Définition du triangle

Triangle est une figure géométrique composée de trois points connectés en série.

Un triangle a trois côtés et trois angles.

Il existe de nombreux types de triangles et ils ont tous des propriétés différentes. Nous listons les principaux types de triangles :

1. Polyvalent(tous les côtés sont de longueurs différentes) ;
2. Isocèle(deux côtés sont égaux, deux angles à la base sont égaux) ;
3. Équilatéral(tous les côtés et tous les angles sont égaux).

Cependant, pour tous les types de triangles, il existe une formule universelle pour trouver le périmètre d'un triangle : c'est la somme des longueurs de tous les côtés du triangle.

Calculateur en ligne

Formule de périmètre du triangle

P = a + b + c P = a + b + c P=un +b+c

A, b, c a, b, c une, b, c- les longueurs des côtés du triangle.

Examinons les problèmes pour trouver le périmètre d'un triangle.

Tâche

Le triangle a des côtés : a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm. Quel est le périmètre du triangle ?

Solution
Utilisons la formule pour trouver le périmètre d'un triangle et remplaçons un un un, bb b Et cc c leurs valeurs numériques :
P = a + b + c P = a + b + c P=un +b+c
P = 28 + 46 + 51 = 125 cm P = 28 + 46 + 51 = 125\texte( cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

Répondre:
P = 125 cm. P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm .

Tâche

Le triangle est équilatéral et mesure 23 cm de côté. Quel est le périmètre du triangle ?

Solution

P = a + b + c P = a + b + c P=un +b+c

Mais selon la condition, nous avons un triangle équilatéral, c'est-à-dire que tous ses côtés sont égaux. Dans ce cas, la formule prendra la forme suivante :

P = a + a + a = 3 a P = a + a + a = 3aP=un +un +une =3a

Nous substituons la valeur numérique dans la formule et trouvons le périmètre du triangle :

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Répondre
P = 69 cm. P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm .

Tâche

Dans un triangle isocèle, le côté b mesure 14 cm et la base a mesure 9 cm. Trouvez le périmètre du triangle.

Solution
Utilisons la formule pour trouver le périmètre d'un triangle :

P = a + b + c P = a + b + c P=un +b+c

Mais selon la condition, nous avons un triangle isocèle, c'est-à-dire que ses côtés sont égaux. Dans ce cas, la formule prendra la forme suivante :

P = a + b + b = 2 b + a P = a + b + b = 2b + aP=un +b+b =2b +un

Nous substituons des valeurs numériques dans la formule et trouvons le périmètre du triangle :

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Répondre
P = 37 cm. P = 37\texte( cm.)P=3 7 cm .

Information préliminaire

Le périmètre de toute figure géométrique plate sur un plan est défini comme la somme des longueurs de tous ses côtés. Le triangle ne fait pas exception à cela. Dans un premier temps, nous présentons le concept de triangle, ainsi que les types de triangles en fonction des côtés.

Définition 1

Nous appellerons un triangle une figure géométrique composée de trois points reliés entre eux par des segments (Fig. 1).

Définition 2

Dans le cadre de la définition 1, nous appellerons les points les sommets du triangle.

Définition 3

Dans le cadre de la définition 1, les segments seront appelés côtés du triangle.

Évidemment, tout triangle aura 3 sommets, ainsi que trois côtés.

En fonction de la relation des côtés les uns par rapport aux autres, les triangles sont divisés en scalènes, isocèles et équilatéraux.

Définition 4

Nous appellerons un triangle scalène si aucun de ses côtés n’est égal à un autre.

Définition 5

Nous appellerons un triangle isocèle si deux de ses côtés sont égaux l’un à l’autre, mais pas égaux au troisième côté.

Définition 6

On appellera un triangle équilatéral si tous ses côtés sont égaux entre eux.

Vous pouvez voir tous les types de ces triangles sur la figure 2.

Comment trouver le périmètre d’un triangle scalène ?

