Ces propriétés permettent d'effectuer des transformations de l'intégrale afin de la réduire à l'une des intégrales élémentaires et de poursuivre le calcul.

1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

2. La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

4. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :

De plus, a ≠ 0

5. L'intégrale de la somme (différence) est égale à la somme (différence) des intégrales :

6. La propriété est une combinaison des propriétés 4 et 5 :

De plus, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Propriété d'invariance de l'intégrale indéfinie :

Si donc

8. Propriété :

Si donc

En fait, cette propriété est un cas particulier d’intégration utilisant la méthode du changement de variable, qui est discutée plus en détail dans la section suivante.

Regardons un exemple :

Nous avons d’abord appliqué la propriété 5, puis la propriété 4, puis nous avons utilisé la table des primitives et obtenu le résultat.

L'algorithme de notre calculateur intégral en ligne prend en charge toutes les propriétés énumérées ci-dessus et peut facilement trouver solution détaillée pour votre intégrale.

Résoudre des intégrales est une tâche facile, mais seulement pour quelques privilégiés. Cet article s’adresse à ceux qui veulent apprendre à comprendre les intégrales, mais qui n’y connaissent rien ou presque. Intégral... Pourquoi est-ce nécessaire ? Comment le calculer ? Ce qui est définitif et non Intégrale définie s ?

Si la seule utilisation que vous connaissez d'une intégrale est d'utiliser un crochet en forme d'icône intégrale pour obtenir quelque chose d'utile dans des endroits difficiles d'accès, alors bienvenue ! Découvrez comment résoudre les intégrales les plus simples et autres et pourquoi vous ne pouvez pas vous en passer en mathématiques.

Nous étudions le concept « intégral »

L'intégration était connue dès le début L'Egypte ancienne. Bien sûr, pas sous sa forme moderne, mais quand même. Depuis, les mathématiciens ont écrit de nombreux ouvrages sur ce sujet. Se sont particulièrement distingués Newton Et Leibniz , mais l'essence des choses n'a pas changé.

Comment comprendre les intégrales à partir de zéro ? Certainement pas! Pour comprendre ce sujet, vous aurez toujours besoin d’une connaissance de base des bases de l’analyse mathématique. Nous avons déjà des informations sur les limites et les dérivées, nécessaires à la compréhension des intégrales, sur notre blog.

Intégrale indéfinie

Ayons une fonction f(x) .

Fonction intégrale indéfinie f(x) cette fonction s'appelle F(x) , dont la dérivée est égale à la fonction f(x) .

En d’autres termes, une intégrale est une dérivée inverse ou une primitive. Au fait, lisez notre article sur la façon de calculer les dérivés.

Une primitive existe pour toutes les fonctions continues. De plus, un signe constant est souvent ajouté à la primitive, car les dérivées de fonctions qui diffèrent par une constante coïncident. Le processus de recherche de l’intégrale est appelé intégration.

Exemple simple :

Afin de ne pas calculer constamment des primitives fonctions élémentaires, il est pratique de les résumer dans un tableau et d'utiliser des valeurs toutes faites.

Tableau complet des intégrales pour les étudiants

Intégrale définie

Lorsqu'on traite du concept d'intégrale, nous avons affaire à des quantités infinitésimales. L'intégrale permettra de calculer l'aire de la figure, la masse du corps inhomogène, la distance parcourue à mouvement irrégulier chemin et bien plus encore. Il faut rappeler qu’une intégrale est la somme d’un nombre infiniment grand de termes infinitésimaux.

À titre d'exemple, imaginez un graphique d'une fonction.

Comment trouver l'aire d'une figure délimitée par le graphique d'une fonction ? Utiliser une intégrale ! Divisons le trapèze curviligne, limité par les axes de coordonnées et le graphique de la fonction, en segments infinitésimaux. De cette façon, la figure sera divisée en fines colonnes. La somme des aires des colonnes sera l'aire du trapèze. Mais rappelez-vous qu'un tel calcul donnera un résultat approximatif. Cependant, plus les segments sont petits et étroits, plus le calcul sera précis. Si nous les réduisons à un point tel que la longueur tend vers zéro, alors la somme des aires des segments tendra vers l'aire de la figure. Il s’agit d’une intégrale définie, qui s’écrit ainsi :

Les points a et b sont appelés limites d'intégration.

« Intégral »

D'ailleurs! Pour nos lecteurs, il y a désormais une réduction de 10 % sur tout type de travail

Règles de calcul des intégrales pour les nuls

Propriétés de l'intégrale indéfinie

Comment résoudre une intégrale indéfinie ? Ici, nous examinerons les propriétés intégrale indéfinie, ce qui sera utile lors de la résolution d'exemples.

