Dans cet article, nous examinerons les moyens de déterminer la distance d'un point à un point en théorie et en utilisant l'exemple de tâches spécifiques. Pour commencer, introduisons quelques définitions.

Définition 1

Distance entre les points est la longueur du segment qui les relie, sur l'échelle existante. Il est nécessaire de définir une échelle afin d'avoir une unité de longueur pour la mesure. Par conséquent, le problème de trouver la distance entre les points est résolu en utilisant leurs coordonnées sur une ligne de coordonnées, dans un plan de coordonnées ou dans un espace tridimensionnel.

Données initiales : ligne de coordonnées O x et un point arbitraire A se trouvant dessus. Tout point sur la ligne a un nombre réel : que ce soit un certain nombre pour le point A xA, c'est aussi la coordonnée du point A.

En général, on peut dire que la longueur d'un certain segment est évaluée par rapport à un segment pris comme unité de longueur sur une échelle donnée.

Si le point A correspond à un nombre réel entier, en étalant séquentiellement du point O au point le long de la droite O A les segments - unités de longueur, on peut déterminer la longueur du segment O A à partir du nombre total de segments unitaires mis de côté.

Par exemple, le point A correspond au chiffre 3 - pour y accéder depuis le point O, vous devrez supprimer trois segments unitaires. Si le point A a la coordonnée - 4, les segments unitaires sont disposés de la même manière, mais dans une direction différente et négative. Ainsi, dans le premier cas, la distance O A est égale à 3 ; dans le deuxième cas O A = 4.

Si le point A a un nombre rationnel comme coordonnée, alors à partir de l'origine (point O) nous traçons un nombre entier de segments unitaires, puis sa partie nécessaire. Mais géométriquement, il n’est pas toujours possible d’effectuer une mesure. Par exemple, il semble difficile de tracer la fraction 4 111 sur la droite de coordonnées.

En utilisant la méthode ci-dessus, il est totalement impossible de tracer un nombre irrationnel sur une ligne droite. Par exemple, lorsque la coordonnée du point A est 11. Dans ce cas, il est possible de se tourner vers l'abstraction : si la coordonnée donnée du point A est supérieure à zéro, alors O A = x A (le nombre est pris comme distance) ; si la coordonnée est inférieure à zéro, alors O A = - x A . En général, ces affirmations sont vraies pour tout nombre réel xA.

Pour résumer : la distance de l'origine au point qui correspond à un nombre réel sur la droite de coordonnées est égale à :

• 0 si le point coïncide avec l'origine ;

• x A, si x A > 0 ;

• - x A si x A< 0 .

Dans ce cas, il est évident que la longueur du segment lui-même ne peut pas être négative, donc, en utilisant le signe du module, on écrit la distance du point O au point A avec la coordonnée xA: O A = x A

La déclaration suivante sera vraie : la distance d'un point à un autre sera égale au module de la différence de coordonnées. Ceux. pour les points A et B situés sur la même ligne de coordonnées pour n'importe quel emplacement et ayant des coordonnées correspondantes xA Et xB : UN B = xB - xUNE .

Données initiales : points A et B situés sur un plan dans un repère rectangulaire O x y de coordonnées données : A (x A, y A) et B (x B, y B).

Traçons des perpendiculaires passant par les points A et B aux axes de coordonnées O x et O y et obtenons comme résultat les points de projection : A x, A y, B x, B y. En fonction de la localisation des points A et B, les options suivantes sont alors possibles :

Si les points A et B coïncident, alors la distance qui les sépare est nulle ;

Si les points A et B se trouvent sur une droite perpendiculaire à l'axe O x (axe des abscisses), alors les points coïncident et | UN B | = | A y B y | . Puisque la distance entre les points est égale au module de la différence de leurs coordonnées, alors A y B y = y B - y A, et, par conséquent, A B = A y B y = y B - y A.

