Conversion d'expressions contenant des racines carrées arithmétiques

Le but de la leçon : créer des conditions pour la formation de compétences, simplifier les expressions contenant des racines carrées arithmétiques lors du travail en groupes postés.

Objectifs de la leçon: tester la préparation théorique des étudiants, la capacité à extraire la racine carrée d’un nombre, développer des compétences pour reproduire correctement leurs connaissances et compétences, développer des compétences informatiques, cultiver la capacité de travailler en binôme et la responsabilité pour une cause commune.

Pendant les cours.

JE. Organisation du temps. "TABLEAU DE PRÉPARATION"

Fixation du niveau de préparation pour le début du cours.

25 cartes rouge (5 points), jaune (4 points), bleue

couleurs (3 points).

Tableau de préparation

5 points (je veux savoir, faire, décider)

4 points (je suis prêt à travailler)

3 points (je ne me sens pas très bien, je ne comprends pas le matériel, j'ai besoin d'aide)

II . Travail individuel à l'aide de cartes

Carte 1

Supprimez le multiplicateur sous le signe racine :

Carte 2

Entrez le multiplicateur sous le signe racine :

Carte 3

Simplifier:
UN)
b)
V)

(Vérification après contrôle des devoirs)

III . Vérification des devoirs.

N° 166, 167 frontal oral

(auto-évaluation à l'aide de cartes de signalisation : vert - tout est correct, rouge - il y a une erreur)

IV . Apprendre du nouveau matériel. Travailler en groupes postés.

Étudiez le matériel de manière indépendante afin de pouvoir ensuite l'expliquer aux membres du groupe. La classe est divisée en 6 groupes de 4 personnes.

Groupes 1, 2 et 3 – étudiants ayant des capacités moyennes

Comment se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction ? Considérons le cas général et des exemples spécifiques.

Si le nombre ou l'expression sous le signe racine carrée au dénominateur est l'un des facteurs, pour se débarrasser de l'irrationalité au dénominateur, on multiplie à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction par la racine carrée de ce nombre ou de cette expression :

Exemples.

1) ;

2) .

Groupes 4, 5 et 6 – étudiants ayant des capacités supérieures à la moyenne.

Si le dénominateur d'une fraction est la somme ou la différence de deux expressions contenant une racine carrée, pour éliminer l'irrationalité du dénominateur, on multiplie à la fois le numérateur et le dénominateur par le radical conjugué :

Exemples. Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction :

Travaillez en nouveaux groupes (4 groupes de 6 personnes, 1 personne de chaque groupe).

Expliquer la matière étudiée aux membres du nouveau groupe. (évaluation par les pairs – commenter l’explication de la matière par l’étudiant)

V . Vérifier l'assimilation du matériel théorique.Les étudiants répondent aux questions sans expliquer cette partie du matériel théorique.

1) Comment se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction si le nombre ou l'expression sous le signe de la racine carrée du dénominateur est l'un des facteurs ?

2) Comment se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction, si le dénominateur de la fraction est la somme ou la différence de deux expressions contenant une racine carrée ?

3) comment se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction

4) Comment se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction

VI . Consolidation du matériel étudié. Travail d'auto-test.

N° 81 (« Algèbre » 8e année, A. Abylkasymova, I. Bekboev, A. Abdiev, Z. Zhumagulova)

N° 170 (1,2,3,5,6) (« Algèbre » 8e année, A. Shynybekov)

Critère d'évaluation:

Niveau A – N° 81 exemples 1-5 marque « 3 »

Niveau B – Exemples n° 81 6-8 et exemples n° 170 5.6, note « 4 »

Niveau C – N° 170 exemples 1-6, note « 5 »

(auto-évaluation, test à l’aide d’un échantillon sur un tableau à feuilles mobiles)

VII . Devoirs.

№ 218

VIII. Réflexion. "Télégramme"

Chacun est invité à remplir un formulaire de télégramme, recevant les instructions suivantes : « Que pensez-vous du dernier cours ? Qu'est-ce qui était important pour vous ? Qu'as-tu appris? Qu'est ce que tu aimais? Qu’est-ce qui reste flou ? Dans quelle direction devons-nous avancer ? S'il vous plaît, écrivez-moi un court message à ce sujet – un télégramme de 11 mots. Je souhaite connaître votre opinion afin de pouvoir en tenir compte dans mes travaux futurs.

Résumé de la leçon.

Résoudre des équations avec des fractions Regardons des exemples. Les exemples sont simples et illustratifs. Avec leur aide, vous pourrez comprendre de la manière la plus compréhensible.
Par exemple, vous devez résoudre l’équation simple x/b + c = d.

