Il y a ce qu'on appelle quatre points remarquables dans un triangle : le point d'intersection des médianes. Le point d'intersection des bissectrices, le point d'intersection des hauteurs et le point d'intersection des médiatrices. Regardons chacun d'eux.

Point d'intersection des médianes du triangle

Théorème 1

A l'intersection des médianes d'un triangle: Les médianes d'un triangle se coupent en un point et sont divisées par le point d'intersection dans le rapport $2:1$ à partir du sommet.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sont ses médianes. Puisque les médianes divisent les côtés en deux. Considérons la ligne médiane $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figure 1. Médianes d'un triangle

D'après le théorème 1, $AB||A_1B_1$ et $AB=2A_1B_1$, donc $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Cela signifie que les triangles $ABM$ et $A_1B_1M$ sont similaires selon le premier critère de similarité des triangles. Alors

De même, il est prouvé que

Le théorème a été prouvé.

Point d'intersection des médiatrices du triangle

Théorème 2

À l'intersection des bissectrices d'un triangle: Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $AM,\BP,\CK$ sont ses bissectrices. Soit le point $O$ le point d'intersection des bissectrices $AM\ et\BP$. Traçons des perpendiculaires de ce point aux côtés du triangle (Fig. 2).

Figure 2. Médiatrices du triangle

Théorème 3

Chaque point de la bissectrice angle non développéà égale distance de ses côtés.

D'après le théorème 3, nous avons : $OX=OZ,\ OX=OY$. Par conséquent, $OY=OZ$. Cela signifie que le point $O$ est équidistant des côtés de l'angle $ACB$ et se trouve donc sur sa bissectrice $CK$.

Le théorème a été prouvé.

Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle

Théorème 4

Les bissectrices perpendiculaires aux côtés d’un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Soit un triangle $ABC$, $n,\ m,\ p$ ses médiatrices. Soit le point $O$ le point d'intersection des perpendiculaires bisectorales $n\ et\ m$ (Fig. 3).

Figure 3. Médiatrices perpendiculaires d'un triangle

Pour le prouver, nous avons besoin du théorème suivant.

Théorème 5

Chaque point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment.

D'après le théorème 3, nous avons : $OB=OC,\ OB=OA$. Par conséquent, $OA=OC$. Cela signifie que le point $O$ est à égale distance des extrémités du segment $AC$ et se trouve donc sur sa médiatrice $p$.

Le théorème a été prouvé.

Point d'intersection des altitudes du triangle

Théorème 6

Les altitudes d'un triangle ou leurs extensions se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ est son altitude. Traçons une ligne droite passant par chaque sommet du triangle parallèle au côté opposé au sommet. On obtient un nouveau triangle $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figure 4. Hauteurs des triangles

Puisque $AC_2BC$ et $B_2ABC$ sont des parallélogrammes avec côté commun, alors $AC_2=AB_2$, c'est-à-dire que le point $A$ est le milieu du côté $C_2B_2$. De même, nous constatons que le point $B$ est le milieu du côté $C_2A_2$, et le point $C$ est le milieu du côté $A_2B_2$. De la construction, nous avons ce $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Par conséquent, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sont les médiatrices perpendiculaires du triangle $A_2B_2C_2$. Ensuite, d'après le théorème 4, nous avons que les hauteurs $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se coupent en un point.

Introduction

Les objets du monde qui nous entoure ont certaines propriétés étudiées par diverses sciences.

La géométrie est une branche des mathématiques qui examine diverses figures et leurs propriétés ; ses racines remontent à un passé lointain.

Dans le quatrième livre des Éléments, Euclide résout le problème : « Inscrire un cercle dans un triangle donné. » Il résulte de la solution que les trois bissectrices des angles intérieurs du triangle se coupent en un point - le centre du cercle inscrit. De la solution d'un autre problème euclidien, il résulte que les perpendiculaires restituées aux côtés du triangle en leurs milieux se coupent également en un point - le centre du cercle circonscrit. Les Éléments ne disent pas que les trois hauteurs du triangle se coupent en un point, appelé orthocentre (le mot grec « orthos » signifie « droit », « correct »). Cette proposition était cependant connue d'Archimède. Le quatrième point singulier du triangle est le point d'intersection des médianes. Archimède a prouvé que c'est le centre de gravité (barycentre) du triangle.

Les quatre points ci-dessus ont fait l’objet d’une attention particulière et, depuis le XVIIIe siècle, ils sont appelés les points « remarquables » ou « spéciaux » du triangle. L'étude des propriétés d'un triangle associé à ces points et à d'autres a servi de point de départ à la création d'une nouvelle branche des mathématiques élémentaires - la «géométrie du triangle» ou «nouvelle géométrie du triangle», dont l'un des fondateurs était Leonhard Euler.

En 1765, Euler démontra que dans tout triangle, l’orthocentre, le barycentre et le centre circonscrit se trouvent sur la même ligne droite, appelée plus tard « ligne droite d’Euler ». Dans les années vingt années XIX siècle, les mathématiciens français J. Poncelet, C. Brianchon et d'autres ont établi indépendamment le théorème suivant : les bases des médianes, les bases des altitudes et les milieux des segments d'altitudes reliant l'orthocentre aux sommets d'un triangle se trouvent sur le même cercle. Ce cercle est appelé « cercle des neuf points », ou « cercle de Feuerbach », ou encore « cercle d'Euler ». K. Feuerbach a établi que le centre de ce cercle se situe sur la droite d'Euler.

