Exercice. Le nombre d'occurrences de paires de valeurs de variables aléatoires X et Y dans les intervalles correspondants est indiqué dans le tableau. À l’aide de ces données, trouvez l’échantillon de coefficient de corrélation et les exemples d’équations de droites de régression de Y sur X et de X sur Y.
Solution

Exemple. La distribution de probabilité d'une variable aléatoire bidimensionnelle (X, Y) est donnée par un tableau. Trouvez les lois de distribution des quantités composantes X, Y et le coefficient de corrélation p(X, Y).
Télécharger la solution

Exercice. Bidimensionnel quantité discrète(X, Y) est donné par la loi de distribution. Trouvez les lois de distribution des composantes X et Y, la covariance et le coefficient de corrélation.

Une variable aléatoire est dite bidimensionnelle ( X, Oui), dont les valeurs possibles sont des paires de nombres ( x, y). Composants X Et Oui, considérés simultanément, forment système deux variables aléatoires.

Une quantité bidimensionnelle peut être interprétée géométriquement comme un point aléatoire M.(X; Oui) en surface xOy ou comme vecteur aléatoire OM.

Discret appelée quantité bidimensionnelle dont les composantes sont discrètes.

Continu appelée quantité bidimensionnelle dont les composantes sont continues.

Loi de répartition La probabilité d'une variable aléatoire bidimensionnelle est la correspondance entre les valeurs possibles et leurs probabilités.

La loi de distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle discrète peut être spécifiée : a) sous la forme d'un tableau à double entrée contenant les valeurs possibles et leurs probabilités ; b) analytiquement, par exemple sous la forme d'une fonction de distribution.

Fonction de répartition des probabilités d'une variable aléatoire bidimensionnelle est appelée la fonction F(x,y), définissant pour chaque paire de nombres (x, y) la probabilité que X prendra une valeur inférieure à x, et en même temps Oui prendra une valeur inférieure à oui:

F(x, y) = P(X< x, Y < y).

Géométriquement, cette égalité peut être interprétée comme suit : F(x,y) il est possible qu'un point aléatoire ( X, Oui) tombera dans un quadrant infini de sommet ( x,y), situé à gauche et en dessous de ce sommet.

Parfois, au lieu du terme « fonction de distribution », le terme « fonction intégrale » est utilisé.

La fonction de distribution a les propriétés suivantes :

Propriété 1. Les valeurs de la fonction de distribution satisfont la double inégalité

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Propriété 2. La fonction de distribution est une fonction non décroissante pour chaque argument:

F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), si x 2 > x 1,

F(x, y 2) ≥ F(x, y 1) si y 2 > y 1.

Propriété 3. Il existe des relations limites:

1) F(–∞, y) = 0,

3) F(–∞, –∞) = 0,

2) F(x, –∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Propriété 4. UN) Quand tu=∞ la fonction de distribution du système devient la fonction de distribution du composant X:

F(x, ∞) = F 1 (x).

b) À x = ∞ la fonction de distribution du système devient la fonction de distribution de la composante Y:

F(∞, y) = F 2 (y).

À l'aide de la fonction de distribution, vous pouvez trouver la probabilité qu'un point aléatoire tombe dans un rectangle x1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P(x1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Densité de probabilité conjointe (densité de probabilité bidimensionnelle) une variable aléatoire bidimensionnelle continue est appelée dérivée seconde mixte de la fonction de distribution :

Parfois, au lieu du terme « densité de probabilité bidimensionnelle », le terme « fonction différentielle du système » est utilisé.

La densité de la distribution conjointe peut être considérée comme la limite du rapport de la probabilité qu'un point aléatoire tombe dans un rectangle de côtés D X et D ouià l'aire de ce rectangle lorsque ses deux côtés tendent vers zéro ; géométriquement, cela peut être interprété comme une surface appelée surface de distribution.

