§ 1 Koordinačių sistema: apibrėžimas ir konstrukcijos metodas

Šioje pamokoje susipažinsime su sąvokomis „koordinačių sistema“, „ koordinačių plokštuma“, „koordinačių ašys“, mokysimės koordinatėmis konstruoti taškus plokštumoje.

Paimkime koordinačių tiesę x su pradžios tašku O, teigiama kryptimi ir vienetine atkarpa.

Per koordinačių pradžią, koordinačių linijos x tašką O, nubrėžiame kitą koordinačių liniją y, statmeną x, nustatome teigiamą kryptį aukštyn, vieneto atkarpa yra tokia pati. Taigi mes sukūrėme koordinačių sistemą.

Pateikiame apibrėžimą:

Dvi viena kitai statmenos koordinačių linijos, susikertančios taške, kuris yra kiekvienos iš jų koordinačių pradžia, sudaro koordinačių sistemą.

§ 2 Koordinačių ašis ir koordinačių plokštuma

Tiesės, kurios sudaro koordinačių sistemą, vadinamos koordinačių ašimis, kurių kiekviena turi savo pavadinimą: koordinačių linija x yra abscisių ašis, koordinačių linija y yra ordinačių ašis.

Plokštuma, kurioje pasirinkta koordinačių sistema, vadinama koordinačių plokštuma.

Aprašyta koordinačių sistema vadinama stačiakampe. Jis dažnai vadinamas Dekarto koordinačių sistema prancūzų filosofo ir matematiko René Descartes garbei.

Kiekvienas koordinačių plokštumos taškas turi dvi koordinates, kurias galima nustatyti numetus statmenas nuo taško koordinačių ašyje. Plokštumos taško koordinatės yra skaičių pora, iš kurių pirmasis skaičius yra abscisė, antrasis skaičius yra ordinatė. Abscisė statmena x ašiai, ordinatės statmena y ašiai.

Koordinačių plokštumoje pažymėkime tašką A ir iš jo nubrėžkime statmenis į koordinačių sistemos ašis.

Išilgai statmenos abscisių ašiai (x ašiai) nustatome taško A abscisę, ji lygi 4, taško A ordinatė - išilgai statmenos ordinačių ašiai (y ašiai) lygi 3. Koordinatės mūsų taško yra 4 ir 3. A (4;3). Taigi bet kurio koordinačių plokštumos taško koordinates galima rasti.

§ 3 Taško konstravimas plokštumoje

Kaip sukonstruoti tašką plokštumoje su nurodytomis koordinatėmis, t.y. Naudodami taško koordinates plokštumoje, nustatykite jo padėtį? Tokiu atveju veiksmus atliekame atvirkštine tvarka. Ant koordinačių ašių randame nurodytas koordinates atitinkančius taškus, per kuriuos brėžiame tieses, statmenas x ir y ašims. Statmenų susikirtimo taškas bus norimas, t.y. taškas su nurodytomis koordinatėmis.

Atlikime užduotį: koordinačių plokštumoje sukonstruokime tašką M (2;-3).

Norėdami tai padaryti, suraskite tašką su 2 koordinatėmis x ašyje ir per šį tašką nubrėžkite tiesią liniją, statmeną x ašiai. Ordinačių ašyje randame tašką su koordinate -3, per jį nubrėžiame tiesę, statmeną y ašiai. Statmenų tiesių susikirtimo taškas bus duotas taškas M.

Dabar pažvelkime į keletą ypatingų atvejų.

Koordinačių plokštumoje pažymėkime taškus A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Šių taškų abscisės lygios 0. Paveikslėlyje parodyta, kad visi taškai yra ordinačių ašyje.

Vadinasi, taškai, kurių abscisės lygios nuliui, yra ordinačių ašyje.

Sukeiskime šių taškų koordinates.

Rezultatas bus A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). Šiuo atveju visos ordinatės lygios 0, o taškai yra x ašyje.

Tai reiškia, kad taškai, kurių ordinatės lygios nuliui, yra ant abscisių ašies.

Pažvelkime į dar du atvejus.

Koordinačių plokštumoje pažymėkite taškus M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Nesunku pastebėti, kad visos taškų abscisės yra vienodos. Jei šie taškai yra sujungti, gausite tiesią liniją, lygiagrečią ordinačių ašiai ir statmeną abscisių ašiai.