« Je pense que jamais nous n’avons vécu dans une période aussi géométrique. Tout autour est géométrie. Ces paroles, prononcées par le grand architecte français Le Corbusier au début du XXe siècle, caractérisent très précisément notre époque. Le monde dans lequel nous vivons est rempli de la géométrie des maisons et des rues, des montagnes et des champs, créations de la nature et de l'homme.

Nous nous sommes intéressés aux points dits « remarquables du triangle ».

Après avoir lu la littérature sur ce sujet, nous avons fixé nous-mêmes les définitions et propriétés des points remarquables d'un triangle. Mais notre travail ne s’est pas arrêté là et nous avons souhaité explorer nous-mêmes ces points.

C'est pourquoi cible donné travail – étudier quelques points et lignes remarquables d'un triangle, appliquer les connaissances acquises à la résolution de problèmes. Dans le processus pour atteindre cet objectif, les étapes suivantes peuvent être distinguées :

Sélection et étude Matériel pédagogique depuis différentes sources informations, littérature;

Étudier les propriétés fondamentales des points et des lignes remarquables d'un triangle ;

Généralisation de ces propriétés et preuve des théorèmes nécessaires ;

Résoudre des problèmes impliquant des points remarquables d'un triangle.

Chapitreje. Points et lignes triangulaires remarquables

1.1 Le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle

Une médiatrice est une droite passant par le milieu d'un segment, perpendiculaire à celui-ci. On connaît déjà le théorème caractérisant la propriété de la médiatrice : chaque point de la médiatrice d'un segment est équidistant de ses extrémités et vice versa ; si un point est équidistant des extrémités du segment, alors il se trouve sur la médiatrice.

Le polygone est dit inscrit dans un cercle si tous ses sommets appartiennent au cercle. Le cercle est dit circonscrit au polygone.

Un cercle peut être décrit autour de n’importe quel triangle. Son centre est le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle.

Soit le point O le point d'intersection des bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle AB et BC.

Conclusion: ainsi, si le point O est le point d'intersection des médiatrices aux côtés du triangle, alors OA = OC = OB, c'est-à-dire le point O est équidistant de tous les sommets du triangle ABC, ce qui signifie qu'il est le centre du cercle circonscrit.

à angle aigu	obtus	rectangulaire

Conséquences

péché γ = c/2R = c/sin γ =2R.

Cela se prouve de la même manière UN/ péché α =2R, b/ péché β =2R.

Ainsi:

Cette propriété s’appelle le théorème des sinus.

En mathématiques, il arrive souvent que des objets complètement définis différemment, s'avèrent identiques.

Exemple. Soit A1, B1, C1 les milieux des côtés ∆ABC BC, AC, AB, respectivement. Montrer que les cercles décrits autour des triangles AB1C1, A1B1C, A1BC1 se coupent en un point. De plus, ce point est le centre d’un cercle circonscrit à ∆ABC.

Considérons le segment AO et construisons un cercle sur ce segment, comme sur un diamètre. Les points C1 et B1 tombent sur ce cercle, car sont les sommets des angles droits basés sur AO. Les points A, C1, B1 se trouvent sur un cercle = ce cercle est circonscrit à ∆AB1C1. Traçons de même le segment BO et construisons un cercle sur ce segment, comme sur un diamètre. Ce sera un cercle circonscrit à ∆ВС1 А1. Traçons un segment CO et construisons un cercle sur ce segment, comme sur un diamètre. Ce sera un cercle circonscrit par environ Ces trois cercles passent par le point O - le centre du cercle circonscrit à ∆ABC.

Généralisation. Si sur les côtés ∆ABC AC, BC, AC on prend des points arbitraires A 1, B 1, C 1, alors les cercles circonscrits aux triangles AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 se coupent en un point .

1.2 Point d'intersection des médiatrices du triangle

L'inverse est également vrai : si un point est équidistant des côtés d'un angle, alors il se trouve sur sa bissectrice.

Il est utile de marquer les moitiés d'un angle lettres identiques:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

Soit le point O le point d'intersection des bissectrices des angles A et B. Par la propriété du point situé sur la bissectrice de l'angle A, OF=OD=r. D'après la propriété du point situé sur la bissectrice de l'angle B, OE=OD=r. Ainsi, OE=OD= OF=r= le point O est équidistant de tous les côtés du triangle ABC, c'est-à-dire O est le centre du cercle inscrit. (Le point O est le seul).

Conclusion: ainsi, si le point O est le point d'intersection des bissectrices des angles d'un triangle, alors OE=OD= OF=r, c'est-à-dire le point O est équidistant de tous les côtés du triangle ABC, ce qui signifie qu'il est le centre du cercle inscrit. Le point O d'intersection des bissectrices des angles d'un triangle est un point remarquable du triangle.

Conséquences:

De l'égalité des triangles AOF et AOD (Figure 1) le long de l'hypoténuse et de l'angle aigu, il s'ensuit que UN F. = ANNONCE . De l'égalité des triangles OBD et OBE il résulte que BD = ÊTRE , De l'égalité des triangles COE et COF il résulte que AVEC F = C.E. . Ainsi, les segments tangents dessinés au cercle à partir d'un point sont égaux.

AF=AD= z, BD=BE= oui, CF=CE= X

a=x+y (1), b=x+z (2), c=x+y (3).

+ (2) – (3), alors on obtient : un+b-с=X+ oui+ X+ z- z- oui = un+b-c= 2X =

x=( b + c -a)/2

De même : (1) + (3) – (2), alors on obtient : y = (une + c –b)/2.