Connaissant la densité de distribution, vous pouvez trouver la fonction de distribution à l'aide de la formule

La probabilité qu'un point aléatoire (X, Y) tombe dans la région D est déterminée par l'égalité

La densité de probabilité bidimensionnelle a les propriétés suivantes :

Propriété 1. La densité de probabilité bidimensionnelle est non négative:

f(x,y) ≥ 0.

Propriété 2. Double intégrale impropre avec des limites infinies à partir d'une densité de probabilité bidimensionnelle égal à un :

En particulier, si toutes les valeurs possibles (X, Y) appartiennent à un domaine fini D, alors

226. La distribution de probabilité d'une variable aléatoire bidimensionnelle discrète est donnée :

Trouvez les lois de distribution des composants.

228. La fonction de distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle est donnée

Trouver la probabilité de toucher un point aléatoire ( X, Oui X = 0, X= p/4, oui= p/6, oui=p/3.

229. Trouvez la probabilité de toucher un point aléatoire ( X, Oui) en un rectangle délimité par des lignes droites X = 1, X = 2, oui = 3, oui= 5 si la fonction de distribution est connue

230. La fonction de distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle est donnée

Trouvez la densité de probabilité bidimensionnelle du système.

231. Dans un cercle x 2 + y 2 ≤ R 2 densité de probabilité bidimensionnelle ; en dehors du cercle f(x, y)= 0. Trouver : a) constante C; b) la probabilité de toucher un point aléatoire ( X, Oui) dans un cercle de rayon r= 1 centré à l'origine si R. = 2.

232. Dans le premier quadrant, la fonction de distribution d'un système de deux variables aléatoires est donnée F(x, y) = 1 + 2 - x – 2 - y + 2 - x- y. Trouver : a) la densité de probabilité bidimensionnelle du système ; b) la probabilité de toucher un point aléatoire ( X, Oui) dans un triangle avec des sommets UN(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).

8.2. Lois conditionnelles de distribution de probabilité des composants
variable aléatoire bidimensionnelle discrète

Laissez les composants X Et Oui sont discrets et ont respectivement les valeurs possibles suivantes : x 1, x 2, …, x n ; oui 1 , oui 2 , …, oui m.

Distribution conditionnelle du composant Xà Y = yj(j conserve la même valeur pour toutes les valeurs possibles de X) est appelé un ensemble de probabilités conditionnelles

p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).

La distribution conditionnelle de Y est déterminée de la même manière.

Les probabilités conditionnelles des composantes X et Y sont calculées respectivement à l'aide des formules

Pour contrôler les calculs, il convient de s'assurer que la somme des probabilités de la distribution conditionnelle est égale à un.

233. Étant donné une variable aléatoire bidimensionnelle discrète ( X, Oui):

Trouver : a) loi de distribution conditionnelle Xà condition que Oui=10 ; b) loi de distribution conditionnelle Ouià condition que X=6.

8.3. Trouver des densités et des lois de distribution conditionnelle
composantes d'une variable aléatoire bidimensionnelle continue

La densité de distribution de l'un des composants est égale à intégrale impropre avec des limites infinies sur la densité de la distribution conjointe du système, et la variable d'intégration correspond à une autre composante :

Ici, on suppose que les valeurs possibles de chacune des composantes appartiennent à la droite numérique entière ; si les valeurs possibles appartiennent à un intervalle fini, alors les nombres finis correspondants sont pris comme limites d'intégration.

Densité de distribution conditionnelle du composant Xà une valeur donnée Oui = oui est le rapport entre la densité de la distribution conjointe du système et la densité de distribution du composant Oui:

La densité de distribution conditionnelle du composant est déterminée de la même manière Oui:

Si les densités de distribution conditionnelle des variables aléatoires X Et Oui sont égales à leurs densités inconditionnelles, alors ces quantités sont indépendantes.

Uniforme est la distribution d'une variable aléatoire continue bidimensionnelle ( X, Oui), si dans la zone qui contient toutes les valeurs possibles ( x, y), la densité de la distribution de probabilité conjointe reste constante.

