§ 1 Système de coordonnées : définition et méthode de construction

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec les concepts de « système de coordonnées », de « plan de coordonnées », d'« axes de coordonnées » et apprendrons à construire des points sur un plan à l'aide de coordonnées.

Prenons une droite de coordonnées x avec le point d'origine O, une direction positive et un segment unitaire.

Par l'origine des coordonnées, le point O de la ligne de coordonnées x, nous traçons une autre ligne de coordonnées y, perpendiculaire à x, fixons la direction positive vers le haut, le segment unitaire est le même. Ainsi, nous avons construit un système de coordonnées.

Donnons une définition :

Deux lignes de coordonnées mutuellement perpendiculaires se coupant en un point, qui est l'origine des coordonnées de chacune d'elles, forment un système de coordonnées.

§ 2 Axe de coordonnées et plan de coordonnées

Les lignes droites qui forment un système de coordonnées sont appelées axes de coordonnées, chacun ayant son propre nom : la ligne de coordonnées x est l'axe des abscisses, la ligne de coordonnées y est l'axe des ordonnées.

Le plan sur lequel le système de coordonnées est sélectionné est appelé plan de coordonnées.

Le système de coordonnées décrit est appelé rectangulaire. On l'appelle souvent le système de coordonnées cartésiennes en l'honneur du philosophe et mathématicien français René Descartes.

Chaque point sur le plan de coordonnées a deux coordonnées, qui peuvent être déterminées en déposant des perpendiculaires à partir du point sur l'axe des coordonnées. Les coordonnées d'un point sur un plan sont une paire de nombres dont le premier nombre est l'abscisse, le deuxième nombre est l'ordonnée. L'abscisse est perpendiculaire à l'axe des x, l'ordonnée est perpendiculaire à l'axe des y.

Marquons le point A sur le plan de coordonnées et traçons des perpendiculaires aux axes du système de coordonnées.

Le long de la perpendiculaire à l'axe des abscisses (axe des x), on détermine l'abscisse du point A, elle est égale à 4, l'ordonnée du point A - le long de la perpendiculaire à l'axe des ordonnées (axe des y) est 3. Les coordonnées de notre point sont 4 et 3. A (4;3). Ainsi, les coordonnées peuvent être trouvées pour n'importe quel point du plan de coordonnées.

§ 3 Construction d'un point sur un plan

Comment construire un point sur un plan avec des coordonnées données, c'est-à-dire A l'aide des coordonnées d'un point du plan, déterminer sa position ? Dans ce cas, nous effectuons les étapes dans l'ordre inverse. Sur les axes de coordonnées, nous trouvons des points correspondant aux coordonnées données, à travers lesquels nous traçons des lignes droites perpendiculaires aux axes x et y. Le point d'intersection des perpendiculaires sera celui souhaité, c'est-à-dire un point avec des coordonnées données.

Terminons la tâche : construisons le point M (2;-3) sur le plan de coordonnées.

Pour ce faire, trouvez un point de coordonnée 2 sur l'axe des x et tracez une ligne droite perpendiculaire à l'axe des x passant par ce point. Sur l'axe des ordonnées, nous trouvons un point de coordonnée -3, à travers lui nous traçons une ligne droite perpendiculaire à l'axe y. Le point d'intersection des lignes perpendiculaires sera point donné M.

Examinons maintenant quelques cas particuliers.

Marquons les points A (0 ; 2), B (0 ; -3), C (0 ; 4) sur le plan de coordonnées.

Les abscisses de ces points sont égales à 0. La figure montre que tous les points sont sur l'axe des ordonnées.

Par conséquent, les points dont les abscisses sont égales à zéro se trouvent sur l'axe des ordonnées.

Échangeons les coordonnées de ces points.

Le résultat sera A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). Dans ce cas, toutes les ordonnées sont égales à 0 et les points sont sur l’axe des x.

Cela signifie que les points dont les ordonnées sont égales à zéro se trouvent sur l'axe des abscisses.

Examinons deux autres cas.

Sur le plan de coordonnées, marquez les points M (3 ; 2), N (3 ; -1), P (3 ; -4).

Il est facile de voir que toutes les abscisses des points sont les mêmes. Si ces points sont reliés, vous obtenez une droite parallèle à l'axe des ordonnées et perpendiculaire à l'axe des abscisses.

La conclusion s'impose : les points qui ont la même abscisse se trouvent sur la même droite, parallèle à l'axe des ordonnées et perpendiculaire à l'axe des abscisses.

