Tiesė y = 3x + 2 yra funkcijos y = -12x ^ 2 + bx-10 grafiko liestinė. Raskite b, atsižvelgiant į tai, kad lietimo taško abscisė yra mažesnė už nulį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tegu x_0 yra funkcijos y = -12x ^ 2 + bx-10 grafiko taško, per kurį eina šio grafiko liestinė, abscisė.

Išvestinės reikšmė taške x_0 yra lygi liestinės nuolydžiui, tai yra, y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Kita vertus, liestinės taškas priklauso abiem funkcijos grafikui ir liestinė, tai yra -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Gauname lygčių sistemą \ pradžia (atvejai) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ pabaiga (atvejai)

Išspręsdami šią sistemą, gauname x_0 ^ 2 = 1, o tai reiškia arba x_0 = -1, arba x_0 = 1. Pagal sąlygą prisilietimo taško abscisė yra mažesnė už nulį, todėl x_0 = -1, tada b = 3 + 24x_0 = -21.

Atsakymas

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f (x) grafikas (tai yra trūkinė linija, sudaryta iš trijų tiesių atkarpų). Naudodamiesi paveikslu, apskaičiuokite F (9) -F (5), kur F (x) yra vienas iš f (x) antidarinių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pagal Niutono-Leibnizo formulę skirtumas F (9) -F (5), kur F (x) yra vienas iš funkcijos f (x) antidarinių, yra lygus kreivinės trapecijos plotui, kurį riboja. funkcijos y = f (x) grafiku, tiesėmis y = 0 , x = 9 ir x = 5. Pagal grafiką nustatome, kad nurodyta kreivoji trapecija yra trapecija, kurios pagrindai lygūs 4 ir 3, o aukštis – 3.

Jo plotas yra \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. Profilio lygis“. Red. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas y = f grafikas "(x) - funkcijos f (x) išvestinė, apibrėžta intervale (-4; 10). Raskite funkcijos f (x) mažėjimo intervalus. atsakydami nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Kaip žinia, funkcija f (x) mažėja tuose intervaluose, kurių kiekviename taške išvestinė f "(x) yra mažesnė už nulį. Atsižvelgiant į tai, kad reikia rasti didžiausio iš jų ilgį, trys tokie intervalai natūraliai išskiriami iš figūros: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Didžiausio iš jų ilgis (5; 9) lygus 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. Profilio lygis“. Red. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas y = f grafikas "(x) - funkcijos f (x) išvestinė, apibrėžta intervale (-8; 7). Raskite funkcijos f (x), priklausančių didžiausių taškų skaičių. intervalas [-6; -2].

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Grafike matyti, kad funkcijos f (x) išvestinė f "(x) keičia ženklą iš pliuso į minusą (būtent tokiuose taškuose bus maksimumas) tiksliai viename taške (tarp -5 ir -4) nuo intervalas [-6; -2 ] Todėl intervale [-6; -2] yra tiksliai vienas maksimalus taškas.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. Profilio lygis“. Red. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f (x), apibrėžtos intervale (-2; 8), grafikas. Nustatykite taškų, kuriuose funkcijos f (x) išvestinė yra 0, skaičių.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Išvestinės lygybė nuliui taške reiškia, kad šiame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Todėl randame taškus, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai. Šioje diagramoje tokie taškai yra kraštutiniai taškai (maksimalaus arba minimumo taškai). Kaip matote, yra 5 ekstremalūs taškai.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. Profilio lygis“. Red. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Tiesė y = -3x + 4 yra lygiagreti funkcijos y = -x ^ 2 + 5x-7 grafiko liestinei. Raskite lietimo taško abscisę.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Funkcijos y = -x ^ 2 + 5x-7 grafiko tiesės nuolydis savavališkame taške x_0 yra lygus y "(x_0). Bet y" = - 2x + 5, taigi y "(x_0) ) = - 2x_0 + 5. Kampinis sąlygoje nurodytos tiesės y = -3x + 4 koeficientas lygus -3. Lygiagrečių linijų nuolydis yra toks pat.Todėl reikšmę x_0 randame tokią, kad = -2x_0 + 5 = -3.

Gauname: x_0 = 4.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. Profilio lygis“. Red. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Būklė

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f (x) grafikas, o abscisių ašyje pažymėti taškai -6, -1, 1, 4. Kuriame iš šių taškų išvestinės vertės yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Matematikos meistriškumo klasė

11 klasėje

šia tema

„IŠVEDINĖ FUNKCIJA

NAUDOJIMO UŽDUOTIS "

matematikos mokytojas

Martynenko E.N.

2017-2018 mokslo metai

Meistriškumo tikslas – klasė: ugdyti mokinių įgūdžiusteorinių žinių taikymas tema „Funkcijos išvestinė“ sprendžiant vieningo valstybinio egzamino uždavinius.

Užduotys

Švietimas:apibendrinti ir susisteminti mokinių žinias šia tema

„Funkcijos darinys“, apsvarstykite šios temos USE problemų prototipus, suteikia studentams galimybę pasitikrinti savo žinias sprendžiant problemas savarankiškai.

Kuriama: skatinti atminties, dėmesio, savigarbos ir savikontrolės įgūdžių ugdymą; pagrindinių pagrindinių kompetencijų formavimas (objektų palyginimas, gretinimas, klasifikavimas, adekvačių ugdymo problemos sprendimo būdų nustatymas remiantis nurodytais algoritmais, gebėjimas savarankiškai veikti netikrumo situacijoje, kontroliuoti ir vertinti savo veiklą, rasti ir pašalinti iškilusių sunkumų priežastis).

Švietimas: reklamuoti:

Mokinių atsakingo požiūrio į mokymąsi formavimas;

ugdyti nuolatinį domėjimąsi matematika;

sukuriant teigiamą vidinę motyvaciją mokytis matematikos.

Technologijos: individualiai diferencijuotas mokymasis, IKT.

Mokymo metodai: žodinis, vaizdinis, praktinis, probleminis.

Darbo formos: individualiai, priekyje, poromis.

Įranga ir medžiaga pamokai:projektorius, ekranas, kompiuteris, simuliatorius(1 priedėlis), pristatymas pamokai(2 priedas), individualiai – diferencijuotos kortelės savarankiškam darbui poromis(priedas Nr. 3), interneto svetainių sąrašas, individualiai diferencijuoti namų darbai(4 priedas).

Paaiškinimas meistriškumo klasei.

Ši meistriškumo klasė vyksta 11 klasėje, siekiant pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui. Siekiama pritaikyti teorinę medžiagą tema „Funkcijos išvestinė“ sprendžiant egzamino uždavinius.

