कक्षा: 2
पाठ का उद्देश्य:
- 2 रेखाओं के समानांतरवाद की अवधारणा बनाएं, समानांतर रेखाओं के पहले संकेत पर विचार करें;
- समस्याओं को हल करने में संकेत को लागू करने की क्षमता विकसित करना।
कार्य:
- शैक्षिक: अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति और समेकन, 2 पंक्तियों के समानांतरवाद की अवधारणा का निर्माण, 2 पंक्तियों के समानांतरवाद के पहले संकेत का प्रमाण।
- शैक्षिक: एक नोटबुक में नोटों को सटीक रूप से रखने की क्षमता विकसित करना और चित्र बनाने के नियमों का पालन करना।
- विकासात्मक कार्य: तार्किक सोच, स्मृति, ध्यान का विकास।
सबक उपकरण:
- मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर;
- स्क्रीन, प्रस्तुतियाँ;
- चित्रकारी के औज़ार।
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण।
नमस्ते, पाठ के लिए तत्परता की जाँच करना।
द्वितीय. सक्रिय यूपीडी की तैयारी।
प्रथम चरण।
ज्यामिति के पहले पाठ में, हमने समतल पर 2 रेखाओं की सापेक्ष स्थिति पर विचार किया।
प्रश्न।दो रेखाओं में कितने उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं?
उत्तर।दो रेखाओं में या तो एक उभयनिष्ठ बिंदु हो सकता है, या एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकते हैं।
प्रश्न।यदि दो रेखाएँ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु पर हों तो वे एक दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित होंगी?
उत्तर।यदि रेखाओं में एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो वे प्रतिच्छेद करती हैं
प्रश्न।यदि उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं तो 2 रेखाएँ एक दूसरे के सापेक्ष कैसे स्थित हैं?
उत्तर।इस मामले में, रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
चरण 2।
पिछले पाठ में, आपको एक प्रस्तुतिकरण बनाने का कार्य दिया गया था जहाँ हम अपने जीवन और प्रकृति में अप्रतिच्छेदी रेखाओं से मिलते हैं। अब हम इन प्रस्तुतियों को देखेंगे और उनमें से सर्वश्रेष्ठ का चयन करेंगे। (जूरी में ऐसे छात्र शामिल थे, जिन्हें कम बुद्धि के कारण अपनी प्रस्तुतियाँ बनाने में कठिनाई होती है।)
छात्रों द्वारा की गई प्रस्तुतियों को देखना: "प्रकृति और जीवन में रेखाओं की समानता", और उनमें से सर्वश्रेष्ठ का चयन करना।
III. सक्रिय UPD (नई सामग्री की व्याख्या)।
प्रथम चरण।
चित्र 1
परिभाषा।समतल में दो रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, समानांतर कहलाती हैं।
यह तालिका एक समतल पर 2 समानांतर रेखाओं को व्यवस्थित करने के विभिन्न मामलों को दर्शाती है।
विचार करें कि कौन से खंड समानांतर होंगे।
चित्र 2
1) यदि रेखा a, b के समानांतर है, तो खंड AB और CD भी समानांतर हैं।
2) एक रेखाखंड एक सीधी रेखा के समानांतर हो सकता है। अतः खंड MN रेखा a के समानांतर है।
चित्र तीन
3) खंड AB किरण h के समानांतर है। किरण h, किरण k के समांतर है।
4) यदि रेखा a, रेखा c के लंबवत है, और रेखा b, रेखा c पर लंबवत है, तो रेखाएं a और b समानांतर हैं।
चरण 2।
दो समानांतर रेखाओं और एक तिर्यक रेखा से बने कोण।
चित्र 4
दो समानांतर रेखाएँ एक तीसरी रेखा को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, आठ कोनों का निर्माण होता है, जो आंकड़े में संख्याओं द्वारा दर्शाया गया है।
इन कोणों के कुछ युग्मों के विशेष नाम होते हैं (देखिए आकृति 4)।
मौजूद तीन चिन्ह, दो रेखाओं की समानताइन कोणों से जुड़ा हुआ है। इस पाठ में, हम देखेंगे पहला संकेत.
