Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Šioje pamokoje išmoksime rasti aukštesnio laipsnio išvestinius, taip pat rašyti bendroji formulė„n-oji“ išvestinė. Be to, Leibnizo formulė tokiam dariniui ir, pagal populiarų poreikį, aukštesnės eilės išvestiniams numanoma funkcija. Siūlau iš karto atlikti mini testą:

Štai funkcija: ir čia yra pirmasis jo vedinys:

Jei dėl šio pavyzdžio kiltų kokių nors sunkumų / painiavos, pradėkite nuo dviejų pagrindinių mano kurso straipsnių: Kaip rasti išvestinę priemonę? Ir Sudėtingos funkcijos išvestinė. Įvaldžius elementarius vedinius, rekomenduoju perskaityti pamoką Paprasčiausios problemos su išvestinėmis priemonėmis, su kuria mes susidūrėme, visų pirma antrasis darinys.

Nesunku net atspėti, kad antrasis vedinys yra 1-osios darinys:

Iš esmės antrasis darinys jau laikomas aukštesnės eilės išvestiniu.

Panašiai: trečioji išvestinė yra 2-osios išvestinė:

Ketvirtasis vedinys yra 3-iosios vedinys:

Penkta išvestinė: , ir akivaizdu, kad visos aukštesnės eilės išvestinės taip pat bus lygios nuliui:

Be romėniško numeravimo, praktikoje dažnai naudojami šie užrašai:
, „n-osios“ eilės išvestinė žymima . Tokiu atveju viršutinis indeksas turi būti rašomas skliausteliuose– atskirti darinį nuo „y“ laipsniu.

Kartais matote kažką panašaus: – atitinkamai trečias, ketvirtas, penktas, ..., „n-tasis“ vediniai.

Pirmyn be baimės ir abejonių:

1 pavyzdys

Funkcija duota. Rasti.

Sprendimas: ką tu gali pasakyti... - pirmyn ketvirtas išvestinis :)

Nebeįmanoma daryti keturių brūkšnių, todėl pereiname prie skaitinių indeksų:

Atsakymas:

Gerai, dabar pagalvokime apie šį klausimą: ką daryti, jei sąlyga reikalauja rasti ne 4, o, pavyzdžiui, 20 išvestinį? Jei išvestinei 3-4-5 d (daugiausia 6-7) eilės tvarka, sprendimas įforminamas gana greitai, tada prie aukštesnių eilių išvestinių dar labai greitai „nepasieksime“. Tiesą sakant, neužsirašykite 20 eilučių! Esant tokiai situacijai, reikia išanalizuoti keletą rastų darinių, pamatyti šabloną ir sukurti „n-osios“ išvestinės formulę. Taigi 1 pavyzdyje nesunku suprasti, kad su kiekvienu paskesniu diferencijavimu prieš eksponentą „iššoks“ papildomas „trys“, o bet kuriame žingsnyje „trijų“ laipsnis yra lygus skaičiui išvestinė, todėl:

Kur yra savavališkas natūralusis skaičius.

Ir iš tikrųjų, jei , tada gaunama būtent 1-oji išvestinė: , jei – tada 2: ir t.t. Taigi dvidešimtoji išvestinė nustatoma akimirksniu: – ir jokių „kilometro lakštų“!

Apšilimas savarankiškai:

2 pavyzdys

Raskite funkcijas. Parašykite eilės išvestinę

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Po gaivinančio apšilimo pažiūrėsime daugiau sudėtingų pavyzdžių, kuriame parengsime aukščiau pateiktą sprendimo algoritmą. Tiems, kuriems pavyko susipažinti su pamoka Sekos riba, bus šiek tiek lengviau:

3 pavyzdys

Raskite funkciją.

Sprendimas: norėdami išsiaiškinti situaciją, suraskime keletą išvestinių:

Mes neskubame dauginti gautų skaičių! ;-)


Galbūt to užtenka. ...netgi šiek tiek peržengiau.

Kitas žingsnis yra sukurti „n-osios“ išvestinės formulę (jei sąlyga to nereikalauja, galite apsieiti su juodraščiu). Norėdami tai padaryti, žiūrime į gautus rezultatus ir nustatome modelius, pagal kuriuos gaunama kiekviena paskesnė išvestinė medžiaga.

Pirma, jie keičiasi. Lygiavimas užtikrina "mirksinčios šviesos", o kadangi 1-oji išvestinė yra teigiama, į bendrą formulę pateks šis veiksnys: . Lygiavertis variantas taip pat tiktų, bet man asmeniškai, kaip optimistui, patinka pliuso ženklas =)

Antra, skaitiklyje „užsibaigia“ faktorinis, ir jis „atsilieka“ nuo išvestinio skaičiaus vienu vienetu:

Ir trečia, didėja „du“ galia skaitiklyje, kuri yra lygi išvestinės skaičiui. Tą patį galima pasakyti ir apie vardiklio laipsnį. Pagaliau:

Norėdami patikrinti, pakeiskime keletą „en“ reikšmių, pavyzdžiui, ir :

Puiku, dabar suklysti yra tiesiog nuodėmė:

Atsakymas:

Paprastesnė funkcija, skirta savarankiškas sprendimas:

4 pavyzdys

Raskite funkcijas.