235. La densité de la distribution conjointe d'une variable aléatoire bidimensionnelle continue (X, Y) est donnée

Trouver : a) les densités de distribution des composants ; b) densités de distribution conditionnelles des composants.

236. Densité de distribution conjointe d'une variable aléatoire bidimensionnelle continue ( X, Oui)

Trouver : a) facteur constant C; b) densité de répartition des composants ; c) densités de distribution conditionnelles des composants.

237. Variable aléatoire bidimensionnelle continue ( X, Oui) est réparti uniformément à l'intérieur d'un rectangle ayant un centre de symétrie à l'origine et des côtés 2a et 2b parallèles aux axes de coordonnées. Trouver : a) la densité de probabilité bidimensionnelle du système ; b) densités de distribution des composants.

238. Variable aléatoire bidimensionnelle continue ( X, Oui) uniformément réparti à l'intérieur triangle rectangle avec des sommets Ô(0; 0), UN(0; 8), DANS(8;0). Trouver : a) la densité de probabilité bidimensionnelle du système ; b) densités et densités conditionnelles de distribution des composants.

8.4. Caractéristiques numériques d'un système continu
deux variables aléatoires

Connaissant les densités de distribution des composantes X et Y d'une variable aléatoire bidimensionnelle continue (X, Y), on peut trouver leurs attentes mathématiques et leurs variances :

Parfois, il est plus pratique d'utiliser des formules contenant une densité de probabilité bidimensionnelle (les intégrales doubles sont prises sur la plage des valeurs possibles du système) :

Moment initial n k, s commande k+s systèmes ( X, Oui) est appelée l’espérance mathématique du produit X k Oui s:

n k, s = M.

En particulier,

n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Oui).

Moment central m k, s commande k+s systèmes ( X, Oui) est appelée l'espérance mathématique du produit des écarts, respectivement k e et sème degrés :

m k, s = M( k ∙ s ).

En particulier,

m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0 ;

m 2,0 =M 2 = D(X), m 0,2 = M 2 = D(Y) ;

Moment de corrélation m xу systèmes ( X, Oui) est appelé le moment central m 1,1 commande 1 + 1 :

m xу = M( ∙ ).

Coefficient de corrélation les grandeurs X et Y sont appelées le rapport du moment de corrélation au produit des écarts types de ces grandeurs :

r xy = m xy / (s x s y).

Le coefficient de corrélation est une quantité sans dimension, et | r xy| ≤ 1. Le coefficient de corrélation est utilisé pour évaluer l'étroitesse de la relation linéaire entre X Et Oui: le plus proche valeur absolue coefficient de corrélation à l'unité, plus la connexion est forte ; Plus la valeur absolue du coefficient de corrélation est proche de zéro, plus la relation est faible.

Corrélé deux variables aléatoires sont appelées si leur moment de corrélation est différent de zéro.

Non corrélé deux variables aléatoires sont appelées si leur moment de corrélation est nul.

Deux quantités corrélées sont également dépendantes ; si deux quantités sont dépendantes, alors elles peuvent être soit corrélées, soit non corrélées. De l'indépendance de deux grandeurs il résulte qu'elles sont décorrélées, mais de la non-corrélation il est encore impossible de conclure que ces grandeurs sont indépendantes (pour les grandeurs normalement distribuées, de la décorrélation de ces grandeurs découle leur indépendance).

Pour quantités continues Le moment de corrélation X et Y peut être trouvé à l'aide des formules :

239. La densité de distribution conjointe d'une variable aléatoire bidimensionnelle continue (X, Y) est donnée :

Trouvez : a) les attentes mathématiques ; b) variances des composantes X et Y.

240. La densité de distribution conjointe d'une variable aléatoire bidimensionnelle continue (X, Y) est donnée :

Trouvez les attentes mathématiques et les variances des composants.