De même : (2) + (3) – (1), alors on obtient : z= (une +b - c)/2.

La bissectrice d'un triangle divise le côté opposé en segments proportionnels aux côtés adjacents.

1.3 Point d'intersection des médianes du triangle (centroïde)

Preuve 1. Soient A 1 , B 1 et C 1 les milieux des côtés BC, CA et AB du triangle ABC, respectivement (Fig. 4).

Soit G le point d'intersection de deux médianes AA 1 et BB 1. Montrons d'abord que AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2.

Pour ce faire, prenons les milieux P et Q des segments AG et BG. D'après le théorème sur la ligne médiane d'un triangle, les segments B 1 A 1 et PQ sont égaux à la moitié du côté AB et parallèles à celui-ci. Le quadrilatère A 1 B 1 est donc un parallélogramme PQ. Alors le point G de l'intersection de ses diagonales PA 1 et QB 1 divise chacune d'elles en deux. Ainsi, les points P et G divisent la médiane AA 1 en trois parties égales, et les points Q et G divisent également la médiane BB 1 en trois parties égales. Ainsi, le point G d'intersection de deux médianes d'un triangle divise chacune d'elles dans le rapport 2:1, en partant du sommet.

Le point d'intersection des médianes d'un triangle s'appelle centroïde ou centre de gravité Triangle. Ce nom est dû au fait que c’est en ce point que se situe le centre de gravité d’une plaque triangulaire homogène.

1.4 Point d'intersection des altitudes du triangle (orthocentre)

1,5 pointe Torricelli

Le chemin est donné par le triangle ABC. Le point Torricelli de ce triangle est le point O à partir duquel les côtés de ce triangle sont visibles sous un angle de 120°, soit les angles AOB, AOC et BOC sont égaux à 120°.

Montrons que si tous les angles d'un triangle sont inférieurs à 120°, alors le point de Torricelli existe.

Du côté AB du triangle ABC on construit un triangle équilatéral ABC" (Fig. 6, a), et on décrit un cercle autour de lui. Le segment AB sous-tend un arc de ce cercle mesurant 120°. Par conséquent, les points de cet arc autres que A et B ont la propriété que le segment AB leur soit visible sous un angle de 120°. De même, du côté AC du triangle ABC, nous construirons un triangle équilatéral ACB" (Fig. 6, a), et décrirons un cercle autour de il. Les points de l'arc correspondant, différents de A et C, ont la propriété que le segment AC soit visible depuis eux sous un angle de 120°. Dans le cas où les angles du triangle sont inférieurs à 120°, ces arcs se coupent en un point interne O. Dans ce cas, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Donc ∟BOC = 120°. Le point O est donc celui souhaité.

Dans le cas où l'un des angles d'un triangle, par exemple ABC, est égal à 120°, le point d'intersection des arcs de cercle sera le point B (Fig. 6, b). Dans ce cas, le point de Torricelli n'existe pas, puisqu'il est impossible de parler des angles sous lesquels les côtés AB et BC sont visibles depuis ce point.

Dans le cas où l’un des angles d’un triangle, par exemple ABC, est supérieur à 120° (Fig. 6, c), les arcs de cercle correspondants ne se coupent pas, et le point de Torricelli n’existe pas non plus.

Le point de Torricelli est associé au problème de Fermat (que nous examinerons au chapitre II) consistant à trouver le point dont la somme des distances à trois points donnés est la plus petite.

1.6 Cercle à neuf points

En effet, A 3 B 2 est la ligne médiane du triangle AHC et donc A 3 B 2 || CC1. B 2 A 2 est la ligne médiane du triangle ABC et, par conséquent, B 2 A 2 || UN B. Puisque CC 1 ┴ AB, alors A 3 B 2 A 2 = 90°. De même, A 3 C 2 A 2 = 90°. Par conséquent, les points A 2, B 2, C 2, A 3 se trouvent sur le même cercle de diamètre A 2 A 3. Puisque AA 1 ┴BC, alors le point A 1 appartient également à ce cercle. Ainsi, les points A 1 et A 3 se trouvent sur le cercle circonscrit au triangle A2B2C2. De même, on montre que les points B 1 et B 3, C 1 et C 3 se trouvent sur ce cercle. Cela signifie que les neuf points se trouvent sur le même cercle.

Dans ce cas, le centre du cercle de neuf points se situe au milieu entre le centre d'intersection des hauteurs et le centre du cercle circonscrit. En effet, soit dans le triangle ABC (fig. 9), le point O soit le centre du cercle circonscrit ; G – point d'intersection des médianes. H est le point d'intersection des hauteurs. Vous devez prouver que les points O, G, H se trouvent sur la même ligne et que le centre du cercle de neuf points N divise le segment OH en deux.

Considérons une homothétie de centre au point G et de coefficient -0,5. Les sommets A, B, C du triangle ABC iront respectivement aux points A 2, B 2, C 2. Les altitudes du triangle ABC iront dans les altitudes du triangle A 2 B 2 C 2 et, par conséquent, le point H ira au point O. Par conséquent, les points O, G, H se trouveront sur la même ligne droite.

Montrons que le milieu N du segment OH est le centre du cercle de neuf points. En effet, C 1 C 2 est une corde du cercle à neuf points. Par conséquent, la médiatrice de cette corde est un diamètre et coupe OH au milieu de N. De même, la médiatrice de la corde B 1 B 2 est un diamètre et coupe OH au même point N. Donc N est le centre de le cercle de neuf points. Q.E.D.