Išvada rodo pati save: taškai, turintys tą pačią abscisę, yra toje pačioje tiesėje, kuri yra lygiagreti ordinačių ašiai ir statmena abscisių ašiai.

Jei sukeisite taškų M, N, P koordinates, gausite M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Taškų ordinatės bus vienodos. Šiuo atveju, jei sujungsite šiuos taškus, gausite tiesią liniją, lygiagrečią abscisių ašiai ir statmeną ordinačių ašiai.

Taigi taškai, turintys tą pačią ordinatę, yra toje pačioje tiesėje, lygiagrečiai abscisių ašiai ir statmenai ordinačių ašiai.

Šioje pamokoje susipažinote su sąvokomis „koordinačių sistema“, „koordinačių plokštuma“, „koordinačių ašys - abscisių ašis ir ordinačių ašis“. Išmokome rasti taško koordinates koordinačių plokštumoje ir išmokome konstruoti taškus plokštumoje pagal koordinates.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Matematika. 6 klasė: pamokų planai prie vadovėlio I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičius // autorius-kompiliatorius L.A. Topilina. – Mnemosyne, 2009 m.
2. Matematika. 6 klasė: vadovėlis mokiniams švietimo įstaigos. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovichas - M.: Mnemosyna, 2013 m.
3. Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms/G.V. Dorofejevas, I. F. Šaryginas, S.B. Suvorovas ir kiti / redagavo G.V. Dorofejeva, I.F. Šarygina; Rusijos mokslų akademija, Rusijos švietimo akademija. - M.: „Švietimas“, 2010 m
4. Matematikos vadovas - http://lyudmilanik.com.ua
5. Mokinio vadovas vidurinė mokykla http://shkolo.ru

taškai yra „registruojami“ – „gyventojai“, kiekvienas taškas turi savo „namo numerį“ – jo koordinatę. Jei taškas paimtas lėktuvu, tai norint jį „užregistruoti“, reikia nurodyti ne tik „namo numerį“, bet ir „buto numerį“. Priminsime, kaip tai daroma.

Nubrėžkime dvi viena kitai statmenas koordinačių tieses ir abiejų tiesių atskaitos pradžią laikysime jų susikirtimo tašku – tašku O. Taigi plokštumoje nurodoma stačiakampė koordinačių sistema (20 pav.), kuri suka įprastą. lėktuvas derinti. Taškas O vadinamas koordinačių pradžia, koordinačių linijos (x ašis ir y ašis) – koordinačių ašimis, o koordinačių ašių suformuoti statūs kampai – koordinačių kampais. Koordinatės stačiakampiai kampai sunumeruoti, kaip parodyta 20 paveiksle.

Dabar pereikime prie 21 paveikslo, kuriame pavaizduota stačiakampė koordinačių sistema ir pažymėtas taškas M. Nubrėžkime tiesią liniją, lygiagrečią y ašiai. Tiesė kerta x ašį tam tikrame taške, šis taškas turi koordinatę - x ašyje. 21 paveiksle pavaizduoto taško ši koordinatė lygi -1,5, ji vadinama taško M abscise. Toliau per tašką M nubrėžiame tiesę, lygiagrečią x ašiai. Tiesė kerta y ašį tam tikrame taške, šis taškas turi koordinatę - y ašyje.

Taško M, parodyto 21 paveiksle, ši koordinatė lygi 2, ji vadinama taško M ordinate. Trumpai parašyta taip: M (-1,5; 2). Pirmoje vietoje rašoma abscisė, antroje – ordinatės. Jei reikia, naudokite kitą žymėjimo formą: x = -1,5; y = 2.

1 pastaba . Praktikoje, norint rasti taško M koordinates, dažniausiai vietoj tiesių, lygiagrečių koordinačių ašims ir einančių per tašką M, konstruojamos šių tiesių atkarpos nuo taško M iki koordinačių ašių (22 pav.).

Užrašas 2. Ankstesnėje pastraipoje pristatėme skirtingus skaitinių intervalų žymėjimus. Konkrečiai, kaip sutarėme, žymėjimas (3, 5) reiškia, kad koordinačių tiesėje laikome intervalą, kurio galai yra taškuose 3 ir 5. Šiame skyriuje skaičių porą laikome taško koordinatėmis; pavyzdžiui, (3; 5) yra taškas koordinačių plokštuma su 3 abscisėmis ir 5 ordinatėmis. Kaip iš simbolinio užrašo teisingai nustatyti, apie ką kalbama? mes kalbame apie: apie intervalą ar apie taško koordinates? Dažniausiai tai aišku iš teksto. O jei neaišku? Atkreipkite dėmesį į vieną detalę: kableliu nurodėme intervalą, o kabliataškį – koordinates. Tai, žinoma, nėra labai reikšminga, bet vis tiek skirtumas; mes juo pasinaudosime.