Si vous échangez les coordonnées des points M, N, P, vous obtenez M (2 ; 3), N (-1 ; 3), P (-4 ; 3). Les ordonnées des points seront les mêmes. Dans ce cas, si vous reliez ces points, vous obtenez une droite parallèle à l'axe des abscisses et perpendiculaire à l'axe des ordonnées.

Ainsi, les points ayant la même ordonnée se trouvent sur une même droite parallèle à l'axe des abscisses et perpendiculaire à l'axe des ordonnées.

Dans cette leçon, vous vous êtes familiarisé avec les concepts de « système de coordonnées », « plan de coordonnées », « axes de coordonnées - axe des abscisses et axe des ordonnées ». Nous avons appris à trouver les coordonnées d'un point sur un plan de coordonnées et à construire des points sur le plan en utilisant ses coordonnées.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques. 6ème année: plans de cours au manuel I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // auteur-compilateur L.A. Topiline. – Mnémosyne, 2009.
2. Mathématiques. 6e année : manuel pour les élèves les établissements d'enseignement. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.-M. : Mnemosyne, 2013.
3. Mathématiques. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement général/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov et autres/édité par G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Académie russe des sciences, Académie russe de l'éducation. - M. : « Lumières », 2010
4. Manuel de mathématiques - http://lyudmilanik.com.ua
5. Guide de l'étudiant pour lycée http://shkolo.ru

les points sont « enregistrés » - « résidents », chaque point a son propre « numéro de maison » - ses coordonnées. Si le point est pris dans un avion, alors pour « l'enregistrer », vous devez indiquer non seulement le « numéro de la maison », mais également le « numéro de l'appartement ». Rappelons comment cela se fait.

Traçons deux lignes de coordonnées mutuellement perpendiculaires et considérons l'origine de référence sur les deux lignes comme le point de leur intersection - le point O. Ainsi, un système de coordonnées rectangulaires est spécifié sur le plan (Fig. 20), qui transforme l'habituel avion coordonner. Le point O est appelé l'origine des coordonnées, les lignes de coordonnées (axes x et y) sont appelées axes de coordonnées et les angles droits formés par les axes de coordonnées sont appelés angles de coordonnées. Les angles rectangulaires de coordonnées sont numérotés comme indiqué sur la figure 20.

Passons maintenant à la figure 21, où un système de coordonnées rectangulaires est représenté et marqué du point M. Traçons une ligne droite le traversant parallèlement à l’axe y. La ligne droite coupe l'axe des x en un certain point, ce point a une coordonnée - sur l'axe des x. Pour le point représenté sur la figure 21, cette coordonnée est égale à -1,5, on l'appelle l'abscisse du point M. Ensuite, on trace une droite passant par le point M, parallèle à l'axe des x. La ligne droite coupe l'axe y en un certain point, ce point a une coordonnée - sur l'axe y.

Pour le point M, représenté sur la figure 21, cette coordonnée est égale à 2, elle est appelée ordonnée du point M. S'écrit brièvement ainsi : M (-1,5 ; 2). L'abscisse est écrite en premier lieu, l'ordonnée en deuxième. Si nécessaire, utilisez une autre forme de notation : x = -1,5 ; y = 2.

Note 1 . En pratique, pour trouver les coordonnées du point M, généralement au lieu de droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par le point M, des segments de ces droites allant du point M aux axes de coordonnées sont construits (Fig. 22).

Note 2. Dans le paragraphe précédent, nous avons introduit différentes notations pour les intervalles numériques. En particulier, comme nous en avons convenu, la notation (3, 5) signifie que sur la ligne de coordonnées on considère un intervalle se terminant aux points 3 et 5. Dans cette section, nous considérons une paire de nombres comme coordonnées d'un point ; par exemple, (3 ; 5) est un point sur avion coordonné en abscisse 3 et ordonnée 5. Comment déterminer correctement à partir d'une notation symbolique de quoi on parle : un intervalle ou les coordonnées d'un point ? Le plus souvent, cela ressort clairement du texte. Et si ce n'est pas clair ? Faites attention à un détail : nous avons utilisé une virgule pour indiquer l'intervalle, et un point-virgule pour indiquer les coordonnées. Ceci, bien sûr, n’est pas très significatif, mais cela reste une différence ; nous l'utiliserons.

