სექციები: მათემატიკა

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: ექსპონენციალური განტოლებების სისტემების ამოხსნის სწავლება; ამ სისტემებში შემავალი განტოლებების ამოხსნის უნარების კონსოლიდაცია

საგანმანათლებლო: სისუფთავის აღზრდა.

განვითარება: წერისა და მეტყველების კულტურის განვითარება.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი; მულტიმედიური პროექტორი.

გაკვეთილების დროს

ორგანიზების დრო

მასწავლებელი. დღეს ჩვენ გავაგრძელებთ ექსპონენციალური ფუნქციის თავის შესწავლას. გაკვეთილის თემას ცოტა მოგვიანებით ჩამოვაყალიბებთ. გაკვეთილის განმავლობაში თქვენ შეავსებთ პასუხების ფორმებს, რომლებიც თქვენს ცხრილებზეა ( სმ. დანართი No1 ). პასუხები შეჯამდება.

ცოდნის განახლება.

მოსწავლეები პასუხობენ კითხვებს:

• რა ფორმა აქვს ექსპონენციალურ ფუნქციას?

ზეპირი სამუშაო. იმუშავეთ სლაიდებზე 1-დან 5-მდე.

• რომელ განტოლებას ეწოდება ექსპონენციალური?
• გადაწყვეტის რა მეთოდები იცით?

ზეპირი მუშაობა სლაიდებზე 6-დან 10-მდე.

• ექსპონენციალური ფუნქციის რა თვისებაა გამოყენებული ექსპონენციალური უტოლობის ამოსახსნელად?

ზეპირი მუშაობა სლაიდებზე 11-დან 15-მდე.

ვარჯიში. ჩაწერეთ ამ კითხვებზე პასუხები პასუხის ფორმაში #1. ( სმ. დანართი No1 ). (სლაიდები 16-დან 31-მდე)

საშინაო დავალების შემოწმება

.

ჩვენ ვამოწმებთ საშინაო დავალებას შემდეგნაირად.

შეცვალეთ განტოლებების ფესვები შესაბამისი ასოთი და გამოიცანი სიტყვა.

სტუდენტები ათვალიერებენ პასუხის ფორმას # 2 ( დანართი 1) ... მასწავლებელი აჩვენებს სლაიდ ნომერს 33

(მოსწავლეები ასახელებენ სიტყვას (სლაიდი 34)).

• რა ფენომენები მიმდინარეობს ამ ფუნქციის კანონების მიხედვით?

მოსწავლეები მოწვეულნი არიან ამოხსნან ამოცანები გამოცდიდან B12 (სლაიდი 35) და ჩაწერონ ამოხსნა პასუხი ფორმაში No3 ( დანართი 1).

საშინაო დავალების შემოწმებისა და B12 ამოცანის ამოხსნისას გავიმეორებთ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდებს.

მოსწავლეები აღმოაჩენენ, რომ განტოლების ორ ცვლადში ამოხსნას სხვა განტოლება სჭირდება.

შემდეგ ჩამოყალიბებულია გაკვეთილის თემა (სლაიდი ნომერი 37).

სისტემა ჩაწერილია ნოუთბუქებში (სლაიდი ნომერი 38).

ამ სისტემის გადასაჭრელად ვიმეორებთ ჩანაცვლების მეთოდს (სლაიდი 39).

დამატების მეთოდი მეორდება სისტემის ამოხსნისას (სლაიდი 38-დან 39-მდე).

შესწავლილი მასალის პირველადი კონსოლიდაცია

:

მოსწავლეები დამოუკიდებლად ხსნიან განტოლებათა სისტემებს პასუხების ფორმებში No4 ( დანართი 1 ), მასწავლებლისგან ინდივიდუალური რჩევის მიღება.

შეჯამება. ანარეკლი.

განაგრძეთ ფრაზები.

• დღეს გაკვეთილზე გავიმეორე ...
• დღეს გაკვეთილზე დავაფიქსირე ...
• დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე ...
• დღეს გაკვეთილზე ვისწავლე ...

