Pour construire un arbre de probabilité, vous devez d'abord dessiner l'arbre lui-même, puis noter dans le dessin toutes les informations connues pour ce problème et, enfin, utiliser les règles de base pour calculer les nombres manquants et compléter l'arbre.

1. Les probabilités sont indiquées à chaque extrémité et encerclées. A chaque niveau de l'arbre, la somme de ces probabilités doit être égale à 1 (soit 100 %). Ainsi, par exemple, sur la Fig. 6.5.1 la somme des probabilités au premier niveau est 0,20 + 0,80 = 1,00 et au deuxième niveau - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Cette règle permet de remplir un cercle vide dans une colonne si les valeurs de toutes les autres probabilités à ce niveau sont connues.

Riz. 6.5.1

2. Des probabilités conditionnelles sont indiquées à côté de chacune des branches (sauf
éventuellement des succursales de premier niveau). Pour chaque groupe de branches émergeant d'un point, la somme de ces probabilités est également égale à 1 (soit 100 %).
Par exemple, sur la Fig. 6.5.1 pour le premier groupe de branches on obtient 0,15 + 0,85 =
1,00 et pour le deuxième groupe - 0,70 + 0,30 = 1,00. Cette règle permet
calculer une valeur de probabilité conditionnelle inconnue dans un groupe de branches émanant d'un point.

3. La probabilité encerclée au début de la branche, multipliée par le conditionnel
la probabilité à côté de cette branche donne la probabilité écrite dans un cercle en
fin de la branche. Par exemple, sur la Fig. 6.5.1 pour la branche supérieure menant à droite
nous avons 0,20 x 0,15 = 0,03, pour la branche suivante - 0,20 x 0,85 = 0,17 ; des relations similaires s’appliquent aux deux autres branches. Cette règle peut être utilisée pour calculer une valeur inconnue
probabilités sur trois correspondant à une branche.

4. La valeur de probabilité inscrite dans le cercle est égale à la somme des probabilités encerclées aux extrémités de toutes les branches sortant de ce cercle
À droite. Ainsi, par exemple, pour la Fig. 6.5.1 sortir du cercle avec une valeur de 0,20
deux branches, aux extrémités desquelles se trouvent des probabilités encerclées dont la somme est égale à cette valeur : 0,03 + 0,17 = 0,20. Cette règle vous permet de trouver une valeur de probabilité inconnue dans un groupe,
incluant cette probabilité et toutes les probabilités aux extrémités des branches de l'arbre,
en sortant du cercle correspondant.

En utilisant ces règles, vous pouvez, sachant tout sauf une valeur de probabilité pour une branche ou à un certain niveau, trouver cette valeur inconnue.

37. Quel type d’échantillon est appelé représentatif ? Comment obtenir un échantillon représentatif ?

Représentativité est la capacité d’un échantillon à représenter la population étudiée. Plus la composition de l’échantillon représente fidèlement la population sur les problématiques étudiées, plus sa représentativité est élevée.

L'échantillonnage représentatif est l'un des concepts clés de l'analyse des données. Un échantillon représentatif est un échantillon d'une population avec une distribution F(X), représentant les principales caractéristiques de la population. Par exemple, si une ville compte 100 000 habitants, dont la moitié sont des hommes et l’autre moitié des femmes, alors un échantillon de 1 000 personnes dont 10 hommes et 990 femmes ne sera certainement pas représentatif. Bien entendu, un sondage d’opinion basé sur ce modèle contiendra des estimations biaisées et conduira à une falsification des résultats.

Une condition nécessaire Construire un échantillon représentatif est une probabilité égale d’y inclure chaque élément de la population générale.

La fonction de distribution d'échantillon (empirique) donne une assez bonne idée de la fonction de distribution avec une grande taille d'échantillon F(X) de la population d'origine.

Le principe directeur qui sous-tend cette procédure est le principe de randomisation, le hasard. Un échantillon est dit aléatoire (on dira parfois aléatoire simple ou aléatoire pur) si deux conditions sont remplies. Premièrement, l’échantillon doit être conçu de manière à ce que toute personne ou entité au sein de la population ait une chance égale d’être sélectionnée pour l’analyse. Deuxièmement, l’échantillon doit être sélectionné de telle sorte que toute combinaison de n objets (où n est simplement le nombre d’objets, ou de cas, dans l’échantillon) ait une chance égale d’être sélectionnée pour l’analyse.

Lorsqu’on étudie des populations trop grandes pour supporter une véritable loterie, de simples échantillons aléatoires sont souvent utilisés. Écrire les noms de plusieurs centaines de milliers d’objets, les mettre dans un tambour et en sélectionner plusieurs milliers n’est toujours pas une tâche facile. Dans de tels cas, une méthode différente, mais tout aussi fiable, est utilisée. Chaque objet se voit attribuer collectivement un numéro. La séquence de nombres dans ces tableaux est généralement donnée Programme d'ordinateur, appelé générateur de nombres aléatoires, qui met essentiellement un grand nombre de nombres dans un tambour, les tire au hasard et les imprime dans l'ordre dans lequel ils ont été reçus. En d'autres termes, le même processus caractéristique d'une loterie a lieu, mais l'ordinateur, en utilisant non pas des noms, mais des chiffres, fait un choix universel. Cette sélection peut être utilisée en attribuant simplement un numéro à chacun de nos objets.

Une telle table de nombres aléatoires peut être utilisée de plusieurs manières différentes, et dans chaque cas, trois décisions doivent être prises. Premièrement, nous devons décider combien de chiffres nous utiliserons, et deuxièmement, il est nécessaire de développer règle décisive pour leur utilisation ; troisièmement, vous devez choisir un point de départ et une méthode pour parcourir le tableau.

Une fois cela fait, nous devons développer une règle qui associerait les numéros du tableau aux numéros de nos objets. Il y a deux possibilités ici. Le moyen le plus simple (mais pas nécessairement le plus correct) consiste à utiliser uniquement les nombres qui correspondent au nombre de nombres attribués à nos objets. Ainsi, si nous avons une population de 250 objets (et utilisons donc des nombres à trois chiffres) et décidons de commencer par le coin supérieur gauche du tableau et de parcourir les colonnes, nous inclurons les objets numérotés 100, 084 et 128 dans notre échantillon. , et Passons les nombres 375 et 990, qui ne correspondent pas à nos objets. Ce processus se poursuivra jusqu'à ce que le nombre d'objets nécessaires pour notre échantillon soit déterminé.

Une procédure plus laborieuse, mais méthodologiquement plus correcte, est basée sur la position selon laquelle afin de préserver la caractéristique aléatoire du tableau, chaque nombre d'une dimension donnée doit être utilisé (par exemple, chaque nombre à trois chiffres). En suivant cette logique et toujours avec une population de 250 objets, nous devons diviser la région des nombres à trois chiffres de 000 à 999 en 250 intervalles égaux. Puisqu’il existe 1 000 nombres de ce type, nous divisons 1 000 par 250 et constatons que chaque partie contient quatre nombres. Ainsi, les numéros de table de 000 à 003 correspondront à l'objet de 004 à 007 - objet 2, etc. Maintenant, pour déterminer quel numéro d'objet correspond au numéro de table, vous devez diviser le nombre à trois chiffres du tableau et l'arrondir au nombre entier le plus proche.

Enfin, il faut sélectionner le point de départ et l'itinéraire dans le tableau. Le point de départ peut être le coin supérieur gauche (comme dans l’exemple précédent), le coin inférieur droit, le bord gauche de la deuxième ligne ou tout autre emplacement. Ce choix est complètement arbitraire. Cependant, lorsque l'on travaille avec une table, il faut agir systématiquement. On pourrait prendre les trois premiers caractères de chaque séquence de cinq chiffres, les trois caractères du milieu, les trois derniers caractères, ou encore les premier, deuxième et quatrième caractères. (À partir de la première séquence de cinq chiffres, ces différentes procédures donnent respectivement les nombres 100, 009, 097 et 109.) Nous pourrions appliquer ces procédures dans le sens de droite à gauche, donnant 790, 900, 001 et 791. Nous pourrions parcourir les lignes, en considérant tour à tour chaque chiffre suivant et en ignorant la division en cinq (pour la première ligne, les nombres 100, 973, 253, 376 et 520 seront obtenus). Nous ne pouvions traiter qu'un groupe de nombres sur trois (par exemple, 10097, 99019, 04805, 99970). Il existe de nombreuses possibilités différentes, et chacune des suivantes n'est pas pire que la précédente. Cependant, une fois que l'on a décidé d'une manière particulière de travailler, il faut la suivre systématiquement afin de respecter au maximum le caractère aléatoire des éléments du tableau.

38. Quel intervalle appelons-nous un intervalle de confiance ?

L'intervalle de confiance est l'écart admissible des valeurs observées par rapport aux valeurs réelles. La taille de cette hypothèse est déterminée par le chercheur, en tenant compte des exigences d'exactitude des informations. Si la marge d'erreur augmente, la taille de l'échantillon diminue, même si le niveau de confiance reste à 95 %.

L'intervalle de confiance montre dans quelle plage se situeront les résultats des échantillons d'observations (enquêtes). Si nous menons 100 enquêtes identiques sur des échantillons identiques d'une seule population (par exemple, 100 échantillons de 1 000 personnes chacun dans une ville de 5 millions d'habitants), alors à un niveau de confiance de 95 %, 95 résultats sur 100 se situeront dans l'intervalle de confiance (par exemple, de 28 % à 32 % avec une valeur vraie de 30 %).

Par exemple, le nombre réel d'habitants de la ville qui fument est de 30 %. Si nous échantillonnons 1000 personnes 100 fois de suite et posons la question « Fumez-vous ? » dans ces échantillons, dans 95 de ces 100 échantillons, avec un intervalle de confiance de 2 %, la valeur sera de 28 % à 32 %.

39 Qu'appelle-t-on le niveau de confiance ?

Le niveau de confiance reflète la quantité de preuves nécessaires pour que l'évaluateur affirme que le programme évalué a l'effet escompté. DANS Sciences sociales Traditionnellement, un niveau de confiance de 95 % est utilisé. Toutefois, pour la plupart des programmes publics, un niveau de 95 % est excessif. Un niveau de confiance compris entre 80 et 90 % est suffisant pour une évaluation adéquate du programme. De cette manière, la taille du groupe représentatif peut être réduite, réduisant ainsi le coût de réalisation de l'évaluation.