241. La densité de la distribution conjointe d'une variable aléatoire bidimensionnelle continue ( X, Y) : f(x, y) = 2 cosx confortable au carré 0 ≤ X≤p/4, 0 ≤ oui≤p/4 ; en dehors de la place f(x,y)= 0. Trouvez les attentes mathématiques des composants.

242. Prouver que si la densité de probabilité bidimensionnelle d'un système de variables aléatoires ( X, Oui) peut être représenté comme un produit de deux fonctions dont l’une dépend uniquement de X, et l'autre - seulement de oui, alors les quantités X Et Oui indépendant.

243. Prouver que si X Et Oui relation linéaire Oui = hache + b, alors la valeur absolue du coefficient de corrélation est égale à l'unité.

Solution. Par définition du coefficient de corrélation,

r xy = m xy / (s x s y).

m xу = M( ∙ ). (*)

Trouvons l'espérance mathématique Oui:

M(Y) = M = aM(X) + b. (**)

En remplaçant (**) par (*), après transformations élémentaires on obtient

m xу = aM 2 = aD(X) = comme 2 x .

Étant donné que

Oui – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,

trouvons la variance Oui:

D(Y) = M 2 = une 2 M 2 = une 2 s 2 x .

D'ici s y = |a|sx. Par conséquent, le coefficient de corrélation

Si un> 0, alors r xy= 1 ; Si un < 0, то r xy = –1.

Alors, | r xy| = 1, c'est ce qu'il fallait prouver.

Une paire ordonnée (X, Y) de variables aléatoires X et Y est appelée une variable aléatoire bidimensionnelle ou un vecteur aléatoire dans un espace bidimensionnel. Une variable aléatoire bidimensionnelle (X,Y) est également appelée système de variables aléatoires X et Y. L'ensemble de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète avec leurs probabilités est appelé la loi de distribution de cette variable aléatoire. Une variable aléatoire bidimensionnelle discrète (X, Y) est considérée comme donnée si sa loi de distribution est connue :

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Objet de la prestation. En utilisant le service, selon une loi de distribution donnée, vous pouvez trouver :

• séries de distribution X et Y, espérance mathématique M[X], M[Y], variance D[X], D[Y] ;
• covariance cov(x,y), coefficient de corrélation r x,y, série de distribution conditionnelle X, espérance conditionnelle M ;

Instructions. Spécifiez la dimension de la matrice de distribution de probabilité (nombre de lignes et de colonnes) et son type. La solution résultante est enregistrée dans un fichier Word.

Exemple n°1. Une variable aléatoire discrète bidimensionnelle a un tableau de distribution :

Solution. On trouve la valeur de q à partir de la condition Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. D'où vient q = 0,09 ?

En utilisant la formule ∑P(x je,oui j) = p je(j=1..n), on retrouve la série de distribution X.

Covariance cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 ·20·0,02 + 1·30·0,02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Coefficient de corrélation r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

Exemple 2. Les données issues du traitement statistique des informations concernant deux indicateurs X et Y sont reflétées dans le tableau de corrélation. Requis:

1. écrire des séries de distribution pour X et Y et calculer les moyennes d'échantillon et les écarts types d'échantillon pour celles-ci ;
2. écrire des séries de distribution conditionnelle Y/x et calculer des moyennes conditionnelles Y/x ;
3. représenter graphiquement la dépendance des moyennes conditionnelles Y/x sur les valeurs X ;
4. calculer le coefficient de corrélation d'échantillon Y sur X ;
5. écrire un exemple d'équation de régression directe ;
6. représenter géométriquement les données du tableau de corrélation et construire une droite de régression.