Atsižvelgiant į įvestus terminus ir žymėjimus, horizontali koordinačių linija vadinama abscise, arba x ašimi, o vertikalioji – ordinačių ašimi, arba y ašimi. Žymėjimas x, y dažniausiai naudojamas nurodant stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje (žr. 20 pav.) ir dažnai sakoma taip: duota koordinačių sistema xOy. Tačiau yra ir kitų žymėjimų: pavyzdžiui, 23 paveiksle nurodyta tOs koordinačių sistema.
Stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy nurodyto taško M koordinačių radimo algoritmas

Būtent taip ir padarėme, kai 21 paveiksle suradome taško M koordinates. Jei taškas M 1 (x; y) priklauso pirmajam koordinačių kampui, tai x > 0, y > 0; jei taškas M 2 (x; y) priklauso antrajam koordinačių kampui, tai x< 0, у >0; jei taškas M 3 (x; y) priklauso trečiajam koordinačių kampui, tai x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).

Kas atsitiks, jei taškas, kurio koordinates reikia rasti, yra vienoje iš koordinačių ašių? Tegul taškas A yra ant x ašies, o taškas B – ant y ašies (25 pav.). Nubrėžti tiesę, lygiagrečią y ašiai per tašką A ir rasti šios tiesės susikirtimo tašką su x ašimi, nėra prasmės, nes toks susikirtimo taškas jau yra - tai taškas A, jo koordinatė (abscisė) yra 3. Lygiai taip pat nereikia brėžti per tašką O tiesė lygiagreti x ašiai yra pati x ašis, kuri kerta y ašį taške O su koordinate (ordinate) 0. rezultatas, taškui A gauname A(3; 0). Panašiai taškui B gauname B(0; - 1,5). O taškui O turime O(0; 0).

Paprastai bet kuris x ašies taškas turi koordinates (x; 0), o bet kuris y ašies taškas turi koordinates (0; y)

Taigi, aptarėme, kaip rasti taško koordinates koordinačių plokštumoje. Kaip išspręsti atvirkštinę problemą, t. y. kaip, suteikus koordinates, sukonstruoti atitinkamą tašką? Norėdami sukurti algoritmą, atliksime du pagalbinius, bet tuo pat metu svarbius samprotavimus.

Pirmas samprotavimas. Tegu aš nubrėžtas xOy koordinačių sistemoje, lygiagrečiai y ašiai ir kertančią x ašį taške, kurio koordinatė (abscisė) 4

(26 pav.). Bet kuris taškas, esantis šioje tiesėje, turi abscisę 4. Taigi taškams M 1, M 2, M 3 turime M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Kitaip tariant, bet kurio tiesės taško M abscisė tenkina sąlygą x = 4. Sakoma, kad x = 4 - lygtis l linija arba ta linija I tenkina lygtį x = 4.

27 paveiksle pavaizduotos tiesės, atitinkančios lygtis x = - 4 (I 1 eilutė), x = - 1
(tiesus I 2) x = 3,5 (tiesus I 3). Kuri tiesė tenkina lygtį x = 0? Ar atspėjote? Y ašis

Antras samprotavimas. Tegul xOy koordinačių sistemoje nubrėžiama tiesė I, lygiagreti x ašiai ir kertanti y ašį taške, kurio koordinatė (ordinatė) 3 (28 pav.). Bet kurio taško, esančio šioje tiesėje, ordinatė yra 3. Taigi taškams M 1, M 2, M 3 turime: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3). ). Kitaip tariant, bet kurio I tiesės taško M ordinatės tenkina sąlygą y = 3. Sakoma, kad y = 3 yra I tiesės lygtis arba ta tiesė I tenkina lygtį y = 3.