Si les points A et B se trouvent sur une droite perpendiculaire à l'axe O y (axe des ordonnées) - par analogie avec le paragraphe précédent : A B = A x B x = x B - x A

Si les points A et B ne se trouvent pas sur une droite perpendiculaire à l'un des axes de coordonnées, nous trouverons la distance qui les sépare en dérivant la formule de calcul :

Nous voyons que le triangle A B C est de construction rectangulaire. Dans ce cas, A C = A x B x et B C = A y B y. En utilisant le théorème de Pythagore, nous créons l'égalité : A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , puis la transformons : A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Tirons une conclusion du résultat obtenu : la distance du point A au point B sur le plan est déterminée par calcul à l'aide de la formule utilisant les coordonnées de ces points

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

La formule résultante confirme également les affirmations précédemment formées pour les cas de coïncidence de points ou de situations où les points se trouvent sur des lignes droites perpendiculaires aux axes. Ainsi, si les points A et B coïncident, l'égalité suivante sera vraie : A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pour une situation où les points A et B se trouvent sur une ligne droite perpendiculaire à l’axe des x :

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pour le cas où les points A et B se trouvent sur une droite perpendiculaire à l'axe des ordonnées :

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Données initiales : un système de coordonnées rectangulaires O x y z sur lequel se trouvent des points arbitraires avec des coordonnées données A (x A, y A, z A) et B (x B, y B, z B). Il est nécessaire de déterminer la distance entre ces points.

Considérons le cas général où les points A et B ne se trouvent pas dans un plan parallèle à l'un des plans de coordonnées. Traçons des plans perpendiculaires aux axes de coordonnées passant par les points A et B et obtenons les points de projection correspondants : A x , A y , A z , B x , B y , B z

La distance entre les points A et B est la diagonale du parallélépipède résultant. D'après la construction des mesures de ce parallélépipède : A x B x , A y B y et A z B z

Grâce au cours de géométrie, nous savons que le carré de la diagonale d'un parallélépipède est égal à la somme des carrés de ses dimensions. Sur la base de cette affirmation, nous obtenons l'égalité : A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

En utilisant les conclusions obtenues précédemment, nous écrivons ce qui suit :

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformons l'expression :

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formule pour déterminer la distance entre des points dans l'espace ressemblera à ceci :

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

La formule résultante est également valable pour les cas où :

Les points coïncident ;

Ils se trouvent sur un axe de coordonnées ou sur une ligne droite parallèle à l'un des axes de coordonnées.

Exemples de résolution de problèmes pour trouver la distance entre les points

Exemple 1

Données initiales : une ligne de coordonnées et des points qui s'y trouvent avec les coordonnées données A (1 - 2) et B (11 + 2) sont donnés. Il faut trouver la distance du point d'origine O au point A et entre les points A et B.

Solution

1. La distance du point de référence au point est égale au module de la coordonnée de ce point, respectivement O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. On définit la distance entre les points A et B comme le module de la différence entre les coordonnées de ces points : A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Réponse : O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemple 2

Données initiales : un système de coordonnées rectangulaires et deux points qui s'y trouvent A (1, - 1) et B (λ + 1, 3) sont donnés. λ est un nombre réel. Il faut trouver toutes les valeurs de ce nombre pour lesquelles la distance A B sera égale à 5.

Solution

Pour trouver la distance entre les points A et B, vous devez utiliser la formule A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

En remplaçant les valeurs de coordonnées réelles, nous obtenons : A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Nous utilisons également la condition existante selon laquelle A B = 5 et alors l'égalité sera vraie :

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Réponse : A B = 5 si λ = ± 3.

Exemple 3

Données initiales : spécifiées espace tridimensionnel dans un système de coordonnées rectangulaires O x y z et les points A (1, 2, 3) et B - 7, - 2, 4 qui s'y trouvent.

Solution

Pour résoudre le problème, nous utilisons la formule A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

En remplaçant les valeurs réelles, nous obtenons : A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Réponse : | UN B | = 9

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

En mathématiques, l'algèbre et la géométrie posent des problèmes pour trouver la distance entre un point ou une ligne et un objet donné. On le retrouve de manières complètement différentes, dont le choix dépend des données initiales. Voyons comment trouver la distance entre des objets donnés dans différentes conditions.

