Pamokos metu bus supažindinama su kvadratinės lygties sąvoka ir nagrinėjami du jos tipai: pilnoji ir nepilnoji. Ypatingas dėmesys pamokoje bus skiriamas nebaigtų tipų rūšims kvadratines lygtis, antroje pamokos pusėje bus pateikta daug pavyzdžių.

Tema:Kvadratinės lygtys.

Pamoka:Kvadratinės lygtys. Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimas.Kvadratinė lygtis vadinama formos lygtimi

Fiksuoti realieji skaičiai, apibrėžiantys kvadratinę lygtį. Šie skaičiai turi konkrečius pavadinimus:

Senior koeficientas (daugiklis ties );

Antrasis koeficientas (daugiklis ties );

Laisvasis terminas (skaičius be kintamojo koeficiento).

komentuoti. Reikia suprasti, kad nurodyta terminų rašymo kvadratinėje lygtyje seka yra standartinė, bet neprivaloma, o jų pertvarkymo atveju skaitinius koeficientus reikia mokėti nustatyti ne pagal eilės tvarka, o pagal priklausomybę. į kintamuosius.

Apibrėžimas. Išraiška vadinama kvadratinis trinaris.

1 pavyzdys. Duota kvadratinė lygtis . Jo koeficientai:

Senjorų koeficientas;

Antrasis koeficientas (atkreipkite dėmesį, kad koeficientas nurodomas pirmaujančiu ženklu);

Laisvas narys.

Apibrėžimas. Jei , vadinasi kvadratinė lygtis nepaliestas, o jei , vadinasi kvadratinė lygtis duota.

2 pavyzdys. Pateikite kvadratinę lygtį . Abi dalis padalinkime iš 2: .

komentuoti. Kaip matyti iš ankstesnio pavyzdžio, dalydami iš pirmaujančio koeficiento lygties nepakeitėme, o pakeitėme jos formą (sumažinome), panašiai ją galima padauginti iš kokio nors ne nulio skaičiaus. Taigi kvadratinė lygtis nepateikiama vienu skaičių trigubu, bet jie tai sako yra nurodytas iki nulinio koeficientų rinkinio.

Apibrėžimas.Sumažinta kvadratinė lygtis gaunamas iš nesumažėjusio padalijus iš pirminio koeficiento ir turi tokią formą:

.

Priimami šie pavadinimai: . Tada redukuota kvadratinė lygtis turi formą:

.

komentuoti. Sumažintoje kvadratinės lygties formoje matote, kad kvadratinę lygtį galima nurodyti tik dviem skaičiais: .

2 pavyzdys (tęsinys). Nurodykime koeficientus, kurie apibrėžia sumažintą kvadratinę lygtį . , . Šie koeficientai taip pat nurodomi atsižvelgiant į ženklą. Tie patys du skaičiai apibrėžia atitinkamą nesumažintą kvadratinę lygtį .

komentuoti. Atitinkamos neredukuotos ir redukuotos kvadratinės lygtys yra vienodos, t.y. turi tas pačias šaknų rinkinius.

Apibrėžimas. Kai kurie kvadratinės lygties nesumažintos arba sumažintos formos koeficientai gali būti lygūs nuliui. Šiuo atveju kvadratinė lygtis vadinama Nebaigtas. Jei visi koeficientai yra ne nuliai, vadinasi kvadratinė lygtis užbaigti.

Yra keletas neišsamių kvadratinių lygčių tipų.

Jeigu dar nesvarstėme išspręsti pilnos kvadratinės lygties, tai nepilną nesunkiai galime išspręsti mums jau žinomais metodais.

Apibrėžimas.Išspręskite kvadratinę lygtį- reiškia surasti visas kintamojo reikšmes (lygties šaknis), kurioms esant ši lygtis virsta teisinga skaitine lygybe, arba nustatyti, kad tokių reikšmių nėra.

