Classification des modèles géométriques par représentation interne. Modèle géométrique. Systèmes de modélisation géométrique

Les sous-systèmes de modélisation graphique et géométrique (GGM) occupent une place centrale dans CAPP. En règle générale, la conception des produits qu'ils contiennent est réalisée de manière interactive lorsqu'ils fonctionnent avec des modèles géométriques, c'est-à-dire des objets mathématiques qui affichent la forme du produit, la composition des unités d'assemblage et éventuellement quelques paramètres supplémentaires (poids, couleurs de surface, etc.).

Dans les sous-systèmes GGM, un parcours typique de traitement des données comprend l'obtention d'une solution de conception dans un programme d'application, sa présentation sous la forme d'un modèle géométrique (modélisation géométrique), la préparation de la solution de conception pour la visualisation, la visualisation elle-même à l'aide d'un PC, si nécessaire, l'ajustement la solution de manière interactive.

Les deux dernières opérations sont mises en œuvre sur la base des outils informatiques GGM. Lorsqu'ils parlent du support mathématique de GGM, ils entendent avant tout des modèles, des méthodes et des algorithmes pour la modélisation géométrique et la préparation à la visualisation.

Il existe des logiciels GGM bidimensionnels (2D) et tridimensionnels (3D).

Les principales applications de 2D GGM sont la préparation de documentation de dessins dans SAPP, la conception topologique de cartes de circuits imprimés et de puces LSI dans CAPP pour l'industrie électronique.

Au cours du processus de modélisation 3D, des modèles géométriques sont créés, c'est-à-dire modèles reflétant les propriétés géométriques des produits. Il existe des modèles géométriques : cadre (fil), surfacique, volumétrique (solide).

Un modèle filaire représente la forme d'un produit sous la forme d'un ensemble fini de lignes posées sur les surfaces du produit. Pour chaque ligne, les coordonnées des points finaux sont connues et leur incidence avec les arêtes ou les surfaces est indiquée. Il n'est pas pratique d'opérer avec un modèle de trame dans d'autres opérations CAPP, et par conséquent les modèles de trame sont rarement utilisés à l'heure actuelle.

Un modèle de surface affiche la forme d'un produit en spécifiant les surfaces qui le délimitent, par exemple sous la forme d'un ensemble de données sur les faces, les arêtes et les sommets.

Une place particulière est occupée par les modèles de produits avec des surfaces de formes complexes, appelées surfaces sculpturales. De tels produits comprennent par exemple des boîtiers pour microcircuits, ordinateurs, postes de travail), etc.

Les modèles tridimensionnels se distinguent par le fait qu'ils contiennent explicitement des informations sur l'appartenance des éléments à l'espace interne ou externe par rapport au produit.

Les modèles considérés présentent des corps à volumes fermés, appelés collecteurs. Certains systèmes de modélisation géométrique permettent de fonctionner avec une variété de modèles ( non-collecteur), dont des exemples peuvent être des modèles de corps se touchant en un point ou le long d'une ligne droite. Les petits modèles sont pratiques dans le processus de conception, lorsqu'aux étapes intermédiaires, il est utile de travailler simultanément avec des modèles tridimensionnels et bidimensionnels, sans préciser l'épaisseur des parois de la structure, etc.

Systématisation de modèles géométriques

Mathématiciens et physiciens, ingénieurs et designers, scientifiques et ouvriers, médecins et artistes, astronautes et photographes doivent composer avec des modèles géométriques. Cependant, il n’existe toujours pas de conseils systématiques sur les modèles géométriques et leurs applications. Cela s'explique principalement par le fait que la gamme de modèles géométriques est trop large et diversifiée.

Les modèles géométriques peuvent incarner le plan du designer et servir à créer un nouvel objet. Le schéma inverse se produit également lorsqu'un modèle est réalisé à partir d'un objet, par exemple lors d'une restauration ou d'une réparation.

Les modèles géométriques sont classés en sujets (dessins, cartes, photographies, mises en page, images télévisées, etc.), informatiques et cognitifs. Les modèles de sujets sont étroitement liés à l'observation visuelle. Les informations obtenues à partir des modèles de sujets comprennent des informations sur la forme et la taille d'un objet, ainsi que sur son emplacement par rapport aux autres.

Les dessins de machines, de structures, d'appareils techniques et de leurs pièces sont réalisés dans le respect d'un certain nombre de symboles, de règles particulières et d'une certaine échelle. Il existe des dessins de pièces, d'assemblage, de vue générale, d'assemblage, tabulaires, dimensionnels, externes, opérationnels, etc. En fonction de l'étape de conception, les dessins sont divisés en dessins d'une proposition technique, en conceptions préliminaires et techniques et en dessins d'exécution. Les dessins se distinguent également par branches de production : génie mécanique, fabrication d'instruments, construction, exploitation minière et géologique, topographique, etc. Les dessins de la surface de la Terre sont appelés cartes. Les dessins se distinguent par le mode de représentation : dessin orthogonal, axonométrie, perspective, repères numériques, projections affines, projections stéréographiques, perspective cinématographique, etc.