Meistriškumo klasės trukmė- 20 minučių.

Meistriškumo klasės struktūra

I. Organizacinis momentas -1 min.

II.Temos komunikacija, meistriškumo klasės tikslai, edukacinės veiklos motyvavimas - 1 min.

III. Frontalinis darbas. Mokymai „Užduotys Nr. 14 BAZĖ, Nr. 7 Vieningo valstybinio egzamino PROFILIS“. Darbo su treniruokliu analizė - 7 min.

IV.Individualiai – diferencijuotas darbas poromis. Savarankiškas uždavinių sprendimas Nr. 12. (PROFILIS) Abipusis patikrinimas - 9 min. On-line testavimas (BASE) Testo rezultatų analizė - 8 min

V. Individualių namų darbų tikrinimas. -1 minutę.

Vi. Individualiai - diferencijuotas namų darbas -1 min.

Vii. KONTROLINIS BANDYMAS 20 MINUČIŲ (4 PArinktys)

Meistriškumo klasės progresas

aš .Laiko organizavimas.

II Temos komunikacija, meistriškumo pamokos tikslai, edukacinės veiklos motyvavimas.

(1–2 skaidrės, 2 priedas)

Mūsų pamokos tema „Funkcijos išvestinė egzamino užduotyse“. Visi žino posakį „Maža ritė, bet brangi“. Viena iš tokių matematikos „ričių“ yra išvestinė. Išvestinė naudojama sprendžiant daugelį praktinių matematikos, fizikos, chemijos, ekonomikos ir kitų disciplinų uždavinių. Tai leidžia paprastai, gražiai ir įdomiai spręsti problemas.

Tema „Išvestinė“ pateikta pagrindinio lygio užduotyje Nr.14 ir profilio lygio Nr.7,12,18 bei vieningo valstybinio egzamino užduotyse.

Dirbote su dokumentais, reglamentuojančiais 2018 m. vieningojo matematikos valstybinio egzamino kontrolinės matavimo medžiagos struktūrą ir turinį. Padarykite išvadą, kokių žinių ir įgūdžių jums reikia norint sėkmingai išspręsti NAUDOJIMO problemas tema „Išvestinė“.

(3–4 skaidrės, 2 priedas)

Ar išmokote „MATEMATIKOS turinio elementų kodifikatorius vieningo valstybinio egzamino kontrolinės matavimo medžiagos rengimui“,

„Absolventų rengimo lygio reikalavimų kodifikatorius“, „Kontrolinių matavimo medžiagų specifikacija“, „Vieningojo valstybinio egzamino 2018 m. kontrolinių matavimų medžiagų demonstracinė versija“ ir sužinoti kokių žinių ir įgūdžių apie funkciją ir jos išvestinę reikia norint sėkmingai išspręsti problemas tema „Išvestinė“.

Būtinas

• ŽINOTI

išvestinių skaičiavimų taisyklės;

pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai;

geometrinė ir fizinė išvestinės reikšmė;
funkcijos grafiko liestinės lygtis;
funkcijos tyrimas naudojant išvestinę.

• GALĖTI

atlikti veiksmus su funkcijomis (pagal grafiką aprašyti funkcijos elgesį ir savybes, rasti jos didžiausias ir mažiausias reikšmes).

• NAUDOTI

įgytų žinių ir įgūdžių praktikoje ir kasdieniame gyvenime.

Turite teorinių žinių apie išvestinę temą. Šiandien mesIŠMOKYKITE TAIKYTI ŽINIAS APIE IŠVEDINĮ FUNKCIJĄ, NAUDOJIMO PROBLEMŲ SPRENDIMĄ.(4 skaidrė, priedas Nr. 2)

Tai ne veltui Aristotelis tai pasakė„Protas – NE TIK ŽINIOSE, BET TAIP PAT GEBĖJIMAS ŽINIAS TAIKYTI PRAKTIKOJE“(5 skaidrė, priedas Nr. 2)

Pamokos pabaigoje grįšime prie savo pamokos tikslo ir išsiaiškinsime, ar jį pasiekėme?

III ... Frontalinis darbas.Mokymai "Užduotys Nr. 14 BAZĖ Nr. 7 Vieningo valstybinio egzamino PROFILIS" ( Priedas Nr. 1). Darbo su treniruokliu analizė.

Pasirinkite teisingą atsakymą iš keturių siūlomų.

Koks, jūsų nuomone, yra sudėtingas atliekant 7 užduotį?

Kaip manote, kokias tipines klaidas abiturientai daro per egzaminą spręsdami šią problemą?

Atsakydami į užduoties Nr. 14 PAGRINDAS IR Nr. 7 PROFILIS klausimus, turite mokėti apibūdinti funkcijos elgesį ir savybes iš išvestinės grafiko, o iš funkcijos grafiko - funkcijos elgseną ir savybes. funkcijos išvestinė. O tam reikia gerų teorinių žinių šiomis temomis: „Geometrinė ir mechaninė išvestinės reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė. Išvestinės taikymas funkcijoms tirti “.

Išanalizuokite, kokios užduotys jums sukėlė sunkumų?

Kokius teorinius klausimus reikia žinoti?

IV. Tiesioginis bandymas atliekant užduotis Nr. 14 (BASE)Bandymų rezultatų analizė.

Svetainė testavimui pamokoje:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Kas nepadarė klaidų?

Kas patyrė sunkumų atliekant testą? Kodėl?

Kokiose užduotyse buvo padaryta klaidų?

Pabaikite, kokius teorinius klausimus turite žinoti?

Individualiai – diferencijuotas darbas poromis. Nepriklausomas uždavinių sprendimas №12. (PROFILIS)Abipusis patikrinimas.(3 priedas)

Prisiminkite egzamino №12 uždavinių sprendimo algoritmą, skirtą ekstremumo taškų, funkcijos ekstremalių, didžiausių ir mažiausių intervalo funkcijos reikšmių, naudojant išvestinę, paieškos.

Išspręskite uždavinius su išvestiniu

Mokiniai susiduria su tokia problema:

„Pagalvokite, ar įmanoma kai kurias problemas Nr. 12 išspręsti kitaip, nenaudojant išvestinės priemonės?

1 pora

2 poros

3 poros

4 poros

(Studentai gina savo sprendimą, lentoje užrašydami pagrindinius uždavinių sprendimo žingsnius. Mokiniai pateikia du būdus, kaip išspręsti 2 problemą).

Problemos sprendimas. Išvada studentams:

„Kai kurias egzamino užduotis Nr. 12, ieškant funkcijos mažiausios ir didžiausios reikšmės, galima išspręsti nenaudojant išvestinės, pasikliaujant funkcijų savybėmis.

