Il n’y a pas beaucoup de gens dans le monde qui n’en ont jamais entendu parler Le dernier théorème de Fermat- C'est peut-être le seul problème mathématique qui soit devenu aussi largement connu et devenu une véritable légende. Il est mentionné dans de nombreux livres et films, et le contexte principal de presque toutes les références est impossibilité de prouver le théorème.

Oui, ce théorème est très connu et, dans un sens, est devenu une « idole » vénérée par les mathématiciens amateurs et professionnels, mais peu de gens savent que sa preuve a été trouvée, et cela s'est produit en 1995. Mais tout d’abord.

Ainsi, le dernier théorème de Fermat (souvent appelé dernier théorème de Fermat), formulé en 1637 par un brillant mathématicien français Pierre Fermat, est très simple dans son essence et compréhensible pour toute personne ayant fait des études secondaires. Il dit que la formule a n + b n = c n n'a pas de solutions naturelles (c'est-à-dire non fractionnaires) pour n > 2. Tout semble simple et clair, mais les meilleurs mathématiciens et amateurs ordinaires ont du mal à trouver une solution depuis plus de trois siècles et demi.

Fermat lui-même a affirmé avoir obtenu une preuve très simple et concise de sa théorie, mais aucune preuve documentaire de ce fait n'a encore été trouvée. On pense donc aujourd’hui que Je n'ai pas trouvé la ferme solution générale son théorème, bien qu'une preuve particulière pour n = 4 soit venue de sa plume.

Après Fermat, de grands esprits comme Léonard Euler(en 1770 il proposa une solution pour n = 3), Adrien Legendre et Johann Dirichlet(ces scientifiques ont trouvé conjointement une preuve pour n = 5 en 1825), Gabriel Lamé(qui a trouvé la preuve pour n = 7) et bien d'autres. Au milieu des années 1980, il devint évident que monde scientifique est en route vers une solution finale

Cependant, ce n'est qu'en 1993 que les mathématiciens ont vu et cru que l'épopée de trois siècles consistant à trouver une preuve du dernier théorème de Fermat était pratiquement terminée.

En 1993, un mathématicien anglais Andrew Wiles a présenté au monde son preuve du dernier théorème de Fermat, dont les travaux ont duré plus de sept ans. Mais il s'est avéré que cette décision contient une erreur grossière, même si en général elle est correcte. Wiles n'a pas abandonné, a fait appel au célèbre spécialiste de la théorie des nombres Richard Taylor, et déjà en 1994, ils ont publié une preuve corrigée et développée du théorème. Le plus étonnant est que ce travail a occupé jusqu'à 130 (!) pages dans la revue mathématique « Annals of Mathematics ». Mais l'histoire ne s'est pas arrêtée là non plus - le point final n'a été atteint que l'année suivante, 1995, lorsque la version finale et « idéale », d'un point de vue mathématique, de la preuve a été publiée.

Beaucoup de temps s'est écoulé depuis ce moment, mais il existe toujours dans la société une opinion selon laquelle le dernier théorème de Fermat est insoluble. Mais même ceux qui connaissent la preuve trouvée continuent de travailler dans cette direction - peu sont convaincus que le Grand Théorème nécessite une solution de 130 pages ! Par conséquent, maintenant les efforts de nombreux mathématiciens (pour la plupart des amateurs et non des scientifiques professionnels) sont consacrés à la recherche d'une preuve simple et concise, mais ce chemin, très probablement, ne mènera nulle part...

Grigori Perelman. refusnik

Vassili Maksimov

En août 2006, les noms des meilleurs mathématiciens de la planète ont été annoncés, qui ont reçu la prestigieuse médaille Fields - une sorte d'analogue du prix Nobel, dont les mathématiciens, au gré d'Alfred Nobel, ont été privés. La Médaille Fields - en plus d'un insigne d'honneur, les gagnants reçoivent un chèque de quinze mille dollars canadiens - est décernée par le Congrès international des mathématiciens tous les quatre ans. Il a été créé par le scientifique canadien John Charles Fields et a été décerné pour la première fois en 1936. Depuis 1950, la médaille Fields est régulièrement décernée personnellement par le roi d'Espagne pour sa contribution au développement de la science mathématique. Les lauréats peuvent être de un à quatre scientifiques âgés de moins de quarante ans. Quarante-quatre mathématiciens, dont huit Russes, ont déjà reçu ce prix.

