Soit x un point arbitraire dans un certain voisinage d'un point fixe x 0 . la différence x – x 0 est généralement appelée l'incrément de la variable indépendante (ou incrément d'argument) au point x 0 et est notée Δx. Ainsi,
Δx = x –x 0 ,
d'où il s'ensuit que
Incrément de fonction – la différence entre deux valeurs de fonction.
Soit la fonction donnée à = f(x), défini avec la valeur de l'argument égale à X 0 . Donnons à l'argument un incrément D X, ᴛ.ᴇ. considérons la valeur de l'argument égale à X 0+D X. Supposons que la valeur de cet argument entre également dans le cadre de cette fonction. Alors la différence D oui = f(x 0+D X) – f(x0) C'est ce qu'on appelle communément l'incrément d'une fonction. Incrément de fonction F(X) au point X- fonction généralement notée Δ xfà partir de la nouvelle variable Δ X défini comme
Δ xf(Δ X) = F(X + Δ X) − F(X).
Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction au point x 0 si
Exemple 2. Trouver l'incrément de la fonction f(x) = x 2 si x = 1, ∆x = 0,1
Solution : f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2
Trouvons l'incrément de la fonction ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /
Remplacez les valeurs x=1 et ∆x= 0,1, nous obtenons ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21
Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction au point x 0
2.f(x) = 2x 3.x0 =3x=2,4
3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0,8
4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3,8
Définition: Dérivé d'une fonction en un point, il est d'usage d'appeler la limite (si elle existe et est finie) du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, à condition que ce dernier tende vers zéro.
Les notations dérivées les plus couramment utilisées sont :
Ainsi,
Trouver la dérivée est généralement appelé différenciation . Introduit définition d'une fonction différentiable: Une fonction f qui a une dérivée en chaque point d'un certain intervalle est généralement appelée différentiable sur cet intervalle.
Supposons qu'une fonction soit définie dans un certain voisinage d'un point. La dérivée d'une fonction est généralement appelée un nombre tel que la fonction dans le voisinage U(X 0) peut être représenté par
F(X 0 + h) = F(X 0) + Ah + o(h)
si existe.
Déterminer la dérivée d'une fonction en un point.
Laissez la fonction f(x) défini sur l'intervalle (un B), et sont les points de cet intervalle.
Définition. Dérivée d'une fonction f(x)à un moment donné, il est d'usage d'appeler la limite du rapport entre l'incrément d'une fonction et l'incrément de l'argument à . Noté par .
Lorsque la dernière limite prend une valeur finale spécifique, on parle de l'existence dérivée finie au point. Si la limite est infinie, alors on dit que la dérivée est infinie en un point donné. Si la limite n'existe pas, alors la dérivée de la fonction à ce stade n'existe pas.
Fonction f(x) est dit dérivable en un point où il a une dérivée finie.
Dans le cas où la fonction f(x) différentiable en chaque point d'un certain intervalle (un B), alors la fonction est dite différentiable sur cet intervalle. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, à tout moment X entre (un B) nous pouvons faire correspondre la valeur de la dérivée de la fonction à ce stade, c'est-à-dire que nous avons la possibilité de déterminer nouvelle fonctionnalité, qui est appelée la dérivée de la fonction f(x) sur l'intervalle (un B).
L'opération consistant à trouver la dérivée est généralement appelée différenciation.
1. incrément d'argument et incrément de fonction.Laissez la fonction être donnée. Prenons deux valeurs d'argument : initial 
et modifié, ce qui est généralement noté 
, Où 
- le montant dont l'argument change lors du passage de la première valeur à la seconde, on l'appelle incrément d’argument.
Les valeurs d'argument et correspondent à des valeurs de fonction spécifiques : initiale 
et changé 
, ordre de grandeur 
, par lequel la valeur de la fonction change lorsque l'argument change de valeur, est appelé incrément de fonction.
2. la notion de limite d'une fonction en un point.
Nombre 
appelé la limite de la fonction 
en tendant à 
, si pour n'importe quel nombre 
il y a un tel nombre 
ça devant tout le monde 
, satisfaisant l'inégalité 
, l'inégalité sera satisfaite 
.
Deuxième définition : Un nombre est appelé limite d'une fonction telle qu'elle tend vers , si pour tout nombre il existe un voisinage du point tel que pour n'importe lequel de ce voisinage . Désigné 
.
3. fonctions infiniment grandes et infinitésimales en un point. Une fonction infinitésimale en un point est une fonction dont la limite lorsqu'elle s'approche d'un point donné égal à zéro. Une fonction infiniment grande en un point est une fonction dont la limite lorsqu'elle tend vers un point donné est égale à l'infini.