Le processus d'évaluation statistique teste l'hypothèse nulle, soit que le programme n'a pas eu l'effet escompté. Si les résultats obtenus diffèrent significativement des hypothèses initiales sur l'exactitude de l'hypothèse nulle, alors cette dernière est rejetée.

40. Lequel des deux intervalles de confiance est le plus grand : bilatéral 99 % ou bilatéral 95 % ? Expliquer.

L'intervalle de confiance bilatéral de 99 % est supérieur à 95 % car il contient davantage de valeurs. Document:

À l'aide des scores z, vous pouvez estimer plus précisément l'intervalle de confiance et déterminer forme générale Intervalle de confiance. La formulation exacte de l’intervalle de confiance pour la moyenne de l’échantillon est la suivante :

Ainsi, pour un échantillon aléatoire de 25 observations satisfaisant distribution normale, l'intervalle de confiance de la moyenne de l'échantillon ayant la forme suivante :

Ainsi, vous pouvez être sûr à 95 % que la valeur se situe à ± 1,568 unités de la moyenne de l'échantillon. En utilisant la même méthode, vous pouvez déterminer que l'intervalle de confiance à 99 % se situe à ± 2,0608 unités de la moyenne de l'échantillon.

value Ainsi, nous avons et à partir d'ici , De même, nous obtenons la limite inférieure, qui est égale à

La soirée enveloppa progressivement le majestueux château de Zmiulan. Peu à peu, des torches s'allumèrent dans les couloirs et les étudiants se dépêchèrent de rejoindre leurs chambres. Et ainsi, alors que les couloirs étaient déjà vides, un homme sortit du coin : un costume noir coûteux s'adaptait parfaitement à sa silhouette ajustée, les cheveux bruns étaient peignés en arrière, les yeux couleur pistache ne regardaient vers l'avant qu'avec un regard indifférent. Norton Ognev, et c'était lui, s'est approché du bureau du Grand Esprit Ostala. Après avoir frappé et reçu l’autorisation, l’homme entra dans la pièce. -Alors pourquoi es-tu venu, Norton ? - Le propriétaire du château lui-même tournait le dos au père de Vasilisa et regardait par la fenêtre. L’indifférence n’a pas disparu du visage d’Ognev, mais il s’est tendu intérieurement. "M. Astragor, je dois aller à Tchernovod pendant quelques jours", se retourna le chef des Dragotsiev. -Si j'ai bien compris, tu n'y iras pas seul ? - Norton Sr. hocha lentement la tête : - Oui, M. Astragor. Si cela ne vous dérange pas, j'emmènerai ma fille, Fash et Zaharra avec moi. - Pourquoi, Norton, emmènes-tu mes neveux avec toi ? - le chef des Dragotsi regarda Ognev avec un certain intérêt. "Vasilisa a demandé", répondit Norton Sr. comme à contrecœur. Astragor regardait pensivement les flammes de la cheminée. Ognev attendait patiemment une réponse... *** La nuit enveloppait le majestueux château d'une toile d'étoiles. Une légère brise faisait bruisser les feuilles du jardin. Dans la Chambre Verte, Vasilisa se préparait déjà à se coucher. "Oh, ça fait si longtemps que je ne suis pas venue ici..." dit la jeune fille en regardant autour de la pièce. Elle ne se souvenait même pas de la dernière fois où elle était venue ici, mais elle voyait que chaque chose était à sa place. Soudain, un type a survolé la fenêtre ouverte. Ogneva regarda l'invité inattendu avec surprise. Cachant ses ailes noires, l'homme brun sourit au propriétaire des lieux : "Bonjour les chouettes !" -Tu m'as fait peur! - s'est exclamée la fille en regardant le gars avec irritation. "Oh, allez", rigola l'invité. - Je pense que tu auras toujours peur de moi. -Ne sois pas bête! "J'aurai peur d'un gars aussi arrogant comme toi", dit Vasilisa avec irritation. - Au fait, Fash, pourquoi es-tu arrivé, surtout si tard ? Vous n'arrivez plus à dormir ? "Ouais," acquiesça Dragotsy. - J'ai décidé de faire un tour à Tchernovod... Mais marcher seul n'est pas très amusant et c'est dangereux. C’est un château inconnu, après tout, » les yeux de Fesh brillèrent sournoisement. -Suggérez-vous que je vous fasse visiter ? - Vasilisa regarda son amie avec perplexité. -Pourquoi pas? Vous savez tout ici, n'est-ce pas ? - La brune haussa un sourcil interrogateur. "Presque", répondit évasivement la jeune fille aux cheveux roux. "Eh bien, c'est bien", Dragotsiy se dirigea vers la porte. Ognevoy n'avait d'autre choix que de le suivre. Les gars marchaient dans les couloirs sombres en allumant les lampes. Vasilisa a raconté à Fash ce dont elle se souvient dans ce château. Il l'écoutait attentivement, l'interrompant parfois ou reniflant sarcastiquement à telle ou telle proposition. Bientôt, il s'ennuya de se promener et d'écouter bavarder, et, se souvenant de quelque chose, il posa une question : « Au fait, quelle est cette tour que nous avons vue lorsque nous étions en calèche ? -Lequel voulez-vous dire? - Ogneva a demandé pensivement. "Cela semble occidental", a déclaré Dragotsiy d'une voix traînante. "Oh, celui-là", réalisa immédiatement la fille aux cheveux roux. - Nous l'appelons Solitaire, les prisonniers y étaient autrefois détenus. - On va jeter un oeil là-bas ? - l'excitation brillait dans les yeux bleu glacier de la brune. "Eh bien, je ne sais pas..." dit Vasilisa d'une voix traînante, hésitante. -As tu peur? - Dragotsiy a souri. Comme Fash s'y attendait, ils réussirent à la prendre à la légère : le visage de la jeune fille rougit et elle serra les poings : « Allons-y », et Vasilisa conduisit la brune souriante et satisfaite jusqu'à cette tour. Après avoir ouvert la porte sans obstacles, les gars sont entrés dans la pièce. La porte se referma bientôt. Fash s'est approché de la fenêtre grande ouverte et a sauté sur le rebord de la fenêtre, respirant l'odeur vivifiante de la mer : "Eh, bien..." puis s'est tourné vers la jeune fille aux cheveux roux. "Allez, asseyez-vous", et il frappa l'endroit à côté de lui avec sa paume. La jeune fille s'assit immédiatement à côté de lui. La pleine lune brillait au-dessus et la mer était agitée en bas. Vague après vague déferlait, s'écrasant contre les rochers. "Quelle lune brillante", Vasilisa regarda à nouveau le ciel. -Et j'ai une chanson sur la lune. «Je l'ai composé il y a longtemps», dit soudain Fash. -Alors tu sais chanter ? - La fille aux cheveux roux regarda Dragotius avec surprise. Il acquiesça silencieusement. -Quoi, tu n'y crois pas ? - La brune s'est approchée du visage d'Ognevaya, regardant dans les yeux de son interlocuteur avec un sourire. J'ai remarqué que ses joues étaient devenues roses et que son sourire s'était élargi. "Non, c'est juste..." balbutia Vasilisa en rougissant, détournant le regard de ses yeux bleu glacier, qui reflétaient la lumière de la lune. "Il n'y avait tout simplement aucun moyen de confirmer vos paroles," elle regarda à nouveau dans ces yeux. Fash commença à se pencher lentement vers la rousse. Elle est allée à sa rencontre à mi-chemin. Il n'y a que quelques millimètres entre leurs visages. Ogneva sentait déjà la légère brise des expirations sur ses lèvres. Leurs lèvres se touchèrent presque, et... -Oh, comme c'est mignon ! - Vasilisa s'est immédiatement éloignée de Dragotsiy et a rougi encore plus qu'avant. Flash se retourna. Avant que ses yeux clairs n'apparaissent... -Zakharra ?! - s'exclamèrent deux colombes de surprise. -Que faites-vous ici? - La brune regarda sa sœur avec irritation. - Oui, je t'ai vu voler quelque part, j'ai décidé de le découvrir. Je suis sorti et je t'ai vu marcher et discuter. L’essentiel est que tu ne me remarques pas. Eh bien, je t'ai suivi », le bobtail a tout expliqué. - Sang indigène Podlyuchaya... - Marmonna Fash, descendit du rebord de la fenêtre et se dirigea vers sa chambre. Vasilisa a suivi son exemple. Zaharra se glissa instantanément dans le couloir derrière Ognevaya et retourna également dans sa chambre...

une personne contient un certain plan avec lequel l'âme est venue ici, toutes les options pour le développement des événements, y compris. Nous pouvons y aller et voir les conséquences des décisions importantes que nous prenons. Par exemple, sur le changement de travail et de style de vie. Cela peut être fait à la fois dans des méditations indépendantes et dans des processus conjoints leader-suiveur. Vous trouverez ci-dessous une description de la façon dont cela a été fait au cours de la session.

Lignes de probabilité

Je projette trois branches :

1) rester à Moscou avec votre emploi actuel ;

2) vendre ou louer un appartement et partir en Asie rendre visite à des amis pour devenir partenaire de leur entreprise touristique ;

3) option idéale : je quitte mon travail, je participe aux affaires de mes amis sur la base d'un projet et j'ai ma propre maison, mais pas à Moscou (soit en Asie aussi, mais différente, soit en Europe de l'Est, ou l'Amérique latine- une grande villa lumineuse dans laquelle vous pouvez recevoir des invités et organiser des retraites), il y a un couple - leurs propres partenariats, et ils ont leur propre entreprise.

Nous construisons les trois branches comme des routes, voyons s'il y a des branches.

La ligne de Moscou est une corde grise solide et épaisse, terne et fiable, vous ne vous détacherez pas, vous ne vous perdrez pas. De la corde, il y a plusieurs cordes plus fines, certaines plus brillantes et plus intéressantes, mais aucune d'entre elles n'attire, n'appelle ou ne brille. J’ai le sentiment que j’aime toujours Moscou, mais ce sujet est devenu obsolète.

Le fil avec Asia et ses amis est très brillant et visuel, mais court et fin, ou quelque chose du genre. Il lui manque le potentiel pour se développer avec confiance vers l’avenir. Ressource insuffisante.