Grigori Perelman. Henri Poincaré.

En 2006, les lauréats étaient le Français Wendelin Werner, l'Australien Terence Tao et deux Russes - Andrey Okunkov travaillant aux États-Unis et Grigory Perelman, un scientifique de Saint-Pétersbourg. Cependant, au dernier moment, on a appris que Perelman avait refusé cette prestigieuse récompense - comme l'ont annoncé les organisateurs, "pour des raisons de principe".

Un acte aussi extravagant de la part du mathématicien russe n’a pas surpris ceux qui le connaissaient. Ce n'est pas la première fois qu'il refuse des récompenses mathématiques, expliquant sa décision en disant qu'il n'aime pas les cérémonies et le battage médiatique inutile autour de son nom. Il y a dix ans, en 1996, Perelman a refusé le prix du Congrès mathématique européen, invoquant le fait qu'il n'avait pas terminé les travaux sur le problème scientifique nominé pour le prix, et ce n'était pas le dernier cas. Le mathématicien russe semblait avoir pour objectif de surprendre les gens, à contre-courant de l’opinion publique et de la communauté scientifique.

Grigori Yakovlevich Perelman est né le 13 juin 1966 à Léningrad. Dès mon plus jeune âge, je me suis intéressé sciences exactes, diplômé avec distinction du célèbre 239e lycée avec une étude approfondie des mathématiques, a remporté de nombreuses Olympiades de mathématiques : par exemple, en 1982, au sein d'une équipe d'écoliers soviétiques, il a participé à l'Olympiade internationale de mathématiques, organisée à Budapest. Sans examens, Perelman a été inscrit à la Faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université de Léningrad, où il a étudié avec d'excellentes notes, continuant à remporter des concours de mathématiques à tous les niveaux. Après avoir obtenu son diplôme universitaire avec mention, il est entré aux études supérieures à la branche de Saint-Pétersbourg de l'Institut mathématique Steklov. Son directeur scientifique était le célèbre mathématicien académicien Alexandrov. Après avoir soutenu sa thèse de doctorat, Grigori Perelman est resté à l'institut, dans le laboratoire de géométrie et de topologie. Ses travaux sur la théorie des espaces d'Alexandrov sont connus ; il a pu trouver des preuves d'un certain nombre de conjectures importantes. Malgré les nombreuses offres des grandes universités occidentales, Perelman préfère travailler en Russie.

Son succès le plus notable fut la solution en 2002 de la célèbre conjecture de Poincaré, publiée en 1904 et restée non prouvée depuis. Perelman y a travaillé pendant huit ans. La conjecture de Poincaré était considérée comme l'un des plus grands mystères mathématiques et sa solution était considérée comme la réalisation scientifique la plus importante. science mathématique: il fera instantanément avancer la recherche sur les problèmes des fondements physiques et mathématiques de l'univers. Les esprits les plus éminents de la planète n'ont prédit sa solution que dans quelques décennies, et le Clay Institute of Mathematics de Cambridge, Massachusetts, a inclus le problème de Poincaré parmi les sept problèmes mathématiques non résolus les plus intéressants du millénaire, pour la solution de chacun desquels un prix d'un million de dollars était promis (Millennium Prize Problems).

La conjecture (parfois appelée le problème) du mathématicien français Henri Poincaré (1854-1912) est formulée comme suit : tout espace tridimensionnel fermé simplement connecté est homéomorphe à une sphère tridimensionnelle. Pour clarifier, utilisez un exemple clair : si vous enveloppez une pomme avec un élastique, alors, en principe, en serrant le ruban, vous pouvez comprimer la pomme en une pointe. Si vous enveloppez un beignet avec le même ruban adhésif, vous ne pouvez pas le comprimer jusqu'à un certain point sans déchirer ni le beignet ni le caoutchouc. Dans ce contexte, une pomme est appelée une figure « simplement connectée », mais un beignet n’est pas simplement connecté. Il y a près de cent ans, Poincaré établissait qu'une sphère bidimensionnelle est simplement connectée et suggérait qu'une sphère tridimensionnelle était également simplement connectée. Les meilleurs mathématiciens du monde n’ont pas pu prouver cette hypothèse.