Les modèles géométriques diffèrent sensiblement par la méthode d'exécution : dessins originaux, originaux, copies, dessins, peintures, photographies, films, radiographies, cardiogrammes, tracés, modèles, sculptures, etc. Parmi les modèles géométriques, on peut distinguer les modèles plats et volumétriques.

Les constructions graphiques peuvent être utilisées pour obtenir des solutions numériques à divers problèmes. Lors du calcul d'expressions algébriques, les nombres sont représentés par des segments orientés. Pour trouver la différence ou la somme de nombres, les segments correspondants sont tracés sur une ligne droite. La multiplication et la division s'effectuent en construisant des segments proportionnels, qui sont coupés sur les côtés de l'angle par des lignes droites parallèles. La combinaison de la multiplication et de l'addition permet de calculer des sommes de produits et des moyennes pondérées. L'élévation graphique à une puissance entière consiste en une répétition séquentielle de multiplication. La solution graphique des équations est la valeur en abscisse du point d'intersection des courbes. Graphiquement, vous pouvez calculer une intégrale définie, construire un graphique de la dérivée, c'est-à-dire différencier et intégrer des équations différentielles. Les modèles géométriques destinés aux calculs graphiques doivent être distingués des nomogrammes et des modèles géométriques computationnels (CGM). Les calculs graphiques nécessitent à chaque fois une séquence de constructions. Les nomogrammes et les RGM sont des images géométriques de dépendances fonctionnelles et ne nécessitent pas de nouvelles constructions pour trouver des valeurs numériques. Les nomogrammes et les RGM sont utilisés pour les calculs et les études de dépendances fonctionnelles. Les calculs sur le RGM et les nomogrammes sont remplacés par la lecture des réponses à l'aide des opérations élémentaires précisées dans la clé du nomogramme. Les principaux éléments des nomogrammes sont les échelles et les champs binaires. Les nomogrammes sont divisés en élémentaires et composites. Les nomogrammes se distinguent également par l'opération dans la clé. La différence fondamentale entre RGM et nomogramme réside dans le fait que des méthodes géométriques sont utilisées pour construire RGM et que des méthodes analytiques sont utilisées pour construire des nomogrammes.

Les modèles géométriques illustrant les relations entre les éléments d'un ensemble sont appelés graphiques. Les graphiques sont des modèles d’ordre et de mode d’action. Sur ces modèles il n'y a pas de distances, d'angles, peu importe que les points soient reliés par une ligne droite ou courbe. Dans les graphiques, seuls les sommets, les arêtes et les arcs sont distingués. Les graphiques ont d’abord été utilisés pour résoudre des énigmes. Actuellement, les graphiques sont utilisés efficacement dans la théorie de la planification et du contrôle, la théorie de l'ordonnancement, la sociologie, la biologie, l'électronique, pour résoudre des problèmes probabilistes et combinatoires, etc.

Un modèle graphique de dépendance fonctionnelle est appelé un graphique. Des graphiques de fonctions peuvent être construits à partir d'une partie donnée de celle-ci ou à partir du graphique d'une autre fonction en utilisant des transformations géométriques.

Une image graphique qui montre clairement la relation entre des quantités est un diagramme. Par exemple, un diagramme d'état (diagramme de phases) représente graphiquement la relation entre les paramètres d'état d'un système d'équilibre thermodynamique. Un graphique à barres, qui est un ensemble de rectangles adjacents construits sur une ligne droite et représentant la distribution de toutes quantités selon une caractéristique quantitative, est appelé histogramme.

Les modèles géométriques sont classés en sujets, informatiques et cognitifs. Parmi les modèles géométriques, on peut distinguer les modèles plats et tridimensionnels. Les modèles de sujets sont étroitement liés à l'observation visuelle. Les informations obtenues à partir des modèles de sujets comprennent des informations sur la forme et la taille d'un objet, ainsi que sur son emplacement par rapport aux autres. Les dessins des machines, des appareils techniques et de leurs pièces sont réalisés dans le respect d'un certain nombre de symboles, de règles particulières et d'une certaine échelle. Les dessins peuvent être des vues d'installation, de vue générale, d'assemblage, tabulaires, dimensionnelles, externes, opérationnelles, etc. Les dessins se distinguent également par branches de production : génie mécanique, fabrication d'instruments, construction, exploitation minière et géologique, topographique, etc. Les dessins de la surface de la Terre sont appelés cartes. Les dessins se distinguent par la méthode de l'image : dessin orthogonal, axonométrie, perspective, projections avec repères numériques, projections affines, projections stéréographiques, perspective cinématographique, etc. Les modèles de sujets comprennent des dessins, des cartes, des photographies, des mises en page, des images télévisées, etc. Les modèles de sujets sont étroitement liés à l'observation visuelle. Parmi les modèles géométriques d'objets, on peut distinguer les modèles plats et tridimensionnels. Les modèles d'objets diffèrent sensiblement par la méthode d'exécution : dessins, dessins, peintures, photographies, films, radiographies, mises en page, maquettes, sculptures, etc. En fonction de l'étape de conception, les dessins sont divisés en dessins d'une proposition technique, en conceptions préliminaires et techniques et en dessins d'exécution. Les dessins sont également distingués en originaux, originaux et copies.