Une équation de ce type est dite linéaire, car Le dénominateur ne contient que des nombres.

La solution est effectuée en multipliant les deux côtés de l’équation par b, l’équation prend alors la forme x = b*(d – c), c’est-à-dire le dénominateur de la fraction du côté gauche s’annule.

Par exemple, comment résoudre une équation fractionnaire :
x/5+4=9
On multiplie les deux côtés par 5. On obtient :
x+20=45
x=45-20=25

Autre exemple où l'inconnue est au dénominateur :

Les équations de ce type sont appelées fractionnaires-rationnelles ou simplement fractionnaires.

Nous résoudrions une équation fractionnaire en nous débarrassant des fractions, après quoi cette équation se transforme le plus souvent en une équation linéaire ou quadratique, qui est résolue de la manière habituelle. Il vous suffit de considérer les points suivants :

• la valeur d'une variable qui fait passer le dénominateur à 0 ne peut pas être une racine ;
• Vous ne pouvez pas diviser ou multiplier une équation par l’expression =0.

C'est ici qu'entre en vigueur le concept de région des valeurs admissibles (ADV) - ce sont les valeurs des racines de l'équation pour lesquelles l'équation a un sens.

Ainsi, lors de la résolution de l'équation, il est nécessaire de trouver les racines, puis de vérifier leur conformité à l'ODZ. Les racines qui ne correspondent pas à notre ODZ sont exclues de la réponse.

Par exemple, vous devez résoudre une équation fractionnaire :

D'après la règle ci-dessus, x ne peut pas être = 0, c'est-à-dire ODZ dans ce cas : x – toute valeur autre que zéro.

On se débarrasse du dénominateur en multipliant tous les termes de l'équation par x

Et nous résolvons l'équation habituelle

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Réponse : x = 1/3

Résolvons une équation plus compliquée :

ODZ est également présent ici : x -2.

Lors de la résolution de cette équation, nous ne déplacerons pas tout d'un côté et réduirons les fractions à dénominateur commun. Nous multiplierons immédiatement les deux côtés de l’équation par une expression qui annulera tous les dénominateurs d’un coup.

Pour réduire les dénominateurs, vous devez multiplier le côté gauche par x+2 et le côté droit par 2. Cela signifie que les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par 2(x+2) :

Il s'agit de la multiplication de fractions la plus courante, dont nous avons déjà parlé ci-dessus.

Écrivons la même équation, mais légèrement différemment

Le côté gauche est réduit de (x+2), et le droit de 2. Après réduction, on obtient l'équation linéaire habituelle :

x = 4 – 2 = 2, ce qui correspond à notre ODZ

Réponse : x = 2.

Résoudre des équations avec des fractions pas aussi difficile que cela puisse paraître. Dans cet article, nous l'avons montré avec des exemples. Si vous rencontrez des difficultés avec comment résoudre des équations avec des fractions, puis désabonnez-vous dans les commentaires.

Lors de la transformation d'une expression algébrique fractionnaire dont le dénominateur contient une expression irrationnelle, on essaie généralement de représenter la fraction de manière à ce que son dénominateur soit rationnel. Si A,B,C,D,... sont des expressions algébriques, alors vous pouvez spécifier des règles à l'aide desquelles vous pouvez vous débarrasser des signes radicaux au dénominateur des expressions de la forme

Dans tous ces cas, la libération de l'irrationalité s'obtient en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par un facteur choisi pour que son produit par le dénominateur de la fraction soit rationnel.

1) Se débarrasser de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction de la forme . En multipliant le numérateur et le dénominateur par

Exemple 1. .

2) Dans le cas de fractions de la forme . Multiplier le numérateur et le dénominateur par un facteur irrationnel

respectivement, c'est-à-dire à l'expression irrationnelle conjuguée.

Le sens de la dernière action est qu'au dénominateur le produit de la somme et de la différence se transforme en une différence de carrés, qui sera déjà une expression rationnelle.

Exemple 2. Libérez-vous de l'irrationalité au dénominateur de l'expression :

Solution, a) Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression . On obtient (à condition que)

3) Dans le cas d'expressions comme

le dénominateur est traité comme une somme (différence) et multiplié par le carré partiel de la différence (somme) pour obtenir la somme (différence) des cubes ((20.11), (20.12)). Le numérateur est également multiplié par le même facteur.

Exemple 3. Libérez-vous de l'irrationalité au dénominateur des expressions :

Solution, a) En considérant le dénominateur de cette fraction comme la somme des nombres et 1, multiplier le numérateur et le dénominateur par le carré partiel de la différence de ces nombres :

ou enfin :

Dans certains cas, il est nécessaire d'effectuer une transformation de nature opposée : libérer la fraction de l'irrationalité au numérateur. Elle s'effectue exactement de la même manière.

