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« Fonctions et leurs graphiques » - 3. Fonction tangente. Trigonométrique. La fonction est définie et continue sur l'ensemble des nombres réels. Définition : La fonction numérique donnée par la formule y = cos x est appelée cosinus. 4. Fonction cotangente. Au point x = a, la fonction peut exister ou non. Définition 1. Soit la fonction y = f(x) définie sur un intervalle.

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« Fonction du sujet » - Si les élèves travaillent différemment, l'enseignant doit alors travailler avec eux différemment. Il faut découvrir non pas ce que l'étudiant ne sait pas, mais ce qu'il sait. Généralisation. La synthèse. Résultats de l'examen d'État unifié mathématiques. Programme de cours optionnel. Association. Plan pédagogique et thématique (24 heures). Analogie. Si un élève surpasse un professeur, c’est le bonheur du professeur.

Comme le montre la pratique, les tâches sur les propriétés et les graphiques d'une fonction quadratique posent de sérieuses difficultés. C'est assez étrange, car ils étudient la fonction quadratique en 8e année, puis tout au long du premier quart de la 9e année, ils « tourmentent » les propriétés de la parabole et construisent ses graphiques pour divers paramètres.

Cela est dû au fait qu'en obligeant les étudiants à construire des paraboles, ils ne consacrent pratiquement pas de temps à la « lecture » des graphiques, c'est-à-dire qu'ils ne s'entraînent pas à comprendre les informations reçues de l'image. Apparemment, on suppose qu'après avoir construit une douzaine ou deux graphiques, un étudiant intelligent découvrira et formulera lui-même la relation entre les coefficients de la formule et l'apparence du graphique. En pratique, cela ne fonctionne pas. Pour une telle généralisation, une expérience sérieuse en mini-recherche mathématique est requise, ce que la plupart des élèves de neuvième année ne possèdent bien sûr pas. En attendant, l'Inspection d'Etat propose de déterminer les signes des coefficients à l'aide du barème.

Nous n'exigerons pas l'impossible des écoliers et proposerons simplement l'un des algorithmes permettant de résoudre de tels problèmes.

Donc une fonction de la forme y = hache 2 + bx + c dit quadratique, son graphe est une parabole. Comme son nom l'indique, le terme principal est hache 2. C'est UN ne doit pas être égal à zéro, les coefficients restants ( b Et Avec) peut être égal à zéro.

Voyons comment les signes de ses coefficients affectent l'apparence d'une parabole.

La dépendance la plus simple pour le coefficient UN. La plupart des écoliers répondent avec assurance : « si UN> 0, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si UN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой UN > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Dans ce cas UN = 0,5

Et maintenant pour UN < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Dans ce cas UN = - 0,5

Impact du coefficient Avec C'est également assez facile à suivre. Imaginons que nous voulions trouver la valeur d'une fonction en un point X= 0. Remplacez zéro dans la formule :

oui = un 0 2 + b 0 + c = c. Il se trouve que y = c. C'est Avec est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des y. Généralement, ce point est facile à trouver sur le graphique. Et déterminez s’il se situe au-dessus de zéro ou en dessous. C'est Avec> 0 ou Avec < 0.

Avec > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Avec < 0

y = x 2 + 4x - 3

En conséquence, si Avec= 0, alors la parabole passera nécessairement par l'origine :

y = x 2 + 4x

Plus difficile avec le paramètre b. Le point auquel nous le trouverons dépend non seulement de b mais aussi de UN. C'est le sommet de la parabole. Son abscisse (coordonnée de l'axe X) se trouve par la formule x dans = - b/(2a). Ainsi, b = - 2ax dans. C'est-à-dire que nous procédons comme suit : nous trouvons le sommet de la parabole sur le graphique, déterminons le signe de son abscisse, c'est-à-dire que nous regardons à droite de zéro ( x dans> 0) ou vers la gauche ( x dans < 0) она лежит.

Cependant, ce n'est pas tout. Il faut aussi faire attention au signe du coefficient UN. Autrement dit, regardez où sont dirigées les branches de la parabole. Et seulement après cela, selon la formule b = - 2ax dans déterminer le signe b.

Regardons un exemple :

Les branches sont dirigées vers le haut, ce qui signifie UN> 0, la parabole coupe l'axe à en dessous de zéro signifie Avec < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x dans> 0. Donc b = - 2ax dans = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: UN > 0, b < 0, Avec < 0.

Fonction linéaire appelée fonction de la forme y = kx + b, défini sur l'ensemble de tous les nombres réels. Ici k – pente (nombre réel), b – terme libre (nombre réel), X- variable indépendante.

Dans le cas particulier, si k = 0, on obtient une fonction constante y = b, dont le graphique est une droite parallèle à l'axe Ox passant par le point de coordonnées (0 ; b).

Si b = 0, alors on obtient la fonction y = kx, lequel est proportionnalité directe.

b – longueur des segments, qui est coupé par une droite le long de l'axe Oy, en partant de l'origine.