Ir dar įdomesnė problema:

5 pavyzdys

Raskite funkcijas.

Pakartokime procedūrą dar kartą:

1) Pirmiausia randame keletą išvestinių. Norint pagauti raštus, dažniausiai pakanka trijų ar keturių.

2) Tada primygtinai rekomenduoju gaminti (bent jau juodraštyje)„n-tasis“ išvestinis – garantuotai apsaugos jus nuo klaidų. Bet galima apsieiti ir be jo, t.y. mintyse įvertinkite ir iš karto užsirašykite, pavyzdžiui, dvidešimtą ar aštuntą išvestinę. Be to, kai kurie žmonės paprastai sugeba išspręsti nagrinėjamas problemas žodžiu. Tačiau turėtumėte atsiminti, kad „greiti“ metodai yra kupini, ir geriau būti saugiems.

3) Įjungta paskutinis etapas Patikriname „n-tąją“ išvestinę - paimkite porą „n-tųjų“ reikšmių (geriausia gretimų) ir atlikite pakeitimą. Ir dar patikimiau patikrinti visus anksčiau rastus darinius. Tada pakeičiame, pavyzdžiui, į norimą vertę arba ir atsargiai sušukuojame rezultatą.

Trumpas 4 ir 5 pavyzdžių sprendimas pamokos pabaigoje.

Kai kuriose užduotyse, kad išvengtumėte problemų, turite šiek tiek padirbėti su funkcija:

6 pavyzdys

Sprendimas: Visiškai nenoriu atskirti siūlomos funkcijos, nes tai sukels „blogąją“ trupmeną, o tai labai apsunkins vėlesnių išvestinių išvestinių paiešką.

Šiuo atžvilgiu patartina atlikti išankstines transformacijas: naudojame kvadratinio skirtumo formulė Ir logaritmo savybė :

Tai visai kitas reikalas:

Ir seni draugai:

Manau, kad viskas yra peržiūrima. Atkreipkite dėmesį, kad 2-oji trupmena pakaitinė, bet 1-oji – ne. Sudarome užsakymo išvestinę:

Kontrolė:

Na, dėl grožio išimkime faktorialą iš skliaustų:

Atsakymas:

Įdomi užduotis, kurią reikia išspręsti patiems:

7 pavyzdys

Užrašykite funkcijos eilės išvestinę formulę

O dabar apie nepajudinamą abipusę garantiją, kurios pavydėtų net italų mafija:

8 pavyzdys

Funkcija duota. Rasti

Aštuonioliktoji išvestinė taške. Tiesiog.

Sprendimas: pirma, aišku, reikia rasti . Eiti:

Pradėjome nuo sinuso ir baigėme sinusu. Aišku, kad toliau diferencijuojant šis ciklas tęsis neribotą laiką, ir kyla toks klausimas: kaip geriausia „patekti“ į aštuonioliktą išvestinę?

„Mėgėjiškas“ metodas: dešinėje esančiame stulpelyje greitai užrašykite vėlesnių išvestinių sandorių skaičius:

Taigi:

Bet tai veikia, jei išvestinės eilės tvarka nėra per didelė. Jei reikia rasti, tarkime, šimtąją išvestinę, tuomet turėtumėte naudoti dalijimąsi iš 4. Šimtas dalijasi iš 4 be liekanos, ir nesunku pastebėti, kad tokie skaičiai yra apatinėje eilutėje, todėl: .

Beje, 18-ą išvestinę taip pat galima nustatyti remiantis panašiais svarstymais:
Antroje eilutėje yra skaičiai, kurie dalijasi iš 4, o likusioji dalis yra 2.

Kitas, labiau akademinis metodas yra pagrįstas sinusinis periodiškumas Ir redukcijos formules. Mes naudojame paruoštą sinuso „n-tosios“ išvestinės formulę , į kurį tiesiog pakeičiamas norimas skaičius. Pavyzdžiui:
(redukcijos formulė ) ;
(redukcijos formulė )

Mūsų atveju:

(1) Kadangi sinusas yra periodinė funkcija su tašku, argumentą galima neskausmingai „atsukti“ 4 periodus (t.y.).