Compte tenu des termes et notations introduits, la ligne de coordonnées horizontales est appelée abscisse, ou axe des x, et la ligne de coordonnées verticales est appelée axe des ordonnées, ou axe des y. La notation x, y est généralement utilisée pour spécifier un système de coordonnées rectangulaires sur un plan (voir Fig. 20) et est souvent dite ainsi : étant donné un système de coordonnées xOy. Il existe cependant d'autres notations : par exemple, sur la figure 23, le système de coordonnées tOs est spécifié.
Algorithme pour trouver les coordonnées du point M spécifié dans le système de coordonnées rectangulaires xOy

C'est exactement ce que nous avons fait en trouvant les coordonnées du point M sur la figure 21. Si le point M 1 (x ; y) appartient au premier angle de coordonnées, alors x > 0, y > 0 ; si le point M 2 (x; y) appartient au deuxième angle de coordonnées, alors x< 0, у >0 ; si le point M 3 (x; y) appartient au troisième angle de coordonnées, alors x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >UO< 0 (рис. 24).

Que se passe-t-il si le point dont il faut trouver les coordonnées se trouve sur l'un des axes de coordonnées ? Laissez le point A se situer sur l'axe des x et le point B sur l'axe des y (Fig. 25). Tracer une ligne parallèle à l'axe y passant par le point A et trouver le point d'intersection de cette ligne avec l'axe x n'a pas de sens, puisqu'un tel point d'intersection existe déjà - c'est le point A, sa coordonnée (abscisse) est 3. De la même manière, il n'est pas nécessaire de passer par le point Et la droite parallèle à l'axe des x est l'axe des x lui-même, qui coupe l'axe des y au point O avec la coordonnée (ordonnée) 0. Comme un résultat, pour le point A on obtient A(3; 0). De même, pour le point B on obtient B(0; - 1,5). Et pour le point O nous avons O(0; 0).

En général, tout point sur l'axe des x a des coordonnées (x ; 0) et tout point sur l'axe des y a des coordonnées (0 ; y)

Nous avons donc discuté de la façon de trouver les coordonnées d’un point dans le plan de coordonnées. Comment résoudre le problème inverse, c'est-à-dire comment, après avoir donné les coordonnées, construire le point correspondant ? Pour développer un algorithme, nous effectuerons deux raisonnements auxiliaires, mais en même temps importants.

Premier raisonnement. Soit dessiné dans le système de coordonnées xOy, parallèle à l'axe y et coupant l'axe x en un point de coordonnée (abscisse) 4

(Fig. 26). Tout point situé sur cette droite a une abscisse 4. Ainsi, pour les points M 1, M 2, M 3 on a M 1 (4 ; 3), M 2 (4 ; 6), M 3 (4 ; - 2). En d'autres termes, l'abscisse de tout point M sur la droite satisfait à la condition x = 4. On dit que x = 4 - l'équation la ligne l ou cette ligne I satisfait l'équation x = 4.

La figure 27 montre des droites satisfaisant les équations x = - 4 (ligne I 1), x = - 1
(droit I 2) x = 3,5 (droit I 3). Quelle droite satisfait l’équation x = 0 ? L'avez-vous deviné ? Axe Y

Deuxième raisonnement. Soit une ligne I tracée dans le système de coordonnées xOy, parallèle à l'axe x et coupant l'axe y en un point de coordonnée (ordonnée) 3 (Fig. 28). Tout point situé sur cette droite a une ordonnée de 3. Ainsi, pour les points M 1, M 2, M 3 on a : M 1 (0 ; 3), M 2 (4 ; 3), M 3 (- 2 ; 3 ) . En d'autres termes, l'ordonnée de tout point M de la droite I satisfait à la condition y = 3. On dit que y = 3 est l'équation de la droite I ou que la droite I satisfait à l'équation y = 3.

La figure 29 montre des droites qui satisfont aux équations y = - 4 (droite l 1), y = - 1 (droite I 2), y = 3,5 (droite I 3) - Et quelle droite satisfait l'équation y = 01 L'avez-vous deviné ? axe x

Notez que les mathématiciens, en quête de concision, disent « la droite x = 4 », et non « la droite satisfaisant l'équation x = 4 ». De même, ils disent « la droite y = 3 » plutôt que « la droite satisfaisant l’équation y = 3 ». Nous ferons de même. Revenons maintenant à la figure 21. Veuillez noter que le point M (- 1,5 ; 2), qui y est représenté, est le point d'intersection de la droite x = -1,5 et de la droite y = 2. Maintenant, apparemment, l'algorithme de construction du point sera clair en fonction de ses coordonnées données.