La troisième image parfaite était divisée en plusieurs points géographiques sur la carte, chacun ayant sa propre saveur spécifique. La troisième branche, qui contient ma propre histoire, est bien sûr la plus attrayante pour moi. Ce n’est pas aussi tangible que celui de Moscou ni aussi coloré que le second, mais il s’impose à lui-même. Et il brille, rempli de l'intérieur. Comme un mince rayon vivant, il palpite et scintille.

Choisir votre chemin

Dans cette version des événements, je suis libre de me déplacer à travers le monde si je le souhaite. Mes revenus sont inférieurs à ceux de Moscou, mais ils suffisent pour que je n'aie besoin de rien et que je ne me prive de rien, même avec modération. Je viens dans les projets de mes amis, ils me rendent visite. J'écris quelque chose et je travaille avec les gens, je le fais par plaisir. Il existe également une sorte de projet d'entreprise laïque, qui est également plus ou moins réussi et fournit un revenu stable.

En même temps il y a personne proche, avec qui nous mettons en œuvre conjointement cette histoire, en binôme. Pour que cela se manifeste, il faut non seulement mon intention, mais aussi de ma part un certain paiement, bien sûr, comme pour tout choix. Dès que vous choisissez quelque chose, vous refusez automatiquement quelque chose... D'ailleurs, c'est toujours effrayant et dangereux. Le paiement comme renonciation au confort ou à la liberté existante. Le paiement, c'est comme permettre à quelque chose de complètement nouveau et inconnu, bien que tentant, d'entrer dans votre vie. Libre arbitre pur et pureté des intentions des deux côtés. Et puis - comment cela va-t-il se passer... D'une autre manière (non basée sur une pure expression de volonté), ce sujet ne décollera tout simplement pas.

Tout ce processus bat désormais son plein. Ce fil est en gestation, et si tout se passe bien, il pourra se manifester pleinement dans ma réalité. Voyons s'il y a des obstacles ou des pierres sur cette ligne idéale pour moi. Je vois un arbre tombé, juste sur la route. Ce sont des peurs et une méfiance en soi. De la série - c'est trop beau pour que tout se passe ainsi, ça n'arrive pas, ce sont toutes des illusions et des contes de fées inventés pour soi. Je dégage le chemin.

La prochaine étape importante est de prendre votre propre décision finale - s'il est nécessaire de prêter attention à cette branche de rêve, car il ne sera pas possible de « rembobiner » si facilement plus tard. Je comprends par moi-même que d'une manière ou d'une autre, je l'imprègne d'énergie depuis longtemps et je l'active en interne. Et cela n’arrive même pas à cause de l’entêtement ou du désir de faire ce que je veux.

Des choses et des signes beaucoup plus subtils qui signalent que c'est le destin, aussi fort que cela puisse paraître. Cette branche devient progressivement de plus en plus visible. Il s'épaissit, lentement et sûrement. Bien que, bien sûr, tout soit encore extrêmement incertain et pourrait s'effondrer à tout moment, j'ai le sentiment que cette branche vient à moi.

Puisqu’il avait été conçu et prédéterminé, ordonné depuis longtemps, pourrait-on dire. Et je comprends où cela mène. Et comment ça se passe. Et c'est le bon développement des événements. Même si parfois j'ai bêtement peur d'y croire..

Et je ne veux vraiment pas cimenter cette branche. Rendez-le rigide et sans ambiguïté. Il n’est pas nécessaire d’y établir un lien rigide avec un lieu ou une profession spécifique, ou avec quoi que ce soit d’autre. Je veux qu'il comporte beaucoup d'éléments : l'air, l'eau, le feu, la terre, pour qu'il respire, pour qu'il soit flexible et indestructible – mobile, transformable et reconfigurable. Et pour que tout ce qui s’y passe soit le résultat d’une co-création et non d’actions autonomes. Dans tous les cas, il s'agit d'une histoire jumelée, elle ne peut pas naître sous forme de coercition, une exactitude maximale est importante ici - en aucun cas imposer ou faire pression.. Tout est libre arbitre. Et puis - où appellera-t-il*

Renforcer une succursale avec attention

J'étends un rayon de mon Spark en direction de cette branche, jusqu'au point où il tend, et je m'y connecte avec mon attention. Ainsi, le Spark commence à œuvrer à la réalisation de cet objectif et s’y ancre. Je ne m'en rends peut-être pas compte, mais le travail sera mené : la formation des événements dans l'espace se fera de telle manière que cet objectif soit le plus proche possible de ma réalité, de sa mise en œuvre.

Le Spark Beam se transforme en un faisceau gravitationnel et attire vers moi les objets et les événements de cette branche de probabilité, comme un aimant. L’objectif est très proche, on peut dire que j’y suis maintenant. Comme une téléportation, lorsque vous n'essayez pas de vous déplacer vers un nouvel endroit avec tout votre corps, mais de matérialiser l'espace souhaité autour de vous : vous vous connectez au but et l'attirez vers vous. Et plus il est proche de vous, plus votre volonté s'étend à sa mise en œuvre. Et l’Iskra est chargée de façonner les événements qui conduiront à l’incarnation de cette branche dans la réalité et lui permettront de jouer.

Je peins mon avenir avec la lumière de ma Spark. Il fait tellement cool là-bas, dans cette ligne de probabilités il y a une très belle histoire où l'on a envie d'inviter tout le monde à la visiter.. Une grande pièce lumineuse remplie de vie, de soleil et d'air.. Je lui donne du carburant, la charge de potentiel pour que il a la possibilité de se manifester dans la réalité. Lorsque vous êtes prêt à prendre une décision finale ou que vous avez besoin d'examiner quelques réponses sur le développement de ce fil, vous pouvez simplement vous souvenir de cet état d'attraction, vous imprégner émotionnellement de l'atmosphère et de l'ambiance de cette pièce, ressentir l'émotion de la créativité et Partenariat. L'émotion de la création est toujours l'amour.

Manifestation et consolidation des résultats

Pour capturer cette image qui semble si attrayante, mais qui est maintenant instable, vous devez y faire passer la lumière, y verser de l'émotion, la charger de positivité. Entrez dans l'état d'Ananda - une élévation joyeuse, un être aimant et aimé, amoureux et rempli d'amour, et redirigez ce carburant intérieur vers le scénario idéal pour le développement des événements.

Dégagez le chemin et supprimez les questions. S'aligner sur d'autres branches de la réalité qui m'entourent et sur les acteurs impliqués, pour que tout cela soit synchronisé dans le lieu et dans le temps. Coïncidait avec les intentions, la volonté et la liberté de choix. Saturez tout cela de votre propre lumière, de votre chaleur et de votre amour afin de réaliser votre potentiel créatif à l'avenir de la manière que vous aimez tant. Exposez le résultat souhaité afin que l'image soit imprimée de lumière sur le film sensible - le contour des événements futurs, et y grave son empreinte comme une projection lumineuse. Et attendez un peu pour que l'effet soit le plus brillant possible.

Vous devez maintenant traiter l’empreinte du rêve créée afin qu’elle pénètre dans la couche de réalité matérielle. La prochaine étape est la stabilisation. Il faut ajouter un peu d'énergie d'obscurité et de froid à l'image pour qu'elle se cristallise et acquière des contours plus solides, passe de l'état de mirage magique à des couches plus denses, se consolide et se manifeste.

Travailler avec un tirage négatif. Le résultat est littéralement enregistré sur une feuille de réalité, de la même manière que lorsque nous projetons une image d'un film photographique analogique sur du papier photographique analogique, puis versons tour à tour le révélateur et le fixateur pour que nous pouvons voir en détail ce que nous avons capturé à l'aide de la lumière et des intentions et y entrer lorsque cela est approprié et opportun.

Puisque le chakra de la gorge est responsable de la communication avec le monde et de la réalisation créatrice, j'envoie un rayon du chakra de la gorge vers la branche choisie. Un rayon du deuxième chakra l'a demandé, puis du troisième. Ensuite, le reste des chakras se sont connectés, et le résultat a été une pluie de rayons, comme une fleur à sept fleurs. Je lave et sèche tout ce qui s'est avéré, je le remplis de mouvement, de l'énergie matérielle de la terre, de la vision, de toutes les qualités de vitalité et de magnétisme, j'attire encore plus la branche de la probabilité dans ma réalité, je la connecte directement avec chacun des centres de chakra, prescrivez-le là-bas.

* une personne oublie que l'avenir est multivarié et se réfère souvent à des modèles modèles (ceux-ci sont généralement déterminés par la numérologie, l'astrologie, etc.). En fait, chacun de nous est un flux, et le flux doit circuler, ne pas s'accrocher aux limites, abandonner facilement l'ancien et laisser entrer le nouveau, s'adapter. Par conséquent, si vous pratiquez de telles pratiques, ne « cimentez » en aucun cas votre intention, car le monde offre toujours de meilleures options dont nous ne sommes peut-être même pas conscients, surtout maintenant.

La réalité est multidimensionnelle, les opinions à son sujet sont multiformes. Seuls un ou quelques visages sont représentés ici. Vous ne devriez pas les prendre comme la vérité ultime, car, et à chaque niveau de conscience et. On apprend à séparer ce qui nous appartient de ce qui ne nous appartient pas, ou à obtenir des informations de manière autonome)

SECTIONS THÉMATIQUES :
| | | | | | | | |

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52) ;

● B = (11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61)

● C = (12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66).

● D= (LA SOMME DES POINTS EST 2 OU 3) ;

● E= (LA SOMME DES POINTS EST 10).

Décrivez l'événement : AVEC= (CIRCUIT FERMÉ) pour chaque cas.

Solution. Introduisons la notation suivante : événement UN- le contact 1 est fermé ; événement DANS- le contact 2 est fermé ; événement AVEC- le circuit est fermé, la lumière est allumée.

1. Pour une connexion en parallèle, le circuit est fermé lorsqu'au moins un des contacts est fermé, donc C = A + B;

2. Pour une connexion en série, le circuit est terminé lorsque les deux contacts sont fermés, donc C = UN B.

Tâche. 1.1.4 Deux schémas électriques ont été établis :

Événement A - le circuit est fermé, événement A i - je-le contact est fermé. Pour lequel d’entre eux la relation est-elle valable ?

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A ?