Exemple 4. Libérez-vous de l'irrationalité du numérateur d'une fraction.

Expressions, conversion d'expressions

Comment se libérer de l’irrationalité du dénominateur ? Méthodes, exemples, solutions

En 8e, lors des cours d'algèbre, dans le cadre du thème transformation des expressions irrationnelles, une conversation tourne vers libération de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction. Dans cet article, nous analyserons de quel type de transformation il s'agit, examinerons quelles actions vous permettent de vous libérer de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction et fournirons des solutions à des exemples typiques avec des explications détaillées.

Navigation dans les pages.

Que signifie se libérer de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction ?

Vous devez d'abord comprendre ce qu'est l'irrationalité au dénominateur et ce que signifie se libérer de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction. Information provenant de manuels scolaires. Les points suivants méritent attention.

Lorsque la notation d'une fraction contient un signe racine (radical) au dénominateur, alors on dit que le dénominateur contient irrationalité. Cela est probablement dû au fait que les nombres écrits en utilisant des signes racine sont souvent . A titre d'exemple, nous donnons les fractions , , , évidemment, les dénominateurs de chacun d'eux contiennent le signe de la racine, et donc de l'irrationalité. Au lycée, il est inévitable de rencontrer des fractions dont l'irrationalité dans les dénominateurs n'est pas seulement introduite par des signes racines carrées, mais aussi des signes de racines cubiques, de quatrièmes racines, etc. Voici des exemples de telles fractions : , .

Compte tenu des informations fournies et de la signification du mot « gratuit », la définition suivante est tout à fait naturelle :

Définition.

Libération de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction est une transformation dans laquelle une fraction avec une irrationalité au dénominateur est remplacée par une fraction identiquement égale qui ne contient pas de signes racine au dénominateur.

On entend souvent les gens dire de ne pas se libérer, mais de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur de la fraction. Le sens ne change pas.

Par exemple, si l'on passe d'une fraction à une fraction dont la valeur est égale à la valeur de la fraction originale et dont le dénominateur ne contient pas le signe racine, alors on peut affirmer que l'on s'est libéré de l'irrationalité au dénominateur de la fraction. Autre exemple : remplacer une fraction par une fraction identique il y a une libération de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction.

Ainsi, les premières informations ont été reçues. Reste à savoir ce qu'il faut faire pour se libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction.

Façons de se libérer de l'irrationalité, exemples

Habituellement, pour se débarrasser de l'irrationalité, deux sont utilisés au dénominateur d'une fraction. conversions de fractions: Multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre ou une expression non nul et transformer l'expression en dénominateur. Ci-dessous, nous verrons comment ces conversions de fractions sont utilisées de manière basique pour supprimer l'irrationalité du dénominateur d'une fraction. Abordons les cas suivants.

Dans les cas les plus simples, il suffit de transformer l’expression en dénominateur. Un exemple est une fraction dont le dénominateur est la racine de neuf. Dans ce cas, le remplacer par la valeur 3 libère le dénominateur de l’irrationalité.

Dans des cas plus complexes, vous devez d'abord multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par un nombre ou une expression non nul, ce qui vous permet ensuite de convertir le dénominateur de la fraction sous une forme qui ne contient pas de signes radicaux. Par exemple, après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur d’une fraction par , la fraction prend la forme , puis l'expression au dénominateur peut être remplacée par une expression sans signes des racines x+1. Ainsi, après s'être libérée de l'irrationalité du dénominateur, la fraction prend la forme .

Si nous parlons du cas général, alors pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction, il faut recourir à diverses transformations admissibles, parfois assez spécifiques.

Et maintenant en détail.

Conversion d'une expression au dénominateur d'une fraction

Comme déjà indiqué, une façon de se débarrasser de l’irrationalité du dénominateur d’une fraction est de transformer le dénominateur. Regardons les solutions aux exemples.

Exemple.

Débarrassez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction .

Solution.

En ouvrant les parenthèses au dénominateur, on arrive à l'expression . Ensuite ils permettent de passer aux fractions . Après avoir calculé les valeurs sous les signes des racines, on a . Évidemment, dans l'expression résultante, cela est possible, ce qui donne une fraction égale à 1/16. C'est ainsi que nous nous sommes débarrassés de l'irrationalité du dénominateur.

Habituellement, la solution est écrite brièvement sans explication, car les actions effectuées sont assez simples :

Répondre:

.

Exemple.

Solution.