Dviejų funkcijų sandaugos eilės išvestinę galima rasti naudojant formulę:

Visų pirma:

Nereikia nieko konkrečiai prisiminti, nes kuo daugiau formulių žinai, tuo mažiau supranti. Su juo daug naudingiau susipažinti Niutono dvinaris, nes Leibnizo formulė labai labai panaši į ją. Na, o tie laimingieji, kurie gaus 7 ar aukštesnio laipsnio išvestinį (kas tikrai mažai tikėtina), bus priverstas tai padaryti. Tačiau atėjus eilei kombinatorika- tada vis tiek turi =)

Raskime trečiąją funkcijos išvestinę. Mes naudojame Leibnizo formulę:

Tokiu atveju: . Išvestinius lengva deklamuoti žodžiu:

Dabar atsargiai ir ATIDŽIAI atlikite pakeitimą ir supaprastinkite rezultatą:

Atsakymas:

Panaši užduotis savarankiškam sprendimui:

11 pavyzdys

Raskite funkcijų

Jei ankstesniame pavyzdyje „priešais“ sprendimas vis dar konkuravo su Leibnizo formule, tai čia bus tikrai nemalonu. Ir dar nemalonu – aukštesnės eilės išvestinės priemonės atveju:

12 pavyzdys

Raskite išvestinę nurodyta tvarka

Sprendimas: pirma ir reikšminga pastaba yra ta, kad jums tikriausiai nereikia taip nuspręsti =) =)

Užrašykime funkcijas ir raskime jų išvestinius iki 5 eilės imtinai. Manau, kad dešiniojo stulpelio vediniai jums tapo žodiniais:

Kairiajame stulpelyje „gyvos“ išvestinės greitai „baigė“ ir tai labai gerai - trys Leibnizo formulės terminai bus atstatyti į nulį:

Leiskite man dar kartą pasilikti prie dilemos, kuri pasirodė straipsnyje apie kompleksiniai dariniai: Ar turėčiau supaprastinti rezultatą? Iš principo galite palikti taip – ​​mokytojui bus dar lengviau patikrinti. Tačiau jis gali reikalauti, kad sprendimas būtų priimtas. Kita vertus, supaprastinimas savo iniciatyva yra kupinas algebrinių klaidų. Tačiau mes turime atsakymą, gautą „primityviu“ būdu =) (žr. nuorodą pradžioje) ir tikiuosi, kad tai teisinga:

Puiku, viskas susidėjo.

Atsakymas:

Laiminga užduotis už savarankišką sprendimą:

13 pavyzdys

Dėl funkcijos:
a) rasti tiesioginio diferencijavimo būdu;
b) rasti naudojant Leibnizo formulę;
c) apskaičiuoti.

Ne, aš visai nesu sadistas – taškas „a“ čia gana paprastas =)

Bet jei rimtai, „tiesioginis“ sprendimas nuosekliai diferencijuojant taip pat turi „teisę į gyvybę“ - kai kuriais atvejais jo sudėtingumas yra panašus į Leibnizo formulės taikymo sudėtingumą. Naudokite, jei manote, kad tai tinkama – mažai tikėtina, kad tai bus nesėkmės priežastis.

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Norėdami pakelti paskutinę pastraipą, turite mokėti atskirti implicitines funkcijas:

Netiesiogiai nurodytų funkcijų aukštesnės eilės išvestinės

Daugelis iš mūsų ilgas valandas, dienas ir savaites praleido studijuodami apskritimai, parabolės, hiperbolė– o kartais net atrodė, kad tai tikra bausmė. Taigi atkeršykime ir tinkamai juos atskirkime!

Pradėkime nuo „mokyklos“ parabolės kanoninė pozicija:

14 pavyzdys

Lygtis pateikta. Rasti.

Sprendimas: Pirmas žingsnis pažįstamas:

Tai, kad funkcija ir jos išvestinė išreiškiama netiesiogiai, nekeičia materijos esmės, antroji išvestinė yra 1-osios išvestinė:

Tačiau yra žaidimo taisyklės: dažniausiai išreiškiami 2-ojo ir aukštesnio laipsnio vediniai tik per „X“ ir „Y“. Todėl į gautą 2-ą išvestinę pakeičiame ::

Trečiasis vedinys yra 2-ojo vedinio vedinys:

Panašiai pakeiskime:

Atsakymas:

„Mokyklos“ hiperbolė kanoninė pozicija- Dėl savarankiškas darbas:

15 pavyzdys

Lygtis pateikta. Rasti.

Kartoju, kad 2 išvestinė ir rezultatas turi būti išreikšti tik per „x“/“y“!

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Po vaikiškų išdaigų pažvelkime į vokišką pornografiją, pažvelkime į daugiau suaugusiųjų pavyzdžių, iš kurių sužinosime dar vieną svarbų sprendimą:

16 pavyzdys

Elipsė pats.