Algorithme de construction du point M (a; b) dans un système de coordonnées rectangulaires xOy

EXEMPLE Dans le système de coordonnées xOy, construisez les points : A (1 ; 3), B (- 2 ; 1), C (4 ; 0), D (0 ; - 3).

Solution. Le point A est le point d'intersection des droites x = 1 et y = 3 (voir Fig. 30).

Le point B est le point d'intersection des droites x = - 2 et y = 1 (Fig. 30). Le point C appartient à l'axe des x et le point D appartient à l'axe des y (voir Fig. 30).

A la fin de la section, on note que pour la première fois, le système de coordonnées rectangulaires sur un plan a commencé à être activement utilisé pour remplacer le système algébrique des modèles philosophe géométrique français René Descartes (1596-1650). C'est pourquoi on dit parfois « système de coordonnées cartésiennes », « coordonnées cartésiennes ».

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A. V. Pogorelov, Géométrie pour les classes 7 à 11, Manuel pour les établissements d'enseignement

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Place de la leçon dans le thème général :

Thème général "Nombres positifs et négatifs"

Il s'agit d'une leçon sur le thème "Coordonnées"

• les élèves connaissent les définitions de positif et nombres négatifs
• les élèves connaissent le concept de ligne de coordonnées
• sont capables de déterminer les coordonnées de points sur une ligne de coordonnées
• sont capables de marquer des points sur une ligne de coordonnées en fonction de coordonnées données

Objectifs de la leçon:

1) pédagogique :

• introduire la notion de coordonnées
• introduire le concept de système de coordonnées, d'axes de coordonnées et de plan de coordonnées
• introduire la notion de coordonnées de points : abscisse et ordonnée
• apprendre à déterminer les coordonnées des points
• apprendre à marquer des points sur le plan de coordonnées en fonction de ses coordonnées données
• consolider les connaissances acquises lors des exercices

2) développer :

• créer une motivation positive chez les étudiants pour effectuer des actions mentales et pratiques
• développement des compétences communicatives et informationnelles des étudiants
• contribuer à développer l’intérêt des élèves non seulement pour le contenu, mais aussi pour le processus d’acquisition des connaissances
• développer la capacité d'appliquer les connaissances acquises dans situation spécifique
• développer pensée logique, mémoire, indépendance

3) élever :

1. inculquer aux élèves un sentiment de satisfaction quant à la possibilité de montrer leurs connaissances en classe non seulement en mathématiques, mais également dans d'autres domaines des connaissances scolaires
2. développer un intérêt pour l’étude des mathématiques
3. élargir les horizons mentaux des élèves, aider les écoliers à mieux comprendre le rôle des mathématiques dans l'histoire de la société
4. favoriser la discipline et l’organisation

Type de cours : leçon d'apprentissage de nouvelles connaissances

Conformément au type de cours, les étapes suivantes du cours ont été sélectionnées

• Organisation du temps
• mise à jour
• préparation à l'assimilation active et consciente de nouveau matériel
• apprendre du nouveau matériel
• exercices de compréhension
• généralisation et systématisation des connaissances
• résumé de la leçon
• annonce de devoirs

Pendant les cours

I. Moment organisationnel.

Salutations. Fixer des objectifs à long terme pour les étudiants sur le sujet et les objectifs de la leçon.

II. Travail oral

Destiné à préparer les étudiants à l’apprentissage actif et conscient de nouveaux matériaux.

Coordonnées dans situations de vie sont très largement utilisés.

1. Donnez des exemples de la façon dont les coordonnées sont utilisées dans la vie.

2. Inviter les élèves à donner la notion de coordonnées à partir des exemples discutés.

III. Apprendre du nouveau matériel.

1. Présentez le concept de système de coordonnées et de plan de coordonnées.

Les élèves sont invités à regarder le dessin et à dire ce qu'il montre ou à répondre à des questions.

Pouvons-nous dire que la figure montre des lignes de coordonnées ? Pourquoi?

À quel angle ces lignes sont-elles situées les unes par rapport aux autres ?

Caractérisez le point d’intersection de ces droites.

Que vous rappelle l’enregistrement ? En quoi cela diffère-t-il de l’écriture des coordonnées d’un point sur une ligne de coordonnées ?