29 paveiksle pavaizduotos tiesės, kurios tenkina lygtis y = - 4 (tiesė l 1), y = - 1 (tiesė I 2), y = 3,5 (tiesė I 3) - Ir kuri tiesė tenkina lygtį y = 01 Ar atspėjote? x ašis

Atkreipkite dėmesį, kad matematikai, siekdami trumpumo, sako „eilutė x = 4“, o ne „tiesė, atitinkanti x = 4 lygtį“. Taip pat jie sako „tiesė y = 3“, o ne „linija, atitinkanti lygtį y = 3“. Mes padarysime tą patį. Dabar grįžkime prie 21 paveikslo. Atkreipkite dėmesį, kad ten pavaizduotas taškas M (- 1,5; 2) yra tiesės x = -1,5 ir tiesės y = 2 susikirtimo taškas. Dabar, matyt, taško konstravimo algoritmas bus aiškus pagal jo nurodytas koordinates.

Taško M (a; b) konstravimo algoritmas stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy

PAVYZDYS xOy koordinačių sistemoje sukonstruokite taškus: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Sprendimas. Taškas A yra tiesių x = 1 ir y = 3 susikirtimo taškas (žr. 30 pav.).

Taškas B yra tiesių x = - 2 ir y = 1 susikirtimo taškas (30 pav.). Taškas C priklauso x ašiai, o D – y ašiai (žr. 30 pav.).

Skyriaus pabaigoje pažymime, kad pirmą kartą stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje buvo pradėta aktyviai naudoti algebrinei pakeitimui. modeliai geometrinis prancūzų filosofas Renė Dekartas (1596-1650). Todėl kartais jie sako „Dekarto koordinačių sistema“, „Dekarto koordinatės“.

Pilnas temų sąrašas pagal pažymius, kalendorinis planas pagal mokyklos mokymo programa matematika internete, vaizdo medžiaga Iš matematikos 7 klasei parsisiųsti

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms

Pamokos turinys pamokų užrašai remiančios kadrinės pamokos pristatymo pagreitinimo metodus interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratimai savikontrolės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir multimedija nuotraukos, paveikslėliai, grafika, lentelės, diagramos, humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai gudrybės smalsiems lopšiai vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje vadovėlio fragmento atnaujinimas, naujovių elementai pamokoje, pasenusių žinių keitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis metų planas Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos

Pamokos vieta bendroje temoje:

Bendra tema „Teigiami ir neigiami skaičiai“

Tai 1 pamoka tema "Koordinatės"

• mokiniai žino teigiamų ir neigiami skaičiai
• mokiniai žino koordinačių tiesės sąvoką
• geba nustatyti koordinačių tiesės taškų koordinates
• Geba pažymėti taškus koordinačių tiesėje pagal nurodytas koordinates

Pamokos tikslai:

1) edukacinis:

• pristatyti koordinačių sąvoką
• supažindinti su koordinačių sistemos sąvoka, koordinačių ašimis ir koordinačių plokštuma
• pristatyti taško koordinačių sąvoką: abscisė ir ordinatė
• mokyti nustatyti taškų koordinates
• išmokyti pažymėti taškus koordinačių plokštumoje pagal jos pateiktas koordinates
• pratybų metu įtvirtinti įgytas žinias

2) kuriant:

• sukurti teigiamą mokinių motyvaciją atlikti protinius ir praktinius veiksmus
• mokinių komunikacinių ir informacinių kompetencijų ugdymas
• padėti ugdyti mokinių susidomėjimą ne tik turiniu, bet ir žinių įgijimo procesu
• ugdyti gebėjimą pritaikyti įgytas žinias konkrečią situaciją
• vystytis loginis mąstymas, atmintis, nepriklausomybė

3) kelti:

1. įskiepyti mokiniams pasitenkinimo jausmą dėl galimybės pamokoje parodyti savo žinias ne tik matematikos, bet ir kitose mokyklos žinių srityse
2. ugdyti susidomėjimą matematikos studijomis
3. plėsti studentų protinį akiratį, padėti moksleiviams geriau suprasti matematikos vaidmenį visuomenės istorijoje
4. disciplinos ir organizuotumo puoselėjimas

Pamokos tipas: naujų žinių mokymosi pamoka

Atsižvelgiant į pamokos tipą, buvo parinkti šie pamokos etapai

• Laiko organizavimas
• atnaujinimas
• pasirengimas aktyviam ir sąmoningam naujos medžiagos įsisavinimui
• mokytis naujos medžiagos
• supratimo pratimai
• žinių apibendrinimas ir sisteminimas
• pamokos santrauka
• namų darbų skelbimas

Per užsiėmimus

I. Organizacinis momentas.

Sveikinimai. Ilgalaikių tikslų mokiniams išsikėlimas šia tema ir pamokos uždaviniai.