Solution. Pour le premier circuit, A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), puisqu'une connexion parallèle correspond à la somme des événements, et une connexion série correspond au produit des événements. Pour le deuxième schéma UN = UN1 (A2+A3 A4 A5). Cette relation est donc valable pour le deuxième schéma.

Tâche. 1.1.5 Simplifiez l'expression (A + B)(B + C)(C+ A).

Solution. Utilisons les propriétés des opérations d'addition et de multiplication d'événements.

(UN+ B)(B + C)(A + C) =

(UN B+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = BA + BC + AC.

Tâche. 1.1.6Prouver que les événements A, AB et A+B Formez un groupe complet.

Solution. Lors de la résolution du problème, nous utiliserons les propriétés des opérations sur les événements. Dans un premier temps, nous montrerons que ces événements sont incompatibles deux à deux.

Nous allons maintenant montrer que la somme de ces événements donne l'espace des événements élémentaires.

Tâche. 1.1.7À l'aide du diagramme d'Euler-Venn, vérifiez la règle de Morgan :

A) L’événement AB est ombré.

B) Événement A - hachures verticales ; événement B - hachures horizontales. Événement

(A+B) - zone ombrée.

D'une comparaison des figures a) et c), il résulte :

Tâche. 1.2.1De combien de manières peut-on asseoir 8 personnes ?

1. Sur une seule rangée ?

2. Lors d'une table ronde ?

Solution.

1. Le nombre de voies requis est égal au nombre de permutations sur 8, soit

P8 = 8 ! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Puisque lors d'une table ronde le choix de la première personne n'affecte pas l'alternance des éléments, alors n'importe qui peut être pris en premier, et les autres seront classés par rapport à celui choisi. Cette action peut être effectuée de 8!/8 = 5040 façons.

Tâche. 1.2.2Le cours couvre 5 matières. De combien de façons pouvez-vous créer un programme pour le samedi s'il y a deux paires différentes ce jour-là ?

Solution. Le nombre de voies requis est le nombre de placements

De 5 à 2, puisqu'il faut tenir compte de l'ordre des paires :

Tâche. 1.2.3Combien de commissions d'examen composées de 7 personnes peuvent être composées de 15 enseignants ?

Solution. Le nombre de commissions requis (sans tenir compte de la commande) est le nombre de combinaisons de 15 à 7 :

Tâche. 1.2.4 Dans un panier contenant vingt boules numérotées, 5 boules sont sélectionnées pour porter chance. Déterminer le nombre d'éléments de l'espace des événements élémentaires de cette expérience si :

Les boules sont sélectionnées séquentiellement les unes après les autres et reviennent après chaque tirage ;

Les boules sont sélectionnées une à une sans être rendues ;

Sélectionnez 5 balles à la fois.

Solution.

Le nombre de façons de retirer la première balle du panier est de 20. Puisque la balle extraite est revenue dans le panier, le nombre de façons de retirer la deuxième balle est également de 20, etc. Ensuite, le nombre de façons de retirer 5 balles dans ce panier le cas est 20 20 20 20 20 = 3200000.

Le nombre de façons de retirer la première balle du panier est de 20. Puisque la balle extraite n'est pas revenue dans le panier après son retrait, le nombre de façons de retirer la deuxième balle est devenu 19, etc. Ensuite, le nombre de façons de retirer 5 les balles sans retour sont 20 19 18 17 16 = A52 0

Le nombre de façons d'extraire 5 balles du panier est immédiatement égal au nombre de combinaisons de 20 par 5 :

Tâche. 1.2.5 Deux ont été jetés dé. Trouvez la probabilité qu’un événement A au moins apparaisse.

Solution. Chaque dé peut lancer n'importe quel nombre de points de 1 à 6. L'espace des événements élémentaires contient donc 36 résultats également possibles. L'événement A est favorisé par 11 résultats : (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1 ,5), (5,1), (1,6), (6,1), donc

Tâche. 1.2.6 Les lettres u, i, i, k, c, f, n sont inscrites sur les cartons rouges ; les lettres a, a, o, t, t, s, h sont inscrites sur les cartons bleus. Après un mélange minutieux, ce qui est plus probable : dès la première fois à partir des lettres à Utiliser les cartes rouges pour composer le mot « fonction » ou les lettres des cartes bleues pour former le mot « fréquence » ?

Solution. Soit l'événement A le mot « fonction » composé aléatoirement de 7 lettres, et l'événement B le mot « fréquence » composé aléatoirement de 7 lettres. Puisque deux séries de 7 lettres sont ordonnées, le nombre de tous les résultats pour les événements A et B est n = 7 !. L'événement A est favorisé par un résultat m = 1, puisque toutes les lettres sur les cartons rouges sont différentes. L'événement B est favorisé par m = 2 ! · 2 ! résultats, puisque les lettres « a » et « t » apparaissent deux fois. Alors P(A) = 1/7 ! , P(B) = 2 ! 2 ! /7! , P(B) > P(UNE).

Tâche. 1.2.7 Lors de l'examen, l'étudiant se voit proposer 30 tickets ; Chaque ticket contient deux questions. Sur les 60 questions incluses dans les tickets, l'étudiant n'en connaît que 40. Trouvez la probabilité que le ticket pris par l'étudiant soit composé de

1. à partir de problèmes dont il a connaissance ;

2. de questions qui lui sont inconnues ;

3. à partir d'une question connue et d'une question inconnue.

Solution. Soit A l'événement selon lequel l'étudiant connaît la réponse aux deux questions ; B - ne connaît pas la réponse aux deux questions ; C - connaît la réponse à une question, ne connaît pas la réponse à une autre. Le choix de deux questions sur 60 peut se faire de n = C260 = 60 2·59 = 1770 façons.

1. Il existe m = C240 ​​​​= 40 2·39 = 780 possibilités de choix de questions connues de l'élève. Alors P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Choix de deux questions inconnues sur 20, m = C220 = 20 2·19 = 190 voies peuvent être réalisées. Dans ce cas

P(B) = MN = 11 79 70 0 = 0,11

3. Il existe m = C14 0 ·C21 0 = 40·20 = 800 façons de choisir un ticket avec une question connue et une question inconnue. Alors P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Tâche. 1.2.8Certaines informations étaient transmises via trois canaux. Les chaînes fonctionnent indépendamment les unes des autres. Trouver la probabilité que l'information atteigne l'objectif

1. Seulement sur un seul canal ;

2. Au moins sur une chaîne.

Solution. Soit A l'événement selon lequel l'information atteint le but par un seul canal ; B - au moins un canal. L'expérience est le transfert d'informations à travers trois canaux. Le résultat de l’expérience est que l’information a atteint son objectif. Notons Ai - l'information atteint le but via le i-ème canal. L'espace des événements élémentaires a la forme :

L'événement B est favorisé par 7 résultats : tous les résultats sauf Then n = 8 ; mA = 3 ; mB = 7 ; P(A) = 3 8 ; P(B) = 7 8.

Tâche. 1.2.9Un point apparaît aléatoirement sur un segment de longueur unitaire. Trouvez la probabilité que la distance entre le point et les extrémités du segment soit supérieure à 1/8.

Solution. Selon les conditions du problème, l'événement requis est satisfait par tous les points apparaissant sur l'intervalle (a; b).

Puisque sa longueur est s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4 et que la longueur du segment entier est S = 1, alors la probabilité requise est P = s/S = 3/14 = 0,75.

Tâche. 1.2.10Dans la fête deNdes produitsKles produits sont défectueux. m les produits sont sélectionnés pour le contrôle. Trouvez la probabilité que de M Des produits L Ils s'avéreront défectueux (événement A).

Solution. Le choix de m produits parmi n peut se faire de différentes manières, et le choix L défectueux de k défectueux - d'une certaine manière. Après sélection L les produits défectueux resteront (m - L) approprié, situé parmi (n - k) produits. Alors le nombre d’issues favorables à l’événement A est égal à

Et la probabilité souhaitée

Tâche. 1.3.1BIl y a 30 boules dans l'urne : 15 rouges, 10 bleues et 5 blanches. Trouvez la probabilité qu’une boule tirée au hasard soit colorée.

Solution. Soit l'événement A - une boule rouge est tirée, l'événement B - une boule bleue est tirée. Puis les événements (A + B) - une boule colorée est tirée. Nous avons P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Puisque

Les événements A et B sont incompatibles, alors P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Tâche. 1.3.2Probabilité qu'il y ait de la neige (événement UN ), est égal à 0.6, Et le fait qu'il va pleuvoir (événement B ), est égal à 0.45. Trouver la probabilité de mauvais temps si la probabilité de pluie et de neige (événement UN B ) est égal à 0.25.

Solution. Les événements A et B sont simultanés, donc P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

Tâche. 1.3.3BLa première boîte contient 2 boules blanches et 10 boules noires, la deuxième boîte contient 3 boules blanches et 9 boules noires et la troisième boîte contient 6 boules blanches et 6 noires. Une balle a été retirée de chaque case. Trouvez la probabilité que toutes les boules tirées soient blanches.

Solution. Événement A - une boule blanche est tirée de la première case, B - de la deuxième case, C - de la troisième. Alors P(A) = 12 2 = 1 6 ; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Événement ABC - tous supprimés

Les boules sont blanches. Les événements A, B, C sont indépendants, donc

P(ABC) = P(A) P.(B)· P.(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Tâche. 1.3.4B circuit électrique connecté en série 5 Des éléments qui fonctionnent indépendamment les uns des autres. Les probabilités de défaillance des premier, deuxième, troisième, quatrième et cinquième éléments sont respectivement égales 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Trouvez la probabilité qu'il n'y ait pas de courant dans le circuit (événement UN ).

Solution. Puisque les éléments sont connectés en série, il n’y aura pas de courant dans le circuit si au moins un élément tombe en panne. Événement Ai(i =1...5) - échoue je- l'élément. Événements

Tâche. 1.3.5Le circuit se compose de blocs indépendants connectés dans un système avec une entrée et une sortie.

Défaillance dans le temps T divers éléments chaînes - événements indépendants ayant les probabilités suivantesP. 1 = 0,1 ; P. 2 = 0,2 ; P. 3 = 0,3 ; P. 4 = 0,4. La défaillance de l'un des éléments entraîne une interruption du signal dans la branche du circuit où se trouve cet élément. Trouver la fiabilité du système.