Sous quel angle les flèches sont-elles tracées du point A aux lignes de coordonnées et ?

Quelle est la relation entre les points des lignes de coordonnées pointées par les flèches et la notation ?

Écoutez les réponses des élèves. Tirer des conclusions et introduire le concept de système de coordonnées, d'axes de coordonnées, de plan de coordonnées, de coordonnées de points.

Les coordonnées d'un point sont une paire de nombres par lesquels la position du point sur le plan est déterminée, où l'abscisse est en premier lieu et l'ordonnée de ce point est en deuxième lieu.

2. Entrez une règle qui vous permet de déterminer les coordonnées des points spécifiés.

Les élèves sont invités à regarder le dessin et à déterminer les coordonnées des points marqués.

Demander aux élèves de formuler une règle qui leur permet de déterminer les coordonnées d'un point. Répète.

Pour déterminer les coordonnées d'un point, vous devez abaisser les perpendiculaires du point sur les axes de coordonnées et déterminer à quel nombre sur l'axe des coordonnées correspond la base de la perpendiculaire.

Pour renforcer cette règle, les élèves sont invités à déterminer indépendamment les coordonnées des points marqués du plan de coordonnées affiché à l'écran. Et puis vérifiez votre solution avec ce qui est à l'écran.

3. Détermination de la position d'un point sur le plan de coordonnées à l'aide de coordonnées connues.

Les étudiants reçoivent un point avec des coordonnées données. La tâche consiste à déterminer la position d'un point sur le plan de coordonnées à l'aide de coordonnées connues.

Formulez une règle qui vous permet de déterminer la position d'un point sur le plan de coordonnées.

Pour déterminer la position d'un point sur le plan de coordonnées, vous devez tracer des lignes droites perpendiculaires aux axes et trouver le point de leur intersection.

IV. Consolidation du matériel étudié.

1. Les élèves sont invités à construire un plan de coordonnées dans leur cahier et à marquer des points avec les coordonnées indiquées, suivi d'une vérification.

2. Réservez un emploi. Trouvez l'aire d'un rectangle si les coordonnées de ses sommets sont connues.

V. Résumer la leçon. Classement.

Qu'avez-vous appris de nouveau en classe aujourd'hui ? Qu'as-tu appris?

Avec quels concepts vous êtes-vous familiarisé ?

Quelles règles as-tu apprises aujourd’hui ?

VI. Devoirs.

Tâche pratique : Dessinez un système de coordonnées sur une feuille de papier quadrillé, en prenant des segments simples de 1 cm de long (deux carrés de cahier). Marquez dix points au hasard sans indiquer leurs coordonnées.

Comprendre le plan de coordonnées

Chaque objet (par exemple, une maison, une place dans l'auditorium, un point sur la carte) a sa propre adresse ordonnée (coordonnées), qui a une désignation numérique ou alphabétique.

Les mathématiciens ont développé un modèle qui permet de déterminer la position d'un objet et s'appelle avion coordonné.

Pour construire un plan de coordonnées, vous devez tracer des lignes droites perpendiculaires $2$, au bout desquelles les directions « vers la droite » et « vers le haut » sont indiquées à l'aide de flèches. Des divisions sont appliquées aux lignes et le point d'intersection des lignes est le zéro pour les deux échelles.

Définition 1

La ligne horizontale s'appelle axe x et est noté x, et la ligne verticale est appelée axe y et est noté y.

Deux axes perpendiculaires x et y avec divisions constituent rectangulaire, ou cartésien, système de coordonnées, proposé par le philosophe et mathématicien français René Descartes.

Avion coordonné

Coordonnées des points

Un point sur un plan de coordonnées est défini par deux coordonnées.

Pour déterminer les coordonnées du point $A$ sur le plan de coordonnées, vous devez tracer des lignes droites qui seront parallèles aux axes de coordonnées (indiqués par une ligne pointillée sur la figure). L'intersection de la ligne avec l'axe des x donne la coordonnée $x$ du point $A$, et l'intersection avec l'axe des y donne la coordonnée y du point $A$. Lors de l'écriture des coordonnées d'un point, la coordonnée $x$ est d'abord écrite, puis la coordonnée $y$.

Le point $A$ sur la figure a les coordonnées $(3 ; 2)$ et le point $B (–1 ; 4)$.

Pour tracer un point sur le plan de coordonnées, procédez dans l'ordre inverse.