Espérance mathématique conditionnelle M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Variance conditionnelle D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Loi de distribution conditionnelle X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Oui=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Oui=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Oui=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Oui=30) = 0/9 = 0
Espérance mathématique conditionnelle M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Variance conditionnelle D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Loi de distribution conditionnelle X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Espérance mathématique conditionnelle M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Variance conditionnelle D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Loi de distribution conditionnelle X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Espérance mathématique conditionnelle M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Variance conditionnelle D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Loi de distribution conditionnelle X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Espérance mathématique conditionnelle M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Variance conditionnelle D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Loi de distribution conditionnelle Y.
Loi de distribution conditionnelle Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Espérance mathématique conditionnelle M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Variance conditionnelle D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Loi de distribution conditionnelle Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Espérance mathématique conditionnelle M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Variance conditionnelle D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Loi de distribution conditionnelle Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Espérance mathématique conditionnelle M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Variance conditionnelle D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Loi de distribution conditionnelle Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Espérance mathématique conditionnelle M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Variance conditionnelle D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Loi de distribution conditionnelle Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Espérance mathématique conditionnelle M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Variance conditionnelle D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Loi de distribution conditionnelle Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Espérance mathématique conditionnelle M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Variance conditionnelle D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Covariance.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Si les variables aléatoires sont indépendantes, alors leur covariance est nulle. Dans notre cas, cov(X,Y) ≠ 0.
Coefficient de corrélation.


L'équation de régression linéaire de y vers x est :

L'équation de régression linéaire de x à y est :

Trouvons les caractéristiques numériques nécessaires.
Exemples de moyennes :
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Variations :
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
D'où obtenons-nous les écarts types :
σ x = 9,99 et σ y = 4,9
et covariance :
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Déterminons le coefficient de corrélation :


Écrivons les équations des droites de régression y(x) :

et en calculant, on obtient :
oui x = 0,38 x + 9,14
Écrivons les équations des droites de régression x(y) :

et en calculant, on obtient :
x y = 1,59 y + 2,15
Si nous traçons les points déterminés par le tableau et les droites de régression, nous verrons que les deux droites passent par le point de coordonnées (42,3 ; 25,3) et que les points sont situés à proximité des droites de régression.
Importance du coefficient de corrélation.

En utilisant la table de Student avec un niveau de signification α=0,05 et des degrés de liberté k=100-m-1 = 98, on trouve t crit :
t critique (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
où m = 1 est le nombre de variables explicatives.
Si t observé > t critique, alors la valeur résultante du coefficient de corrélation est considérée comme significative (l'hypothèse nulle selon laquelle le coefficient de corrélation est égal à zéro est rejetée).
Puisque t obs > t crit, nous rejetons l’hypothèse selon laquelle le coefficient de corrélation est égal à 0. Autrement dit, le coefficient de corrélation est statistiquement significatif.

Exercice. Le nombre d'occurrences de paires de valeurs de variables aléatoires X et Y dans les intervalles correspondants est indiqué dans le tableau. À l’aide de ces données, trouvez l’échantillon de coefficient de corrélation et les exemples d’équations de droites de régression de Y sur X et de X sur Y.
Solution

Exemple. La distribution de probabilité d'une variable aléatoire bidimensionnelle (X, Y) est donnée par un tableau. Trouvez les lois de distribution des quantités composantes X, Y et le coefficient de corrélation p(X, Y).
Télécharger la solution

Exercice. Une quantité discrète bidimensionnelle (X, Y) est donnée par une loi de distribution. Trouvez les lois de distribution des composantes X et Y, la covariance et le coefficient de corrélation.

bidimensionnel distribution discrète aléatoire

Souvent le résultat d'une expérience est décrit par plusieurs variables aléatoires : . Par exemple, la météo dans un lieu donné à une certaine heure de la journée peut être caractérisée par les variables aléatoires suivantes : X 1 - température, X 2 - pression, X 3 - humidité de l'air, X 4 - vitesse du vent.

Dans ce cas, on parle de variable aléatoire multidimensionnelle ou de système de variables aléatoires.

Considérons une variable aléatoire bidimensionnelle dont les valeurs possibles sont des paires de nombres. Géométriquement, une variable aléatoire bidimensionnelle peut être interprétée comme un point aléatoire sur un plan.

