Tegul tiesė eina per taškus M 1 (x 1; y 1) ir M 2 (x 2; y 2). Tiesės, einančios per tašką M 1, lygtis yra y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

kur k – dar nežinomas koeficientas.

Kadangi tiesė eina per tašką M 2 (x 2 y 2), šio taško koordinatės turi atitikti (10.6) lygtį: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Iš čia randame Rastos vertės pakeitimą k į (10.6) lygtį gauname tiesės, einančios per taškus M 1 ir M 2, lygtį:

Daroma prielaida, kad šioje lygtyje x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jei x 1 = x 2, tai tiesė, einanti per taškus M 1 (x 1, y I) ir M 2 (x 2, y 2), yra lygiagreti ordinačių ašiai. Jo lygtis turi formą x = x 1 .

Jei y 2 = y I, tai tiesės lygtį galima parašyti taip y = y 1, tiesė M 1 M 2 lygiagreti abscisių ašiai.

Tiesios linijos atkarpose lygtis

Tegul tiesė kerta Ox ašį taške M 1 (a; 0), o Oy ašį - taške M 2 (0; b). Lygtis bus tokia:
tie.
... Ši lygtis vadinama tiesės lygtis atkarpose, kadangi skaičiai a ir b rodo, kurios atkarpos koordinačių ašyse nupjautos tiesia linija.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis

Raskime lygtį tiesės, einančios per duotą tašką Mo (x O; y o), statmeną duotam nuliniam vektoriui n = (A; B).

Paimkite savavališką tiesės tašką M (x; y) ir apsvarstykite vektorių M 0 M (x - x 0; y - y o) (žr. 1 pav.). Kadangi vektoriai n ir M o M yra statmeni, jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui: tai yra,

A (x – xo) + B (y – yo) = 0. (10.8)

Lygtis (10.8) vadinama tiesės, einančios per tam tikrą tašką, statmeną tam tikram vektoriui, lygtis .

Vektorius n = (A; B), statmenas tiesei, vadinamas normaliuoju šios linijos normalusis vektorius .

Lygtį (10.8) galima perrašyti kaip Ax + Wu + C = 0 , (10.9)

čia A ir B yra normaliojo vektoriaus koordinatės, C = -Aх о - Ву о - laisvasis narys. Lygtis (10.9) yra bendroji tiesės lygtis(žr. 2 pav.).

1 pav. 2 pav

Kanoninės tiesės lygtys

,

Kur
- taško, per kurį eina tiesė, koordinates ir
yra krypties vektorius.

Antros eilės kreivių ratas

Apskritimas yra visų plokštumos taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo centru, rinkinys.

Kanoninė spindulio apskritimo lygtis R centruojamas taške
:

Visų pirma, jei statymo centras sutampa su kilme, lygtis atrodys taip:

Elipsė

Elipsė yra plokštumos taškų rinkinys, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų suma ir , kurie vadinami židiniais, turi konstantą
didesnis nei atstumas tarp židinių
.

Kanoninė elipsės lygtis, kurios židiniai yra ant Ox ašies, o koordinačių pradžia viduryje tarp židinių turi formą
G de a pusiau pagrindinės ašies ilgis; b - pusiau mažosios ašies ilgis (2 pav.).

Elipsės parametrų ryšys
ir išreikštas santykiu:

(4)

Ekscentriškumo elipsėvadinamas interfokalinio atstumo santykiu2cprie pagrindinės ašies2a:

Direktorės elipsėmis vadinamos tiesios linijos, lygiagrečios ašiai Oy, kurios yra nutolusios nuo šios ašies. Krypties lygtys:
.

Jei elipsės lygtyje
, tada elipsės židiniai yra Oy ašyje.

Taigi,

Duoti du taškai M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2)... Rašome tiesės lygtį formoje (5), kur k dar nežinomas koeficientas:

Nuo taško M 2 priklauso nurodytai tiesei, tada jos koordinatės atitinka (5) lygtį:. Išreikšdami tai ir pakeitę ją į (5) lygtį, gauname reikiamą lygtį:

Jeigu šią lygtį galima perrašyti patogiau įsiminti forma:

(6)

Pavyzdys. Užrašykite tiesės, einančios per taškus M 1 (1.2) ir M 2 (-2.3), lygtį.

