Cet article est consacré aux techniques de résolution de diverses équations et inégalités contenant
variable sous le signe du module.

Si vous rencontrez une équation ou une inégalité avec un module à l'examen, vous pouvez la résoudre en
sans connaître aucune méthode spéciale et en utilisant uniquement la définition du module. Vérité,
cela peut prendre une heure et demie de précieux temps d'examen.

Par conséquent, nous voulons vous parler des techniques qui simplifient la résolution de tels problèmes.

Tout d'abord, rappelez-vous que

Considérez les différents types équations avec module... (Nous passerons aux inégalités plus tard.)

A gauche le module, à droite le numéro

C'est le cas le plus simple. Résolvons l'équation

Il n'y a que deux nombres dont les modules sont égaux à quatre. Ce sont 4 et -4. Par conséquent, l'équation
équivaut à une combinaison de deux simples :

La deuxième équation n'a pas de solutions. Solutions au premier : x = 0 et x = 5.

Réponse : 0 ; 5.

Variable à la fois sous le module et à l'extérieur du module

Ici, vous devez étendre le module par définition. ... ... ou à réfléchir !

L'équation se divise en deux cas, selon le signe de l'expression sous le module.
En d'autres termes, il s'agit d'une combinaison de deux systèmes :

Solution du premier système :. Le deuxième système n'a pas de solutions.
Réponse 1.

Premier cas : x ≥ 3. Retirez le module :

Le nombre, étant négatif, ne satisfait pas la condition x ≥ 3 et n'est donc pas une racine de l'équation d'origine.

Voyons si le nombre satisfait à cette condition. Pour cela, composez la différence et déterminez son signe :

Par conséquent, il est supérieur à trois et est donc la racine de l'équation d'origine

Deuxième cas : x< 3. Снимаем модуль:

Nombre . supérieur à, et ne satisfait donc pas à la condition x< 3. Проверим :

Veux dire, . est la racine de l'équation d'origine.

Supprimer le module par définition ? C'est effrayant d'y penser, car le discriminant n'est pas un carré complet. Utilisons mieux la considération suivante : une équation de la forme |A | = B équivaut à la combinaison de deux systèmes :

Le même, mais légèrement différent :

En d'autres termes, nous résolvons deux équations, A = B et A = −B, puis sélectionnons les racines qui satisfont à la condition B 0.

Commençons. Tout d'abord, nous résolvons la première équation:

Puis on résout la deuxième équation :

Maintenant, dans chaque cas, nous vérifions le signe du côté droit :

Par conséquent, seuls et conviennent.

Équations quadratiques avec le remplacement |x | = t

Résolvons l'équation :

Depuis, il est commode de faire le remplacement | x | = t. On a:

Réponse : ± 1.

Le module est égal au module

On parle d'équations de la forme |A | = | B |. C'est un cadeau du destin. Aucune divulgation de module par définition ! C'est simple:

Par exemple, considérons l'équation :. Cela équivaut à l'agrégat suivant :

Il reste à résoudre chacune des équations de l'ensemble et à noter la réponse.

Deux modules ou plus

Résolvons l'équation :

Ne nous occupons pas de chaque module séparément et développons-le par définition - il y aura trop d'options. Il existe un moyen plus rationnel - la méthode des intervalles.

Les expressions de module disparaissent aux points x = 1, x = 2 et x = 3. Ces points divisent la droite numérique en quatre intervalles (intervalles). Nous marquons ces points sur la droite numérique et arrangeons les signes pour chacune des expressions sous les modules aux intervalles obtenus. (L'ordre des signes est le même que l'ordre des modules correspondants dans l'équation.)

Ainsi, nous devons considérer quatre cas - lorsque x est dans chacun des intervalles.

Cas 1 : x ≥ 3. Tous les modules sont supprimés « avec un plus » :

La valeur résultante x = 5 satisfait la condition x ≥ 3 et est donc la racine de l'équation d'origine.

Cas 2 : 2 x ≤ 3. Le dernier module est maintenant supprimé « avec un moins » :

La valeur résultante de x est également bonne - elle appartient à l'intervalle considéré.

Cas 3 : 1 x ≤ 2. Les deuxième et troisième modules sont supprimés « avec un moins » :

Nous avons obtenu l'égalité numérique correcte pour tout x de l'intervalle considéré comme solutions à cette équation.

