Su 15 eksponentinių lygčių. Galios arba eksponentinės lygtys. galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis

Eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie yra „labai lygūs...“)

Kas nutiko eksponentinė lygtis? Tai lygtis, kurioje yra nežinomieji (x) ir išraiškos su jais rodikliai kai kurie laipsniai. Ir tik ten! Svarbu.

Štai kur tu eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

3 x 2 x = 8 x + 3

Pastaba! Laipsnių pagrinduose (žemiau) - tik skaičiai... V rodikliai laipsniai (aukščiau) - daugybė išraiškų su x. Jei staiga lygtyje x atsiranda kur nors kitur nei indikatorius, pavyzdžiui:

tai jau bus mišraus tipo lygtis. Tokios lygtys neturi aiškių sprendimo taisyklių. Kol kas jų nesvarstysime. Čia mes susidorosime su spręsdami eksponenlines lygtis gryniausia forma.

Tiesą sakant, net grynos eksponentinės lygtys ne visada yra aiškiai išspręstos. Tačiau yra tam tikrų tipų eksponentinių lygčių, kurias galima ir reikia išspręsti. Mes apsvarstysime šias rūšis.

Paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimas.

Pradėkime nuo kažko labai paprasto. Pavyzdžiui:

Net ir be jokių teorijų iš paprasto pasirinkimo aišku, kad x = 2. Ne daugiau, tiesa!? Jokios kitos x vertės nenukrenta. Dabar pažvelkime į šios gudrios eksponentinės lygties sprendimo įrašą:

Ką mes padarėme? Mes, tiesą sakant, tiesiog išmetėme tuos pačius pagrindus (tris). Jie visiškai jį išmetė. Ir, kas patinka, pataikykite!

Iš tiesų, jei eksponentinė lygtis kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiais laipsniais, šie skaičiai gali būti pašalinti ir rodikliai sulyginami. Matematika leidžia. Belieka išspręsti daug paprastesnę lygtį. Puiku, ar ne?)

Tačiau prisiminkime tai ironiškai: pagrindus galite nuimti tik tada, kai baziniai numeriai kairėje ir dešinėje yra puikiai atskirti! Be jokių kaimynų ir koeficientų. Tarkime lygtyse:

2 x +2 x + 1 = 2 3 arba

deuces negalima pašalinti!

Na, mes įvaldėme svarbiausią dalyką. Kaip pereiti nuo piktų eksponentinių išraiškų prie paprastesnių lygčių.

"Tai laikai!" - sakai tu. "Kas duos tokį primityvumą per testus ir egzaminus!?"

turiu sutikti. Niekas neduos. Tačiau dabar žinote, kur reikia stengtis sprendžiant painius pavyzdžius. Jį reikia atnešti į formą, kai tas pats bazinis numeris yra kairėje - dešinėje. Tada viskas bus lengviau. Tiesą sakant, tai yra matematikos klasika. Imame originalų pavyzdį ir paverčiame jį norimu. JAV protas. Žinoma, pagal matematikos taisykles.

Pažvelkime į pavyzdžius, kuriems reikia šiek tiek papildomų pastangų, kad būtų galima juos sumažinti iki pačių paprasčiausių. Paskambinkime jiems paprastos eksponentinės lygtys.

Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Sprendžiant eksponentines lygtis, pagrindinės taisyklės yra šios: veiksmai su laipsniais. Nežinant apie šiuos veiksmus niekas neveiks.

Prie veiksmų su laipsniais turi būti pridėtas asmeninis stebėjimas ir išradingumas. Ar mums reikia tų pačių bazinių skaičių? Taigi pavyzdyje jų ieškome aiškia arba šifruota forma.

Pažiūrėkime, kaip tai daroma praktiškai?

Pateiksime pavyzdį:

2 2x - 8x + 1 = 0

Pirmas akylas žvilgsnis yra į pagrindu. Jie... Jie skirtingi! Du ir aštuoni. Tačiau nusiminti dar per anksti. Pats laikas tai prisiminti

Du ir aštuoni yra laipsnio giminės.) Visiškai įmanoma užsirašyti:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Jei prisimenate formulę iš veiksmų su galiomis:

(a n) m = a nm,

apskritai pasirodo puiku:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Pradinis pavyzdys dabar atrodo taip:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

Perkeliame 2 3 (x + 1)į dešinę (niekas neatšaukė elementarių matematikos veiksmų!), gauname:

2 2x = 2 3 (x + 1)

Tai praktiškai viskas. Nuimame pagrindus:

Mes išsprendžiame šį monstrą ir gauname

Tai yra teisingas atsakymas.

Šiame pavyzdyje mums padėjo dviejų galių žinojimas. Mes nustatyta aštuonete yra užšifruotas du. Šis metodas (įprastų bazių šifravimas skirtingais skaičiais) yra labai populiarus eksponentinių lygčių metodas! Ir logaritmais. Skaičiuose reikia mokėti atpažinti kitų skaičių galias. Tai labai svarbu sprendžiant eksponenlines lygtis.