• La dérivée de l'intégrale est égale à l'intégrande :

• La constante peut être retirée sous le signe intégral :

• L'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales. Cela est également vrai pour la différence :

Propriétés d'une intégrale définie

• Linéarité :

• Le signe de l'intégrale change si les limites d'intégration sont inversées :

• À n'importe lequel points un, b Et Avec:

Nous avons déjà découvert qu'une intégrale définie est la limite d'une somme. Mais comment obtenir une valeur spécifique lors de la résolution d’un exemple ? Pour cela il existe la formule de Newton-Leibniz :

Exemples de résolution d'intégrales

Ci-dessous, nous examinerons l'intégrale indéfinie et des exemples de solutions. Nous vous suggérons de découvrir vous-même les subtilités de la solution et si quelque chose n'est pas clair, posez des questions dans les commentaires.

Pour renforcer le matériel, regardez une vidéo sur la façon dont les intégrales sont résolues dans la pratique. Ne désespérez pas si l'intégrale n'est pas donnée immédiatement. Contactez un service professionnel pour étudiants, et toute intégrale triple ou courbe sur surface fermée sera à votre portée.

En calcul différentiel, le problème est résolu : sous cette fonction ƒ(x) trouver sa dérivée(ou différentiel). Le calcul intégral résout le problème inverse : trouver la fonction F(x), connaissant sa dérivée F"(x)=ƒ(x) (ou différentielle). La fonction recherchée F(x) est appelée la primitive de la fonction ƒ(x ).

La fonction F(x) est appelée primitive fonction ƒ(x) sur l'intervalle (a; b), si pour tout x є (a; b) l'égalité

F " (x)=ƒ(x) (ou dF(x)=ƒ(x)dx).

Par exemple, la primitive de la fonction y = x 2, x є R, est la fonction, puisque

Évidemment, toutes les fonctions seront également des primitives

où C est une constante, puisque

Théorème 29. 1. Si la fonction F(x) est une primitive de la fonction ƒ(x) sur (a;b), alors l'ensemble de toutes les primitives de ƒ(x) est donné par la formule F(x)+ C, où C est un nombre constant.

▲ La fonction F(x)+C est une primitive de ƒ(x).

En effet, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Soit Ф(х) une autre primitive de la fonction ƒ(x), différente de F(x), c'est-à-dire Ф "(x)=ƒ(х). Alors pour tout x є (а; b) nous avons

Et cela signifie (voir Corollaire 25.1) que

où C est un nombre constant. Par conséquent, Ф(x)=F(x)+С.▼

L’ensemble de toutes les fonctions primitives F(x)+С pour ƒ(x) est appelé intégrale indéfinie de la fonction ƒ(x) et est désigné par le symbole ∫ ƒ(x) dx.

Ainsi, par définition

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Ici ƒ(x) est appelé fonction intégrande, ƒ(x)dx — expression intégrande, X - variable d'intégration, ∫ -signe de l'intégrale indéfinie.

L'opération consistant à trouver l'intégrale indéfinie d'une fonction est appelée intégration de cette fonction.

Géométriquement, l'intégrale indéfinie est une famille de courbes « parallèles » y=F(x)+C (chaque valeur numérique de C correspond à une courbe spécifique de la famille) (voir Fig. 166). Le graphique de chaque primitive (courbe) est appelé courbe intégrale.

Chaque fonction a-t-elle une intégrale indéfinie ?

Il existe un théorème affirmant que « toute fonction continue sur (a;b) a une primitive sur cet intervalle » et, par conséquent, une intégrale indéfinie.

Notons un certain nombre de propriétés de l'intégrale indéfinie qui découlent de sa définition.

1. La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande, et la dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

En effet, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Grâce à cette propriété, la justesse de l'intégration est vérifiée par différenciation. Par exemple, l'égalité

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

vrai, puisque (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

∫dF(x)= F(x)+C.

Vraiment,

3. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :

α ≠ 0 est une constante.

Vraiment,

(mettre C 1 / a = C.)

4. L'intégrale indéfinie de la somme algébrique d'un nombre fini de fonctions continues est égale à la somme algébrique des intégrales des sommes des fonctions :

Soit F"(x)=ƒ(x) et G"(x)=g(x). Alors

où C 1 ± C 2 = C.

5. (Invariance de la formule d'intégration).