En effet, soit P un point arbitraire situé sur le cercle circonscrit au triangle ABC ; D, E, F – les bases des perpendiculaires descendent du point P vers les côtés du triangle (Fig. 10). Montrons que les points D, E, F se trouvent sur la même droite.

Notez que si AP passe par le centre du cercle, alors les points D et E coïncident avec les sommets B et C. Sinon, l'un des angles ABP ou ACP est aigu et l'autre est obtus. Il s'ensuit que les points D et E seront situés de part et d'autre de la droite BC et pour prouver que les points D, E et F se trouvent sur la même droite, il suffit de vérifier que ∟CEF =∟BED.

Décrivons un cercle de diamètre CP. Puisque ∟CFP = ∟CEP = 90°, alors les points E et F se trouvent sur ce cercle. Par conséquent, ∟CEF =∟CPF comme angles inscrits sous-tendus par un arc de cercle. Ensuite, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. Décrivons un cercle de diamètre BP. Puisque ∟BEP = ∟BDP = 90°, alors les points F et D se trouvent sur ce cercle. Donc ∟BPD =∟BED. Par conséquent, nous obtenons finalement que ∟CEF =∟BED. Cela signifie que les points D, E et F se trouvent sur la même ligne.

ChapitreIIRésolution de problème

Commençons par les problèmes liés à la localisation des bissectrices, des médianes et des altitudes d'un triangle. Leur solution, d'une part, permet de mémoriser le matériel précédemment abordé et, d'autre part, développe le nécessaire représentations géométriques vous prépare à résoudre des problèmes plus complexes.

Tache 1. Aux angles A et B du triangle ABC (∟A

Solution. Soit CD la hauteur et CE la bissectrice, alors

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B) :2.

Par conséquent, ∟DCE =.

Solution. Soit O le point d'intersection des bissectrices du triangle ABC (Fig. 1). Profitons du fait que le plus grand angle se trouve à l’opposé du plus grand côté du triangle. Si AB BC, alors ∟A

Solution. Soit O le point d'intersection des altitudes du triangle ABC (Fig. 2). Si AC ∟B. Un cercle de diamètre BC passera par les points F et G. En considérant que la plus petite des deux cordes est celle sur laquelle repose le plus petit angle inscrit, on obtient que CG

Preuve. Sur les côtés AC et BC du triangle ABC, comme sur les diamètres, on construit des cercles. Les points A 1, B 1, C 1 appartiennent à ces cercles. Par conséquent, ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, comme angles basés sur le même arc de cercle. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 comme angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 comme angles sous-tendus par le même arc de cercle. Par conséquent, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, c'est-à-dire CC 1 est la bissectrice de l'angle B 1 C 1 A 1 . De même, on montre que AA 1 et BB 1 sont les bissectrices des angles B 1 A 1 C 1 et A 1 B 1 C 1 .

Le triangle considéré, dont les sommets sont les bases des altitudes d'un triangle aigu donné, apporte une réponse à l'un des problèmes extrêmes classiques.

Solution. Soit ABC le triangle aigu donné. Sur ses côtés, il faut trouver les points A 1 , B 1 , C 1 pour lesquels le périmètre du triangle A 1 B 1 C 1 serait le plus petit (Fig. 4).

Fixons d'abord le point C 1 et recherchons les points A 1 et B 1 pour lesquels le périmètre du triangle A 1 B 1 C 1 est le plus petit (pour une position donnée du point C 1).

Pour ce faire, considérons les points D et E symétriques au point C 1 par rapport aux droites AC et BC. Alors B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E et, par conséquent, le périmètre du triangle A 1 B 1 C 1 sera égal à la longueur ligne brisée DB 1 A 1 E. Il est clair que la longueur de cette ligne brisée est minime si les points B 1, A 1 se trouvent sur la ligne DE.

Nous allons maintenant changer la position du point C 1 et rechercher une position à laquelle le périmètre du triangle correspondant A 1 B 1 C 1 est le plus petit.

Puisque le point D est symétrique à C 1 par rapport à AC, alors CD = CC 1 et ACD = ACC 1. De même, CE=CC 1 et BCE=BCC 1. Le triangle CDE est donc isocèle. Son côté latéral est égal à CC 1. La base DE est égale au périmètre P. triangle A 1 B 1 C 1. L'angle DCE est égal au double de l'angle ACB du triangle ABC et ne dépend donc pas de la position du point C 1.

Dans un triangle isocèle ayant un angle donné au sommet, plus le côté est petit, plus la base est petite. Par conséquent, la plus petite valeur du périmètre P. est atteint dans le cas de la valeur CC 1 la plus basse. Cette valeur est prise si CC 1 est la hauteur du triangle ABC. Ainsi, le point C 1 recherché du côté AB est la base de l'altitude tirée du sommet C.

Notons que l'on pourrait d'abord fixer non pas le point C 1, mais le point A 1 ou le point B 1 et obtiendrait que A 1 et B 1 sont les bases des altitudes correspondantes du triangle ABC.

Il s'ensuit que le triangle recherché du plus petit périmètre inscrit dans un triangle aigu donné ABC est un triangle dont les sommets sont les bases des altitudes du triangle ABC.

Solution. Montrons que si les angles du triangle sont inférieurs à 120°, alors le point recherché dans le problème de Steiner est le point de Torricelli.