Faktas yra tas, kad bet kokį skaičių padidinti iki bet kokios galios nėra problema. Padaugink, kad ir ant popieriaus lapo, ir viskas. Pavyzdžiui, kiekvienas gali pakelti 3 iki penktos laipsnio. 243 veiks, jei žinote daugybos lentelę.) Tačiau eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia ne kelti iki laipsnio, o atvirkščiai ... koks skaičius iki kokio laipsnio slepiasi po skaičiumi 243, arba, tarkime, 343... Joks skaičiuotuvas čia nepadės.

Kai kurių skaičių galias reikia žinoti iš matymo, taip... Praktikuokime?

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Atsakymai (netvarkingai, natūraliai!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Atidžiau pažvelgę pamatysite keistą faktą. Atsakymų yra žymiai daugiau nei užduočių! Na, atsitinka... Pavyzdžiui, 2 6, 4 3, 8 2 visi yra 64.

Tarkime, kad atkreipėte dėmesį į informaciją apie susipažinimą su skaičiais.) Leiskite jums priminti, kad eksponentinėms lygtims spręsti naudojame visas matematinių žinių fondą. Įskaitant tuos iš jaunesniųjų ir vidurinių klasių. Jūs iš karto neįstojote į vidurinę mokyklą, ar ne?)

Pavyzdžiui, sprendžiant eksponenlines lygtis, dažnai padeda bendrąjį koeficientą patalpinti už skliaustų (labas, 7 klasė!). Pažiūrėkime pavyzdį:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

Ir vėl iš pirmo žvilgsnio – prie pamatų! Skirtingi laipsnių pagrindai... Trys ir devyni. Ir mes norime, kad jie būtų vienodi. Na, šiuo atveju noras yra gana įgyvendinamas!) Nes:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Laikykitės tų pačių taisyklių, susijusių su laipsniais:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Puiku, galite parašyti:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Mes pateikėme pavyzdį tuo pačiu pagrindu. Taigi, kas toliau!? Trijų negalima išmesti ... Aklavietė?

Visai ne. Prisiminkite universaliausią ir galingiausią sprendimo taisyklę iš visų matematikos užduotys:

Jei nežinai, ko reikia, daryk, ką gali!

Pažiūrėk, viskas susiformuos).

Kas yra šioje eksponentinėje lygtyje gali daryti? Taip, kairėje pusėje jis tiesiogiai prašo skliaustų! Bendras koeficientas 3 2x aiškiai tai rodo. Pabandykime, tada pamatysime:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Pavyzdys vis gerėja ir gerėja!

Atminkite, kad norint pašalinti pagrindus, mums reikia gryno laipsnio, be jokių koeficientų. Skaičius 70 mums kliudo. Taigi abi lygties puses padaliname iš 70, gauname:

Oi! Viskas pavyko!

Tai yra galutinis atsakymas.

Tačiau pasitaiko, kad taksi važiavimas tais pačiais pagrindais gaunamas, bet jų pašalinimas – ne. Tai atsitinka kito tipo eksponentinėse lygtyse. Įvaldykime šį tipą.

Kintamojo keitimas sprendžiant eksponenlines lygtis. Pavyzdžiai.

Išspręskime lygtį:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pirma, kaip įprasta. Perėjimas prie vieno pagrindo. Į dvikovą.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Gauname lygtį:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ir čia mes sušalsime. Ankstesni metodai neveiks, kad ir kokie šaunūs. Turėsime išeiti iš kito galingo ir universalaus būdo arsenalo. Tai vadinama kintamasis pakeitimas.

Metodo esmė stebėtinai paprasta. Vietoj vienos sudėtingos piktogramos (mūsų atveju - 2 x), rašome kitą, paprastesnę (pavyzdžiui - t). Toks, atrodytų, beprasmis pakeitimas veda prie nuostabių rezultatų!) Tiesiog viskas tampa aišku ir suprantama!

Taigi tegul

Tada 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Pakeiskite visus laipsnius x mūsų lygtyje su t:

Na, išaušta?) Ar jau pamiršote kvadratines lygtis? Mes išsprendžiame per diskriminantą, gauname:

Čia svarbiausia nesustoti, kaip atsitinka... Tai dar ne atsakymas, mums reikia X, o ne t. Grįžtame prie X, t.y. atliekame grąžinimo pakeitimą. Pirmiausia t 1:

Tai yra,

Rado vieną šaknį. Ieškome antrojo, nuo t 2:

Hm... Kairėn 2 x, dešinėn 1... Problema? Visai ne! Užtenka prisiminti (iš veiksmų su galiomis, taip...), kad vienas yra bet koks skaičius iki nulio laipsnio. bet kas. Pristatysime tai, ko reikia. Mums reikia dviračio. Priemonės:

Dabar viskas. Turime 2 šaknis:

Tai yra atsakymas.