Soit un triangle scalène dont les longueurs des côtés sont égales à $α$, $β$ et $γ$.

Conclusion: Pour trouver le périmètre d’un triangle scalène, vous devez additionner toutes les longueurs de ses côtés.

Exemple 1

Trouvez le périmètre du triangle scalène égal à 34$ cm, 12$ cm et 11$ cm.

$P=34+12+11=57$cm

Réponse : 57$ cm.

Exemple 2

Trouvez le périmètre d'un triangle rectangle dont les jambes mesurent 6$ et 8$ cm.

Tout d'abord, trouvons la longueur des hypoténuses de ce triangle à l'aide du théorème de Pythagore. Notons-le par $α$, alors

$α=10$ D'après la règle de calcul du périmètre d'un triangle scalène, on obtient

$P=10+8+6=24$cm

Réponse : 24$ voir.

Comment trouver le périmètre d’un triangle isocèle ?

Soit un triangle isocèle, les longueurs des côtés seront égales à $α$, et la longueur de la base sera égale à $β$.

En déterminant le périmètre d'une figure géométrique plane, on obtient que

$P=α+α+β=2α+β$

Conclusion: Pour trouver le périmètre d’un triangle isocèle, ajoutez deux fois la longueur de ses côtés à la longueur de sa base.

Exemple 3

Trouvez le périmètre d'un triangle isocèle si ses côtés mesurent 12$ cm et sa base mesure 11$ cm.

De l'exemple discuté ci-dessus, nous voyons que

$P=2\cdot 12+11=35$cm

Réponse : 35$ voir.

Exemple 4

Trouvez le périmètre d'un triangle isocèle si sa hauteur jusqu'à la base est de 8$ cm et la base est de 12$ cm.

Regardons le dessin en fonction des conditions problématiques :

Puisque le triangle est isocèle, $BD$ est aussi la médiane, donc $AD=6$ cm.

En utilisant le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ADB$, on trouve le côté latéral. Notons-le par $α$, alors

D'après la règle de calcul du périmètre d'un triangle isocèle, on obtient

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Réponse : 32$ voir.

Comment trouver le périmètre d'un triangle équilatéral ?

Soit un triangle équilatéral dont les longueurs de tous les côtés sont égales à $α$.

En déterminant le périmètre d'une figure géométrique plane, on obtient que

$P=α+α+α=3α$

Conclusion: Pour trouver le périmètre d'un triangle équilatéral, multipliez la longueur du côté du triangle par 3$.

Exemple 5

Trouvez le périmètre d'un triangle équilatéral si son côté mesure 12$ cm.

De l'exemple discuté ci-dessus, nous voyons que

$P=3\cdot 12=36$ cm

Le périmètre de tout triangle est la longueur de la ligne qui délimite la figure. Pour le calculer, vous devez connaître la somme de tous les côtés de ce polygone.

Calcul à partir de longueurs de côté données

Une fois leurs significations connues, cela est facile à faire. En désignant ces paramètres par les lettres m, n, k, et le périmètre par la lettre P, on obtient la formule de calcul : P = m+n+k. Devoir : On sait qu'un triangle a des côtés mesurant 13,5 décimètres, 12,1 décimètres et 4,2 décimètres. Découvrez le périmètre. Nous résolvons : Si les côtés de ce polygone sont a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, alors P = 29,8 dm. Réponse : P = 29,8 dm.

Périmètre d'un triangle ayant deux côtés égaux

Un tel triangle est appelé isocèle. Si ces côtés égaux ont une longueur de a centimètres et que le troisième côté a une longueur de b centimètres, alors le périmètre est facile à connaître : P = b + 2a. Devoir : un triangle a deux côtés de 10 décimètres, une base de 12 décimètres. Trouvez P. Solution : Soit le côté a = c = 10 dm, la base b = 12 dm. Somme des côtés P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Réponse : P = 32 décimètres.