3 pavyzdys. Panagrinėkime tokio tipo nepilnų kvadratinių lygčių pavyzdį. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Išimkime bendrą veiksnį. Šio tipo lygtis galime išspręsti tokiu principu: sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai yra vienas iš veiksnių lygus nuliui, ir yra kitas šios reikšmės kintamasis. Taigi:

Atsakymas.; .

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. 1 būdas. Suskaičiuokime koeficientą naudodami kvadratų skirtumo formulę

, todėl panašus į ankstesnį pavyzdį arba .

2 būdas. Perkelkime laisvąjį terminą į dešinę ir ištraukime Kvadratinė šaknis iš abiejų dalių.

Atsakymas. .

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Perkelkime laisvą terminą į dešinę, bet , t.y. lygtyje neneigiamas skaičius yra prilyginamas neigiamam, o tai neturi prasmės jokiai kintamojo reikšmei, todėl nėra šaknų.

Atsakymas. Nėra šaknų.

6 pavyzdys.Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Abi lygties puses padalinkite iš 7: .

Atsakymas. 0.

Pažvelkime į pavyzdžius, kuriuose pirmiausia reikia sumažinti kvadratinę lygtį į standartinę formą ir tada ją išspręsti.

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Norėdami sumažinti kvadratinę lygtį į standartinę formą, turite perkelti visus terminus į vieną pusę, pavyzdžiui, į kairę, ir atnešti panašius.

Gavome nepilną kvadratinę lygtį, kurią jau žinome kaip išspręsti, gauname, kad arba .

Atsakymas. .

8 pavyzdys (žodinė problema). Dviejų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių sandauga yra dvigubai didesnė už mažesniojo skaičiaus kvadratą. Raskite šiuos skaičius.

Sprendimas. Tekstinės problemos paprastai sprendžiamos naudojant šį algoritmą.

1) Matematinio modelio sudarymas. Šiame etape būtina išversti užduoties tekstą į kalbą matematiniai simboliai(padarykite lygtį).

Iš pradžių leisk šiek tiek natūralusis skaičius pažymėkime nežinomu , tada kitas po jo (skaičiai iš eilės) bus . Mažesnis iš šių skaičių yra skaičius , parašykime lygtį pagal uždavinio sąlygas:

, Kur. Sudarytas matematinis modelis.

Klasė: 8

Panagrinėkime standartines (mokykliniame matematikos kurse) ir nestandartinius kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

1. Kvadratinės lygties kairiosios pusės išskaidymas į tiesinius veiksnius.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

3) x 2 + 10x – 24 = 0.

6(x 2 + x – x) = 0 | : 6

x 2 + x – x – = 0;

x(x – ) + (x – ) = 0;

x(x – ) (x + ) = 0;

= ; – .

Atsakymas: ; – .

Savarankiškam darbui:

Išspręskite kvadratines lygtis taikydami kvadratinės lygties kairės pusės tiesinio faktorizavimo metodą.

a) x 2 – x = 0; d) x 2 – 81 = 0; g) x 2 + 6x + 9 = 0;

b) x 2 + 2x = 0; e) 4x 2 – = 0; h) x 2 + 4x + 3 = 0;

c) 3x 2 – 3x = 0; e) x 2 – 4x + 4 = 0; i) x 2 + 2x – 3 = 0.

a) 0; 1

b) -2; 0

c) 0; 1

2. Viso kvadrato parinkimo būdas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

Savarankiškam darbui.

Išspręskite kvadratines lygtis naudodami tobulo kvadrato metodą.

3. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę.

ax 2 + inx + c = 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2akh + 2akh · 2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;

2 = 2 – 4ac; = ± ;

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Savarankiškam darbui.

Išspręskite kvadratines lygtis pagal formulę x 1,2 =.

4. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą (tiesioginė ir atvirkštinė)

x 2 + px +q = 0 – sumažinta kvadratinė lygtis

pagal Vietos teoremą.

Jei lygtis turi dvi vienodas šaknis ženkle ir tai priklauso nuo koeficiento.

Jei p, tada .

Jei p, tada .