Solution. Si l'événement A - (LE SYSTÈME EST FIABLE), Ai - (i - ème BLOC FONCTIONNE SANS DÉFAILLANCE), alors A = (A1 + A2)(A3 + A4). Les événements A1+A2, A3+A4 sont indépendants, les événements A1 et A2, A3 et A4 sont conjoints. Utiliser les formules pour multiplier et additionner des probabilités

Tâche. 1.3.6Un ouvrier fait fonctionner 3 machines. La probabilité que la machine ne nécessite pas l’attention du travailleur dans l’heure qui suit est égale à 0,9 pour la première machine, 0,8 pour la deuxième machine et 0,7 pour la troisième machine.

Trouver la probabilité que pendant une heure

1. La deuxième machine nécessitera une attention particulière ;

2. Deux machines nécessiteront une attention particulière ;

3. Au moins deux machines nécessiteront une attention particulière.

Solution. Laisse Ai - la ième machine nécessitera l'attention d'un travailleur, - la ième machine ne nécessitera pas l'attention d'un travailleur. Alors

Espace d'événements élémentaires :

1. Événement A : la deuxième machine nécessitera votre attention : puis

Puisque les événements sont incompatibles et indépendants. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Événement B - deux machines nécessiteront votre attention :

3. Événement C – au moins deux états nécessiteront une attention particulière
kov :

Tâche. 1.3.7Bla machine "Examiner" a été introduite 50 Des questions. L'étudiant se voit proposer 5 Les questions et une note « excellent » sont attribuées si toutes les questions reçoivent une réponse correcte. Trouvez la probabilité d'obtenir « excellent » si l'étudiant s'est préparé uniquement 40 Des questions.

Solution. A - (GRADE « EXCELLENT » REÇU), Ai - (RÉPONSE À LA i -ème QUESTION). Alors A = A1A2A3A4A5, on a :

Ou, d'une autre manière - en utilisant la formule de probabilité classique : ET

Tâche. 1.3.8La probabilité que la pièce nécessaire à l'assembleur soit enje, II, III, IVles cases sont respectivement égales 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Trouvez la probabilité que le collectionneur doive cocher les 4 cases (événementUN).

Solution. Soit Ai - (La pièce nécessaire à l'assembleur est dans ième boîte.) Alors

Puisque les événements sont incompatibles et indépendants, alors

Tâche. 1.4.1 Un groupe de 10 000 personnes de plus de 60 ans a été examiné. Il s’est avéré que 4 000 personnes fument régulièrement. 1 800 fumeurs ont présenté de graves changements au niveau de leurs poumons. Parmi les non-fumeurs, 1 500 personnes ont présenté des modifications au niveau des poumons. Quelle est la probabilité qu’une personne examinée au hasard et présentant des modifications pulmonaires soit un fumeur ?

Solution. Introduisons les hypothèses : H1 - la personne examinée est un fumeur constant, H2 - est un non-fumeur. Ensuite, selon les conditions du problème

P(H1)= ------- =0,4, P(H2)=--------- =0,6

Désignons par A l'événement selon lequel la personne examinée présente des modifications dans les poumons. Ensuite, selon les conditions du problème

En utilisant la formule (1.15) on trouve

La probabilité souhaitée que la personne examinée soit fumeur, selon la formule de Bayes, est égale à

Tâche. 1.4.2Les téléviseurs de trois usines sont mis en vente : 30 % de la première usine, 20 % de la deuxième, 50 % de la troisième. Les produits de la première usine contiennent 20 % de téléviseurs présentant des vices cachés, la deuxième - 10 % et la troisième - 5 %. Quelle est la probabilité d’acheter un téléviseur fonctionnel ?

Solution. Considérons les événements : A - un téléviseur fonctionnel a été acheté ; hypothèses H1, H2, H3 - le téléviseur a été mis en vente respectivement dans la première, la deuxième et la troisième usine. Selon les conditions du problème

En utilisant la formule (1.15) on trouve

Tâche. 1.4.3Il y a trois cases identiques. Le premier a 20 boules blanches, le deuxième a 10 boules blanches et 10 boules noires, le troisième a 20 boules noires. Une boule blanche est tirée d’une case sélectionnée au hasard. Trouvez la probabilité que cette balle provienne de la deuxième case.

Solution. Soit l'événement A - la boule blanche est sortie, les hypothèses H1, H2, H3 - la boule est sortie respectivement de la première, deuxième, troisième case. À partir des conditions problématiques, nous trouvons

Alors
En utilisant la formule (1.15) on trouve

En utilisant la formule (1.16) on trouve

Tâche. 1.4.4Un message télégraphique se compose de signaux de points et de tirets. Les propriétés statistiques du bruit sont telles qu'elles sont en moyenne déformées 2/5 Messages "point" et 1/3 Messages "tiret". On sait que parmi les signaux transmis, les « points » et les « tirets » apparaissent dans le rapport 5: 3. Déterminez la probabilité que le signal transmis soit reçu si :

A) le signal « point » est reçu ;

B)signal "tiret" reçu.

Solution. Supposons que l'événement A signifie qu'un signal « point » est reçu et que l'événement B signifie qu'un signal « tiret » est reçu.

Deux hypothèses peuvent être faites : H1 - le signal « point » est transmis, H2 - le signal « tiret » est transmis. Par condition P(H1) : P(H2) =5 : 3. De plus, P(H1 ) + P(H2)= 1. Donc P( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. Il est connu que

Probabilités d'événements UN ET B On trouve en utilisant la formule de probabilité totale :

Les probabilités requises seront :

Tâche. 1.4.5Sur les 10 canaux radio, 6 canaux sont protégés contre les interférences. La probabilité qu'un canal sécurisé au fil du tempsTn'échouera pas, est égal à 0,95, pour un canal non protégé - 0,8. Trouvez la probabilité que deux canaux sélectionnés au hasard ne tombent pas en panne au fil du tempsT, et les deux canaux ne sont pas protégés contre les interférences.

Solution. Laissez l'événement A - les deux canaux ne tombent pas en panne pendant le temps t, événement A1 - Canal protégé sélectionné A2 - Un canal non protégé a été sélectionné.

Notons l'espace des événements élémentaires pour l'expérience - (deux canaux sont sélectionnés) :

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Hypothèses:

H1 - les deux canaux sont protégés des interférences ;

H2 - le premier canal sélectionné est protégé, le deuxième canal sélectionné n'est pas protégé des interférences ;

H3 - le premier canal sélectionné n'est pas protégé, le deuxième canal sélectionné est protégé des interférences ;

H4 - les deux canaux sélectionnés ne sont pas protégés contre les interférences. Alors

ET

Tâche. 1.5.1Le canal de communication transmet 6 Messages. Chaque message peut être déformé par interférence avec une probabilité 0.2 Indépendamment des autres. Trouver la probabilité que

1. 4 messages sur 6 ne sont pas déformés ;

2. Au moins 3 sur 6 ont été transmises avec distorsion ;

3. Au moins un message sur 6 est déformé ;

4. Pas plus de 2 sur 6 ne sont pas déformés ;

5. Tous les messages sont transmis sans distorsion.

Solution. Puisque la probabilité de distorsion est de 0,2, la probabilité de transmettre un message sans interférence est de 0,8.

1. En utilisant la formule de Bernoulli (1.17), on trouve la probabilité
capacité à transmettre 4 messages sur 6 sans interférence :

2. au moins 3 sur 6 sont transmis de manière déformée :

3. au moins un message sur 6 est déformé :

4. au moins un message sur 6 est déformé :

5. tous les messages sont transmis sans distorsion :

Tâche. 1.5.2La probabilité qu'un jour soit clair en été est de 0,42 ; la probabilité d'un jour nuageux est de 0,36 et celle d'un jour partiellement nuageux est de 0,22. Combien de jours sur 59 pouvez-vous vous attendre à des journées claires et nuageuses ?

Solution. D'après les conditions du problème, il est clair que nous devons rechercher le nombre le plus probable de jours clairs et nuageux.

Pour les jours clairs P.= 0.42, N= 59. On compose les inégalités (1,20) :

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Mo≤ 25.2 → Mo= 25.

Pour les jours nuageux P= 0.36, N= 59 et

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Donc 20,16 ≤ M0 ≤ 21.60; → M0 = 21.

Ainsi, le nombre de jours clairs le plus probable Mo=25, jours nuageux - M0 = 21. Puis en été, vous pouvez vous attendre Mo+ M0 =46 jours clairs et nuageux.

Tâche. 1.5.3110 étudiants assistent au cours sur la théorie des probabilités. Trouver la probabilité que

1. k élèves (k = 0,1,2) parmi les personnes présentes sont nés le premier septembre ;

2. au moins un étudiant du cours est né le premier septembre.

P = 1/365 est très petit, nous utilisons donc la formule de Poisson (1.22). Trouvons le paramètre de Poisson. Parce que

N= 110, alors λ = np = 110 1 /365 = 0,3.

Alors, d'après la formule de Poisson

Tâche. 1.5.4La probabilité que la pièce ne soit pas standard est égale à 0.1. Combien de pièces doivent être sélectionnées pour qu'avec probabilité P = 0.964228 On pourrait faire valoir que la fréquence relative d'apparition de pièces non standard s'écarte d'une probabilité constante p = 0.1 Par valeur absolue pas plus que 0.01 ?

Solution.

Numéro requis N Trouvons-le en utilisant la formule (1.25). Nous avons:

P = 1,1 ; q = 0,9 ; P= 0,96428. Remplaçons les données dans la formule :

D'où le trouve-t-on ?

D'après le tableau des valeurs de fonction Φ( X) on constate que

Tâche. 1.5.5La probabilité de défaillance d'un condensateur pendant le temps T est de 0,2. Déterminer la probabilité que pendant le temps T 100 les condensateurs tombent en panne

1. Exactement 10 condensateurs ;

2. Au moins 20 condensateurs ;

3. Moins de 28 condensateurs ;

4. De 14 à 26 condensateurs.

Solution. Nous avons P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Exactement 10 condensateurs.