Sprendimas: suraskime 1-ą išvestinę:

Dabar sustokime ir paanalizuokime kitą dalyką: dabar turime atskirti trupmeną, o tai visai nedžiugina. Šiuo atveju tai, žinoma, paprasta, tačiau tikrovėje tokių dovanų yra per mažai. Ar yra būdas išvengti sudėtingos išvestinės priemonės? Egzistuoja! Paimame lygtį ir naudojame tą pačią techniką, kaip ir ieškodami 1-ojo išvestinio - „pakabiname“ potėpius iš abiejų pusių:

Antroji išvestinė turi būti išreikšta tik terminais ir , todėl dabar (dabar) Patogu atsikratyti 1-ojo darinio. Norėdami tai padaryti, pakeiskite gautą lygtį:

Kad išvengtume nereikalingų techninių sunkumų, padauginkime abi dalis iš:

Ir tik paskutiniame etape suformuluojame trupmeną:

Dabar žiūrime į pradinę lygtį ir pastebime, kad gautą rezultatą galima supaprastinti:

Atsakymas:

Kaip rasti 2-osios išvestinės vertę bet kuriame taške (kuri, žinoma, priklauso elipsei), pavyzdžiui, taške ? Labai lengva! Su šiuo motyvu jau buvo susidurta pamokoje apie normalioji lygtis: reikia pakeisti 2-ąja išvestine išraiška :

Žinoma, visais trimis atvejais galima gauti aiškiai apibrėžtas funkcijas ir jas atskirti, bet tada būkite protiškai pasiruošę dirbti su dviem funkcijomis, turinčiomis šaknis. Mano nuomone, patogiau sprendimą atlikti „netiesioginiu būdu“.

Paskutinis pavyzdys, kurį reikia išspręsti savarankiškai:

17 pavyzdys

Raskite netiesiogiai nurodytą funkciją

Darbo tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilna versija darbą galima rasti skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

"Aš taip pat, Niutono dvinaris!»

iš romano "Meistras ir Margarita"

„Paskalio trikampis yra toks paprastas, kad net dešimties metų vaikas gali jį užrašyti. Kartu ji slepia neišsenkamus lobius ir sujungia įvairių aspektų matematikai, kurie iš pirmo žvilgsnio neturi nieko bendra tarpusavyje. Tokios neįprastos savybės leidžia Paskalio trikampį laikyti viena elegantiškiausių diagramų visoje matematikoje.

Martinas Gardneris.

Darbo tikslas: apibendrinti sutrumpintas daugybos formules ir parodyti jų pritaikymą problemų sprendimui.

Užduotys:

1) studijuoti ir sisteminti informaciją šiuo klausimu;

2) analizuoti uždavinių pavyzdžius naudojant Niutono dvinarį ir galių sumos bei skirtumo formules.

Studijų objektai: Niutono dvinaris, sumų ir laipsnių skirtumų formulės.

Tyrimo metodai:

Darbas su mokomąja ir mokslo populiarinimo literatūra, interneto šaltiniais.

Skaičiavimai, palyginimas, analizė, analogija.

Aktualumas.Žmogui dažnai tenka susidurti su problemomis, kuriose reikia suskaičiuoti visų skaičių galimi būdai kai kurių objektų vieta arba visų galimų kokių nors veiksmų atlikimo būdų skaičius. Įvairūs keliai ar galimybės, kurias žmogus turi pasirinkti, sudaro daugybę derinių. O visa matematikos šaka, vadinama kombinatorika, užsiima atsakymų paieška į klausimus: kiek kombinacijų yra konkrečiu atveju?

Su kombinatoriniais dydžiais tenka susidurti daugelio specialybių atstovams: chemikui, biologui, dizaineriui, dispečeriui ir kt. Padidėjęs susidomėjimas kombinatorika Pastaruoju metu lemia sparti kibernetikos ir kompiuterinių technologijų raida.

Įvadas

Kai nori pabrėžti, kad pašnekovas perdeda jam kylančių problemų sudėtingumą, jie sako: „Man taip pat patinka Niutono binomis! Sako, čia Niutono dvinaris, tai sudėtinga, bet kokių problemų turite! Net tie žmonės, kurių interesai neturi nieko bendra su matematika, yra girdėję apie Niutono dvinarį.

Žodis „binomial“ reiškia dvinarį, t.y. dviejų terminų suma. Iš mokyklos kursas Yra žinomos vadinamosios sutrumpintos daugybos formulės:

( A+ b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 =a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3 .

Šių formulių apibendrinimas yra formulė, vadinama Niutono binomine formule. Kvadratų, sumų ir kubelių skirtumų faktoringo formulės taip pat naudojamos mokykloje. Ar jie apibendrina kitus laipsnius? Taip, yra tokių formulių, jos dažnai naudojamos sprendžiant įvairios užduotys: dalijamumo įrodymas, trupmenos redukavimas, apytiksliai skaičiavimai.