4. principaux théorèmes sur leurs limites et leurs conséquences (sans preuve).
conséquence : le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite : 
Si les séquences et 
convergent et la limite de la suite est non nulle, alors
conséquence : le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite.
11. s'il y a des limites aux fonctions 
Et 
et la limite de la fonction est non nulle,
alors il y a aussi une limite de leur rapport, égale au rapport des limites des fonctions et :
.
12. si 
, Que 
, l'inverse est également vrai.
13. Théorème sur la limite d'une séquence intermédiaire. Si les séquences 
convergeant, et 
Et 
Que 
5. limite d'une fonction à l'infini.
Le nombre a est appelé la limite d'une fonction à l'infini (pour x tendant vers l'infini) si pour toute suite tendant vers l'infini 
correspond à une suite de valeurs tendant vers le nombre UN.
6. limites séquence de nombres.
Nombre UN est appelée la limite d'une séquence de nombres si pour tout nombre positif 
Il y aura entier naturel N, tel que pour tout n>
N l’inégalité persiste 
.
Symboliquement, cela est défini comme suit : 
équitable .
Le fait que le numéro UN est la limite de la séquence, notée comme suit :
.
7.numéro "e". logarithmes naturels.
Nombre "e"
représente la limite de la séquence de nombres, n-
le ème membre dont 
, c'est à dire.
.
Logarithme naturel – logarithme avec une base e.
les logarithmes naturels sont notés 
sans préciser de raison. 
Nombre 
vous permet de passer du logarithme décimal au logarithme naturel et inversement.
, on l'appelle le module de transition de logarithmes naturels en décimal.
8. merveilleuses limites 
,
.
D'abord merveilleuse limite:
donc à 
par le théorème limite de séquence intermédiaire
deuxième limite remarquable :
.
Prouver l'existence d'une limite 
utilisez le lemme : pour tout nombre réel 
Et 
l'inégalité est vraie 
(2) (à 
ou 
l'inégalité se transforme en égalité.)
La séquence (1) peut s’écrire comme suit :
.
Considérons maintenant une séquence auxiliaire avec un terme commun 
Assurons-nous qu'il diminue et soit borné ci-dessous : 
Si 
, alors la séquence diminue. Si 
, alors la séquence est délimitée ci-dessous. Montrons ceci :
en raison de l'égalité (2)
c'est à dire. 
ou 
. Autrement dit, la séquence est décroissante, et puisque la séquence est limitée en dessous. Si une suite est décroissante et délimitée en dessous, alors elle a une limite. Alors
a une limite et une séquence (1), car 
Et 
.
L. Euler a appelé cette limite 
.
9. limites unilatérales, discontinuité de fonction.
le nombre A est la limite gauche si ce qui suit est valable pour n’importe quelle séquence : .
le nombre A est la bonne limite si ce qui suit est valable pour n’importe quelle séquence : .
Si au point UN appartenant au domaine de définition de la fonction ou de sa frontière, la condition de continuité de la fonction est violée, alors le point UN est appelé point de discontinuité ou discontinuité d'une fonction. Si, comme le point tend
12. la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.
La progression géométrique est une séquence dans laquelle le rapport entre les termes suivants et précédents reste inchangé, ce rapport est appelé dénominateur de la progression. Somme du premier n les membres de la progression géométrique sont exprimés par la formule 
Cette formule est pratique à utiliser pour une progression géométrique décroissante - une progression pour laquelle valeur absolue son dénominateur est inférieur à zéro. 
- premier membre ; 
- dénominateur de progression ; 
- numéro du membre pris de la séquence. La somme d'une progression infiniment décroissante est le nombre auquel se rapproche indéfiniment la somme des premiers termes d'une progression décroissante lorsque le nombre augmente indéfiniment. 
Que. La somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante est égale à 
.
Définition 1
Si pour chaque paire $(x,y)$ de valeurs de deux variables indépendantes d'un certain domaine une certaine valeur $z$ est associée, alors $z$ est dit être une fonction de deux variables $(x,y) $. Notation : $z=f(x,y)$.
En relation avec la fonction $z=f(x,y)$, considérons les notions d'incréments généraux (total) et partiels d'une fonction.
Soit une fonction $z=f(x,y)$ de deux variables indépendantes $(x,y)$.
Note 1
Puisque les variables $(x,y)$ sont indépendantes, l'une d'elles peut changer, tandis que l'autre reste constante.