Pour se qualifier pour le Clay Institute Prize, Perelman n'avait qu'à publier sa solution dans l'une des revues scientifiques, et si dans deux ans personne ne trouvait d'erreur dans ses calculs, alors la solution serait considérée comme correcte. Cependant, Perelman s'est écarté des règles dès le début en publiant sa décision sur le site Web de prépublication du laboratoire scientifique de Los Alamos. Peut-être avait-il peur qu'une erreur se soit glissée dans ses calculs - une histoire similaire s'était déjà produite en mathématiques. En 1994, le mathématicien anglais Andrew Wiles a proposé une solution au célèbre théorème de Fermat, et quelques mois plus tard, il s'est avéré qu'une erreur s'était glissée dans ses calculs (bien qu'elle ait été corrigée par la suite et que la sensation ait toujours eu lieu). Il n’existe pas encore de publication officielle de la preuve de la conjecture de Poincaré, mais il existe une opinion faisant autorité des meilleurs mathématiciens de la planète confirmant l’exactitude des calculs de Perelman.

La médaille Fields a été décernée à Grigory Perelman précisément pour avoir résolu le problème Poincaré. Mais le scientifique russe a refusé le prix qu’il mérite sans aucun doute. "Gregory m'a dit qu'il se sent isolé de la communauté mathématique internationale, en dehors de cette communauté, et qu'il ne veut donc pas recevoir ce prix", a déclaré l'Anglais John Ball, président de l'Union mondiale des mathématiciens (WUM), lors d'une conférence de presse à Londres. Madrid.

Il y a des rumeurs selon lesquelles Grigori Perelman serait sur le point d'abandonner complètement la science : il y a six mois, il a démissionné de son institut mathématique Steklov natal, et on dit qu'il n'étudiera plus les mathématiques. Peut-être que le scientifique russe pense qu'en prouvant la célèbre hypothèse, il a fait tout ce qu'il pouvait pour la science. Mais qui entreprendra de discuter de la pensée d’un scientifique aussi brillant et d’une personne aussi extraordinaire ? Perelman refuse tout commentaire et a déclaré au journal The Daily Telegraph : « Rien de ce que je peux dire n’est du moindre intérêt public. » Cependant, les principales publications scientifiques ont été unanimes dans leurs évaluations lorsqu'elles ont rapporté que "Grigori Perelman, après avoir résolu le théorème de Poincaré, était à égalité avec les plus grands génies du passé et du présent".

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Puisque peu de gens ont une pensée mathématique, je vais vous parler du plus grand découverte scientifique– une preuve élémentaire du dernier théorème de Fermat – dans le langage scolaire le plus compréhensible.

La preuve a été trouvée pour un cas particulier (pour un degré simple n>2), auquel (et au cas n=4) tous les cas à n composé peuvent facilement se réduire.

Nous devons donc prouver que l’équation A^n=C^n-B^n n’a pas de solution en nombres entiers. (Ici, le signe ^ signifie degré.)

La preuve est effectuée dans un système numérique à base simple n. Dans ce cas, les derniers chiffres de chaque table de multiplication ne sont pas répétés. Dans le système décimal habituel, la situation est différente. Par exemple, en multipliant le nombre 2 par 1 et 6, les deux produits - 2 et 12 - se terminent par les mêmes chiffres (2). Et, par exemple, dans le système septénaire pour le nombre 2, tous les derniers chiffres sont différents : 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, avec un ensemble de derniers chiffres 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Grâce à cette propriété, pour tout nombre A qui ne se termine pas par zéro (et dans l'égalité de Fermat, le dernier chiffre des nombres A, ou B, après avoir divisé l'égalité par diviseur commun les nombres A, B, C ne sont pas égaux à zéro), vous pouvez choisir un facteur g tel que le nombre Ag ait une terminaison arbitrairement longue de la forme 000...001. C’est par ce nombre g qu’on multiplie tous les nombres de base A, B, C dans l’égalité de Fermat. Dans ce cas, nous ferons en sorte que la fin de l'unité soit assez longue, à savoir deux chiffres plus longs que le nombre (k) de zéros à la fin du nombre U=A+B-C.

Le nombre U n'est pas égal à zéro - sinon C=A+B et A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

C’est en fait toute la préparation de l’égalité de Fermat pour une brève et dernière étude. La seule chose que nous ferons est de réécrire le membre droit de l’égalité de Fermat – C^n-B^n – en utilisant la formule de décomposition scolaire : C^n-B^n=(C-B)P, ou aP. Et puisque plus loin nous opérerons (multiplier et additionner) uniquement avec les chiffres des terminaisons (k+2) chiffres des nombres A, B, C, alors nous ne pouvons pas prendre en compte leurs parties principales et simplement les rejeter (en laissant un seul fait en mémoire : le côté gauche de l'égalité de Fermat est une PUISSANCE).