Périmètre d'un triangle équilatéral

Si les trois côtés d’un triangle ont le même nombre d’unités de mesure, on parle d’équilatéral. Un autre nom est correct. Le périmètre d'un triangle régulier se trouve à l'aide de la formule : P = a+a+a = 3·a. Problème : Nous avons un terrain triangulaire équilatéral. Un côté mesure 6 mètres. Trouvez la longueur de la clôture qui peut être utilisée pour délimiter cette zone. Solution : Si le côté de ce polygone est a = 6 m, alors la longueur de la clôture est P = 3 6 = 18 (m). Réponse : P = 18 m.

Un triangle qui a un angle de 90°

On l'appelle rectangulaire. La présence d'un angle droit permet de retrouver des côtés inconnus en utilisant la définition des fonctions trigonométriques et le théorème de Pythagore. Le côté le plus long s'appelle l'hypoténuse et est désigné par c. Il y a deux autres côtés, a et b. D'après le théorème du nom de Pythagore, nous avons c 2 = a 2 + b 2 . Jambes a = √ (c 2 - b 2) et b = √ (c 2 - a 2). Connaissant la longueur de deux pattes a et b, on calcule l'hypoténuse. On trouve ensuite la somme des côtés de la figure en additionnant ces valeurs. Devoir : Les jambes d'un triangle rectangle ont des longueurs de 8,3 centimètres et 6,2 centimètres. Le périmètre du triangle doit être calculé. Résoudre : Notons les jambes a = 8,3 cm, b = 6,2 cm. D'après le théorème de Pythagore, l'hypoténuse c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107,33 = 10,4 (cm ). P = 24,9 (cm). Ou P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Réponse : P = 24,9 cm Les valeurs des racines ont été prises avec une précision au dixième près. Si nous connaissons les valeurs de l'hypoténuse et de la jambe, alors nous obtenons la valeur de P en calculant P = √ (c 2 - b 2) + b + c. Problème 2 : Une section de terrain opposée à un angle de 90 degrés, 12 km, l'une des jambes fait 8 km. Combien de temps faudra-t-il pour parcourir toute la zone à pied si vous vous déplacez à une vitesse de 4 kilomètres par heure ? Solution : si le plus grand segment fait 12 km, le plus petit fait b = 8 km, alors la longueur du trajet entier sera P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Nous trouverons le temps en divisant le chemin par la vitesse. 28,9:4 = 7,225 (heures). Réponse : vous pouvez le contourner en 7,3 heures. Nous prenons la valeur des racines carrées et la réponse est précise au dixième près. Vous pouvez trouver la somme des côtés d’un triangle rectangle si l’un des côtés et la valeur de l’un des angles aigus sont donnés. Connaissant la longueur de la jambe b et la valeur de l'angle β qui lui fait face, on trouve le côté inconnu a = b/ tan β. Trouvez l'hypoténuse c = a : sinα. On trouve le périmètre d'une telle figure en additionnant les valeurs résultantes. P = a + a/ sinα + a/ tan α, ou P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Tâche : Dans un rectangle Δ ABC d'angle droit C, le pied BC a une longueur de 10 m, l'angle A est de 29 degrés. Nous devons trouver la somme des côtés Δ ABC. Solution : Notons le côté connu BC = a = 10 m, l'angle qui lui fait face, ∟A = α = 30°, puis le côté AC = b = 10 : 0,58 = 17,2 (m), hypoténuse AB = c = 10 : 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Soit P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m. On a : P = 47,2 m. On prend la valeur des fonctions trigonométriques au centième près, arrondir la longueur des côtés et le périmètre au dixième. Ayant la valeur de la jambe α et l'angle adjacent β, on découvre à quoi est égale la deuxième jambe : b = a tan β. L'hypoténuse dans ce cas sera égale à la jambe divisée par le cosinus de l'angle β. On connaît le périmètre par la formule P = a + a tan β + a : cos β = (tg β + 1+1 : cos β)·a. Devoir : La jambe d'un triangle avec un angle de 90 degrés mesure 18 cm, l'angle adjacent est de 40 degrés. Trouver P. Solution : Notons le côté connu BC = 18 cm, ∟β = 40°. Alors le côté inconnu AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), hypoténuse AB = c = 18 : 0,77 = 23,4 (cm). La somme des côtés de la figure est P = 56,3 (cm). Ou P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm. Réponse : P = 56,3 cm. Si la longueur de l'hypoténuse c et un certain angle α sont connus, alors les jambes seront égales au produit de l'hypoténuse pour le premier - par le sinus et pour le second - par le cosinus de cet angle. Le périmètre de cette figure est P = (sin α + 1+ cos α)*c. Devoir : L'hypoténuse d'un triangle rectangle AB = 9,1 centimètres et l'angle est de 50 degrés. Trouvez la somme des côtés de cette figure. Solution : Notons l'hypoténuse : AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, alors une des jambes BC a une longueur a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), jambe AC ​​= b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Cela signifie que le périmètre de ce polygone est P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Ou P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Réponse : P = 21,9 centimètres.