Pavyzdžiui:

Jei lygtis turi dvi skirtingo ženklo šaknis, o didesnė šaknis bus jei p ir bus jei p.

Pavyzdžiui:

Savarankiškam darbui.

Neišsprendę kvadratinės lygties, naudokite atvirkštinę Vietos teoremą, kad nustatytumėte jos šaknų ženklus:

a, b, j, l – įvairios šaknys;

c, d, h – neigiamas;

g, e, g, i, m – teigiamas;

5. Kvadratinių lygčių sprendimas „metimo“ metodu.

Savarankiškam darbui.

Išspręskite kvadratines lygtis naudodami „metimo“ metodą.

6. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant jos koeficientų savybes.

I. ax 2 + bx + c = 0, kur a 0

1) Jei a + b + c = 0, tai x 1 = 1; x 2 =

Įrodymas:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Pagal Vietos teoremą

Pagal sąlygą a + b + c = 0, tada b = -a – c. Toliau gauname

Iš to išplaukia, kad x 1 =1; x 2 = . Q.E.D.

2) Jei a – b + c = 0 (arba b = a + c), tai x 1 = – 1; x 2 = –

Įrodymas:

Pagal Vietos teoremą

Pagal sąlygą a – b + c = 0, t.y. b = a + c. Toliau gauname:

Todėl x 1 = – 1; x 2 = – .

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

1) 345 x 2 – 137 x – 208 = 0.

a + b + c = 345 – 137 – 208 = 0

x 1 = 1; x 2 = =

2) 132 x 2 – 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.

x 1 = 1; x 2 = =

Atsakymas: 1;

Savarankiškam darbui.

Naudodamiesi kvadratinės lygties koeficientų savybėmis, išspręskite lygtis

II. ax 2 + bx + c = 0, kur a 0

x 1,2 = . Tegu b = 2k, t.y. net Tada gauname

x 1,2 = = = =

Pažiūrėkime į pavyzdį:

3x 2 – 14x + 16 = 0.

D 1 = (-7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1

x 1 = = 2; x 2 =

Atsakymas: 2;

Savarankiškam darbui.

a) 4x 2 – 36x + 77 = 0

b) 15x 2 – 22x – 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 – 12x + 4 = 0

Atsakymai:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = – ± 2 – q

Pažiūrėkime į pavyzdį:

x 2 – 14x – 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 = -1; x 2 = 15.

Atsakymas: -1; 15.

Savarankiškam darbui.

a) x 2 – 8x – 9 = 0

b) x 2 + 6x – 40 = 0

c) x 2 + 18x + 81 = 0

d) x 2 – 56x + 64 = 0

7. Kvadratinės lygties sprendimas naudojant grafikus.

a) x 2 – 3x – 4 = 0

Atsakymas: -1; 4

b) x 2 – 2x + 1 = 0

c) x 2 – 2x + 5 = 0

Atsakymas: nėra sprendimų

Savarankiškam darbui.

Išspręskite kvadratines lygtis grafiškai:

8. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant kompasą ir liniuotę.

ax 2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 ir x 2 yra šaknys.

Tegu A(0; 1), C(0;

Pagal sekantinę teoremą:

OB · OD = OA · OS.

Todėl mes turime:

x 1 x 2 = 1 OS;

OS = x 1 x 2

K(; 0), kur = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Sukonstruoti tašką S(-; ) – apskritimo centrą ir tašką A(0;1).

2) Nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys R = SA/

3) Šio apskritimo susikirtimo su x ašimi taškų abscisės yra pradinės kvadratinės lygties šaknys.

Galimi 3 atvejai:

1) R > SK (arba R > ).

Apskritimas kerta x ašį taškuose B(x 1; 0) ir D(x 2; 0), kur x 1 ir x 2 yra kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 šaknys.

2) R = SK (arba R = ).

Apskritimas liečia x ašį B 1 kryptimi (x 1; 0), kur x 1 yra kvadratinės lygties šaknis

ax 2 + bx + c = 0.

3) R< SK (или R < ).