Les constructions graphiques peuvent être utilisées pour obtenir des solutions numériques à divers problèmes. Graphiquement, vous pouvez effectuer des opérations algébriques (ajouter, soustraire, multiplier, diviser), différencier, intégrer et résoudre des équations. Lors du calcul d'expressions algébriques, les nombres sont représentés par des segments orientés. Pour trouver la différence ou la somme de nombres, les segments correspondants sont tracés sur une ligne droite. La multiplication et la division sont réalisées en construisant des segments proportionnels, qui sont coupés sur les côtés de l'angle par des lignes droites parallèles. La combinaison de la multiplication et de l'addition permet de calculer des sommes de produits et des moyennes pondérées. L'élévation graphique à une puissance entière consiste en une répétition séquentielle de multiplication. La solution graphique des équations est la valeur en abscisse du point d'intersection des courbes. Graphiquement, vous pouvez calculer une intégrale définie, construire un graphique de la dérivée, c'est-à-dire différencier, intégrer et résoudre des équations. Les modèles géométriques destinés aux calculs graphiques doivent être distingués des nomogrammes et des modèles géométriques computationnels (CGM). Les calculs graphiques nécessitent à chaque fois une séquence de constructions. Les nomogrammes et les RGM sont des images géométriques de dépendances fonctionnelles et ne nécessitent pas de nouvelles constructions pour trouver des valeurs numériques. Les nomogrammes et les RGM sont utilisés pour les calculs et les études de dépendances fonctionnelles. Les calculs sur le RGM et les nomogrammes sont remplacés par la lecture des réponses à l'aide des opérations élémentaires précisées dans la clé du nomogramme. Les principaux éléments des nomogrammes sont les échelles et les champs binaires. Les nomogrammes sont divisés en nomogrammes élémentaires et composites. Les nomogrammes se distinguent également par l'opération dans la clé. La différence fondamentale entre RGM et nomogramme réside dans le fait que des méthodes géométriques sont utilisées pour construire RGM et que des méthodes analytiques sont utilisées pour construire des nomogrammes. La nomographie est le passage d'un moteur analytique à une machine géométrique.

Les modèles cognitifs comprennent des graphiques de fonctions, des diagrammes et des graphiques. Un modèle graphique de la dépendance d'une variable par rapport à une autre est appelé un graphe de fonctions. Des graphiques de fonctions peuvent être construits à partir d'une partie donnée de celle-ci ou à partir du graphique d'une autre fonction en utilisant des transformations géométriques. Une image graphique qui montre clairement la relation entre des quantités est un diagramme. Un graphique à barres, qui est un ensemble de rectangles adjacents construits sur une ligne droite et représentant la distribution de toutes quantités selon une caractéristique quantitative, est appelé histogramme. Les modèles géométriques illustrant les relations entre les éléments d'un ensemble sont appelés graphiques. Les graphiques sont des modèles d’ordre et de mode d’action. Sur ces modèles il n'y a pas de distances, d'angles, peu importe que les points soient reliés par une ligne droite ou une courbe. Dans les graphiques, seuls les sommets, les arêtes et les arcs sont distingués. Les graphiques ont d’abord été utilisés pour résoudre des énigmes. Actuellement, les graphiques sont utilisés efficacement dans la théorie de la planification et du contrôle, la théorie de l'ordonnancement, la sociologie, la biologie, pour résoudre des problèmes probabilistes et combinatoires, etc.

Les modèles géométriques théoriques revêtent une importance particulière. En géométrie analytique, les images géométriques sont étudiées au moyen d'une algèbre basée sur la méthode des coordonnées. En géométrie projective, les transformations projectives et les propriétés immuables des figures indépendantes d'elles sont étudiées. En géométrie descriptive, les figures spatiales et les méthodes de résolution de problèmes spatiaux sont étudiées en construisant leurs images sur un plan. Les propriétés des figures planes sont considérées en planimétrie et les propriétés des figures spatiales sont considérées en stéréométrie. La trigonométrie sphérique étudie les relations entre les angles et les côtés des triangles sphériques. La théorie de la photogrammétrie et de la stéréo- et photogrammétrie permet de déterminer les formes, les tailles et les positions des objets à partir de leurs images photographiques dans les affaires militaires, la recherche spatiale, la géodésie et la cartographie. La topologie moderne étudie les propriétés continues des figures et leurs positions relatives. La géométrie fractale (introduite dans la science en 1975 par B. Mandelbrot), qui étudie les modèles généraux de processus et de structures dans la nature, grâce à la technologie informatique moderne, est devenue l'une des découvertes les plus fructueuses et les plus belles des mathématiques. Les fractales seraient encore plus populaires si elles étaient fondées sur les acquis de la théorie moderne de la géométrie descriptive.

Les problèmes de géométrie descriptive classique peuvent être divisés en problèmes positionnels, métriques et constructifs.