चरण 3.
आइए हम इस विशेषता को सिद्ध करने के लिए आवश्यक सामग्री को दोहराएं।
चित्र 5
प्रश्न।चित्र 5 में दिखाए गए कोनों के नाम क्या हैं?
उत्तर।कोण AOC और COB आसन्न कहलाते हैं।
प्रश्न।किन कोणों को आसन्न कहा जाता है? एक परिभाषा दीजिए।
उत्तर।दो कोण आसन्न कहलाते हैं यदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ हो और अन्य दो एक दूसरे के विस्तार हों।
प्रश्न।आसन्न कोणों के गुण क्या हैं?
उत्तर।आसन्न कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं।
एओसी + सीओबी = 180°
प्रश्न।कोण 1 और 2 को क्या कहते हैं?
उत्तर।कोण 1 और 2 लंबवत कहलाते हैं।
प्रश्न।ऊर्ध्वाधर कोणों के गुण क्या हैं?
उत्तर।ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
चरण 4.
समानता के पहले संकेत का प्रमाण।
प्रमेय।यदि एक तिर्यक रेखा द्वारा दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर, कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
चित्र 6
दिया गया:ए और बी सीधे हैं
एबी - सेकंड
1 =
2
साबित करें:ए // बी।
पहला मामला।
चित्र 7
यदि 1 और 2 सीधी रेखाएँ हैं, तो a AB पर लंबवत है, और b AB पर लंबवत है, तो a//b।
दूसरा मामला।
आंकड़ा 8
उस स्थिति पर विचार करें जब 1 और 2 सीधी रेखाएँ नहीं हैं। हम खंड AB को बिंदु O से आधे में विभाजित करते हैं।
प्रश्न। AO और OB खंडों की लंबाई क्या होगी?
उत्तर।खंड AO और OB लंबाई में बराबर हैं।
1) बिंदु O से हम रेखा a पर एक लंब खींचते हैं, OH, a पर लंबवत है।
प्रश्न।कोण 3 क्या होगा?
उत्तर।कॉर्नर 3 सही रहेगा।
2) बिंदु A से सीधी रेखा b पर, हम खंड AH 1 = BH को कम्पास के साथ अलग रखते हैं।
3) आइए एक खंड OH 1 खींचते हैं।
प्रश्न।प्रमाण के परिणामस्वरूप कौन से त्रिभुज बने?
उत्तर।त्रिभुज ओएनवी और त्रिभुज ओएच 1 ए।
आइए साबित करें कि वे बराबर हैं।
प्रश्न।प्रमेय की परिकल्पना के अनुसार कौन से कोण समान हैं?
उत्तर।कोण 1 कोण 2 के बराबर है।
प्रश्न।निर्माण में कौन से पक्ष समान हैं।
उत्तर।एओ = ओबी और एएन 1 = वीएन
प्रश्न।त्रिभुज किस आधार पर सर्वांगसम होते हैं?
उत्तर।त्रिभुज दो भुजाओं में बराबर होते हैं और उनके बीच का कोण (त्रिभुजों की समानता का पहला चिन्ह)।
प्रश्न।सर्वांगसम त्रिभुजों में क्या गुण होते हैं?
उत्तर।समान त्रिभुजों में समान भुजाओं के विपरीत समान कोण होते हैं।
प्रश्न।कौन से कोण बराबर होंगे?
उत्तर।
5 =
6,
3 =
4.
प्रश्न। 5 और 6 किसे कहते हैं?
उत्तर।इन कोणों को लंबवत कहा जाता है।
इससे यह निम्नानुसार है कि बिंदु: एच 1, ओ, एच एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।
चूंकि 3 सीधा है, और 3 = 4 है, तो 4 सीधा है।
प्रश्न।यदि कोण 3 और 4 सही हैं, तो रेखा HH 1 के सन्दर्भ में रेखाएँ a और b किस प्रकार स्थित हैं?
