Sections: Mathématiques

Cible: Apprenez à effectuer les opérations de multiplication et de division de fractions algébriques.

Format du cours : leçon d'apprentissage de nouveau matériel.

Méthode d'enseignement: problématique, avec une recherche indépendante d'une solution.

Équipement: Ordinateur, projecteur, documents de cours, table.

Pendant les cours

La leçon est enseignée en utilisant présentation informatique. (Annexe 1)

Je. Organisation des cours.

1. Préparation de la partie technique.

2. Cartes pour le travail en binôme et le travail indépendant.

Oui. Mise à jour connaissances de base afin de se préparer à l'étude d'un nouveau sujet.

Oralement:

(Les réponses sont affichées à l'aide d'un ordinateur.)

1. Factoriser :

2. Réduire la fraction :

3. Multiplier des fractions :

Comment s’appellent ces numéros ? (Nombres réciproques)

Trouver l'inverse d'un nombre

Quels sont les deux nombres appelés réciproques ? (Deux nombres sont appelés réciproques si leur produit est 1.)

Trouvez la fraction réciproque :

Diviser des fractions :

Nous discutons des règles de multiplication et de division des fractions ordinaires. Une affiche avec les règles est affichée au tableau.

Oui. Nouveau sujet

S'adressant à l'affiche, l'enseignant dit : un, b, c, d- dans ce cas, des chiffres. Et s’il s’agit d’expressions algébriques, comment appelle-t-on ces fractions ? (Fractions algébriques)

Les règles de leur multiplication et de leur division restent les mêmes.

Suivez ces étapes:

Les premier et deuxième exemples sont donnés indépendamment, suivis par les élèves qui écrivent la solution au tableau. L’enseignant montre la solution du troisième exemple au tableau.

ΙV. Consolidation

1) Travailler selon le cahier de problèmes : n° 5.2 (b, c), n° 5.11 (a, b). Page 32

2) Travaillez en binôme à l'aide de cartes :

(Les solutions et les réponses sont reflétées à travers le projecteur.)

V. Résumé de la leçon

Travail indépendant.

Effectuer une multiplication ou une division :

Ι Option		ΙΙ Option

Les élèves rendent leurs cahiers d'exercices.

VI. Devoirs

N° 5.8 ; N° 5.10 ; N° 5.13(a, b).

Matériaux additionnels
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Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 8e année
Cahier d'exercices d'algèbre électronique pour la 8e année
Manuel multimédia pour la 8e année "L'algèbre en 10 minutes"

Factorisation préliminaire d'une fraction algébrique

Avant de commencer à travailler avec des fractions, à savoir la multiplication et la division, il est conseillé de factoriser le numérateur et le dénominateur. Cela facilitera la factorisation de la fraction résultant de l’opération mathématique.

Par exemple, étant donné une fraction :

$\frac(8x+8y)(16)$.

Nous produirons transformation de l'identité, c'est-à-dire que nous factorisons le numérateur.

$\frac(8x+8y)(16)=\frac(8(x+y))(16)$.

Ou, par exemple, étant donné la fraction suivante :

$\frac(x^2-y^2)(x+1)$.

Il vaudrait mieux le dire ainsi :

$\frac(x^2-y^2)(x+1)=\frac((x+y)(x-y))(x+1)$.

N'oubliez pas la propriété :

$(b-a)^2=(ab)^2$.

Multiplier des fractions algébriques avec des dénominateurs semblables et différents

La multiplication de fractions algébriques se fait de la même manière que la multiplication de fractions ordinaires. Les numérateurs et les dénominateurs sont multipliés ensemble.
Cela peut être représenté sous forme de formule comme suit :

$\frac(a)(b)*\frac(c)(d)=\frac(ac)(bd)$

Regardons quelques exemples.

Exemple 1.

Calculer:

$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)$.

Factorisons la fraction.

$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)=\frac(5(x+y))(x-y)*\frac((x-y)(x+ y) ))(10x)$.

Rassemblons les deux fractions à un dénominateur commun (rappelez-vous la leçon : "Ajouter et soustraire des fractions", où il y avait des conseils pour choisir mieux et plus facilement dénominateur commun). En conséquence, nous obtenons une fraction.

$\frac(5(x+y)(x-y)(x+y))((x-y)*10x)=\frac((x+y)^2)(2x)$

Exemple 2.

Calculer:

$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6b^2-12ab+6a^2)(49a^4b^5)$.

Factorisons et réduisons la fraction.