Faisons pivoter le triangle ABC autour du sommet C d'un angle de 60°, Fig. 7. Nous obtenons le triangle A’B’C. Prenons un point arbitraire O du triangle ABC. En tournant, il ira jusqu’à un point O’. Le triangle OO'C est équilatéral puisque CO = CO' et ∟OCO' = 60°, donc OC = OO'. Par conséquent, la somme des longueurs OA + OB + OC sera égale à la longueur de la ligne brisée AO ​​+ OO’ + O’B’. Il est clair que la longueur de cette ligne brisée prend la plus petite valeur si les points A, O, O', B' se trouvent sur la même droite. Si O est un point de Torricelli, alors c'est vrai. En effet, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Donc les points A, O, O' se trouvent sur la même droite. De même, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Par conséquent, les points O, O', B' se trouvent sur la même ligne, ce qui signifie que tous les points A, O, O', B' se trouvent sur la même ligne.

Conclusion

La géométrie d'un triangle, ainsi que d'autres sections des mathématiques élémentaires, permet de ressentir la beauté des mathématiques en général et peut devenir pour quelqu'un le début du chemin vers la « grande science ».

La géométrie est une science étonnante. Son histoire remonte à plus de mille ans, mais chaque rencontre avec lui peut offrir et enrichir (aussi bien l'élève que l'enseignant) la nouveauté passionnante d'une petite découverte, la joie incroyable de la créativité. En effet, tout problème de géométrie élémentaire est essentiellement un théorème, et sa solution est une victoire mathématique modeste (et parfois énorme).

Historiquement, la géométrie a commencé avec un triangle, donc depuis deux millénaires et demi, le triangle est un symbole de la géométrie. La géométrie scolaire ne peut devenir intéressante et significative que si elle inclut une étude approfondie et complète du triangle. Étonnamment, le triangle, malgré son apparente simplicité, est un objet d'étude inépuisable - personne, même à notre époque, n'ose dire qu'il a étudié et connaît toutes les propriétés du triangle.

Dans ce travail, les propriétés des médiatrices, des médianes, des médiatrices et des hauteurs d'un triangle ont été prises en compte, le nombre de points et de lignes remarquables du triangle a été élargi et des théorèmes ont été formulés et prouvés. Un certain nombre de problèmes liés à l'application de ces théorèmes ont été résolus.

Le matériel présenté peut être utilisé aussi bien dans les cours principaux que dans les cours au choix, également en préparation à tests centralisés et les Olympiades de mathématiques.

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Prasolov V.V. Problèmes de planimétrie. – M. : Nauka, 1986. – Partie 1.

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Sharygin I.F. Problèmes de géométrie : Planimétrie. – M. : Nauka, 1986.

Il y a ce qu'on appelle quatre points remarquables dans un triangle : le point d'intersection des médianes. Le point d'intersection des bissectrices, le point d'intersection des hauteurs et le point d'intersection des médiatrices. Regardons chacun d'eux.

Point d'intersection des médianes du triangle

Théorème 1

A l'intersection des médianes d'un triangle: Les médianes d'un triangle se coupent en un point et sont divisées par le point d'intersection dans le rapport $2:1$ à partir du sommet.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sont ses médianes. Puisque les médianes divisent les côtés en deux. Considérons la ligne médiane $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figure 1. Médianes d'un triangle

D'après le théorème 1, $AB||A_1B_1$ et $AB=2A_1B_1$, donc $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Cela signifie que les triangles $ABM$ et $A_1B_1M$ sont similaires selon le premier critère de similarité des triangles. Alors

De même, il est prouvé que

Le théorème a été prouvé.

Point d'intersection des médiatrices du triangle

Théorème 2

À l'intersection des bissectrices d'un triangle: Les bissectrices d'un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $AM,\BP,\CK$ sont ses bissectrices. Soit le point $O$ le point d'intersection des bissectrices $AM\ et\BP$. Traçons des perpendiculaires de ce point aux côtés du triangle (Fig. 2).



Figure 2. Médiatrices du triangle

Théorème 3

Chaque point de la bissectrice d'un angle non développé est équidistant de ses côtés.

D'après le théorème 3, nous avons : $OX=OZ,\ OX=OY$. Par conséquent, $OY=OZ$. Cela signifie que le point $O$ est équidistant des côtés de l'angle $ACB$ et se trouve donc sur sa bissectrice $CK$.

Le théorème a été prouvé.

Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle

Théorème 4

Les bissectrices perpendiculaires aux côtés d’un triangle se coupent en un point.

Preuve.

Soit un triangle $ABC$, $n,\ m,\ p$ ses médiatrices. Soit le point $O$ le point d'intersection des perpendiculaires bisectorales $n\ et\ m$ (Fig. 3).



Figure 3. Médiatrices perpendiculaires d'un triangle

Pour le prouver, nous avons besoin du théorème suivant.

Théorème 5

Chaque point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment.

D'après le théorème 3, nous avons : $OB=OC,\ OB=OA$. Par conséquent, $OA=OC$. Cela signifie que le point $O$ est à égale distance des extrémités du segment $AC$ et se trouve donc sur sa médiatrice $p$.

Le théorème a été prouvé.

Point d'intersection des altitudes du triangle

Théorème 6

Les altitudes d'un triangle ou leurs extensions se coupent en un point.

Preuve.

Considérons le triangle $ABC$, où $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ est son altitude. Traçons une ligne droite passant par chaque sommet du triangle parallèle au côté opposé au sommet. On obtient un nouveau triangle $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).