Donnons à la variable $x$ un incrément de $\Delta x$, tout en gardant la valeur de la variable $y$ inchangée.
Alors la fonction $z=f(x,y)$ recevra un incrément, qui sera appelé l'incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à la variable $x$. Désignation:
De même, nous donnerons à la variable $y$ un incrément de $\Delta y$, tout en gardant la valeur de la variable $x$ inchangée.
Alors la fonction $z=f(x,y)$ recevra un incrément, qui sera appelé l'incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à la variable $y$. Désignation:
Si l'argument $x$ reçoit l'incrément $\Delta x$ et que l'argument $y$ reçoit l'incrément $\Delta y$, alors nous obtenons incrément complet fonction donnée $z=f(x,y)$. Désignation:
Ainsi nous avons :
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $x$ ;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $y$ ;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Exemple 1
Solution:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ sur $x$ ;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Exemple 2
Calculez l'incrément partiel et total de la fonction $z=xy$ au point $(1;2)$ pour $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ sur $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $y$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Ainsi,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Note 2
L'incrément total d'une fonction donnée $z=f(x,y)$ n'est pas égal à la somme de ses incréments partiels $\Delta _(x) z$ et $\Delta _(y) z$. Notation mathématique : $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
Exemple 3
Vérifier les remarques d'assertion pour la fonction
Solution:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obtenu dans l'exemple 1)
Trouvons la somme des incréments partiels d'une fonction donnée $z=f(x,y)$
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
Définition 2
Si pour chaque triple $(x,y,z)$ de valeurs de trois variables indépendantes d'un certain domaine une certaine valeur $w$ est associée, alors $w$ est dit être une fonction de trois variables $(x, y,z)$ dans cette zone.
Notation : $w=f(x,y,z)$.
Définition 3
Si pour chaque ensemble $(x,y,z,...,t)$ de valeurs de variables indépendantes d'une certaine région une certaine valeur $w$ est associée, alors $w$ est dit être fonction de les variables $(x,y, z,...,t)$ dans cette zone.
Notation : $w=f(x,y,z,...,t)$.
Pour une fonction à trois variables ou plus, de la même manière que pour une fonction à deux variables, des incréments partiels sont déterminés pour chacune des variables :
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z,... ,t )$ par $z$ ;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - incrément partiel de la fonction $w =f (x,y,z,...,t)$ par $t$.
Exemple 4
Écrire des fonctions d'incrémentation partielle et totale
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $y$ ;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $z$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - incrément total de la fonction $w=f(x,y,z)$.
Exemple 5
Calculer l'incrément partiel et total de la fonction $w=xyz$ au point $(1;2;1)$ pour $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Deltaz=0,1$.
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ de $y$ ;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $z$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - incrément total de la fonction $w=f(x,y,z)$.
Ainsi,
\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]
D'un point de vue géométrique, l'incrément total de la fonction $z=f(x,y)$ (par définition $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) est égal à l'incrément de l'application de la fonction graphique $z=f(x,y)$ lors du passage du point $M(x,y)$ au point $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig.1).
Image 1.
en physique médicale et biologique
CONFÉRENCE N°1
FONCTIONS DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.
DÉRIVÉS PARTIELS.
1. La notion de dérivée, sa signification mécanique et géométrique.
UN ) Incrément d'argument et de fonction.
Soit une fonction y=f(x), où x est la valeur de l'argument du domaine de définition de la fonction. Si vous sélectionnez deux valeurs de l'argument x o et x dans un certain intervalle du domaine de définition de la fonction, alors la différence entre les deux valeurs de l'argument est appelée l'incrément de l'argument : x - x o = ∆x.
La valeur de l'argument x peut être déterminée grâce à x 0 et son incrément : x = x o + ∆x.
La différence entre deux valeurs de fonction est appelée l'incrément de fonction : ∆y =∆f = f(x o +∆x) – f(x o).
L'incrément d'un argument et d'une fonction peut être représenté graphiquement (Fig. 1). L'incrément d'argument et l'incrément de fonction peuvent être positifs ou négatifs. Comme il ressort de la Fig. 1, géométriquement, l'incrément de l'argument ∆х est représenté par l'incrément de l'abscisse, et l'incrément de la fonction ∆у par l'incrément de l'ordonnée. L'incrément de fonction doit être calculé dans l'ordre suivant :
nous donnons à l'argument un incrément ∆x et obtenons la valeur – x+Δx ;
2) trouver la valeur de la fonction pour la valeur de l'argument (x+∆x) – f(x+∆x) ;
3) trouver l'incrément de la fonction ∆f=f(x + ∆x) - f(x).