Apibendrinančių formulių studijavimas ugdo dedukcinį-matematinį mąstymą ir bendruosius mąstymo gebėjimus.

1 SKYRIUS. NIUTONO BINOMINĖ FORMULĖ

Deriniai ir jų savybės

Tegu X yra aibė, susidedanti iš n elementų. Bet kuris aibės X poaibis Y, kuriame yra k elementų, vadinamas k elementų deriniu iš n, kai k ≤ n.

Skirtingų k elementų derinių skaičius iš n žymimas C n k. Viena iš svarbiausių kombinatorikos formulių yra tokia skaičiaus C n k formulė:

Jis gali būti parašytas po akivaizdžių sutrumpinimų taip:

Visų pirma,

Tai visiškai atitinka faktą, kad aibėje X yra tik vienas 0 elementų poaibis - tuščias poaibis.

Skaičiai C n k turi daugybę nepaprastų savybių.

Formulė teisinga: С n k = С n - k n , (3)

(3) formulės reikšmė yra ta, kad yra vienas su vienu atitikimas tarp visų X k-narių poaibių aibės ir visų X (n - k) narių poaibių aibės: norint nustatyti šį atitikimą, kiekvienam k-nario Y poaibiui pakanka palyginti jo papildinį aibėje X.

Teisinga formulė yra С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

Kairėje pusėje esanti suma išreiškia visų aibės X poaibių skaičių (C 0 n – 0 narių poaibių skaičius, C 1 n – viennarių poaibių skaičius ir pan.).

Bet kuriai k, 1≤ k≤ n, lygybė yra teisinga

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Šią lygybę lengva gauti naudojant (1) formulę. Iš tikrųjų,

1.2. Niutono dvinarės formulės išvedimas

Apsvarstykite dvinario galias +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2,(+b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3,(+b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4,(+b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5,(+b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Atkreipkite dėmesį į šiuos modelius:

Gauto daugianario narių skaičius yra vienu didesnis už dvinalio eksponentą;

Pirmojo nario rodiklis mažėja nuo n iki 0, antrojo nario rodiklis didėja nuo 0 iki n;

Visų vienanarių laipsniai lygūs sąlygos dvinario laipsniui;

Kiekvienas monomis yra pirmosios ir antrosios išraiškos sandauga įvairių laipsnių o tam tikras skaičius – binominis koeficientas;

Binominiai koeficientai, esantys vienodu atstumu nuo plėtimosi pradžios ir pabaigos, yra lygūs.

Šių formulių apibendrinimas yra ši formulė, vadinama Niutono binomine formule:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Šioje formulėje n gali būti bet koks natūralusis skaičius.

Išveskime formulę (6). Pirmiausia užsirašykime:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

kur skliaustų, kuriuos reikia padauginti, skaičius lygus n. Iš įprastos sumos padauginimo iš sumos taisyklės išplaukia, kad (7) išraiška yra lygi visų galimų sandaugų sumai, kurią galima sudaryti taip: bet kuris pirmosios iš sumų narys a + b padauginta iš bet kurios antrosios sumos dalies a+b, bet kokiam trečios sumos terminui ir pan.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, aišku, kad terminas išraiškoje už (a + b ) n atitinka (vienas su vienu) n ilgio eilutes, sudarytas iš raidžių a ir b. Tarp terminų bus panašių terminų; akivaizdu, kad tokie nariai atitinka eilutes, kuriose yra tiek pat raidžių A. Tačiau eilučių, kuriose yra lygiai k, skaičius padauginamas iš raidės A, yra lygus C n k . Tai reiškia, kad visų terminų, turinčių raidę a su lygiai k kartų koeficientu, suma yra lygi C n k a n - k b k . Kadangi k gali turėti reikšmes 0, 1, 2, ..., n-1, n, tada formulė (6) išplaukia iš mūsų samprotavimų. Atkreipkite dėmesį, kad (6) gali būti parašytas trumpiau: (8)

Nors (6) formulė vadinama Niutono vardu, iš tikrųjų ji buvo atrasta dar anksčiau nei Niutonas (pavyzdžiui, Paskalis tai žinojo). Niutono nuopelnas slypi tame, kad jis rado šios formulės apibendrinimą ne sveikųjų rodiklių atveju. Tai buvo I. Niutonas 1664-1665 m. išvedė formulę, išreiškiančią savavališkų trupmeninių ir neigiamų rodiklių dvinario laipsnį.

Skaičiai C 0 n, C 1 n, ..., C n n, įtraukti į (6) formulę, paprastai vadinami dvejetainiais koeficientais, kurie apibrėžiami taip:

Iš (6) formulės galima gauti keletą šių koeficientų savybių. Pavyzdžiui, darant prielaidą A=1, b = 1, gauname:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

tie. formulė (4). Jei įdėsite A= 1, b = -1, tada turėsime:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

arba C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Tai reiškia, kad plėtimosi lyginių narių koeficientų suma yra lygi nelyginių plėtimosi narių koeficientų sumai; kiekvienas iš jų lygus 2 n -1 .