Cas 4 : x 1 ≤ 1. Les deuxième et troisième modules sont supprimés « avec un moins » :

Rien de nouveau. Nous savons déjà que x = 1 est une solution.

Réponse : (5).

Module en module

Résolvons l'équation :

Nous commençons par étendre le module interne.

1) x 3. On obtient :

L'expression sous le module s'annule à. Ce point appartient à la considération
intervalle. Nous devons donc analyser deux sous-cas.

1.1) On obtient dans ce cas :

Cette valeur de x n'est pas valide car elle n'appartient pas à l'intervalle considéré.

1.2). Puis:

Cette valeur x n'est pas non plus valide.

Donc, pour x 3 il n'y a pas de solutions. Passons au deuxième cas.

2) x 3. On a :

Ici, nous avons de la chance : l'expression x + 2 est positive dans l'intervalle considéré ! Il n'y aura donc plus de sous-cas : le module est supprimé "avec un plus" :

Cette valeur de x est dans l'intervalle considéré et est donc la racine de l'équation d'origine.

C'est ainsi que toutes les tâches de ce type sont résolues - nous ouvrons les modules imbriqués un par un, en commençant par celui interne.

École secondaire MBOU n°17 ​​Ivanov

« Équations avec module "
Développement méthodique

Compilé par

prof de maths

N.V. Lebedeva

20010 g.

Note explicative

Chapitre 1 Introduction

Section 2. Propriétés de base Section 3. Interprétation géométrique du concept de module d'un nombre Section 4. Graphique de la fonction y = |x | Section 5. Conventions

Chapitre 2. Résolution d'équations contenant un module

Section 1. Équations de la forme |F (x) | = m (le plus simple) Section 2. Équations de la forme F (| x |) = m Section 3. Équations de la forme |F (x) | = G (x) Section 4. Équations de la forme |F (x) | = ± F (x) (beau) Section 5. Équations de la forme |F (x) | = |G (x) | Section 6. Exemples de résolution d'équations non standard Section 7. Équations de la forme |F (x) | + |G (x) | = 0 Section 8. Équations de la forme |a 1 x ± b 1 | ± |a 2 x ± b 2 | ±… |a n x ± en n | = m Section 9. Équations contenant plusieurs modules

Chapitre 3. Exemples de résolution de diverses équations avec un module.

Section 1. Équations trigonométriques Section 2. Équations exponentielles Section 3. Équations logarithmiques Section 4. Équations irrationnelles Section 5. Tâches de complexité accrue Réponses aux exercices Bibliographie

Note explicative.

La notion de valeur absolue (module) d'un nombre réel est l'une de ses caractéristiques essentielles. Ce concept est répandu dans diverses branches des sciences physiques, mathématiques et techniques. Dans la pratique de l'enseignement d'un cours de mathématiques dans l'enseignement secondaire conformément au programme du ministère de la Défense de la Fédération de Russie, le concept de "valeur absolue d'un nombre" apparaît à plusieurs reprises: en 6e année, la définition d'un module, sa signification géométrique, est introduite; en 8e année, le concept d'erreur absolue est formé, la solution des équations et des inégalités les plus simples contenant le module est considérée, les propriétés de la racine carrée arithmétique sont étudiées; en 11e, le concept se trouve dans la section « Root m-ème degré". L'expérience de l'enseignement montre que les étudiants ont souvent des difficultés à résoudre des tâches qui nécessitent une connaissance de ce matériel, et sautent souvent avant de commencer à terminer. Dans les textes des tâches d'examen pour le cours des 9e et 11e années, des tâches similaires sont également incluses. De plus, les exigences que les universités imposent aux diplômés des écoles diffèrent, à savoir, à un niveau plus élevé que les exigences du programme scolaire. Pour la vie dans la société moderne, il est très important de former un style de pensée mathématique, qui se manifeste par certaines compétences mentales. Dans le processus de résolution de problèmes avec des modules, la capacité d'appliquer des techniques telles que la généralisation et la concrétisation, l'analyse, la classification et la systématisation, l'analogie est requise. La solution de telles tâches vous permet de vérifier la connaissance des principales sections du cours de l'école, le niveau de pensée logique, les compétences initiales des activités de recherche. Ce travail est consacré à l'une des sections - la résolution d'équations contenant un module. Il se compose de trois chapitres. Le premier chapitre présente les concepts de base et les calculs théoriques les plus importants. Dans le deuxième chapitre, neuf types de base d'équations contenant un module sont proposés, des méthodes pour leur résolution sont examinées, des exemples de différents niveaux de complexité sont analysés. Le troisième chapitre propose des équations plus complexes et non standard (trigonométriques, exponentielles, logarithmiques et irrationnelles). Chaque type d'équation a des exercices pour une solution indépendante (les réponses et les instructions sont jointes). L'objectif principal de ce travail est d'apporter une aide méthodologique aux enseignants dans la préparation des cours et dans l'organisation des cours à option. Le matériel peut également être utilisé comme support pédagogique pour les élèves du secondaire. Les tâches proposées dans le travail sont intéressantes et pas toujours faciles à résoudre, ce qui permet de rendre plus consciente la motivation pédagogique des étudiants, de tester leurs capacités et d'améliorer le niveau de préparation des bacheliers à l'entrée à l'université. La sélection différenciée des exercices proposés implique le passage du niveau reproducteur de la maîtrise du matériel au niveau créatif, ainsi que la possibilité d'enseigner comment appliquer vos connaissances à la résolution de problèmes non standard.