La seule chose qui mérite d’être mentionnée, ce sont les derniers chiffres des nombres a et P. Dans l’égalité originelle de Fermat, le nombre P se termine par le chiffre 1. Cela découle de la formule du petit théorème de Fermat, que l’on retrouve dans les ouvrages de référence. Et après avoir multiplié l'égalité de Fermat par le nombre g^n, le nombre P est multiplié par le nombre g à la puissance n-1, qui, selon le petit théorème de Fermat, se termine également par le nombre 1. Donc dans la nouvelle égalité de Fermat équivalente , le nombre P se termine par 1. Et si A se termine par 1, alors A^n se termine également par 1 et, par conséquent, le nombre a se termine également par 1.

Nous avons donc une situation de départ : les derniers chiffres A, a, P des nombres A, a, P se terminent par le chiffre 1.

Et bien commence alors une opération mignonne et passionnante, appelée de préférence « moulin » : en introduisant en considération les nombres suivants a"", a""" et ainsi de suite, les nombres a, on calcule extrêmement « facilement » qu'ils sont tous également égal à zéro ! Mot que j'ai mis « facile » entre guillemets, car l'humanité n'a pas pu trouver la clé de ce « facile » pendant 350 ans ! ^(k+2). Cela ne vaut pas la peine de prêter attention au deuxième terme de cette somme - après tout, dans la preuve supplémentaire, nous avons écarté tous les chiffres après le (k+2)ième dans les nombres (et cela simplifie radicalement l'analyse) ! Ainsi, après avoir écarté les numéros de pièces principaux, l'égalité de Fermat prend la forme : ...1 =aq^(n-1), où a et q ne sont pas des nombres, mais juste les terminaisons des nombres a et q ! (Je n'introduis pas de nouvelles notations, car cela rend la lecture difficile.)

La dernière question philosophique demeure : pourquoi le nombre P peut-il être représenté par P=q^(n-1)+Qn^(k+2) ? La réponse est simple : car tout entier P terminé par 1 peut être représenté sous cette forme, et IDENTIQUEMENT. (Cela peut être représenté de bien d’autres manières, mais nous n’en avons pas besoin.) En effet, pour P=1 la réponse est évidente : P=1^(n-1). Pour Р=hn+1, le nombre q=(n-h)n+1, qui est facile à vérifier en résolvant l'équation [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 en utilisant un nombre à deux chiffres fins. Et ainsi de suite (mais nous n’avons pas besoin de calculs supplémentaires, puisqu’il nous suffit de représenter des nombres de la forme P=1+Qn^t).

Phew! Eh bien, la philosophie est terminée, vous pouvez passer aux calculs au niveau de la deuxième année, peut-être simplement vous rappeler une fois de plus la formule binomiale de Newton.

Alors, introduisons le nombre a"" (dans le nombre a=a""n+1) et utilisons-le pour calculer le nombre q"" (dans le nombre q=q""n+1) :
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), ou...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], d'où q""=a"".

Et maintenant, le côté droit de l’égalité de Fermat peut être réécrit comme suit :
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), où la valeur du nombre D ne nous intéresse pas.

Nous arrivons maintenant à la conclusion décisive. Le nombre a""n+1 est la terminaison à deux chiffres du nombre A et, PAR CONSÉQUENT, selon un lemme simple, détermine UNIQUEMENT le TROISIÈME chiffre du degré A^n. Et de plus, à partir de l'expansion du binôme de Newton
(a""n+1)^n, en tenant compte qu'à chaque terme de l'expansion (sauf le premier, qui ne peut pas changer le temps !) on ajoute un SIMPLE facteur n (la base numérique !), c'est clair que ce troisième chiffre est égal à un"" . Mais en multipliant l'égalité de Fermat par g^n, nous avons transformé k+1 chiffres avant le dernier 1 du nombre A en 0. Et, par conséquent, a""=0 !!!

Ainsi, nous avons bouclé le cycle : après avoir entré a"", nous avons trouvé que q""=a"", et finalement a""=0!