Parce que P. Super, utilisons le théorème local de Moivre - Laplace :

Calculons

Puisque la fonction φ(x)- pair, alors φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (on retrouve dans le tableau des valeurs des fonctions φ(x). Probabilité requise

2. Au moins 20 condensateurs ;

L'exigence selon laquelle sur 100 condensateurs au moins 20 échouent signifie que soit 20, soit 21, ... ou 100 échoueront. T1 = 20, T 2 = 100. Alors

D'après le tableau des valeurs des fonctions Φ(x) Trouvons Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Probabilité requise :

3. Moins de 28 condensateurs ;

(ici, il a été pris en compte que la fonction de Laplace Ф(x) est impaire).

4. De 14 à 26 condensateurs. Par condition M1= 14, m2 = 26.
Calculons x 1,x2 :

Tâche. 1.5.6La probabilité qu'un événement se produise dans une expérience est de 0,6. Quelle est la probabilité que cet événement se produise dans la majorité des 60 expériences ?

Solution. Quantité M L'occurrence d'un événement dans une série de tests se situe entre . "Dans la plupart des expériences" signifie que M Appartient à l'intervalle Par condition N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, M1 = 30, m2 = 60. Calculons x1 et x2 :

Variables aléatoires et leurs distributions

Tâche. 2.1.1Un tableau est donné où les valeurs possibles de la variable aléatoire sont indiquées dans la ligne du haut X , et en bas - leurs probabilités.

Ce tableau peut-il être une ligne de distribution X ?

Réponse : Oui, puisque p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Tâche. 2.1.2Libéré 500 Billets de loterie, et 40 Les billets rapporteront des gains à leurs propriétaires 10000 Frotter., 20 Billets - par 50000 Frotter., 10 Billets - par 100000 Frotter., 5 Billets - par 200000 Frotter., 1 Billet - 500000 Frottez., le reste - aucun gain. Retrouvez la loi de répartition des gains pour le propriétaire d'un ticket.

Solution.

Valeurs possibles pour X : x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Les probabilités de ces valeurs possibles sont :

La loi de distribution requise :

Tâche. 2.1.3Tireur ayant 5 Cartouches, tire jusqu'au premier coup sur la cible. La probabilité de toucher à chaque tir est 0.7. Construire une loi de répartition du nombre de cartouches utilisées, trouver la fonction de répartitionF(X) et construisons son graphique, trouvons P(2< x < 5).

Solution.

Espace d'événements élémentaires d'expérience

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Où l'événement (1) - a atteint la cible, l'événement (0) - n'a pas atteint la cible. Les valeurs suivantes de la variable aléatoire du nombre de cartouches utilisées correspondent à des résultats élémentaires : 1, 2, 3, 4, 5. Puisque le résultat de chaque tir suivant ne dépend pas du précédent, les probabilités du possible les valeurs sont :

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 · 0,7 = 0,21 ;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 · 0,7 = 0,063 ;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 · 0,7 = 0,0189 ;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 · 0,7 + 0,35 = 0,0081.

La loi de distribution requise :

Trouvons la fonction de distribution F(X), Utilisation de la formule (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X>5.F(x) = 1

Trouvons P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - F(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Tâche. 2.1.4DanaF(X) d'une variable aléatoire :

Notez la série de distribution pour X.

Solution.

À partir des propriétés F(X) Il s'ensuit que les valeurs possibles de la variable aléatoire X - Points d'arrêt de fonction F(X), Et les probabilités correspondantes sont des sauts de fonction F(X). On trouve les valeurs possibles de la variable aléatoire X=(0,1,2,3,4).

Tâche. 2.1.5Définir quelle fonction

Est la fonction de distribution d’une variable aléatoire.

Si la réponse est oui, trouvez la probabilité que le résultat correspondant valeur aléatoire prend des valeurs sur[-3,2].

Solution. Traçons les fonctions F1(x) et F2(x) :

La fonction F2(x) n'est pas une fonction de distribution, puisqu'elle n'est pas non décroissante. La fonction F1(x) est

La fonction de distribution d'une variable aléatoire, puisqu'elle est non décroissante et satisfait à la condition (2.3). Trouvons la probabilité de tomber dans l'intervalle :

Tâche. 2.1.6Étant donné la densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X :

Trouver:

1. Coefficient C ;

2. Fonction de distribution F(x) ;

3. Probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle(1, 3).

Solution. A partir de la condition de normalisation (2.9) on trouve

Ainsi,

En utilisant la formule (2.10) on trouve :

Ainsi,

En utilisant la formule (2.4) on trouve

Tâche. 2.1.7Les temps d'arrêt aléatoires des équipements électroniques ont dans certains cas une densité de probabilité

Où M = lge = 0,4343...

Trouver la fonction de distribution F(x) .

Solution. En utilisant la formule (2.10) on trouve

Où

Tâche. 2.2.1Étant donné une série de distribution d'une variable aléatoire discrète X :

Trouvez l'espérance mathématique, la variance, l'écart type, M, D[-3X + 2].

Solution.

En utilisant la formule (2.12), nous trouvons l'espérance mathématique :

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. En utilisant la formule (2.19), nous trouvons la variance :

Tâche. 2.2.2Trouver l'espérance, la variance et l'écart type d'une variable aléatoire continue X , dont la fonction de distribution

.

Solution. Trouvons la densité de probabilité :

On trouve l'espérance mathématique à l'aide de la formule (2.13) :

On trouve la variance à l'aide de la formule (2.19) :

Trouvons d'abord l'espérance mathématique du carré de la variable aléatoire :

Écart-type

Tâche. 2.2.3Xa une série de distribution:

Trouver l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoireOui = EX .

Solution. M[ Oui] = M[ EX ] = e-- 1 · 0,2 + e0 · 0,3 + e1 · 0,4 + e2 · 0,1 =

0,2 · 0,3679 + 1 · 0,3 + 2,71828 · 0,4 + 7,389 · 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[E X] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Tâche. 2.2.4Variable aléatoire discrète X Ne peut prendre que deux valeurs X1 ET X2 , et X1< x2. Probabilité connue P1 = 0,2 Signification possible X1 , valeur attendue M[X] = 3,8 Et la variance D[X] = 0,16. Trouvez la loi de distribution d'une variable aléatoire.

Solution. Puisque la variable aléatoire X ne prend que deux valeurs x1 et x2, alors la probabilité p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

Selon les conditions du problème on a :

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8 ;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Ainsi, nous avons obtenu un système d'équations :

État x1

Tâche. 2.2.5La variable aléatoire X est soumise à une loi de distribution dont le graphe de densité a la forme :

Trouvez la valeur attendue, la variance et l’écart type.

Solution. Trouvons la fonction de distribution différentielle f(x). En dehors de l'intervalle (0, 3) f(x) = 0. Sur l'intervalle (0, 3) le graphique de densité est une droite de pente k = 2/9 passant par l'origine. Ainsi,

Valeur attendue:

Trouvons la variance et l'écart type :

Tâche. 2.2.6Trouvez l'espérance mathématique et la variance de la somme des points qui apparaissent sur quatre dés en un seul lancer.

Solution. Notons A - le nombre de points sur un dé en un seul lancer, B - le nombre de points sur le deuxième dé, C - sur le troisième dé, D - sur le quatrième dé. Pour les variables aléatoires A, B, C, D, la loi de distribution un.

Alors M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Tâche. 2.3.1La probabilité qu'une particule émise par une source radioactive soit enregistrée par un compteur est égale à 0.0001. Pendant la période d'observation, il s'est envolé de la source 30000 Particules Trouvez la probabilité que le compteur ait enregistré :

1. Exactement 3 particules ;

2. Pas une seule particule ;

3. Au moins 10 particules.

Solution. Par condition P.= 30000, P.= 0,0001. Les événements consistant en la détection de particules émises par une source radioactive sont indépendants ; nombre P. Génial, mais la probabilité P. Petit, on utilise donc la distribution de Poisson : Trouvons λ : λ = n P. = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Probabilités recherchées :

Tâche. 2.3.2Le lot contient 5% de pièces non standards. 5 pièces ont été sélectionnées au hasard. Écrire la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X - nombre de pièces hors normes parmi les cinq sélectionnées ; trouver l’espérance mathématique et la variance.

Solution. La variable aléatoire discrète X - le nombre de parties non standard - a une distribution binomiale et peut prendre les valeurs suivantes : x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. La probabilité d'une pièce non standard dans un lot est p = 5 /100 = 0,05. Trouvons les probabilités de ces valeurs possibles :

Écrivons la loi de distribution requise :

Retrouvons les caractéristiques numériques :

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– M2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Ou D[ X] = np (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Tâche. 2.3.3Le temps de détection d'une cible par un radar est distribué selon la loi exponentielle

Où1/ λ = 10 Seconde. - temps moyen de détection de cible. Trouvez la probabilité que la cible soit détectée à temps à partir de5 Avant15 Seconde. après avoir lancé la recherche.

Solution. Probabilité de toucher une variable aléatoire X Dans l'intervalle (5, 15) Trouvons à l'aide de la formule (2.8) :

À On a

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Tâche. 2.3.4Les erreurs de mesure aléatoires sont soumises à la loi normale avec les paramètres a = 0, σ = 20 Mm. Écrire la fonction de distribution différentielleF(X) et trouvez la probabilité qu'il y ait eu une erreur dans la mesure dans la plage allant de 5 Avant 10 Mm.

Solution. Remplaçons les valeurs des paramètres a et σ dans la fonction de distribution différentielle (2.35) :

En utilisant la formule (2.42), nous trouvons la probabilité de toucher une variable aléatoire X Dans l'intervalle, c'est-à-dire UNE= 0, B = 0,1. Alors la fonction de distribution différentielle F(x) Cela ressemblera à

Qu'est-ce que la probabilité ?

La première fois que j’ai rencontré ce terme, je n’aurais pas compris de quoi il s’agissait. Je vais donc essayer de l'expliquer clairement.

La probabilité est la chance que l'événement souhaité se produise.

Par exemple, vous avez décidé d’aller chez un ami, vous vous souvenez de l’entrée et même de l’étage où il habite. Mais j'ai oublié le numéro et l'emplacement de l'appartement. Et maintenant, vous êtes sur l'escalier et devant vous, vous avez le choix entre des portes.

Quelle est la chance (probabilité) que si vous sonnez à la première porte, votre ami ouvre la porte à votre place ? Il n'y a que des appartements, et un ami n'habite que derrière l'un d'eux. A chances égales, nous pouvons choisir n’importe quelle porte.

Mais quelle est cette chance ?