II. Darbas žodžiu

Siekiama parengti mokinius aktyviam ir sąmoningam naujos medžiagos mokymuisi.

Koordinatės gyvenimo situacijos yra naudojami labai plačiai.

1. Pateikite pavyzdžių, kaip gyvenime naudojamos koordinatės.

2. Pakvieskite mokinius pagal aptartus pavyzdžius pateikti koordinačių sampratą.

III. Naujos medžiagos mokymasis.

1. Supažindinti su koordinačių sistemos ir koordinačių plokštumos samprata.

Mokinių prašoma pažvelgti į piešinį ir pasakyti, kas jame pavaizduota, arba atsakyti į klausimus.

Ar galime sakyti, kad paveiksle pavaizduotos koordinačių linijos? Kodėl?

Kokiu kampu šios linijos yra viena kitos atžvilgiu?

Apibūdinkite šių linijų susikirtimo tašką.

Ką jums primena įrašas? Kuo tai skiriasi nuo taško koordinačių užrašymo koordinačių tiesėje?

Kokiu kampu rodyklės nubrėžtos iš taško A į koordinačių linijas ir?

Koks ryšys tarp koordinačių linijų taškų, į kuriuos nukreiptos rodyklės, ir žymėjimo?

Klausykite mokinių atsakymų. Padaryti išvadas ir supažindinti su koordinačių sistemos samprata, koordinačių ašimis, koordinačių plokštuma, taško koordinatėmis.

Taško koordinatės yra skaičių pora, pagal kurią nustatoma taško padėtis plokštumoje, kur abscisė yra pirmoje vietoje, o šio taško ordinatė yra antroje vietoje.

2. Įveskite taisyklę, leidžiančią nustatyti nurodytų taškų koordinates.

Mokinių prašoma pažvelgti į brėžinį ir nustatyti pažymėtų taškų koordinates.

Paprašykite mokinių suformuluoti taisyklę, kuri leistų jiems nustatyti taško koordinates. Pakartok.

Norint nustatyti taško koordinates, reikia nuleisti statmenis nuo taško ant koordinačių ašių ir nustatyti, kokį skaičių koordinačių ašyje atitinka statmens pagrindas.

Siekiant sustiprinti šią taisyklę, mokinių prašoma savarankiškai nustatyti ekrane rodomos koordinačių plokštumos pažymėtų taškų koordinates. Tada patikrinkite savo sprendimą pagal tai, kas rodoma ekrane.

3. Taško padėties koordinačių plokštumoje nustatymas naudojant žinomas koordinates.

Mokiniams suteikiamas taškas su nurodytomis koordinatėmis. Užduotis – naudojant žinomas koordinates nustatyti taško padėtį koordinačių plokštumoje.

Suformuluokite taisyklę, leidžiančią nustatyti taško vietą koordinačių plokštumoje.

Norint nustatyti taško padėtį koordinačių plokštumoje, reikia nubrėžti tiesias linijas, statmenas ašims, ir rasti jų susikirtimo tašką.

IV. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

1. Mokinių prašoma sąsiuviniuose sukonstruoti koordinačių plokštumą ir nurodytomis koordinatėmis pažymėti taškus, o po to atlikti patikrinimą.

2. Rezervuoti darbą. Raskite stačiakampio plotą, jei žinomos jo viršūnių koordinatės.

V. Apibendrinant pamoką. Įvertinimas.

Ką naujo išmokote šiandien klasėje? ko išmokai?

Su kokiomis sąvokomis susipažinote?

Kokių taisyklių šiandien išmokote?

VI. Namų darbai.

Praktinė užduotis: Ant languoto popieriaus lapo nubrėžkite koordinačių sistemą, paimdami pavienius 1 cm ilgio segmentus (du sąsiuvinio kvadratus). Atsitiktinai pažymėkite dešimt taškų, nenurodydami jų koordinačių.

Koordinačių plokštumos supratimas

Kiekvienas objektas (pavyzdžiui, namas, vieta auditorijoje, taškas žemėlapyje) turi savo užsakytą adresą (koordinates), kuris turi skaitinį arba raidinį žymėjimą.

Matematikai sukūrė modelį, leidžiantį nustatyti objekto padėtį ir yra vadinamas koordinačių plokštuma.