Si , où u=φ(x) - fonction arbitraire, ayant une dérivée continue.

▲ Soit x une variable indépendante, ƒ(x) une fonction continue et F(x) sa primitive. Alors

Posons maintenant u=φ(x), où φ(x) est une fonction continûment différentiable. Considérons la fonction complexe F(u)=F(φ(x)). Du fait de l'invariance de la forme de la première différentielle de la fonction (voir p. 160), on a

D'ici▼

Ainsi, la formule de l'intégrale indéfinie reste valable, que la variable d'intégration soit la variable indépendante ou toute fonction de celle-ci ayant une dérivée continue.

Donc, d'après la formule en remplaçant x par u (u=φ(x)) on obtient

En particulier,

Exemple 29.1. Trouver l'intégrale

où C=C1+C2 +C3 +C4.

Exemple 29.2. Trouvez la solution intégrale :

• 29.3. Tableau des intégrales indéfinies de base

Profitant du fait que l'intégration est l'action inverse de la différenciation, on peut obtenir un tableau des intégrales de base en inversant les formules correspondantes du calcul différentiel (table des différentielles) et en utilisant les propriétés de l'intégrale indéfinie.

Par exemple, parce que

d(sin u)=cos u . du

La dérivation d'un certain nombre de formules dans le tableau sera donnée lors de l'examen des méthodes d'intégration de base.

Les intégrales du tableau ci-dessous sont appelées tabulaires. Il faut les connaître par cœur. En calcul intégral, il n'existe pas de règles simples et universelles pour trouver les primitives des fonctions élémentaires, comme en calcul différentiel. Les méthodes permettant de trouver des primitives (c'est-à-dire d'intégrer une fonction) se réduisent à indiquer des techniques qui amènent une intégrale donnée (recherchée) à une intégrale tabulaire. Il est donc nécessaire de connaître les intégrales des tables et de pouvoir les reconnaître.

Notez que dans le tableau des intégrales de base, la variable d'intégration peut désigner à la fois une variable indépendante et une fonction de la variable indépendante (selon la propriété d'invariance de la formule d'intégration).

La validité des formules ci-dessous peut être vérifiée en prenant la différentielle du côté droit, qui sera égale à l'intégrande du côté gauche de la formule.

Montrons, par exemple, la validité de la formule 2. La fonction 1/u est définie et continue pour toutes les valeurs de et autres que zéro.

Si u > 0, alors ln|u|=lnu, alors C'est pourquoi

Si tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоMoyens

La formule 2 est donc correcte. De même, vérifions la formule 15 :

Tableau des principales intégrales

Amis! Nous vous invitons à en discuter. Si vous avez votre propre opinion, écrivez-nous dans les commentaires.

Ces propriétés permettent d'effectuer des transformations de l'intégrale afin de la réduire à l'une des intégrales élémentaires et de poursuivre le calcul.

1. La dérivée de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

2. La différentielle de l'intégrale indéfinie est égale à l'intégrande :

3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

4. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :

De plus, a ≠ 0

5. L'intégrale de la somme (différence) est égale à la somme (différence) des intégrales :

6. La propriété est une combinaison des propriétés 4 et 5 :

De plus, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Propriété d'invariance de l'intégrale indéfinie :

Si donc

8. Propriété :

Si donc

En fait, cette propriété est un cas particulier d’intégration utilisant la méthode du changement de variable, qui est discutée plus en détail dans la section suivante.

Regardons un exemple :

Nous avons d’abord appliqué la propriété 5, puis la propriété 4, puis nous avons utilisé la table des primitives et obtenu le résultat.

L'algorithme de notre calculateur d'intégrale en ligne prend en charge toutes les propriétés énumérées ci-dessus et trouvera facilement une solution détaillée pour votre intégrale.

Primitive et intégrale indéfinie.

Une primitive d'une fonction f(x) sur l'intervalle (a; b) est une fonction F(x) telle que l'égalité est valable pour tout x de l'intervalle donné.

Si l'on prend en compte le fait que la dérivée de la constante C est égale à zéro, alors l'égalité est vraie . Ainsi, la fonction f(x) a un ensemble de primitives F(x)+C, pour une constante arbitraire C, et ces primitives diffèrent les unes des autres par une valeur constante arbitraire.

L'ensemble des primitives de la fonction f(x) est appelé l'intégrale indéfinie de cette fonction et est noté .

L’expression est appelée l’intégrande et f(x) est appelée l’intégrande. L'intégrande représente la différentielle de la fonction f(x).