Si les composants X Et Oui sont des variables aléatoires discrètes, alors est une variable aléatoire discrète à deux dimensions, et si X Et Oui sont continues, alors est une variable aléatoire bidimensionnelle continue.

La loi de distribution de probabilité d'une variable aléatoire bidimensionnelle est la correspondance entre les valeurs possibles et leurs probabilités.

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète bidimensionnelle peut être spécifiée sous la forme d'un tableau à double entrée (voir tableau 6.1), où est la probabilité que la composante X a pris le sens X je, et le composant Oui- signification oui j .

Tableau 6.1.1.

	oui 1	oui 2		oui j		oui m
X 1	p 11	p 12		p 1j		p 1m
X 2	p 21	p 22		p 2j		p 2m
X je	p i1	p i2		p je		p je suis
X n	p n1	p n2		p New Jersey		p nm

Puisque les événements constituent un groupe complet d’événements deux à deux incompatibles, la somme des probabilités est égale à 1, c’est-à-dire

Dans le tableau 6.1, vous pouvez trouver les lois de distribution des composants unidimensionnels X Et Oui.

Exemple 6.1.1 . Trouver les lois de distribution des composants X Et Oui, si la distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle est donnée sous la forme du tableau 6.1.2.

Tableau 6.1.2.

Si nous fixons la valeur de l'un des arguments, par exemple, alors la distribution résultante de la valeur X appelée distribution conditionnelle. La distribution conditionnelle est définie de la même manière Oui.

Exemple 6.1.2 . Selon la distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle donnée dans le tableau. 6.1.2, trouver : a) la loi de distribution conditionnelle du composant Xétant donné que; b) loi de distribution conditionnelle Ouià condition que.

Solution. Probabilités conditionnelles des composants X Et Oui calculé à l'aide de formules

Droit de la distribution conditionnelle Xà condition qu'il ait la forme

Contrôle: .

La loi de distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle peut être spécifiée sous la forme fonctions de distribution, qui détermine pour chaque paire de nombres la probabilité que X prendra une valeur inférieure à X, et dans lequel Oui prendra une valeur inférieure à oui:

Géométriquement, la fonction signifie la probabilité qu'un point aléatoire tombe dans un carré infini avec son sommet au point (Fig. 6.1.1).

Notons les propriétés.

• 1. La plage de valeurs de la fonction est , c'est-à-dire .
• 2. Fonction - une fonction non décroissante pour chaque argument.
• 3. Il existe des relations limites :

Lorsque la fonction de distribution du système devient égale à la fonction de distribution du composant X, c'est à dire. .

De même, .

Sachant cela, vous pouvez trouver la probabilité qu’un point aléatoire tombe dans le rectangle ABCD.

À savoir,

Exemple 6.1.3. Une variable aléatoire discrète bidimensionnelle est spécifiée par une table de distribution

Trouvez la fonction de distribution.

Solution. Valeur en cas de composants discrets X Et Oui est trouvé en additionnant toutes les probabilités avec des indices je Et j, Pour qui, . Alors, si et, alors (les événements et sont impossibles). De même on obtient :

si et, alors ;

si et, alors ;

si et, alors ;

si et, alors ;

si et, alors ;

si et, alors ;

si et, alors ;

si et, alors ;

si et, alors.

Présentons les résultats obtenus sous forme de tableau (6.1.3) de valeurs :

Pour continu bidimensionnel variable aléatoire, la notion de densité de probabilité est introduite

La densité de probabilité géométrique est une surface de distribution dans l'espace

La densité de probabilité bidimensionnelle a les propriétés suivantes :

3. La fonction de distribution peut être exprimée par la formule

4. La probabilité qu'une variable aléatoire continue tombe dans la région est égale à

5. Conformément à la propriété (4) de la fonction, les formules suivantes sont valables :

Exemple 6.1.4. La fonction de distribution d'une variable aléatoire bidimensionnelle est donnée