Lorsque nous avons parlé de transformer des expressions irrationnelles en utilisant les propriétés des racines, nous avons noté que pour toute expression A avec n pair (dans notre cas n=2) l'expression peut être remplacée par l'expression |A| sur l'ensemble de l'ODZ des variables pour l'expression d'origine. Par conséquent, vous pouvez effectuer la transformation suivante d’une fraction donnée : , ce qui nous libère de l'irrationalité du dénominateur.

Répondre:

.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par la racine

Lorsque l'expression au dénominateur d'une fraction a la forme , où l'expression A ne contient pas de signes de racines, alors multiplier le numérateur et le dénominateur par vous permet de vous débarrasser de l'irrationalité du dénominateur. Cette action est possible car elle ne disparaît pas sur les variables variables de l'expression d'origine. Dans ce cas, le dénominateur produit une expression qui peut être facilement convertie en une forme sans signes radicaux : . Montrons l'application de cette approche avec des exemples.

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction : a) , b) .

Solution.

a) En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par la racine carrée de trois, on obtient .

b) Pour supprimer le signe racine carrée au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par , puis effectuez les transformations au dénominateur :

Répondre:

un B) .

Dans le cas où le dénominateur contient des facteurs ou , où m et n sont des nombres naturels, le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés par un facteur tel qu'après cela, l'expression dans le dénominateur puisse être convertie sous la forme ou , où k est un entier naturel, respectivement. Il est alors facile de passer à une fraction sans irrationalité au dénominateur. Démontrons l'application de la méthode décrite pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur à l'aide d'exemples.

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction : a) , b) .

Solution.

a) L'entier naturel le plus proche supérieur à 3 et divisible par 5 est 5. Pour que l'exposant de six devienne égal à cinq, l'expression au dénominateur doit être multipliée par. Par conséquent, la libération de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction sera facilitée par l'expression par laquelle le numérateur et le dénominateur doivent être multipliés :

b) Évidemment, l'entier naturel le plus proche qui dépasse 15 et qui est divisible par 4 sans reste est 16. Pour que l'exposant du dénominateur devienne égal à 16, vous devez multiplier l'expression par. Ainsi, multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par (notez que la valeur de cette expression n'est pas égale à zéro pour tout x réel) éliminera l'irrationalité du dénominateur :

Répondre:

UN) , b) .

Multiplier par son conjugué

La méthode suivante pour se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction couvre les cas où le dénominateur contient des expressions de la forme , , , , ou . Dans ces cas, afin de vous libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce qu'on appelle expression conjuguée.

Reste à savoir quelles expressions sont conjuguées à ce qui précède. Pour une expression, l'expression conjuguée est , et pour une expression, l'expression conjuguée est . De même, pour une expression le conjugué est , et pour une expression le conjugué est . Et pour une expression le conjugué est , et pour une expression le conjugué est . Ainsi, l'expression conjuguée à cette expression en diffère par le signe devant le deuxième terme.

Voyons à quoi aboutit la multiplication d'une expression par son conjugué. Par exemple, considérons le travail . On peut la remplacer par la différence des carrés, c'est-à-dire , d'où on peut alors passer à l'expression a−b, qui ne contient pas de signes des racines.

Il devient maintenant clair comment multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par l'expression conjuguée au dénominateur permet de se libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction. Examinons les solutions à des exemples typiques.

Exemple.

Imaginez l'expression comme une fraction dont le dénominateur ne contient pas de radical : a) , b) .

Solution.

a) L'expression conjuguée au dénominateur est . Multiplions le numérateur et le dénominateur par celui-ci, ce qui nous permettra de nous affranchir de l'irrationalité au dénominateur de la fraction :

b) Le conjugué de l'expression est . En multipliant le numérateur et le dénominateur par celui-ci, on obtient

Il était possible de supprimer d'abord le signe moins du dénominateur, puis seulement de multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée au dénominateur :

Répondre:

UN) , b) .

Attention : lors de la multiplication du numérateur et du dénominateur d'une fraction par une expression avec des variables conjuguées au dénominateur, il faut veiller à ce qu'il ne disparaisse pour aucun ensemble de valeurs des variables de l'ODZ pour l'expression d'origine.

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction.

Solution.

Tout d'abord, trouvons la plage de valeurs admissibles (APV) de la variable x. Elle est déterminée par les conditions x≥0 et , d'où on conclut que l'ODZ est l'ensemble x≥0.

L'expression conjuguée au dénominateur est . On peut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par celui-ci, à condition que , ce qui sur l'ODZ équivaut à la condition x≠16. Dans ce cas nous avons

Et à x=16 on a .