Utiliser des outils de mesure

Sur stade initial développement science mathématique Ils apprennent à utiliser des outils de base (comme une règle, un rapporteur, un compas, un triangle et autres). Trouver la distance entre des points ou des lignes en les utilisant n'est pas difficile du tout. Il ne vous reste plus qu'à joindre l'échelle de division et à noter la réponse. Il faut juste savoir que la distance sera égal à la longueur une ligne droite qui peut être tracée entre des points, et dans le cas de lignes parallèles, une perpendiculaire entre eux.

Utiliser des théorèmes et des axiomes de géométrie

Ils apprennent à mesurer les distances sans l'aide d'appareils spéciaux ou cela nécessite de nombreux théorèmes, axiomes et leurs preuves. Souvent, les problèmes pour trouver une distance se résument à la formation et à la recherche de ses côtés. Pour résoudre de tels problèmes, il suffit de connaître le théorème de Pythagore, les propriétés des triangles et les méthodes de leur transformation.

Points sur le plan de coordonnées

S'il y a deux points et que leur position sur l'axe des coordonnées est donnée, alors comment trouver la distance de l'un à l'autre ? La solution comprendra plusieurs étapes :

1. Nous connectons les points par une ligne droite dont la longueur sera la distance qui les sépare.
2. On retrouve la différence entre les valeurs de coordonnées des points (k;p) de chaque axe : |k 1 - k 2 |= d 1 et |p 1 - p 2 |= d 2 (on prend les valeurs modulo, puisque la distance ne peut pas être négative) .
3. Après cela, nous mettons au carré les nombres résultants et trouvons leur somme : d 1 2 + d 2 2
4. La dernière étape consistera à extraire le nombre résultant. Ce sera la distance entre les points : d = V (d 1 2 + d 2 2).

En conséquence, toute la solution est réalisée selon une formule, où la distance est égale à racine carréeà partir de la somme des carrés de la différence de coordonnées :

d =V(|k 1 - k 2 | 2 +|p 1 - p 2 | 2)

Si la question se pose de savoir comment trouver la distance d'un point à un autre, la recherche d'une réponse ne sera pas très différente de celle ci-dessus. La solution s'effectuera selon la formule suivante :

d=V(|k 1 - k 2 | 2 +|r 1 - r 2 | 2 +|e 1 - e 2 | 2)

Lignes parallèles

Une perpendiculaire tirée de n'importe quel point situé sur la même ligne droite jusqu'à un parallèle sera la distance. Lors de la résolution de problèmes dans un plan, il est nécessaire de trouver les coordonnées de n'importe quel point sur l'une des lignes. Et puis calculez la distance entre celui-ci et la deuxième ligne droite. Pour ce faire, on les ramène à la forme générale Ax+By+C=0. D'après les propriétés des droites parallèles, on sait que leurs coefficients A et B seront égaux. Dans ce cas, vous pouvez le trouver grâce à la formule :

d = |C 1 - C 2 |/V(UNE 2 + B 2)

Ainsi, pour répondre à la question de savoir comment trouver la distance d'un objet donné, il faut se laisser guider par les conditions du problème et les outils fournis pour le résoudre. Il peut s'agir soit d'appareils de mesure, soit de théorèmes et de formules.

Plan de cours.

La distance entre deux points sur une ligne.

Système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes).

La distance entre deux points sur une ligne.

Théorème 3. Si A(x) et B(y) sont deux points quelconques, alors d - la distance entre eux est calculée par la formule : d = lу - xl.

Preuve. D’après le théorème 2, nous avons AB = y - x. Mais la distance entre les points A et B est égale à la longueur du segment AB, c'est-à-dire la longueur du vecteur AB. Par conséquent, d = lАВl=lu-хl.

Puisque les nombres y-x et x-y sont pris modulo, on peut écrire d =lx-уl. Ainsi, pour trouver la distance entre les points sur une ligne de coordonnées, vous devez trouver le module de la différence entre leurs coordonnées.

Exemple 4. Étant donné les points A(2) et B(-6), trouvez la distance qui les sépare.

Solution. Remplaçons x=2 et y=-6 dans la formule. Nous obtenons AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8.

Exemple 5. Construire un point symétrique au point M(4) par rapport à l'origine.

