მოდით x იყოს თვითნებური წერტილი ყინული ფიქსირებული x 0 წერტილის ზოგიერთ სამეზობლოში. განსხვავება x - x 0 ჩვეულებრივ უწოდებენ დამოუკიდებელი ცვლადის ზრდას (ან არგუმენტის ზრდას) x 0 წერტილში და აღინიშნება Δx-ით. Ამგვარად,

Δx = x –x 0,

საიდანაც გამომდინარეობს, რომ

ფუნქციის ზრდა -განსხვავება ფუნქციის ორ მნიშვნელობას შორის.

დაუშვით ფუნქცია ზე = f (x), განისაზღვრება, როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობა უდრის X 0. მიეცით არგუმენტს ნამატი D X, ᴛ.ᴇ. განიხილეთ არგუმენტის მნიშვნელობა თანაბარი x 0 + დ X... დავუშვათ, რომ ეს არგუმენტის მნიშვნელობა ასევე შედის ამ ფუნქციის ფარგლებში. მაშინ განსხვავება დ წ = f (x 0 + დ X) – f (x 0)ჩვეულებრივ, ფუნქციის ნამატის გამოძახება. ფუნქციის ზრდა ვ(x) წერტილში xარის ფუნქცია, რომელიც ჩვეულებრივ აღინიშნება Δ-ით x ვახალ ცვლადზე Δ xგანსაზღვრული როგორც

Δ x ვ(Δ x) = ვ(x + Δ x) − ვ(x).

იპოვეთ არგუმენტის ზრდა და ფუნქციის ზრდა x 0 წერტილში, თუ

მაგალითი 2. იპოვეთ f (x) = x 2 ფუნქციის ნამატი, თუ x = 1, ∆x = 0.1

ამოხსნა: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

იპოვეთ ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ფუნქციის ნამატის იპოვეთ ∆x + ∆x 2 /

x = 1 და ∆х = 0.1 მნიშვნელობების ჩანაცვლებით, მივიღებთ ∆f = 2 * 1 * 0.1 + (0.1) 2 = 0.2 + 0.01 = 0.21

იპოვეთ არგუმენტის ზრდა და ფუნქციის ზრდა x 0 წერტილში

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0.8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3.8

განმარტება: წარმოებულიფუნქცია წერტილში, ჩვეულებრივად არის გამოძახებული ლიმიტი (თუ ის არსებობს და სასრულია) ფუნქციის ზრდის თანაფარდობის არგუმენტის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ ეს უკანასკნელი მიდრეკილია ნულისკენ.

შემდეგი წარმოებული აღნიშვნები ყველაზე ხშირად გამოიყენება:

Ამგვარად,

წარმოებულის პოვნა ჩვეულებრივ ე.წ დიფერენციაცია ... Გააცნო დიფერენცირებადი ფუნქციის განსაზღვრა: f ფუნქციას, რომელსაც აქვს წარმოებული გარკვეული ინტერვალის თითოეულ წერტილში, ჩვეულებრივ უწოდებენ დიფერენცირებადს მოცემულ ინტერვალზე.

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს წერტილის რომელიმე სამეზობლოში; U(x 0) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

ვ(x 0 + თ) = ვ(x 0) + აჰ + ო(თ)

თუ არსებობს.

ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრა წერტილში.

დაუშვით ფუნქცია f (x)ინტერვალში განსაზღვრული (ა; ბ)და არის ამ ინტერვალის წერტილები.

განმარტება... წარმოებული ფუნქცია f (x)ამ მომენტში, ჩვეულებრივ, ფუნქციის ზრდის შეფარდების ლიმიტს არგუმენტის ზრდას ვუწოდებთ. მითითებულია.

როდესაც ბოლო ზღვარი იღებს კონკრეტულ საბოლოო მნიშვნელობას, მაშინ ისინი საუბრობენ არსებობაზე ბოლო წარმოებული წერტილი... თუ ზღვარი უსასრულოა, მაშინ ისინი ამას ამბობენ წარმოებული უსასრულოა მოცემულ წერტილში... თუ ლიმიტი არ არსებობს, მაშინ ფუნქციის წარმოებული ამ ეტაპზე არ არსებობს.

ფუნქცია f (x)ეწოდება დიფერენცირებადი იმ წერტილში, როდესაც მას აქვს სასრულ წარმოებული.