Figure 4. Hauteurs des triangles

Puisque $AC_2BC$ et $B_2ABC$ sont des parallélogrammes avec un côté commun, alors $AC_2=AB_2$, c'est-à-dire que le point $A$ est le milieu du côté $C_2B_2$. De même, nous constatons que le point $B$ est le milieu du côté $C_2A_2$, et le point $C$ est le milieu du côté $A_2B_2$. De la construction, nous avons ce $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Par conséquent, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sont les médiatrices perpendiculaires du triangle $A_2B_2C_2$. Ensuite, d'après le théorème 4, nous avons que les hauteurs $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se coupent en un point.

La leçon de géométrie de 8e année est conçue sur la base du modèle d'apprentissage positionnel.

Objectifs de la leçon:

• Étudier du matériel théorique sur le thème « Quatre points remarquables d'un triangle » ;
• Développement de la pensée, de la logique, de la parole, de l'imagination des étudiants, de la capacité d'analyse et d'évaluation du travail ;
• Développement des compétences de travail en groupe ;
• Favoriser le sentiment de responsabilité quant à la qualité et aux résultats du travail effectué.

Équipement:

• des cartes avec des noms de groupe ;
• des cartes avec des tâches pour chaque groupe ;
• Feuille A-4 pour enregistrer les résultats du travail des groupes ;
• épigraphe écrite au tableau.

Pendant les cours

1. Moment organisationnel.

2. Déterminer les objectifs et le sujet de la leçon.

Historiquement, la géométrie a commencé avec un triangle, donc depuis deux millénaires et demi, le triangle est un symbole de la géométrie. La géométrie scolaire ne peut devenir intéressante et significative que si elle inclut une étude approfondie et complète du triangle. Étonnamment, le triangle, malgré son apparente simplicité, est un objet d'étude inépuisable - personne, même à notre époque, n'ose dire qu'il a étudié et connaît toutes les propriétés du triangle.

Qui n'a pas entendu parler Triangle des Bermudes, dans quels navires et avions disparaissent sans laisser de trace ? Mais le triangle lui-même regorge de choses intéressantes et mystérieuses.

La place centrale du triangle est occupée par les points dits remarquables.

Je pense qu'à la fin de la leçon vous saurez dire pourquoi les points sont qualifiés de remarquables et s'ils le sont.

Quel est le sujet de notre leçon ? "Quatre points remarquables du triangle." L'épigraphe de la leçon peut être les mots de K. Weierstrass : « Un mathématicien qui n'est pas en partie poète n'atteindra jamais la perfection en mathématiques » (l'épigraphe est écrite au tableau).

Regardez le libellé du sujet de la leçon, l'épigraphe et essayez de déterminer les objectifs de votre travail dans la leçon. À la fin de la leçon, nous vérifierons dans quelle mesure vous les avez terminés.

3. Travail indépendantétudiants.

Se préparer au travail indépendant

Pour travailler dans la leçon, vous devez choisir l'un des six groupes : « Théoriciens », « Créativité », « Concepteurs logiques », « Praticiens », « Historiques », « Experts ».

Compte rendu

Chaque groupe reçoit des fiches de tâches. Si la tâche n’est pas claire, l’enseignant apporte des explications complémentaires.

« Théoriciens »

Devoir : définir les notions de base nécessaires à l'étude du thème « Quatre points remarquables d'un triangle » (altitude d'un triangle, médiane d'un triangle, bissectrice d'un triangle, médiatrice, cercle inscrit, cercle circonscrit), vous pouvez utiliser un manuel ; écrivez les concepts principaux sur une feuille de papier.

"Historiens"

bissectrices centre du cercle inscrit perpendiculaires le centre du cercle circonscrit. Les Principia ne disent pas que même trois hauteurs les triangles se coupent en un point appelé orthocentre médian centre de gravité

Dans les années 20 du XIXème siècle. Les mathématiciens français J. Poncelet, C. Brianchon et d'autres ont établi indépendamment le théorème suivant : les bases des médianes, les bases des altitudes et les milieux des segments d'altitudes reliant l'orthocentre aux sommets du triangle se trouvent sur le même cercle.

Ce cercle est appelé « cercle des neuf points », ou « cercle de Feuerbach », ou encore « cercle d'Euler ». K. Feuerbach a établi que le centre de ce cercle se situe sur la « droite d'Euler ».

Devoir : analyser l'article et remplir un tableau reflétant la matière étudiée.

	Nom du point		Ce qui se croise

"Création"

Devoir : proposer un(des) syncwine(s) sur le thème « Quatre points remarquables d'un triangle » (par exemple, triangle, point, médiane, etc.)

Règle d'écriture du syncwine :

Dans la première ligne, le sujet est nommé en un seul mot (généralement un nom).

La deuxième ligne est une description du sujet en deux mots (2 adjectifs).

La troisième ligne est une description de l'action dans le cadre de ce thème en trois mots (verbes, gérondifs).

La quatrième ligne est une phrase de 4 mots montrant l'attitude envers le sujet.

La dernière ligne est un synonyme d'un mot (métaphore) qui répète l'essence du sujet.

"Constructeurs logiques"

La médiane d'un triangle est un segment reliant n'importe quel sommet du triangle au milieu du côté opposé. Tout triangle possède trois médianes.

Une bissectrice est un segment de la bissectrice de n'importe quel angle depuis le sommet jusqu'à l'intersection avec le côté opposé. Tout triangle possède trois bissectrices.

L'altitude d'un triangle est la perpendiculaire tirée de n'importe quel sommet du triangle jusqu'au côté opposé ou à son extension. Tout triangle a trois hauteurs.

La médiatrice d'un segment est une droite passant par le milieu d'un segment donné et perpendiculaire à celui-ci. Tout triangle possède trois médiatrices perpendiculaires.