Solution. Parce que du point M au point O il y a 4 segments unitaires disposés à droite, puis pour construire un point symétrique à lui, on met 4 segments unitaires du point O vers la gauche, on obtient le point M" (-4).

Exemple 6. Construisez le point C(x) symétrique au point A(-4) par rapport au point B(2).

Solution. Marquons les points A(-4) et B(2) sur la droite numérique. Trouvons la distance entre les points en utilisant le théorème 3, nous obtenons 6. Ensuite, la distance entre les points B et C devrait également être égale à 6. On met 6 segments unitaires du point B vers la droite, on obtient le point C (8).

Des exercices. 1) Trouvez la distance entre les points A et B : a) A(3) et B(11), b) A(5) et B(2), c) A(-1) et B(3), d) A (-5) et B(-3), e) A(-1) et B(3), (Réponse : a)8, b)3, c)4, d)2, e)2).

2) Construire le point C(x), symétrique du point A(-5) par rapport au point B(-1). (Réponse : C(3)).

Système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes).

Deux axes Ox et Oy mutuellement perpendiculaires, ayant une origine commune O et la même unité d'échelle, forment rectangulaire(ou cartésien) système de coordonnées planes.

L’axe Ox s’appelle axe x, et l'axe Oy - axe y. Le point O de l'intersection des axes est appelé origine. Le plan dans lequel se trouvent les axes Ox et Oy est appelé avion coordonné et est désigné Ohu.

Soit M un point arbitraire du plan. Déposons-en les perpendiculaires MA et MB, respectivement, aux axes Ox et Oy. Les points d'intersection A et B de ces perpendiculaires avec les axes sont appelés projections points M sur l’axe des coordonnées.

Les points A et B correspondent à certains nombres x et y - leurs coordonnées sur les axes Ox et Oy. Le nombre x s'appelle abscisse point M, numéro y - son ordonnée.

Le fait que le point M ait les coordonnées x et y est symboliquement noté comme suit : M(x,y). Dans ce cas, l'abscisse est indiquée en premier entre parenthèses, et l'ordonnée est indiquée en second. L'origine a les coordonnées (0,0).

Ainsi, avec le repère choisi, chaque point M du plan correspond à une paire de nombres (x, y) - ses coordonnées rectangulaires et, à l'inverse, chaque paire de nombres (x, y) correspond, de plus, à un point M sur le plan Oxy tel que son abscisse est x et l'ordonnée est y.

Ainsi, un système de coordonnées rectangulaires sur un plan établit une correspondance biunivoque entre l'ensemble de tous les points du plan et l'ensemble des paires de nombres, ce qui permet d'utiliser des méthodes algébriques lors de la résolution de problèmes géométriques.

Les axes de coordonnées divisent le plan en quatre parties, elles sont appelées quarts, quadrants ou angles de coordonnées et numérotés en chiffres romains I, II, III, IV comme indiqué sur la figure (hyperlien).

La figure montre également les signes des coordonnées des points en fonction de leur localisation. (par exemple, au premier trimestre les deux coordonnées sont positives).

Exemple 7. Construire des points : A(3;5), B(-3;2), C(2;-4), D (-5;-1).

Solution. Construisons le point A(3;5). Tout d’abord, nous introduisons un système de coordonnées rectangulaires. Ensuite, le long de l'axe des abscisses, nous placerons 3 unités d'échelle vers la droite, et le long de l'axe des ordonnées, nous placerons 5 unités d'échelle vers le haut et à travers les points de division finaux, nous tracerons des lignes droites parallèles aux axes de coordonnées. Le point d'intersection de ces lignes est le point souhaité A(3;5). Les points restants sont construits de la même manière (voir figure hyperlien).

Des exercices.

Sans dessiner le point A(2;-4), découvrez à quel quartier il appartient.

Dans quels quartiers peut-on localiser un point si son ordonnée est positive ?

Un point de coordonnée -5 est pris sur l'axe Oy. Quelles sont ses coordonnées dans l'avion ? (réponse : puisque le point se situe sur l'axe Oy, son abscisse est égale à 0, l'ordonnée est donnée selon la condition, donc les coordonnées du point sont (0;-5)).