თუ ფუნქცია f (x)დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალის ყველა წერტილში (ა; ბ), მაშინ ფუნქციას ამ ინტერვალზე დიფერენცირებადი ეწოდება. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ნებისმიერი წერტილი xშორის გარეთ (ა; ბ)ამ ეტაპზე შეგვიძლია დავაკავშიროთ ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა, ანუ გვაქვს შესაძლებლობა განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება ფუნქციის წარმოებული. f (x)ინტერვალზე (ა; ბ).

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას ჩვეულებრივ უწოდებენ დიფერენციაციას.

1. არგუმენტის ზრდა და ფუნქციის ზრდა.

მიეცით ფუნქცია. ავიღოთ არგუმენტის ორი მნიშვნელობა: საწყისი და შეცვლილია, რაც ჩვეულებრივ აღინიშნება
, სად - მნიშვნელობა, რომლითაც არგუმენტი იცვლება პირველი მნიშვნელობიდან მეორეზე გადასვლისას, მას უწოდებენ არგუმენტის გაზრდით.

არგუმენტის მნიშვნელობები და შეესაბამება სპეციფიკური ფუნქციის მნიშვნელობებს: საწყისი და შეცვლილია
, ღირებულება , რომლითაც ფუნქციის მნიშვნელობა იცვლება, როდესაც არგუმენტი იცვლება ოდენობით, ეწოდება ფუნქციის გაზრდით.

2. ფუნქციის ლიმიტის ცნება წერტილში.

ნომერი ფუნქციის ლიმიტი ეწოდება
როცა ზრუნავს თუ რომელიმე ნომრისთვის
არის ასეთი რიცხვი
რომ ყველასთვის
უთანასწორობის დაკმაყოფილება
, უთანასწორობა
.

მეორე განმარტება: რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ლიმიტი, როგორც მიდრეკილი, თუ რომელიმე რიცხვისთვის არის წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ რომელიმე ამ უბნისთვის. აღინიშნება
.

3. უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე ფუნქციები წერტილში. უსასრულოდ მცირე ფუნქცია წერტილში არის ფუნქცია, რომლის ზღვარი, როდესაც ის მიდრეკილია მოცემულ წერტილში, არის ნული. უსასრულოდ დიდი ფუნქცია წერტილში არის ფუნქცია, რომლის ზღვარი, როდესაც ის მიდრეკილია მოცემულ წერტილზე, უსასრულობის ტოლია.

4. ძირითადი თეორემები ლიმიტებისა და მათი შედეგების შესახებ (დამტკიცების გარეშე).

შედეგი: მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ზღვრული ნიშნიდან:

თუ მიმდევრობები და კონვერტაცია და მიმდევრობის ზღვარი არ არის ნულოვანი, მაშინ

შედეგი: მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ზღვრული ნიშნიდან.

11.თუ არსებობს ფუნქციების საზღვრები
და
და ფუნქციის ზღვარი არ არის ნულოვანი,

მაშინ ასევე არსებობს მათი თანაფარდობის ზღვარი, ტოლია ფუნქციების საზღვრების თანაფარდობისა და:

.

12.თუ
, მაშინ
, პირიქითაც მართალია.

13. თეორემა შუალედური მიმდევრობის ზღვარზე. თუ მიმდევრობები
თანხვედრა და
და
მაშინ

5. ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში.

რიცხვს a ეწოდება ფუნქციის ზღვარი უსასრულობაში (როგორც x მიისწრაფვის უსასრულობისკენ), თუ უსასრულობისკენ მიდრეკილი ნებისმიერი მიმდევრობისთვის
შეესაბამება რიცხვისადმი მიდრეკილი მნიშვნელობების თანმიმდევრობას ა.

6. g არის რიცხვითი მიმდევრობის საზღვრები.

ნომერი აეწოდება რიცხვითი მიმდევრობის ზღვარი, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის არის ნატურალური რიცხვი N ისეთი, რომ ყველასთვის ნ> ნუთანასწორობა მოქმედებს
.

ეს სიმბოლურად განისაზღვრება შემდეგნაირად:
სამართლიანი.

ის ფაქტი, რომ ნომერი აარის თანმიმდევრობის ლიმიტი, რომელიც აღინიშნება შემდეგნაირად:

.

7. ნომერი „ე“. ბუნებრივი ლოგარითმები.

ნომერი "E" წარმოადგენს რიცხვთა მიმდევრობის ზღვარს, ნ- რომლის წევრი
, ე.ი.

.