Bon, il reste à dire qu'après avoir effectué des calculs complètement similaires et les k chiffres suivants, on obtient l'égalité finale : la terminaison (k + 2) chiffres du nombre a, ou C-B, tout comme le nombre A, est égale à 1. Mais alors le (k+2)ième chiffre du nombre C-A-B est ÉGAL à zéro, alors qu'il n'est PAS ÉGAL à zéro !!!

C’est en fait toute la preuve. Pour le comprendre, il n’est pas du tout nécessaire d’avoir une formation supérieure et, surtout, d’être mathématicien professionnel. Pourtant, les professionnels restent silencieux…

Le texte lisible de la preuve complète se trouve ici :

Commentaires

Bonjour Victor. J'ai aimé votre CV. « Ne laissez pas mourir avant la mort » sonne bien sûr bien. Pour être honnête, j’ai été abasourdi par ma rencontre avec le théorème de Fermat en prose ! A-t-elle sa place ici ? Il existe des sites scientifiques, de vulgarisation scientifique et de théière. Sinon, merci pour votre travail littéraire.
Cordialement, Anya.

Chère Anya, malgré la censure assez stricte, Prose permet d'écrire SUR TOUT. La situation avec le théorème de Fermat est la suivante : les grands forums mathématiques traitent les Fermatistes de travers, avec grossièreté, et en général les traitent du mieux qu’ils peuvent. Cependant, j'ai présenté la dernière version de la preuve dans de petits forums russes, anglais et français. Personne n’a encore avancé d’arguments contraires et, j’en suis sûr, personne n’en avancera aucun (les preuves ont été soigneusement vérifiées). Samedi, je publierai une note philosophique sur le théorème.
Il n'y a presque pas de rustres en prose, et si vous ne traînez pas avec eux, ils tomberont bientôt.
Presque toutes mes œuvres sont présentées en prose, j'ai donc également inclus la preuve ici.
À plus tard,

Déposer FERMA-KDVar © N.M. Koziy, 2008

Certificat de l'Ukraine n° 27312

BRÈVE PREUVE DU Dernier Théorème de FERmat

Le dernier théorème de Fermat est formulé comme suit : Équation diophantienne (http://soluvel.okis.ru/evrika.html) :

UN n +B n =C n * /1/

Où n- un entier positif supérieur à deux n'a pas de solution en entiers nombres positifs UN , B , AVEC .

PREUVE

De la formulation du dernier théorème de Fermat il résulte : si n est un entier positif supérieur à deux, alors à condition que deux des trois nombres UN , DANS ou AVEC- des entiers positifs, un de ces nombres n'est pas un entier positif.

Nous construisons la preuve sur la base du théorème fondamental de l’arithmétique, appelé « théorème de factorisation unique » ou « théorème d’unicité de factorisation d’entiers composés ». Les exposants impairs et pairs sont possibles n . Considérons les deux cas.

1. Premier cas : exposant n - nombre impair.

Dans ce cas, l'expression /1/ est transformée selon les formules connues comme suit :

UN n + DANS n = AVEC n /2/

Nous croyons cela UN Et B– des entiers positifs.

Nombres UN , DANS Et AVEC doivent être des nombres premiers entre eux.

De l'équation /2/ il s'ensuit que pour des valeurs données de nombres UN Et B facteur ( UN + B ) n , AVEC.

Supposons que le nombre AVEC - entier positif. Compte tenu des conditions acceptées et du théorème fondamental de l'arithmétique, la condition doit être satisfaite :

AVEC n = UNE n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

où est le facteur Dn D

De l’équation /3/ il résulte :

De l'équation /3/, il s'ensuit également que le nombre [ CN = Un + Bn ] à condition que le numéro AVEC ( UN + B ) n. Or, on sait que :

Un + Bn < ( UN + B ) n /5/

Ainsi:

- un nombre fractionnaire inférieur à un. /6/

Un nombre fractionnaire.

n

Pour les exposants impairs n >2 nombre:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

De l’analyse de l’équation /2/ il résulte que pour un exposant impair n nombre:

AVEC n = UN n + DANS n = (A+B)

se compose de deux facteurs algébriques spécifiques, et pour toute valeur de l'exposant n le facteur algébrique reste inchangé ( UN + B ).

Ainsi, le dernier théorème de Fermat n'a pas de solution en nombres entiers positifs pour les exposants impairs n >2.