Points donnés : a) A(2;3), b) B(-3;2), c) C(-1;-1), d) D(x;y). Trouvez les coordonnées des points qui leur sont symétriques par rapport à l'axe Ox. Tracez tous ces points. (réponse : a) (2;-3), b) (-3;-2), c) (-1;1), d) (x;-y)).

Points donnés : a) A(-1;2), b) B(3;-1), c) C(-2;-2), d) D(x;y). Trouvez les coordonnées des points qui leur sont symétriques par rapport à l'axe Oy. Tracez tous ces points. (réponse : a) (1;2), b) (-3;-1), c) (2;-2), d) (-x;y)).

Points donnés : a) A(3;3), b) B(2;-4), c) C(-2;1), d) D(x;y). Trouvez les coordonnées des points qui leur sont symétriques par rapport à l'origine. Tracez tous ces points. (réponse : a) (-3;-3), b) (-2;4), c) (2;-1), d) (-x;-y)).

Le point M(3;-1) est donné. Trouvez les coordonnées des points qui lui sont symétriques par rapport à l'axe Ox, à l'axe Oy et à l'origine. Tracez tous les points. (réponse : (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

Déterminer dans quels quartiers le point M(x;y) peut être localisé si : a) xy>0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

Déterminer les coordonnées des sommets d'un triangle équilatéral de côté égal à 10, situé dans le premier quart, si l'un de ses sommets coïncide avec l'origine des coordonnées O, et que la base du triangle est située sur l'axe Ox. Faites un dessin. (réponse : (0;0), (10;0), (5;5v3)).

À l'aide de la méthode des coordonnées, déterminez les coordonnées de tous les sommets hexagone régulier A B C D E F. (réponse : A (0;0), B (1;0), C (1,5;v3/2), D (1;v3), E (0;v3), F (-0,5;v3 /2). Instruction : prendre le point A comme origine des coordonnées, diriger l'axe des abscisses de A vers B, prendre la longueur du côté AB comme unité d'échelle. Il est pratique de tracer les grandes diagonales de l'hexagone.)

§ 1 Règle pour trouver la distance entre les points sur une ligne de coordonnées

Dans cette leçon, nous dériverons une règle pour trouver la distance entre les points sur une ligne de coordonnées et apprendrons également comment trouver la longueur d'un segment à l'aide de cette règle.

Terminons la tâche :

Comparez les expressions

1. une = 9, b = 5 ;

2. a = 9, b = -5 ;

3. a = -9, b = 5 ;

4. a = -9, b = -5.

Remplaçons les valeurs dans les expressions et trouvons le résultat :

Le module de la différence de 9 et 5 est égal au module de 4, le module de 4 est égal à 4. Le module de la différence de 5 et 9 est égal au module de moins 4, le module de -4 est égal à 4.

Le module de la différence entre 9 et -5 est égal au module 14, le module 14 est égal à 14. Le module de la différence entre moins 5 et 9 est égal au module -14, le module -14=14.

Le module de la différence de moins 9 et 5 est égal au module de moins 14, le module de moins 14 est égal à 14. Le module de la différence de 5 et moins 9 est égal au module 14, le module de 14 est égal à 14

Le module de la différence de moins 9 et moins 5 est égal au module de moins 4, le module de -4 est égal à 4. Le module de la différence de moins 5 et moins 9 est égal au module de 4, le le module de 4 est égal à (l-9 - (-5)l = l-4l = 4; l -5 - (-9)l = l4l = 4)

Dans chaque cas, les résultats étaient égaux, nous pouvons donc conclure :

Les valeurs des expressions module de la différence entre a et b et module de la différence entre b et a sont égales pour toutes les valeurs de a et b.

Encore une tâche :

Trouver la distance entre les points de la ligne de coordonnées

1.A(9) et B(5)

2.A(9) et B(-5)

Sur la ligne de coordonnées, nous marquons les points A (9) et B (5).