Apskritimas neturi bendrų taškų su x ašimi, t.y. jokių sprendimų.

1) x 2 – 2x – 3 = 0.

Centras S(-;), t.y.

x 0 = = – = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) – apskritimo centras.

Nubrėžkime apskritimą (S; AS), kur A(0; 1).

9. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą

Norėdami išspręsti problemą, naudokite V.M. keturių skaitmenų matematines lenteles. Bradis (XXII lentelė, p. 83).

Nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties x 2 + px + q = 0, iš jos koeficientų nustatyti lygties šaknis. Pavyzdžiui:

5) z 2 + 4z + 3 = 0.

Abi šaknys yra neigiamos. Todėl atliksime pakeitimą: z 1 = – t. Gauname naują lygtį:

t 2 – 4t + 3 = 0.

t1 = 1; t2 = 3

z 1 = – 1; z 2 = – 3.

Atsakymas: – 3; – 1

6) Jei koeficientai p ir q išeina už skalės ribų, tada atlikite keitimą z = k · t ir išspręskite lygtį naudodami nomogramą: z 2 + pz + q = 0.

k 2 t 2 + p · kt + q = 0. |: k 2

k imamas tikintis, kad atsiras šios nelygybės:

Savarankiškam darbui.

y 2 + 6y – 16 = 0.

y 2 + 6y = 16, |+ 9

y 2 + 6y + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8.

Atsakymas: -8; 2

Savarankiškam darbui.

Geometriškai išspręskite lygtį y 2 – 6y – 16 = 0.

savivaldybės švietimo įstaiga
"Kosinskaya pagrindinė vidurinė mokykla"

Pamoka naudojant IKT

Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę.

Programuotojas:
Čerevina Oksana Nikolaevna
matematikos mokytojas

Tikslas:
nustatykite kvadratinių lygčių sprendimą naudodami formulę,
prisidėti prie moksleivių noro ir poreikio apibendrinti tiriamus faktus ugdymo,
ugdyti savarankiškumą ir kūrybiškumą.

Įranga:
matematinis diktantas (1 pristatymas),
kortelės su kelių lygių užduotimis savarankiškam darbui,
kvadratinių lygčių sprendimo formulių lentelė (kampelyje „Pagalba pamokoje“),
„Senos problemos“ atspaudas (studentų skaičius),
balų vertinimo lentelė lentoje.

Bendras planas:
Namų darbų tikrinimas
Matematinis diktantas.
Burnos pratimai.
Konsolidavimo pratimų sprendimas.
Savarankiškas darbas.
Istorinė nuoroda.

Per užsiėmimus.
Org momentas.

Namų darbų tikrinimas.
– Vaikinai, su kokiomis lygtimis susipažinome paskutinėse pamokose?
- Kaip galite išspręsti kvadratines lygtis?
– Namuose 1 lygtį reikėjo išspręsti dviem būdais.
(Lygtis buvo pateikta 2 lygiais, skirta silpniems ir stipriems studentams)
- Patikrinkim su manimi. Kaip įvykdėte užduotį?
(lentoje prieš pamoką mokytojas užrašo namų užduoties sprendimą)
Mokiniai patikrina ir daro išvadą: nepilnas kvadratines lygtis lengviau išspręsti faktoringo būdu arba įprastu būdu, užbaigtas – formule.
Mokytoja pabrėžia: ne veltui aikštės sprendimo būdas. formule pagrįstos lygtys vadinamos universaliosiomis.

Kartojimas.

Šiandien pamokoje toliau dirbsime spręsdami kvadratines lygtis. Mūsų pamoka bus neįprasta, nes šiandien įvertinsiu ne tik aš, bet ir tave patį. Norėdami gauti gerą pažymį ir sėkmingai atlikti savarankišką darbą, turite surinkti kuo daugiau taškų. Manau, kad atlikę namų darbus jau uždirbote vieną tašką.
- O dabar noriu, kad prisimintumėte ir dar kartą pakartotumėte apibrėžimus ir formules, kurias mes studijavome šia tema (už teisingą atsakymą vertinamas 1 balas, o už neteisingą – 0 balų).
- O dabar, vaikinai, atidžiai atliksime matematinį diktantą ir greitai perskaitysime užduotį kompiuterio monitoriuje. (1 pristatymas)
Studentai atlieka darbą ir naudoja raktą, kad įvertintų savo veiklą.