Ainsi, pour toutes les valeurs de la variable x de l'ODZ, sauf x=16, , et pour x=16 nous avons .

Répondre:

Utiliser les formules de somme de cubes et de différence de cubes

Du paragraphe précédent, nous avons appris que la multiplication du numérateur et du dénominateur d'une fraction par l'expression conjuguée au dénominateur est effectuée afin d'appliquer ultérieurement la formule de la différence des carrés et ainsi se libérer de l'irrationalité du dénominateur. Dans certains cas, d'autres formules de multiplication abrégées sont utiles pour éliminer l'irrationalité du dénominateur. Par exemple, la formule de la différence des cubes a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) permet de se débarrasser de l'irrationalité lorsque le dénominateur d'une fraction contient des expressions avec des racines cubiques de la forme ou , où A et B sont des nombres ou des expressions. Pour ce faire, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par le carré partiel de la somme ou par la différence, respectivement. La formule de la somme des cubes s’utilise de la même manière. une 3 +b 3 =(une+b)·(une 2 −une·b+b 2).

Exemple.

Libérez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur de la fraction : a) , b) .

Solution.

a) Il est facile de deviner que dans ce cas, multiplier le numérateur et le dénominateur par le carré incomplet de la somme des nombres et permet de se libérer de l'irrationalité du dénominateur, puisqu'à l'avenir cela permettra de transformer l'expression au dénominateur en utilisant la formule de la différence des cubes :

b) Expression au dénominateur de la fraction peut être représenté sous la forme , d'où il ressort clairement qu'il s'agit d'un carré incomplet de la différence entre les nombres 2 et . Ainsi, si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par la somme, alors le dénominateur peut être converti à l'aide de la formule de la somme des cubes, ce qui nous libérera de l'irrationalité du dénominateur de la fraction. Cela peut être fait sous la condition qui est équivalente à la condition supplémentaire x≠−8 :

Et en remplaçant x=−8 dans la fraction originale, nous avons .

Ainsi, pour tout x de l'ODZ pour la fraction d'origine (dans ce cas c'est l'ensemble R), sauf x=−8, on a , et pour x=8 on a .

Répondre:

Utiliser différentes méthodes

Dans des exemples plus complexes, il n'est généralement pas possible de se libérer de l'irrationalité du dénominateur en une seule action, mais vous devez appliquer systématiquement méthode après méthode, y compris celles évoquées ci-dessus. Parfois, des solutions non standard peuvent être nécessaires. Des tâches assez intéressantes sur le sujet en discussion peuvent être trouvées dans le manuel rédigé par Yu. N. Kolyagin. Bibliographie.

1. Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
2. Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. À 14h Partie 1. Manuel pour les étudiants les établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovitch. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
3. Algèbre et le début de l'analyse mathématique. 10e année : manuel. pour l'enseignement général institutions : base et profil. niveaux / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin] ; édité par A. B. Jijchenko. - 3e éd. - M. : Éducation, 2010.- 368 p. : ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Il existe plusieurs types irrationalité fractions au dénominateur. Il est associé à la présence d'une racine algébrique de degrés identiques ou différents. Afin de se débarrasser de irrationalité, il est nécessaire d'effectuer certaines opérations mathématiques selon la situation.

Instructions

1. Avant de se débarrasser irrationalité fractions au dénominateur, vous devez déterminer son type et, en fonction de cela, poursuivre la solution. En effet, toute irrationalité découle de la simple présence de racines ; leurs différentes combinaisons et degrés sont assumés par différents algorithmes.

2. Racine carrée du dénominateur, expression de la forme a/?bEntrez un facteur supplémentaire égal à ?b. Pour que la fraction ne change pas, il faut multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur : a/?b ? (a ?b)/b.Exemple 1 : 10/?3 ? (10?3)/3.

3. Présence en dessous de la ligne fractions une racine d'une puissance fractionnaire de la forme m/n, et n>mCette expression ressemble à ceci : a/?(b^m/n).

4. Débarrassez-vous des similaires irrationalitéégalement en saisissant un multiplicateur, cette fois plus difficile : b^(n-m)/n, c'est-à-dire de l'exposant de la racine elle-même, il faut soustraire le degré de l'expression sous son signe. Alors seule la première puissance restera au dénominateur : a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b. Exemple 2 : 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. Somme des racines carréesMultiplier les deux composantes fractions par une différence similaire. Puis, à partir de l'addition irrationnelle de racines, le dénominateur se transforme en différence d'expressions/nombres sous le signe racine : a/(?b + ?c) ? a (?b – ?c)/(b – c).Exemple 3 : 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 – ?23)/(13 – 23) = 9 (?23 – ?13)/10.