Construire un point à des coordonnées spécifiées

Exemple 1

Sur le plan de coordonnées, construisez les points $A(2;5)$ et $B(3; –1).$

Solution.

Construction du point $A$ :

• placez le nombre $2$ sur l'axe $x$ et tracez une ligne perpendiculaire ;
• Sur l'axe des y, nous traçons le nombre $5$ et traçons une ligne droite perpendiculaire à l'axe $y$. A l'intersection des droites perpendiculaires on obtient le point $A$ de coordonnées $(2; 5)$.

Construction du point $B$ :

• Traçons le nombre $3$ sur l'axe $x$ et traçons une ligne droite perpendiculaire à l'axe x ;
• Sur l'axe $y$, nous traçons le nombre $(–1)$ et traçons une ligne droite perpendiculaire à l'axe $y$. A l'intersection des droites perpendiculaires on obtient le point $B$ de coordonnées $(3; –1)$.

Exemple 2

Construisez des points sur le plan de coordonnées avec les coordonnées données $C (3; 0)$ et $D(0; 2)$.

Solution.

Construction du point $C$ :

• mettez le nombre $3$ sur l'axe $x$ ;
• la coordonnée $y$ est égale à zéro, ce qui signifie que le point $C$ se trouvera sur l'axe $x$.

Construction du point $D$ :

• mettez le nombre $2$ sur l'axe $y$ ;
• la coordonnée $x$ est égale à zéro, ce qui signifie que le point $D$ se trouvera sur l'axe $y$.

Note 1

Par conséquent, à la coordonnée $x=0$, le point se trouvera sur l'axe $y$, et à la coordonnée $y=0$, le point se trouvera sur l'axe $x$.

Exemple 3

Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D.$

Solution.

Déterminons les coordonnées du point $A$. Pour ce faire, on trace des lignes droites passant par ce point $2$ qui seront parallèles aux axes de coordonnées. L'intersection de la ligne avec l'axe des x donne la coordonnée $x$, l'intersection de la ligne avec l'axe des y donne la coordonnée $y$. Ainsi, on obtient que le point $A (1; 3).$

Déterminons les coordonnées du point $B$. Pour ce faire, on trace des lignes droites passant par ce point $2$ qui seront parallèles aux axes de coordonnées. L'intersection de la ligne avec l'axe des x donne la coordonnée $x$, l'intersection de la ligne avec l'axe des y donne la coordonnée $y$. Nous trouvons ce point $B (–2; 4).$

Déterminons les coordonnées du point $C$. Parce que il est situé sur l'axe $y$, alors la coordonnée $x$ de ce point est nulle. La coordonnée y est $–2$. Ainsi, pointez $C (0; –2)$.

Déterminons les coordonnées du point $D$. Parce que c'est sur l'axe $x$, alors la coordonnée $y$ est nulle. La coordonnée $x$ de ce point est $–5$. Ainsi, le point $D (5 ; 0).$

Exemple 4

Construire les points $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Solution.

Construction du point $E$ :

• placez le nombre $(–3)$ sur l'axe $x$ et tracez une ligne perpendiculaire ;
• sur l'axe $y$, nous traçons le nombre $(–2)$ et traçons une ligne perpendiculaire à l'axe $y$ ;
• à l'intersection des droites perpendiculaires on obtient le point $E (–3; –2).$

Construction du point $F$ :

• coordonnée $y=0$, ce qui signifie que le point se trouve sur l'axe $x$ ;
• Traçons le nombre $5$ sur l'axe $x$ et obtenons le point $F(5; 0).$

Construction du point $G$ :

• placez le nombre $3$ sur l'axe $x$ et tracez une ligne perpendiculaire à l'axe $x$ ;
• sur l'axe $y$, nous traçons le nombre $4$ et traçons une ligne perpendiculaire à l'axe $y$ ;
• à l'intersection des droites perpendiculaires on obtient le point $G(3; 4).$

Construction du point $H$ :

• coordonnée $x=0$, ce qui signifie que le point se trouve sur l'axe $y$ ;
• Traçons le nombre $(–4)$ sur l'axe $y$ et obtenons le point $H(0;–4).$

Construction du point $O$ :

• les deux coordonnées du point sont égales à zéro, ce qui signifie que le point se trouve simultanément à la fois sur l'axe $y$ et sur l'axe $x$, c'est donc le point d'intersection des deux axes (l'origine des coordonnées).