Exemple: Déterminez l'incrément de la fonction y=x 2 si l'argument passe de x o =1 à x=3. Pour le point x o la valeur de la fonction f(x o) = x² o ; pour le point (x o +∆x) la valeur de la fonction f(x o +∆x) = (x o +∆x) 2 = x² o +2x o ∆x+∆x 2, d'où ∆f = f(x o + ∆x)–f(x o) = (x o +∆x) 2 –x² o = x² o +2x o ∆x+∆x 2 –x² o = 2x o ∆x+∆x 2 ; ∆f = 2x o ∆x+∆x 2 ; ∆х = 3–1 = 2 ; ∆f =2·1·2+4 = 8.
b)Problèmes conduisant à la notion de dérivée. Définition du dérivé, sa signification physique.
Le concept d'incrément d'argument et de fonction est nécessaire pour introduire le concept de dérivée, né historiquement de la nécessité de déterminer la vitesse de certains processus.
Voyons comment déterminer la vitesse d'un mouvement rectiligne. Soit le corps se déplace rectiligne selon la loi : ∆S= ·∆t. Pour un mouvement uniforme := ∆S/∆t.
Pour un mouvement alternatif, la valeur ∆Ѕ/∆t détermine la valeur moy. , c'est-à-dire moy. =∆S/∆t. Mais la vitesse moyenne ne permet pas de refléter les caractéristiques du mouvement du corps et de donner une idée dela vitesse réelle au temps t. Lorsque la période de temps diminue, c'est-à-dire à ∆t→0 la vitesse moyenne tend vers sa limite – Vitesse instantanée:
instantané = 
moy. = 
∆S/∆t.
La vitesse instantanée d'une réaction chimique est déterminée de la même manière :
instantané = 
moy. = 
∆х/∆t,
où x est la quantité de substance formée lors d’une réaction chimique pendant le temps t. Tâches similaires déterminer la vitesse de divers processus a conduit à l'introduction en mathématiques du concept de fonction dérivée.
Soit une fonction continue f(x), définie sur l'intervalle ]a, dans [ie son incrément ∆f=f(x+∆x)–f(x). 
est une fonction de ∆x et exprime le taux de variation moyen de la fonction.
Limite du rapport 
, lorsque ∆х→0, à condition que cette limite existe, est appelée la dérivée de la fonction :
y" x = 
.
La dérivée est notée : 
– (Coup de Yigree par X); f "
(x) – (eff premier sur x) ;
y" – (trait grec); dy/dх –
(de igrek par de x);
- (grec avec un point).
Sur la base de la définition de la dérivée, on peut dire que la vitesse instantanée du mouvement rectiligne est la dérivée temporelle de la trajectoire :
instantané = S" t = f " (t).
Ainsi, nous pouvons conclure que la dérivée d'une fonction par rapport à l'argument x est le taux de variation instantané de la fonction f(x) :
y"x =f " (x)= instantané.
C'est la signification physique de la dérivée. Le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation, donc l'expression « différencier une fonction » est équivalente à l'expression « trouver la dérivée d'une fonction ».
V)Signification géométrique de la dérivée.
P. 
la dérivée de la fonction y = f(x) a une signification géométrique simple associée au concept de tangente à une ligne courbe en un certain point M. En même temps, tangente, c'est-à-dire une ligne droite est exprimée analytiquement comme y = kx = tan· x, où
–
l'angle d'inclinaison de la tangente (droite) à l'axe X. Imaginons une courbe continue en fonction y = f(x), prenons un point M1 sur la courbe et un point M1 proche et traçons une sécante à travers eux. Son pente k sec = tg β = 
.Si nous rapprochons le point M 1 de M, alors l'incrément de l'argument ∆x
tendra vers zéro, et la sécante en β=α prendra la position d'une tangente. De la figure 2, il résulte : tgα = 
tgβ = 
=y" x. Mais tgα est égal à la pente de la tangente au graphique de la fonction :
k = tga = 
=y"x = f "
(X). Ainsi, le coefficient angulaire d'une tangente au graphique d'une fonction en un point donné est égal à la valeur de sa dérivée au point de tangence. C'est la signification géométrique de la dérivée.
G)Règle générale pour trouver la dérivée.
Sur la base de la définition de la dérivée, le processus de différenciation d'une fonction peut être représenté comme suit :
f(x+∆x) = f(x)+∆f;
trouver l'incrément de la fonction : ∆f= f(x + ∆x) - f(x) ;
former le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument :
;
Exemple: f(x)=x 2 ; F " (x)=?.