Dans les disciplines techniques, on utilise des modèles géométriques statiques, qui aident à se forger une idée sur certains objets, leurs caractéristiques de conception et leurs éléments constitutifs, et des modèles géométriques dynamiques ou fonctionnels, qui permettent de démontrer la cinématique, les connexions fonctionnelles ou les processus techniques et technologiques. . Très souvent, les modèles géométriques permettent de retracer l'évolution de phénomènes qui ne se prêtent pas à l'observation ordinaire et peuvent être représentés sur la base des connaissances existantes. Les images permettent non seulement de présenter la structure de certaines machines, instruments et équipements, mais en même temps de caractériser leurs caractéristiques technologiques et paramètres fonctionnels.

Les dessins ne fournissent pas seulement des informations géométriques sur la forme des pièces de l'assemblage. Il comprend le principe de fonctionnement de l'ensemble, le mouvement des pièces les unes par rapport aux autres, la transformation des mouvements, l'apparition de forces, de contraintes, la conversion de l'énergie en travail mécanique, etc. Dans une université technique, les dessins et schémas ont lieu dans toutes les disciplines techniques générales et spéciales étudiées (mécanique théorique, résistance des matériaux, matériaux de structure, électromécanique, hydraulique, technologie du génie mécanique, machines et outils, théorie des machines et mécanismes, pièces de machines, machines et équipements, etc. ). Pour transmettre diverses informations, les dessins sont complétés par divers signes et symboles, et de nouveaux concepts sont utilisés pour les décrire verbalement, dont la formation repose sur les concepts fondamentaux de la physique, de la chimie et des mathématiques.

L'utilisation de modèles géométriques est particulièrement intéressante pour établir des analogies entre les lois géométriques et des objets réels afin d'analyser l'essence d'un phénomène, d'évaluer la signification théorique et pratique du raisonnement mathématique et d'analyser l'essence du formalisme mathématique. Notons que les moyens généralement admis de transmission de l'expérience, des connaissances et de la perception acquises (parole, écriture, peinture, etc.) sont évidemment un modèle de projection homomorphe de la réalité. Les concepts de schématisme de projection et d'opération de conception concernent la géométrie descriptive et ont leur généralisation dans la théorie de la modélisation géométrique. Les modèles géométriques de projection obtenus à la suite de l'opération de projection peuvent être parfaits, imparfaits (divers degrés d'imperfection) et effondrés. D'un point de vue géométrique, tout objet peut avoir de nombreuses projections, différant à la fois par la position du centre du dessin et de l'image, et par leur dimension, c'est-à-dire Les phénomènes réels de la nature et des relations sociales permettent diverses descriptions, différant les unes des autres par le degré de fiabilité et de perfection. La base de la recherche scientifique et la source de toute théorie scientifique sont l’observation et l’expérimentation, qui ont toujours pour objectif d’identifier un modèle. Toutes ces circonstances ont servi de base à l'utilisation d'analogies entre différents types de modèles géométriques de projection obtenus grâce à la modélisation homomorphe et les modèles résultant de l'étude.

Ce sont des modèles qui décrivent les propriétés géométriques de l'objet conçu avec une certaine précision. Les propriétés géométriques sont des relations spatiales et des formes (figures). En géométrie, la notion d'espace et de figures est définie à partir de la notion d'ensemble. Espace est défini comme un ensemble de tous éléments (points), et chiffre est défini comme un ensemble arbitraire de points dans un espace donné.

La CAO utilise une représentation mathématique d'un modèle géométrique. La science qui traite de cela est ingénierie (appliquée) géométrie. Dans la modélisation géométrique, l'objet de conception apparaît comme objet géométrique (ALLER). Pour tout objet géométrique, vous pouvez définir un ensemble de conditions indépendantes qui définissent de manière unique cet objet, c'est-à-dire vous permettant d'établir pour n'importe quel point de l'espace si ce point appartient ou non à l'objet. Un tel ensemble de conditions indépendantes est appelé déterminant objet géométrique. Les conditions incluent des figures géométriques (points, lignes, surfaces) et une certaine séquence d'actions par lesquelles un objet géométrique donné peut être construit à partir de ces figures géométriques. Cette séquence d'actions est appelée algorithme de lecture d'un objet géométrique donné.

Un objet géométrique est caractérisé quantitativement paramètres . Lors de l'identification des paramètres, il est important de prendre en compte les domaines de leur existence, par exemple, pour un triangle, les nombres exprimant les longueurs des côtés sont toujours supérieurs à zéro et la somme de deux nombres est supérieure au troisième nombre.

Pour descriptif figure géométrique il est nécessaire de sélectionner des paramètres de deux types - formes et dispositions . Options de formulaire caractériser la taille et la forme d'une figure géométrique : elles ne changent pas lorsque la position de la figure dans l'espace change ; paramètres de position caractériser la position d'une figure géométrique dans l'espace. La forme est paramétrée dans un système de coordonnées associé à la forme elle-même et se déplace avec elle. La position de la figure est paramétrée dans le système de coordonnées indépendamment de la figure.