6. Somme/différence des racines cubiquesChoisissez comme facteur supplémentaire le carré incomplet de la différence si le dénominateur contient une somme, et, par conséquent, le carré incomplet de la somme pour la différence des racines : a/(?b ± ?c) ? une (?b? ? ?(bc) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ? ?(bc) + ?c?) ?a (?b? ? ?(bc) + ? c?)/(b ± c).Exemple 4 : 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25-?20 +?16)/9.

7. Si le problème contient à la fois une racine carrée et une racine cubique, divisez la solution en deux étapes : dérivez progressivement la racine carrée du dénominateur, puis la racine cubique. Cela se fait selon les méthodes que vous connaissez déjà : dans la première action, vous devez choisir le multiplicateur de la différence/somme des racines, dans la seconde - le carré incomplet de la somme/différence.

Astuce 2 : Comment se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur

La notation correcte d'un nombre fractionnaire ne contient pas irrationalité V dénominateur. Une telle notation est donc plus facile à comprendre en apparence lorsque irrationalité V dénominateur C'est intelligent de s'en débarrasser. Dans ce cas, l’irrationalité peut devenir un numérateur.

Instructions

1. Pour commencer, regardons un exemple primitif - 1/sqrt(2). La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel dans dénominateur.Dans ce cas, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par son dénominateur. Cela fournira un nombre raisonnable dans dénominateur. En effet, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. En multipliant 2 racines carrées identiques entre elles, on obtient ce qui se trouve sous toutes les racines : dans ce cas, deux. Le résultat : 1/sqrt (2) = (1*carré(2))/(carré(2)*carré(2)) = carré(2)/2. Cet algorithme convient également aux fractions, en dénominateur dont la racine est multipliée par un nombre raisonnable. Le numérateur et le dénominateur dans ce cas doivent être multipliés par la racine située dans dénominateur.Exemple : 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

2. Bien sûr, quelque chose comme ça devrait être fait si dénominateur Ce n'est pas la racine carrée que l'on trouve, mais, disons, la racine cubique ou tout autre degré. Enracinement dans dénominateur il faut multiplier par la même racine, et le numérateur est aussi multiplié par la même racine. Ensuite, la racine ira au numérateur.

3. Dans un cas plus difficile en dénominateur il existe une somme ou une différence d'un nombre irrationnel et d'un nombre raisonnable ou de 2 nombres irrationnels. Dans le cas de la somme (différence) de 2 racines carrées ou d'une racine carrée et d'un nombre raisonnable, vous pouvez utiliser la fameuse formule (x+y )(x-y) = (x^2 )-(y^2). Cela vous aidera à vous débarrasser irrationalité V dénominateur. Si dans dénominateur différence, alors vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par la somme des mêmes nombres, si la somme - alors par la différence. Cette somme ou différence multipliée sera appelée conjuguée à l'expression en dénominateur.Le résultat de ce schéma est clairement visible dans l'exemple : 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (carré(2)-1)/((carré(2)^2)-(1^2)) = (carré(2)-1)/(2-1) = carré(2)-1.

4. Si dans dénominateur il y a une somme (différence) dans laquelle une racine d'un plus grand degré est présente, alors la situation devient non triviale et la libération de irrationalité V dénominateur pas toujours acceptable

Astuce 3 : Comment se libérer de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction

Une fraction est constituée d'un numérateur, situé en haut de la ligne, et d'un dénominateur, celui qu'elle divise, situé en bas. Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut être représenté sous la forme fractions avec un entier au numérateur et un nombre naturel au dénominateur. Ces nombres sont, par exemple, la racine carrée de 2 ou pi. Traditionnellement, lorsqu'on parle d'irrationalité dans dénominateur, la racine est implicite.

Instructions

1. Éliminez l'irrationalité en multipliant par le dénominateur. De cette façon, l’irrationalité sera transférée au numérateur. En multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre, la valeur fractions ne change pas. Utilisez cette option si chaque dénominateur est une racine.

2. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le dénominateur le nombre de fois requis, en fonction de la racine. Si la racine est carrée, alors une fois.

3. Prenons l'exemple avec racine carrée. Prenez la fraction (56-y)/√(x+2). Il a un numérateur (56-y) et un dénominateur irrationnel √(x+2), qui est la racine carrée.

4. Multipliez le numérateur et le dénominateur fractions au dénominateur, c'est-à-dire à √(x+2). L'exemple original (56-y)/√(x+2) deviendra ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). Le résultat sera ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Maintenant la racine est au numérateur, et dans dénominateur il n'y a pas d'irrationalité.

5. Pas toujours le dénominateur fractions chacun est sous la racine. Débarrassez-vous de l'irrationalité en utilisant la formule (x+y)*(x-y)=x²-y².