उत्तर।रेखाएँ a और b HH 1 पर लंबवत हैं।
प्रश्न।एक सीधी रेखा पर दो लंबों के बारे में हम क्या कह सकते हैं?
उत्तर।एक रेखा के दो लंबवत समानांतर हैं।
तो ए//बी। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
अब मैं शुरू से ही सारे सबूत दोहराऊंगा, और तुम मेरी बात ध्यान से सुनोगे और याद रखने वाली हर बात को समझने की कोशिश करोगे।
चतुर्थ। नई सामग्री का समेकन।
विभिन्न स्तरों की बुद्धिमत्ता वाले समूहों में काम करें, इसके बाद स्क्रीन और बोर्ड पर जाँच करें। 3 छात्र ब्लैकबोर्ड पर काम करते हैं (प्रत्येक समूह से एक)।
№1 (बौद्धिक विकास के निम्न स्तर वाले छात्रों के लिए)।
दिया गया:ए और बी सीधे हैं
सी - secant
1 = 37°
7 = 143°
साबित करें:ए // बी।
समाधान।
7 = 6 (ऊर्ध्वाधर) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (आसन्न) 4 =180° - 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 °, और वे क्रॉसवाइज a//b 5 \u003d 48 °, 3 और 5 क्रॉस-झूठ वाले कोण हैं, वे a//b के बराबर हैं।
चित्र 11
वी। पाठ का सारांश।
पाठ का परिणाम 1-8 के आंकड़ों का उपयोग करके किया जाता है।
पाठ में छात्रों की गतिविधि का आकलन किया जाता है (प्रत्येक छात्र को एक उपयुक्त इमोटिकॉन प्राप्त होता है)।
होम वर्क:सिखाना - पीपी। 52-53; हल संख्या 186 (बी, सी)।
समानांतर रेखाएं। समानांतर रेखाओं के गुण और चिन्ह1. समानांतर का स्वयंसिद्ध। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से, दिए गए एक के समानांतर अधिक से अधिक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
2. यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के समानांतर हों, तो वे एक दूसरे के समानांतर होती हैं।
3. एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं।
4. यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिहाई काट दिया जाए, तो एक ही समय में बने आंतरिक अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं; संगत कोण बराबर हैं; आंतरिक एक तरफा कोण 180° तक जोड़ते हैं।
5. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर तीसरी रेखा समान आंतरिक अनुप्रस्थ कोण बनाती है, तो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं।
6. यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर तीसरा समान कोण बनाता है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
7. यदि तीसरी की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180° हो, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
थेल्स प्रमेय. यदि कोण के एक तरफ समान खंड रखे जाते हैं और कोण के दूसरे पक्ष को प्रतिच्छेद करते हुए उनके सिरों से समानांतर सीधी रेखाएं खींची जाती हैं, तो कोण के दूसरे पक्ष पर भी समान खंड जमा किए जाएंगे।
आनुपातिक खंडों पर प्रमेय. कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समांतर सीधी रेखाएँ उन पर समानुपाती खंडों को काटती हैं।
त्रिभुज। त्रिभुजों की समानता के लक्षण.
1. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
2. यदि एक त्रिभुज की भुजा और उसके निकट के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
3. यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण
1. दो पैरों पर।
2. पैर और कर्ण के साथ।
3. कर्ण और न्यून कोण से।
4. पैर और एक न्यून कोण के साथ।
त्रिभुज के कोणों के योग और उसके परिणामों पर प्रमेय
1. त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है।
2. किसी त्रिभुज का बाह्य कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो उससे सटे नहीं होते हैं।
3. एक उत्तल n-gon के अंतः कोणों का योग होता है
4. एक गैगोन के बाह्य कोणों का योग 360° होता है।
5. परस्पर लंबवत भुजाओं वाले कोण बराबर होते हैं यदि वे दोनों न्यूनकोण हों या दोनों अधिक कोण हों।
6. आसन्न कोणों के समद्विभाजक के बीच का कोण 90° है।
7. समांतर रेखाओं वाले आंतरिक एकतरफा कोणों के समद्विभाजक और एक छेदक लंबवत होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के मुख्य गुण और चिन्ह
1. एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर होते हैं।
2. यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।
3. एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर खींची गई माध्यिका, समद्विभाजक और ऊँचाई समान होती है।
4. यदि त्रिक - माध्यिका, समद्विभाजक, ऊँचाई - से खंडों का कोई युग्म किसी त्रिभुज में संपाती हो, तो वह समद्विबाहु होता है।
त्रिभुज असमानता और उसके परिणाम
1. किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग उसकी तीसरी भुजा से अधिक होता है।
2. टूटी हुई रेखा की कड़ियों का योग शुरुआत को जोड़ने वाले खंड से अधिक होता है
आखिरी के अंत के साथ पहला लिंक।
3. त्रिभुज के बड़े कोण के सम्मुख बड़ी भुजा होती है।
4. त्रिभुज की बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण होता है।
5. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण पैर से बड़ा होता है।
6. यदि एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर लंब और झुके हुए खींचे जाते हैं, तो
1) लंबवत झुकाव वाले से छोटा है;
2) एक बड़ा ढलान एक बड़े प्रक्षेपण से मेल खाता है और इसके विपरीत।
त्रिभुज की मध्य रेखा।
त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को त्रिभुज की मध्य रेखा कहते हैं।
त्रिभुज मध्य रेखा प्रमेय.
त्रिभुज की माध्यिका रेखा त्रिभुज की भुजा के समांतर होती है और उसके आधे के बराबर होती है।
त्रिभुज माध्यिका प्रमेय
1. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इसे ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती हैं।
2. यदि किसी त्रिभुज की माध्यिका उस भुजा के आधे के बराबर हो जिससे वह खींचा गया है, तो त्रिभुज समकोण होता है।
3. समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।
त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजकों का गुण. त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत द्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का केंद्र है।
त्रिभुज ऊंचाई प्रमेय. त्रिभुज की ऊँचाई वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
त्रिभुज द्विभाजक प्रमेय. त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है।
त्रिभुज का समद्विभाजक गुण. एक त्रिभुज का समद्विभाजक अपनी भुजा को अन्य दो भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है।
त्रिभुजों की समानता के लक्षण
1. यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे के दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
2. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमशः दूसरे की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच बने कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
3. यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल
1. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
2. यदि दो त्रिभुजों के कोण समान हैं, तो उनके क्षेत्रफल इन कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित हैं।
एक समकोण त्रिभुज में
1. एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के गुणनफल और विपरीत की ज्या या इस पैर से सटे न्यून कोण की कोज्या के बराबर होता है।
2. एक समकोण त्रिभुज का पैर दूसरे पैर के बराबर होता है, जो इस पैर से सटे न्यूनकोण के विपरीत या स्पर्शरेखा की स्पर्शरेखा से गुणा होता है।
3. एक समकोण त्रिभुज की टांग 30° के कोण के सम्मुख पड़ी हुई है, जो कर्ण के आधे के बराबर है।
4. यदि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के आधे के बराबर है, तो इस पैर के सामने का कोण 30° है।
5. आर =; जी \u003d, जहां ए, बी पैर हैं, और सी एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है; r और R क्रमशः उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
1. एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग टांगों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
2. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग उसकी अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज समकोण होता है।
एक समकोण त्रिभुज में माध्य आनुपातिक।
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, जो समकोण के शीर्ष से खींची गई है, कर्ण पर टाँगों के अनुमानों का औसत आनुपातिक है, और प्रत्येक पैर कर्ण का औसत आनुपातिक है और कर्ण पर इसका प्रक्षेपण है।
त्रिभुज में मीट्रिक अनुपात
1. कोज्या का प्रमेय। एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, उन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण के कोज्या से दोगुना किए बिना।
2. कोज्या प्रमेय से परिणाम। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