$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6(b^2-2ab+a^2))(49a^4b^5)=\frac(7a^3b^5*6 (b-a)^2)(3(a-b)*49a^4b^5)=\frac(2(b-a)^2)(7a(a-b))$.

Division de fractions algébriques avec des dénominateurs semblables et différents

La division des fractions s'effectue de la même manière que la division des fractions ordinaires, c'est-à-dire qu'il faut retourner la fraction « diviseur » et multiplier.

$\frac(a)(b):\frac(c)(d)=\frac(ad)(bc)$

Regardons des exemples.

Exemple 3.

Suivez ces étapes:

$\frac(x^3-1)(8y) :\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.

Factorisons les fractions.

$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)=\frac((x-1)(x^2+x+1))( 8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.

Maintenant, nous inversons la fraction et multiplions.

$\frac((x-1)(x^2+x+1)*16y^2)(8y*(x^2+x+1))=2y*(x-1)$.

Exemple 4.

Calculer:

$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6) :\frac(b-a)(a+2)$.

Factorisons et regroupons les polynômes.

$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6) :\frac(b-a)(a+2)=\frac((a^2-b^2)(a^2+ b^2))((ab+2b)-(3a+6)):\frac(b-a)(a+2)=$

$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2))(b(a+2)-3(a+2)) :\frac(b-a)(a+2)$.

Inversez et multipliez des fractions.

$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2))((a+2)(b-3)(b-a))=\frac(-(a+ b )(a^2+b^2))((b-3))$.

Leçon vidéo « Multiplication et division de fractions algébriques. Construction fraction algébrique au degré" - aide donner un cours de mathématiques sur ce sujet. À l'aide d'une leçon vidéo, il est plus facile pour un enseignant de développer chez les élèves la capacité de multiplier et de diviser des fractions algébriques. L'aide visuelle contient une description détaillée et compréhensible d'exemples dans lesquels des opérations de multiplication et de division sont effectuées. Le matériel peut être démontré lors de l'explication de l'enseignant ou devenir une partie distincte de la leçon.

Pour développer la capacité à résoudre des problèmes de multiplication et de division de fractions algébriques, des commentaires importants sont donnés au fur et à mesure que la solution est décrite ; les points qui nécessitent une mémorisation et une compréhension approfondie sont mis en évidence à l'aide de couleurs, de caractères gras et de pointeurs. À l'aide d'une leçon vidéo, l'enseignant peut augmenter l'efficacité de la leçon. Cette aide visuelle vous aidera à atteindre rapidement et efficacement vos objectifs d'apprentissage.

La leçon vidéo commence par l'introduction du sujet. Après cela, il est indiqué que les opérations de multiplication et de division avec des fractions algébriques sont effectuées de la même manière que les opérations avec des fractions ordinaires. L'écran montre les règles de multiplication, de division et d'exponentiation des fractions. La multiplication des fractions est démontrée à l'aide d'options de lettres. Il est à noter que lors de la multiplication de fractions, les numérateurs ainsi que les dénominateurs sont multipliés. Cela donne la fraction résultante a/b·c/d=ac/bd. La division des fractions est démontrée en utilisant l'expression a/b:c/d comme exemple. Il est indiqué que pour effectuer l'opération de division il faut écrire au numérateur le produit du numérateur du dividende et du dénominateur du diviseur. Le dénominateur d'un quotient est le produit du dénominateur du dividende et du numérateur du diviseur. Ainsi, l'opération de division se transforme en une opération de multiplication de la fraction du dividende et de l'inverse du diviseur. Élever une fraction à une puissance équivaut à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont élevés à la puissance assignée.

La solution aux exemples est discutée ci-dessous. Dans l'exemple 1, il faut réaliser les actions (5x-5y)/(x-y)·(x 2 -y 2)/10x. Pour résoudre cet exemple, le numérateur de la deuxième fraction incluse dans le produit est factorisé. À l'aide de formules de multiplication abrégées, la transformation x 2 -y 2 = (x+y)(x-y) est effectuée. Ensuite, les numérateurs des fractions et les dénominateurs sont multipliés. Après avoir effectué les opérations, il est clair que le numérateur et le dénominateur ont des facteurs qui peuvent être réduits en utilisant la propriété de base d'une fraction. À la suite des transformations, la fraction (x+y) 2 /2x est obtenue. Ici, nous considérons également l'exécution des actions 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5. Tous les numérateurs et dénominateurs sont pris en compte pour la possibilité de factorisation et d'identification de facteurs communs. Ensuite, les numérateurs et les dénominateurs sont multipliés. Après multiplication, des réductions sont effectuées. Le résultat de la transformation est la fraction 2(a-b)/7a.