Devoir : À l'aide de feuilles de papier triangulaires, construisez en pliant les points d'intersection des médianes, des altitudes, des bissectrices et des bissectrices. Expliquez cela à toute la classe.

"Les pratiques"

Dans le quatrième livre des Éléments, Euclide résout le problème « Inscrire un cercle dans un triangle donné ». De la solution, il résulte que trois bissectrices Les angles intérieurs d'un triangle se coupent en un point - centre du cercle inscrit. De la solution d’un autre problème euclidien, il résulte que perpendiculaires, restitués aux côtés du triangle en leurs milieux, se coupent également en un point - le centre du cercle circonscrit. Les Principia ne disent pas que les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un point appelé orthocentre(Le mot grec « orthos » signifie droit, correct). Cette proposition était cependant connue d'Archimède, de Pappus et de Proclus. Le quatrième point singulier d'un triangle est le point d'intersection médian. Archimède a prouvé qu'elle est centre de gravité(barycentre) du triangle. Une attention particulière a été portée aux quatre points ci-dessus à partir du XVIIIe siècle. On les appelait « points remarquables » ou « points particuliers du triangle ».

L'étude des propriétés d'un triangle associé à ces points et à d'autres a servi de point de départ à la création d'une nouvelle branche des mathématiques élémentaires - la « géométrie du triangle » ou « nouvelle géométrie du triangle », dont l'un des fondateurs était Leonhard Euler. .

Devoir : analyser le matériel proposé et réaliser un schéma qui reflète les liens sémantiques entre les unités, l'expliquer, le dessiner sur une feuille de papier et l'afficher au tableau.

Points remarquables du triangle

1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________

Dessin 1 Dessin 2 Dessin 3 Dessin 4

____________ ___________ ______________ ____________

(explication)

"Experts"

Devoir : dressez un tableau dans lequel vous évaluez le travail de chaque groupe, sélectionnez les paramètres par lesquels vous évaluerez le travail des groupes, déterminez les points.

Les paramètres peuvent être les suivants : participation de chaque étudiant aux travaux de son groupe, participation à la soutenance, présentation intéressante de la matière, présentation de clarté, etc.

Dans votre discours, vous devez noter les aspects positifs et négatifs des activités de chaque groupe.

4. Performances du groupe.(2-3 minutes chacun)

Les résultats des travaux sont affichés au tableau

5. Résumer la leçon.

Regardez les objectifs que vous vous êtes fixés au début de la leçon. Avez-vous réussi à tout terminer ?

Êtes-vous d'accord avec l'épigraphe qui a été choisie pour la leçon d'aujourd'hui ?

6. Devoirs.

1) Assurez-vous que le triangle, qui repose sur la pointe de l'aiguille à un certain point, est en équilibre, en utilisant le matériel de la leçon d'aujourd'hui.

2) Dessiner différents triangles les 4 bons points.

Objectifs:
- résumer les connaissances des élèves sur le thème « Quatre points remarquables d'un triangle », poursuivre le travail de développement des compétences dans la construction de la hauteur, de la médiane et de la bissectrice d'un triangle ;

Initier les élèves à de nouvelles notions de cercle inscrit dans un triangle et circonscrit autour de celui-ci ;

Développer des compétences en recherche ;
- cultiver la persévérance, la précision et l'organisation chez les étudiants.
Tâche: développer l'intérêt cognitif pour le sujet de la géométrie.
Équipement: tableau, outils de dessin, crayons de couleur, modèle de triangle sur une feuille de paysage ; ordinateur, projecteur multimédia, écran.

Pendant les cours

1. Moment d'organisation (1 minute)
Professeur: Dans cette leçon, chacun d'entre vous se sentira comme un ingénieur de recherche après avoir terminé Travaux pratiques vous pourrez vous évaluer. Pour que le travail soit réussi, il est nécessaire d'effectuer toutes les actions avec le modèle pendant la leçon de manière très précise et organisée. Je te souhaite du succès.
2.
Enseignant : dessinez un angle ouvert dans votre cahier
Q. Quelles méthodes connaissez-vous pour construire la bissectrice d’un angle ?

Détermination de la bissectrice d'un angle. Deux élèves construisent des bissectrices au tableau (à l’aide de modèles préparés à l’avance) de deux manières : avec une règle ou un compas. Les deux étudiants suivants prouvent verbalement les affirmations :
1. Quelles propriétés ont les bissectrices d’un angle ?
2. Que peut-on dire des points situés à l’intérieur de l’angle et équidistants des côtés de l’angle ?
Enseignant : dessinez un triangle tétragonal ABC et de l'une des manières suivantes, construisez les bissectrices de l'angle A et de l'angle C, leur point

intersection - point O. Quelle hypothèse pouvez-vous émettre sur le rayon VO ? Montrer que le rayon BO est la bissectrice du triangle ABC. Formulez une conclusion sur l’emplacement de toutes les bissectrices d’un triangle.
3. Travailler avec le modèle triangulaire (5-7 minutes).
Option 1 - triangle aigu ;
Option 2 - triangle rectangle;
Option 3 - triangle obtus.
Enseignant : sur le modèle du triangle, construisez deux bissectrices, entourez-les en jaune. Marquer le point d'intersection

point bissecteur K. Voir diapositive n°1.
4. Préparation à l'étape principale de la leçon (10-13 minutes).
Enseignant : tracez le segment de droite AB dans votre cahier. Quels outils peuvent être utilisés pour construire une médiatrice perpendiculaire à un segment ? Détermination de la médiatrice. Deux élèves construisent une médiatrice perpendiculaire au tableau

(selon modèles pré-préparés) de deux manières : avec une règle, avec un compas. Les deux étudiants suivants prouvent verbalement les affirmations :
1. Quelles propriétés ont les points de la médiatrice d'un segment ?
2. Que peut-on dire des points équidistants des extrémités du segment AB ?Enseignant : dessine un triangle rectangle ABC dans ton cahier et construis les bissectrices perpendiculaires à deux côtés quelconques du triangle ABC.