Un triangle arbitraire dont l'un des côtés est inconnu

Si l'on a les valeurs de deux côtés a et c, et l'angle entre ces côtés γ, on trouve le troisième par le théorème du cosinus : b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, où β est l'angle situé entre les côtés a et c. Ensuite, nous trouvons le périmètre. Tâche : Δ ABC a un segment AB d'une longueur de 15 dm et un segment AC d'une longueur de 30,5 dm. L'angle entre ces côtés est de 35 degrés. Calculez la somme des côtés Δ ABC. Solution : En utilisant le théorème du cosinus, nous calculons la longueur du troisième côté. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) On a : P = 65,6 dm.

La somme des côtés d'un triangle arbitraire dans lequel les longueurs de deux côtés sont inconnues

Lorsqu'on connaît la longueur d'un seul segment et la valeur de deux angles, on peut connaître la longueur de deux côtés inconnus grâce au théorème des sinus : « dans un triangle, les côtés sont toujours proportionnels aux valeurs des sinus de angles opposés. Où est-ce que b = (a* sin β)/ sin a. De même c = (a sin γ) : sin a. Le périmètre dans ce cas sera P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Tâche : Nous avons Δ ABC. Dans ce document, la longueur du côté BC est de 8,5 mm, la valeur de l'angle C est de 47° et l'angle B est de 35 degrés. Trouvez la somme des côtés de cette figure. Solution : Notons les longueurs des côtés BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. A partir des relations obtenues à partir du théorème des sinus, on trouve les pattes AC = b = (8,5 0,57) : 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99) : 0,73 = 9,5 (mm). La somme des côtés de ce polygone est donc P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Réponse : P = 23,5 mm. Dans le cas où il n'y a que la longueur d'un segment et les valeurs de deux angles adjacents, on calcule d'abord l'angle opposé au côté connu. Tous les angles de cette figure totalisent 180 degrés. Donc ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Ensuite, nous trouvons les segments inconnus en utilisant le théorème des sinus. Tâche : Nous avons Δ ABC. Il a un segment BC égal à 10 cm. La valeur de l'angle B est de 48 degrés, l'angle C est de 56 degrés. Trouvez la somme des côtés Δ ABC. Solution : Tout d’abord, trouvez la valeur de l’angle A opposé au côté BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Maintenant, en utilisant le théorème des sinus, on calcule la longueur du côté AC = 10·0,74 : 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* péché C/ péché A = 8,6. Le périmètre du triangle est P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Résultat : P = 26,2 cm.