3. त्रिभुज की माध्यिका का सूत्र। यदि m भुजा c की ओर खींचे गए त्रिभुज की माध्यिका है, तो m = 
जहाँ a और b त्रिभुज की शेष भुजाएँ हैं।
4. ज्या प्रमेय। त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं।
5. सामान्यीकृत साइन प्रमेय। त्रिभुज की एक भुजा का सम्मुख कोण की ज्या से अनुपात त्रिभुज के परिगत वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
त्रिभुज क्षेत्र सूत्र
1. त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा होता है।
2. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।
3. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके अर्धपरिमापी के गुणनफल और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।
4. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है जो परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के चार गुना से विभाजित होता है।
5. हीरोन का सूत्र: S=, जहाँ p अर्धपरिमापी है; ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाएँ।
एक समबाहु त्रिभुज के तत्व. मान लीजिए h, S, r, R भुजा a के साथ एक समबाहु त्रिभुज के उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की ऊँचाई, क्षेत्रफल, त्रिज्या है। फिर
चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज। एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं।
समांतर चतुर्भुज के गुण और विशेषताएं.
1. विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो बराबर त्रिभुजों में विभाजित करता है।
2. एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ युग्मों में बराबर होती हैं।
3. एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण युग्मों में बराबर होते हैं।
4. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।
5. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ युग्मों में बराबर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
6. यदि किसी चतुर्भुज की दो सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
7. यदि किसी चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेद बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
एक चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं का गुणधर्म. किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु उस समांतर चतुर्भुज के शीर्ष होते हैं जिसका क्षेत्रफल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
आयत।एक आयत एक समकोण के साथ एक समांतर चतुर्भुज है।
एक आयत के गुण और चिन्ह।
1. एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
2. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो यह समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।
वर्ग।वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
समचतुर्भुज।एक समचतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
एक समचतुर्भुज के गुण और चिन्ह।
1. समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं।
2. एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोनों को समद्विभाजित करते हैं।
3. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैं, तो यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
4. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों को आधे में विभाजित करते हैं, तो यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।
ट्रेपेज़।एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें केवल दो विपरीत पक्ष (आधार) समानांतर होते हैं। एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा गैर-समानांतर पक्षों (पार्श्व पक्षों) के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।
1. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके आधे योग के बराबर होती है।
2. समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के आधे-अंतर के बराबर होता है।
एक समलम्ब चतुर्भुज की उल्लेखनीय संपत्ति. समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, भुजाओं के विस्तारों का प्रतिच्छेदन बिंदु और आधारों के मध्य बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।
समद्विबाहु समलम्ब. एक समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है यदि इसकी भुजाएँ समान हों।
एक समद्विबाहु समलम्ब के गुण और लक्षण।
1. एक समद्विबाहु समलंब के आधार पर कोण बराबर होते हैं।
2. एक समद्विबाहु समलंब के विकर्ण बराबर होते हैं।
3. यदि समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण बराबर हैं, तो वह समद्विबाहु है।
4. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।
5. आधार पर समद्विबाहु समलम्बाकार के पार्श्व पक्ष का प्रक्षेपण आधारों के आधे-अंतर के बराबर है, और विकर्ण का प्रक्षेपण आधारों के योग का आधा है।
चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र
1. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
2. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।
3. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी दो आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है।
4. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
5. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।
6. एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।
7. एक चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है:
S \u003d, जहाँ a, b, c, d इस चतुर्भुज की भुजाएँ हैं, p अर्ध-परिधि है, और S क्षेत्रफल है।
इसी तरह के आंकड़े
1. समान आकृतियों के संगत रैखिक तत्वों का अनुपात समरूपता गुणांक के बराबर होता है।
2. समरूप आकृतियों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।
नियमित बहुभुज.