Chapitre 1 Introduction.

Section 1. Détermination de la valeur absolue .

Définition : La valeur absolue (module) d'un nombre réel une un nombre non négatif est appelé : une ou -une. La désignation: │ une │ L'enregistrement se lit comme suit : "le module du nombre a" ou "la valeur absolue du nombre a"

│ a, si a> 0

│a│ = │ 0 si a = 0 (1)

│ - un, si un
Exemples: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Développez le module d'expression :

a) │x - 8│, si x> 12 b) │2x + 3│, si x ≤ -2 x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Section 2. Propriétés de base.

Considérons les principales propriétés de la valeur absolue. Propriété #1 : Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire │а│ = │- a│ Montrons que l'égalité est correcte. Écrivons la définition du nombre - une : │- un│= (2) Comparons les collections (1) et (2). Évidemment, les définitions des valeurs absolues des nombres une et - une correspondre. D'où, │а│ = │- a│
En considérant les propriétés suivantes, nous nous limitons à leur formulation, puisque leur preuve est donnée dans Propriété #2 : La valeur absolue de la somme d'un nombre fini de nombres réels ne dépasse pas la somme des valeurs absolues des termes : │а 1 + а 2 + ... + а n ≤│а 1 │ + │а 2 + ... + а n │ Propriété numéro 3 : La valeur absolue de la différence entre deux nombres réels ne dépasse pas la somme de leurs valeurs absolues : │а - в│ ≤│а│ + │в│ Propriété n°4 : La valeur absolue du produit d'un nombre fini de nombres réels est égale au produit des valeurs absolues des facteurs : Propriété n°5 : La valeur absolue du quotient des nombres réels est égale au quotient de leurs valeurs absolues :

Section 3. Interprétation géométrique du concept de module d'un nombre.

Chaque nombre réel peut être associé à un point sur la droite numérique, qui sera l'image géométrique du nombre réel donné. Chaque point de la droite numérique correspond à sa distance par rapport à l'origine, c'est-à-dire la longueur du segment de l'origine au point donné. Cette distance est toujours considérée comme une valeur non négative. Par conséquent, la longueur du segment correspondant sera l'interprétation géométrique de la valeur absolue du nombre réel donné

L'illustration géométrique présentée confirme clairement la propriété n° 1, c'est-à-dire les modules de nombres opposés sont égaux. Par conséquent, la validité de l'égalité est facilement comprise : │x - a│ = │a - x│. De plus, la solution de l'équation │х│ = m, où m 0, à savoir х 1,2 = ± m, devient plus évidente. Exemples: 1) = 4 x 1,2 = ± 4 2) - 3│ = 1
x 1,2 = 2 ; 4

Section 4. Graphique de la fonction y = │х│

La portée de cette fonction est tous les nombres réels.

Section 5. Conventions.

À l'avenir, lors de l'examen d'exemples de résolution d'équations, les conventions suivantes seront utilisées : (- signe du système [- signe de la totalité Lors de la résolution du système d'équations (inégalités), l'intersection des solutions incluses dans le système d'équations (inégalités) est trouvée. Lors de la résolution d'un ensemble d'équations (inégalités), l'union des solutions incluses dans l'ensemble d'équations (inégalités) est trouvée.