Vienodu atstumu nuo plėtimosi galų esančių terminų koeficientai yra lygūs. Šios savybės išplaukia iš santykio: C n k = C n n - k

Įdomus ypatingas atvejis

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

arba trumpesnis (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polinomo teorema

Teorema.

Įrodymas.

Norint gauti monomiją atidarius skliaustus, reikia pasirinkti tuos skliaustus, iš kurių jis paimtas, iš kurių paimtas ir pan. ir tie skliaustai, iš kurių paimta. Šio monomio koeficientas sumažinus panašius terminus lygus skaičiui būdus, kuriais galima padaryti tokį pasirinkimą. Pirmąjį rinkimų sekos žingsnį galima atlikti įvairiais būdais, antrąjį – įvesti, trečiąjį – ir t.t., trečiąjį – įvairiais būdais. Reikalingas koeficientas lygus produktui

2 SKYRIUS. Aukštesnės eilės išvestinės finansinės priemonės.

Aukštesnės eilės išvestinių sąvoka.

Tegul funkcija yra diferencijuota tam tikru intervalu. Tada jo išvestinė, paprastai kalbant, priklauso nuo X, tai yra, yra funkcija X. Vadinasi, jos atžvilgiu vėl galima kelti klausimą dėl darinio egzistavimo.

Apibrėžimas . Pirmosios išvestinės vedinys vadinamas antros eilės išvestinė arba antroji išvestinė ir žymima simboliu arba, tai yra

Apibrėžimas . Antrojo vedinio vedinys vadinamas trečiosios eilės išvestiniu arba trečiuoju išvestiniu ir žymimas simboliu arba.

Apibrėžimas . Darinysn – įsakymas funkcijas vadinamas pirmuoju išvestinės (n -1) šios funkcijos eilė ir žymima simboliu arba:

Apibrėžimas . Vadinamos aukštesnės nei pirmosios eilės išvestinės aukštesniųjų darinių.

komentuoti. Panašiai galime gauti formulę n– funkcijos išvestinė:

Antroji parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė

Jei funkcija lygtimis pateikiama parametriškai, tai norint rasti antros eilės išvestinę, reikia diferencijuoti jos pirmosios išvestinės išraišką, kaip sudėtinga funkcija nepriklausomas kintamasis.

Nuo tada

ir atsižvelgiant į tai,

Mes tai suprantame, tai yra.

Panašiai galima rasti ir trečiąjį darinį.

Sumos, sandaugos ir dalinio skirtumas.

Kadangi diferencialas gaunamas iš išvestinės jį padauginus iš nepriklausomo kintamojo diferencialo, tai žinant pagrindinio kintamojo išvestines elementarios funkcijos, kaip ir išvestinių išvestinių taisyklių, galima rasti panašių skirtumų nustatymo taisykles.

1 0 . Konstantos skirtumas lygus nuliui.

2 0 . Baigtinio skaičiaus diferencijuojamų funkcijų algebrinės sumos diferencialas yra lygus šių funkcijų diferencialų algebrinei sumai .

3 0 . Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos skirtumas yra lygus pirmosios funkcijos sandaugų sumai antrosios ir antrosios funkcijos diferencialui .

Pasekmė. Pastovųjį daugiklį galima išimti iš diferencialo ženklo.

2.3. Funkcijos apibrėžtos parametriškai, jų diferenciacija.

Apibrėžimas . Sakoma, kad funkcija nurodyta parametriškai, jei abu kintamieji X Ir y kiekviena atskirai apibrėžiama kaip to paties pagalbinio kintamojo – parametro vienareikšmės funkcijost :

Kurt skiriasi viduje.

komentuoti . Pateiksime parametrines apskritimo ir elipsės lygtis.

a) Apskritimas, kurio centras yra pradžioje ir spinduliu r turi parametrines lygtis:

b) Parašykime elipsės parametrines lygtis:

Išskyrus parametrą t Iš nagrinėjamų tiesių parametrinių lygčių galima gauti jų kanonines lygtis.

Teorema . Jei funkcija y iš argumento x pateikiamas parametriškai lygtimis, kur ir yra diferencijuojami atsižvelgiant įt funkcijas ir tada.

2.4. Leibnizo formulė

Norėdami rasti išvestinę n dviejų funkcijų sandaugos eilė yra didelė praktinę reikšmę turi Leibnizo formulę.

Leisti u Ir v- kai kurios funkcijos iš kintamojo X, turintys bet kokios eilės išvestinius ir y = uv. Išreikškime n-toji išvestinė per funkcijų išvestinius u Ir v .