L'action de trouver une fonction inconnue étant donné sa différentielle est appelée intégration indéfinie, car le résultat de l'intégration n'est pas une fonction F(x), mais un ensemble de ses primitives F(x)+C.

Intégrales de table

Les propriétés les plus simples des intégrales

1. La dérivée du résultat de l'intégration est égale à l'intégrande.

2. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une fonction est égale à la somme de la fonction elle-même et d'une constante arbitraire.

3. Le coefficient peut être soustrait du signe de l'intégrale indéfinie.

4. L'intégrale indéfinie de la somme/différence des fonctions est égale à la somme/différence des intégrales indéfinies des fonctions.

Les égalités intermédiaires des première et deuxième propriétés de l'intégrale indéfinie sont données à titre de clarification.

Pour prouver les troisième et quatrième propriétés, il suffit de trouver les dérivées des membres droits des égalités :

Ces dérivées sont égales aux intégrandes, ce qui est une preuve due à la première propriété. Il est également utilisé dans les dernières transitions.

Ainsi, le problème de l’intégration est l’inverse du problème de la différenciation, et il existe un lien très étroit entre ces problèmes :

la première propriété permet de vérifier l'intégration. Pour vérifier l'exactitude de l'intégration effectuée, il suffit de calculer la dérivée du résultat obtenu. Si la fonction obtenue par différenciation s'avère égale à l'intégrande, cela signifiera que l'intégration a été effectuée correctement ;

la deuxième propriété de l'intégrale indéfinie permet de trouver sa primitive à partir d'une différentielle connue d'une fonction. Le calcul direct des intégrales indéfinies est basé sur cette propriété.

1.4.Invariance des formes d'intégration.

L'intégration invariante est un type d'intégration de fonctions dont les arguments sont des éléments d'un groupe ou des points d'un espace homogène (n'importe quel point d'un tel espace peut être transféré à un autre par une action donnée du groupe).

la fonction f(x) se réduit au calcul de l'intégrale de la forme différentielle f.w, où

Une formule explicite pour r(x) est donnée ci-dessous. La condition de l'accord a la forme .

ici Tg signifie l'opérateur de décalage sur X utilisant gОG : Tgf(x)=f(g-1x). Soit X=G une topologie, un groupe agissant sur lui-même par décalages vers la gauche. Moi et. existe si et seulement si G est localement compact (en particulier, sur les groupes de dimension infinie, II n'existe pas). Pour un sous-ensemble de I. et. la fonction caractéristique cA (égale à 1 sur A et 0 en dehors de A) spécifie la mesure Xaar gauche m(A). La propriété déterminante de cette mesure est son invariance sous les décalages vers la gauche : m(g-1A)=m(A) pour tout gОG. La mesure de Haar gauche sur un groupe est définie de manière unique à un facteur scalaire positif près. Si la mesure Haar m est connue, alors I. et. la fonction f est donnée par la formule . La bonne mesure de Haar a des propriétés similaires. Il existe un homomorphisme continu (carte préservant la propriété de groupe) DG du groupe G dans le groupe (par rapport à la multiplication) posit. numéros pour lesquels

où dmr et dmi sont les mesures Haar droite et gauche. La fonction DG(g) est appelée module du groupe G. Si , alors le groupe G est appelé. unimodulaire; dans ce cas, les mesures de Haar droite et gauche coïncident. Les groupes compacts, semi-simples et nilpotents (en particulier commutatifs) sont unimodulaires. Si G est un groupe de Lie à n dimensions et q1,...,qn est une base dans l'espace des formes 1 invariantes à gauche sur G, alors la mesure de Haar gauche sur G est donnée par la forme n. En coordonnées locales pour le calcul

formes qi, vous pouvez utiliser n'importe quelle réalisation matricielle du groupe G : la matrice 1-forme g-1dg est laissée invariante, ainsi que son coefficient. sont des formes 1 scalaires invariantes à gauche à partir desquelles la base requise est sélectionnée. Par exemple, le groupe matriciel complet GL(n, R) est unimodulaire et la mesure de Haar sur celui-ci est donnée par la forme. Laisser X=G/H est un espace homogène pour lequel le groupe localement compact G est un groupe de transformation, et le sous-groupe fermé H est le stabilisateur d'un certain point. Pour qu’un i.i. existe sur X, il est nécessaire et suffisant que pour tout hОH l’égalité DG(h)=DH(h) soit vraie. En particulier, cela est vrai dans le cas où H est compact ou semi-simple. Théorie complète de I. et. n'existe pas sur les variétés de dimension infinie.

Remplacement des variables.