Norint sukonstruoti koordinačių plokštumą, reikia nubrėžti $2$ statmenas tiesias linijas, kurių pabaigoje rodyklėmis nurodomos kryptys „į dešinę“ ir „aukštyn“. Tiesėms taikomos padalos, o linijų susikirtimo taškas yra abiejų skalių nulis.

1 apibrėžimas

Horizontali linija vadinama x ašis ir žymimas x, o vertikali linija vadinama y ašis ir žymimas y.

Sudaro dvi statmenos x ir y ašys su padalomis stačiakampio formos, arba Dekarto, koordinačių sistema, kurį pasiūlė prancūzų filosofas ir matematikas Rene Descartes.

Koordinačių plokštuma

Taško koordinatės

Taškas koordinačių plokštumoje yra apibrėžtas dviem koordinatėmis.

Norint nustatyti taško $A$ koordinates koordinačių plokštumoje, per jį reikia nubrėžti tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios koordinačių ašims (paveiksle pažymėta punktyrine linija). Tiesės susikirtimas su x ašimi duoda $x$ taško $A$ koordinatę, o susikirtimas su y ašimi – taško $A$ y koordinatę. Rašant taško koordinates, pirmiausia įrašoma $x$ koordinatė, o po to $y$ koordinatė.

Paveikslo taškas $A$ turi $(3; 2)$ koordinates, o taškas $B (–1; 4)$.

Norėdami nubrėžti tašką koordinačių plokštumoje, tęskite atvirkštine tvarka.

Taško konstravimas nurodytose koordinatėse

1 pavyzdys

Koordinačių plokštumoje sukonstruoti taškus $A(2;5)$ ir $B(3; –1).$

Sprendimas.

Taško $A$ statyba:

• uždėkite skaičių $2$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją;
• Y ašyje nubraižome skaičių $5$ ir nubrėžiame tiesę, statmeną $y$ ašiai. Statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $A$ su koordinatėmis $(2; 5)$.

Taško $B$ statyba:

• Nubraižykime skaičių $3$ ant $x$ ašies ir nubrėžkime tiesę, statmeną x ašiai;
• $y$ ašyje pavaizduojame skaičių $(–1)$ ir nubrėžiame tiesią tiesę, statmeną $y$ ašiai. Statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $B$ su koordinatėmis $(3; –1)$.

2 pavyzdys

Sukurkite taškus koordinačių plokštumoje su nurodytomis koordinatėmis $C (3; 0)$ ir $D(0; 2)$.

Sprendimas.

Taško $C$ konstrukcija:

• įdėkite skaičių $3$ į $x$ ašį;
• koordinatė $y$ yra lygi nuliui, o tai reiškia, kad taškas $C$ bus $x$ ašyje.

Taško $D$ statyba:

• padėkite skaičių $2$ ant $y$ ašies;
• koordinatė $x$ yra lygi nuliui, o tai reiškia, kad taškas $D$ bus $y$ ašyje.

1 pastaba

Todėl koordinatėje $x=0$ taškas bus $y$ ašyje, o koordinatėje $y=0$ taškas bus $x$ ašyje.

3 pavyzdys

Nustatykite taškų A, B, C, D koordinates.$

Sprendimas.

Nustatykime taško $A$ koordinates. Norėdami tai padaryti, per šį tašką $2$ nubrėžiame tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios koordinačių ašims. Tiesės susikirtimas su x ašimi duoda koordinatę $x$, tiesės susikirtimas su y ašimi – koordinatę $y$. Taigi gauname, kad taškas $A (1; 3).$

Nustatykime taško $B$ koordinates. Norėdami tai padaryti, per šį tašką $2$ nubrėžiame tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios koordinačių ašims. Tiesės susikirtimas su x ašimi duoda koordinatę $x$, tiesės susikirtimas su y ašimi – koordinatę $y$. Randame tą tašką $B (–2; 4).$

Nustatykime taško $C$ koordinates. Nes jis yra $y$ ašyje, tada šio taško $x$ koordinatė lygi nuliui. Y koordinatė yra $–2 $. Taigi taškas $C (0; –2)$.

Nustatykime taško $D$ koordinates. Nes ji yra $x$ ašyje, tada $y$ koordinatė lygi nuliui. Šio taško $x$ koordinatė yra $–5$. Taigi taškas $D (5; 0).$

4 pavyzdys

Sukurkite taškus $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Sprendimas.