ბუნებრივი ლოგარითმი - ლოგარითმი ფუძით ე. აღინიშნება ბუნებრივი ლოგარითმები
საფუძვლის დაზუსტების გარეშე.

ნომერი
საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ათობითიდან ბუნებრივ ლოგარითმზე და უკან.

, მას უწოდებენ ბუნებრივი ლოგარითმებიდან ათწილადზე გადასვლის მოდულს.

8.აღსანიშნავი საზღვრები
,

.

პირველი ღირსშესანიშნავი ზღვარი:

ამგვარად ზე

შუალედური მიმდევრობის ზღვრული თეორემით

მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი:

.

ლიმიტის არსებობის დასამტკიცებლად
გამოიყენეთ ლემა: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის
და
უთანასწორობა მართალია
(2) (ამისთვის
ან
უთანასწორობა იქცევა თანასწორობაში.)

თანმიმდევრობა (1) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

.

ახლა განვიხილოთ დამხმარე თანმიმდევრობა საერთო ტერმინით
დარწმუნდით, რომ ის მცირდება და შემოიფარგლება ქვემოდან:
თუ
, მაშინ თანმიმდევრობა მცირდება. თუ
, მაშინ თანმიმდევრობა შემოიფარგლება ქვემოდან. ვაჩვენოთ ეს:

თანასწორობის გამო (2)

ე.ი.
ან
... ანუ თანმიმდევრობა მცირდება, ვინაიდან თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია ქვემოდან. თუ თანმიმდევრობა მცირდება და შემოსაზღვრულია ქვემოდან, მაშინ მას აქვს ზღვარი. მერე

აქვს ზღვარი და თანმიმდევრობა (1), ვინაიდან

და
.

ლ.ეილერმა დაასახელა ეს ზღვარი .

9. ცალმხრივი ლიმიტები, ფუნქციის უფსკრული.

რიცხვი A არის მარცხენა ზღვარი, თუ შემდეგი ჭეშმარიტია ნებისმიერი მიმდევრობისთვის:.

რიცხვი A არის სწორი ზღვარი, თუ რომელიმე მიმდევრობისთვის მართებულია შემდეგი:.

თუ წერტილში აფუნქციის ან მისი საზღვრის განსაზღვრის სფეროს მიეკუთვნება, ირღვევა ფუნქციის უწყვეტობის პირობა, შემდეგ წერტილი აეწოდება შეწყვეტის წერტილი ან ფუნქციის უწყვეტობა.

12. უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი. გეომეტრიული პროგრესია არის თანმიმდევრობა, რომელშიც ურთიერთობა მომდევნო და წინა წევრებს შორის უცვლელი რჩება, ამ ურთიერთობას პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება. პირველის ჯამი ნგეომეტრიული პროგრესიის წევრები გამოიხატება ფორმულით
მოსახერხებელია ამ ფორმულის გამოყენება კლებადი გეომეტრიული პროგრესიისთვის - პროგრესია, რომელშიც მისი მნიშვნელის აბსოლუტური მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია. - პირველი წევრი; - პროგრესიის მნიშვნელი; - მიმდევრობის აღებული წევრის რაოდენობა. უსასრულო კლებადი პროგრესიის ჯამი არის რიცხვი, რომელსაც კლებადი პროგრესიის პირველი წევრების ჯამი უახლოვდება შეუზღუდავად რიცხვის შეუზღუდავი ზრდით.
მაშინ. უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი არის .

განმარტება 1

თუ თითოეული $ (x, y) $ ორი დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობის თითოეული წყვილისთვის გარკვეული რეგიონიდან ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $ z $, მაშინ $ z $ ნათქვამია, რომ არის ორი ცვლადის ფუნქცია $ (x, y) $. აღნიშვნა: $ z = f (x, y) $.

$ z = f (x, y) $ ფუნქციის მიმართ განიხილეთ ფუნქციის ზოგადი (სრული) და ნაწილობრივი ნამატების ცნებები.

მოდით, მოცემულია $ z = f (x, y) $ ორი დამოუკიდებელი ცვლადის $ (x, y) $ ფუნქცია.

შენიშვნა 1

ვინაიდან $ (x, y) $ ცვლადები დამოუკიდებელია, ერთი მათგანი შეიძლება შეიცვალოს, ხოლო მეორე რჩება მუდმივი.