Chapitre 2. Résolution d'équations contenant un module.

Dans ce chapitre, nous examinerons les façons algébriques de résoudre des équations contenant un ou plusieurs modules.

Section 1. Équations de la forme │F (x) │ = m

Une équation de ce type est appelée la plus simple. Il a une solution si et seulement si m 0. Par la définition du module, l'équation originale est équivalente à une combinaison de deux équations : │ F(x) │ =m
Exemples:
№1. Résoudre l'équation : │7x - 2│ = 9


Réponse : x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1 ; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Réponse : la somme des racines est - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 on note x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ± √5 m 2 - 5 m + 4 = 0 m = 1 ; 4 - les deux valeurs satisfont la condition m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Réponse : le nombre de racines de l'équation est 7. Des exercices:
№1. Résoudre l'équation et indiquer la somme des racines : │х - 5│ = 3 №2 ... Résoudre l'équation et indiquer la plus petite racine : │x 2 + x│ = 0 №3 ... Résoudre l'équation et indiquer la plus grande racine : │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Résoudre l'équation et indiquer la racine entière : │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Résoudre l'équation et indiquer le nombre de racines : │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

Section 2. Équations de la forme F (│х│) = m

L'argument de fonction sur le côté gauche est sous le signe du module et le côté droit est indépendant de la variable. Considérez deux façons de résoudre des équations de ce type. Méthode 1 : Par définition de la valeur absolue, l'équation d'origine est équivalente à la combinaison de deux systèmes. Dans chacun desquels une condition est imposée à une expression de sous-module. F(│х│) =m
Puisque la fonction F (│х│) est paire sur tout le domaine de définition, les racines des équations F (x) = m et F (- x) = m sont des paires de nombres opposés. Par conséquent, il suffit de résoudre l'un des systèmes (en considérant des exemples de cette manière, la solution d'un système sera donnée). Méthode 2 : Appliquer la méthode d'introduction d'une nouvelle variable. Dans ce cas, la désignation │х│ = a est introduite, où a ≥ 0. Cette méthode est moins volumineuse dans la conception.
Exemples: №1 ... Résolvez l'équation : 3x 2 - 4│x│ = - 1 Utilisons l'introduction d'une nouvelle variable. On note │x│ = a, où a ≥ 0. On obtient l'équation 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 En revenant à la variable d'origine : │x = 1 et = 1/3. Chaque équation a deux racines. Réponse : x 1 = 1 ; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Résoudre l'équation : 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Trouvons la solution du premier système de l'ensemble : 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Notez que x 2 ne satisfaire la condition x ≥ 0. Solution le deuxième système sera l'opposé de x 1. Réponse : x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Résoudre l'équation : x 4 - │х│ = 0 Notons │х│ = a, où a ≥ 0. On obtient l'équation a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Retour à la variable d'origine : │х│ = 0 et │х│ = 1 х = 0 ; ± 1 Réponse : x 1 = 0 ; X 2 = 1 ; X 3 = - 1.
Des exercices: №6. Résoudre l'équation : 2│x│ - 4.5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le nombre de racines : 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer les solutions entières : x 4 + │x│ - 2 = 0

Section 3. Équations de la forme │F (x) │ = G (x)

Le membre de droite d'une équation de cette forme dépend de la variable et, par conséquent, a une solution si et seulement si le membre de droite est une fonction G (x) 0. L'équation originale peut être résolue de deux manières : Méthode 1 : Standard, repose sur la divulgation d'un module en fonction de sa définition et consiste en une transition équivalente vers une combinaison de deux systèmes. ?? F(x) │ =g(X)

Il est rationnel d'utiliser cette méthode dans le cas d'une expression complexe pour la fonction G (x) et moins complexe - pour la fonction F (x), puisque la solution des inégalités avec la fonction F (x) est supposée. Méthode 2 : Elle consiste en le passage à un système équivalent dans lequel une condition est imposée du côté droit. ?? F(X)│= g(X)