Sprendimas. ... Naudodami proporcijos savybę ir atlikę reikiamas transformacijas, gauname bendrąją tiesės lygtį:

Kampas tarp dviejų tiesių

Apsvarstykite dvi eilutes l 1 ir l 2:

l 1: , , ir

l 2: , ,

φ yra kampas tarp jų (). 4 paveiksle parodyta:.

Iš čia , arba

Naudojant (7) formulę, galima nustatyti vieną iš kampų tarp tiesių. Antrasis kampas yra.

Pavyzdys... Dvi tiesės pateikiamos lygtimis y = 2x + 3 ir y = -3x + 2. Raskite kampą tarp šių linijų.

Sprendimas... Iš lygčių matyti, kad k 1 = 2, o k 2 = -3. pakeisdami šias reikšmes į (7) formulę, randame

... Taigi kampas tarp šių linijų yra lygus.

Dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo sąlygos

Jei tiesiai l 1 ir l 2 tada yra lygiagrečios φ=0 ir tgφ = 0... iš (7) formulės matyti, kad iš kur k 2 = k 1... Taigi dviejų tiesių lygiagretumo sąlyga yra jų nuolydžių lygybė.

Jei tiesiai l 1 ir l 2 tada yra statmenos φ = π / 2, α 2 = π / 2 + α 1. ... Taigi dviejų tiesių statmenumo sąlyga yra ta, kad jų nuolydžiai yra abipusio dydžio ir priešingi pagal ženklą.

Atstumas nuo taško iki linijos

Teorema. Jei nurodytas taškas M (x 0, y 0), tai atstumas iki tiesės Ax + Vy + C = 0 nustatomas kaip

Įrodymas. Tegul taškas M 1 (x 1, y 1) yra statmens, nuleistos iš taško M į nurodytą tiesę, pagrindas. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

Koordinates x 1 ir y 1 galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną tam tikrai tiesei, lygtis.

Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp tiesių: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Pavyzdys. Parodykite, kad tiesės 3x - 5y + 7 = 0 ir 10x + 6y - 3 = 0 yra statmenos.

Randame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, todėl tiesės yra statmenos.

Pavyzdys. Pateikiamos trikampio A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) viršūnės. Raskite aukščio lygtį, nubrėžtą iš viršūnės C.

Randame kraštinės AB lygtį:; 4x = 6y - 6;

2x - 3m + 3 = 0;

Reikalinga aukščio lygtis yra tokia: Ax + By + C = 0 arba y = kx + b.

k =. Tada y =. Nes aukštis eina per tašką C, tada jo koordinatės tenkina šią lygtį: iš kur b = 17. Iš viso:.

Atsakymas: 3x + 2m - 34 = 0.

Atstumas nuo taško iki tiesės nustatomas pagal statmeno, nukritusio nuo taško iki tiesės, ilgį.

Jei tiesė lygiagreti projekcijos plokštumai (h | | P 1), tada norėdami nustatyti atstumą nuo taško A tiesiai h reikia nuleisti statmeną nuo taško A ant horizontalės h.

Panagrinėkime sudėtingesnį pavyzdį, kai tiesi linija užima bendrą padėtį. Tegul reikia nustatyti atstumą nuo taško M tiesiai a bendrą poziciją.

Užduotis nustatyti atstumas tarp lygiagrečių linijų išspręstas panašiai kaip ir ankstesnis. Vienoje tiesėje paimamas taškas, nuo jo statmenas nuleidžiamas į kitą tiesę. Statmens ilgis lygus atstumui tarp lygiagrečių tiesių.

Antros eilės kreivė vadinama tiese, nustatyta antrojo laipsnio lygtimi esamų Dekarto koordinačių atžvilgiu. Apskritai, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kur A, B, C, D, E, F yra tikrieji skaičiai ir bent vienas iš skaičių A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Apskritimas

Apskritimo centras- tai taškų lokusas plokštumoje, nutolęs vienodu atstumu nuo plokštumos taško C (a, b).

Apskritimas pateikiamas pagal šią lygtį:

Kur x, y yra savavališko apskritimo taško koordinatės, o R yra apskritimo spindulys.

Perimetro lygtis

1. Nėra termino su x, y

2. Lygiai koeficientai x 2 ir y 2

Elipsė

Elipsė vadinamas taškų lokusu plokštumoje, kurių kiekvieno atstumų nuo dviejų nurodytų šios plokštumos taškų suma vadinama židiniais (pastovi reikšme).