Calculer le périmètre d'un triangle en utilisant le rayon du cercle qui y est inscrit

Parfois, aucun des deux côtés du problème n’est connu. Mais il existe une valeur pour l'aire du triangle et le rayon du cercle qui y est inscrit. Ces quantités sont liées : S = r p. Connaissant l'aire du triangle et le rayon r, on peut trouver le demi-périmètre p. On trouve p = S : r. Problème : La parcelle a une superficie de 24 m2, le rayon r est de 3 m. Trouver le nombre d'arbres qui doivent être plantés uniformément le long de la ligne entourant cette parcelle, s'il doit y avoir une distance de 2 mètres entre deux voisins. . Solution : On trouve la somme des côtés de cette figure comme suit : P = 2 · 24 : 3 = 16 (m). Divisez ensuite par deux. 16:2= 8. Total : 8 arbres.

Somme des côtés d'un triangle en coordonnées cartésiennes

Les sommets de Δ ABC ont pour coordonnées : A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Trouvons les carrés de chaque côté AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; avant JC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2 ; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Pour trouver le périmètre, additionnez simplement tous les segments. Affectation : Coordonnées des sommets Δ ABC : B (3 ; 0), A (1 ; -3), C (2 ; 5). Trouvez la somme des côtés de cette figure. Solution : en mettant les valeurs des coordonnées correspondantes dans la formule du périmètre, on obtient P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. On a : P = 16,6. Si la figure n'est pas sur un plan, mais dans l'espace, alors chacun des sommets a trois coordonnées. Par conséquent, la formule de la somme des côtés aura un terme supplémentaire.

Méthode vectorielle

Si une figure est donnée par les coordonnées de ses sommets, le périmètre peut être calculé par la méthode vectorielle. Un vecteur est un segment qui a une direction. Son module (longueur) est indiqué par le symbole ǀᾱǀ. La distance entre les points est la longueur du vecteur correspondant, ou la valeur absolue du vecteur. Considérons un triangle posé sur un plan. Si les sommets ont des coordonnées A (x 1 ; y 1), M(x 2 ; y 2), T (x 3 ; y 3), alors la longueur de chaque côté est trouvée à l'aide des formules : ǀAMǀ = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( oui 1 - oui 3) 2). On obtient le périmètre du triangle en additionnant les longueurs des vecteurs. De même, trouvez la somme des côtés d’un triangle dans l’espace.

Périmètre d'un triangle, comme toute figure, est appelée la somme des longueurs de tous les côtés. Très souvent, cette valeur permet de trouver la surface ou est utilisée pour calculer d'autres paramètres de la figure.
La formule du périmètre d'un triangle ressemble à ceci :

Un exemple de calcul du périmètre d'un triangle. Soit un triangle avec des côtés a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Remplacez les données dans la formule : cm

Formule de calcul du périmètre triangle isocèle ressemblera à ceci :

Formule de calcul du périmètre triangle équilatéral:

Un exemple de calcul du périmètre d'un triangle équilatéral. Lorsque tous les côtés d’une figure sont égaux, ils peuvent simplement être multipliés par trois. Supposons qu'on nous donne un triangle régulier de 5 cm de côté dans ce cas : cm

En général, une fois tous les côtés donnés, trouver le périmètre est assez simple. Dans d'autres situations, vous devez trouver la taille du côté manquant. Dans un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième côté par théorème de Pythagore. Par exemple, si les longueurs des jambes sont connues, alors vous pouvez trouver l'hypoténuse à l'aide de la formule :

Considérons un exemple de calcul du périmètre d'un triangle isocèle, à condition de connaître la longueur des jambes d'un triangle isocèle rectangle.
Étant donné un triangle avec des pattes a =b =5 cm, trouvez le périmètre. Tout d'abord, trouvons le côté manquant c. cm
Calculons maintenant le périmètre : cm
Le périmètre d'un triangle rectangle isocèle sera de 17 cm.

Dans le cas où l'hypoténuse et la longueur d'une jambe sont connues, vous pouvez retrouver celle manquante à l'aide de la formule :
Si l'hypoténuse et l'un des angles aigus sont connus dans un triangle rectangle, alors le côté manquant est trouvé à l'aide de la formule.