Cette méthode est plus pratique à utiliser si l'expression de la fonction G (x) est moins compliquée que celle de la fonction F (x), puisqu'on suppose que l'inégalité G (x) 0. De plus, dans le cas de plusieurs modules, cette méthode est recommandée pour appliquer la deuxième option. Exemples: №1. Résoudre l'équation : │x + 2│ = 6 -2x
(1 voie) Réponse : x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2 voies) Réponse : Le produit des racines est 3.
№3. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la somme des racines :
x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Réponse : la somme des racines est 4.
Des exercices: №9. x + 4│ = - 3x №10. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le nombre de solutions : │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le produit des racines : │х + 3│ = х 2 + х - 6

Section 4. Équations de la forme │F (x) │ = F (x) et │F (x) │ = - F (x)

Les équations de ce genre sont parfois qualifiées de « plus jolies ». Puisque le membre de droite des équations dépend d'une variable, des solutions existent si et seulement si le membre de droite est non négatif. Par conséquent, les équations originales sont équivalentes aux inégalités :
F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 et │F (x) │ = - F (x) F (x) Exemples: №1 ... Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la plus petite racine entière : │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 Réponse : x = 1№2. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la longueur de l'écart : │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Réponse : La longueur de l'espace est de 6.№3 . Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le nombre de solutions entières : │2 + x - x 2 = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Réponse : 4 solutions entières.№4 . Résolvez l'équation, dans la réponse indiquez la plus grande racine :
4 - x -
= 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Réponse : x = 3.

Des exercices: №12. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la racine entière : │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le nombre de solutions entières : │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Résolvez l'équation, dans la réponse écrivez un nombre entier qui n'est pas la racine de l'équation :

Section 5. Équations de la forme │F (x) │ = │G (x) │

Puisque les deux côtés de l'équation sont non négatifs, la solution consiste à considérer deux cas : les expressions du sous-module sont de signe égal ou opposé. Par conséquent, l'équation originale est équivalente à une combinaison de deux équations : │ F(X)│= │ g(X)│
Exemples: №1. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la racine entière : │x + 3│ = │2x - 1│
Réponse : racine entière x = 4.№2. Résous l'équation: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2
Réponse : x = 2.№3 . Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le produit des racines :




Racines de l'équation 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1,2 = - 1 ± √5 / 4 Réponse : le produit des racines est égal à - 0,25. Des exercices: №15 ... Résous l'équation, écris la solution entière dans ta réponse : │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la plus petite racine : │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la somme des racines :

Section 6. Exemples de résolution d'équations non standard

Dans cette section, nous considérerons des exemples d'équations non standard, lors de la résolution desquelles la valeur absolue d'une expression est révélée par définition. Exemples:

№1. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la somme des racines : x │x│- 5x - 6 = 0
Réponse : la somme des racines est 1 №2. . Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la plus petite racine : x 2 - 4x
- 5 = 0
Réponse : plus petite racine x = - 5. №3. Résous l'équation:

Réponse : x = -1. Des exercices: №18. Résoudre l'équation et indiquer la somme des racines : x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Résoudre l'équation : x 2 - 3x =

№20. Résous l'équation:

Section 7. Équations de la forme │F (x) │ + │G (x) │ = 0

Il est facile de voir que sur le côté gauche d'une équation de ce type se trouve la somme des valeurs non négatives. Par conséquent, l'équation d'origine a une solution si et seulement si les deux termes sont simultanément égaux à zéro. L'équation est équivalente à un système d'équations : │ F(X)│+│ g(X)│=0
Exemples: №1 ... Résous l'équation:
Réponse : x = 2. №2. Résous l'équation: Réponse : x = 1. Des exercices: №21. Résous l'équation: №22 ... Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la somme des racines : №23 ... Résolvez l'équation, dans la réponse indiquez le nombre de solutions :

Section 8. Équations de la forme │а 1 х + в 1 ± │а 2 х + в 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m