$E$ taško statyba:

• uždėkite skaičių $(–3)$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją;
• ant $y$ ašies pavaizduojame skaičių $(–2)$ ir nubrėžiame statmeną tiesę $y$ ašiai;
• statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $E (–3; –2).$

$F$ taško konstrukcija:

• koordinatė $y=0$, o tai reiškia, kad taškas yra $x$ ašyje;
• Nubraižykime skaičių $5$ ant $x$ ašies ir gaukime tašką $F(5; 0).$

Taško $G$ statyba:

• uždėkite skaičių $3$ ant $x$ ašies ir nubrėžkite statmeną liniją $x$ ašiai;
• ant $y$ ašies nubraižome skaičių $4$ ir nubrėžiame statmeną tiesę $y$ ašiai;
• statmenų tiesių sankirtoje gauname tašką $G(3; 4).$

Taško $H$ statyba:

• koordinatė $x=0$, tai reiškia, kad taškas yra $y$ ašyje;
• Nubraižykime skaičių $(–4)$ ant $y$ ašies ir gaukime tašką $H(0;–4).$

$O$ taško konstrukcija:

• abi taško koordinatės lygios nuliui, o tai reiškia, kad taškas vienu metu yra ir $y$ ašyje, ir $x$ ašyje, todėl yra abiejų ašių susikirtimo taškas (koordinačių pradžia).

Stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje sudaro dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys X’X ir Y’Y. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje parenkama teigiama kryptis. Teigiama ašių kryptis (dešiniojoje koordinačių sistemoje) parenkama taip, kad pasukus X'X ašį. prieš laikrodžio rodyklę 90°, jo teigiama kryptis sutampa su Y'Y ašies teigiama kryptimi. Keturi kampai (I, II, III, IV), sudaryti iš koordinačių ašių X'X ir Y'Y, vadinami koordinačių kampais (žr. 1 pav.).

Taško A padėtis plokštumoje nustatoma pagal dvi koordinates x ir y. X koordinatė lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė lygi atkarpos OC ilgiui pasirinktuose matavimo vienetuose. Atkarpas OB ir OC apibrėžia linijos, nubrėžtos iš taško A, lygiagrečios Y'Y ir X'X ašims, atitinkamai. Koordinatė x vadinama taško A abscise, y – taško A ordinate. Rašoma taip: A(x, y).

Jei taškas A yra koordinačių kampe I, tai taškas A turi teigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe II, tai taškas A turi neigiamą abscisę ir teigiamą ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe III, tai taškas A turi neigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra IV koordinačių kampe, tai taškas A turi teigiamą abscisę ir neigiamą ordinatę.

Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje sudaro trys viena kitai statmenos koordinačių ašys OX, OY ir OZ. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje pasirenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Matavimo vienetai yra vienodi visoms ašims. OX - abscisių ašis, OY - ordinačių ašis, OZ - taikymo ašis. Teigiama ašių kryptis parenkama taip, kad OX ašį pasukus prieš laikrodžio rodyklę 90°, jos teigiama kryptis sutaptų su teigiama OY ašies kryptimi, jei šis sukimasis stebimas iš teigiamos OZ ašies krypties. Tokia koordinačių sistema vadinama dešiniaranke. Jei nykštis dešinė ranka imkime X kryptį kaip X kryptį, indeksinę – kaip Y kryptį, o vidurinę – kaip Z kryptį, tada susidaro dešinioji koordinačių sistema. Panašūs kairės rankos pirštai sudaro kairiąją koordinačių sistemą. Neįmanoma sujungti dešinės ir kairės koordinačių sistemų taip, kad atitinkamos ašys sutaptų (žr. 2 pav.).

Taško A padėtis erdvėje nustatoma pagal tris koordinates x, y ir z. Koordinatė x lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė – atkarpos OC ilgiui, z koordinatė – atkarpos OD ilgiui pasirinktais matavimo vienetais. Atkarpas OB, OC ir OD apibrėžia plokštumos, nubrėžtos iš taško A, lygiagrečios atitinkamai plokštumoms YOZ, XOZ ir XOY. Koordinatė x vadinama taško A abscise, y koordinatė vadinama taško A ordinate, z koordinatė vadinama taško A aplikacija. Rašoma taip: A(a, b, c).