2. Deuxième cas : exposant n - nombre pair .

L'essence du dernier théorème de Fermat ne changera pas si l'on réécrit l'équation /1/ comme suit :

Un = CN - Bn /7/

Dans ce cas, l'équation /7/ est transformée comme suit :

UNE n = C n - B n = ( AVEC +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Nous acceptons que AVEC Et DANS- des nombres entiers.

De l'équation /8/ il s'ensuit que pour des valeurs données de nombres B Et C facteur (C+ B ) a la même valeur pour n'importe quelle valeur de l'exposant n , c'est donc un diviseur du nombre UN .

Supposons que le nombre UN- un nombre entier. Compte tenu des conditions acceptées et du théorème fondamental de l'arithmétique, la condition doit être satisfaite :

UN n =C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/

où est le facteur Dn doit être un entier et donc le nombre D doit également être un entier.

De l’équation /9/ il résulte :

/10/

De l'équation /9/, il s'ensuit également que le nombre [ UN n = AVEC n - Bn ] à condition que le numéro UN– un nombre entier, doit être divisible par un nombre (C+ B ) n. Or, on sait que :

AVEC n - Bn < (С+ B ) n /11/

Ainsi:

- un nombre fractionnaire inférieur à un. /12/

Un nombre fractionnaire.

Il s’ensuit que pour une valeur impaire de l’exposant n l'équation /1/ du dernier théorème de Fermat n'a pas de solution en entiers positifs.

Pour les exposants pairs n >2 nombre:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Ainsi, le dernier théorème de Fermat n'a pas de solution dans les entiers positifs et pour les exposants pairs n >2.

De ce qui précède, il résulte conclusion générale: l’équation /1/ du dernier théorème de Fermat n’a pas de solution en entiers positifs UN B Et AVECà condition que l'exposant n >2.

JUSTIFICATION SUPPLÉMENTAIRE

Dans le cas où l'exposant n – nombre pair, expression algébrique ( CN - Bn ) se décompose en facteurs algébriques :

C2 – B2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C4 – B4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C6 – B6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C8 – B8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Donnons des exemples chiffrés.

EXEMPLE 1 : B=11 ; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23 ;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673 ;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577 ;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

EXEMPLE 2 : B = 16 ; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61 ;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

De l'analyse des équations /13/, /14/, /15/ et /16/ et de leurs correspondances exemples numériques suit :

Pour un exposant donné n , si c'est un nombre pair, le nombre UN n =C n - Bn se décompose en un nombre bien défini de facteurs algébriques bien définis ;

Pour tout exposant n , si c'est un nombre pair, dans l'expression algébrique ( CN - Bn ) il y a toujours des multiplicateurs ( C - B ) Et ( C + B ) ;

À chaque facteur algébrique correspond un facteur numérique bien défini ;

Pour des nombres donnés DANS Et AVEC les facteurs numériques peuvent être des nombres premiers ou des facteurs numériques composés ;

Chaque facteur numérique composite est un produit nombres premiers, qui sont partiellement ou totalement absents des autres facteurs numériques composites ;

La taille des nombres premiers dans la composition des facteurs numériques composites augmente avec l'augmentation de ces facteurs ;

Le plus grand facteur numérique composite correspondant au plus grand facteur algébrique inclut le plus grand nombre premier à une puissance inférieure à l'exposant n(le plus souvent au premier degré).

CONCLUSIONS : Des preuves supplémentaires soutiennent la conclusion selon laquelle le dernier théorème de Fermat n'a pas de solution dans les entiers positifs.

ingénieur mécanique

Le dernier théorème de Fermat Singh Simon

« Le dernier théorème de Fermat a-t-il été prouvé ?

Ce n'était que la première étape vers la preuve de la conjecture de Taniyama-Shimura, mais la stratégie de Wiles constituait une brillante avancée mathématique, un résultat qui méritait d'être publié. Mais en raison du vœu de silence que Wiles s'était imposé, il ne pouvait pas informer le reste du monde de son résultat et n'avait aucune idée de qui d'autre pourrait faire une percée tout aussi significative.

Wiles rappelle son attitude philosophique envers tout challenger potentiel : « Personne ne veut passer des années à prouver quelque chose et découvrir que quelqu'un d'autre a réussi à trouver la preuve quelques semaines plus tôt. Mais, curieusement, comme j'essayais de résoudre un problème qui était essentiellement considéré comme insoluble, je n'avais pas très peur des rivaux. Je ne m’attendais tout simplement pas à ce que moi ou quelqu’un d’autre ayons une idée qui mènerait à une preuve.