Matematinis diktantas.

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis...
Kvadratinėje lygtyje 1-asis koeficientas yra…, 2-asis koeficientas yra…, laisvasis terminas yra…
Sakoma, kad kvadratinė lygtis sumažinama, jei...
Parašykite kvadratinės lygties diskriminanto skaičiavimo formulę
Parašykite kvadratinės lygties šaknies apskaičiavimo formulę, jei lygtyje yra tik viena šaknis.
Kokiomis sąlygomis kvadratinė lygtis neturi šaknų?

(savikontrolė kompiuteriu, už kiekvieną teisingą atsakymą – 1 balas).

Burnos pratimai. (įjungta nugaros pusė lentos)
– Kiek šaknų turi kiekviena lygtis? (užduotis taip pat verta 1 balo)
1. (x - 1) (x +11) = 0;
2. (x – 2)² + 4 = 0;
3. (2x – 1)(4 + x) = 0;
4. (x – 0,1)x = 0;
5. x² + 5 = 0;
6. 9x² – 1 = 0;
7. x² – 3x = 0;
8. x + 2 = 0;
9. 16x² + 4 = 0;
10. 16x² – 4 = 0;
11. 0,07x² = 0.

Pratimų sprendimas medžiagai įtvirtinti.

Iš asmeninio kompiuterio monitoriuje siūlomų lygčių jos atliekamos savarankiškai (CD-7), tikrinant mokiniai, atlikę skaičiavimus, teisingai pakelia rankas (1 balas); šiuo metu silpnesni mokiniai lentoje išsprendžia vieną lygtį, o savarankiškai atlikusieji užduotį gauna 1 balą.

Savarankiškas darbas 2 variantais.
Startuoja tie, kurie surinko 5 ir daugiau taškų savarankiškas darbas nuo 5 Nr.
Surinkusieji 3 ir mažiau – nuo ​​1.

1 variantas.

a) 3x² + 6x – 6 = 0, b) x² - 4x + 4 = 0, c) x² - x + 1 = 0.

Nr. 2. Tęskite kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 diskriminanto D skaičiavimą pagal formulę D = b² - 4ac.

a) 5x² – 7x + 2 = 0,
D = b² – 4ac
D= (-7²) – 4 5 2 = 49 – 40 = …;
b) x² – x – 2 = 0,
D = b² – 4ac
D = (-1) ² - 4 1 (-2) = ...;

Nr. 3. Baigti spręsti lygtį
3x² - 5x - 2 = 0.
D = b² – 4ac
D = (-5)² - 4 3 (-2) = 49.
x =...

Nr. 4. Išspręskite lygtį.

a) (x - 5) (x + 3) = 0; b) x² + 5x + 6 = 0

a) (x-3)^2 = 3x-5; b) (x+4)(2x-1)=x(3x+11)

Nr. 6. Išspręskite lygtį x2+2√2 x+1=0
Nr. 7. Kuriai a reikšmei lygtis x² - 2ax + 3 = 0 turi vieną šaknį?

2 variantas.

Nr. 1. Kiekvienai lygčiai, kurios formos ax² + bx + c = 0, nurodykite a, b, c reikšmes.

a) 4x² - 8x + 6 = 0, b) x² + 2x - 4 = 0, c) x² - x + 2 = 0.