Lors de la description d'un objet géométrique, des sous-ensembles de points limites sont distingués - surface d'un objet géométrique ; et un sous-ensemble de points internes – corps d'un objet géométrique .

Les objets géométriques se présentent sous des formes et des structures complexes. Les objets géométriques de forme complexe sont ceux qui ont une surface complexe (par exemple, la coque d'un navire, une voiture). Objets géométriques de structure complexe - constitués de plusieurs objets géométriques.

Il existe deux approches principales de la modulation géométrique dans la conception assistée par ordinateur :

Première approche consiste dans le fait qu'un certain ensemble de figures géométriques est identifié, qui dans une classe de problèmes donnée sont considérées comme élémentaires (de base). Parallèlement à l'ensemble géométrique, un ensemble d'actions est introduit - des opérations géométriques sur cet ensemble. L'objet géométrique dans ce cas est appelé composite (constructif).

Deuxième approche description directe et reproduction des propriétés géométriques d'un objet sans utilisation de figures fixes auxiliaires préalablement préparées. Dans ce cas, la loi de formation d'un objet géométrique est directement décrite comme un ensemble de points avec des propriétés correspondantes.

Une approche basée sur la modélisation « directe » d'un objet géométrique, selon le mode de formation, peut être divisée en modèles analytiques et algébriques-logiques par morceaux de l'objet .

Dans les modèles analytiques par morceaux La surface d’un objet est représentée par des morceaux séparés de surfaces lisses appelés faces. Chaque face est définie par sa propre équation de surface et ses propres limites. Côtes d'un objet géométrique ou la limite d'une face sont les lignes d'intersection des surfaces qui limitent l'objet géométrique. Les points d'intersection des arêtes sont appelés pics .

Il existe trois types de modèles : à tige, à coque et volumétrique.

Modèle de tige objet géométrique permet de donner très simplement la forme de l'image de l'objet conçu en construisant un modèle filaire de l'objet géométrique. Dans un tel modèle, seules les arêtes et les sommets d'un objet géométrique sont décrits, les faces ne sont pas décrites (Fig. 1a).Les arêtes se présentent sous la forme de tiges reliées aux nœuds (sommets 1,2,3... ). Les équations de base pour décrire un tel modèle sont les équations d’une droite dans un espace tridimensionnel. Un tel modèle est un sous-modèle, mais il vous permet d'afficher rapidement une image d'un objet géométrique, ainsi que d'effectuer des opérations telles que la construction de projections axonométriques et perspective.

La description mathématique de modèles de ce type est relativement simple, ce qui détermine les hautes performances du logiciel. Les inconvénients de tels modèles incluent la difficulté ou l'impossibilité de représenter l'apparence interne d'un objet, en construisant ses coupes et sections arbitraires.

Modèles géométriques d'un objet

une tige; b - coquille

Modèle de coque de l'objet (Fig. 1b), repose sur la représentation de l'apparence extérieure d'un objet sous la forme d'un ensemble de surfaces que sont les faces du modèle (A, B, C...). Les lignes d'intersection des surfaces forment les bords du modèle.

Un tel modèle est décrit par un système d'équations de surface et peut être utilisé pour modéliser l'apparence externe d'objets de n'importe quelle forme. Son principal inconvénient est l'impossibilité de représenter l'aspect interne d'un objet, de construire ses coupes et ses sections.

Le modèle le plus moderne et largement utilisé en CAO est volumétrique(modèle solide). La procédure généralement acceptée pour modéliser un corps solide est la séquence d'opérations booléennes (union, soustraction et intersection) sur des éléments volumétriques (sphères, prismes, cylindres, cônes, pyramides, etc.). Ces éléments sont décrits par les mêmes équations que les surfaces du modèle coque, mais les éléments volumiques sont considérés comme remplis. Un exemple d'opérations avec des éléments volumétriques est présenté sur la Fig. 2.

Fig.2. Opérations avec des éléments volumétriques

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Systèmes de modélisation géométrique

Les systèmes de modélisation géométrique vous permettent de travailler avec des formes dans un espace tridimensionnel. Ils ont été créés pour surmonter les problèmes associés à l'utilisation de modèles physiques dans le processus de conception, tels que la difficulté d'obtenir des formes complexes avec des dimensions précises, ainsi que la difficulté d'extraire les informations nécessaires à partir de modèles réels pour les reproduire avec précision.

Ces systèmes créent un environnement similaire à celui dans lequel les modèles physiques sont créés. En d’autres termes, dans un système de modélisation géométrique, le concepteur modifie la forme du modèle, en ajoutant et en supprimant des parties, détaillant ainsi la forme du modèle visuel. Un modèle visuel peut ressembler à un modèle physique, mais il est intangible. Cependant, le modèle visuel tridimensionnel est stocké dans l'ordinateur avec sa description mathématique, éliminant ainsi le principal inconvénient du modèle physique - la nécessité d'effectuer des mesures pour un prototypage ultérieur ou une production en série. Les systèmes de modélisation géométrique sont divisés en filaire, surfacique, solide et non structuré.