La porte, la bonne porte. Probabilité de deviner en sonnant à la première sonnette : . Autrement dit, une fois sur trois, vous devinerez avec précision.

Nous voulons savoir, après avoir appelé une fois, à quelle fréquence devinerons-nous la porte ? Examinons toutes les options :

1. Vous avez appelé 1er porte
2. Vous avez appelé 2ème porte
3. Vous avez appelé 3ème porte

Examinons maintenant toutes les options où un ami pourrait se trouver :

UN. Derrière 1er la porte
b. Derrière 2ème la porte
V. Derrière 3ème la porte

Comparons toutes les options sous forme de tableau. Une coche indique les options lorsque votre choix coïncide avec l'emplacement d'un ami, une croix - lorsqu'il ne coïncide pas.

Comment vois-tu tout Peut être choix l'emplacement de votre ami et votre choix de la porte à sonner.

UN issue favorable à tous . Autrement dit, vous devinerez une fois en sonnant une fois à la porte, c'est-à-dire .

Il s’agit de la probabilité – le rapport entre une issue favorable (lorsque votre choix coïncide avec l’emplacement de votre ami) et le nombre d’événements possibles.

La définition est la formule. La probabilité est généralement notée p, donc :

Il n'est pas très pratique d'écrire une telle formule, nous prendrons donc pour - le nombre d'issues favorables, et pour - le nombre total d'issues.

La probabilité peut être écrite en pourcentage ; pour ce faire, vous devez multiplier le résultat obtenu par :

Le mot « résultats » a probablement attiré votre attention. Puisque les mathématiciens appellent diverses actions (dans notre cas, une telle action est une sonnette) des expériences, le résultat de telles expériences est généralement appelé le résultat.

Eh bien, il y a des résultats favorables et défavorables.

Revenons à notre exemple. Disons que nous avons sonné à l'une des portes, mais qu'un étranger nous l'a ouverte. Nous n'avons pas bien deviné. Quelle est la probabilité que si nous sonnons à l’une des portes restantes, notre ami nous l’ouvre ?

Si vous pensiez cela, alors c'est une erreur. Voyons cela.

Il nous reste deux portes. Nous avons donc des étapes possibles :

1) Appeler 1er porte
2) Appeler 2ème porte

L’ami, malgré tout cela, est définitivement derrière l’un d’eux (après tout, il n’était pas derrière celui que nous avons appelé) :

a) Ami pour 1er la porte
b) Ami pour 2ème la porte

Dessinons à nouveau le tableau :

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options favorables. Autrement dit, la probabilité est égale.

Pourquoi pas?

La situation que nous avons considérée est exemple d'événements dépendants. Le premier événement est la première sonnette, le deuxième événement est la deuxième sonnette.

Et ils sont appelés dépendants car ils influencent les actions suivantes. Après tout, si après la première sonnerie, un ami répondait à la sonnette, quelle serait la probabilité qu'il se trouve derrière l'un des deux autres ? Droite, .

Mais s’il y a des événements dépendants, alors il doit aussi y en avoir. indépendant? C'est vrai, cela arrive.

Un exemple classique est de lancer une pièce de monnaie.

1. Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face, par exemple ? C'est vrai - car il y a toutes les options (que ce soit face ou face, nous négligerons la probabilité que la pièce atterrisse sur sa tranche), mais cela ne convient qu'à nous.
2. Mais c'est tombé sur face. D'accord, relançons-le. Quelle est la probabilité d’obtenir face maintenant ? Rien n'a changé, tout est pareil. Combien d'options ? Deux. De combien sommes-nous satisfaits ? Un.

Et laissez-le apparaître face au moins mille fois de suite. La probabilité d’obtenir face d’un coup sera la même. Il existe toujours des options, et des plus avantageuses.

Il est facile de distinguer les événements dépendants des événements indépendants :

1. Si l’expérience est réalisée une fois (ils lancent une pièce de monnaie une fois, sonnent une fois à la porte, etc.), alors les événements sont toujours indépendants.
2. Si une expérience est réalisée plusieurs fois (une pièce est lancée une fois, la sonnette retentit plusieurs fois), alors le premier événement est toujours indépendant. Et puis, si le nombre de résultats favorables ou le nombre de résultats change, alors les événements sont dépendants, et sinon, ils sont indépendants.

Entraînons-nous un peu à déterminer la probabilité.

Exemple 1.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face deux fois de suite ?

Solution:

Considérons toutes les options possibles :

1. Aigle-aigle
2. Pile-queue
3. Queues-Têtes
4. Queues-queues

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options. Parmi ceux-ci, nous ne sommes que satisfaits. C'est-à-dire la probabilité :

Si la condition vous demande simplement de trouver la probabilité, alors la réponse doit être donnée sous la forme d’une fraction décimale. S'il était précisé que la réponse doit être donnée sous forme de pourcentage, nous multiplierions par.

Répondre:

Exemple 2.

Dans une boîte de chocolats, tous les chocolats sont conditionnés dans le même emballage. Cependant, des bonbons - aux noix, au cognac, aux cerises, au caramel et au nougat.

Quelle est la probabilité de prendre un bonbon et d’obtenir un bonbon aux noix ? Donnez votre réponse en pourcentage.

Solution:

Combien y a-t-il de résultats possibles ? .

Autrement dit, si vous prenez un bonbon, ce sera l'un de ceux disponibles dans la boîte.

Combien d’issues favorables ?

Car la boîte ne contient que des chocolats aux noix.

Répondre:

Exemple 3.

Dans une boîte de ballons. dont blancs et noirs.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
2. Nous avons ajouté d'autres boules noires à la boîte. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule blanche ?

Solution:

a) Il n'y a que des balles dans la boîte. Parmi eux sont blancs.

La probabilité est :

b) Il y a maintenant plus de balles dans la boîte. Et il reste autant de Blancs.

Répondre:

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

Disons qu'il y a des boules rouges et vertes dans une boîte. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Boule verte ? Boule rouge ou verte ?

Probabilité de tirer une boule rouge

Boule verte :

Boule rouge ou verte :

Comme vous pouvez le constater, la somme de tous les événements possibles est égale à (). Comprendre ce point vous aidera à résoudre de nombreux problèmes.

Exemple 4.

Il y a des marqueurs dans la boîte : vert, rouge, bleu, jaune, noir.

Quelle est la probabilité de ne pas tirer de marqueur rouge ?

Solution:

Comptons le nombre des issues favorables.

PAS un marqueur rouge, cela signifie vert, bleu, jaune ou noir.

Probabilité de tous les événements. Et la probabilité d'événements que nous considérons comme défavorables (lorsque nous retirons un marqueur rouge) est de .

Ainsi, la probabilité de retirer un feutre NON rouge est de .

Répondre:

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

Vous savez déjà ce que sont les événements indépendants.

Que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver la probabilité que deux événements indépendants (ou plus) se produisent consécutivement ?

Disons que nous voulons savoir quelle est la probabilité que si nous lançons une pièce de monnaie une fois, nous voyions face deux fois ?

Nous avons déjà considéré - .

Et si on jetait une pièce de monnaie une fois ? Quelle est la probabilité de voir un aigle deux fois de suite ?

Total des options possibles :

1. Aigle-aigle-aigle
2. Pile-pile-face
3. Pile-face-tête
4. Pile-pile-pile
5. Face-face-face
6. Pile-pile-pile
7. Queues-queues-têtes
8. Queues-queues-queues

Je ne sais pas pour vous, mais j’ai commis des erreurs à plusieurs reprises en dressant cette liste. Ouah! Et seule l'option (la première) nous convient.

Pour 5 lancers, vous pouvez faire vous-même une liste des résultats possibles. Mais les mathématiciens ne sont pas aussi travailleurs que vous.

Par conséquent, ils ont d'abord remarqué puis prouvé que la probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants diminue à chaque fois de la probabilité d'un événement.

Autrement dit,

Regardons l'exemple de la même pièce malheureuse.

Probabilité de se prendre la tête dans un défi ? . Maintenant, on lance la pièce une fois.

Quelle est la probabilité d’obtenir face à face ?

Cette règle ne fonctionne pas seulement si l’on nous demande de trouver la probabilité qu’un même événement se produise plusieurs fois de suite.

Si nous voulions retrouver la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES pour des lancers consécutifs, nous ferions de même.

La probabilité d'obtenir pile est de face - .

Probabilité d’obtenir la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES-QUEUES :

Vous pouvez le vérifier vous-même en créant un tableau.

La règle pour ajouter les probabilités d'événements incompatibles.

Alors arrêtez! Nouvelle définition.

Voyons cela. Prenons notre pièce usée et lançons-la une fois.
Options possibles :

1. Aigle-aigle-aigle
2. Pile-pile-face
3. Pile-face-tête
4. Pile-pile-pile
5. Face-face-face
6. Pile-pile-pile
7. Queues-queues-têtes
8. Queues-queues-queues

Ainsi, les événements incompatibles sont une certaine séquence d'événements donnée. - ce sont des événements incompatibles.

Si nous voulons déterminer quelle est la probabilité de deux (ou plusieurs) événements incompatibles, alors nous ajoutons les probabilités de ces événements.

Vous devez comprendre que pile ou face sont deux événements indépendants.

Si nous voulons déterminer la probabilité qu’une séquence (ou toute autre) se produise, alors nous utilisons la règle de multiplication des probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir face au premier lancer et face au deuxième et au troisième lancer ?

Mais si nous voulons savoir quelle est la probabilité d’obtenir une séquence parmi plusieurs, par exemple lorsque face apparaît exactement une fois, c’est-à-dire options et, ensuite, nous devons additionner les probabilités de ces séquences.

Toutes les options nous conviennent.

On peut obtenir la même chose en additionnant les probabilités d’occurrence de chaque séquence :

Ainsi, nous ajoutons des probabilités lorsque nous voulons déterminer la probabilité de certaines séquences d’événements incohérentes.

Il existe une excellente règle pour vous aider à éviter de confondre quand multiplier et quand additionner :

Revenons à l'exemple où nous avons lancé une pièce de monnaie une fois et avons voulu connaître la probabilité de voir face une fois.
Ce qui va se passer?

Devrait tomber :
(pile ET pile ET pile) OU (pile ET pile ET pile) OU (face ET pile ET pile).
Voici comment cela se passe :

Regardons quelques exemples.

Exemple 5.