मान लीजिए कि n एक नियमित n-गॉन की भुजा है, और r n और R n उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। फिर
वृत्त।
एक वृत्त एक समतल में बिंदुओं का स्थान है जो किसी दिए गए बिंदु से समान धनात्मक दूरी पर होता है, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है।
वृत्त के मूल गुण
1. जीवा के लंबवत व्यास जीवा को विभाजित करता है और चापों को आधे में घटाता है।
2. एक जीवा के मध्य से गुजरने वाला व्यास, जो व्यास नहीं है, उस जीवा के लंबवत होता है।
3. जीवा पर लंबवत माध्यिका वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
4. समान जीवाओं को वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर हटा दिया जाता है।
5. एक वृत्त की जीवाएँ जो केंद्र से समान दूरी पर होती हैं, बराबर होती हैं।
6. वृत्त अपने किसी भी व्यास के संबंध में सममित है।
7. समांतर जीवाओं के बीच घिरे वृत्त के चाप बराबर होते हैं।
8. दो जीवाओं में से जो केंद्र से कम दूर है वह बड़ी है।
9. व्यास एक वृत्त की सबसे बड़ी जीवा है।
वृत्त की स्पर्श रेखा. वह रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है।
1. स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या पर लंबवत होती है।
2. यदि वृत्त पर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत है, तो रेखा a वृत्त की स्पर्श रेखा है।
3. यदि बिंदु M से होकर जाने वाली रेखाएँ वृत्त को बिंदु A और B पर स्पर्श करती हैं, तो MA = MB और ﮮAMO = ZBMO, जहाँ बिंदु O वृत्त का केंद्र है।
4. एक कोण में अंकित वृत्त का केंद्र इस कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
स्पर्शरेखा वृत्त. दो वृत्तों को स्पर्श करने के लिए कहा जाता है यदि उनका एक ही उभयनिष्ठ बिंदु (स्पर्शरेखा बिंदु) हो।
1. दो वृत्तों का संपर्क बिंदु उनकी केंद्र रेखा पर स्थित होता है।
2. त्रिज्या r और R के केंद्र O 1 और O 2 के साथ बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं यदि और केवल यदि R + r \u003d O 1 O 2।
3. त्रिज्या r और R के वृत्त (r
4. केंद्र O 1 और O 2 वाले वृत्त बिंदु K पर बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं। कुछ सीधी रेखा इन वृत्तों को विभिन्न बिंदुओं A और B पर स्पर्श करती है और बिंदु K से बिंदु C पर गुजरने वाली एक सामान्य स्पर्शरेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है। फिर ﮮAK B \u003d 90 ° और O 1 CO 2 \u003d 90 °।
5. त्रिज्या r और R के दो स्पर्शरेखा वृत्तों के उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्शरेखा का खंड उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्शरेखाओं के बीच संलग्न उभयनिष्ठ आंतरिक स्पर्शरेखा के खंड के बराबर होता है। ये दोनों खंड बराबर हैं।
वृत्त से जुड़े कोण
1. किसी वृत्त के चाप का मान उस पर आधारित केंद्रीय कोण के मान के बराबर होता है।
2. एक खुदा हुआ कोण उस चाप के कोणीय परिमाण के आधे के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है।
3. एक ही चाप पर आधारित उत्कीर्ण कोण बराबर होते हैं।
4. प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं के बीच का कोण जीवाओं द्वारा काटे गए विपरीत चापों के योग के आधे के बराबर होता है।
5. वृत्त के बाहर प्रतिच्छेद करने वाले दो छेदकों के बीच का कोण वृत्त पर छेदकों द्वारा काटे गए चापों के आधे अंतर के बराबर होता है।
6. संपर्क बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण इस जीवा द्वारा वृत्त पर काटे गए चाप के कोणीय मान के आधे के बराबर होता है।
वृत्त जीवाओं के गुण
1. दो प्रतिच्छेद करने वाले वृत्तों के केंद्रों की रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा के लंबवत होती है।
2. बिंदु E पर प्रतिच्छेद करने वाले वृत्त की जीवाओं AB और CD के खंडों की लंबाई के गुणनफल समान हैं, अर्थात् AE EB \u003d CE ED।
अंकित और परिचालित मंडलियां
1. एक नियमित त्रिभुज के उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं।
2. एक समकोण त्रिभुज के परिगत एक वृत्त का केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु होता है।
3. यदि किसी वृत्त को किसी चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।
4. यदि एक वृत्त में एक चतुर्भुज को अंकित किया जा सकता है, तो उसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
5. यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° है, तो उसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है।
6. यदि एक वृत्त को समलम्बाकार में अंकित किया जा सकता है, तो समलम्ब चतुर्भुज का पार्श्व भाग वृत्त के केंद्र से समकोण पर दिखाई देता है।
7. यदि एक वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो वृत्त की त्रिज्या उन खंडों का औसत समानुपाती होती है जिनमें स्पर्शरेखा बिंदु पार्श्व भुजा को विभाजित करता है।
8. यदि एक वृत्त को बहुभुज में अंकित किया जा सकता है, तो इसका क्षेत्रफल बहुभुज के अर्धपरिमाप और इस वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर होता है।
टेंगेंट और सेकेंट प्रमेय और उसके परिणाम
1. यदि एक बिंदु से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है, तो उसके बाहरी भाग से संपूर्ण छेदक का गुणनफल स्पर्शरेखा के वर्ग के बराबर होता है.
2. किसी दिए गए बिंदु और दिए गए वृत्त के लिए उसके बाहरी भाग द्वारा संपूर्ण छेदक का गुणनफल स्थिर होता है।
त्रिज्या R वाले एक वृत्त की परिधि C= 2πR . है
अबतथा साथडीतीसरी पंक्ति द्वारा पार किया गया एम.एन., तो इस मामले में बनने वाले कोणों को जोड़े में निम्नलिखित नाम मिलते हैं:सभी तरीके से: 1 और 5, 4 और 8, 2 और 6, 3 और 7;
आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोने: 3 और 5, 4 और 6;
बाहरी क्रॉस-झूठ वाले कोने: 1 और 7, 2 और 8;
आंतरिक एक तरफा कोने: 3 और 6, 4 और 5;
बाहरी एक तरफा कोने: 1 और 8, 2 और 7.
तो, 2 = 4 और 8 = ∠ 6, लेकिन सिद्ध द्वारा ∠ 4 = 6।
इसलिए, 2 = 8.
3. संबंधित कोण 2 और 6 समान हैं, क्योंकि 2 = 4, और 4 = 6. हम यह भी सुनिश्चित करते हैं कि अन्य संगत कोण बराबर हों।
4. योग आंतरिक एक तरफा कोने 3 और 6 2d होंगे क्योंकि योग आसन्न कोने 3 और 4 2d = 180 0 के बराबर है, और 4 को समान 6 से बदला जा सकता है। यह भी सुनिश्चित करें कि कोणों का योग 4 और 5 2d के बराबर है।
5. योग बाहरी एक तरफा कोने 2d होगा क्योंकि ये कोण क्रमशः बराबर हैं आंतरिक एक तरफा कोनेकोनों की तरह खड़ा.
ऊपर सिद्ध किए गए औचित्य से, हम प्राप्त करते हैं उलटा प्रमेय।
जब, एक मनमाना तीसरी रेखा की दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन पर, हम प्राप्त करते हैं:
1. आंतरिक क्रॉस झूठ कोण समान हैं;
या 2.बाहरी क्रॉस झूठ कोण समान हैं;
या 3.संगत कोण समान हैं;
या 4.आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 2d = 180 0 के बराबर होता है;
या 5.बाहरी एक तरफा का योग 2d = 180 0 . है ,
तो पहली दो पंक्तियाँ समानांतर हैं।
वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, चाहे वे कितने भी समय तक जारी रहें। लिखित रूप में पंक्तियों की समानता इस प्रकार इंगित की गई है: अब|| साथइ
ऐसी रेखाओं के अस्तित्व की संभावना एक प्रमेय से सिद्ध होती है।
प्रमेय।
दी गई रेखा के बाहर किसी भी बिंदु के माध्यम से, कोई इस रेखा के समानांतर खींच सकता है।.