Signification géométrique du coefficient k – angle d'inclinaison directement dans la direction positive de l’axe Ox, considéré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Propriétés d'une fonction linéaire :

1) Le domaine de définition d'une fonction linéaire est l'ensemble de l'axe réel ;

2) Si k ≠ 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est tout l'axe réel. Si k = 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est constituée du nombre b;

3) La régularité et l'impair d'une fonction linéaire dépendent des valeurs des coefficients k Et b.

un) b ≠ 0, k = 0, ainsi, y = b – pair ;

b) b = 0, k ≠ 0, ainsi y = kx – impair ;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ainsi y = kx + b – fonction de forme générale ;

d) b = 0, k = 0, ainsi y = 0 – fonctions paires et impaires.

4) Une fonction linéaire n'a pas la propriété de périodicité ;

5) Points d'intersection avec axes de coordonnées :

Bœuf: y = kx + b = 0, x = -b/k, ainsi (-b/k; 0)– point d'intersection avec l'axe des abscisses.

Oh : y = 0k + b = b, ainsi (0 ; b)– point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

Remarque : Si b = 0 Et k = 0, alors la fonction y = 0 va à zéro pour n'importe quelle valeur de la variable X. Si b ≠ 0 Et k = 0, alors la fonction y = b ne disparaît pour aucune valeur de la variable X.

6) Les intervalles de constance de signe dépendent du coefficient k.

un) k > 0 ; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positif quand X depuis (-b/k; +∞),

y = kx + b– négatif quand X depuis (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positif quand X depuis (-∞; -b/k),

y = kx + b– négatif quand X depuis (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0 ; y = kx + b positif sur toute la plage de définition,

k = 0, b< 0; y = kx + b négatif sur toute la plage de définition.

7) Les intervalles de monotonie d'une fonction linéaire dépendent du coefficient k.

k > 0, ainsi y = kx + b augmente dans tout le domaine de définition,

k< 0 , ainsi y = kx + b diminue sur tout le domaine de définition.

8) Le graphique d’une fonction linéaire est une ligne droite. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points. Position de la ligne sur avion coordonné dépend des valeurs des coefficients k Et b. Vous trouverez ci-dessous un tableau qui illustre clairement cela.

Une fonction linéaire est une fonction de la forme y = kx + b, définie sur l'ensemble de tous les nombres réels. Ici k est la pente (nombre réel), b est l'origine (nombre réel), x est la variable indépendante.

Dans le cas particulier, si k = 0, on obtient une fonction constante y = b dont le graphique est une droite parallèle à l'axe Ox passant par le point de coordonnées (0 ; b).

Si b = 0, alors nous obtenons la fonction y = kx, qui est la proportionnalité directe.

La signification géométrique du coefficient b est la longueur du segment que la droite coupe le long de l'axe Oy, à partir de l'origine.

La signification géométrique du coefficient k est l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à la direction positive de l'axe Ox, calculé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Propriétés d'une fonction linéaire :

1) Le domaine de définition d'une fonction linéaire est l'ensemble de l'axe réel ;

2) Si k ≠ 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est tout l'axe réel. Si k = 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est constituée du nombre b ;

3) La régularité et l'impair d'une fonction linéaire dépendent des valeurs des coefficients k et b.

a) b ≠ 0, k = 0, donc y = b - pair ;

b) b = 0, k ≠ 0, donc y = kx - impair ;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, donc y = kx + b est une fonction de forme générale ;

d) b = 0, k = 0, donc y = 0 est à la fois une fonction paire et impaire.

4) Une fonction linéaire n'a pas la propriété de périodicité ;

Ox : y = kx + b = 0, x = -b/k, donc (-b/k ; 0) est le point d'intersection avec l'axe des abscisses.

Oy : y = 0k + b = b, donc (0 ; b) est le point d'intersection avec l'ordonnée.

Remarque : Si b = 0 et k = 0, alors la fonction y = 0 disparaît pour toute valeur de la variable x. Si b ≠ 0 et k = 0, alors la fonction y = b ne disparaît pour aucune valeur de la variable x.

6) Les intervalles de signe constant dépendent du coefficient k.

une) k > 0 ; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - positif en x de (-b/k; +∞),

y = kx + b - négatif pour x de (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - positif en x de (-∞; -b/k),

y = kx + b - négatif pour x de (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0 ; y = kx + b est positif dans tout le domaine de définition,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Les intervalles de monotonie d'une fonction linéaire dépendent du coefficient k.

k > 0, donc y = kx + b augmente dans tout le domaine de définition,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Le graphique d’une fonction linéaire est une ligne droite. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points. La position de la droite sur le plan de coordonnées dépend des valeurs des coefficients k et b. Vous trouverez ci-dessous un tableau qui illustre clairement cela, Figure 1. (Fig. 1)

Exemple : Considérons la fonction linéaire suivante : y = 5x - 3.

3) Fonction générale ;

4) Non périodique ;

5) Points d'intersection avec les axes de coordonnées :

Ox : 5x - 3 = 0, x = 3/5, donc (3/5 ; 0) est le point d'intersection avec l'axe des x.