Kanoninė elipsės lygtis:

X ir y priklauso elipsei.

a - pusiau pagrindinė elipsės ašis

b - pusiau mažoji elipsės ašis

Elipsė turi 2 simetrijos ašis OX ir OY. Elipsės simetrijos ašys yra jos ašys, jų susikirtimo taškas yra elipsės centras. Ašis, kurioje yra židiniai, vadinama židinio ašis... Elipsės susikirtimo su ašimis taškas yra elipsės viršūnė.

Suspaudimo (tempimo) santykis: ε = s / a- ekscentriškumas (būdingas elipsės formai), kuo jis mažesnis, tuo mažiau elipsė išsities išilgai židinio ašies.

Jei elipsės centrai nėra C centre (α, β)

Hiperbolė

Hiperbolė vadinamas taškų lokusu plokštumoje, absoliuti atstumų skirtumo vertė, kurių kiekvienas iš dviejų nurodytų šios plokštumos taškų, vadinamų židiniais, yra pastovi reikšmė, kuri nėra nulis.

Kanoninė hiperbolės lygtis

Hiperbolė turi 2 simetrijos ašis:

a yra tikroji simetrijos pusašis

b – įsivaizduojama simetrijos pusašis

Hiperbolės asimptotai:

Parabolė

Parabolė vadinamas taškų lokusu plokštumoje, vienodai nutolusių nuo nurodyto taško F, ​​vadinamo židiniu ir tam tikra tiese, vadinama kryptine linija.

Kanoninė parabolės lygtis:

Y 2 = 2 pikseliai, kur p yra atstumas nuo židinio iki krypties (parabolės parametras)

Jei parabolės viršūnė C (α, β), tai parabolės (y-β) lygtis 2 = 2p (x-α)

Jei židinio ašis laikoma ordinačių ašimi, tada parabolės lygtis bus tokia: x 2 = 2qу

Tiesios linijos savybės Euklido geometrijoje.

Per bet kurį tašką galite nubrėžti be galo daug tiesių linijų.

Vieną tiesią liniją galima nubrėžti per bet kuriuos du nesutampančius taškus.

Dvi nesutampančios tiesės plokštumoje arba susikerta viename taške, arba yra

lygiagretus (seka nuo ankstesnio).

Trimatėje erdvėje yra trys dviejų tiesių linijų santykinės padėties parinktys:

• susikerta tiesios linijos;

• tiesios linijos yra lygiagrečios;

• susikerta tiesios linijos.

Tiesiai linija- pirmos eilės algebrinė kreivė: Dekarto koordinačių sistemoje tiesė

plokštumoje pateikiama pirmojo laipsnio lygtimi (tiesine lygtimi).

Bendroji tiesės lygtis.

Apibrėžimas... Bet kuri tiesė plokštumoje gali būti pateikta pirmosios eilės lygtimi

Ax + Wu + C = 0,

su pastoviu A, B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui. Ši pirmosios eilės lygtis vadinama bendras

tiesios linijos lygtis. Priklausomai nuo konstantų reikšmių A, B ir SU galimi šie ypatingi atvejai:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- tiesi linija eina per pradžią

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (pagal + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai Oi

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- tiesi linija, lygiagreti ašiai OU

. B = C = 0, A ≠ 0- tiesi linija sutampa su ašimi OU

. A = C = 0, B ≠ 0- tiesi linija sutampa su ašimi Oi

Tiesios linijos lygtis gali būti pateikta įvairiomis formomis, atsižvelgiant į bet kurią duotąją

pradines sąlygas.

Tiesės išilgai taško ir normaliojo vektoriaus lygtis.

Apibrėžimas... Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje vektorius su komponentais (A, B)

statmena lygties nurodytai tiesei

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys... Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį A (1, 2) statmenai vektoriui (3, -1).

Sprendimas... Esant A = 3 ir B = -1, sudarome tiesės lygtį: 3x - y + C = 0. Norėdami rasti koeficientą C

gautoje išraiškoje pakeiskite duoto taško A koordinates. Gauname: 3 - 2 + C = 0, todėl

C = -1. Iš viso: reikalinga lygtis: 3x - y - 1 = 0.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis.

Tegu erdvėje pateikti du taškai M 1 (x 1, y 1, z 1) ir M2 (x 2, y 2, z 2), tada tiesios linijos lygtis,

eina per šiuos taškus:

Jei kuris nors iš vardiklių yra lygus nuliui, atitinkamas skaitiklis turi būti prilygintas nuliui. Ant

plokštumoje, aukščiau parašyta tiesės lygtis yra supaprastinta:

jeigu x 1 ≠ x 2 ir x = x 1, jei x 1 = x 2 .