Le 8 mars 1988, Wiles a été choqué de voir des titres en gros caractères à la une des journaux qui disaient : « Le dernier théorème de Fermat prouvé ». Le Washington Post et le New York Times ont rapporté que Yoichi Miyaoka, 38 ans, de l'Université métropolitaine de Tokyo, avait résolu le problème mathématique le plus difficile au monde. Même si Miyaoka n'a pas encore publié sa preuve, Plan général a présenté son cours lors d'un séminaire à l'Institut Max Planck de mathématiques à Bonn. Don Tsagir, qui était présent à la conférence de Miyaoka, a exprimé l'optimisme de la communauté mathématique dans les mots suivants : « La preuve présentée par Miyaoka est extrêmement intéressante, et certains mathématiciens pensent qu'elle a une forte probabilité d'être correcte. Nous n’en sommes pas encore tout à fait sûrs, mais jusqu’à présent, les preuves semblent très encourageantes.

S'exprimant lors d'un séminaire à Bonn, Miyaoka a parlé de son approche pour résoudre le problème, qu'il a considéré d'un point de vue algébrique-géométrique complètement différent. Au cours des dernières décennies, les géomètres ont acquis une compréhension profonde et subtile des objets mathématiques, en particulier des propriétés des surfaces. Dans les années 70 mathématicien russe S. Arakelov a tenté d'établir des parallèles entre les problèmes de géométrie algébrique et les problèmes de théorie des nombres. C'était l'un des volets du programme de Langlands, et les mathématiciens espéraient que les problèmes non résolus de la théorie des nombres pourraient être résolus en étudiant les problèmes correspondants de géométrie, qui restaient également non résolus. Ce programme était connu sous le nom de philosophie du parallélisme. Les géomètres algébriques qui tentaient de résoudre des problèmes de théorie des nombres étaient appelés « géomètres algébriques arithmétiques ». En 1983, ils ont annoncé leur première victoire significative lorsque Gerd Faltings, du Princeton Institute études supérieures a apporté une contribution significative à la compréhension du théorème de Fermat. Rappelons que, selon Fermat, l'équation

à n supérieur à 2 n’a pas de solutions en nombres entiers. Faltings a décidé qu'il avait fait des progrès dans la preuve du dernier théorème de Fermat en étudiant les surfaces géométriques associées à différentes valeurs. n. Surfaces associées aux équations de Fermat à différentes significations n, diffèrent les uns des autres, mais en ont un propriété commune- ils ont tous des trous traversants, ou, pour le dire simplement, des trous. Ces surfaces sont à quatre dimensions, tout comme les graphiques de formes modulaires. Des coupes bidimensionnelles de deux surfaces sont représentées sur la Fig. 23. Les surfaces associées à l'équation de Fermat se ressemblent. Plus la valeur est élevée n dans l’équation, plus il y a de trous dans la surface correspondante.

Riz. 23. Ces deux surfaces sont obtenues en utilisant Programme d'ordinateur"Mathématiques". Chacun d'eux représente le lieu des points satisfaisant l'équation xn + o n = z n(pour la surface de gauche n=3, pour la surface de droite n=5). Variables X Et oui sont ici considérés comme complexes

Faltings a pu prouver que, puisque de telles surfaces comportent toujours plusieurs trous, l'équation de Fermat associée ne peut avoir qu'un ensemble fini de solutions entières. Le nombre de solutions pourrait être n'importe quoi - de zéro, comme le supposait Fermat, à un million ou un milliard. Ainsi, Faltings n'a pas prouvé le dernier théorème de Fermat, mais a au moins réussi à rejeter la possibilité que l'équation de Fermat ait une infinité de solutions.

Cinq ans plus tard, Miyaoka a rapporté qu'il était allé encore plus loin. Il était alors au début de la vingtaine. Miyaoka a formulé une hypothèse concernant une certaine inégalité. Il est devenu clair que prouver sa conjecture géométrique signifierait prouver que le nombre de solutions de l'équation de Fermat n'est pas seulement fini, mais égal à zéro. L'approche de Miyaoka était similaire à celle de Wiles dans la mesure où ils tentaient tous deux de prouver le dernier théorème de Fermat en le reliant à une hypothèse fondamentale dans une autre branche des mathématiques. Pour Miyaoka, c'était la géométrie algébrique ; pour Wiles, le chemin de la preuve passait par les courbes elliptiques et les formes modulaires. Au grand dam de Wiles, il avait encore du mal à prouver la conjecture de Taniyama-Shimura lorsque Miyaoka prétendit avoir une preuve complète de sa propre conjecture et, par conséquent, du dernier théorème de Fermat.