Comptons le nombre de segments unitaires entre ces points. Il y en a 4, ce qui signifie que la distance entre les points A et B est de 4. De même, on retrouve la distance entre deux autres points. Marquons les points A(9) et B(-5) sur la ligne de coordonnées et déterminons la distance entre ces points à l'aide de la ligne de coordonnées ; la distance est 14.

Comparons les résultats avec les tâches précédentes.

La grandeur de la différence entre 9 et 5 est de 4 et la distance entre les points de coordonnées 9 et 5 est également de 4. La grandeur de la différence entre 9 et moins 5 est de 14 et la distance entre les points de coordonnées 9 et moins 5. est 14.

La conclusion est la suivante :

La distance entre les points A(a) et B(b) de la ligne de coordonnées est égale au module de la différence des coordonnées de ces points l a - b l.

De plus, la distance peut également être trouvée comme module de la différence entre b et a, puisque le nombre de segments unitaires ne changera pas selon le point à partir duquel on les compte.

§ 2 La règle pour trouver la longueur d'un segment à partir des coordonnées de deux points

Trouvons la longueur du segment CD s'il est sur la ligne de coordonnées C(16), D(8).

On sait que la longueur d'un segment est égale à la distance d'une extrémité à l'autre du segment, c'est-à-dire du point C au point D sur la ligne de coordonnées.

Utilisons la règle :

et trouver le module de la différence entre les coordonnées c et d

La longueur du segment CD est donc de 8.

Considérons un autre cas :

Trouvons la longueur du segment MN dont les coordonnées ont des signes différents M (20), N (-23).

Remplaçons les valeurs

on sait que -(-23) = +23

cela signifie que le module de la différence de 20 et moins 23 est égal au module de la somme de 20 et 23

Trouvons la somme des modules des coordonnées de ce segment :

La valeur du module de différence de coordonnées et la somme des modules de coordonnées dans ce cas se sont avérées être les mêmes.

On peut conclure:

Si les coordonnées de deux points ont des signes différents, alors la distance entre les points est égale à la somme des modules de coordonnées.

Dans la leçon, nous avons découvert la règle permettant de trouver la distance entre deux points sur une ligne de coordonnées et appris comment trouver la longueur d'un segment à l'aide de cette règle.

Liste de la littérature utilisée :

1. Mathématiques. 6ème année: plans de cours au manuel I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich//Compilé par L.A. Topiline. – M. : Mnémosyne 2009.
2. Mathématiques. 6e année : manuel pour les élèves les établissements d'enseignement. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovitch. – M. : Mnémosyne, 2013.
3. Mathématiques. 6e année : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général./N.Ya. Vilenkin, V.I. Jokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M. : Mnémosyne, 2013.
4. Manuel de mathématiques - http://lyudmilanik.com.ua
5. Guide de l'étudiant pour lycée http://shkolo.ru

La distance entre les points sur une ligne de coordonnées est de niveau 6.

Formule pour trouver la distance entre les points sur une ligne de coordonnées

Algorithme pour trouver les coordonnées d'un point - le milieu d'un segment

Merci à mes collègues Internet dont j'ai utilisé le matériel dans cette présentation !

Télécharger:

Aperçu:

Pour utiliser les aperçus de présentation, créez un compte Google et connectez-vous : https://accounts.google.com

Légendes des diapositives :

Distance entre les points sur la ligne de coordonnées x 0 1 A B AB = ρ (A, B)

Distance entre les points sur une ligne de coordonnées Objectif de la leçon : - Trouver une méthode (formule, règle) pour trouver la distance entre les points sur une ligne de coordonnées. - Apprenez à trouver la distance entre les points sur une ligne de coordonnées en utilisant la règle trouvée.