Mes nuosekliai

Nesunku pastebėti analogiją tarp antrojo ir trečiojo išvestinių išraiškų ir Niutono dvinalio išplėtimo atitinkamai antroje ir trečioje laipsnyje, tačiau vietoj eksponentų yra skaičiai, nulemiantys išvestinės eiliškumą, ir pačios funkcijos. gali būti laikomos „nulinės eilės išvestinėmis finansinėmis priemonėmis“. Atsižvelgdami į tai, gauname Leibnizo formulę:

Šią formulę galima įrodyti matematine indukcija.

3 SKYRIUS. LEIBNITZ FORMULĖS TAIKYMAS.

Norėdami apskaičiuoti bet kurios eilės išvestinę iš dviejų funkcijų sandaugos, apeinant dviejų funkcijų sandaugos išvestinės apskaičiavimo formulės taikymą nuosekliai, naudokite Leibnizo formulė.

Naudodami šią formulę apsvarstysime dviejų funkcijų sandaugos n-osios eilės išvestinės apskaičiavimo pavyzdžius.

1 pavyzdys.

Raskite funkcijos antros eilės išvestinę

Pagal apibrėžimą antrasis vedinys yra pirmasis išvestinis iš pirmojo vedinio, t

Todėl pirmiausia randame duotosios funkcijos pirmosios eilės išvestinę pagal diferenciacijos taisyklės ir naudojant darinių lentelė:

Dabar suraskime pirmosios eilės išvestinę. Tai bus norima antros eilės išvestinė:

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas.

Mes paeiliui rasime duotosios funkcijos pirmosios, antrosios, trečiosios ir tt išvestinius, kad sukurtume modelį, kurį būtų galima apibendrinti iki išvestinės.

Pirmosios eilės išvestinį randame kaip dalinio išvestinė:

Čia išraiška vadinama skaičiaus faktorialu. Skaičiaus faktorialas yra lygus skaičių sandaugai nuo vieno iki, tai yra

Antrosios eilės išvestinė yra pirmoji išvestinė iš pirmosios išvestinės, t

Trečios eilės išvestinė:

Ketvirtasis išvestinis:

Atkreipkite dėmesį į pavyzdį: skaitiklyje yra skaičiaus faktorialas, lygus išvestinės eilės tvarkai, o vardiklyje laipsnio išraiška yra viena didesnė už išvestinės eilę, tai yra

Atsakymas.

3 pavyzdys.

Raskite funkcijos trečiosios išvestinės reikšmę taške.

Sprendimas.

Pagal aukštesnės eilės išvestinių priemonių lentelė, mes turime:

Nagrinėjamame pavyzdyje, tai yra, gauname

Atkreipkite dėmesį, kad panašų rezultatą galima gauti nuosekliai ieškant išvestinių.

IN duotas taškas trečioji išvestinė yra lygi:

Atsakymas:

4 pavyzdys.

Raskite antrąją funkcijos išvestinę

Sprendimas. Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį:

Norėdami rasti antrąją išvestinę, vėl atskiriame pirmosios išvestinės išraišką:

Atsakymas:

5 pavyzdys.

Rasti, jei

Kadangi pateikta funkcija yra dviejų funkcijų sandauga, norint rasti ketvirtos eilės išvestinę, patartina taikyti Leibnizo formulę:

Raskime visas išvestines ir apskaičiuokime dėmenų koeficientus.

1) Apskaičiuokime terminų koeficientus:

2) Raskite funkcijos išvestinius:

3) Raskite funkcijos išvestinius:

Atsakymas:

6 pavyzdys.

Duota funkcija y=x 2 cos3x. Raskite trečiosios eilės išvestinę.

Tegu u=cos3x , v=x 2 . Tada, naudodami Leibnizo formulę, randame:

Šios išraiškos dariniai turi tokią formą:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Todėl trečioji duotosios funkcijos išvestinė yra lygi

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

7 pavyzdys.

Raskite išvestinę n užsakymo funkcija y = x 2 cosx.

Naudokime Leibnizo formulę, darydami prielaidąu = cosx, v=x 2 . Tada

Likę serijos nariai yra lygūs nuliui, nes(x2)(i)=0, kai i>2.

Išvestinė n kosinuso funkcijos tvarka:

Todėl mūsų funkcijos išvestinė yra lygi

IŠVADA

Mokykloje mokomos ir naudojamos vadinamosios sutrumpintos daugybos formulės: dviejų reiškinių sumos ir skirtumo kvadratai ir kubai bei formulės dviejų reiškinių kvadratų, sumos ir kubelių skirtumo faktorinavimui. Šių formulių apibendrinimas yra formulė, vadinama Niutono binomine formule ir galių sumos bei skirtumo faktoringo formule. Šios formulės dažnai naudojamos sprendžiant įvairius uždavinius: įrodant dalumą, mažinant trupmenas, atliekant apytikslius skaičiavimus. Nagrinėjamos įdomios Paskalio trikampio savybės, glaudžiai susijusios su Niutono dvinaliu.