Marquez le point d'intersection O. Tracez une perpendiculaire au troisième côté passant par le point O. Que remarquez-vous ? Montrer qu’il s’agit de la médiatrice du segment.
5. Travail avec un modèle de triangle (5 minutes).Enseignant : sur un modèle de triangle, construisez des perpendiculaires bisectorales aux deux côtés du triangle et entourez-les en vert. Marquez le point d'intersection des perpendiculaires bisectorales avec un point O. Voir diapositive n°2.

6. Préparation pour l'étape principale de la leçon (5-7 minutes).Enseignant : dessinez un triangle obtus ABC et construisez deux hauteurs. Étiquetez leur point d’intersection O.
1. Que peut-on dire de la troisième hauteur (la troisième hauteur, si elle s'étend au-delà de la base, passera par le point O) ?

2. Comment prouver que toutes les hauteurs se coupent en un point ?
3. Quelle nouvelle figure ces hauteurs forment-elles et que contiennent-elles ?
7. Travailler avec le modèle triangulaire (5 minutes).
Enseignant : sur le modèle du triangle, construisez trois hauteurs et entourez-les en bleu. Marquez le point d'intersection des hauteurs avec le point H. Voir diapositive n°3.

Leçon deux

8. Préparation à l'étape principale de la leçon (10-12 minutes).
Enseignant : tracez un triangle aigu ABC et construisez toutes ses médianes. Étiquetez leur point d'intersection O. Quelle propriété ont les médianes d'un triangle ?

9. Travailler avec le modèle triangulaire (5 minutes).
Enseignant : sur le modèle du triangle, construisez trois médianes et entourez-les en marron.

Marquer le point d'intersection des médianes avec un point T. Voir diapositive n°4.
10. Vérification de l'exactitude de la construction (10-15 minutes).
1. Que peut-on dire du point K ? / Le point K est le point d'intersection des bissectrices, il est équidistant de tous les côtés du triangle /
2. Montrez sur le modèle la distance du point K au demi-côté du triangle. Quelle forme as-tu dessiné ? Comment est-ce situé

coupé de côté ? Surlignez avec audace avec un simple crayon. (Voir diapositive numéro 5).
3. Quel est un point équidistant de Trois points des avions qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite ? Utilisez un crayon jaune pour tracer un cercle de centre K et de rayon égal à la distance marquée avec un simple crayon. (Voir diapositive numéro 6).
4. Qu'avez-vous remarqué ? Comment se situe ce cercle par rapport au triangle ? Vous avez inscrit un cercle dans un triangle. Comment peut-on appeler un tel cercle ?

L'enseignant donne la définition d'un cercle inscrit dans un triangle.
5. Que peut-on dire du point O ? \Le point O est le point d'intersection des médiatrices et il est équidistant de tous les sommets du triangle\. Quel genre de silhouette peut-on construire en attachant points A, B, C Et à propos?
6. Construisez un cercle (O; OA) en utilisant du vert. (Voir diapositive numéro 7).
7. Qu'avez-vous remarqué ? Comment se situe ce cercle par rapport au triangle ? Comment peut-on appeler un tel cercle ? Comment peut-on appeler le triangle dans ce cas ?

L'enseignant donne la définition d'un cercle circonscrit autour d'un triangle.
8. Attacher à points O, H et la règle T et tracez une ligne droite en rouge passant par ces points. Cette ligne est appelée droite

Euler (voir diapositive numéro 8).
9. Comparez OT et TN. Vérifiez FROM:TN=1 : 2. (Voir la diapositive numéro 9).
10. a) Trouvez les médianes du triangle (en marron). Marquez les bases des médianes avec de l'encre.

Où sont ces trois points ?
b) Trouvez les altitudes du triangle (en bleu). Marquez les bases des hauteurs avec de l'encre. Combien y a-t-il de ces points ? \Options 1 à 3 ; 2 options-2 ; Option 3-3\.c) Mesurez la distance entre les sommets et le point d'intersection des hauteurs. Nommez ces distances (AN,

VN, SN). Trouvez les milieux de ces segments et mettez-les en évidence avec de l'encre. Combien d'entre eux

points? \1 option-3 ; 2 options-2 ; Option 3-3\.
11. Comptez combien de points sont marqués à l’encre ? \ 1 option - 9 ; Options 2 à 5 ; Option 3-9\. Désigner

points D 1, D 2,…, D 9. (Voir diapositive numéro 10.) En utilisant ces points, vous pouvez construire un cercle d'Euler. Le centre du cercle, le point E, est au milieu du segment OH. Nous dessinons un cercle (E; ED 1) en rouge. Ce cercle, comme la ligne droite, porte le nom du grand scientifique. (Voir diapositive numéro 11).
11. Présentation sur Euler (5 minutes).
12. Résumé(3 minutes) Score : « 5 » - si vous obtenez exactement les cercles jaunes, verts et rouges et la droite d'Euler. "4" - si les cercles sont inexacts de 2 à 3 mm. "3" - si les cercles sont inexacts de 5 à 7 mm.