გაკვეთილის ბოლოს მოსწავლეები იწერენ საშინაო დავალებას, გადასცემენ პასუხების ფურცლებს

საშინაო დავალება:

No59 (ლუწი) და No62 (თუნდაც).

ლიტერატურა

1. ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო ჯგუფის ყველა დავალება 3000 პრობლემა - გამომცემლობა "გამოცდა" მოსკოვი, 2011 წ. რედაქტორი ა.ლ. სემენოვა, ი.ვ. იაშჩენკო.
2. ს.ა. შესტაკოვი, პ.ი. ზახაროვი EGE 2010 მათემატიკის პრობლემა C1 რედაქტირებულია A.L. სემენოვა, ი.ვ. იაშჩენკო მოსკოვის გამომცემლობა "MCNMO".
3. სამეურვეო ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი, კლასი 10 Yu.M. Kolyagin მოსკოვი "განათლება", 2008 წ.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „ექსპონენციალური განტოლებები და ექსპონენციალური უტოლობა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-11 კლასისთვის
ინტერაქტიული გაკვეთილი 9-11 კლასებისთვის "ტრიგონომეტრია"
ინტერაქტიული გაკვეთილი 10-11 კლასებისთვის "ლოგარითმები"

ექსპონენციალური განტოლებების განსაზღვრა

ბიჭებო, ჩვენ შევისწავლეთ ექსპონენციალური ფუნქციები, ვისწავლეთ მათი თვისებები და ავაშენეთ გრაფიკები, გავაანალიზეთ განტოლებების მაგალითები, რომლებშიც შეგვხვდა ექსპონენციალური ფუნქციები. დღეს ჩვენ შევისწავლით ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობას.

განმარტება. ფორმის განტოლებები: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, სადაც $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ ეწოდება ექსპონენციალურ განტოლებებს.

გავიხსენოთ თეორემები, რომლებიც შევისწავლეთ თემაში „ექსპონენციალური ფუნქცია“, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ახალი თეორემა:
თეორემა. ექსპონენციალური განტოლება $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, სადაც $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $, უდრის $ f (x) = g (x) განტოლებას. ) $.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები

მაგალითი.
განტოლებების ამოხსნა:
ა) $3 ^ (3x-3) = 27 $.
ბ) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
გ) $5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
გამოსავალი.
ა) ჩვენ კარგად ვიცით, რომ $27 = 3 ^ 3 $.
მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
ზემოთ მოყვანილი თეორემის გამოყენებით მივიღებთ, რომ ჩვენი განტოლება მცირდება განტოლებამდე $ 3x-3 = 3 $, ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ $ x = 2 $.
პასუხი: $ x = 2 $.

ბ) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
მაშინ ჩვენი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0.2 = $ 0.2.
$ x = 0 $.
პასუხი: $ x = 0 $.

გ) თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ და $ x_2 = -3 $.
პასუხი: $ x_1 = 6 $ და $ x_2 = -3 $.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) $.
გამოსავალი:
ჩვენ თანმიმდევრულად შევასრულებთ მოქმედებების სერიას და მივყავართ ჩვენი განტოლების ორივე მხარეს იმავე ფუძემდე.
მოდით შევასრულოთ ოპერაციების სერია მარცხენა მხარეს:
1) $ ((0.25)) ^ (x-0.5) = ((\ ფრაკი (1) (4))) ^ (x-0.5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0 , 5)) (4 ^ (\ ფრაკი (1) (2)) = \ ფრაკი (1) (4 ^ (x-0.5 + 0.5)) = \ ფრაკი (1) (4 ^ x) = ((\ ფრაკი (1) (4))) ^ x $.
მოდით გადავიდეთ მარჯვენა მხარეს:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0.0625)) ^ (x + 1) = \ ფრაკი (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ ფრაკი (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) 16 $ * ((0,0625)) ^ (x + 1) = \ ფრაკი (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x) = \ ფრაკი (1) (4 ^ (2x)) = ((\ ფრაკი (1) (4))) ^ (2x) $.
თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
პასუხი: $ x = 0 $.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
გამოსავალი:
მოდით გადავიწეროთ ჩვენი განტოლება: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
მოდით შევცვალოთ ცვლადები, მოდით $ a = 3 ^ x $.
ახალ ცვლადებში განტოლება მიიღებს ფორმას: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ და $ a_2 = 3 $.
მოდით შევასრულოთ ცვლადების საპირისპირო ცვლილება: $ 3 ^ x = -12 $ და $ 3 ^ x = 3 $.
ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ, რომ ექსპონენციალურ გამონათქვამებს შეუძლიათ მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება, დაიმახსოვრე გრაფიკი. აქედან გამომდინარე, პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, მეორე განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი: $ x = 1 $.
პასუხი: $ x = 1 $.

