Un prisme est une figure tridimensionnelle géométrique assez simple. Néanmoins, certains écoliers ont des problèmes pour déterminer ses principales propriétés, dont la cause est généralement associée à une terminologie mal utilisée. Dans cet article, nous examinerons ce que sont les prismes, comment ils s'appellent, et décrirons également en détail le prisme quadrangulaire régulier.

Prisme en géométrie

L'étude des figures volumétriques est une tâche de stéréométrie - une partie importante de la géométrie spatiale. En stéréométrie, un prisme est compris comme une telle figure, qui est formée par la translation parallèle d'un polygone plat arbitraire à une certaine distance dans l'espace. La translation parallèle implique un tel mouvement dans lequel la rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan du polygone est complètement exclue.

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Grâce au procédé décrit d'obtention d'un prisme, une figure est formée, limitée par deux polygones de même taille, situés dans des plans parallèles, et un certain nombre de parallélogrammes. Leur nombre coïncide avec le nombre de côtés (sommets) du polygone. Les polygones identiques sont appelés les bases du prisme et leur surface est la surface des bases. Des parallélogrammes reliant deux bases forment une surface latérale.

Eléments prismatiques et théorème d'Euler

La figure tridimensionnelle considérée étant un polyèdre, c'est-à-dire formée d'un ensemble de plans sécants, elle est caractérisée par un certain nombre de sommets, d'arêtes et de faces. Tous sont des éléments d'un prisme.

Au milieu du XVIIIe siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler a établi un lien entre le nombre d'éléments de base d'un polyèdre. Cette relation s'écrit avec la formule simple suivante :

Nombre d'arêtes = nombre de sommets + nombre de faces - 2

Pour tout prisme, cette égalité est vraie. Donnons un exemple de son utilisation. Supposons qu'il existe un prisme quadrangulaire régulier. Il est illustré dans la figure ci-dessous.

On peut voir que le nombre de sommets est de 8 (4 pour chaque base quadrangulaire). Le nombre de côtés ou de faces est de 6 (2 bases et 4 rectangles latéraux). Alors le nombre d'arêtes pour cela sera égal à:

Nombre de côtes = 8 + 6 - 2 = 12

Classification complète des prismes

Il est important de comprendre cette classification afin de ne pas vous perdre dans la terminologie plus tard et d'utiliser les bonnes formules pour calculer, par exemple, la surface ou le volume des figures.

Pour tout prisme de forme arbitraire, on peut distinguer 4 caractéristiques qui le caractériseront. Listons-les :

• Par le nombre de coins du polygone à la base : triangulaire, pentagonal, octogonal, etc.
• Type de polygone. Cela peut être vrai ou faux. Par exemple, un triangle rectangle est irrégulier, mais un triangle équilatéral est correct.
• Selon le type de convexité du polygone. Il peut être concave ou convexe. Les plus courants sont les prismes convexes.
• Aux angles entre les bases et les parallélogrammes latéraux. Si tous ces angles sont égaux à 90o, alors ils parlent d'un prisme droit, sinon tous sont droits, alors une telle figure s'appelle une oblique.

De tous ces points, je voudrais m'attarder sur le dernier. Un prisme droit est aussi appelé prisme rectangulaire. Cela est dû au fait que pour lui les parallélogrammes sont des rectangles dans le cas général (dans certains cas ils peuvent être des carrés).

Par exemple, la figure ci-dessus montre une figure pentagonale concave rectangulaire ou droite.

La base de ce prisme est un quadrilatère régulier, c'est-à-dire un carré. La figure ci-dessus a déjà montré à quoi ressemble ce prisme. En plus des deux carrés qui le délimitent en haut et en bas, il comprend également 4 rectangles.

Désignons le côté de la base d'un prisme quadrangulaire régulier par la lettre a, et la longueur de son bord latéral par la lettre c. Cette longueur est aussi la hauteur de la figure. Ensuite, l'aire de toute la surface de ce prisme s'exprime par la formule :

S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)

Ici, le premier terme reflète la contribution des bases à la surface totale, le second terme est la surface de la surface latérale.