მოდით მივცეთ $ x $ ცვლადს $ \ Delta x $-ის ნამატი, ხოლო $ y $ ცვლადის მნიშვნელობა უცვლელი შევინარჩუნოთ.

მაშინ ფუნქცია $ z = f (x, y) $ მიიღებს ნამატს, რომელსაც დაერქმევა ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $ ცვლადის მიმართ. Დანიშნულება:

ანალოგიურად, მოდით მივცეთ $ y $ ცვლადს $ \ Delta y $ ნამატი, ხოლო $ x $ ცვლადის მნიშვნელობა უცვლელი შევინარჩუნოთ.

მაშინ ფუნქცია $ z = f (x, y) $ მიიღებს ნამატს, რომელსაც დაერქმევა ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ y $ ცვლადის მიმართ. Დანიშნულება:

თუ არგუმენტს $ x $ ეძლევა ნამატი $ \ დელტა x $, ხოლო არგუმენტი $ y $ - ნამატი $ \ Delta y $, მაშინ მოცემული ფუნქციის სრული ზრდა $ z = f (x, y) $ არის. მიღებული. Დანიშნულება:

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს:

$ \ დელტა _ (x) z = f (x + \ დელტა x, y) -f (x, y) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (y) z = f (x, y + \ დელტა y) -f (x, y) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ y $-ის მიმართ;

$ \ დელტა z = f (x + \ დელტა x, y + \ დელტა y) -f (x, y) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ z = f (x, y) $.

მაგალითი 1

გამოსავალი:

$ \ დელტა _ (x) z = x + \ დელტა x + y $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (y) z = x + y + \ დელტა y $ არის $ z = f (x, y) $ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ y $-ის მიმართ.

$ \ დელტა z = x + \ დელტა x + y + \ დელტა y $ - $ z = f (x, y) $ ფუნქციის სრული ზრდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ $z = xy $ ფუნქციის კოეფიციენტი და ჯამური ზრდა $ (1; 2) $ წერტილში $ \ დელტა x = 0,1; \, \, \ დელტა y = 0,1 $.

გამოსავალი:

პირადი ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა _ (x) z = (x + \ დელტა x) \ cdot y $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $-ის მიმართ

$ \ დელტა _ (y) z = x \ cdot (y + \ დელტა y) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ y $-ის მიმართ;

სრული ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა z = (x + \ დელტა x) \ cdot (y + \ დელტა y) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ z = f (x, y) $.

აქედან გამომდინარე,

\ [\ დელტა _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ დელტა _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ დელტა z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

შენიშვნა 2

მოცემული ფუნქციის ჯამური ზრდა $ z = f (x, y) $ არ უდრის მისი ნაწილობრივი ნამატების ჯამს $ \ Delta _ (x) z $ და $ \ Delta _ (y) z $. მათემატიკური აღნიშვნა: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

მაგალითი 3

შეამოწმეთ მტკიცების შენიშვნა ფუნქციისთვის

გამოსავალი:

$ \ დელტა _ (x) z = x + \ დელტა x + y $; $ \ დელტა _ (y) z = x + y + \ დელტა y $; $ \ დელტა z = x + \ დელტა x + y + \ დელტა y $ (მიღებულია მაგალითში 1)

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი ნამატების ჯამი $ z = f (x, y) $

\ [\ დელტა _ (x) z + \ დელტა _ (y) z = x + \ დელტა x + y + (x + y + \ დელტა y) = 2 \ cdot (x + y) + \ დელტა x + \ დელტა y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

განმარტება 2

თუ თითოეული სამმაგი $ (x, y, z) $ სამი დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობებისთვის გარკვეული რეგიონიდან ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $ w $, მაშინ $ w $ ნათქვამია, რომ არის სამი ცვლადის ფუნქცია $ ( x, y, z) $ ამ სფეროში.

აღნიშვნა: $ w = f (x, y, z) $.

განმარტება 3

თუ თითოეული კოლექციისთვის $ (x, y, z, ..., t) $ დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობების $ გარკვეული რეგიონიდან ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $ w $, მაშინ $ w $ არის ფუნქცია. $ (x, y, z, ..., t) ცვლადების $ ამ დომენში.

აღნიშვნა: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

სამი ან მეტი ცვლადის ფუნქციისთვის, ისევე როგორც ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, ნაწილობრივი ნამატები განისაზღვრება თითოეული ცვლადისთვის:

$ \ დელტა _ (z) w = f (x, y, z + \ დელტა z) -f (x, y, z) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $$ z $-ით;

$ \ დელტა _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ დელტა t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა w = f (x, y, z, ..., t) $ $ t $-ით.

