A. Problèmes de la collection de Kuznetsov L. A 3 explorer la fonction et construire un graphique

Lors du tracé de graphiques de fonctions, il est utile de respecter le plan suivant :

1. Trouvez le domaine de définition de la fonction et déterminez les points de discontinuité, le cas échéant.

2. Déterminez si la fonction est paire ou impaire ou ni l'une ni l'autre. Si la fonction est paire ou impaire, alors il suffit de considérer ses valeurs à x>0, puis symétriquement par rapport à l'axe OY ou à l'origine des coordonnées, le restituer pour les valeurs X<0 .

3. Examinez la fonction pour la périodicité. Si la fonction est périodique, alors il suffit de la considérer sur une seule période.

4. Trouvez les points d'intersection du graphique de fonctions avec les axes de coordonnées (si possible)

5. Mener une étude de la fonction à l'extremum et trouver les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.

6. Trouvez les points d'inflexion de la courbe et les intervalles de convexité et de concavité de la fonction.

7. Trouvez les asymptotes du graphique de la fonction.

8. En utilisant les résultats des étapes 1 à 7, construisez un graphique de la fonction. Parfois, plusieurs points supplémentaires sont trouvés pour une plus grande précision ; leurs coordonnées sont calculées à l'aide de l'équation de la courbe.

Exemple. Fonction Explorer y=x 3 -3x et construire un graphique.

1) La fonction est définie sur l'intervalle (-∞; +∞). Il n'y a pas de points de rupture.

2) La fonction est étrange, car f(-x) = -x 3 -3(-x) = -x 3 +3x = -f(x), il est donc symétrique par rapport à l’origine.

3) La fonction n'est pas périodique.

4) Points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées : x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0, ceux. le graphique de la fonction coupe les axes de coordonnées aux points : ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Trouvez les points extrêmes possibles : y′ = 3x 2 -3; 3x2-3=0 ; X =-1; X = 1. Le domaine de définition de la fonction sera divisé en intervalles : (-∞ ; -1), (-1 ; 1), (1 ; +∞). Trouvons les signes de la dérivée dans chaque intervalle résultant :

Sur l'intervalle (-∞; -1) y′>0 – la fonction augmente

Sur l'intervalle (-1 ; 1) oui<0 – la fonction diminue

Sur l'intervalle (1; +∞) y′>0 – la fonction augmente. Point X =-1 – point maximum ; X = 1 – point minimum.

6) Trouvez les points d'inflexion : y′′ = 6x; 6x = 0 ; x = 0. Point x = 0 divise le domaine de définition en intervalles (-∞; 0), (0; +∞). Trouvons les signes de la dérivée seconde dans chaque intervalle résultant :

Sur l'intervalle (-∞;0) oui<0 – la fonction est convexe

Sur l'intervalle (0; +∞) y′′>0 – la fonction est concave. x = 0- point d'inflexion.

7) Le graphique n'a pas d'asymptote

8) Construisons un graphique de la fonction :

Exemple. Explorez la fonction et construisez son graphique.

1) Le domaine de définition de la fonction est les intervalles (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Plage de valeurs de cette fonction est l'intervalle (-¥; ¥).

Les points d'arrêt de la fonction sont les points x = 1, x = -1.

2) La fonction est étrange, car .

3) La fonction n'est pas périodique.

4) Le graphique coupe les axes de coordonnées au point (0 ; 0).

5) Trouvez les points critiques.

Points critiques: X = 0; X = -; X = ; X = -1; X = 1.

Trouvez les intervalles de fonction croissante et décroissante. Pour ce faire, on détermine les signes de la dérivée de la fonction sur les intervalles.

-¥ < X< -, y¢> 0, la fonction est croissante

-< X < -1, oui¢ < 0, функция убывает

1 < X < 0, oui¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, oui¢ < 0, функция убывает

1 < X < , oui¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, oui¢ > 0, la fonction augmente

Il est clair que le point X= -est le point maximum, et le point X= est le point minimum. Les valeurs de fonction en ces points sont respectivement égales à 3/2 et -3/2.