Compte tenu de la notation introduite pour les longueurs des côtés, nous écrivons la formule du volume de la figure en question :

Autrement dit, le volume est calculé comme le produit de l'aire de la base carrée et de la longueur de la nervure latérale.

cube de chiffres

Tout le monde connaît cette figure tridimensionnelle idéale, mais peu de gens pensaient qu'il s'agissait d'un prisme quadrangulaire régulier, dont le côté est égal à la longueur du côté de la base carrée, c'est-à-dire c \u003d a.

Pour un cube, les formules de la surface totale et du volume prennent la forme :

Puisqu'un cube est un prisme composé de 6 carrés identiques, toute paire parallèle d'entre eux peut être considérée comme une base.

Le cube est une figure hautement symétrique qui, dans la nature, est réalisée sous la forme de réseaux cristallins de nombreux matériaux métalliques et de cristaux ioniques. Par exemple, les réseaux d'or, d'argent, de cuivre et de sel de table sont cubiques.

À l'aide de ce didacticiel vidéo, chacun pourra se familiariser indépendamment avec le sujet «Le concept de polyèdre. Prisme. Surface du prisme. Pendant la leçon, l'enseignant parlera de ce que sont les formes géométriques telles qu'un polyèdre et des prismes, donnera les définitions appropriées et expliquera leur essence avec des exemples spécifiques.

À l'aide de cette leçon, chacun pourra se familiariser indépendamment avec le sujet «Le concept de polyèdre. Prisme. Surface du prisme.

Définition. Une surface composée de polygones et délimitant un certain corps géométrique sera appelée une surface polyédrique ou un polyèdre.

Considérons les exemples suivants de polyèdres :

1. Tétraèdre A B C D est une surface composée de quatre triangles : abc, adb, bdc et ADC(Fig. 1).

Riz. un

2. Parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est une surface composée de six parallélogrammes (Fig. 2).

Riz. 2

Les principaux éléments d'un polyèdre sont les faces, les arêtes, les sommets.

Les faces sont les polygones qui composent le polyèdre.

Les arêtes sont les côtés des faces.

Les sommets sont les extrémités des arêtes.

Considérons un tétraèdre A B C D(Fig. 1). Indiquons ses principaux éléments.

Facettes: Triangles ABC, BAD, BDC, ADC.

Travers de porc: AB, AC, BC, DC, UN D, BD.

Pics: A B C D.

Pensez à une boîte ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig. 2).

Facettes: parallélogrammes AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Travers de porc: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Pics: A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

Un cas particulier important d'un polyèdre est un prisme.

ABSA 1 EN 1 AVEC 1(Fig. 3).

Riz. 3

Triangles égaux abc et A 1 B 1 C 1 sont situés dans des plans parallèles α et β de sorte que les arêtes AA 1 , BB 1 , SS 1 sont parallèles.

C'est-à-dire ABSA 1 EN 1 AVEC 1- prisme triangulaire, si :

1) Triangles abc et A 1 B 1 C 1 sont égaux.

2) Triangles abc et A 1 B 1 C 1 situés dans des plans parallèles α et β : abc║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Côtes AA 1 , BB 1 , SS 1 sont parallèles.

abc et A 1 B 1 C 1- la base du prisme.

AA 1 , BB 1 , SS 1- nervures latérales du prisme.

Si d'un point arbitraire H 1 un plan (par exemple, β) laisse tomber la perpendiculaire HH 1 sur le plan α, alors cette perpendiculaire s'appelle la hauteur du prisme.

Définition. Si les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, alors le prisme est dit droit, sinon il est dit oblique.

Prenons un prisme triangulaire ABSA 1 EN 1 AVEC 1(Fig. 4). Ce prisme est droit. C'est-à-dire que ses bords latéraux sont perpendiculaires aux bases.

Par exemple, côte AA 1 perpendiculaire au plan abc. Bord AA 1 est la hauteur de ce prisme.

Riz. 4

Notez que la face latérale AA 1 V 1 V perpendiculaire aux bases abc et A 1 B 1 C 1, puisqu'il passe par la perpendiculaire AA 1 aux fondations.

Considérons maintenant un prisme incliné ABSA 1 EN 1 AVEC 1(Fig. 5). Ici le bord latéral n'est pas perpendiculaire au plan de la base. Si nous laissons tomber le point Un 1 perpendiculaire A 1H sur le abc, alors cette perpendiculaire sera la hauteur du prisme. A noter que la tranche UNE est la projection du segment AA 1à l'avion abc.