At sprendžiant eksponentines lygtis kartais baigiame kažkokiu nepatogiu išsireiškimu. Tipas:

Nuo septynių dviejų iki pagrindinio laipsnio neveikia. Jie ne giminaičiai... Kaip čia būti? Kažkas gali būti sumišęs... Bet žmogus, kuris šioje svetainėje perskaitė temą "Kas yra logaritmas?" , tik taupiai nusišypso ir tvirta ranka užrašo visiškai teisingą atsakymą:

Egzamino „B“ užduotyse tokio atsakymo negali būti. Ten reikia konkretaus numerio. Bet užduotyse „C“ – lengvai.

Šioje pamokoje pateikiami dažniausiai pasitaikančių eksponentinių lygčių sprendimo pavyzdžiai. Pabrėžkime pagrindinį dalyką.

Praktinis patarimas:

1. Pirmiausia žiūrime pamatai laipsnių. Svarstome, ar įmanoma juos pagaminti tas pats. Stengiamės tai padaryti aktyviai naudodami veiksmai su laipsniais. Nepamirškite, kad skaičius be x taip pat gali būti konvertuojamas į laipsnius!

2. Bandome sumažinti eksponentinę lygtį iki formos, kai yra kairė ir dešinė tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu. Mes naudojame veiksmai su laipsniais ir faktorizavimas. Ką galima suskaičiuoti skaičiais – skaičiuojame.

3. Jei antrasis patarimas nepasiteisino, bandome taikyti kintamąjį pakeitimą. Galutinis rezultatas yra lygtis, kurią galima lengvai išspręsti. Dažniausiai tai yra kvadratas. Arba trupmeninė dalis, kuri taip pat sumažinama iki kvadrato.

4. Norint sėkmingai išspręsti eksponenlines lygtis, reikia žinoti kai kurių skaičių galias „iš akies“.

Kaip įprasta, pamokos pabaigoje jūsų prašoma šiek tiek apsispręsti.) Savo. Nuo paprasto iki sudėtingo.

Išspręskite eksponentines lygtis:

Sunkiau:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x – 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Raskite šaknų produktą:

2 3-x + 2 x = 9

Įvyko?

Na, tada sudėtingiausias pavyzdys (vis dėlto išspręstas mintyse ...):

7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3

Kas įdomesnio? Tada čia jums blogas pavyzdys. Gana traukia padidėję sunkumai. Užsiminsiu, kad šiame pavyzdyje gelbsti išradingumas ir universaliausia visų matematikos uždavinių sprendimo taisyklė.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Paprastesnis pavyzdys poilsiui):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ir desertui. Raskite lygties šaknų sumą:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Taip taip! Tai mišri lygtis! Ko mes šioje pamokoje nesvarstėme. Ir kad jie turėtų būti apsvarstyti, jie turi būti išspręsti!) Šios pamokos visiškai pakanka lygčiai išspręsti. Na, reikia nuovokumo... Ir tegul tau padeda septinta klasė (tai užuomina!).

Atsakymai (netvarkingai, atskirti kabliataškiu):

vienas; 2; 3; 4; nėra sprendimų; 2; -2; -5; 4; 0.

Ar viskas gerai? gerai.

Yra problema? Jokiu problemu! Specialiajame 555 skyriuje visos šios eksponentinės lygtys išspręstos su išsamiais paaiškinimais. Kas, kodėl ir kodėl. Ir, žinoma, yra papildomos vertingos informacijos apie darbą su visų rūšių eksponeninėmis lygtimis. Ne tik šie.)

Paskutinis juokingas klausimas, kurį reikia apsvarstyti. Šioje pamokoje mes dirbome su eksponentinėmis lygtimis. Kodėl aš čia nepasakiau nė žodžio apie ODZ? Beje, lygtyse tai labai svarbus dalykas...

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Momentinis patvirtinimo testas. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Pasirengimo baigiamajam testui etape vyresniųjų klasių mokiniai turi patobulinti žinias tema „Eksponentinės lygtys“. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad tokios užduotys moksleiviams kelia tam tikrų sunkumų. Todėl aukštųjų mokyklų studentai, nepaisant jų pasirengimo lygio, turi gerai įsisavinti teoriją, įsiminti formules ir suprasti tokių lygčių sprendimo principą. Išmokę susidoroti su tokio tipo problemomis, abiturientai galės pasikliauti aukštais balais laikydami matematikos egzaminą.

Pasiruoškite egzamino testavimui su Shkolkovo!

Peržiūrėdami aptariamą medžiagą, daugelis studentų susiduria su formulių, reikalingų lygtims išspręsti, paieška. Mokyklinis vadovėlis ne visada po ranka, o reikalingos informacijos tam tikra tema internete parinkimas užtrunka ilgai.

Švietimo portalas „Shkolkovo“ kviečia mokinius naudotis mūsų žinių baze. Diegiame visiškai naują pasiruošimo galutiniam testavimui metodą. Studijuodami mūsų svetainėje galėsite atpažinti žinių spragas ir atkreipti dėmesį būtent į tas užduotis, kurios sukelia didžiausius sunkumus.

Školkovo mokytojai surinko, susistemino ir paprasčiausia ir prieinama forma pateikė visą medžiagą, reikalingą sėkmingam vieningo valstybinio egzamino išlaikymui.

Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinė nuoroda“.

Norint geriau įsisavinti medžiagą, rekomenduojame pasipraktikuoti atliekant užduotis. Atidžiai peržiūrėkite eksponentinių lygčių pavyzdžius su sprendimu, pateiktu šiame puslapyje, kad suprastumėte skaičiavimo algoritmą. Po to pereikite prie užduočių skyriuje „Katalogai“. Galite pradėti nuo paprasčiausių uždavinių arba pereiti tiesiai prie sudėtingų eksponentinių lygčių su keliais nežinomaisiais sprendimais arba. Mūsų svetainėje esanti pratybų bazė nuolat pildoma ir atnaujinama.

Tuos pavyzdžius su indikatoriais, kurie sukėlė jums sunkumų, galite įtraukti į mėgstamiausius. Tokiu būdu galite greitai juos rasti ir aptarti sprendimą su savo instruktoriumi.

Norėdami sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą, kiekvieną dieną mokykitės Shkolkovo portale!

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo parinkčių. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tipas

: žinių, įgūdžių ir gebėjimų apibendrinimo ir kompleksinio pritaikymo pamoka tema „Eksponentinės lygtys ir jų sprendimo būdai“.

Pamokos tikslai.

Švietimas:
pakartoti ir susisteminti pagrindinę temos „Rodinio lygtys, jų sprendiniai“ medžiagą; įtvirtinti gebėjimą naudoti tinkamus algoritmus sprendžiant įvairaus tipo eksponencines lygtis; pasiruošimas egzaminui.
Kuriama:
ugdyti loginį ir asociatyvų mokinių mąstymą; prisidėti prie savarankiško žinių taikymo įgūdžių ugdymo.
Švietimas:
ugdyti tikslingumą, atidumą ir tikslumą sprendžiant lygtis.

Įranga:

kompiuteris ir multimedijos projektorius.

Pamoka naudoja Informacinės technologijos : metodinė pagalba pamokai - pristatymas Microsoft Power Point programoje.

Per užsiėmimus

Kiekvienas įgūdis duotas darbo

aš. Pamokos tikslų nustatymas(2 skaidrės numeris )

Šioje pamokoje apibendrinsime ir apibendrinsime temą „Eksponentinės lygtys, jų sprendiniai“. Susipažinkime su tipinėmis įvairių metų USE užduotimis šia tema.

Eksponentinių lygčių sprendimo uždavinius galima rasti bet kurioje egzamino užduočių dalyje. Dalyje " V" dažniausiai jie siūlo išspręsti pačias paprasčiausias eksponentines lygtis. Dalyje " SU " galite rasti sudėtingesnių eksponentinių lygčių, kurių sprendimas dažniausiai yra vienas iš užduoties etapų.

Pavyzdžiui ( 3 skaidrės numeris ).

Vieningas valstybinis egzaminas – 2007 m

Q 4 – Raskite didžiausią išraiškos reikšmę x y, kur ( X; adresu) – sistemos sprendimas:

Vieningas valstybinis egzaminas – 2008 m

B 1 – Išspręskite lygtis:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

Vieningas valstybinis egzaminas – 2009 m

Q 4 – Raskite posakio prasmę x + y, kur ( X; adresu) – sistemos sprendimas:

Vieningas valstybinis egzaminas – 2010 m

– Išspręskite lygtį: 7 X– 2 = 49. - Raskite lygties šaknis: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. - Išspręskite lygčių sistemą:

II. Pagrindinių žinių atnaujinimas. Kartojimas

(4–6 skaidrės pristatymai pamokai)

Ekrane rodoma pagrindinė teorinės medžiagos santrauka šia tema.

Aptariami šie klausimai:

Kokios lygtys vadinamos orientacinis?
Įvardykite pagrindinius jų sprendimo būdus. Pateikite jų tipų pavyzdžių ( 4 skaidrės numeris )

(Atskirai išspręskite kiekvieno metodo siūlomas lygtis ir atlikite savitikrą naudodami skaidrę)

Kuri teorema naudojama sprendžiant paprasčiausias formos eksponentines lygtis: ir f (x) = a g (x)?
Kokie dar yra eksponentinių lygčių sprendimo būdai? ( 5 skaidrės numeris )

Faktoringo metodas

Dalybos (daugybos) priėmimas ne nuliui, o eksponentine išraiška, sprendžiant vienarūšes eksponentines lygtis

Patarimas:

sprendžiant eksponentines lygtis, pravartu pirmiausia atlikti transformacijas, abiejose lygties pusėse gaunant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis.

Lygčių sprendimas dviem paskutiniais metodais, po kurių pateikiami komentarai

(6 skaidrės numeris ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2 x - 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t - 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Egzamino 2010 užduočių sprendimas

Mokiniai savarankiškai sprendžia pamokos pradžioje pasiūlytas užduotis 3 skaidrėje, naudodamiesi sprendimo instrukcijomis, patikrina savo sprendimo eigą ir atsakymus į juos naudodami pristatymą ( 7 skaidrės numeris). Darbo metu aptariami sprendimo variantai ir būdai, atkreipiamas dėmesys į galimas sprendimo klaidas.

: a) 7 X- 2 = 49, b) (1/6) 12-7 x = 36. Atsakymas: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 = 0. (Galite pakeisti 0,5 = 4 - 0,5)

Sprendimas. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Atsakymas: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, cos y< 0.

Sprendimo nurodymas

... 55 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

55 2g y+ 4 5 tg y - 1 = 0. Tegu X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y = 1/5.

Kadangi tg y= -1 ir kos y< 0, tada adresu II koordinačių ketvirtis

Atsakymas: adresu= 3/4 + 2k, k N.

IV. Bendradarbiaukite prie lentos

Svarstoma aukšto lygio mokymo užduotis - 8 skaidrė... Šios skaidrės pagalba vyksta dialogas tarp mokytojo ir mokinių, prisidedantis prie sprendimo kūrimo.

– Kokiu parametru a lygtis 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 turi dvi šaknis?

Leisti t= 2 X, kur t > 0 ... Mes gauname t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

vienas). Kadangi lygtis turi dvi šaknis, tai D> 0;

2). Nes t 1,2> 0, tada t 1 t 2> 0, tai yra a 2 – 4a> 0 (?...).

Atsakymas: a(- 0,5; 0) arba (4; 4,5).

V. Patikrinimo darbai

(9 skaidrė )

Mokiniai koncertuoja patikros darbai ant popieriaus lapelių, atliekant savikontrolę ir atlikto darbo įsivertinimą temą patvirtinančio pristatymo pagalba. Jie savarankiškai nustato žinių reguliavimo ir taisymo programą, pagrįstą darbo knygelėse padarytomis klaidomis. Lapai su atliktu savarankišku darbu perduodami mokytojui patikrinti.

Pabraukti skaičiai – pagrindinis lygis, su žvaigždute – sudėtingesnis.

Sprendimas ir atsakymai.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 * .3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (netinka),

(3/5) X = 5, x = -1.

Vi. Namų darbai
(10 skaidrės numeris )

Pakartokite 11, 12 punktus.
Iš Vieningo valstybinio egzamino 2008 - 2010 medžiagos pasirinkite užduotis šia tema ir jas spręskite.

Namų bandomasis darbas

Neišsigąskite mano žodžių, jūs jau susidūrėte su šiuo metodu 7 klasėje, kai studijavote daugianarius.

Pavyzdžiui, jei jums reikia:

Sugrupuokime: pirmą ir trečią terminus, taip pat antrą ir ketvirtą.

Akivaizdu, kad pirmasis ir trečiasis yra kvadratų skirtumas:

o antrasis ir ketvirtasis turi bendrą koeficientą iš trijų:

Tada pradinė išraiška yra lygiavertė šiai:

Iš kur paimti bendrą veiksnį nebėra sunku:

Vadinasi,

Apytiksliai taip ir elgsimės spręsdami eksponentines lygtis: tarp terminų ieškokite „bendrumo“ ir dėkite jį už skliaustų, na, o tada – ten bus, tikiu, kad mums pasiseks =))

14 pavyzdys

Dešinėje yra toli nuo septynių laipsnių (aš tai patikrinau!) O kairėje - ne ką geriau ...

Žinoma, galite „nupjauti“ faktorių a nuo antrojo pirmojo termino, o tada spręsti rezultatą, bet darykime tai apdairiau.

Nenoriu susidurti su trupmenomis, kurios neišvengiamai atsiranda dėl „išryškinimo“, todėl ar nebūtų geriau, jei aš ištverčiau?

Tada neturėsiu frakcijų: kaip sakoma, vilkai pamaitinti, o avys saugios:

Suskaičiuokite išraišką skliausteliuose.

Stebuklingai, magiškai taip ir išeina (stebina, nors ko dar galime tikėtis?).

Tada atšauksime abi lygties puses šiuo koeficientu. Mes gauname:, iš kur.

Čia yra sudėtingesnis pavyzdys (tikrai gana):

Kokia bėda! Mes čia neturime vieno bendro pagrindo!

Nelabai aišku, ką dabar daryti.

Padarykime, ką galime: pirma, perkelkime „keturiukus“ į vieną pusę, o „penketukus“ – į kitą:

Dabar perkelkime „bendrąjį“ į kairę ir dešinę:

Tai kas dabar?

Kokia nauda iš tokios kvailos grupės? Iš pirmo žvilgsnio jo visai nesimato, bet pažiūrėkime giliau:

Na, o dabar padarykime taip, kad kairėje būtų tik išraiška su, o dešinėje - visa kita.

Kaip mes tai darome?

Ir štai kaip: iš pradžių padalykite abi lygties puses iš (taip atsikratome laipsnio dešinėje), o po to abi puses padalinkite iš (taip atsikratome skaitinio koeficiento kairėje).

Pagaliau gauname:

Neįtikėtina!

Kairėje pusėje turime išraišką, o dešinėje – paprastą.

Tada iš karto darome tokią išvadą

15 pavyzdys

Pateiksiu jo trumpą sprendimą (per daug nesivargindamas paaiškinimais), visas sprendimo „subtilybes“ pabandyk išsiaiškinti pats.

Dabar galutinis perduotos medžiagos konsolidavimas.

Šių 7 problemų sprendimas savarankiškai (su atsakymais)

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:
Pirmąją išraišką atstovaujame formoje:, padalinkite abi dalis į ir gaukite
, tada pradinė lygtis transformuojama į formą: Na, o dabar užuomina – žiūrėk, kur tu ir aš jau išsprendėme šią lygtį!
Įsivaizduokite, kaip, kaip ir gerai, tada padalinkite abi dalis iš, kad gautumėte paprasčiausią eksponentinę lygtį.
Išimkite iš skliaustų.
Išimkite iš skliaustų.

TYRIMO LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Manau, perskaičius pirmąjį straipsnį, kuriame buvo pasakyta kas yra eksponentinės lygtys ir kaip jas išspręsti, esate įvaldę būtinų minimalių žinių, reikalingų paprasčiausiems pavyzdžiams išspręsti.

Dabar analizuosiu kitą eksponentinių lygčių sprendimo metodą, šį ...

Naujo kintamojo įvedimo (arba pakeitimo) būdas

Daugumą „sudėtingų“ uždavinių jis sprendžia eksponentinių lygčių (ir ne tik lygčių) tema.

Šis metodas yra vienas iš dažniausiai naudojamas praktikoje. Pirmiausia rekomenduoju susipažinti su tema.

Kaip jau supratote iš pavadinimo, šio metodo esmė yra įvesti tokį kintamojo pasikeitimą, kad jūsų eksponentinė lygtis stebuklingai virstų tokia, kurią jau galite lengvai išspręsti.

Išsprendus šią labai „supaprastintą lygtį“, jums belieka atlikti „atvirkštinį pakeitimą“, tai yra, grįžti iš pakeisto į pakeistą.

Iliustruojame tai, ką ką tik pasakėme, labai paprastu pavyzdžiu:

16 pavyzdys. Paprastas pakeitimo metodas

Ši lygtis išspręsta naudojant "Paprastas pakeitimas", kaip jį paniekinamai vadina matematikai.

Iš tiesų, pakeitimas čia yra akivaizdžiausias. Reikia tik tai pamatyti

Tada pradinė lygtis virsta tokia:

Jei papildomai įsivaizduojate, kaip, tada visiškai aišku, ką reikia pakeisti ...

Žinoma, .

Į ką tada pavirs pradinė lygtis? Ir štai kas:

Jo šaknis galite lengvai rasti patys:.

Ką dabar turėtume daryti?

Atėjo laikas grįžti prie pradinio kintamojo.

Ką pamiršau nurodyti?

Būtent: pakeičiant tam tikrą laipsnį nauju kintamuoju (tai yra keičiant vaizdą), man bus įdomu tik teigiamos šaknys!

Jūs pats galite nesunkiai atsakyti kodėl.

Taigi jūs ir aš nesame suinteresuoti, bet antroji šaknis mums tinka:

Tada kur.

Atsakymas:

Kaip matote, ankstesniame pavyzdyje pakaitalas prašė mūsų rankų. Deja, taip būna ne visada.

Tačiau nepereikime tiesiai į liūdną, o praktikuokite su dar vienu pavyzdžiu su gana paprastu pakeitimu

17 pavyzdys Paprastas pakeitimo metodas

Aišku, kad greičiausiai jį reikės pakeisti (tai yra mažiausias iš laipsnių, įtrauktų į mūsų lygtį).

Tačiau prieš įvedant pakeitimą, mūsų lygtis turi būti tam „paruošta“, būtent:,.

Tada galite pakeisti, todėl gaunu tokią išraišką:

O siaubas: kubinė lygtis su visiškai kraupiomis jos sprendimo formulėmis (na, kalbant bendrais bruožais).

Tačiau nenusiminkim iš karto, o pagalvokime, ką daryti.

Pasiūlysiu sukčiauti: mes žinome, kad norint gauti „gražių“ atsakymą, reikia jį gauti kokio nors trejeto galios pavidalu (kodėl taip būtų, ane?).

Pabandykime atspėti bent vieną mūsų lygties šaknį (pradėsiu spėlioti laipsniais iš trijų).

Pirmoji prielaida. Tai ne šaknis. Deja ir ak...

.
Kairė pusė lygi.
Dešinė dalis: !

Yra! Jūs atspėjote pirmąją šaknį. Dabar viskas bus lengviau!

Ar žinote apie "kampo" padalijimo schemą? Žinoma, jūs žinote, kad jį naudojate, kai dalijate vieną skaičių iš kito.

Tačiau mažai žmonių žino, kad tą patį galima padaryti ir su daugianariais.

Yra viena puiki teorema:

Taikant mano situaciją, tai man parodo, iš ko dalytis.

Kaip vyksta padalijimas? Štai taip:

Žiūriu, kurį monomį turiu padauginti, kad gaučiau

Aišku, kad tada:

Atimkite gautą išraišką iš, gaukite:

Dabar iš ko man reikia padauginti, kad gaučiau?

Aišku, kad tada aš gausiu:

ir vėl atimkite gautą išraišką iš likusios:

Na, paskutinis žingsnis, aš padauginsiu iš ir atimsiu iš likusios išraiškos:

Hurray, dalyba baigėsi! Ką sutaupėme privačiai?

Savaime: .

Tada gavome tokį pradinio daugianario skaidymą:

Išspręskime antrąją lygtį:

Jis turi šaknis:

Tada pradinė lygtis:

turi tris šaknis:

Žinoma, paskutinę šaknį atmesime, nes ji mažesnė už nulį.

Ir pirmieji du po atvirkštinio pakeitimo suteiks mums dvi šaknis:

Atsakymas: ..

Nenorėjau jūsų išgąsdinti šiuo pavyzdžiu!

Atvirkščiai, mano tikslas buvo parodyti, kad nors turėjome gana paprastą pakeitimą, vis dėlto tai lėmė gana sudėtingą lygtį, kurios sprendimas iš mūsų pareikalavo tam tikrų specialių įgūdžių.

Na, niekas nuo to neapsaugotas. Tačiau pakeitimas šiuo atveju buvo gana akivaizdus.

18 pavyzdys (su mažiau akivaizdžiu pakeitimu)

Visiškai neaišku, ką turėtume daryti: problema ta, kad mūsų lygtyje yra dvi skirtingos bazės ir vienos bazės negalima gauti iš kitos, pakeliant į bet kokį (protingą, natūraliai) laipsnį.

Tačiau ką mes matome?

Abi bazės skiriasi tik ženklu, o jų sandauga yra kvadratų skirtumas, lygus vienetui:

Apibrėžimas:

Taigi, mūsų pavyzdyje esantys skaičiai yra konjuguoti.

Tokiu atveju būtų protingas žingsnis padauginkite abi lygties puses iš konjuguoto skaičiaus.

Pavyzdžiui, įjungta, tada kairioji lygties pusė tampa lygi, o dešinioji.

Jei pakeisime, mūsų pradinė lygtis taps tokia:

tada jos šaknys, ir tai atsimindami mes tai suprantame.

Atsakymas: ,.

Paprastai pakeitimo metodo pakanka daugeliui „mokyklinių“ eksponentinių lygčių išspręsti.

Šios padidinto sudėtingumo užduotys paimtos iš egzamino versijų.

Trys padidinto sudėtingumo užduotys iš egzamino variantų

Jau esate pakankamai kompetentingas, kad galėtumėte savarankiškai išspręsti šiuos pavyzdžius. Duosiu tik reikiamą pakaitalą.

Išspręskite lygtį:
Raskite lygties šaknis:
Išspręskite lygtį:. Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui:

O dabar trumpi paaiškinimai ir atsakymai:

19 pavyzdys

Čia mums užtenka pažymėti, kad ir.

Tada pradinė lygtis bus lygiavertė šiai:

Ši lygtis išspręsta pakeičiant

Tolesnius skaičiavimus atlikite patys.

Galų gale jūsų užduotis bus sumažinta iki paprasčiausio trigonometrinio sprendimo (priklausomai nuo sinuso ar kosinuso). Tokių pavyzdžių sprendimą analizuosime kituose skyriuose.

20 pavyzdys

Čia netgi galite išsiversti be pakeitimo ...

Pakanka perkelti atimtą į dešinę ir pavaizduoti abi bazes per dviejų: laipsnius, o tada pereiti tiesiai į kvadratinę lygtį.

21 pavyzdys

Tai taip pat išspręsta gana standartiškai: įsivaizduokite, kaip.

Tada, pakeisdami, gauname kvadratinę lygtį: tada,

Ar jau žinai, kas yra logaritmas? Ar ne? Tada skubiai perskaitykite temą!

Pirmoji šaknis, žinoma, nepriklauso segmentui, o antroji yra nesuprantama!

Bet mes sužinosime labai greitai!

Nuo tada (tai yra logaritmo savybė!)

Atimkite iš abiejų dalių, tada gausime:

Kairė pusė gali būti pavaizduota taip:

padauginkite abi dalis iš:

tada galima padauginti iš

Tada palyginkime:

nuo tada:

Tada antra šaknis priklauso reikiamam intervalui

Atsakymas:

Kaip tu matai, parenkant eksponentinių lygčių šaknis reikia pakankamai giliai išmanyti logaritmų savybes todėl patariu būti kiek įmanoma atsargesniems sprendžiant eksponentines lygtis.

Kaip galite įsivaizduoti, matematikoje viskas yra tarpusavyje susiję!

Kaip sakydavo mano matematikos mokytojas: „Matematika, kaip ir istorija, negali perskaityti per naktį“.

Kaip taisyklė, visi sunkumai sprendžiant padidinto sudėtingumo problemas yra būtent lygties šaknų parinkimas.

Dar vienas treniruočių pavyzdys...

22 pavyzdys

Akivaizdu, kad pačią lygtį gana paprasta išspręsti.

Atlikdami pakeitimą sumažinsime pradinę lygtį iki šios:

Pirma, pasvarstykime pirmoji šaknis.

Palyginkite ir: nuo tada. (logaritminės funkcijos savybė, at).

Tada aišku, kad mūsų intervalui nepriklauso ir pirmoji šaknis.

Dabar antroji šaknis:. Tai aišku (kadangi funkcija at didėja).

Belieka palyginti ir.

nuo tada, tuo pačiu metu.

Tokiu būdu galiu „pavaryti kaištį“ tarp ir.

Šis kaištis yra skaičius.

Pirmoji išraiška yra mažesnė, o antroji didesnė.

Tada antroji išraiška yra didesnė už pirmąją, o šaknis priklauso intervalui.

Atsakymas:.

Baigdami pažvelkime į kitą lygties pavyzdį, kuriame pakeitimas yra gana nestandartinis.

23 pavyzdys (lygtis su nestandartiniu pakeitimu!)

Pradėkime iš karto nuo to, ką galite padaryti, o ką – iš principo galite, bet geriau to nedaryti.

Jūs galite - reprezentuoti viską per trijų, dviejų ir šešių galias.

Kur tai veda?

Taip, tai nieko neprives: laipsnių maišas, o kai kurių bus gana sunku atsikratyti.

Ko tada reikia?

Atkreipkime dėmesį, kad a

Ir ką tai mums duos?

Ir tai, kad šio pavyzdžio sprendimą galime redukuoti iki gana paprastos eksponentinės lygties!

Pirma, perrašykime savo lygtį taip:

Dabar padalijame abi gautos lygties puses iš:

Eureka! Dabar galime pakeisti, gauname:

Na, o dabar jūsų eilė spręsti demonstracines problemas, o aš jas pateiksiu tik trumpus komentarus, kad nenuklystumėte! Sėkmės!

24 pavyzdys

Sunkiausia!

Čia nėra lengva rasti pakaitalą! Tačiau nepaisant to, šis pavyzdys gali būti visiškai išspręstas naudojant pilno kvadrato pasirinkimas.

Norėdami tai išspręsti, pakanka pažymėti, kad:

Tada štai jums pakaitalas:

(Atkreipkite dėmesį, kad pakeitimo metu negalime mesti neigiamos šaknies !!! Ir kodėl jūs manote?)

Dabar, norėdami išspręsti pavyzdį, turite išspręsti dvi lygtis:

Abu jie išsprendžiami naudojant „standartinį pakeitimą“ (bet antrasis viename pavyzdyje!)

25 pavyzdys

2. Atkreipkite dėmesį į tai ir pakeiskite.

26 pavyzdys

3. Išskaidykite skaičių į kopirminius veiksnius ir supaprastinkite gautą išraišką.

27 pavyzdys

4. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš (arba, jei norite) ir pakeiskite arba.

28 pavyzdys

5. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai ir yra konjuguoti.

EKSPRESIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS LOGARIFAVIMO METODU. PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Be to, apsvarstykime kitą būdą - eksponentinių lygčių sprendimas logaritmo metodu.

Negaliu teigti, kad eksponentinių lygčių sprendimas šiuo metodu yra labai populiarus, tačiau kai kuriais atvejais tik jis gali atvesti mus prie teisingo mūsų lygties sprendimo.

Jis ypač dažnai naudojamas sprendžiant vadinamąsias " mišrios lygtys": Tai yra tie, kuriuose susitinka skirtingų tipų funkcijos.