6) Trouver la dérivée seconde de la fonction

Équation asymptote oblique : y = x.

8) Construisons un graphique de la fonction.

Cette leçon couvre le thème « Enquête sur une fonction et les problèmes associés ». Cette leçon couvre les fonctions graphiques utilisant des dérivées. La fonction est étudiée, son graphique est construit et un certain nombre de problèmes associés sont résolus.

Sujet : Dérivé

Leçon : Explorer une fonctionet tâches associées

Il est nécessaire d'étudier cette fonction, de construire un graphique, de trouver des intervalles de monotonie, des maximums, des minimums et quels problèmes accompagnent la connaissance de cette fonction.

Tout d’abord, profitons pleinement des informations fournies par la fonction sans dérivée.

1. Trouvez les intervalles de signe constant de la fonction et construisez un croquis du graphique de la fonction :

1) Trouvons.

2) Racines de fonction : , à partir d'ici

3) Intervalles de signe constant de la fonction (voir Fig. 1) :

Riz. 1. Intervalles de signe constant d'une fonction.

Nous savons maintenant que dans l'intervalle et le graphique se trouvent au-dessus de l'axe X, dans l'intervalle - en dessous de l'axe X.

2. Construisons un graphique au voisinage de chaque racine (voir Fig. 2).

Riz. 2. Graphique d'une fonction au voisinage de la racine.

3. Construire un graphique de la fonction au voisinage de chaque point de discontinuité dans le domaine de définition. Le domaine de la définition se brise au point . Si la valeur est proche du point, alors la valeur de la fonction tend vers (voir Fig. 3).

Riz. 3. Graphique de la fonction au voisinage du point de discontinuité.

4. Déterminons comment le graphe se comporte au voisinage de points à l'infini :

Écrivons-le en utilisant des limites

. Il est important que pour les très grands , la fonction ne soit presque pas différente de l'unité.

Trouvons la dérivée, les intervalles de son signe constant et ce seront des intervalles de monotonie pour la fonction, trouvons les points auxquels la dérivée est égale à zéro et découvrons où se trouve le point maximum et où se trouve le point minimum.

D'ici, . Ces points sont des points internes au domaine de définition. Voyons quel signe de la dérivée est sur les intervalles, et lequel de ces points est le point maximum et lequel est le point minimum (voir Fig. 4).

Riz. 4. Intervalles de signe constant de la dérivée.

De la fig. 4 on voit que le point est un point minimum, le point est un point maximum. La valeur de la fonction à ce point est . La valeur de la fonction au point est 4. Construisons maintenant un graphique de la fonction (voir Fig. 5).

Riz. 5. Graphique de fonction.

Ainsi nous avons construit graphique d'une fonction. Décrivons-le. Écrivons les intervalles sur lesquels la fonction décroît de manière monotone : , sont les intervalles où la dérivée est négative. La fonction augmente de façon monotone sur les intervalles et . - point minimum, - point maximum.

Trouvez le nombre de racines de l'équation en fonction des valeurs des paramètres.

1. Construisez un graphique de la fonction. Le graphique de cette fonction est tracé ci-dessus (voir Fig. 5).

2. Disséquez le graphique avec une famille de droites et notez la réponse (voir Fig. 6).

Riz. 6. Intersection du graphique d'une fonction avec des droites.

1) Quand - une solution.

2) Pour - deux solutions.

3) Quand - trois solutions.

4) À - deux solutions.

5) Quand - trois solutions.

6) Quand - deux solutions.

7) Quand - une solution.

Ainsi, nous avons décidé l'un des tâches importantes, à savoir trouver le nombre de solutions de l'équation en fonction du paramètre . Il peut y avoir différents cas particuliers, par exemple, dans lesquels il y aura une solution, ou deux solutions, ou trois solutions. Notez que ces cas particuliers, toutes les réponses à ces cas particuliers sont contenues dans la réponse générale.

1. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Tutoriel pour les établissements d'enseignement (niveau de profil) éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2009.

2. Algèbre et début d'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement (niveau profil), éd. A. G. Mordkovitch. -M. : Mnémosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algèbre et calcul pour la 10e année ( Didacticiel pour les étudiants des écoles et des classes avec une étude approfondie des mathématiques).-M. : Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Étude approfondie de l'algèbre et de l'analyse mathématique.-M. : Education, 1997.

5. Recueil de problèmes de mathématiques pour les candidats aux établissements d'enseignement supérieur (édité par M.I. Skanavi - M. : Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulateur algébrique.-K. : A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra et les débuts de l'analyse. 8e-11e années : Un manuel pour les écoles et les classes avec une étude approfondie des mathématiques (matériel didactique - M. : Outarde, 2002).

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problèmes d'algèbre et principes d'analyse (un manuel pour les étudiants de la 10e à la 11e année des établissements d'enseignement général - M. : Prosveshchenie, 2003).

9. Karp A.P. Recueil de problèmes sur l'algèbre et principes d'analyse : manuel. allocation pour les classes 10-11. avec profondeur étudié Mathématiques.-M. : Éducation, 2006.

10. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école. 9e et 10e années (manuel pour les enseignants).-M. : Éducation, 1983

Ressources Web supplémentaires

2. Portail Sciences naturelles ().

Faites-le à la maison

N° 45.7, 45.10 (Algèbre et débuts de l'analyse, 10e année (en deux parties). Cahier de problèmes pour les établissements d'enseignement général (niveau profil) édité par A. G. Mordkovich. - M. : Mnemosyne, 2007.)

Solveur Kuznetsov.
III Graphiques

Tâche 7. Réaliser une étude complète de la fonction et construire son graphique.

Avant de commencer à télécharger vos options, essayez de résoudre le problème selon l'exemple donné ci-dessous pour l'option 3. Certaines options sont archivées au format .rar

7.3 Réaliser étude complète fonction et construire son graphe

Solution.

1) Portée de la définition : ou , c'est-à-dire .
.
Ainsi : .

2) Il n'y a aucun point d'intersection avec l'axe Ox. En effet, l'équation n'a pas de solution.
Il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe Oy, puisque .

3) La fonction n'est ni paire ni impaire. Il n'y a pas de symétrie autour de l'axe des ordonnées. Il n’y a pas non plus de symétrie quant à l’origine. Parce que
.
Nous voyons que et .

4) La fonction est continue dans le domaine de définition
.

; .

; .
Par conséquent, le point est un point de discontinuité du deuxième type (discontinuité infinie).

5) Asymptotes verticales :

Trouvons l'asymptote oblique . Ici

;
.
On a donc une asymptote horizontale : y=0. Il n’y a pas d’asymptote oblique.

6) Trouvons la dérivée première. Dérivée première :
.
Et c'est pourquoi
.
Trouvons des points stationnaires où la dérivée est égale à zéro, c'est-à-dire
.

7) Trouvons la dérivée seconde. Dérivée seconde :
.
Et cela est facile à vérifier puisque

Si le problème nécessite une étude complète de la fonction f (x) = x 2 4 x 2 - 1 avec la construction de son graphe, alors nous examinerons ce principe en détail.

Pour résoudre un problème de ce type, vous devez utiliser les propriétés et les graphiques du fonctions élémentaires. L'algorithme de recherche comprend les étapes suivantes :

Trouver le domaine de définition

Les recherches étant menées sur le domaine de définition de la fonction, il faut commencer par cette étape.

Exemple 1

Derrière cet exemple consiste à retrouver les zéros du dénominateur afin de les exclure de l'ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

En conséquence, vous pouvez obtenir des racines, des logarithmes, etc. Ensuite, l'ODZ peut être recherché pour une racine d'un degré pair de type g (x) 4 par l'inégalité g (x) ≥ 0, pour le logarithme log a g (x) par l'inégalité g (x) > 0.