6. Prenons l'exemple de la fraction (56-y)/(√(x+2)-√y). Son dénominateur irrationnel contient la différence de 2 racines carrées. Complétez le dénominateur pour former (x+y)*(x-y).

7. Multipliez le dénominateur par la somme des racines. Multipliez le numérateur par le même pour obtenir la valeur fractions n'a pas changé. La fraction prendra la forme ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

8. Profitez de la propriété ci-dessus (x+y)*(x-y)=x²-y² et libérez le dénominateur de l'irrationalité. Le résultat sera ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Désormais, la racine est au numérateur et le dénominateur s'est débarrassé de l'irrationalité.

9. DANS cas difficiles répétez ces deux options, en les appliquant si nécessaire. Notez qu'il n'est pas toujours possible de se débarrasser de l'irrationalité dans dénominateur .

Une fraction algébrique est une expression de la forme A/B, où les lettres A et B représentent n'importe quelle expression numérique ou alphabétique. Souvent, le numérateur et le dénominateur fractions algébriques ont une apparence massive, mais les opérations avec de telles fractions doivent être effectuées selon les mêmes règles que les actions avec des fractions ordinaires, où le numérateur et le dénominateur sont des entiers positifs.

Instructions

1. Si donné mélangé fractions, convertissez-les en fractions irrégulières (une fraction dans laquelle le numérateur est plus grand que le dénominateur) : multipliez le dénominateur par la partie entière et ajoutez le numérateur. Ainsi, le nombre 2 1/3 se transformera en 7/3. Pour ce faire, multipliez 3 par 2 et ajoutez-en un.

2. Si vous devez convertir une décimale en fraction impropre, pensez à diviser un nombre sans virgule décimale par un avec autant de zéros qu'il y a de nombres après la virgule décimale. Disons, imaginez le nombre 2,5 comme 25/10 (si vous le raccourcissez, vous obtenez 5/2) et le nombre 3,61 comme 361/100. Il est souvent plus facile d'opérer avec des fractions impropres qu'avec des fractions mixtes ou décimales.

3. Si les fractions ont des dénominateurs identiques et que vous devez les additionner, ajoutez simplement les numérateurs ; les dénominateurs restent inchangés.

4. Si vous devez soustraire des fractions avec des dénominateurs identiques, soustrayez le numérateur de la 2e fraction du numérateur de la première fraction. Les dénominateurs ne changent pas non plus.

5. Si vous devez additionner des fractions ou soustraire une fraction d’une autre et qu’elles ont des dénominateurs différents, réduisez les fractions à un dénominateur commun. Pour ce faire, trouvez un nombre qui sera le plus petit multiple universel (LCM) des deux dénominateurs ou plusieurs si les fractions sont supérieures à 2. LCM est un nombre qui sera divisé en dénominateurs de toutes les fractions données. Par exemple, pour 2 et 5, ce nombre est 10.

6. Après le signe égal, tracez une ligne horizontale et écrivez ce nombre (NOC) au dénominateur. Ajoutez des facteurs supplémentaires au terme entier - le nombre par lequel vous devez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur pour obtenir le LCM. Multipliez les numérateurs étape par étape par des facteurs supplémentaires, en préservant le signe d'addition ou de soustraction.

7. Calculez le total, réduisez-le si nécessaire ou sélectionnez la partie entière. Par exemple, faut-il le plier ? Et?. Le LCM pour les deux fractions est de 12. Ensuite, le facteur supplémentaire pour la première fraction est de 4, pour la 2ème fraction - 3. Total : ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Si un exemple est donné pour la multiplication, multipliez les numérateurs ensemble (ce sera le numérateur du total) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur du total). Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de les réduire à un dénominateur commun.

9. Pour diviser une fraction par une fraction, vous devez retourner la deuxième fraction et multiplier les fractions. Autrement dit, a/b : c/d = a/b · d/c.

10. Factorisez le numérateur et le dénominateur selon vos besoins. Par exemple, déplacez le facteur universel hors de la parenthèse ou développez-le selon des formules de multiplication abrégées, de sorte que vous puissiez ensuite, si nécessaire, réduire le numérateur et le dénominateur de GCD - le diviseur universel minimum.

Note!
Additionnez des chiffres avec des chiffres, des lettres du même genre avec des lettres du même genre. Disons qu'il est impossible d'additionner 3a et 4b, ce qui signifie que leur somme ou différence restera au numérateur - 3a±4b.