Cependant, comme on peut le voir même à partir de ceci exemple simple, l'application de la séquence spécifiée lors de la prise de dérivés est un processus complexe et laborieux. Par conséquent, pour diverses fonctions, nous introduisons formules générales différenciation, qui sont présentées sous la forme d'un tableau de « Formules de base pour la différenciation des fonctions ».
Définition 1
Si pour chaque paire $(x,y)$ de valeurs de deux variables indépendantes d'un certain domaine une certaine valeur $z$ est associée, alors $z$ est dit être une fonction de deux variables $(x,y) $. Notation : $z=f(x,y)$.
En relation avec la fonction $z=f(x,y)$, considérons les notions d'incréments généraux (total) et partiels d'une fonction.
Soit une fonction $z=f(x,y)$ de deux variables indépendantes $(x,y)$.
Note 1
Puisque les variables $(x,y)$ sont indépendantes, l'une d'elles peut changer, tandis que l'autre reste constante.
Donnons à la variable $x$ un incrément de $\Delta x$, tout en gardant la valeur de la variable $y$ inchangée.
Alors la fonction $z=f(x,y)$ recevra un incrément, qui sera appelé l'incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à la variable $x$. Désignation:
De même, nous donnerons à la variable $y$ un incrément de $\Delta y$, tout en gardant la valeur de la variable $x$ inchangée.
Alors la fonction $z=f(x,y)$ recevra un incrément, qui sera appelé l'incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à la variable $y$. Désignation:
Si l'argument $x$ reçoit un incrément $\Delta x$ et que l'argument $y$ reçoit un incrément $\Delta y$, alors l'incrément complet de la fonction donnée $z=f(x,y)$ Est obtenu. Désignation:
Ainsi nous avons :
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $x$ ;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $y$ ;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Exemple 1
Solution:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ sur $x$ ;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ par rapport à $y$.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Exemple 2
Calculez l'incrément partiel et total de la fonction $z=xy$ au point $(1;2)$ pour $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ sur $x$
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - incrément partiel de la fonction $z=f(x,y)$ de $y$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - incrément total de la fonction $z=f(x,y)$.
Ainsi,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]
Note 2
L'incrément total d'une fonction donnée $z=f(x,y)$ n'est pas égal à la somme de ses incréments partiels $\Delta _(x) z$ et $\Delta _(y) z$. Notation mathématique : $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
Exemple 3
Vérifier les remarques d'assertion pour la fonction
Solution:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (obtenu dans l'exemple 1)
Trouvons la somme des incréments partiels d'une fonction donnée $z=f(x,y)$
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
Définition 2
Si pour chaque triple $(x,y,z)$ de valeurs de trois variables indépendantes d'un certain domaine une certaine valeur $w$ est associée, alors $w$ est dit être une fonction de trois variables $(x, y,z)$ dans cette zone.
Notation : $w=f(x,y,z)$.
Définition 3
Si pour chaque ensemble $(x,y,z,...,t)$ de valeurs de variables indépendantes d'une certaine région une certaine valeur $w$ est associée, alors $w$ est dit être fonction de les variables $(x,y, z,...,t)$ dans cette zone.
Notation : $w=f(x,y,z,...,t)$.
Pour une fonction à trois variables ou plus, de la même manière que pour une fonction à deux variables, des incréments partiels sont déterminés pour chacune des variables :
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z,... ,t )$ par $z$ ;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - incrément partiel de la fonction $w =f (x,y,z,...,t)$ par $t$.
Exemple 4
Écrire des fonctions d'incrémentation partielle et totale
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $x$
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $y$ ;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $z$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - incrément total de la fonction $w=f(x,y,z)$.
Exemple 5
Calculer l'incrément partiel et total de la fonction $w=xyz$ au point $(1;2;1)$ pour $\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, \, \Deltaz=0,1$.
Solution:
Par définition de l'incrément partiel on trouve :
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $x$
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ de $y$ ;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - incrément partiel de la fonction $w=f(x,y,z)$ sur $z$ ;
Par définition de l'incrément total on trouve :
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - incrément total de la fonction $w=f(x,y,z)$.
Ainsi,
\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]
D'un point de vue géométrique, l'incrément total de la fonction $z=f(x,y)$ (par définition $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) est égal à l'incrément de l'application de la fonction graphique $z=f(x,y)$ lors du passage du point $M(x,y)$ au point $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (Fig.1).
Image 1.