მაგალითი 4

დაწერეთ ფუნქციის კოეფიციენტი და ჯამური ზრდა

გამოსავალი:

პირადი ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა _ (x) w = ((x + \ დელტა x) + y) \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ x $-ის მიმართ

$ \ დელტა _ (y) w = (x + (y + \ დელტა y)) \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ y $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ z $-ის მიმართ;

სრული ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა w = ((x + \ დელტა x) + (y + \ დელტა y)) \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ w = f (x, y, z) $ .

მაგალითი 5

გამოთვალეთ $ w = xyz $ ფუნქციის კოეფიციენტი და ჯამური ზრდა $ (1; 2; 1) $ წერტილში $ \ დელტა x = 0,1; \, \, \ დელტა y = 0,1; \, \, \ დელტა z = 0,1 $.

გამოსავალი:

პირადი ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა _ (x) w = (x + \ დელტა x) \ cdot y \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ x $-ის მიმართ

$ \ დელტა _ (y) w = x \ cdot (y + \ დელტა y) \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ y $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ z $-ის მიმართ;

სრული ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა w = (x + \ დელტა x) \ cdot (y + \ დელტა y) \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ w = f (x, y, z) $.

აქედან გამომდინარე,

\ [\ დელტა _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ დელტა _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ დელტა _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ დელტა z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

გეომეტრიული თვალსაზრისით, ფუნქციის ჯამური ზრდა $ z = f (x, y) $ (განმარტებით, $ \ დელტა z = f (x + \ დელტა x, y + \ დელტა y) -f (x , y) $) უდრის ნაკვეთის გამოყენების ფუნქციის ზრდას $ z = f (x, y) $ $ M (x, y) $ წერტილიდან $ M_ (1) (x + \ დელტა x) გადასვლისას , y + \ დელტა y) $ (ნახ. 1).

სურათი 1.

სამედიცინო და ბიოლოგიურ ფიზიკაში

ლექცია No1

წარმოებული და დიფერენციალური ფუნქცია.

კერძო წარმოებულები.

1. წარმოებულის ცნება, მისი მექანიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ა ) არგუმენტი და ფუნქციის ზრდა.

მოყვანილი იყოს ფუნქცია y = f (x), სადაც x არის არგუმენტის მნიშვნელობა ფუნქციის დომენიდან. თუ ფუნქციის დომენის გარკვეული ინტერვალიდან ავირჩევთ არგუმენტის ორ და x მნიშვნელობას, მაშინ არგუმენტის ორ მნიშვნელობას შორის განსხვავებას ეწოდება არგუმენტის ზრდა: x - xo = ∆x. .

x არგუმენტის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს x 0-ით და მისი ნაზრდით: x = x o + ∆x.

ფუნქციის ორ მნიშვნელობას შორის განსხვავებას ეწოდება ფუნქციის ზრდა: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

არგუმენტისა და ფუნქციის ზრდა შეიძლება იყოს წარმოდგენილი გრაფიკულად (ნახ. 1). არგუმენტების ზრდა და ფუნქციის ზრდა შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი. როგორც ნახაზი 1-დან გეომეტრიულად ჩანს, ∆х არგუმენტის ზრდა გამოსახულია აბსცისის ნაზრდით, ხოლო ∆у ფუნქციის ზრდა წარმოდგენილია ორდინატის ნაზრდით. ფუნქციის გაზრდის გაანგარიშება უნდა განხორციელდეს შემდეგი თანმიმდევრობით:

მიეცით არგუმენტს ნამატი ∆x და მიიღეთ მნიშვნელობა - x + ∆x;

2) ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობას არგუმენტის მნიშვნელობისთვის (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) ვპოულობთ ∆f = f (x + ∆x) - f (x) ფუნქციის ნამატს.

მაგალითი:განსაზღვრეთ y = x 2 ფუნქციის ზრდა, თუ არგუმენტი შეიცვალა x o = 1-დან x = 3-მდე. x o წერტილისთვის f (x o) = x² o ფუნქციის მნიშვნელობა; წერტილისთვის (x о + ∆х) ფუნქციის მნიშვნელობა f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = х2 о + 2х о ∆х + ∆х 2, საიდანაც ∆f = f (x о + ∆х) –f (х о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

ბ)წარმოებულის ცნებამდე მიმავალი ამოცანები. წარმოებულის განმარტება, მისი ფიზიკური მნიშვნელობა.

არგუმენტისა და ფუნქციის ნამატის ცნება აუცილებელია წარმოებულის კონცეფციის დასანერგად, რომელიც ისტორიულად წარმოიშვა გარკვეული პროცესების სიჩქარის განსაზღვრის საჭიროებიდან.

იფიქრეთ იმაზე, თუ როგორ შეგიძლიათ განსაზღვროთ მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარე. სხეული მართკუთხედად მოძრაობდეს კანონის მიხედვით: ∆Ѕ =  · ∆t. ლუწი მოძრაობისთვის:  = ∆Ѕ / ∆t.

ცვლადი მოძრაობისთვის ΔЅ / ∆t-ის მნიშვნელობა განსაზღვრავს av-ის მნიშვნელობას. , ანუ იხ. = ∆Ѕ / ∆t. მაგრამ საშუალო სიჩქარე არ იძლევა სხეულის მოძრაობის თავისებურებების ასახვას და წარმოდგენას ნამდვილ სიჩქარეზე t დროს. დროის ინტერვალის შემცირებით, ე.ი. ∆t → 0-ზე საშუალო სიჩქარე მიისწრაფვის ზღვრამდე - მყისიერ სიჩქარემდე:

 მყისიერი =
 ოთხ =
∆Ѕ / ∆t.

ქიმიური რეაქციის მყისიერი სიჩქარე განისაზღვრება იმავე გზით:

 მყისიერი =
 ოთხ =
∆х / ∆t,

სადაც x არის ნივთიერების რაოდენობა, რომელიც წარმოიქმნება ქიმიური რეაქციის დროს t დროის განმავლობაში. სხვადასხვა პროცესის სიჩქარის განსაზღვრის მსგავსმა ამოცანებმა განაპირობა მათემატიკაში ფუნქციის წარმოებულის ცნების დანერგვა.

მიეცით უწყვეტი f (x) ფუნქცია, განსაზღვრული ინტერვალზე] a, [და მისი ნამატი ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
არის ∆x-ის ფუნქცია და გამოხატავს ფუნქციის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს.

თანაფარდობის ლიმიტი , როდესაც ∆х → 0, იმ პირობით, რომ ეს ზღვარი არსებობს, ეწოდება ფუნქციის წარმოებული :

y "x =

.

წარმოებული აღინიშნება:
- (პირველი x ინსულტი); f " (x) - (eff stroke by x) ; y "- (ტირე); dy / dх – (დე იგრეკ პო დე იკს); - (თამაში წერტილით).

წარმოებულის განმარტებაზე დაყრდნობით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სწორხაზოვანი მოძრაობის მყისიერი სიჩქარე არის ბილიკის დროის წარმოებული:

 მყისიერი = S "t = f " (ტ).

ამრიგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფუნქციის წარმოებული x არგუმენტთან მიმართებაში არის f (x) ფუნქციის ცვლილების მყისიერი სიჩქარე:

y "x = f " (x) =  მყისიერი.

ეს არის წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა. წარმოებულის პოვნის პროცესს დიფერენციაცია ჰქვია, ამიტომ გამოთქმა „ფუნქციის დიფერენციაცია“ გამოთქმის „იპოვე ფუნქციის წარმოებული“ ექვივალენტურია.

v)წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

პ
y = f (x) ფუნქციის წარმოებულს აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა, რომელიც დაკავშირებულია მრუდი ხაზის ტანგენტის კონცეფციასთან M რაღაც წერტილში. უფრო მეტიც, ტანგენსი, ე.ი. სწორი ხაზი ანალიტიკურად გამოიხატება როგორც y = kx = tanx, სადაც – ტანგენსის (სწორი ხაზი) ​​დახრილობის კუთხე X ღერძზე. გამოვსახოთ უწყვეტი მრუდი y = f (x) ფუნქციით, ავიღოთ წერტილი M მრუდზე და წერტილი M 1 მასთან ახლოს და მისცეს სეკანტი მათ მეშვეობით. მისი დახრილობა წმ-მდე = tan β = თუ წერტილი М 1 მიუახლოვდება M-ს, მაშინ არგუმენტი ∆х ნულისკენ მიისწრაფვის და β = α-ზე სეკანტი დაიკავებს ტანგენტის პოზიციას. ნახ. 2-დან გამომდინარეობს: tgα =
tgβ =
= y "x. მაგრამ tgα უდრის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობას:

k = tgα =
= y "x = f " (X). მაშასადამე, მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრილობა უდრის მისი წარმოებულის მნიშვნელობას ტანგენციის წერტილში. ეს არის წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

გ)წარმოებულის პოვნის ზოგადი წესი.

წარმოებულის განმარტებაზე დაყრდნობით, ფუნქციის დიფერენცირების პროცესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

იპოვეთ ფუნქციის ნადიმი: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

შეადგინეთ ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის ზრდასთან:

;

მაგალითი: f (x) = x 2; ვ " (x) = ?.

თუმცა, როგორც ამ მარტივი მაგალითიდანაც ჩანს, წარმოებულების აღებისას მითითებული თანმიმდევრობის გამოყენება შრომატევადი და რთული პროცესია. ამიტომ, სხვადასხვა ფუნქციისთვის შემოღებულია დიფერენცირების ზოგადი ფორმულები, რომლებიც წარმოდგენილია ცხრილის სახით „ფუნქციების დიფერენცირების ძირითადი ფორმულები“.

განმარტება 1

თუ თითოეული $ (x, y) $ ორი დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობის თითოეული წყვილისთვის გარკვეული რეგიონიდან ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $ z $, მაშინ $ z $ ნათქვამია, რომ არის ორი ცვლადის ფუნქცია $ (x, y) $. აღნიშვნა: $ z = f (x, y) $.

$ z = f (x, y) $ ფუნქციის მიმართ განიხილეთ ფუნქციის ზოგადი (სრული) და ნაწილობრივი ნამატების ცნებები.

მოდით, მოცემულია $ z = f (x, y) $ ორი დამოუკიდებელი ცვლადის $ (x, y) $ ფუნქცია.

შენიშვნა 1

ვინაიდან $ (x, y) $ ცვლადები დამოუკიდებელია, ერთი მათგანი შეიძლება შეიცვალოს, ხოლო მეორე რჩება მუდმივი.

მოდით მივცეთ $ x $ ცვლადს $ \ Delta x $-ის ნამატი, ხოლო $ y $ ცვლადის მნიშვნელობა უცვლელი შევინარჩუნოთ.

მაშინ ფუნქცია $ z = f (x, y) $ მიიღებს ნამატს, რომელსაც დაერქმევა ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $ ცვლადის მიმართ. Დანიშნულება:

ანალოგიურად, მოდით მივცეთ $ y $ ცვლადს $ \ Delta y $ ნამატი, ხოლო $ x $ ცვლადის მნიშვნელობა უცვლელი შევინარჩუნოთ.

მაშინ ფუნქცია $ z = f (x, y) $ მიიღებს ნამატს, რომელსაც დაერქმევა ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ y $ ცვლადის მიმართ. Დანიშნულება:

თუ არგუმენტს $ x $ ეძლევა ნამატი $ \ დელტა x $, ხოლო არგუმენტი $ y $ - ნამატი $ \ Delta y $, მაშინ მოცემული ფუნქციის სრული ზრდა $ z = f (x, y) $ არის. მიღებული. Დანიშნულება:

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს:

$ \ დელტა _ (x) z = f (x + \ დელტა x, y) -f (x, y) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (y) z = f (x, y + \ დელტა y) -f (x, y) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ y $-ის მიმართ;

$ \ დელტა z = f (x + \ დელტა x, y + \ დელტა y) -f (x, y) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ z = f (x, y) $.

მაგალითი 1

გამოსავალი:

$ \ დელტა _ (x) z = x + \ დელტა x + y $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (y) z = x + y + \ დელტა y $ არის $ z = f (x, y) $ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ y $-ის მიმართ.

$ \ დელტა z = x + \ დელტა x + y + \ დელტა y $ - $ z = f (x, y) $ ფუნქციის სრული ზრდა.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ $z = xy $ ფუნქციის კოეფიციენტი და ჯამური ზრდა $ (1; 2) $ წერტილში $ \ დელტა x = 0,1; \, \, \ დელტა y = 0,1 $.

გამოსავალი:

პირადი ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა _ (x) z = (x + \ დელტა x) \ cdot y $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ x $-ის მიმართ

$ \ დელტა _ (y) z = x \ cdot (y + \ დელტა y) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ z = f (x, y) $ $ y $-ის მიმართ;

სრული ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა z = (x + \ დელტა x) \ cdot (y + \ დელტა y) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ z = f (x, y) $.