Orty

Stačiakampė koordinačių sistema (bet kokio matmens) taip pat apibūdinama vienetų vektorių rinkiniu, sulygiuotu su koordinačių ašimis. Vienetų vektorių skaičius yra lygus koordinačių sistemos matmeniui ir visi jie yra statmeni vienas kitam.

Trimačiu atveju tokie vienetiniai vektoriai dažniausiai žymimi i j k arba e x e y e z. Šiuo atveju dešiniarankės koordinačių sistemos atveju galioja šios formulės su vektorių sandauga:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Istorija

Stačiakampę koordinačių sistemą pirmą kartą pristatė Rene'as Descartes'as savo darbe „Metodo diskursas“ 1637 m. Todėl stačiakampė koordinačių sistema taip pat vadinama - Dekarto koordinačių sistema. Geometrinių objektų apibūdinimo koordinačių metodas pažymėjo analitinės geometrijos pradžią. Pierre'as Fermatas taip pat prisidėjo prie koordinačių metodo kūrimo, tačiau jo darbai pirmą kartą buvo paskelbti po jo mirties. Dekartas ir Ferma koordinačių metodą naudojo tik plokštumoje.

Koordinačių metodas trimatė erdvė pirmą kartą panaudojo Leonhardas Euleris XVIII a.

taip pat žr

Nuorodos

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „koordinačių plokštuma“ kituose žodynuose:

pjovimo plokštuma- (Pn) Koordinatės plokštuma, liečianti pjovimo briauną nagrinėjamame taške ir statmena pagrindinei plokštumai. [...

Topografijoje – įsivaizduojamų linijų tinklas, juosiantis Žemė platumos ir dienovidinio kryptimis, kuriomis galite tiksliai nustatyti bet kurio taško padėtį žemės paviršiuje. Platumos matuojamos nuo pusiaujo – didžiojo apskritimo... ... Geografinė enciklopedija

Topografijoje – įsivaizduojamų linijų tinklas, juosiantis Žemės rutulį platumos ir dienovidinio kryptimis, kurio pagalba galima tiksliai nustatyti bet kurio taško padėtį žemės paviršiuje. Platumos matuojamos nuo didžiojo apskritimo pusiaujo,... ... Collier enciklopedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr Fazių diagrama. Fazių plokštuma – tai koordinačių plokštuma, kurioje išilgai koordinačių ašių nubrėžti bet kokie du kintamieji (fazių koordinatės), kurie vienareikšmiškai nustato sistemos būseną... ... Vikipedija

pagrindinė pjovimo plokštuma- (Pτ) Koordinatės plokštuma, statmena pagrindinės plokštumos ir pjovimo plokštumos sankirtai. [GOST 25762 83] Temos: pjovimo apdirbimas Bendrieji terminai: koordinačių plokštumų sistemos ir koordinačių plokštumos... Techninis vertėjo vadovas

instrumentinė pagrindinė pjovimo plokštuma- (Pτi) Koordinatės plokštuma, statmena pagrindinės instrumentinės plokštumos ir pjovimo plokštumos susikirtimo linijai. [GOST 25762 83] Temos: pjovimo apdirbimas Bendrieji terminai: koordinačių plokštumų sistemos ir koordinačių plokštumos... Techninis vertėjo vadovas

įrankių pjovimo plokštuma- (Pni) Koordinatės plokštuma, liečianti pjovimo briauną nagrinėjamame taške ir statmena pagrindinei prietaiso plokštumai. [GOST 25762 83] Pjovimo apdirbimo dalykai Bendrieji koordinačių plokštumos sistemos terminai ir... ... Techninis vertėjo vadovas

kinematinė pagrindinė pjovimo plokštuma- (Pτк) Koordinatės plokštuma, statmena pagrindinės kinematinės plokštumos ir pjovimo plokštumos susikirtimo linijai ... Techninis vertėjo vadovas

kinematinė pjovimo plokštuma- (Pnк) Koordinatės plokštuma, liečianti pjovimo briauną nagrinėjamame taške ir statmena pagrindinei kinematikai... Techninis vertėjo vadovas

pagrindinė plokštuma- (Pv) Koordinačių plokštuma, nubrėžta per pjovimo briaunos dominantį tašką, statmeną pagrindinio arba atsirandančio pjovimo judėjimo greičio krypčiai šiame taške. Pastaba Instrumentinėje koordinačių sistemoje kryptis... ... Techninis vertėjo vadovas