Systèmes filaires

Dans les systèmes de modélisation filaire, une forme est représentée comme un ensemble de lignes et de points finaux qui la caractérisent. Les lignes et les points sont utilisés pour représenter des objets tridimensionnels sur l'écran, et les changements de forme sont obtenus en modifiant la position et la taille des lignes et des points. En d’autres termes, le modèle visuel est un dessin filaire d’une forme et la description mathématique correspondante est un ensemble d’équations de courbes, de coordonnées de points et d’informations sur la connectivité des courbes et des points. Les informations de connectivité décrivent l'appartenance de points à des courbes spécifiques, ainsi que l'intersection des courbes les unes avec les autres. Les systèmes de modélisation filaire étaient populaires à l’époque où GM commençait tout juste à émerger. Leur popularité était due au fait que dans les systèmes de modélisation filaire, la création de formulaires était réalisée à travers une séquence d'étapes simples, de sorte qu'il était assez facile pour les utilisateurs de créer eux-mêmes des formulaires. Cependant, un modèle visuel constitué uniquement de lignes peut être ambigu. De plus, la description mathématique correspondante ne contient pas d'informations sur les surfaces internes et externes de l'objet modélisé. Sans ces informations, il est impossible de calculer la masse d'un objet, de déterminer les trajectoires de mouvement ou de créer un maillage pour l'analyse par éléments finis, même si l'objet semble tridimensionnel. Ces opérations faisant partie intégrante du processus de conception, les systèmes de modélisation filaire ont été progressivement remplacés par des systèmes de modélisation surfacique et solide.

Systèmes de modélisation de surfaces

Dans les systèmes de modélisation de surfaces, la description mathématique du modèle visuel comprend non seulement des informations sur les lignes caractéristiques et leurs points finaux, mais également des données sur les surfaces. Lorsque vous travaillez avec un modèle affiché à l'écran, les équations de surface, les équations de courbe et les coordonnées de points changent. La description mathématique peut inclure des informations sur la connectivité des surfaces : comment les surfaces se connectent les unes aux autres et le long de quelles courbes. Dans certaines applications, ces informations peuvent être très utiles.

Il existe trois méthodes standard pour créer des surfaces dans les systèmes de modélisation de surfaces :

1) Interpolation des points d'entrée.

2) Interpolation de points courbes.

3) Translation ou rotation d'une courbe donnée.

Les systèmes de modélisation de surfaces sont utilisés pour créer des modèles avec des surfaces complexes, car le modèle visuel vous permet d'évaluer l'esthétique du projet et la description mathématique vous permet de créer des programmes avec des calculs précis des trajectoires de mouvement.

Systèmes de modélisation solide

Conçu pour fonctionner avec des objets constitués d'un volume fermé ou d'un monolithe. Dans les systèmes de modélisation solide, contrairement aux systèmes de modélisation filaire et surfacique, la création d'un ensemble de surfaces ou de lignes caractéristiques n'est pas autorisée si elles ne forment pas un volume fermé. Une description mathématique d'un objet créé dans un système de modélisation solide contient des informations grâce auxquelles le système peut déterminer où se trouve une ligne ou un point : à l'intérieur du volume, à l'extérieur de celui-ci ou sur sa limite. Dans ce cas, vous pouvez obtenir n'importe quelle information sur le volume du corps, ce qui signifie que des applications peuvent être utilisées pour travailler avec l'objet au niveau du volume, et non sur les surfaces.

Cependant, les systèmes de modélisation solide nécessitent davantage de données d’entrée que la quantité de données fournissant une description mathématique. Si le système exigeait que l'utilisateur saisisse toutes les données pour une description mathématique complète, cela deviendrait trop complexe pour les utilisateurs et ils l'abandonneraient. Par conséquent, les développeurs de tels systèmes tentent de présenter des fonctions simples et naturelles afin que les utilisateurs puissent travailler avec des formes tridimensionnelles sans entrer dans les détails d'une description mathématique.

Les fonctions de modélisation prises en charge par la plupart des systèmes de modélisation solide peuvent être divisées en cinq groupes principaux :

1) Fonctions de création de primitives, ainsi que fonctions d'ajout et de soustraction de volume - Opérateurs booléens. Ces fonctionnalités permettent au concepteur de créer rapidement une forme proche de la forme finale de la pièce.

2) Fonctions de création de corps volumétriques en déplaçant la surface. La fonction de balayage vous permet de créer un corps tridimensionnel en traduisant ou en faisant pivoter une zone définie sur un plan.

3) Fonctions destinées principalement à modifier un formulaire existant. Des exemples typiques sont les fonctions de congé ou de lissage et de levage.

4) Fonctions qui vous permettent de manipuler directement les composants des corps volumétriques, c'est-à-dire le long des sommets, des arêtes et des faces.

5) Fonctions grâce auxquelles le concepteur peut modéliser un solide à l'aide de formes libres.