Alors l'angle entre la ligne AA 1 et avion abc est l'angle entre la droite AA 1 et elle UNE projection sur un plan, c'est-à-dire l'angle A 1 AN.

Riz. 5

Considérons un prisme quadrangulaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Fig. 6). Voyons comment cela se passe.

1) Quadrilatère A B C Dégal à un quadrilatère UNE 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = UNE 1 B 1 C 1 D 1.

2) Quadrilatères A B C D et UNE 1 B 1 C 1 D 1 abc║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Quadrilatères A B C D et UNE 1 B 1 C 1 D 1 disposées de manière à ce que les nervures latérales soient parallèles, c'est-à-dire : AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Définition. La diagonale d'un prisme est un segment qui relie deux sommets d'un prisme qui n'appartiennent pas à la même face.

Par exemple, CA 1- diagonale d'un prisme quadrangulaire ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Définition. Si le bord latéral AA 1 perpendiculaire au plan de la base, alors un tel prisme est appelé une ligne droite.

Riz. 6

Un cas particulier de prisme quadrangulaire est le parallélépipède connu. Parallélépipède ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 illustré à la fig. sept.

Voyons voir comment ça fonctionne:

1) Des chiffres égaux se trouvent dans les bases. Dans ce cas - parallélogrammes égaux A B C D et UNE 1 B 1 C 1 D 1: A B C D = UNE 1 B 1 C 1 D 1.

2) Parallélogrammes A B C D et UNE 1 B 1 C 1 D 1 se trouvent dans des plans parallèles α et β : abc║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Parallélogrammes A B C D et UNE 1 B 1 C 1 D 1 disposés de manière à ce que les nervures latérales soient parallèles entre elles : AA 1 ║BB 1 ║SS 1 ║DD 1.

Riz. sept

D'un point Un 1 laisser tomber la perpendiculaire UNEà l'avion abc. Section A 1H est la hauteur.

Considérez comment un prisme hexagonal est disposé (Fig. 8).

1) Des hexagones égaux se trouvent à la base A B C D E F et UNE 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= UNE 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Plans d'hexagones A B C D E F et UNE 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 parallèles, c'est-à-dire que les bases se trouvent dans des plans parallèles : abc║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Hexagones A B C D E F et UNE 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 disposés de manière à ce que tous les bords latéraux soient parallèles les uns aux autres : AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Riz. huit

Définition. Si un bord latéral est perpendiculaire au plan de la base, alors un tel prisme hexagonal est appelé une ligne droite.

Définition. Un prisme droit est dit régulier si ses bases sont des polygones réguliers.

Considérons un prisme triangulaire régulier ABSA 1 EN 1 AVEC 1.

Riz. 9

prisme triangulaire ABSA 1 EN 1 AVEC 1- correct, cela signifie que les triangles réguliers se trouvent aux bases, c'est-à-dire que tous les côtés de ces triangles sont égaux. De plus, ce prisme est droit. Cela signifie que le bord latéral est perpendiculaire au plan de la base. Et cela signifie que toutes les faces latérales sont des rectangles égaux.

Donc si un prisme triangulaire ABSA 1 EN 1 AVEC 1 est correct, alors :

1) Le bord latéral est perpendiculaire au plan de la base, c'est-à-dire qu'il est la hauteur : AA 1 ⊥ abc.

2) La base est un triangle régulier : ∆ abc- à droite.

Définition. La surface totale d'un prisme est la somme des aires de toutes ses faces. Noté S plein.

Définition. L'aire de la surface latérale est la somme des aires de toutes les faces latérales. Noté Côté S.

Le prisme a deux bases. Alors la surface totale du prisme vaut :

S complet \u003d côté S + 2S principal.

L'aire de la surface latérale d'un prisme droit est égale au produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.

La preuve sera effectuée sur l'exemple d'un prisme triangulaire.

Donné: ABSA 1 EN 1 AVEC 1- prisme direct, c'est-à-dire AA 1 ⊥ abc.

AA1 = h.

Prouver: Côté S \u003d R principal ∙ h.

Riz. dix

Preuve.

prisme triangulaire ABSA 1 EN 1 AVEC 1- tout droit, donc AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - rectangles.