აქედან გამომდინარე,

\ [\ დელტა _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ დელტა _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ დელტა z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

შენიშვნა 2

მოცემული ფუნქციის ჯამური ზრდა $ z = f (x, y) $ არ უდრის მისი ნაწილობრივი ნამატების ჯამს $ \ Delta _ (x) z $ და $ \ Delta _ (y) z $. მათემატიკური აღნიშვნა: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

მაგალითი 3

შეამოწმეთ მტკიცების შენიშვნა ფუნქციისთვის

გამოსავალი:

$ \ დელტა _ (x) z = x + \ დელტა x + y $; $ \ დელტა _ (y) z = x + y + \ დელტა y $; $ \ დელტა z = x + \ დელტა x + y + \ დელტა y $ (მიღებულია მაგალითში 1)

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი ნამატების ჯამი $ z = f (x, y) $

\ [\ დელტა _ (x) z + \ დელტა _ (y) z = x + \ დელტა x + y + (x + y + \ დელტა y) = 2 \ cdot (x + y) + \ დელტა x + \ დელტა y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

განმარტება 2

თუ თითოეული სამმაგი $ (x, y, z) $ სამი დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობებისთვის გარკვეული რეგიონიდან ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $ w $, მაშინ $ w $ ნათქვამია, რომ არის სამი ცვლადის ფუნქცია $ ( x, y, z) $ ამ სფეროში.

აღნიშვნა: $ w = f (x, y, z) $.

განმარტება 3

თუ თითოეული კოლექციისთვის $ (x, y, z, ..., t) $ დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობების $ გარკვეული რეგიონიდან ასოცირდება გარკვეული მნიშვნელობა $ w $, მაშინ $ w $ არის ფუნქცია. $ (x, y, z, ..., t) ცვლადების $ ამ დომენში.

აღნიშვნა: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

სამი ან მეტი ცვლადის ფუნქციისთვის, ისევე როგორც ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, ნაწილობრივი ნამატები განისაზღვრება თითოეული ცვლადისთვის:

$ \ დელტა _ (z) w = f (x, y, z + \ დელტა z) -f (x, y, z) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $$ z $-ით;

$ \ დელტა _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ დელტა t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა w = f (x, y, z, ..., t) $ $ t $-ით.

მაგალითი 4

დაწერეთ ფუნქციის კოეფიციენტი და ჯამური ზრდა

გამოსავალი:

პირადი ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა _ (x) w = ((x + \ დელტა x) + y) \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ x $-ის მიმართ

$ \ დელტა _ (y) w = (x + (y + \ დელტა y)) \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ y $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ z $-ის მიმართ;

სრული ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა w = ((x + \ დელტა x) + (y + \ დელტა y)) \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ w = f (x, y, z) $ .

მაგალითი 5

გამოთვალეთ $ w = xyz $ ფუნქციის კოეფიციენტი და ჯამური ზრდა $ (1; 2; 1) $ წერტილში $ \ დელტა x = 0,1; \, \, \ დელტა y = 0,1; \, \, \ დელტა z = 0,1 $.

გამოსავალი:

პირადი ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა _ (x) w = (x + \ დელტა x) \ cdot y \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ x $-ის მიმართ

$ \ დელტა _ (y) w = x \ cdot (y + \ დელტა y) \ cdot z $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ y $-ის მიმართ;

$ \ დელტა _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა $ w = f (x, y, z) $ $ z $-ის მიმართ;

სრული ნამატის განმარტებით, ჩვენ ვხვდებით:

$ \ დელტა w = (x + \ დელტა x) \ cdot (y + \ დელტა y) \ cdot (z + \ დელტა z) $ - ფუნქციის სრული ზრდა $ w = f (x, y, z) $.

აქედან გამომდინარე,

\ [\ დელტა _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ დელტა _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ დელტა _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ დელტა z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

გეომეტრიული თვალსაზრისით, ფუნქციის ჯამური ზრდა $ z = f (x, y) $ (განმარტებით, $ \ დელტა z = f (x + \ დელტა x, y + \ დელტა y) -f (x , y) $) უდრის ნაკვეთის გამოყენების ფუნქციის ზრდას $ z = f (x, y) $ $ M (x, y) $ წერტილიდან $ M_ (1) (x + \ დელტა x) გადასვლისას , y + \ დელტა y) $ (ნახ. 1).

სურათი 1.