Divers systèmes de modélisation

Les systèmes de modélisation solide permettent à l'utilisateur de créer des solides avec un volume fermé, c'est-à-dire, en termes mathématiques, des solides qui représentent des variétés. En d’autres termes, de tels systèmes interdisent la création de structures qui ne soient pas diversifiées. Les violations de la condition de diversité sont, par exemple, la tangence de deux surfaces en un point, la tangence de deux surfaces le long d'une courbe ouverte ou fermée, deux volumes fermés avec une face, une arête ou un sommet commun, ainsi que des surfaces formant un nid d'abeilles. -structures de type.

L'interdiction de créer de petits modèles était considérée comme l'un des avantages des systèmes de modélisation solide, car grâce à cela, tout modèle créé dans un tel système pouvait être fabriqué. Si l'utilisateur souhaite travailler avec le système de modélisation géométrique tout au long du processus de développement, cet avantage s'avère être l'autre côté.

Un modèle abstrait avec un mélange de dimensions est pratique car il ne restreint pas la pensée créative du designer. Un modèle multidimensionnel peut contenir des arêtes libres, des surfaces en couches et des volumes. Un modèle abstrait est également utile car il peut servir de base d’analyse. Chaque étape du processus de conception peut disposer de ses propres outils analytiques. Par exemple, en utilisant la méthode des éléments finis, directement sur la représentation initiale du modèle, qui permet d'automatiser le retour d'information entre les étapes de conception et d'analyse, qui est actuellement mis en œuvre de manière indépendante par le concepteur. Les petits modèles sont indispensables comme étape dans le développement d'un projet depuis une description incomplète à bas niveaux jusqu'à un corps tridimensionnel fini. Les systèmes multimodélisation permettent d'utiliser simultanément des modèles filaires, surfaciques, solides et cellulaires dans le même environnement de modélisation, élargissant ainsi la gamme de modèles disponibles.

Description des surfaces

Un élément important des modèles géométriques est la description des surfaces. Si les surfaces de la pièce sont des faces planes, alors le modèle peut être exprimé tout simplement par certaines informations sur les faces, les arêtes et les sommets de la pièce. Dans ce cas, la méthode de la géométrie constructive est généralement utilisée. La représentation utilisant des faces planes se produit également dans le cas de surfaces plus complexes, si ces surfaces sont approximées par des ensembles de zones planes - des maillages polygonaux. Le modèle de surface peut alors être spécifié sous l'une des formes suivantes :

1) le modèle est une liste de faces, chaque face est représentée par une liste ordonnée de sommets (un cycle de sommets) ; cette forme se caractérise par une redondance importante, puisque chaque sommet est répété dans plusieurs listes ;

2) le modèle est une liste d'arêtes, pour chaque arête, les sommets et les faces incidents sont spécifiés. Cependant, l'approximation par des maillages polygonaux pour des cellules de grande taille produit des distorsions de forme notables, et pour des cellules de petite taille, elle s'avère inefficace en termes de coûts de calcul. Par conséquent, les descriptions de surfaces non planes par des équations cubiques sous forme de Bézier ou de 5 splines sont plus populaires.

Il est pratique de se familiariser avec ces formes en montrant leur utilisation pour décrire des objets géométriques du premier niveau - les courbes spatiales.

Note. Les objets géométriques des niveaux zéro, premier et deuxième sont appelés respectivement points, courbes et surfaces.

Les sous-systèmes MG&GM utilisent des courbes cubiques définies paramétriquement

surface de modélisation constructive géométrique

x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx ;

y(t) = ay t3 +X par t2 + cy t + dy ;

z(t) = a.t3 + b_t2 + cj + d_,

où 1 > t > 0. De telles courbes décrivent des segments de la courbe approchée, c'est-à-dire que la courbe approchée est divisée en segments et chaque segment est approché par les équations (3.48).

L'utilisation de courbes cubiques assure (par une sélection appropriée de quatre coefficients dans chacune des trois équations) la réalisation de quatre conditions de conjugaison des segments. Dans le cas des courbes de Bézier, ces conditions sont le passage de la courbe de segment par deux points extrêmes donnés et l'égalité des vecteurs tangents des segments adjacents en ces points. Dans le cas de 5-splines, les conditions de continuité du vecteur tangent et de courbure (c'est-à-dire les dérivées première et seconde) aux deux points d'extrémité sont satisfaites, ce qui garantit un haut degré de douceur de la courbe, bien que le passage de la courbe approximative passant par les points donnés n'est pas assurée. L'utilisation de polynômes supérieurs au troisième degré n'est pas recommandée, car il existe une forte probabilité d'ondulation.

Dans le cas de la forme de Bézier, les coefficients de (3.48) sont déterminés, dans un premier temps, en substituant dans (3.48) les valeurs (=0k(=1i) des coordonnées des points extrêmes donnés P, et P4, respectivement , et d'autre part, en substituant les dérivées dans les expressions

dx/dt = Pour t2 + 2b + s, X X x"

dy/dt = Pour, G2 + 2 octets + s,

dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + c.

les mêmes valeurs / = 0 et / = 1 et les coordonnées des points P2 et P3, qui précisent les directions des vecteurs tangents (Fig. 3.27). En conséquence, pour la forme de Bézier on obtient

Courbe de Bézier. (3.27)

pour laquelle la matrice M a une forme différente et est présentée sous forme de tableau. 3.12, et les vecteurs Gx, Gy, G contiennent les coordonnées correspondantes des points P, 1 ; R, R, + 1, R, + 2.