Dans la vie de tous les jours, les faux chiffres sont plus fréquents : 1, 2, 3, 4, etc. (5 kg de pommes de terre) et des nombres fractionnaires non entiers (5,4 kg d'oignons). Beaucoup d'entre eux sont présentés dans formulaire décimales. Mais représente la fraction décimale dans formulaire fractions plutôt facile.

Instructions

1. Disons que le nombre « 0,12 » est donné. Si vous ne réduisez pas cette fraction décimale et la présentez telle quelle, alors elle ressemblera à ceci : 12/100 (« douze centièmes »). Afin de vous débarrasser de cent au dénominateur, vous devez diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par un nombre qui les divise en nombres entiers. Ce nombre est 4. Ensuite, en divisant le numérateur et le dénominateur, nous obtenons le nombre : 3/25.

2. Si l'on regarde davantage la vie de tous les jours, on voit souvent sur l'étiquette de prix des produits que leur poids est par exemple d'environ 0,478 kg. Ce chiffre est également facile à imaginer dans formulaire fractions:478/1000 = 239/500. Cette fraction est assez laide, et s’il y avait une probabilité, alors cette fraction décimale pourrait être réduite davantage. Et tout de la même manière : sélectionner un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Ce nombre est appelé le plus grand facteur universel. Le facteur est appelé « le plus grand » car il est beaucoup plus pratique de diviser immédiatement le numérateur et le dénominateur par 4 (comme dans le premier exemple) que de le diviser deux fois par 2.

Vidéo sur le sujet

Décimal fraction- variété fractions, qui a un nombre « rond » au dénominateur : 10, 100, 1000, etc., Disons, fraction 5/10 a une notation décimale de 0,5. Sur la base de cette thèse, fraction peut être représenté sous forme décimale fractions .

Instructions

1. Possible, doit être représenté sous forme décimale fraction 18/25. Tout d’abord, vous devez vous assurer qu’un des nombres « ronds » apparaît au dénominateur : 100, 1000, etc. Pour ce faire, vous devez multiplier le dénominateur par 4. Mais vous devrez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur par 4.

2. Multiplier le numérateur et le dénominateur fractions 18/25 par 4, il s'avère 72/100. Ceci est enregistré fraction sous forme décimale : 0,72.

Lors de la division de 2 fractions décimales, lorsqu'il n'y a pas de calculatrice à portée de main, beaucoup rencontrent des difficultés. Il n'y a vraiment rien de difficile ici. Décimal fractions sont appelés ainsi si leur dénominateur a un nombre multiple de 10. Comme d'habitude, ces nombres sont écrits sur une seule ligne et comportent une virgule séparant la partie fractionnaire du tout. Apparemment, en raison de la présence d'une partie fractionnaire, qui diffère également par le nombre de chiffres après la virgule décimale, beaucoup ne savent pas comment effectuer des opérations mathématiques avec de tels nombres sans calculatrice.

Tu auras besoin de

• feuille de papier, crayon

Instructions

1. Il s'avère que pour diviser une fraction décimale par une autre, vous devez examiner les deux nombres et déterminer lequel d'entre eux a le plus de chiffres après la virgule décimale. Nous multiplions les deux nombres par un nombre multiple de 10, c'est-à-dire 10, 1000 ou 100000, dont le nombre de zéros est égal à plus chiffres postérieurs au point décimal d'un de nos 2 nombres initiaux. Maintenant les deux sont décimaux fractions transformé en entiers ordinaires. Prenez une feuille de papier avec un crayon et séparez les deux nombres obtenus par un « coin ». Nous obtenons le résultat.

2. Disons que nous devons diviser le nombre 7,456 par 0,43. Le premier nombre a plus de décimales (3 décimales), donc nous multiplions les deux nombres non pas par 1000 et obtenons deux entiers primitifs : 7456 et 430. Maintenant nous divisons 7456 par 430 avec un « coin » et nous obtenons cela si 7,456 est divisé par 0,43, il sortira environ 17,3.

3. Il existe une autre méthode de division. Écrire des décimales fractions sous forme de fractions primitives avec numérateur et dénominateur, pour notre cas ce sont 7456/1000 et 43/100. Plus tard, nous écrivons l'expression pour diviser 2 fractions primitives : 7456*100/1000*43, après quoi nous réduisons les dizaines, nous obtenons : 7456/10*43 = 7456/430 Dans le résultat final, nous obtenons à nouveau la division de 2 numéros primitifs 7456 et 430, réalisables avec un « coin ».

Vidéo sur le sujet

Conseil utile
Ainsi, la façon de diviser des fractions décimales est de les réduire en nombres entiers, en multipliant chacune d’elles par le même nombre. Effectuer des opérations avec des nombres entiers, comme d'habitude, ne pose de difficultés à personne.

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