous conseille donc d'être le plus prudent possible lors de la résolution des équations exponentielles.
Comme vous pouvez l'imaginer, en mathématiques, tout est interconnecté !
Comme disait mon prof de maths : "les maths, comme l'histoire, on ne peut pas lire du jour au lendemain".
En règle générale, tous la difficulté à résoudre des problèmes d'un niveau de complexité accru est précisément le choix des racines de l'équation.
Un autre exemple de formation...
Exemple 22
Il est clair que l'équation elle-même est assez simple à résoudre.
En effectuant la substitution, nous réduirons notre équation d'origine à la suivante :
Considérons d'abord première racine.
Comparez et : depuis, alors. (propriété de la fonction logarithmique, at).
Alors il est clair que la première racine n'appartient pas non plus à notre intervalle.
Maintenant la deuxième racine :. Il est clair que (puisque la fonction à est croissante).
Il reste à comparer et.
depuis, alors, en même temps.
De cette façon, je peux « enfoncer une cheville » entre et.
Cette cheville est un nombre.
La première expression est plus petite et la seconde est plus grande.
Alors la deuxième expression est supérieure à la première et la racine appartient à l'intervalle.
Réponse: .
Pour conclure, regardons un autre exemple d'équation où la substitution est tout à fait non standard.
Exemple # 23 (Équation avec substitution non standard !)
Commençons tout de suite par ce que vous pouvez faire et ce que vous pouvez en principe, mais il vaut mieux ne pas le faire.
Vous pouvez - tout représenter par des puissances de trois, deux et six.
Où ça mène ?
Oui, cela ne mènera à rien : un méli-mélo de degrés, et certains d'entre eux seront assez difficiles à éliminer.
Que faut-il alors ?
Notons qu'un
Et que va-t-il nous apporter ?
Et le fait que l'on puisse réduire la solution de cet exemple à la solution d'une équation exponentielle assez simple !
Tout d'abord, réécrivons notre équation comme suit :
Maintenant, nous divisons les deux côtés de l'équation résultante par :
Eurêka ! Maintenant que nous pouvons remplacer, nous obtenons :
Eh bien, maintenant c'est à votre tour de résoudre les problèmes de démonstration, et je ne leur ferai que de brefs commentaires pour que vous ne vous égariez pas ! Bonne chance!
Exemple n° 24
Le plus difficile!
Pas facile de trouver un remplaçant ici ! Mais néanmoins, cet exemple peut être complètement résolu en utilisant sélection d'un carré plein.
Pour le résoudre, il suffit de noter que :
Alors voici un remplaçant pour vous :
(Veuillez noter qu'ici, lors de notre remplacement, nous ne pouvons pas supprimer la racine négative !!! Et pourquoi pensez-vous ?)
Maintenant, pour résoudre l'exemple, vous devez résoudre deux équations :
Les deux sont résolus par le "remplacement standard" (mais le deuxième dans un exemple !)
Exemple n° 25
2. Notez cela et effectuez un remplacement.
Exemple n° 26
3. Décomposez le nombre en facteurs premiers entre eux et simplifiez l'expression résultante.
Exemple n°27
4. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par (ou, si vous préférez) et remplacez ou.
Exemple n° 28
5. Notez que les nombres et sont conjugués.
SOLUTION D'ÉQUATIONS EXPRESSES PAR METHODE DE LOGARIFMAGE. NIVEAU AVANCÉ
De plus, considérons une autre manière - solution d'équations exponentielles par la méthode du logarithme.
Je ne peux pas dire que la solution des équations exponentielles par cette méthode soit très populaire, mais dans certains cas elle seule est capable de nous conduire à la solution correcte de notre équation.
Il est particulièrement souvent utilisé pour résoudre le soi-disant " équations mixtes" : C'est-à-dire ceux où se rencontrent des fonctions de différents types.
Exemple n° 29
dans le cas général, il ne peut être résolu qu'en prenant le logarithme des deux côtés (par exemple, par la base), dans lequel l'équation d'origine devient la suivante :
Regardons l'exemple suivant :
Il est clair que d'après l'ODZ de la fonction logarithmique, on ne s'intéresse qu'à.
Cependant, cela découle non seulement de l'ODZ du logarithme, mais pour une autre raison.
Je pense qu'il ne vous sera pas difficile de deviner lequel.
Inscrivons les deux côtés de notre équation à la base :
Comme vous pouvez le voir, prendre assez rapidement le logarithme de notre équation d'origine nous a conduit à la bonne (et belle !) réponse.
Pratiquons avec un autre exemple.
Exemple n° 30
Ici aussi, il n'y a pas de quoi s'inquiéter : on logarithme les deux membres de l'équation par la base, on obtient alors :
Faisons un remplacement :
Cependant, il nous manque quelque chose ! Avez-vous remarqué où je me suis trompé? Après tout, alors :
qui ne satisfait pas à l'exigence (pensez d'où il vient !)
Réponse:
Essayez vous-même d'écrire la solution des équations exponentielles ci-dessous :
Vérifiez maintenant votre décision par rapport à ceci :
Exemple n° 31
Logarithme des deux côtés de la base, en tenant compte du fait que :
(la deuxième racine ne nous convient pas du fait du remplacement)
Exemple n°32
Base logarithmique :
Transformons l'expression résultante sous la forme suivante :
ÉQUATIONS EXPLORATIVES. BRÈVE DESCRIPTION ET FORMULES DE BASE
Équation exponentielle
Équation de la forme :
appelé l'équation exponentielle la plus simple.
Propriétés de puissance
Approches de la solution
- Coercition à la même base
- Conversion au même exposant
- Substitution de variables
- Simplification de l'expression et de l'application de l'un des éléments ci-dessus.