Išanalizuokite, kokią klaidą padarėte užduotyje?

Kokius teorinius klausimus reikia pakartoti?

V. Individualių namų darbų tikrinimas. (7-8 skaidrės, priedas Nr.2)

Vegelmanui V. buvo pateikti individualūs namų darbai: iš pasiruošimo egzaminui vadovų Nr. 18.

(Studentas pateikia uždavinio sprendimą, remdamasis funkciniu-grafiniu metodu, kaip vienu iš egzamino uždavinių Nr. 18 sprendimo būdų ir trumpai paaiškina šį metodą).

Vii. Individualiai – diferencijuoti namų darbai

(9 skaidrė, priedas Nr. 2), (4 priedas).

Paruošiau internetinių svetainių sąrašą, skirtą pasiruošti egzaminui. Šiose svetainėse taip pat galite atlikti testavimą internetu. Kitai pamokai reikia: 1) peržiūrėti teorinę medžiagą tema „Funkcijos išvestinė“;

2) svetainėje „Atviras matematikos užduočių bankas“ (http://mathege.ru/ ) surasti užduočių Nr.14 BAZĖ IR Nr.7 ir Nr.12 PROFILIS prototipus ir išspręsti bent 10 problemų PROFILIS;

3) V. Vegelman, spręskite uždavinius su parametrais (4 PRIEDAS). 1-8 užduotys (1 variantas).PAGRINDINIS LYGIS

VIII. Pamokų pažymiai.

Kaip įvertintumėte save už pamoką?

Ar manote, kad pamokoje galėjote pasirodyti geriau?

IX. Pamokos santrauka. Atspindys

Apibendrinkime savo darbą. Koks buvo pamokos tikslas? Kaip manote, ar tai buvo pasiekta?

Pažvelkite į lentą ir vienu sakiniu, pasirinkę frazės pradžią, tęskite sakinį, kuris jums labiausiai tinka.

Aš pajaučiau…

Aš išmokau…

Sugebėjau …

Aš galėjau ...

pabandysiu…

Mane tai nustebino …

Aš norėjau…

Ar galite pasakyti, kad per pamoką jūsų žinių bagažas praturtėjo?

Taigi, jūs pakartojote teorinius klausimus apie funkcijos išvestinę, savo žinias pritaikėte sprendžiant USE užduočių prototipus (Nr. 14 BASIC LEVEL Nr. 7,12 PROFILE LEVEL), o V. Vegelmanas atliko užduotį Nr. 18 su parametru, kuris yra didesnio sunkumo uždavinys.

Man buvo malonu dirbti su jumis ir tikiuosi, kad matematikos pamokose įgytas žinias galėsite sėkmingai pritaikyti ne tik laikydami egzaminą, bet ir tolimesnėse studijose.

Pamoką norėčiau užbaigti italų filosofo žodžiaisTomas Akvinietis„Žinios yra toks brangus dalykas, kad nėra gėda jų gauti iš bet kokio šaltinio“.(10 skaidrė, 2 priedas).

Linkiu sėkmės ruošiantis egzaminui!

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite sau Google paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Pasiruošimas egzaminui SIMULIATORIAUS tema "Išvestinė" Užduotis numeris 14 bazinis lygis, numeris 7, 12 profilio lygis

f (x) f / (x) x Paveikslėlyje parodytas intervale (- 8; 8) nurodytos funkcijos y = f (x) išvestinės grafikas. Panagrinėkime grafiko savybes ir galėsime atsakyti į daugelį klausimų apie funkcijos savybes, nors pats funkcijos grafikas nepateikiamas! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 yx 6 3 0 -5 Rasti taškus kur f / (x) = 0 (tai yra funkcijos nuliai). + - - + +

UŽDUOTIS numeris 14 Matematikos pagrindinis lygis

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f (x) grafikas, o Ox ašyje pažymėti taškai A, B, C ir D. Naudodamiesi grafiku, kiekvienam taškui priskirkite funkcijos ir jos išvestinės charakteristikas. ABCD 1) funkcijos reikšmė taške yra neigiama, o funkcijos išvestinės reikšmė taške yra teigiama 2) funkcijos reikšmė taške yra teigiama, o funkcijos išvestinės reikšmė taške yra neigiama 3) funkcijos reikšmė taške yra neigiama, o funkcijos išvestinės reikšmė taške yra neigiama 4) funkcijos reikšmė taške yra teigiama, o funkcijos reikšmė taške yra neigiama. funkcijos išvestinė taške yra teigiama

№ 1 Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f (x) grafikas ir Ox ašyje pažymėti taškai A, B, C ir D. Naudodamiesi grafiku, kiekvienam taškui priskirkite funkcijos ir jos išvestinės charakteristikas. 1) funkcijos reikšmė taške yra teigiama, o funkcijos išvestinės reikšmė taške yra neigiama 2) funkcijos reikšmė taške yra neigiama, o funkcijos išvestinės reikšmė taške taškas yra neigiamas 3) funkcijos reikšmė taške yra teigiama, o funkcijos išvestinės reikšmė taške yra teigiama 4) funkcijos reikšmė taške yra neigiama, o išvestinės reikšmė funkcijos taške yra teigiamas ABCD

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f (x) grafikas. Taškai a, b, c, d ir e apibrėžia intervalus Ox ašyje. Naudodamiesi grafiku, kiekvienam intervalui priskirkite funkcijos ar jos išvestinės charakteristikas. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) funkcijos reikšmės yra teigiamos kiekviename intervalo taške 2) reikšmės funkcijos išvestinės yra neigiamos kiekviename intervalo taške 3) funkcijos išvestinės reikšmės yra teigiamos kiekviename intervalo taške 4) funkcijos reikšmės yra neigiamos kiekviename intervalo taške

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f (x) grafikas. Skaičiai a, b, c, d ir e apibrėžia intervalus Ox ašyje. Naudodamiesi grafiku, kiekvienam intervalui priskirkite funkcijos ar jos išvestinės charakteristikas. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) funkcijos reikšmės yra teigiamos kiekviename intervalo taške 2) reikšmės funkcijos yra neigiamos kiekviename intervalo taške 3) išvestinių funkcijų reikšmės yra neigiamos kiekviename intervalo taške 4) funkcijos išvestinės reikšmės yra teigiamos kiekviename intervalo taške

Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas ir jai nubrėžtos liestinės taškuose su abscisėmis A, B, C ir D. A B C D 1) – 1,5 2) 0,5 3) 2 4) – 0,3

Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas ir jai nubrėžtos liestinės taškuose su abscisėmis A, B, C ir D. A B C D 1) 23 2) - 12 3) - 113 4) 123

UŽDUOTIS numeris 7 Matematikos profilio lygis

Išvestinės geometrinės reikšmės uždaviniai

1) Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f (x) grafikas ir jos liestinė taške, kurio abscisė x 0. Raskite išvestinės reikšmę taške x 0. -2 -0,5 2 0,5 Pagalvokite! Pagalvok! Teisingai! Pagalvok! x 0 Geometrinė išvestinės reikšmė: k = tg α Ox ašies liestinės polinkio kampas yra bukas, todėl k

5 11 8 2) Tęstinė funkcija y = f (x) nustatoma intervale (-6; 7). Paveikslėlyje parodytas jos grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė lygiagreti tiesei y = 6. Tikrinimas y = f (x) y x 3 Pagalvokite! Pagalvok! Pagalvok! Teisingai! - 6 7 m = 6. Lūžio taškas. Šiuo metu išvestinė NĖRA! О -4 3 5 1, 5

Funkcijos charakteristikų nustatymo iš jos išvestinės grafiko užduotys

3) Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f / (x) išvestinės grafikas, pateiktas intervale (- 6; 8). Išnagrinėkite funkciją y = f (x) ekstremumui ir nurodykite jos ekstremumo taškų skaičių. 2 1 4 5 Negerai! Netiesa! Teisingai! Netiesa! Patikrinkite (2) f (x) f / (x) -2 + - y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 yx -5 + min max О

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) Paveikslėlyje parodytas intervale [-5; 5] nurodytos funkcijos išvestinės grafikas. Patikrinkite funkcijos monotoniškumą ir nurodykite didžiausią maksimalų tašką. 3 2 4 5 Pagalvok! Pagalvok! Teisingai! Pagalvok! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f (x) -4 -2 0 3 4 Iš dviejų didžiausių taškų didžiausias x max = 3 max max y

7) Paveiksle pavaizduotas funkcijos išvestinės grafikas. Raskite šios funkcijos didėjančio intervalo ilgį. Patikrinkite O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 GALVOKITE! + GALVOKITE! TEISINGAI! GALVOKITE! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) Paveiksle pavaizduotas intervale [-5; 5] esančios funkcijos išvestinės grafikas. Išnagrinėkite funkcijos y = f (x) monotoniškumą ir nurodykite mažėjimo intervalų skaičių. 3 2 4 1 Pagalvok! Pagalvok! Teisingai! Pagalvok! y = f / (x) f (x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + О - - - y

Funkcijos grafinės išvestinės charakteristikų nustatymo užduotys.

Paveikslėlyje parodytas diferencijuojamos funkcijos y = f (x) grafikas. Ant abscisės pažymėti devyni taškai: x 1, x 2, ..., x 9. Raskite visus pažymėtus taškus, kuriuose funkcijos f (x) išvestinė yra neigiama. Atsakyme nurodykite šių taškų skaičių.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f (x), apibrėžtos intervale (a; b), grafikas. Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama. a) b) Spręskite patys! Sprendimas. jei jis didėja. Visi sprendimai: x = -2; x = -1; x = 5; x = 6. Jų skaičius yra 4. Sveikieji sprendiniai: x = 2; x = 3; x = 4; x = 10; x = 11. Jų skaičius yra 5. Atsakymas: 4. Atsakymas: 5.

Fizinės išvestinės reikšmės uždaviniai

Atsakymas: 3 Atsakymas: 14

UŽDUOTIS numeris 12 Matematikos profilio lygis

Savarankiškas darbas poromis Užduotis numeris 12 Profilio lygis

Peržiūra:

3 priedas individualios kortelės Nr.12

1. Raskite maksimalų funkcijos tašką1 Raskite funkcijos mažiausią tašką

2. Raskite maksimalų funkcijos tašką2 Raskite funkcijos mažiausią tašką

Linnikas D. Vovnenko I

1. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę1. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente

segmente

Vegelmanas V.

A.

1. Raskite maksimalų funkcijos tašką1. Raskite funkcijos minimalų tašką

2. Raskite mažiausią funkcijos reikšmę2. Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente

Ant segmento

Leontyeva A. Isaenko K.

NE AUDITO PRAKTIKA 2

Konvertuoti funkcijų grafikus.

Tikslas

Sudarykite funkcijų grafikus naudodami įvairias transformacijas, atsakykite į uždavinio klausimą.

Darbo užbaigimas

Metodiniai nurodymai

Darbas skirtas 10 variantų, varianto numeris sutampa su paskutiniu sąraše esančio eilės numerio skaitmeniu. Pavyzdžiui, 1, 11, 21, 31 ... atlikite 1 parinktį, 2, 12, 22 ... - 2 parinktį ir pan.

Darbas susideda iš dviejų dalių: pirmoji užduoties dalis 1 - 5, tai užduotys, kurias būtina atlikti norint gauti įskaitą, jei šios užduotys atliktos su klaida, jas reikia pataisyti ir pateikti darbą dar kartą patikrinimui. Antroje dalyje pateikiamos užduotys, kurias atlikę galite uždirbti papildomą pažymį: pagrindinė dalis +2 užduotys - "4", pagrindinė dalis +3 užduotys - "5".

1 užduotis. Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė, jai nubraižyti pakanka dviejų taškų. (argumento x reikšmes imame savavališkai, o funkcijos y reikšmę skaičiuojame pakeisdami ją į formulę).

Norėdami patikrinti, ar funkcijos grafikas eina per nurodytą tašką, vietoj x ir y reikia pakeisti taško koordinates, jei gaunate teisingą lygybę, tai tiesė eina per nurodytą tašką, kitaip ji neveikia. .

2, 3, 4 užduotis. Nurodytų funkcijų grafikai gaunami iš funkcijų grafikų , naudojant poslinkį išilgai x arba y ašies.

, pirmiausia pavaizduojame funkciją arba , tada perkeliame jį "a" vienetais į dešinę arba į kairę (+ a - į kairę, - ir į dešinę), tada perkeliame "c" vienetais aukštyn arba žemyn (+ b - aukštyn, -b - žemyn)

Taip pat ir su kitomis funkcijomis:

5 užduotis Norėdami nubrėžti funkcijos grafiką: , reikia: 1) nubraižyti funkciją , 2) palikti nepakeistą grafiko dalį, esančią virš x ašies, 3) atspindėti grafiko dalį, esančią žemiau x ašies.

Savarankiško sprendimo užduotys.