Montrons qu'aux points de conjugaison des dérivées première et seconde de l'expression d'approximation, les conditions de continuité sont satisfaites, ce qui est requis par la définition d'une B-spline. Notons la section de la B-spline approximative correspondant à la section [P, P +1] de la courbe originale par . Alors pour cette section et coordonnées x au point de conjugaison Q/+, on a t = 1 et

Pour une section au même point Qi+| on a t = 0 et

c'est-à-dire que l'égalité des dérivées au point de conjugaison dans les sections adjacentes confirme la continuité du vecteur tangent et de la courbure. Naturellement, la valeur x de la coordonnée x du point Qi+1 de la courbe d'approximation dans la zone .

égale à la valeur x calculée pour le même point sur la section , mais les valeurs de coordonnées des points nodaux x et x+] des courbes de rapprochement et de rapprochement ne coïncident pas.

De même, on peut obtenir des expressions pour les formes de Bézier et les 5-splines appliquées aux surfaces, en tenant compte du fait qu'au lieu de (3.48), des dépendances cubiques sur deux variables sont utilisées.

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Les sous-systèmes d'infographie et de modélisation géométrique (MGiGM) occupent une place centrale dans les systèmes de CAO en génie mécanique. En règle générale, la conception des produits qu'ils contiennent est réalisée de manière interactive lorsqu'ils fonctionnent avec des modèles géométriques, c'est-à-dire des objets mathématiques qui affichent la forme des pièces, la composition des unités d'assemblage et éventuellement quelques paramètres supplémentaires (masse, moment d'inertie, couleurs des surfaces, etc.).

Dans les sous-systèmes MG&GM, un parcours typique de traitement des données comprend l'obtention d'une solution de conception dans un programme d'application, sa représentation sous la forme d'un modèle géométrique (modélisation géométrique), préparation d'une solution de conception pour la visualisation, visualisation réelle dans l'équipement du poste de travail et, si nécessaire, ajuster la solution de manière interactive. Les deux dernières opérations sont mises en œuvre à l'aide de matériel d'infographie. Quand ils parlent de logiciel MG&GM fait principalement référence aux modèles, méthodes et algorithmes pour la modélisation géométrique et la préparation à la visualisation. Parallèlement, c'est souvent le support mathématique de préparation à la visualisation qu'on appelle logiciel d'infographie.

Il existe des logiciels de modélisation bidimensionnelle (2D) et tridimensionnelle (3D). Les principales applications des graphiques 2D sont la préparation de la documentation de dessin dans les systèmes de CAO en génie mécanique., conception topologique de circuits imprimés et puces LSI en CAO pour l'industrie électronique. Dans les systèmes de CAO développés en génie mécanique, la modélisation 2D et 3D est utilisée pour synthétiser des structures, représenter les trajectoires des pièces de travail des machines-outils lors du traitement des pièces, générer un maillage d'éléments finis pour l'analyse de la résistance, etc.

Au cours du processus de modélisation 3D, des modèles géométriques sont créés, c'est à dire. modèles reflétant les propriétés géométriques des produits. Il existe des modèles géométriques : cadre (fil), surfacique, volumétrique (solide).

Modèle de cadre représente la forme d'une pièce comme un ensemble fini de lignes situées sur les surfaces de la pièce. Pour chaque ligne, les coordonnées des points finaux sont connues et leur incidence avec les arêtes ou les surfaces est indiquée. Utiliser le modèle filaire dans d'autres opérations des itinéraires de conception peu pratique, et donc les modèles de cadre sont rarement utilisés aujourd'hui.

Modèle surfacique affiche la forme d'une pièce en spécifiant ses surfaces de délimitation, par exemple, sous la forme d'un ensemble de données sur les faces, les arêtes et les sommets.

Une place particulière est occupée par les modèles de pièces avec des surfaces de forme complexe, appelées surfaces sculpturales.. Ces pièces comprennent les coques de nombreux véhicules (par exemple, les navires, les voitures), les pièces circulant autour des flux de liquides et de gaz (aubes de turbine, ailes d'avion), etc.

Modèles volumétriques diffèrent en ce qu'ils contiennent explicitement des informations sur l'appartenance des éléments à l'espace interne ou externe par rapport à la pièce.

Les modèles considérés présentent des corps à volumes fermés, appelés collecteurs. Certains systèmes de modélisation géométrique permettent de fonctionner avec des modèles non collecteurs), dont des exemples peuvent être des modèles de corps se touchant en un point ou le long d'une ligne droite. Les petits modèles sont pratiques dans le processus de conception, lorsqu'aux étapes intermédiaires, il est utile de travailler simultanément avec des modèles tridimensionnels et bidimensionnels, sans préciser l'épaisseur des parois de la structure, etc.