Un exemple est considéré dans lequel il est nécessaire d'effectuer les actions (x 3 -1)/8y:(x 2 +x+1)/16y 2. Pour résoudre l'expression, il est proposé de transformer le numérateur de la première fraction en utilisant la formule de multiplication abrégée x 3 -1=(x-1)(x 2 +x+1). Selon la règle de division des fractions, la première fraction est multipliée par l'inverse de la deuxième fraction. Après avoir multiplié les numérateurs et les dénominateurs, on obtient une fraction qui contient les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Ils rétrécissent. Le résultat est la fraction (x-1)2y. La solution de l'exemple (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) est également décrite ici. Semblable à l'exemple précédent, la formule de multiplication abrégée est utilisée pour convertir le numérateur. Le dénominateur de la fraction est également converti. La première fraction est ensuite multipliée par l'inverse de la deuxième fraction. Après multiplication, des transformations sont effectuées, réduisant le numérateur et le dénominateur par des facteurs communs. Le résultat est la fraction -(a+b)(a 2 +b 2)/(b-3). L'attention des élèves est attirée sur la façon dont les signes du numérateur et du dénominateur changent lors de la multiplication.

Dans le troisième exemple, vous devez effectuer des opérations avec des fractions ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . Dans la décision cet exemple La règle pour élever une fraction à une puissance s’applique. La première et la deuxième fraction sont élevées à une puissance. Ils sont convertis en élevant le numérateur et le dénominateur de la fraction à une puissance. De plus, pour convertir les dénominateurs des fractions, la formule de multiplication abrégée est utilisée, mettant en évidence le facteur commun. Pour diviser la première fraction par la seconde, vous devez multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde. Le numérateur et le dénominateur forment des expressions qui peuvent être abrégées. Après transformation, on obtient la fraction (x-2)/27x 3 (x+2).

Leçon vidéo « Multiplication et division de fractions algébriques. Élever une fraction algébrique à une puissance" est utilisé pour augmenter l'efficacité d'un cours de mathématiques traditionnel. Le matériel peut être utile à un enseignant enseignant à distance. Une description détaillée et claire des solutions aux exemples aidera les étudiants qui maîtrisent le sujet de manière indépendante ou qui ont besoin d'une formation supplémentaire.

Cette leçon couvrira les règles de multiplication et de division des fractions algébriques, ainsi que des exemples d'application de ces règles. Multiplier et diviser des fractions algébriques n'est pas différent de multiplier et diviser des fractions ordinaires. Dans le même temps, la présence de variables conduit à des manières un peu plus complexes de simplifier les expressions résultantes. Malgré le fait qu'il soit plus facile de multiplier et de diviser des fractions que de les additionner et de les soustraire, l'étude de ce sujet doit être abordée de manière extrêmement responsable, car elle comporte de nombreux pièges auxquels on ne prête généralement pas attention. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons non seulement les règles de multiplication et de division des fractions, mais analyserons également les nuances qui peuvent survenir lors de leur utilisation.

Sujet:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon:Multiplier et diviser des fractions algébriques

Les règles de multiplication et de division des fractions algébriques sont absolument similaires aux règles de multiplication et de division des fractions ordinaires. Rappelons-leur :

Autrement dit, pour multiplier des fractions, il faut multiplier leurs numérateurs (ce sera le numérateur du produit) et multiplier leurs dénominateurs (ce sera le dénominateur du produit).

La division par fraction est une multiplication par une fraction inversée, c'est-à-dire que pour diviser deux fractions, il faut multiplier la première d'entre elles (le dividende) par la seconde inversée (le diviseur).

Malgré la simplicité de ces règles, de nombreuses personnes font des erreurs dans un certain nombre de cas particuliers lorsqu'elles résolvent des exemples sur ce sujet. Regardons de plus près ces cas particuliers :

Dans toutes ces règles nous avons utilisé le fait suivant : .

Résolvons quelques exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires pour nous rappeler comment utiliser ces règles.

Exemple 1

Note: Lors de la réduction de fractions, nous avons utilisé la décomposition des nombres en facteurs premiers. Rappelons que nombres premiers ceux-ci sont appelés entiers, qui ne sont divisibles que par et par eux-mêmes. Les numéros restants sont appelés composite . Le nombre n'est ni premier ni composé. Exemples nombres premiers: .

Exemple 2

Considérons maintenant un des cas particuliers des fractions ordinaires.