1. Compte oral 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Résolvez oralement le problème à l'aide d'une droite de coordonnées : combien d'entiers y a-t-il entre les nombres : a) – 8,9 et 2 b) – 10,4 et – 3,7 c) – 1,2 et 4,6 ? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 nombres positifs -1 -5 nombres négatifs Distance du domicile au stade 6 Distance du domicile à l'école 6 Ligne de coordonnées

0 1 2 7 -1 -5 Distance du stade à la maison 6 Distance de l'école à la maison 6 Trouver la distance entre les points sur la ligne de coordonnées ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 La distance entre les points sera désignée par la lettre ρ (rho)

0 1 2 7 -1 -5 Distance du stade à la maison 6 Distance de l'école à la maison 6 Trouver la distance entre les points sur la ligne de coordonnées ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (une; b) = ? | un b |

La distance entre les points a et b est égale au module de la différence des coordonnées de ces points. (une; b)= | un b | Distance entre les points sur une ligne de coordonnées

Signification géométrique du module d'un nombre réel a b a a=b b x x x Distance entre deux points

0 1 2 7 -1 -5 Trouver les distances entre les points sur la ligne de coordonnées - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Trouver les distances entre les points sur la ligne de coordonnées - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Sortie : valeurs d'expression | une – b | et | b-a | égal pour toutes les valeurs de a et b =

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3 ; 8) = 11 ; |(–3) – (+8)| = 11 ; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14 ; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13 ; |(+17) – (+4)| = 13. Distance entre les points de la ligne de coordonnées

Trouvez ρ(x; y) si : 1) x = – 14, y = – 23 ; ρ(x; y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5,9, y = –6,8 ; ρ(x; y)=|5,9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12,7 |=12,7

Continuez la phrase 1. La ligne de coordonnées est une ligne droite sur laquelle est indiqué ... 2. La distance entre deux points est ... 3. Les nombres opposés sont des nombres ... 4. Le module du nombre X est appelé . .. 5. - Comparez les significations des expressions a – b V b – a tirer une conclusion... - Comparez les significations des expressions | une – b | V | b-a | c tirer une conclusion...

Vintik et Shpuntik marchent le long du faisceau de coordonnées. Vintik se trouve au point B (236), Shpuntik est au point W (193). À quelle distance se trouvent Vintik et Shpuntik ? ρ (B, W) = 43

Trouver la distance entre les points A(0), B(1) A(2), B(5) A(0), B (- 3) A(- 10), B(1) AB = 1 AB = 3 AB = 3 AB = 11

Trouver la distance entre les points A(- 3,5), B(1,4) K(1,8), B(4,3) A(- 10), C(3)

Vérifier AB = KB = AC =

С(– 5) С(– 3) Trouver la coordonnée du point - le milieu du segment BA

Les points A (–3,25) et B (2,65) sont marqués sur la ligne de coordonnées. Trouvez la coordonnée du point O - le milieu du segment AB. Solution : 1) ρ(A;B)= |–3,25 – 2,65| = |–5,9| = 5,9 2) 5,9 : 2 = 2,95 3) –3,25 + 2,95 = – 0,3 ou 2,65 – 2,95 = – 0,3 Réponse : O(–0, 3)

Les points C(–5.17) et D(2.33) sont marqués sur la ligne de coordonnées. Trouvez la coordonnée du point A - le milieu du segment CD. Solution : 1) ρ(C; D)= |– 5, 17 – 2, 33 | = |– 7, 5 | = 7, 5 2) 7, 5 : 2 = 3, 7 5 3) – 5, 17 + 3, 7 5 = – 1, 42 ou 2, 33 – 3, 7 5 = – 1, 42 Réponse : A ( – 1, 42)

Conclusion : Algorithme pour trouver les coordonnées d'un point - milieu d'un segment donné : 1. Trouver la distance entre les points - extrémités d'un segment donné = 2. Diviser le résultat-1 par 2 (la moitié de la valeur) = c 3 . Ajoutez le résultat-2 à la coordonnée a ou soustrayez le résultat-2 de la coordonnée a + c ou - c 4. Résultat-3 est la coordonnée du point - le milieu de ce segment

Travailler avec le manuel : §19, p.112, A. n° 573, 575 V. n° 578, 580 Devoirs: §19, p.112, A. n° 574, 576, B. n° 579, 581 préparent le CD « Addition et soustraction de nombres rationnels. Distance entre les points sur une ligne de coordonnées"

Aujourd'hui, j'ai découvert... C'était intéressant... J'ai réalisé que... Maintenant je peux... J'ai appris... Je l'ai fait... Je vais essayer... J'ai été surpris... Je recherché...