Privaloma dalis

Užduotis 1. Nubraižykite tiesinės funkcijos grafiką, nustatykite, ar funkcijos grafikas eina per nurodytą tašką:

2 užduotis. Nubraižykite kvadratinės funkcijos grafiką, nurodykite šios funkcijos reikšmių rinkinį.

3 užduotis. Sudarykite funkcijos grafiką, nustatykite, ar nurodyta funkcija didėja ar mažėja.

4 užduotis. Sudarykite funkcijos grafiką, atsakykite į uždavinio klausimą.

5 užduotis. Nubraižykite funkcijos, turinčios modulio ženklą, grafiką.

Užduotys papildomam įvertinimui.

6 užduotis. Nubraižykite pateiktos funkcijos grafiką dalimis, nustatykite, ar šiai funkcijai yra lūžio taškas:

7 užduotis. Nustatykite, kiek sprendinių turi lygčių sistema, atsakymas – pagrįsti. Padarykite išvadas atsakydami į klausimus.

Kokias funkcijas nubrėžėte šiame darbe?

Kaip vadinasi tiesinės funkcijos grafikas?

Kaip vadinasi kvadratinės funkcijos grafikas?

Kokias grafiko transformacijas žinote?

Kaip koordinačių sistemoje yra lyginės funkcijos grafikas? Nelyginis funkcijos grafikas?

Funkcijos $ y = f (x) $ išvestinė duotame taške $ x_0 $ yra funkcijos prieaugio santykio su atitinkamu argumento prieaugiu riba, jei pastarasis linkęs į nulį:

$ f "(x_0) = (lim) ↙ (△ x → 0) (△ f (x_0)) / (△ x) $

Diferencijavimas – tai išvestinės paieškos operacija.

Kai kurių elementariųjų funkcijų išvestinė lentelė

Funkcija	Darinys
$ c $	$0$
$ x $	$1$
$ x ^ n $	$ nx ^ (n-1) $
$ (1) / (x) $	$ - (1) / (x ^ 2) $
$ √ x $	$ (1) / (2√x) $
$ e ^ x $	$ e ^ x $
$ lnx $	$ (1) / (x) $
$ sinx $	$ cosx $
$ cosx $	$ -sinx $
$ tgx $	$ (1) / (cos ^ 2x) $
$ ctgx $	$ - (1) / (sin ^ 2x) $

Pagrindinės diferenciacijos taisyklės

1. Sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui)

$ (f (x) ± g (x)) "= f" (x) ± g "(x) $

Raskite funkcijos $ f (x) = 3x ^ 5-cosx + (1) / (x) $ išvestinę

Sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui).

$ f "(x) = (3x ^ 5)" - (cos x) "+ ((1) / (x))" = 15x ^ 4 + sinx - (1) / (x ^ 2) $

2. Kūrinio išvestinė

$ (f (x) g (x)) "= f" (x) g (x) + f (x) g (x) "$

Raskite išvestinę $ f (x) = 4x cosx $

$ f "(x) = (4x)" cosx + 4x (cosx) "= 4 cosx-4x sinx $

3. Dalinio išvestinė

$ ((f (x)) / (g (x))) "= (f" (x) g (x) -f (x) g (x) ") / (g ^ 2 (x)) $

Raskite išvestinę $ f (x) = (5x ^ 5) / (e ^ x) $

$ f "(x) = ((5x ^ 5)" e ^ x-5x ^ 5 (e ^ x) ") / ((e ^ x) ^ 2) = (25x ^ 4 e ^ x- 5x ^ 5 e ^ x) / ((e ^ x) ^ 2) $

4. Sudėtinės funkcijos išvestinė lygi išorinės funkcijos išvestinės sandaugai iš vidinės funkcijos išvestinės

$ f (g (x)) "= f" (g (x)) g "(x) $

$ f "(x) = cos" (5x) · (5x) "= - sin (5x) · 5 = -5sin (5x) $

Fizinė išvestinės reikšmė

Jeigu materialusis taškas juda tiesia linija, o jo koordinatė keičiasi priklausomai nuo laiko pagal dėsnį $ x (t) $, tai šio taško momentinis greitis yra lygus funkcijos išvestinei.

Taškas juda koordinačių linija pagal dėsnį $ x (t) = 1,5t ^ 2-3t + 7 $, kur $ x (t) $ yra koordinatė momentu $ t $. Kuriuo momentu taško greitis bus lygus 12 USD?

1. Greitis yra $ x (t) $ išvestinė, todėl randame duotosios funkcijos išvestinę

$ v (t) = x "(t) = 1,5 · 2t -3 = 3t -3 $

2. Norėdami sužinoti, kuriuo laiko momentu $ t $ greitis buvo lygus $ 12 $, sudarykite ir išspręskite lygtį:

Išvestinės geometrinė reikšmė

Prisiminkite, kad tiesės, kuri nėra lygiagrečios koordinačių ašims, lygtis gali būti parašyta forma $ y = kx + b $, kur $ k $ yra tiesės nuolydis. Koeficientas $ k $ yra lygus polinkio kampo tarp tiesės ir teigiamos $ Ox $ ašies krypties tangentei.

Funkcijos $ f (x) $ išvestinė taške $ x_0 $ yra lygi grafiko liestinės nuolydžiui $ k $ šiame taške:

Todėl galime sudaryti bendrą lygybę:

$ f "(x_0) = k = tgα $

Paveiksle funkcijos $ f (x) $ liestinė didėja, todėl koeficientas $ k> 0 $. Kadangi $ k> 0 $, tai $ f "(x_0) = tgα> 0 $. Kampas $ α $ tarp liestinės ir teigiamos krypties $ Ox $ yra smailus.

Paveiksle funkcijos $ f (x) $ liestinė mažėja, todėl koeficientas $ k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Paveiksle funkcijos $ f (x) $ liestinė yra lygiagreti $ Ox $ ašiai, todėl koeficientas $ k = 0 $, taigi $ f "(x_0) = tan α = 0 $. taškas $ x_0 $, kuriame $ f "(x_0) = 0 $, vadinamas ekstremalus.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos $ y = f (x) $ grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške su abscise $ x_0 $. Raskite funkcijos $ f (x) $ išvestinės reikšmę taške $ x_0 $.

Grafiko liestinė didėja, todėl $ f "(x_0) = tg α> 0 $

Norėdami rasti $ f "(x_0) $, raskite polinkio kampo liestinę tarp liestinės ir teigiamos $ Ox $ ašies krypties. Norėdami tai padaryti, pridėkite liestinę prie trikampio $ ABC $.

Raskite kampo $ BAC $ liestinę. (Smailaus kampo liestinė stačiakampiame trikampyje yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.)