მოდით შევკრიბოთ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის გზების ჩამონათვალი:
1. გრაფიკული მეთოდი.განტოლების ორივე მხარეს წარმოვადგენთ ფუნქციების სახით და ვაშენებთ მათ გრაფიკებს, ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებს. (ეს მეთოდი გამოვიყენეთ ბოლო გაკვეთილზე).
2. ინდიკატორთა თანასწორობის პრინციპი.პრინციპი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი გამონათქვამი ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ფუძეების გრადუსები (ინდიკატორები) ტოლია. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი.ეს მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული, თუ განტოლება, ცვლადების შეცვლისას, ამარტივებს მის ფორმას და ბევრად უფრო ადვილად ამოსახსნელია.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა: $ \ დაწყება (შემთხვევები) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ დასასრული (შემთხვევები) $.
გამოსავალი.
განვიხილოთ სისტემის ორივე განტოლება ცალკე:
27 $ ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
განვიხილოთ მეორე განტოლება:
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
გამოვიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი, დავუშვათ $ y = 2 ^ (x + y) $.
შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას:
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ და $ y_2 = -3 $.
გადავდივართ საწყის ცვლადებზე, პირველი განტოლებიდან ვიღებთ $ x + y = 2 $. მეორე განტოლებას ამონახსნები არ აქვს. მაშინ ჩვენი განტოლებათა საწყისი სისტემა ექვივალენტურია სისტემის: $ \ დასაწყისი (შემთხვევები) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ დასასრული (შემთხვევები) $.
მეორეს გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, მივიღებთ: $ \ დაწყება (შემთხვევები) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ დასასრული (შემთხვევები) $.
$ \ დაწყება (შემთხვევები) y = -1, \\ x = 3. \ დასასრული (შემთხვევები) $.
პასუხი: $ (3; -1) $.

ექსპონენციალური უტოლობები

გადავიდეთ უთანასწორობაზე. უტოლობების ამოხსნისას საჭიროა ყურადღება მიაქციოთ ხარისხის საფუძველს. უთანასწორობის ამოხსნისას მოვლენების განვითარების ორი შესაძლო სცენარი არსებობს.

თეორემა. თუ $ a> 1 $, მაშინ ექსპონენციალური უტოლობა $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ უდრის $ f (x)> g (x) $ უტოლობას.
თუ $0 a ^ (g (x)) $ არის $ f (x) უტოლობის ტოლფასი

მაგალითი.
უტოლობების ამოხსნა:
ა) $3 ^ (2x + 3)> 81 $.
ბ) $ ((\ ფრაკი (1) (4))) ^ (2x-4) გ) $ (0.3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0.3) ^ (4x + 15) $ ...
გამოსავალი.
ა) $3 ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
ჩვენი უტოლობა უდრის უტოლობას:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0,5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) ჩვენს განტოლებაში, ფუძე ნაკლებია 1-ზე , მაშინ უტოლობის ეკვივალენტით ჩანაცვლებისას ნიშანი უნდა შეიცვალოს.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

გ) ჩვენი უტოლობა უდრის უტოლობას:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალის ამოხსნის მეთოდი:
პასუხი: $ (- ∞; -5] U)