Oy : y = -3, donc (0 ; -3) est le point d'intersection avec l'ordonnée ;

6) y = 5x - 3 - positif pour x de (3/5 ; +∞),

y = 5x - 3 - négatif en x de (-∞ ; 3/5) ;

7) y = 5x - 3 augmente dans tout le domaine de définition ;

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Une fonction linéaire est une fonction de la forme y=kx+b, où x est la variable indépendante, k et b sont des nombres quelconques.
Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.

1. Construire graphique d'une fonction, nous avons besoin des coordonnées de deux points appartenant au graphique de la fonction. Pour les trouver, vous devez prendre deux valeurs x, les remplacer dans l'équation de la fonction et les utiliser pour calculer les valeurs y correspondantes.

Par exemple, pour tracer la fonction y= x+2, il convient de prendre x=0 et x=3, alors les ordonnées de ces points seront égales à y=2 et y=3. On obtient les points A(0;2) et B(3;3). Relions-les et obtenons un graphique de la fonction y= x+2 :

2. Dans la formule y=kx+b, le nombre k est appelé coefficient de proportionnalité :
si k>0, alors la fonction y=kx+b augmente
si k
Le coefficient b montre le déplacement du graphe de fonction le long de l'axe OY :
si b>0, alors le graphique de la fonction y=kx+b est obtenu à partir du graphique de la fonction y=kx en décalant les unités b vers le haut le long de l'axe OY
si b
La figure ci-dessous montre les graphiques des fonctions y=2x+3 ; y= ½ x+3 ; y=x+3

Notons que dans toutes ces fonctions le coefficient k Au dessus de zéro, et les fonctions sont en augmentant. De plus, plus la valeur de k est grande, plus l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à la direction positive de l'axe OX est grand.

Dans toutes les fonctions b=3 - et nous voyons que tous les graphiques coupent l'axe OY au point (0;3)

Considérons maintenant les graphiques des fonctions y=-2x+3 ; y=- ½ x+3 ; y=-x+3

Cette fois dans toutes les fonctions le coefficient k moins que zéro et fonctions sont en diminution. Coefficient b=3, et les graphiques sont les mêmes que dans cas précédent couper l'axe OY au point (0; 3)

Considérons les graphiques des fonctions y=2x+3 ; y = 2x ; y=2x-3

Maintenant, dans toutes les équations de fonctions, les coefficients k sont égaux à 2. Et nous avons trois droites parallèles.

Mais les coefficients b sont différents, et ces graphiques coupent l'axe OY en différents points :
Le graphique de la fonction y=2x+3 (b=3) coupe l'axe OY au point (0;3)
Le graphique de la fonction y=2x (b=0) coupe l'axe OY au point (0;0) - l'origine.
Le graphique de la fonction y=2x-3 (b=-3) coupe l'axe OY au point (0;-3)

Ainsi, si l’on connaît les signes des coefficients k et b, alors on peut immédiatement imaginer à quoi ressemble le graphique de la fonction y=kx+b.
Si k0

Si k>0 et b>0, alors le graphique de la fonction y=kx+b ressemble à :

Si k>0 et b, alors le graphique de la fonction y=kx+b ressemble à :

Si k, alors le graphique de la fonction y=kx+b ressemble à :

Si k=0, alors la fonction y=kx+b se transforme en fonction y=b et son graphique ressemble à :

Les ordonnées de tous les points du graphique de la fonction y=b sont égales à b Si b=0, alors le graphe de la fonction y=kx (proportionnalité directe) passe par l'origine :

3. Notons séparément le graphique de l'équation x=a. Le graphique de cette équation est une droite parallèle à l'axe OY dont tous les points ont pour abscisse x=a.

Par exemple, le graphique de l’équation x=3 ressemble à ceci :
Attention! L'équation x=a n'est pas une fonction, donc une valeur de l'argument correspond différentes significations fonctions, ce qui ne correspond pas à la définition d’une fonction.

4. Condition de parallélisme de deux droites :

Le graphe de la fonction y=k 1 x+b 1 est parallèle au graphe de la fonction y=k 2 x+b 2 si k 1 =k 2

5. La condition pour que deux droites soient perpendiculaires :

Le graphe de la fonction y=k 1 x+b 1 est perpendiculaire au graphe de la fonction y=k 2 x+b 2 si k 1 *k 2 =-1 ou k 1 =-1/k 2

6. Points d'intersection du graphe de la fonction y=kx+b avec les axes de coordonnées.

Avec axe OY. L'abscisse de tout point appartenant à l'axe OY est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OY, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de x. On obtient y = b. C'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe OY a les coordonnées (0 ; b).

Avec axe OX : L'ordonnée de tout point appartenant à l'axe OX est nulle. Par conséquent, pour trouver le point d'intersection avec l'axe OX, vous devez remplacer zéro dans l'équation de la fonction au lieu de y. On obtient 0=kx+b. Donc x=-b/k. Autrement dit, le point d'intersection avec l'axe OX a les coordonnées (-b/k;0) :