$ tg BAC = (BC) / (AC) = (3) / (12) = (1) / (4) = 0,25 $

$ f "(x_0) = tg BAC = 0,25 $

Atsakymas: 0,25 USD

Išvestinė taip pat naudojama didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalams rasti:

Jei $ f "(x)> 0 $ intervale, tai funkcija $ f (x) $ šiame intervale didėja.

Jei $ f "(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Paveiksle parodytas funkcijos $ y = f (x) $ grafikas. Raskite tarp taškų $ x_1, x_2, x_3… x_7 $ tuos taškus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama.

Atsakydami užrašykite suteiktų taškų skaičių.

Bazinio lygio matematikos USE užduotyje Nr. 13 turėsite pademonstruoti vienos iš funkcijos veikimo sąvokų įgūdžius ir žinias: išvestines taške arba didėjimo ar mažėjimo tempus. Teorija prie šios užduoties bus pridėta šiek tiek vėliau, tačiau tai netrukdo detaliai išanalizuoti kelių tipiškų variantų.

Bazinio lygio matematikos USE užduočių Nr. 14 tipinių variantų analizė

Variantas 14MB1

Grafike parodyta temperatūros priklausomybė nuo laiko lengvojo automobilio variklio įšilimo metu. Horizontalioji ašis rodo laiką minutėmis, praėjusį nuo variklio užvedimo; vertikali ašis yra variklio temperatūra Celsijaus laipsniais.

Naudodami grafiką, kiekvienam laiko intervalui priskirkite variklio įšilimo proceso charakteristikas šiame intervale.

Lentelėje po kiekviena raide nurodykite atitinkamą skaičių.

Vykdymo algoritmas:

1. Pasirinkite laiko intervalą, per kurį temperatūra nukrito.
2. Uždėkite liniuotę iki 30 ° C ir nustatykite laiko intervalą, per kurį temperatūra buvo žemesnė nei 30 ° C.

Sprendimas:

Pasirenkame laiko intervalą, per kurį temperatūra nukrito. Ši sritis matoma plika akimi, ji prasideda praėjus 8 minutėms nuo variklio užvedimo.

Uždėkite liniuotę iki 30 ° C ir nustatykite laiko intervalą, per kurį temperatūra buvo žemesnė nei 30 ° C.

Po liniuote bus sekcija, atitinkanti laiko intervalą 0 - 1 min.

Naudodami pieštuką ir liniuotę sužinosime, kokiu laiko intervalu temperatūra buvo nuo 40 ° С iki 80 ° С.

Iš grafiko taškų, atitinkančių 40 ° C ir 80 ° C, praleisime statmenis, o iš gautų taškų praleisime statmenis laiko ašiai.

Matome, kad šis temperatūros intervalas atitinka 3 - 6,5 minučių laiko intervalą. Tai yra, iš nurodytų sąlygoje 3 - 6 minutes.

Trūkstamam atsakymui pasirinkti naudojame pašalinimo metodą.

Variantas 14MB2

Sprendimas:

Išanalizuokime funkcijos A grafiką. Jei funkcija didėja, tai išvestinė yra teigiama ir atvirkščiai. Funkcijos išvestinė yra lygi nuliui ekstremumo taškuose.

Pirma, funkcija A didėja, t.y. išvestinė yra teigiama. Tai atitinka 2 ir 3 išvestinių grafikus. Maksimaliame funkcijos x = -2 taške, tai yra, šiame taške išvestinė turi būti lygi nuliui. Šią sąlygą atitinka grafikas numeris 3.

Pirma, funkcija B mažėja, t.y. išvestinė yra neigiama. Tai atitinka 1 ir 4 išvestinių grafikus. Funkcijos maksimalus taškas yra x = -2, tai yra, šioje vietoje išvestinė turi būti lygi nuliui. Šią sąlygą atitinka grafikas numeris 4.

Pirma, funkcija B didėja, t.y. išvestinė yra teigiama. Tai atitinka 2 ir 3 išvestinių grafikus. Funkcijos x = 1 maksimalus taškas, tai yra, šioje vietoje išvestinė turi būti lygi nuliui. Šią sąlygą tenkina grafikas numeris 2.

Eliminavimo metodu galime nustatyti, kad funkcijos Γ grafikas atitinka išvestinės, esančios skaičiumi 1, grafiką.

Atsakymas: 3421.

Variantas 14MB3

Kiekvienos funkcijos vykdymo algoritmas:

1. Nustatykite didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus.
2. Nustatykite maksimalius ir mažiausius funkcijų taškus.
3. Padarykite išvadas, suderinkite siūlomus grafikus.

Sprendimas:

Išanalizuokime funkcijos A grafiką.

Jei funkcija didėja, tada išvestinė yra teigiama ir atvirkščiai. Funkcijos išvestinė yra lygi nuliui ekstremumo taškuose.

Ekstremalumo taškas yra taškas, kuriame pasiekiama maksimali arba mažiausia funkcijos reikšmė.

Pirma, funkcija A didėja, t.y. išvestinė yra teigiama. Tai atitinka 3 ir 4 išvestinių grafikus. Maksimaliame funkcijos x = 0 taške, tai yra, šiame taške išvestinė turi būti lygi nuliui. Šią sąlygą atitinka grafikas numeris 4.

Išanalizuokime funkcijos B grafiką.

Pirma, funkcija B mažėja, t.y. išvestinė yra neigiama. Tai atitinka 1 ir 2 išvestinių grafikus. Minimalus funkcijos taškas yra x = -1, tai yra, šioje vietoje išvestinė turi būti lygi nuliui. Šią sąlygą tenkina grafikas numeris 2.

Išanalizuokime funkcijos B grafiką.

Pirma, funkcija B mažėja, t.y. išvestinė yra neigiama. Tai atitinka 1 ir 2 išvestinių grafikus. Funkcijos x = 0 mažiausias taškas, tai yra, šiame taške išvestinė turi būti lygi nuliui. Šią sąlygą atitinka grafikas numeris 1.

Eliminavimo metodu galime nustatyti, kad funkcijos Γ grafikas atitinka išvestinės, esančios skaičiumi 3, grafiką.

Atsakymas: 4213.

Variantas 14MB4

Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas ir jai nubrėžtos liestinės taškuose su abscisėmis A, B, C ir D.Dešiniajame stulpelyje rodomos išvestinės reikšmės taškuose A, B, C ir D. Naudodami grafiką kiekvienam taškui priskirkite jame esančios funkcijos išvestinės reikšmę.