Deux semaines après son discours à Bonn, Miyaoka publia cinq pages de calculs qui constituaient l'essentiel de sa preuve, et un examen approfondi commença. Les théoriciens des nombres et les spécialistes de la géométrie algébrique du monde entier ont étudié, ligne par ligne, les calculs publiés. Quelques jours plus tard, les mathématiciens ont découvert une contradiction dans la preuve qui ne pouvait que susciter des inquiétudes. Une partie du travail de Miyaoka a conduit à une affirmation issue de la théorie des nombres qui, une fois traduite dans le langage de la géométrie algébrique, a produit une affirmation qui contredisait le résultat obtenu plusieurs années plus tôt. Même si cela n'invalide pas nécessairement l'intégralité de la preuve de Miyaoka, la contradiction découverte ne rentre pas dans la philosophie du parallélisme entre la théorie des nombres et la géométrie.

Deux semaines plus tard, Gerd Faltings, qui avait ouvert la voie à Miyaoke, annonçait qu'il avait découvert la cause exacte de l'apparente violation du parallélisme : une lacune dans le raisonnement. Le mathématicien japonais était géomètre et n’était pas entièrement rigoureux lorsqu’il s’agissait de traduire ses idées dans le territoire moins familier de la théorie des nombres. Une armée de théoriciens des nombres a déployé des efforts frénétiques pour combler le trou dans la preuve de Miyaoka, mais en vain. Deux mois après que Miyaoka ait affirmé détenir une preuve complète du dernier théorème de Fermat, la communauté mathématique est parvenue à une conclusion unanime : la preuve de Miyaoka était vouée à l'échec.

Comme pour les précédentes preuves ratées, Miyaoka a pu obtenir de nombreux résultats intéressants. Certains fragments de sa preuve étaient remarquables comme applications très ingénieuses de la géométrie à la théorie des nombres, et au cours des années suivantes, d'autres mathématiciens les utilisèrent pour prouver certains théorèmes, mais personne ne réussit à prouver le dernier théorème de Fermat de cette manière.

L'agitation autour du dernier théorème de Fermat s'est rapidement calmée et les journaux ont publié Petites notes, qui a déclaré que l'énigme vieille de trois cents ans n'était toujours pas résolue. L'inscription suivante est apparue sur le mur de la station de métro Eighth Street à New York, sans doute inspirée par la couverture médiatique du dernier théorème de Fermat : « Eq. xn + oui = zn n'a pas de solutions. J’ai trouvé une preuve vraiment étonnante de ce fait, mais je ne peux pas l’écrire ici car mon train est arrivé.

Chapitre dix FERME AUX CROCODILES Ils roulaient sur une route pittoresque dans la voiture du vieux John, assis sur les sièges arrière. Au volant se trouvait un conducteur noir vêtu d'une chemise brillante et avec une tête bizarrement coupée. Sur son crâne rasé se dressaient des touffes de cheveux noirs durs comme du fer, logique

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Chèvrerie Il y a beaucoup de travaux dans le village l'été. Lorsque nous avons visité le village de Khomutets, on y récoltait du foin et les vagues parfumées des herbes fraîchement coupées semblaient imprégner tout autour. Les herbes doivent être tondues à temps pour qu'elles ne mûrissent pas trop, alors tout ce qui est précieux et nutritif sera préservé en eux. Ce

Ferme d'été Une paille, comme un éclair tenu à la main, un verre dans l'herbe ; Un autre, ayant signé sur la clôture, alluma un feu de verre d'Eau vert dans une auge à chevaux. Dans le crépuscule bleu Neuf canards errent en se balançant le long d'une ornière dans un esprit de lignes parallèles. Ici, le poulet ne regarde rien tout seul

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Ferme ou ferme ? Le 13 février 1958, tous les journaux centraux de Moscou, puis régionaux, publièrent la décision du Comité central du Parti communiste d'Ukraine « sur une erreur dans l'achat de vaches auprès des kolkhoziens de la région de Zaporojie ». Nous ne parlions même pas de la région entière, mais de deux de ses districts : Primorsky

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