Pour résoudre des équations de ce type, la méthode des intervalles est utilisée. Si nous le résolvons par développement séquentiel de modules, alors nous obtenons m ensembles de systèmes, ce qui est très encombrant et peu pratique. Considérons l'algorithme de la méthode des intervalles : 1). Trouver des valeurs de variables X auquel chaque module est égal à zéro (zéros des expressions de sous-module) :
2). Marquez les valeurs trouvées sur la droite numérique, qui est divisée en intervalles (le nombre d'intervalles, respectivement, est m+1 ) 3). Déterminez le signe avec lequel chaque module est révélé à chacun des intervalles obtenus (lors de la réalisation d'une solution, vous pouvez utiliser une droite numérique en marquant des signes dessus) 4). L'équation originale est équivalente à la totalité m+1 systèmes dont chacun indique l'appartenance à une variable X l'un des intervalles. Exemples: №1 ... Résolvez l'équation, dans la réponse indiquez la plus grande racine :
un). Trouvez les zéros des expressions du sous-module : x = 2; x = -3 2). Marquons les valeurs trouvées sur la droite numérique et déterminons le signe avec lequel chaque module est développé sur les intervalles obtenus:
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- pas de solutions L'équation a deux racines. Réponse : la plus grande racine x = 2. №2. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la racine entière :
un). Trouvez les zéros des expressions du sous-module : x = 1.5 ; x = - 1 2). Marquons les valeurs trouvées sur la droite numérique et déterminons avec quel signe chaque module est révélé sur les intervalles obtenus : х + 1 х + 1 + 1 - + +
-1 1,5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
Le dernier système n'a pas de solutions, par conséquent, l'équation a deux racines. Au cours de la résolution de l'équation, vous devez faire attention au signe "-" devant le deuxième module. Réponse : racine entière x = 7. №3. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la somme des racines : 1). Trouvez les zéros des expressions du sous-module : x = 5; x = 1 ; x = - 2 2). Nous marquons les valeurs trouvées sur la droite numérique et déterminons avec quel signe chaque module est révélé sur les intervalles obtenus : x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
L'équation a deux racines x = 0 et 2. Réponse : la somme des racines est 2. №4 . Résoudre l'équation : 1). Trouvez les zéros des expressions du sous-module : x = 1; x = 2 ; x = 3,2). Déterminons le signe avec lequel chaque module est révélé sur les intervalles obtenus. 3).
Combinons les solutions des trois premiers systèmes. Réponse: ; x = 5.
Des exercices: №24. Résous l'équation:
№25. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la somme des racines : №26. Résolvez l'équation, dans la réponse indiquez la plus petite racine : №27. Résolvez l'équation, dans la réponse indiquez la racine la plus grande :

Section 9. Équations contenant plusieurs modules

Les équations contenant plusieurs modules supposent des valeurs absolues dans les expressions de sous-module. Le principe de base pour résoudre des équations de ce type est la divulgation séquentielle des modules, en commençant par celui "externe". Au cours de la résolution, les techniques discutées dans les sections №1, №3 sont utilisées.

Exemples: №1. Résous l'équation:
Réponse : x = 1 ; - Onze. №2. Résous l'équation:
Réponse : x = 0 ; 4 ; - 4. №3. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le produit des racines :
Réponse : le produit des racines est - 8. №4. Résous l'équation:
Notons les équations de l'ensemble (1) et (2) et considérer la solution de chacun d'eux séparément pour la commodité de la conception. Étant donné que les deux équations contiennent plus d'un module, il est plus pratique d'effectuer une transition équivalente vers des ensembles de systèmes. (1)

(2)


Réponse:
Des exercices: №36. Résous l'équation, dans la réponse écris la somme des racines : 5 3x-5│ = 25 x №37. Résoudre l'équation, s'il y a plus d'une racine, dans la réponse indiquer la somme des racines : │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Résoudre l'équation : 3 2x -4│ = 9 │x│ №39. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le nombre de racines par : 2 │ sin х│ = √2 №40 ... Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le nombre de racines :

Section 3. Équations logarithmiques.

Avant de résoudre les équations suivantes, il est nécessaire de répéter les propriétés des logarithmes et de la fonction logarithmique. Exemples: №1. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer le produit des racines : log 2 (x + 1) 2 + log 2 x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 0 x - 1

1 cas : si x ≥ - 1, alors log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - satisfait la condition х ≥ - 1 2 cas : si х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - satisfait la condition x - 1
Réponse : le produit des racines est de - 15.
№2. Résoudre l'équation, dans la réponse indiquer la somme des racines : lg
O.D.Z.

Réponse : la somme des racines est de 0,5.
№3. Résoudre l'équation : log 5
O.D.Z.

Réponse : x = 9. №4. Résoudre l'équation : │2 + log 0,2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 Utilisons la formule de transition vers une autre base. │2 - log 5 x│ + 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Trouver les zéros des expressions du sous-module : x = 25 ; x = Ces nombres divisent la plage de valeurs admissibles en trois intervalles, de sorte que l'équation équivaut à la combinaison de trois systèmes.
Réponse: )