TAŠKAI
A
V
SU
D

IŠVEDINĖS VERTĖS
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Prisiminkime, ką reiškia išvestinė, būtent jo vertę taške - išvestinės funkcijos reikšmė taške lygi liestinės nuolydžio (koeficiento) liestinei.

Atsakymuose turime du teigiamus ir du neigiamus variantus. Kaip prisimename, jei tiesės koeficientas (grafika y = kx + b) teigiamas, tada tiesė didėja, jei neigiama, tai tiesė mažėja.

Turime dvi kylančias tieses – taškuose A ir D. Dabar prisiminkime, ką reiškia koeficiento k reikšmė?

Koeficientas k parodo, kaip greitai funkcija didėja arba mažėja (iš tikrųjų pats koeficientas k yra funkcijos y = kx + b išvestinė).

Todėl k = 2/3 atitinka plokštesnę liniją - D, o k = 3 - A.

Panašiai ir neigiamų verčių atveju: taškas B atitinka statesnę tiesę, kurios k = - 4, o taškas C - -1/2.

Variantas 14MB5

Paveiksle taškeliai rodo mėnesinius šildytuvų pardavimus buitinės technikos parduotuvėje. Mėnesiai rodomi horizontaliai, o parduotų šildytuvų skaičius – vertikaliai. Aiškumo dėlei taškai yra sujungti linija.

Naudodamiesi paveikslu, kiekvieną nurodytą laikotarpį suderinkite su šildytuvų pardavimo charakteristika.

Vykdymo algoritmas

Analizuojame skirtingus metų laikus atitinkančias grafiko dalis. Suformuluojame diagramoje rodomas situacijas. Surandame jiems tinkamiausius atsakymų variantus.

Sprendimas:

Žiemą pardavimų skaičius viršijo 120 vnt/mėn ir nuolat didėjo. Ši situacija atitinka 3 atsakymą. Tie. mes gauname: A – 3.

Pavasarį pardavimai palaipsniui sumažėjo nuo 120 šildytuvų per mėnesį iki 50. 2 variantas yra artimiausias šiai formuluotei. Mes turime: B-2.

Vasarą pardavimų skaičius nesikeitė ir buvo minimalus. Antroji šios formuluotės dalis atsakymuose neatsispindi, o pirmajai tinka tik # 4. Taigi mes turime: 4 val.

Rudenį pardavimai augo, tačiau jų skaičius nei vieną mėnesį neviršijo 100 vnt. Ši situacija aprašyta 1 variante. Mes gauname: G-1.

Variantas 14MB6

Grafike parodyta reguliaraus autobuso greičio priklausomybė nuo laiko. Vertikalioje ašyje autobuso greitis pažymėtas km/h, horizontalioje – laikas minutėmis nuo autobuso judėjimo pradžios.

Naudodamiesi grafiku, kiekvienam laiko intervalui priskirkite magistralės judėjimo šiame intervale charakteristiką.

Vykdymo algoritmas

1. Nustatykite padalijimo kainą horizontalioje ir vertikalioje skalėje.
2. Mes paeiliui analizuojame siūlomus 1–4 teiginius iš dešiniojo stulpelio ("Charakteristikos"). Juos lyginame su laiko intervalais iš kairiojo lentelės stulpelio, randame atsakymo poras „raidės-skaičiai“.

Sprendimas:

Padalinys horizontalioje skalėje yra 1 s, o vertikalioje skalėje - 20 km / h.

1. Kai autobusas sustoja, jo greitis lygus 0. Autobusas 2 minutes iš eilės važiavo nuliu greičiu tik nuo 9 iki 11 minutės. Šis laikas patenka į 8–12 minučių intervalą. Taigi, turime porą atsakymui: B – 1.
2. Keletą laiko intervalų autobusas važiavo 20 km/h ir didesniu greičiu. Be to, A variantas čia netinka, nes, pavyzdžiui, 7 minutę greitis buvo 60 km/h, B variantas – nes jis jau pritaikytas, D variantas – nes intervalo pradžioje ir pabaigoje autobusas buvo nulinis greitis... Šiuo atveju tinka B variantas (12–16 min.); šiuo intervalu autobusas pradeda važiuoti 40 km/h greičiu, tada įsibėgėja iki 100 km/m ir po to palaipsniui mažina greitį iki 20 km/h. Taigi, mes turime: 2.
3. Čia nustatytas greičio apribojimas. Tuo pačiu metu mes nesvarstome B ir C variantų. Likę intervalai A ir D yra tinkami. Todėl būtų teisinga pirmiausia apsvarstyti 4-ąjį variantą, o tada vėl grįžti prie 3-iojo.
4. Iš dviejų likusių intervalų charakteristikai Nr. 4 tinka tik 4–8 minutės, nes šiuo intervalu (6-ą minutę) buvo sustojimas. 18-22 minučių intervale sustojimų nebuvo. Mes gauname: A – 4... Iš to seka, kad charakteristikai Nr.3 reikia imti intervalą Г, t.y. pasirodo pora G-3.

Variantas 14MB7

Taškinė figūra rodo Kinijos gyventojų skaičiaus didėjimą nuo 2004 iki 2013 m. Horizontaliai nurodo metus, vertikaliai – gyventojų prieaugį procentais (gyventojų skaičiaus padidėjimas lyginant su praėjusiais metais). Aiškumo dėlei taškai yra sujungti linija.

Naudodamiesi paveikslu, suderinkite kiekvieną nurodytą laikotarpį su Kinijos gyventojų skaičiaus augimo per šį laikotarpį ypatybėmis..

Vykdymo algoritmas

1. Nustatykite paveikslo vertikalios skalės padalijimo kainą. Jis randamas kaip skirtumas tarp gretimų skalės verčių poros, padalytos iš 2 (kadangi tarp dviejų gretimų verčių yra 2 padalos).
2. Paeiliui analizuojame sąlygoje pateiktas 1–4 charakteristikas (kairysis lentelės stulpelis). Kiekvieną iš jų lyginame su konkrečiu laikotarpiu (dešinysis lentelės stulpelis).

Sprendimas:

Vertikalus skalės padalijimas yra 0,01%.

1. Nuo 2004 m. iki 2010 m. augimas nuolat mažėjo. 2010–2011 metais augimas buvo stabiliai minimalus, o nuo 2012 metų pradėjo didėti. Tie. augimas sustojo 2010 m. Šie metai yra 2009–2011 m. Atitinkamai, mes turime: 1.
2. „Stačiausiai“ krentanti diagramos linija paveiksle turėtų būti laikoma didžiausiu augimo kritimu. Jis patenka į 2006–2007 m. laikotarpį. ir yra 0,04 % per metus (0,59-0,56 = 0,04 % 2006 m. ir 0,56-0,52 = 0,04 % 2007 m.). Iš čia gauname: A – 2.
3. 3 charakteristikoje nurodytas augimas prasidėjo 2007 m., tęsėsi 2008 m. ir baigėsi 2009 m. Tai atitinka B laiko tarpą, t.y. mes turime: B-3.
4. Gyventojų skaičius pradėjo didėti po 2011 m., t.y. 2012–2013 metais Todėl gauname: G 4.