Trouver l'aire de la surface latérale comme la somme des aires des rectangles AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C :

Côté S \u003d AB ∙ h + BC ∙ h + CA ∙ h \u003d (AB + BC + CA) ∙ h \u003d P principal ∙ h.

On a Côté S \u003d R principal ∙ h, Q.E.D.

Nous nous sommes familiarisés avec les polyèdres, un prisme, ses variétés. Nous avons prouvé le théorème sur la surface latérale d'un prisme. Dans la prochaine leçon, nous allons résoudre des problèmes sur un prisme.

1. Géométrie. 10e-11e année: un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement (niveaux de base et de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ème édition, corrigée et complétée - M. : Mnemosyne, 2008. - 288 p. : malade.
2. Géométrie. 10e-11e année: Un manuel pour les établissements d'enseignement général / Sharygin I. F. - M.: Outarde, 1999. - 208 p.: ill.
3. Géométrie. 10e année: Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et profil des mathématiques / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e édition, stéréotype. - M. : Outarde, 008. - 233 p. :malade.

1. Iclasse().
2. Shkolo.ru ().
3. Vieille école ().
4. wikihow().

1. Quel est le nombre minimum de faces qu'un prisme peut avoir ? Combien de sommets, d'arêtes possède un tel prisme ?
2. Existe-t-il un prisme qui a exactement 100 arêtes ?
3. La nervure latérale est inclinée par rapport au plan de base à un angle de 60°. Trouvez la hauteur du prisme si le bord latéral mesure 6 cm.
4. Dans un prisme triangulaire rectangle, toutes les arêtes sont égales. Sa surface latérale est de 27 cm 2 . Trouver la surface totale du prisme.

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Un prisme est une figure géométrique tridimensionnelle dont les caractéristiques et les propriétés sont étudiées au lycée. En règle générale, lors de son étude, des quantités telles que le volume et la surface sont prises en compte. Dans le même article, nous dévoilerons une question un peu différente : nous donnerons une méthode pour déterminer la longueur des diagonales d'un prisme à partir de l'exemple d'une figure quadrangulaire.

Quelle forme s'appelle un prisme ?

En géométrie, on donne la définition suivante d'un prisme : c'est une figure tridimensionnelle délimitée par deux côtés identiques polygonaux parallèles entre eux, et un certain nombre de parallélogrammes. La figure ci-dessous montre un exemple de prisme qui correspond à cette définition.

Nous voyons que les deux pentagones rouges sont égaux entre eux et sont dans deux plans parallèles. Cinq parallélogrammes roses relient ces pentagones en un seul objet - un prisme. Les deux pentagones sont appelés les bases de la figure, et ses parallélogrammes sont les faces latérales.

Les prismes sont droits et inclinés, également appelés rectangulaires et obliques. La différence entre eux réside dans les angles entre la base et les faces latérales. Pour un prisme rectangulaire, tous ces angles sont de 90°.

Par le nombre de côtés ou de sommets du polygone à la base, on parle de prismes triangulaires, pentagonaux, quadrangulaires, etc. De plus, si ce polygone est régulier et que le prisme lui-même est droit, alors une telle figure est dite régulière.

Le prisme représenté sur la figure précédente est un oblique pentagonal. Ci-dessous se trouve un prisme droit pentagonal, ce qui est correct.

Tous les calculs, y compris la méthode de détermination des diagonales d'un prisme, sont commodément effectués pour des figures régulières.

Quels éléments caractérisent un prisme ?

Les éléments d'une figure sont les parties qui la composent. Spécifiquement pour un prisme, trois principaux types d'éléments peuvent être distingués :

• hauts;
• bords ou côtés;
• travers de porc.

Les faces sont des bases et des plans latéraux, qui sont des parallélogrammes dans le cas général. Dans un prisme, chaque côté appartient toujours à l'un des deux types suivants : soit c'est un polygone, soit c'est un parallélogramme.

Les arêtes d'un prisme sont les segments qui délimitent chaque côté de la figure. Comme les faces, les arêtes sont également de deux types : celles appartenant à la base et à la surface latérale, ou celles appartenant uniquement à la surface latérale. Les premiers sont toujours deux fois plus nombreux que les seconds, quel que soit le type de prisme.