Il y a des crayons dans la boîte. rouge, vert, orange et jaune et noir. Quelle est la probabilité de dessiner des crayons rouges ou verts ?

Solution:

Ce qui va se passer? Il faut tirer (rouge OU vert).

Maintenant que c’est clair, additionnons les probabilités de ces événements :

Répondre:

Exemple 6.

Si un dé est lancé deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir un total de 8 ?

Solution.

Comment pouvons-nous obtenir des points ?

(et) ou (et) ou (et) ou (et) ou (et).

La probabilité d’obtenir un (n’importe quel) visage est de .

On calcule la probabilité :

Répondre:

Entraînement.

Je pense que vous comprenez maintenant quand vous devez calculer des probabilités, quand les additionner et quand les multiplier. N'est-ce pas? Pratiquons un peu.

Tâches:

Prenons un jeu de cartes contenant des cartes comprenant des piques, des cœurs, 13 trèfles et 13 carreaux. De à l'As de chaque couleur.

1. Quelle est la probabilité de tirer des trèfles d'affilée (on remet la première carte retirée dans le paquet et on la mélange) ?
2. Quelle est la probabilité de tirer une carte noire (pique ou trèfle) ?
3. Quelle est la probabilité de tirer une image (valet, dame, roi ou as) ?
4. Quelle est la probabilité de tirer deux images d'affilée (on retire la première carte tirée du jeu) ?
5. Quelle est la probabilité, en prenant deux cartes, d'obtenir une combinaison - (valet, dame ou roi) et un as ? L'ordre dans lequel les cartes sont tirées n'a pas d'importance.

Réponses:

1. Dans un jeu de cartes de chaque valeur, cela signifie :
2. Les événements sont dépendants, car après le retrait de la première carte, le nombre de cartes dans le jeu a diminué (tout comme le nombre d'« images »). Il y a initialement un total de valets, de dames, de rois et d'as dans le jeu, ce qui signifie la probabilité de tirer une « image » avec la première carte :

   Puisque nous retirons la première carte du jeu, cela signifie qu'il reste déjà des cartes dans le jeu, y compris des images. Probabilité de faire un dessin avec la deuxième carte :

   Puisque nous nous intéressons à la situation où l'on sort une « image » ET une « image » du jeu, il faut multiplier les probabilités :

   Répondre:

3. Après la première carte retirée, le nombre de cartes dans le jeu diminuera. Ainsi, deux options nous conviennent :
   1) La première carte est un As, la seconde est un Valet, une Reine ou un Roi
   2) On sort un valet, une reine ou un roi avec la première carte, et un as avec la seconde. (as et (valet ou reine ou roi)) ou ((valet ou reine ou roi) et as). N'oubliez pas de réduire le nombre de cartes dans le jeu !

Si vous étiez capable de résoudre tous les problèmes vous-même, alors vous êtes génial ! Vous allez maintenant résoudre les problèmes de théorie des probabilités lors de l'examen d'État unifié comme des fous !

THÉORIE DES PROBABILITÉS. NIVEAU MOYEN

Regardons un exemple. Disons que nous jetons un dé. De quel genre d'os s'agit-il, le savez-vous ? C'est ce qu'on appelle un cube avec des chiffres sur ses faces. Combien de visages, autant de chiffres : de à combien ? Avant.

Alors on lance les dés et on veut qu'il arrive ou. Et nous comprenons.

Dans la théorie des probabilités, ils disent ce qui s'est passé événement propice(à ne pas confondre avec prospère).

Si cela se produisait, l’événement serait également favorable. Au total, seuls deux événements favorables peuvent survenir.

Combien sont défavorables ? Puisqu'il existe un total d'événements possibles, cela signifie que les événements défavorables sont des événements (c'est-à-dire si ou tombe).

Définition:

La probabilité est le rapport entre le nombre d'événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.. Autrement dit, la probabilité montre quelle proportion de tous les événements possibles est favorable.

Ils désignent la probabilité par une lettre latine (apparemment du mot anglais probabilité - probabilité).

Il est d'usage de mesurer la probabilité en pourcentage (voir sujets et). Pour ce faire, la valeur de probabilité doit être multipliée par. Dans l’exemple des dés, probabilité.

Et en pourcentage : .

Exemples (décidez vous-même) :

1. Quelle est la probabilité d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie ? Quelle est la probabilité que des têtes atterrissent ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair en lançant un dé ? Lequel est étrange ?
3. Dans une boîte de crayons simples, bleus et rouges. Nous dessinons un crayon au hasard. Quelle est la probabilité d’en obtenir un simple ?

Solutions:

1. Combien y a-t-il d’options ? Pile et queue – juste deux. Combien d’entre eux sont favorables ? Un seul est un aigle. Donc la probabilité

   C'est la même chose avec les queues : .

2. Options totales : (combien de côtés le cube a, autant d'options différentes). Les favorables : (ce sont tous des nombres pairs :).
   Probabilité. Bien sûr, c’est la même chose avec les nombres impairs.
3. Total: . Favorable : . Probabilité : .

Probabilité totale

Tous les crayons de la boîte sont verts. Quelle est la probabilité de dessiner un crayon rouge ? Il n'y a pas de hasard : probabilité (après tout, événements favorables -).

Un tel événement est dit impossible.

Quelle est la probabilité de dessiner un crayon vert ? Il y a exactement le même nombre d’événements favorables que le nombre total d’événements (tous les événements sont favorables). La probabilité est donc égale à ou.

Un tel événement est dit fiable.

Si une boîte contient des crayons verts et rouges, quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ? Encore. Notons ceci : la probabilité de retirer le vert est égale, et le rouge est égale.

En somme, ces probabilités sont exactement égales. C'est, la somme des probabilités de tous les événements possibles est égale à ou.

Exemple:

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de ne pas tirer vert ?

Solution:

Nous nous souvenons que toutes les probabilités s’additionnent. Et la probabilité de devenir vert est égale. Cela signifie que la probabilité de ne pas tirer du vert est égale.

Rappelez-vous cette astuce : La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Événements indépendants et règle de multiplication

Vous lancez une pièce une fois et vous voulez qu'elle tombe face les deux fois. Quelle est la probabilité que cela se produise ?

Passons en revue toutes les options possibles et déterminons combien il y en a :

Pile-Tête, Pile-Tête, Pile-Pile, Pile-Tail. Quoi d'autre?

Options totales. Parmi ceux-ci, un seul nous convient : Aigle-Aigle. Au total, la probabilité est égale.

Bien. Maintenant, tirons à pile ou face une fois. Faites le calcul vous-même. Arrivé? (répondre).

Vous avez peut-être remarqué qu'avec l'ajout de chaque lancer suivant, la probabilité diminue de moitié. La règle générale s'appelle règle de multiplication:

Les probabilités d'événements indépendants changent.

Que sont les événements indépendants ? Tout est logique : ce sont ceux qui ne dépendent pas les uns des autres. Par exemple, lorsque l'on lance une pièce plusieurs fois, à chaque fois un nouveau lancer est effectué dont le résultat ne dépend pas de tous les lancers précédents. On peut tout aussi bien lancer deux pièces différentes en même temps.

Plus d'exemples :

1. Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité de l’obtenir les deux fois ?
2. La pièce est lancée une fois. Quelle est la probabilité que cela tombe face la première fois, puis face deux fois ?
3. Le joueur lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme de leurs nombres soit égale ?

Réponses:

1. Les événements sont indépendants, ce qui signifie que la règle de multiplication fonctionne : .
2. La probabilité de tomber sur face est égale. La probabilité d’obtenir pile est la même. Multiplier:
3. 12 ne peut être obtenu que si deux -ki sont lancés : .

Les événements incompatibles et la règle d'addition

Les événements qui se complètent au point d’être pleinement probables sont appelés incompatibles. Comme leur nom l’indique, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, si nous lançons une pièce, elle peut tomber sur pile ou sur face.

Exemple.

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ?

Solution .

La probabilité de dessiner un crayon vert est égale. Rouge - .

Événements favorables en tout : vert + rouge. Cela signifie que la probabilité de tirer du vert ou du rouge est égale.

La même probabilité peut être représentée sous cette forme : .

Voici la règle d'addition : les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent.

Problèmes de type mixte

Exemple.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité que les résultats des lancers soient différents ?

Solution .

Cela signifie que si le premier résultat est face, le second doit être face, et vice versa. Il s’avère qu’il existe deux paires d’événements indépendants et que ces paires sont incompatibles entre elles. Comment ne pas se tromper sur où multiplier et où ajouter.

Il existe une règle simple pour de telles situations. Essayez de décrire ce qui va se passer en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU ». Par exemple, dans ce cas :

Il devrait apparaître (pile et face) ou (pile et face).

Là où il y a une conjonction « et », il y aura multiplication, et là où il y a « ou », il y aura addition :

Essayez-le vous-même :

1. Quelle est la probabilité que si une pièce est lancée deux fois, elle tombe du même côté à chaque fois ?
2. Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un total de points ?

Solutions:

1. (Les têtes sont tombées et les queues sont tombées) ou (les queues sont tombées et les queues sont tombées) : .
2. Quelles sont les options? Et. Alors:
   Abandonné (et) ou (et) ou (et) : .

Un autre exemple:

Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité que des têtes apparaissent au moins une fois ?

Solution:

Oh, comme je n'ai pas envie de passer par les options... Pile-pile-pile, Aigle-pile-pile,... Mais ce n'est pas nécessaire ! Rappelons la probabilité totale. Vous souvenez-vous? Quelle est la probabilité que l'aigle ne tombera jamais? C’est simple : les têtes volent tout le temps, c’est pour ça.

THÉORIE DES PROBABILITÉS. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La probabilité est le rapport entre le nombre d’événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.

Événements indépendants

Deux événements sont indépendants si la survenance de l’un ne modifie pas la probabilité que l’autre se produise.

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

La probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants est égale au produit des probabilités de chaque événement

Événements incompatibles

Les événements incompatibles sont ceux qui ne peuvent pas se produire simultanément à la suite d'une expérience. Un certain nombre d'événements incompatibles forment un groupe complet d'événements.

Les probabilités d’événements incompatibles s’additionnent.

Après avoir décrit ce qui devrait se passer, en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU », au lieu de « ET » nous mettons un signe de multiplication, et au lieu de « OU » nous mettons un signe d'addition.

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