Exemple 3

Comme vous pouvez le constater, multiplier et diviser des fractions ordinaires, si les règles sont appliquées correctement, n'est pas difficile.

Regardons la multiplication et la division de fractions algébriques.

Exemple 4

Exemple 5

A noter qu'il est possible et même nécessaire de réduire des fractions après multiplication selon les mêmes règles que nous avons évoquées précédemment dans les leçons consacrées à la réduction de fractions algébriques. Regardons quelques-uns exemples simples pour des cas particuliers.

Exemple 6

Exemple 7

Considérons maintenant un peu plus exemples complexes sur la multiplication et la division de fractions.

Exemple 8

Exemple 9

Exemple 10

Exemple 11

Exemple 12

Exemple 13

Auparavant, nous avons examiné des fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur étaient des monômes. Cependant, dans certains cas, il est nécessaire de multiplier ou de diviser des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes. Dans ce cas, les règles restent les mêmes, mais pour réduire il faut utiliser des formules de multiplication abrégées et des parenthèses.

Exemple 14

Exemple 15

Exemple 16

Exemple 17

Exemple 18

Cette leçon couvrira les règles de multiplication et de division des fractions algébriques, ainsi que des exemples d'application de ces règles. Multiplier et soustraire des fractions algébriques n’est pas différent de multiplier et diviser des fractions ordinaires. Dans le même temps, la présence de variables conduit à des manières un peu plus complexes de simplifier les expressions résultantes. Malgré le fait qu'il soit plus facile de multiplier et de diviser des fractions que de les additionner et de les soustraire, l'étude de ce sujet doit être abordée de manière extrêmement responsable, car elle comporte de nombreux pièges auxquels on ne prête généralement pas attention. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons non seulement les règles de multiplication et de division des fractions, mais analyserons également les nuances qui peuvent survenir lors de leur utilisation.

Sujet:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques

Leçon:Multiplier et diviser des fractions algébriques

1. Règles de multiplication et de division des fractions ordinaires et algébriques

Les règles de multiplication et de division des fractions algébriques sont absolument similaires aux règles de multiplication et de division des fractions ordinaires. Rappelons-leur :

Autrement dit, pour multiplier des fractions, il faut multiplier leurs numérateurs (ce sera le numérateur du produit) et multiplier leurs dénominateurs (ce sera le dénominateur du produit).

La division par fraction est une multiplication par une fraction inversée, c'est-à-dire que pour diviser deux fractions, il faut multiplier la première d'entre elles (le dividende) par la seconde inversée (le diviseur).

2. Cas particuliers d'application des règles de multiplication et de division des fractions

Malgré la simplicité de ces règles, de nombreuses personnes font des erreurs dans un certain nombre de cas particuliers lorsqu'elles résolvent des exemples sur ce sujet. Regardons de plus près ces cas particuliers :

Dans toutes ces règles nous avons utilisé le fait suivant : .

3. Exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires

Résolvons quelques exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires pour nous rappeler comment utiliser ces règles.

Exemple 1

Remarque : lors de la réduction de fractions, nous avons utilisé la décomposition d'un nombre en facteurs premiers. Rappelons que nombres premiers sont ces nombres naturels qui ne sont divisibles que par eux-mêmes. Les numéros restants sont appelés composite. Le nombre n'est ni premier ni composé. Exemples de nombres premiers : .

Exemple 2

Considérons maintenant un des cas particuliers des fractions ordinaires.

Exemple 3

Comme vous pouvez le constater, multiplier et diviser des fractions ordinaires, si les règles sont appliquées correctement, n'est pas difficile.

4. Exemples de multiplication et de division de fractions algébriques (cas simples)

Regardons la multiplication et la division de fractions algébriques.

Exemple 4

Exemple 5

A noter qu'il est possible et même nécessaire de réduire des fractions après multiplication selon les mêmes règles que nous avons évoquées précédemment dans les leçons consacrées à la réduction de fractions algébriques. Examinons quelques exemples simples pour des cas particuliers.

Exemple 6

Exemple 7

Examinons maintenant quelques exemples plus complexes de multiplication et de division de fractions.

Exemple 8

Exemple 9

Exemple 10

Exemple 11

Exemple 12

Exemple 13

5. Exemples de multiplication et de division de fractions algébriques (cas difficiles)

Auparavant, nous avons examiné des fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur étaient des monômes. Cependant, dans certains cas, il est nécessaire de multiplier ou de diviser des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes. Dans ce cas, les règles restent les mêmes, mais pour réduire il faut utiliser des formules de multiplication abrégées et des parenthèses.

Exemple 14