Frakcija = k paskambino nuolydis tiesiai.

Pavyzdys... Raskite tiesės, einančios per taškus A (1, 2) ir B (3, 4), lygtį.

Sprendimas... Taikydami aukščiau pateiktą formulę, gauname:

Tiesės lygtis pagal tašką ir nuolydį.

Jei bendroji tiesės lygtis Ax + Wu + C = 0 veda į formą:

ir paskirti , tada gauta lygtis vadinama

tiesės su nuolydžiu k lygtis.

Tiesios linijos išilgai taško ir krypties vektoriaus lygtis.

Pagal analogiją su pastraipa, kurioje nagrinėjama tiesės linijos per normalųjį vektorių lygtis, galite įvesti užduotį

tiesi linija per tašką ir tiesės krypties vektorius.

Apibrėžimas... Kiekvienas nulinis vektorius (α 1, α 2) kurio komponentai tenkina sąlygą

Аα 1 + Вα 2 = 0 paskambino nukreipiantis tiesės vektorius.

Ax + Wu + C = 0.

Pavyzdys... Raskite tiesės su krypties vektoriumi (1, -1) ir einančios per tašką A (1, 2) lygtį.

Sprendimas... Reikalingos tiesės lygtis bus ieškoma tokia forma: Ax + By + C = 0. Pagal apibrėžimą,

koeficientai turi atitikti sąlygas:

1 * A + (-1) * B = 0, t.y. A = B.

Tada tiesės lygtis turi tokią formą: Ax + Ay + C = 0, arba x + y + C / A = 0.

adresu x = 1, y = 2 mes gauname C / A = -3, t.y. reikalinga lygtis:

x + y - 3 = 0

Tiesios linijos atkarpose lygtis.

Jei bendrojoje tiesės lygtyje Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0, tada, padalijant iš -C, gauname:

arba kur

Koeficientų geometrinė reikšmė ta, kad koeficientas a yra susikirtimo taško koordinatė

tiesiai su ašimi Oi, a b- tiesės susikirtimo su ašimi taško koordinatė OU.

Pavyzdys... Pateikiama bendroji tiesės lygtis x - y + 1 = 0. Raskite šios tiesės lygtį atkarpomis.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normali tiesės lygtis.

Jei abi lygties pusės Ax + Wu + C = 0 padalinti iš skaičiaus kuris vadinamas

normalizuojantis veiksnys, tada gauname

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalioji tiesės lygtis.

Normalizuojančio koeficiento ± ženklą reikia parinkti taip, kad μ * C< 0.

R- statmens ilgis, nukritęs nuo pradžios iki tiesės,

a φ - kampas, sudarytas šio statmens su teigiama ašies kryptimi Oi.

Pavyzdys... Pateikiama bendroji tiesės lygtis 12x - 5m - 65 = 0... Reikalinga parašyti įvairių tipų lygtis

ši tiesi linija.

Šios tiesės lygtis atkarpomis:

Šios tiesės lygtis su nuolydžiu: (padalinkite iš 5)

Tiesios linijos lygtis:

cos φ = 12/13; sin φ = -5/13; p = 5.

Reikėtų pažymėti, kad ne kiekviena tiesė gali būti pavaizduota lygtimi atkarpose, pavyzdžiui, tiesės,

lygiagrečios ašims arba einančios per pradžią.

Kampas tarp tiesių plokštumoje.

Apibrėžimas... Jei pateiktos dvi eilutės y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada smailusis kampas tarp šių linijų

bus apibrėžtas kaip

Dvi tiesės lygiagrečios, jei k 1 = k 2... Dvi tiesios linijos yra statmenos,

jeigu k 1 = -1 / k 2 .

Teorema.

Tiesioginis Ax + Wu + C = 0 ir A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 yra lygiagrečios, kai koeficientai yra proporcingi

А 1 = λА, В 1 = λВ... Jei taip pat С 1 = λС, tada tiesės sutampa. Dviejų tiesių susikirtimo taško koordinatės

randami kaip šių tiesių lygčių sistemos sprendimas.

Tiesės, einančios per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei, lygtis.

Apibrėžimas... Linija per tašką M 1 (x 1, y 1) ir statmenai tiesei y = kx + b

yra pavaizduotas lygtimi:

Atstumas nuo taško iki linijos.

Teorema... Jei duodamas taškas M (x 0, y 0), atstumas iki tiesės Ax + Wu + C = 0 apibrėžtas kaip:

Įrodymas... Tegul taškas M 1 (x 1, y 1)- statmeno pagrindas nukrito nuo taško M už duotą

tiesi linija. Tada atstumas tarp taškų M ir M 1:

(1)

Koordinatės x 1 ir 1 val galima rasti kaip lygčių sistemos sprendimą:

Antroji sistemos lygtis yra tiesės, einančios per tam tikrą tašką M 0, statmeną

duota tiesi linija. Jei paversime pirmąją sistemos lygtį į formą:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + pagal 0 + C = 0,

tada išspręsdami gauname:

Pakeitę šias išraiškas į (1) lygtį, randame:

Teorema įrodyta.

Duoti du taškai M(X 1 ,Turi 1) ir N(X 2,y 2). Raskime tiesės, einančios per šiuos taškus, lygtį.

Kadangi ši linija eina per tašką M, tada pagal (1.13) formulę jos lygtis turi formą

Turi – Y 1 = K(X - x 1),

Kur K- nežinomas nuolydis.

Šio koeficiento reikšmė nustatoma pagal sąlygą, kad norima tiesė eina per tašką N, taigi jo koordinatės atitinka (1.13) lygtį

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Iš čia galite rasti šios tiesios linijos nuolydį:

,

Arba po konvertavimo

(1.14)

Formulė (1.14) nustato Tiesės, einančios per du taškus, lygtis M(X 1, Y 1) ir N(X 2, Y 2).

Ypatingu atveju, kai taškai M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, guli ant koordinačių ašių, lygtis (1.14) įgauna paprastesnę formą

Lygtis (1.15) paskambino Pagal tiesės lygtį atkarpose, čia A ir B pažymėkite ašyse tiesia linija nupjautas atkarpas (1.6 pav.).

1.6 pav

1.10 pavyzdys. Sulyginkite tiesią liniją per taškus M(1, 2) ir B(3, –1).

. Pagal (1.14) ieškomos linijos lygtis turi formą

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Perkeldami visus terminus į kairę pusę, galiausiai gauname reikiamą lygtį

3X + 2Y – 7 = 0.

1.11 pavyzdys. Sulyginkite tiesią liniją per tašką M(2, 1) ir linijų susikirtimo taškas X+ Y - 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Tiesių susikirtimo taško koordinates randame kartu išsprendę pateiktas lygtis

Jei šias lygtis sudėsime po termino, gautume 2 X+ 1 = 0, iš kur. Rastą reikšmę pakeisdami į bet kurią lygtį, randame ordinatės reikšmę Turi:

Dabar parašome tiesės, einančios per taškus (2, 1), lygtį ir:

arba .

Vadinasi, arba –5 ( Y – 1) = X – 2.

Galiausiai formoje gauname norimos tiesės lygtį X + 5Y – 7 = 0.

1.12 pavyzdys. Raskite tiesės, einančios per taškus, lygtį M(2,1) ir N(2,3).

Naudodami (1.14) formulę gauname lygtį

Tai nėra prasmės, nes antrasis vardiklis yra nulis. Iš problemos teiginio matyti, kad abiejų taškų abscisės turi tą pačią vertę. Vadinasi, ieškoma linija yra lygiagreti ašiai OY ir jo lygtis yra tokia: x = 2.

komentuoti . Jei rašant tiesės lygtį pagal (1.14) formulę, vienas iš vardiklių pasirodo lygus nuliui, tai norimą lygtį galima gauti prilyginus atitinkamą skaitiklį nuliui.

Apsvarstykite kitus būdus, kaip apibrėžti tiesią liniją plokštumoje.

1. Tegul nulinis vektorius yra statmenas duotai tiesei L ir taškas M 0(X 0, Y 0) yra ant šios tiesios linijos (1.7 pav.).

1.7 pav

Mes pažymime M(X, Y) savavališkas taškas tiesėje L... Vektoriai ir Stačiakampis. Naudodami šių vektorių ortogonalumo sąlygas, gauname arba A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Gavome tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 statmenai vektoriui. Šis vektorius vadinamas Normalus vektorius tiesiai L... Gautą lygtį galima perrašyti kaip

Oi + Oho + SU= 0, kur SU = –(AX 0 + Autorius 0), (1.16),

Kur A ir V- normalaus vektoriaus koordinates.

Gaukime bendrąją tiesės lygtį parametrine forma.

2. Tiesė plokštumoje gali būti nurodyta taip: tegul nulinis vektorius yra lygiagretus duotai tiesei L ir taškas M 0(X 0, Y 0) yra ant šios tiesios linijos. Dar kartą paimkime savavališką tašką M(X, y) tiesia linija (1.8 pav.).

1.8 pav

Vektoriai ir kolinearinis.

Užrašykime šių vektorių kolineariškumo sąlygą:, kur T- savavališkas skaičius, vadinamas parametru. Parašykime šią lygybę koordinatėmis:

Šios lygtys vadinamos Parametrinės lygtys Tiesiai... Iš šių lygčių neįtraukiame parametro T:

Kitu atveju šios lygtys gali būti parašytos forma

. (1.18)

Gauta lygtis vadinama Kanoninė tiesės lygtis... Vektorius vadinamas Tiesės krypties vektorius .

komentuoti . Nesunku pastebėti, kad jei yra normalus linijos vektorius L, tada jo krypties vektorius gali būti vektorius, kadangi, t.y.

1.13 pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 (1, 1) lygiagreti tiesei 3 X + 2Turi– 8 = 0.

Sprendimas . Vektorius yra normalus vektorius duotosioms ir norimoms tiesioms linijoms. Naudosime tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 su duotu normaliu vektoriumi 3 ( X –1) + 2(Turi– 1) = 0 arba 3 X + 2m- 5 = 0. Gauta norimos tiesės lygtis.

Pažiūrėkime, kaip sudaryti tiesės, einančios per du taškus, lygtį naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Sudarykite tiesės, einančios per taškus A (-3; 9) ir B (2; -1), lygtį.

1 būdas – sudaryti tiesės su nuolydžiu lygtį.

Tiesios linijos su nuolydžiu lygtis turi formą. Taškų A ir B koordinates pakeitę tiesės lygtimi (x = -3 ir y = 9 - pirmuoju atveju x = 2 ir y = -1 - antruoju), gauname lygčių sistemą. iš kurių randame k ir b reikšmes:

Sudėjus 1-ąją ir 2-ąją lygtis, gauname: -10 = 5k, iš kur k = -2. Pakeitę k = -2 į antrąją lygtį, randame b: -1 = 2 · (-2) + b, b = 3.

Taigi, y = -2x + 3 yra norima lygtis.

2 būdas – sudaryti bendrąją tiesės lygtį.

Bendroji tiesės lygtis turi formą. Pakeitę taškų A ir B koordinates į lygtį, gauname sistemą:

Kadangi nežinomųjų skaičius yra didesnis už lygčių skaičių, sistema nėra išsprendžiama. Bet visus kintamuosius galite išreikšti vienu. Pavyzdžiui, per b.

Pirmąją sistemos lygtį padauginkite iš -1 ir pridedant terminą prie antrosios:

gauname: 5a-10b = 0. Taigi a = 2b.

Gautą išraišką pakeiskite antrąja lygtimi: 2 · 2b -b + c = 0; 3b + c = 0; c = -3b.
Lygtį ax + pakeiskite a = 2b, c = -3b + c = 0:

2bx + by-3b = 0. Belieka padalyti abi dalis iš b:

Bendroji tiesės lygtis lengvai redukuojama į tiesės su nuolydžiu lygtį:

3 būdas – sudaryti tiesės, einančios per 2 taškus, lygtį.

Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygtis:

Į šią lygtį pakeiskite taškų A (-3; 9) ir B (2; -1) koordinates.

(ty x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

ir supaprastinti:

iš kur 2x + y-3 = 0.

Mokyklos kurse dažniausiai naudojama tiesės su nuolydžiu lygtis. Tačiau lengviausias būdas yra išvesti ir naudoti tiesės, einančios per du taškus, lygties formulę.

komentuoti.

Jei, keičiant duotųjų taškų koordinates, vienas iš lygties vardiklių

pasirodo lygus nuliui, tada norima lygtis gaunama prilyginant atitinkamo skaitiklio nuliui.

2 pavyzdys.

Sudarykite tiesės, einančios per du taškus C (5; -2) ir D (7; -2), lygtį.

Pakeiskite lygtį tiesią, einančią per 2 taškus, taškų C ir D koordinates.