Un système de coordonnées rectangulaires sur un plan est formé de deux axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires X'X et Y'Y. Les axes de coordonnées se coupent au point O, appelé origine, une direction positive est sélectionnée sur chaque axe. La direction positive des axes (dans un système de coordonnées droitier) est choisie de telle sorte que lorsque l'axe X'X est tourné de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, sa direction positive coïncide avec la direction positive de l'axe Y'Y. Les quatre angles (I, II, III, IV) formés par les axes de coordonnées X'X et Y'Y sont appelés angles de coordonnées (voir Fig. 1).

La position du point A sur le plan est déterminée par deux coordonnées x et y. La coordonnée x est égale à la longueur du segment OB, la coordonnée y est égale à la longueur du segment OC dans les unités de mesure sélectionnées. Les segments OB et OC sont définis par des lignes tracées à partir du point A parallèlement aux axes Y'Y et X'X, respectivement. La coordonnée x est appelée abscisse du point A, la coordonnée y est appelée ordonnée du point A. Elle s'écrit ainsi : A(x, y).

Si le point A se trouve dans l'angle de coordonnées I, alors le point A a une abscisse et une ordonnée positives. Si le point A se trouve dans l'angle de coordonnées II, alors le point A a une abscisse négative et une ordonnée positive. Si le point A se trouve dans l'angle de coordonnées III, alors le point A a une abscisse et une ordonnée négatives. Si le point A se trouve dans l'angle de coordonnées IV, alors le point A a une abscisse positive et une ordonnée négative.

Système de coordonnées rectangulaires dans l'espace est formé de trois axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires OX, OY et OZ. Les axes de coordonnées se coupent au point O, appelé origine, sur chaque axe une direction positive est sélectionnée, indiquée par des flèches, et une unité de mesure pour les segments sur les axes. Les unités de mesure sont les mêmes pour tous les axes. OX - axe des abscisses, OY - axe des ordonnées, OZ - axe appliqué. Le sens positif des axes est choisi de telle sorte que lorsque l'axe OX tourne de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, son sens positif coïncide avec le sens positif de l'axe OY, si cette rotation est observée depuis le sens positif de l'axe OZ. Un tel système de coordonnées est dit droitier. Si le pouce main droite prenez la direction X comme direction X, celle de l'index comme direction Y et celle du milieu comme direction Z, puis un système de coordonnées droitier est formé. Des doigts similaires de la main gauche forment le système de coordonnées gauche. Il est impossible de combiner les systèmes de coordonnées droite et gauche pour que les axes correspondants coïncident (voir Fig. 2).

La position du point A dans l'espace est déterminée par trois coordonnées x, y et z. La coordonnée x est égale à la longueur du segment OB, la coordonnée y est la longueur du segment OC, la coordonnée z est la longueur du segment OD dans les unités de mesure sélectionnées. Les segments OB, OC et OD sont définis par des plans tirés du point A parallèles aux plans YOZ, XOZ et XOY respectivement. La coordonnée x est appelée l'abscisse du point A, la coordonnée y est appelée l'ordonnée du point A, la coordonnée z est appelée l'appliquée du point A. Elle s'écrit comme suit : A(a, b, c).

Orty

Un système de coordonnées rectangulaires (de n'importe quelle dimension) est également décrit par un ensemble de vecteurs unitaires alignés avec les axes de coordonnées. Le nombre de vecteurs unitaires est égal à la dimension du système de coordonnées et ils sont tous perpendiculaires les uns aux autres.

Dans le cas tridimensionnel, ces vecteurs unitaires sont généralement notés je j k ou e X e oui e z. Dans ce cas, dans le cas d'un système de coordonnées droitier, les formules suivantes avec le produit vectoriel des vecteurs sont valables :

• [je j]=k ;
• [j k]=je ;
• [k je]=j .

Histoire

Le système de coordonnées rectangulaires a été introduit pour la première fois par René Descartes dans son ouvrage « Discours sur la méthode » en 1637. Par conséquent, le système de coordonnées rectangulaires est également appelé - système de coordonnées cartésiennes. La méthode des coordonnées pour décrire les objets géométriques a marqué le début de la géométrie analytique. Pierre Fermat a également contribué au développement de la méthode des coordonnées, mais ses travaux ont été publiés pour la première fois après sa mort. Descartes et Fermat ont utilisé la méthode des coordonnées uniquement sur le plan.

Méthode de coordonnées pour espace tridimensionnel a été utilisé pour la première fois par Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

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Liens

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