Étudier les limites de l'ODZ et trouver des asymptotes verticales

Il existe des asymptotes verticales aux limites de la fonction, lorsque les limites unilatérales en ces points sont infinies.

Exemple 2

Par exemple, considérons les points frontaliers égaux à x = ± 1 2.

Il faut ensuite étudier la fonction pour trouver la limite unilatérale. On obtient alors que : lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Cela montre que les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que les droites x = ± 1 2 sont les asymptotes verticales du graphique.

Etude d'une fonction et si elle est paire ou impaire

Lorsque la condition y (- x) = y (x) est satisfaite, la fonction est considérée comme paire. Cela suggère que le graphique est situé symétriquement par rapport à Oy. Lorsque la condition y (- x) = - y (x) est satisfaite, la fonction est considérée comme impaire. Cela signifie que la symétrie est relative à l'origine des coordonnées. Si au moins une inégalité n’est pas satisfaite, on obtient une fonction de forme générale.

L'égalité y (- x) = y (x) indique que la fonction est paire. Lors de la construction, il faut tenir compte du fait qu'il y aura une symétrie par rapport à Oy.

Pour résoudre l'inégalité, des intervalles d'augmentation et de diminution sont utilisés avec les conditions f " (x) ≥ 0 et f " (x) ≤ 0, respectivement.

Définition 1

Points fixes- ce sont les points qui mettent la dérivée à zéro.

Points critiques- ce sont des points internes au domaine de définition où la dérivée de la fonction est égale à zéro ou n'existe pas.

Lors de la prise de décision, les notes suivantes doivent être prises en compte :

pour les intervalles existants d'inégalités croissantes et décroissantes de la forme f " (x) > 0, les points critiques ne sont pas inclus dans la solution ;
les points auxquels la fonction est définie sans dérivée finie doivent être inclus dans les intervalles d'augmentation et de diminution (par exemple, y = x 3, où le point x = 0 rend la fonction définie, la dérivée a la valeur de l'infini à ce moment-là point, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 est inclus dans l'intervalle croissant);
Pour éviter les désaccords, il est recommandé d'utiliser la littérature mathématique recommandée par le ministère de l'Éducation.

Inclusion des points critiques dans des intervalles croissants et décroissants s'ils satisfont au domaine de définition de la fonction.

Définition 2

Pour pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction, il faut trouver:

dérivé;
points critiques;
diviser le domaine de définition en intervalles en utilisant des points critiques ;
déterminer le signe de la dérivée sur chacun des intervalles, où + est une augmentation et - est une diminution.

Exemple 3

Trouver la dérivée sur le domaine de définition f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Solution

Pour résoudre, vous avez besoin de :

trouver des points stationnaires, cet exemple a x = 0 ;
trouver les zéros du dénominateur, l'exemple prend la valeur zéro à x = ± 1 2.

Nous plaçons des points sur la droite numérique pour déterminer la dérivée sur chaque intervalle. Pour ce faire, il suffit de prendre n'importe quel point de l'intervalle et d'effectuer un calcul. Si le résultat est positif, nous représentons + sur le graphique, ce qui signifie que la fonction est croissante, et - signifie qu'elle décroît.

Par exemple, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, ce qui signifie que le premier intervalle de gauche a un signe +. Considérez sur la droite numérique.

Répondre:

la fonction augmente sur l'intervalle - ∞ ; - 1 2 et (- 1 2 ; 0 ] ;
il y a une diminution de l'intervalle [ 0 ; 1 2) et 1 2 ; + ∞ .

Dans le diagramme, en utilisant + et -, la positivité et la négativité de la fonction sont représentées, et les flèches indiquent une diminution et une augmentation.

Les points extrêmes d'une fonction sont les points où la fonction est définie et par lesquels la dérivée change de signe.

Exemple 4

Si nous considérons un exemple où x = 0, alors la valeur de la fonction qu'il contient est égale à f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Lorsque le signe de la dérivée passe de + à - et passe par le point x = 0, alors le point de coordonnées (0 ; 0) est considéré comme le point maximum. Lorsque le signe passe du - à +, on obtient un point minimum.