होने देना अबयह पंक्ति और साथइसके बाहर लिया गया कुछ बिंदु। यह साबित करना आवश्यक है कि साथआप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं समानांतरअब. चलो चलते हैं अबएक बिंदु से साथ सीधासाथडीऔर फिर हम करेंगे साथइ^ साथडी, क्या संभव है। सीधा सीईसमानांतर अब.
उपपत्ति के लिए, हम इसके विपरीत मान लेते हैं, अर्थात् सीईकाटती है अबकिन्हीं बिंदुओं पर एम. फिर बिंदु से एमएक सीधी रेखा के लिए साथडीहमारे पास दो अलग-अलग लंबवत होंगे एमडीतथा एमएस, जो असंभव है। माध्यम, सीईके साथ प्रतिच्छेद नहीं कर सकता अब, अर्थात। साथइसमानांतर अब.
परिणाम।
दो लंबवत (सीइतथाडी.बी.) एक सीधी रेखा (С .) के लिएडी) समानांतर हैं।
समानांतर रेखाओं का अभिगृहीत।
एक ही बिंदु के माध्यम से एक ही रेखा के समानांतर दो अलग-अलग रेखाएँ खींचना असंभव है।
तो अगर एक सीधी रेखा साथडी, बिंदु के माध्यम से खींचा गया साथएक सीधी रेखा के समानांतर अब, फिर कोई अन्य पंक्ति साथइएक ही बिंदु के माध्यम से साथ, समानांतर नहीं हो सकता अब, अर्थात। वह जारी है एक दूसरे को काटनासाथ अब.
इसका प्रमाण बिल्कुल स्पष्ट सत्य नहीं है, असंभव हो जाता है। इसे बिना प्रमाण के एक आवश्यक धारणा (पोस्टुलेटम) के रूप में स्वीकार किया जाता है।
परिणाम।
1. अगर सीधा(साथइ) इनमें से किसी एक के साथ प्रतिच्छेद करता है समानांतर(दप), तो यह दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करता है ( अब), क्योंकि अन्यथा एक ही बिंदु के माध्यम से साथदो अलग-अलग सीधी रेखाएं, समानांतर अब, जो असंभव है।
2. यदि दोनों में से प्रत्येक सीधे (एतथाबी) एक ही तीसरी पंक्ति के समानांतर हैं ( साथ) , तब वे समानांतर हैंआपस में।
दरअसल, अगर हम यह मान लें कि एतथा बीकिसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करना एम, तो दो अलग-अलग सीधी रेखाएँ, एक दूसरे के समानांतर, इस बिंदु से गुज़रेंगी। साथ, जो असंभव है।
प्रमेय.
अगर सीधी रेखा लंबवत हैसमांतर रेखाओं में से एक के लिए, तो यह दूसरी के लंबवत है समानांतर.
होने देना अब || साथडीतथा एफई ^ अब.यह साबित करना आवश्यक है कि एफई ^ साथडी.
सीधाइएफ, के साथ प्रतिच्छेद करना अब, निश्चित रूप से प्रतिच्छेद करेगा और साथडी. माना प्रतिच्छेदन बिंदु एच.
मान लीजिए कि अब साथडीलंबवत नहीं एह. फिर कुछ अन्य पंक्ति, उदाहरण के लिए एच, के लंबवत होगा एहऔर इसलिए एक ही बिंदु के माध्यम से एचदो सीधे समानांतर अब: एक साथडी, शर्त के अनुसार, और अन्य एचजैसा कि पहले सिद्ध हो चुका है। चूंकि यह असंभव है, इसलिए यह नहीं माना जा सकता कि दपलंबवत नहीं था एह.
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