Les sommets sont les points d'intersection des trois arêtes du prisme, dont deux se trouvent dans le plan de la base, et le troisième appartient aux deux faces latérales. Tous les sommets du prisme sont dans les plans des bases de la figure.

Les numéros des éléments décrits sont connectés en une seule égalité, qui a la forme suivante :

P \u003d B + C - 2.

Ici P est le nombre d'arêtes, B - sommets, C - côtés. Cette égalité est appelée théorème du polyèdre d'Euler.

La figure montre un prisme régulier triangulaire. Tout le monde peut compter qu'il a 6 sommets, 5 côtés et 9 arêtes. Ces chiffres sont cohérents avec le théorème d'Euler.

Diagonales du prisme

Après des propriétés telles que le volume et la surface, dans les problèmes de géométrie, on trouve souvent des informations sur la longueur de l'une ou l'autre diagonale de la figure considérée, qui est soit donnée, soit doit être trouvée à partir d'autres paramètres connus. Considérez quelles sont les diagonales d'un prisme.

Toutes les diagonales peuvent être divisées en deux types:

1. Couché dans le plan des faces. Ils relient des sommets non adjacents soit du polygone à la base du prisme, soit du parallélogramme de surface latérale. La valeur des longueurs de ces diagonales est déterminée en fonction de la connaissance des longueurs des arêtes correspondantes et des angles entre elles. Pour déterminer les diagonales des parallélogrammes, les propriétés des triangles sont toujours utilisées.
2. Prismes situés à l'intérieur du volume. Ces diagonales relient des sommets non similaires de deux bases. Ces diagonales sont complètement à l'intérieur de la figure. Leurs longueurs sont un peu plus difficiles à calculer que pour le type précédent. La méthode de calcul consiste à prendre en compte les longueurs des arêtes et de la base, et des parallélogrammes. Pour les prismes droits et réguliers, le calcul est relativement simple, puisqu'il est effectué à l'aide du théorème de Pythagore et des propriétés des fonctions trigonométriques.

Diagonales des côtés d'un prisme droit quadrangulaire

La figure ci-dessus montre quatre prismes droits identiques, et les paramètres de leurs arêtes sont donnés. Les prismes Diagonal A, Diagonal B et Diagonal C montrent les diagonales de trois faces différentes avec une ligne rouge pointillée. Comme le prisme est une ligne droite d'une hauteur de 5 cm et que sa base est un rectangle de 3 cm et 2 cm de côté, il n'est pas difficile de trouver les diagonales marquées. Pour ce faire, vous devez utiliser le théorème de Pythagore.

La longueur de la diagonale de la base du prisme (Diagonale A) est :

D UNE \u003d √ (3 2 +2 2) \u003d √13 ≈ 3,606 cm.

Pour la face latérale d'un prisme, la diagonale est (voir Diagonale B):

D B \u003d √ (3 2 +5 2) \u003d √34 ≈ 5,831 cm.

Enfin, la longueur d'une autre diagonale latérale est (voir Diagonale C):

D C \u003d √ (2 2 +5 2) \u003d √29 ≈ 5,385 cm.

Longueur de la diagonale intérieure

Calculons maintenant la longueur de la diagonale du prisme quadrangulaire, qui est montrée dans la figure précédente (Diagonale D). Ce n'est pas si difficile à faire si vous remarquez qu'il s'agit de l'hypoténuse d'un triangle dont les jambes auront la hauteur du prisme (5 cm) et la diagonale D A représentée sur la figure en haut à gauche (Diagonale A). Alors on obtient :

D D \u003d √ (D UNE 2 +5 2) \u003d √ (2 2 +3 2 +5 2) \u003d √38 ≈ 6,164 cm.

Prisme quadrangulaire droit

La diagonale d'un prisme régulier dont la base est un carré se calcule de la même manière que dans l'exemple ci-dessus. La formule correspondante ressemble à :

ré = √(2*a 2 +c 2).

Où a et c sont les longueurs du côté de la base et du bord latéral, respectivement.

Notez que dans les calculs, nous n'avons utilisé que le théorème de Pythagore. Pour déterminer les longueurs des diagonales de prismes réguliers à grand nombre de sommets (pentagonaux, hexagonaux, etc.), il faut déjà appliquer des fonctions trigonométriques.