La convexité et la concavité sont déterminées en résolvant des inégalités de la forme f "" (x) ≥ 0 et f "" (x) ≤ 0. Moins couramment utilisé est le nom de convexité vers le bas au lieu de concavité, et de convexité vers le haut au lieu de convexité.

Définition 3

Pour déterminer les intervalles de concavité et de convexité nécessaire:

trouver la dérivée seconde ;
trouver les zéros de la fonction dérivée seconde ;
divisez la zone de définition en intervalles avec les points apparaissant ;
déterminer le signe de l'intervalle.

Exemple 5

Trouvez la dérivée seconde du domaine de définition.

Solution

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

On retrouve les zéros du numérateur et du dénominateur, où dans notre exemple nous avons que les zéros du dénominateur x = ± 1 2

Vous devez maintenant tracer les points sur la droite numérique et déterminer le signe de la dérivée seconde de chaque intervalle. Nous obtenons cela

Répondre:

la fonction est convexe à partir de l'intervalle - 1 2 ; 12 ;
la fonction est concave à partir des intervalles - ∞ ; - 1 2 et 1 2 ; + ∞ .

Définition 4

Point d'inflexion– c'est un point de la forme x 0 ; f (x 0) . Lorsqu'elle a une tangente au graphique de la fonction, alors lorsqu'elle passe par x 0 la fonction change de signe à l'opposé.

En d'autres termes, il s'agit d'un point par lequel passe la dérivée seconde et change de signe, et aux points eux-mêmes elle est égale à zéro ou n'existe pas. Tous les points sont considérés comme le domaine de la fonction.

Dans l'exemple, il était clair qu'il n'y a pas de points d'inflexion, puisque la dérivée seconde change de signe en passant par les points x = ± 1 2. Ceux-ci, à leur tour, ne sont pas inclus dans le champ de la définition.

Trouver des asymptotes horizontales et obliques

Lors de la définition d'une fonction à l'infini, vous devez rechercher des asymptotes horizontales et obliques.

Définition 5

Asymptotes obliques sont représentés par des lignes droites, donné par l'équation y = k x + b, où k = lim x → ∞ f (x) x et b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Pour k = 0 et b non égal à l’infini, on trouve que l’asymptote oblique devient horizontal.

En d’autres termes, les asymptotes sont considérées comme des droites dont le graphe d’une fonction se rapproche à l’infini. Cela facilite la construction rapide d’un graphe de fonctions.

S'il n'y a pas d'asymptote, mais que la fonction est définie aux deux infinis, il est nécessaire de calculer la limite de la fonction à ces infinis afin de comprendre comment se comportera le graphique de la fonction.

Exemple 6

Considérons à titre d'exemple que

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

est une asymptote horizontale. Après avoir examiné la fonction, vous pouvez commencer à la construire.

Calculer la valeur d'une fonction aux points intermédiaires

Pour rendre le graphique plus précis, il est recommandé de trouver plusieurs valeurs de fonction à des points intermédiaires.

Exemple 7

A partir de l'exemple que nous avons considéré, il faut retrouver les valeurs de la fonction aux points x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Puisque la fonction est paire, nous obtenons que les valeurs coïncident avec les valeurs en ces points, c'est-à-dire que nous obtenons x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Écrivons et résolvons :

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pour déterminer les maxima et minima de la fonction, les points d'inflexion et les points intermédiaires, il est nécessaire de construire des asymptotes. Pour une désignation pratique, les intervalles d'augmentation, de diminution, de convexité et de concavité sont enregistrés. Regardons l'image ci-dessous.

Il est nécessaire de tracer des lignes graphiques passant par les points marqués, ce qui permettra d'approcher les asymptotes en suivant les flèches.

Ceci conclut l’exploration complète de la fonction. Il existe des cas de construction de certaines fonctions élémentaires pour lesquelles des transformations géométriques sont utilisées.

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