Variantas 14MB8

Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas ir jai nubrėžtos liestinės taškuose su abscisėmis A, B, C ir D.

Dešiniajame stulpelyje rodomos funkcijos išvestinės reikšmės taškuose A, B, C ir D. Naudodami diagramą kiekvienam taškui priskirkite jame esančios funkcijos išvestinės reikšmę.

Vykdymo algoritmas

1. Apsvarstykite liestinių porą, turinčią smailų kampą su teigiama abscisių ašies kryptimi. Mes juos palyginame, randame atitiktį tarp atitinkamų išvestinių verčių poros.
2. Apsvarstykite liestinių porą, sudarančių bukąjį kampą su teigiama abscisių ašies kryptimi. Palyginame juos absoliučia verte, nustatome jų atitikimą išvestinių verčių tarp dviejų, likusių dešiniajame stulpelyje, reikšmėms.

Sprendimas:

Smailus kampas su teigiama abscisių ašies kryptimi susidaro išvestinėmis taškuose B ir C. Šios išvestinės priemonės turi teigiamas vertes. Todėl čia reikėtų rinktis tarp reikšmių Nr. 1 ir 3. Taikydami taisyklę, kad jei kampas yra mažesnis nei 45 0, tai išvestinė yra mažesnė už 1, o jei daugiau, tai daugiau nei 1, darome išvadą: taške B modulio išvestinė yra didesnė nei 1, taške C - mažesnė už 1. Tai reiškia, kad atsakymui galite sudaryti poras: 3 d ir С – 1.

Išvestinės taškuose A ir D sudaro bukąjį kampą su teigiama abscisių kryptimi. Ir čia taikome tą pačią taisyklę, šiek tiek perfrazuodami: kuo labiau taške esanti liestinė „prispausta“ prie abscisių linijos (į jos neigiamą kryptį), tuo ji didesnė absoliučia verte. Tada gauname: išvestinė taške A yra mažesnė absoliučia verte nei išvestinė taške D. Taigi atsakymui turime poras: A – 2 ir D-4.

Variantas 14MB9

Paveiksle taškais pavaizduota vidutinė paros oro temperatūra Maskvoje 2011 m. sausio mėn. Horizontaliai nurodo mėnesio dieną, vertikaliai – temperatūrą Celsijaus laipsniais. Aiškumo dėlei taškai yra sujungti linija.

Naudodamiesi paveikslu, kiekvieną nurodytą laikotarpį suderinkite su temperatūros pokyčio charakteristika.

Vykdymo algoritmas

Mes analizuojame 1-4 charakteristikas nuosekliai (dešinysis stulpelis), naudodami diagramą paveikslėlyje. Kiekvieną iš jų pateikiame pagal tam tikrą laikotarpį (kairysis stulpelis).

Sprendimas:

1. Temperatūra pakilo tik laikotarpio pabaigoje sausio 22–28 d. Štai 27 ir 28 dienomis pakilo atitinkamai 1 ir 2 laipsniais. Laikotarpio pabaigoje sausio 1–7 dienomis temperatūra buvo pastovi (–10 laipsnių), sausio 8–14 ir 15–21 pabaigoje nukrito (nuo –1 iki –2 ir nuo –11 iki –). atitinkamai 12 laipsnių). Todėl gauname: G-1.
2. Kadangi kiekvienas laikotarpis apima 7 dienas, temperatūrą reikia analizuoti nuo kiekvieno laikotarpio 4 dienos. Temperatūra nepakitusi 3-4 paras tik nuo sausio 4 iki 7 d. Todėl gauname atsakymą: A – 2.
3. Minimali mėnesio temperatūra buvo stebima sausio 17 d. Šis skaičius yra sausio 15–21 d. Iš čia turime porą: 3 d.
4. Maksimali temperatūra nukrito sausio 10 dieną ir siekė +1 laipsnį. Ši data patenka į sausio 8–14 d. Taigi, mes turime: B-4.

Variantas 14MB10

Vykdymo algoritmas

1. Funkcijos reikšmė taške yra teigiama, jei šis taškas yra virš Ox ašies.
2. Išvestinė taške yra didesnė už nulį, jei šio taško liestinė sudaro smailųjį kampą su teigiama Ox ašies kryptimi.

Sprendimas:

Taškas A. Jis yra žemiau Ox ašies, o tai reiškia, kad funkcijos reikšmė jame yra neigiama. Jei joje nubrėžiate liestinę, tai kampas tarp jos ir teigiamos krypties Ox bus apie 90 0, t.y. sudaro smailų kampą. Taigi šiuo atveju tinka charakteristikos numeris 3. Tie. mes turime: A – 3.

Taškas B. Jis yra virš Jaučio ašies, t.y. taškas turi teigiamą funkcijos reikšmę. Šiame taške liestinė bus gana arti abscisių ašies, sudarydama bukąjį kampą (šiek tiek mažesnį nei 180 0) su savo teigiama kryptimi. Atitinkamai, išvestis šiuo metu yra neigiama. Taigi čia tinka charakteristika 1. Gauname atsakymą: 1.

Taškas C. Taškas yra žemiau Ox ašies, jame esanti liestinė sudaro didelį bukąjį kampą su teigiama abscisių ašies kryptimi. Tie. taške C tiek funkcijos, tiek išvestinės reikšmė yra neigiama, kuri atitinka charakteristiką Nr. Atsakymas: C-2.

Taškas D. Taškas yra virš Ox ašies, o jame esanti liestinė sudaro smailųjį kampą su teigiama ašies kryptimi. Tai rodo, kad ir funkcijos reikšmė, ir išvestinės vertės čia yra didesnės už nulį. Atsakymas: D-4.

Variantas 14MB11

Paveiksle taškeliai rodo mėnesinius šaldytuvų pardavimus buitinės technikos parduotuvėje. Mėnesiai rodomi horizontaliai, o parduotų šaldytuvų skaičius – vertikaliai. Aiškumo dėlei taškai yra sujungti linija.

Naudodamiesi paveikslu, kiekvieną nurodytą laikotarpį suderinkite su šaldytuvų pardavimo charakteristika..