Nr. 2. Tęskite kvadratinės lygties ax² + bx + c = 0 diskriminanto D skaičiavimą pagal formulę D = b² - 4ac.

a) 5x² + 8x - 4 = 0,
D = b² – 4ac
D = 8² – 4 5 (- 4) = 64 – 60 = …;

b) x² – 6x + 5 = 0,
D = b² – 4ac
D = (-6) ² - 4 1 5 = …;

3 Nr. Baigti spręsti lygtį
x² – 6x + 5 = 0.
D = b² – 4ac
D = (-6)² - 4 1 5 = 16.
x =...

Nr. 4. Išspręskite lygtį.

a) (x + 4) (x - 6) = 0; b) 4x² – 5x + 1 = 0

Nr. 5. Sumažinkite lygtį iki kvadrato ir išspręskite:

a) (x-2)^2 = 3x-8; b) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)

Nr. 6. Išspręskite lygtį x2+4√3 x+12=0

Nr. 7. Esant kokiai a reikšmei, lygtis x² + 3ax + a = 0 turi vieną šaknį.

Pamokos santrauka.
Sumuojant balų vertinimo lentelės rezultatus.

Istorinis pagrindas ir užduotis.
Problemos, susijusios su kvadratinėmis lygtimis, atsiranda jau 499 m. IN Senovės IndijaĮprasti buvo vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senovės indų knygų rašoma: „Kaip saulė savo spindesiu užtemdo žvaigždes, taip išmokęs žmogus užtemdys kito šlovę žmonių susirinkimai, siūlydamas ir sprendžiant algebrines problemas. Dažnai jie buvo poetinės formos. Štai viena iš garsaus XII amžiaus Indijos matematiko Bhaskaros problemų:
Šurmuliuojančių beždžionių pulkas
Pavalgęs iki soties smagiai praleidau laiką,
Aštunta jų dalis kvadratuota
Smagiai praleidau proskynoje.
Ir 12 ant vynmedžių...
Jie pradėjo šokinėti, kabėti.
Kiek beždžionių buvo?
Pasakyk man, šioje pakuotėje?

VII. Namų darbai.
Siūloma išspręsti šią istorinę problemą ir nubraižyti ją ant atskirų popieriaus lapų su piešiniu.

TAIKYMAS

Ne. F.I.
studentų veikla IŠ VISO
Namų darbai Diktantas Pratimai žodžiu Medžiagos konsolidavimas
Darbas kompiuteriu Darbas prie lentos
1 Ivanovas I.
2 Fiodorovas G.
3 Jakovleva Ya.
…

Didžiausia suma– 22-23 taškai.
Minimalus – 3-5 balai

3-10 taškų – rezultatas „3“,
11-20 taškų – rezultatas „4“,
21-23 taškai – rezultatas „5“

Šiame vaizdo įraše paaiškinama, kaip išspręsti kvadratinę lygtį. Kvadratinių lygčių sprendimas paprastai pradedamas mokytis vidurinė mokykla, 8 klasė. Kvadratinės lygties šaknys randamos pagal speciali formulė. Tegu yra kvadratinė lygtis formos ax2+bx+c=0, kur x yra nežinomasis, a, b ir c yra koeficientai, kurie yra realūs skaičiai. Pirmiausia turite nustatyti diskriminantą naudodami formulę D=b2-4ac. Po to belieka apskaičiuoti kvadratinės lygties šaknis pagal žinomą formulę. Dabar pabandykime išspręsti konkretų pavyzdį. Kaip pradinę lygtį imame x2+x-12=0, t.y. koeficientas a=1, b=1, c=-12. Naudodami gerai žinomą formulę galite nustatyti diskriminantą. Tada, naudodami formulę, skirtą lygties šaknims rasti, jas apskaičiuojame. Mūsų atveju diskriminantas bus lygus 49. Kokia yra diskriminanto reikšmė teigiamas skaičius, sako, kad ši kvadratinė lygtis turės dvi šaknis. Atlikę paprastus skaičiavimus, matome, kad x1=-4, x2=3. Taigi kvadratinę lygtį išsprendėme skaičiuodami jos šaknis Video pamoka „Kvadratinių lygčių sprendimas (8 kl.). Šaknų paieška pagal formulę“ galite bet kuriuo metu žiūrėti internete nemokamai. Sėkmės tau!