Darbe susisteminta informacija šia tema, pateikiami uždavinių pavyzdžiai naudojant Niutono dvinarį ir galių sumos bei skirtumo formules. Darbą galima panaudoti matematinio būrelio darbe, taip pat ir už savarankiškas mokymasis tiems, kurie domisi matematika.

NAUDOTŲ ŠALTINIŲ SĄRAŠAS

1. Vilenkin N.Ya. Kombinatorika – red. "Mokslas". - M., 1969 m

2. Nikolskis S.M., Potapovas M.K., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui organizacijos pagrindinio ir aukštesniojo lygio - M.: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.

3. Statistikos, kombinatorikos ir tikimybių teorijos uždavinių sprendimas. 7-9 kl. / autorius - rengėjas V.N. Studenetskaja. - red. 2, pataisyta, - Volgogradas: mokytojas, 2009 m.

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebrinės lygtys aukštesni laipsniai / įrankių rinkinys tarpuniversitetinio parengiamojo skyriaus studentams. – Sankt Peterburgas, 2001 m.

5. Šaryginas I.F. Pasirenkamas matematikos kursas: Problemų sprendimas. Pamoka 10 klasei vidurinė mokykla. - M.: Išsilavinimas, 1989 m.

6.Mokslas ir gyvenimas, Niutono dvinaris ir Paskalio trikampis[Elektroninis išteklius]. - Prieigos režimas: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Leibnizo formulė pateikta už n-ieji skaičiavimai dviejų funkcijų sandaugos išvestinė. Jo įrodymas pateikiamas dviem būdais. Nagrinėjamas n-osios eilės išvestinės apskaičiavimo pavyzdys.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė

Leibnizo formulė

Naudodami Leibnizo formulę galite apskaičiuoti dviejų funkcijų sandaugos n-osios eilės išvestinę. Tai atrodo taip:
(1) ,
Kur
- binominiai koeficientai.

Binominiai koeficientai yra dvinario laipsnio išplėtimo koeficientai ir:
.
Taip pat skaičius yra kombinacijų nuo n iki k skaičius.

Leibnizo formulės įrodymas

Taikykime dviejų funkcijų sandaugos išvestinės formulę:
(2) .
Perrašykime formulę (2) tokia forma:
.
Tai yra, mes manome, kad viena funkcija priklauso nuo kintamojo x, o kita - nuo kintamojo y. Skaičiavimo pabaigoje darome prielaidą . Tada ankstesnę formulę galima parašyti taip:
(3) .
Kadangi išvestinė yra lygi terminų sumai, o kiekvienas narys yra dviejų funkcijų sandauga, tai norint apskaičiuoti aukštesnės eilės išvestines, galima nuosekliai taikyti (3) taisyklę.

Tada n-osios eilės išvestinei turime:

.
Atsižvelgdami į tai ir , gauname Leibnizo formulę:
(1) .

Įrodymas indukcija

Pateiksime Leibnizo formulės įrodymą matematinės indukcijos metodu.

Dar kartą užrašykime Leibnizo formulę:
(4) .
Jei n = 1, turime:
.
Tai dviejų funkcijų sandaugos išvestinės formulė. Ji sąžininga.

Tarkime, kad formulė (4) galioja n-osios eilės išvestinei. Įrodykime, kad jis galioja išvestinei n + 1 – įsakymas.

Išskirkime (4):
;



.
Taigi mes radome:
(5) .

Pakeiskime (5) ir atsižvelgsime į tai:

.
Tai rodo, kad formulė (4) turi tą pačią formą išvestinei n + 1 – įsakymas.

Taigi, formulė (4) galioja n = 1 . Darant prielaidą, kad jis galioja tam tikram skaičiui n = m, išplaukia, kad jis galioja ir n = m + 1 .
Leibnizo formulė buvo įrodyta.

Pavyzdys

Apskaičiuoti n-oji išvestinė funkcijas
.

Taikykime Leibnizo formulę
(2) .
Mūsų atveju
;
.

Iš išvestinių priemonių lentelės turime:
.
Taikome trigonometrinių funkcijų savybes:
.
Tada
.
Tai rodo, kad sinusinės funkcijos diferenciacija lemia jos poslinkį . Tada
.

Funkcijos išvestinių radimas.
;
;
;
, .

Kadangi , Leibnizo formulėje tik pirmieji trys terminai yra nuliniai. Binominių koeficientų radimas.
;
.

Pagal Leibnizo formulę turime:

.

Taip pat žiūrėkite: