ТОДОРХОЙЛОЛТ
Тригонометрийн тэгш бус байдал нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагчийг агуулсан тэгш бус байдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх нь ихэвчлэн дараах хэлбэрийн хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг: \(\ \sin x a \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \), \(\ \ operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \operatorname(tg) x \leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \ ), \(\ \операторын нэр(tg) x \geq a \)
Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг графикаар эсвэл нэгж тригонометрийн тойрог ашиглан шийддэг.
Тодорхойлолтоор \(\\альфа \) өнцгийн синус нь нэгж тойргийн \(\P_(\alpha)(x, y)\) цэгийн ординат (Зураг 1), косинус нь энэ цэгийн абсцисса. Энэ баримтыг нэгж тойрог ашиглан косинус ба синус бүхий энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ
Тэгш бус байдлыг шийд \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)
\(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| тул энэ тэгш бус байдал шийдэлтэй бөгөөд хоёр аргаар шийдэж болно.
Эхний арга. Энэ тэгш бус байдлыг графикаар шийдье. Үүний тулд синусын \(\ y=\sin x \) (Зураг 2) ба шулуун шугамын \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) графикийг байгуулъя. нэг координатын систем
\(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) шулуун шугамын графикийн доор синусоид байрлах интервалуудыг тодруулцгаая. Эдгээр графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг \(\ x_(1) \) ба \(\ x_(2) \) олъё: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt() 3))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+ 2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Бид \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) интервалыг авсан боловч \(\ y=\sin x \) функцээс хойш. үе үе бөгөөд үетэй \(\ 2 \pi \) , тэгвэл хариулт нь интервалуудын нэгдэл байх болно: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac( 7 \pi)(3)+ 2 \pi k\баруун]\), \(\k \in Z\)
Хоёр дахь арга зам. Нэгж тойрог ба шулуун шугам байгуулъя \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \), тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг \(\ P_(x_(1)) \) болон \ гэж тэмдэглэнэ. (\ P_(x_(2 )) \) (Зураг 3). Анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) -ээс бага ординатын цэгүүдийн багц байх болно. \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) ба \(\ \boldsymbol(I)_(2) \)-ийн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж олъё, \(\ x_(1) 3-р зураг.
\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Синусын функцийн үечилсэн байдлыг харгалзан бид эцэст нь \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ интервалуудыг олж авдаг. pi\right] \), \(\k\-д Z\)
\(\ \sin x>2\) тэгш бус байдлыг шийд
Синус нь хязгаарлагдмал функц юм: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , энэ тэгш бус байдлын баруун тал нь нэгээс их тул шийдэл байхгүй.
\(\ \cos x>\frac(1)(2) \) тэгш бус байдлыг шийд.
Энэ тэгш бус байдлыг график болон нэгж тойрог ашиглан хоёр аргаар шийдэж болно. Арга тус бүрийг авч үзье.
Эхний арга. Нэг координатын системд тэгш бус байдлын зүүн ба баруун талыг дүрсэлсэн функцуудыг, өөрөөр хэлбэл \(\ y=\cos x \) болон \(\ y=\frac(1)(2) \) дүрсэлж үзье. \(\ y=\cos x \) косинусын функцийн график \(\ y=\frac(1)(2) \) шулуун шугамын график дээр байрлах интервалуудыг тодруулъя (Зураг 4. ).
\(\ \boldsymbol(x)_(1) \) ба \(\ x_(2) \) – \(\ y=\cos x) функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг олъё. \) болон \(\ y=\frac (1)(2) \) , эдгээр нь заасан тэгш бус байдлын аль нэг интервалын төгсгөл юм. \(\x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3)\); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)
Косинус нь \(\ 2 \pi \) үетэй үечилсэн функц гэдгийг харгалзан үзвэл хариулт нь \(\ \left(-\frac(\pi)) интервалаас \(\ x \) байх болно. (3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\баруун) \), \(\ k \in Z \)
Хоёр дахь арга зам. Нэгж тойрог ба шулуун шугамыг \(\x=\frac(1)(2)\) байгуулъя. нэгж тойрогАбсцисса тэнхлэг нь косинустай тохирч байна). \(\ P_(x_(1)) \) ба \(\ P_(x_(2)) \) (Зураг 5) – шулуун шугам ба нэгж тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэе. Анхны тэгшитгэлийн шийдэл нь \(\ \frac(1)(2) \) -ээс бага абсцисса цэгүүдийн багц байх болно. \(\ x_(1) \) ба \(\ 2 \) -ийн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх замаар олцгооё, ингэснээр \(\ x_(1) Косинусын үечилсэн байдлыг харгалзан бид эцэст нь интервалуудыг авна \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\k \in Z\)
\(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \) тэгш бус байдлыг шийд.
\(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) функцуудын графикийг нэг координатын системд байгуулъя.
\(\ y=\operatorname(ctg) x \) функцийн график \(\ y=-\frac(\sqrt(3)) шулуун шугамын графикаас өндөргүй байх интервалуудыг онцолж үзье. )(3) \) (Зураг 6) .
\(\ x_(0) \) тэгш бус байдал үүссэн интервалуудын аль нэгний төгсгөл болох \(\ x_(0) \) цэгийн абсциссыг олцгооё \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac() \sqrt(3))( 3)\баруун)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\баруун)=\pi-\frac(\pi)( 3)=\frac(2 \pi)(3)\)
Энэ интервалын нөгөө төгсгөл нь \(\ \pi \) цэг бөгөөд энэ цэг дэх \(\ y=\operatorname(ctg) x \) функц тодорхойгүй байна. Иймээс энэхүү тэгш бус байдлын шийдлүүдийн нэг нь \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x интервал юм.
Нарийн төвөгтэй аргумент бүхий тригонометрийн тэгш бус байдал
Нарийн төвөгтэй аргументтай тригонометрийн тэгш бус байдлыг орлуулах аргыг ашиглан энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Үүнийг шийдсэний дараа урвуу орлуулалт хийж, анхны үл мэдэгдэхийг илэрхийлнэ.
Тэгш бус байдлыг шийд \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)
Энэ тэгш бус байдлын баруун талд косинусыг илэрхийлье: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)
Бид орлуулалтыг хийж \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , үүний дараа энэ тэгш бус байдал хамгийн энгийн тэгш бус байдал болж хувирна \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \)
Нэгжийн тойрог ашиглан үүнийг шийдье. Нэгж тойрог ба шулуун шугамыг байгуулъя \(\ x=-\frac(1)(2) \) . \(\P_(1)\) ба \(\P_(2)\) - шулуун шугам ба нэгж тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг тэмдэглэе (Зураг 7).
Анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь \(\ -\frac(1)(2)\)-ээс ихгүй абсцисса цэгүүдийн багц байх болно. \(\ P_(1) \) цэг нь өнцөгтэй тохирч байна \(\ 120^(\circ) \) , цэг \(\ P_(2) \) . Тиймээс, косинусын үеийг харгалзан бид \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ)-г авна. \cdot n \) ,\(\n\Z-д)
Урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n\), \(\n \in Z\)
Эхлээд \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \ -ийг хасахын тулд \(\ \mathbf(x) \) гэж илэрхийлье. leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \n\ Z\-д); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)
дараа нь 2-т хуваана \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\n \in Z\); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \ in Z \)
Давхар тригонометрийн тэгш бус байдал
Давхар тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх \(\ \frac(1)(2)
\(\ t=\frac(x)(2) \) орлуулалтыг танилцуулъя, тэгвэл анхны тэгш бус байдал \(\ \frac(1)(2) хэлбэрийг авна.
Үүнийг нэгжийн тойрог ашиглан шийдье. Нэгж тойрог дээр синус нь ординатын тэнхлэгтэй тохирч байгаа тул үүн дээр ординат нь \(\ x=\frac(1)(2) \)-ээс их, \(\-ээс бага буюу тэнцүү ординатуудын багцыг сонгоно. \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . Зураг 8-д эдгээр цэгүүд нь \(\P_(t_(1))\), \(\P_(t_(2))\) ба \(\P_(t_(3))\) нуман дээр байрлана. , \( \P_(t_(4))\) . \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) гэсэн утгыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлж, \ (\t_(1)\(\t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3\ pi)(4) \);\(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi) (6)\)
Тиймээс бид хоёр интервалыг олж авах бөгөөд синус функцийн үечлэлийг харгалзан дараах байдлаар бичиж болно \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе \(\ t=\frac(x)(2) \frac(\pi)( 6)+2 \pi k \ leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \), \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \ pi k \(\ \mathbf( x) \) илэрхийлье, үүний тулд хоёр тэгш бус байдлын бүх талыг 2-оор үржүүлбэл \(\ \frac(\pi)(3)+4 \pi k \leq гарна. x
Беларусь улсын Боловсролын яам
Боловсролын байгууллага
"Гомелийн улсын их сургууль
Франциск Скаринагийн нэрэмжит"
Математикийн факультет
Алгебр ба геометрийн тэнхим
Хамгаалалтад хүлээн зөвшөөрсөн
Толгой Тэнхим Шеметков Л.А.
Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
Курсын ажил
Гүйцэтгэгч:
М-51 бүлгийн оюутан
CM. Горский
Эрдэм шинжилгээний удирдагч Ph.D-M.Sc.,
Ахлах багш
В.Г. Сафонов
Гомель 2008 он
ОРШИЛ
ТРИГОНОМЕТРИЙН тэгшитгэл ШИЙДЭХ ҮНДСЭН АРГА
Factorization
Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Гурвалсан аргументын томъёо ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Зарим тригонометрийн функцээр үржүүлэх
СТАНДАРТ БУС ТРИГОНОМЕТРИЙН тэгшитгэл
тригонометрийн тэгш бус байдал
ҮНДЭСНИЙ СОНГОЛТ
БИЕ ДААН ШИЙДЭХ АЖИЛЛАГАА
ДҮГНЭЛТ
АШИГЛАСАН ЭХ ҮҮСВЭРИЙН ЖАГСААЛТ
Эрт дээр үед тригонометр нь одон орон судлал, газар судлал, барилгын хэрэгцээтэй холбоотойгоор үүссэн бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь цэвэр геометрийн шинж чанартай байсан бөгөөд голчлон төлөөлдөг байв.<<исчисление хорд>>. Цаг хугацаа өнгөрөхөд зарим аналитик мөчүүд хоорондоо холилдож эхлэв. 18-р зууны эхний хагаст огцом өөрчлөлт гарч, үүний дараа тригонометр шинэ чиглэл авч, математик анализ руу шилжсэн. Энэ үед тригонометрийн харилцааг функц гэж үзэж эхэлсэн.
Тригонометрийн тэгшитгэл бол хамгийн хэцүү сэдвүүдийн нэг юм сургуулийн курсматематик. Тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь планиметр, стереометр, одон орон, физик болон бусад салбарын асуудлыг шийдвэрлэхэд үүсдэг. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь жилээс жилд даалгавруудын нэг юм төвлөрсөн туршилт.
Тригонометрийн тэгшитгэл ба алгебрийн тэгшитгэлийн хамгийн чухал ялгаа нь алгебрийн тэгшитгэл нь хязгаарлагдмал тооны үндэстэй байдаг бол тригонометрийн тэгшитгэлүүд --- хязгааргүй, энэ нь үндсийг сонгоход ихээхэн хүндрэл учруулдаг. Тригонометрийн тэгшитгэлийн өөр нэг онцлог шинж чанар бол хариултыг бичих өвөрмөц бус хэлбэр юм.
Энэхүү дипломын ажил нь тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудад зориулагдсан болно.
Диссертаци нь 6 хэсгээс бүрдэнэ.
Эхний хэсэг нь онолын үндсэн мэдээллийг өгдөг: тригонометрийн болон урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт ба шинж чанарууд; зарим аргументуудын тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт; тригонометрийн функцийг бусад тригонометрийн функцээр илэрхийлэх нь тригонометрийн илэрхийлэл, ялангуяа урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийлэлийг хувиргахад маш чухал юм; голыг эс тооцвол тригонометрийн томъёоСургуулийн хичээлээс сайн мэддэг урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийллийг хялбарчлах томъёог өгдөг.
Хоёр дахь хэсэгт тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг тоймлон харуулав. Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл, үржвэрлэх арга, тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон бууруулах аргуудыг авч үзнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хэд хэдэн аргаар бичиж болох ба эдгээр шийдлүүдийн хэлбэр нь эдгээр шийдлүүд ижил эсвэл өөр эсэхийг шууд тодорхойлох боломжийг олгодоггүй тул<<сбить с толку>> тестийг шийдвэрлэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий схемийг авч үзсэн бөгөөд бүлгүүдийн хувиргалтыг нарийвчлан авч үзсэн. ерөнхий шийдлүүдтригонометрийн тэгшитгэл.
Гурав дахь хэсэгт стандарт бус тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүд нь функциональ хандлагад суурилдаг.
Дөрөв дэх хэсэгт тригонометрийн тэгш бус байдлын талаар авч үзнэ. Анхан шатны тригонометрийн тэгш бус байдлыг нэгж тойрог болон график аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан авч үзсэн болно. Анхан бус тригонометрийн тэгш бус байдлыг энгийн тэгш бус байдлын тусламжтайгаар шийдвэрлэх үйл явц, сургуулийн сурагчдад аль хэдийн сайн мэддэг интервалын аргыг тайлбарласан болно.
Тав дахь хэсэгт тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд төдийгүй зарим нөхцлийг хангасан олсон үндэсүүдээс үндсийг сонгох шаардлагатай үед хамгийн хэцүү даалгавруудыг танилцуулав. Энэ хэсэг нь эх сонгох ердийн ажлуудын шийдлүүдийг өгдөг. Үндэс сонгоход шаардлагатай онолын мэдээллийг өгсөн болно: бүхэл тооны багцыг салангид дэд олонлогт хуваах, бүхэл тоогоор тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (диафантин).
Зургаа дахь хэсэгт даалгавруудыг танилцуулж байна бие даасан шийдвэр, туршилтын хэлбэрээр бүтээгдсэн. 20 тестийн даалгавар нь төвлөрсөн шалгалтын явцад тулгарч болох хамгийн хэцүү даалгавруудыг агуулдаг.
Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлүүд
Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь --- тригонометрийн функцүүдийн нэг нь: , , , .
Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй. Жишээлбэл, дараах утгууд нь тэгшитгэлийг хангана: , , , гэх мэт. Тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох ерөнхий томъёо нь дараах байдалтай байна.
Энд энэ нь бүхэл тоон утгыг авч болно, тэдгээр нь тус бүр нь тэгшитгэлийн тодорхой үндэстэй тохирч байна; Энэ томъёонд (мөн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бусад томъёонд) гэж нэрлэдэг. параметр. Тэд ихэвчлэн гэж бичдэг бөгөөд ингэснээр параметр нь бүхэл тоон утгыг хүлээн авах боломжтой гэдгийг онцолдог.
, тэгшитгэлийн шийдийг томъёогоор олно
Томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг
ба тэгшитгэл нь томъёогоор байна
Ерөнхий томьёо ашиглахгүйгээр шийдлийг бичиж болох энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн зарим онцгой тохиолдлыг онцгойлон авч үзье.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тригонометрийн функцүүдийн үе чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тиймээс бид хоёр ашигтай теоремыг танилцуулж байна:
Теорем Хэрэв --- функцийн үндсэн үе бол тоо нь функцийн үндсэн үе болно.
Функцийн хугацаа ба хэрэв байгаа бол харьцуулах боломжтой гэж хэлдэг бүхэл тооТэгээд юу гэж .
Теорем Хэрэв үечилсэн функц ба , тэнцүү ба -тай бол тэдгээр нь нийтлэг үетэй байх бөгөөд энэ нь , , функцүүдийн үе юм.
Теорем нь , , , функцийн үе нь үндсэн үе байх албагүй гэж заасан байдаг. Жишээлбэл, функцүүдийн үндсэн үе ба --- , тэдгээрийн бүтээгдэхүүний үндсэн үе --- .
Туслах аргументыг танилцуулж байна
Маягтын илэрхийлэлийг хувиргах стандарт аргаар 
нь дараах техник юм: let --- булан, тэгшитгэлээр өгөгдсөн 
, 
. Ямар ч тохиолдолд ийм өнцөг байдаг. Тиймээс . Хэрэв , эсвэл , , , бусад тохиолдолд.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схем
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бидний баримтлах үндсэн схем нь дараах байдалтай байна.
шийдэл өгөгдсөн тэгшитгэланхан шатны тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг. Шийдэл гэдэг нь: хувиргалт, хүчин зүйлчлэл, үл мэдэгдэхийг солих. Үндсэн зарчим бол үндсээ алдахгүй байх явдал юм. Энэ нь дараагийн тэгшитгэл(үүд) рүү шилжихдээ бид нэмэлт (гадны) үндэс гарч ирэхээс айдаггүй, харин зөвхөн "гинжин хэлхээний" дараагийн тэгшитгэл бүрийг (эсвэл салаалсан тохиолдолд тэгшитгэлийн багц) анхаарч үзэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. ) нь өмнөх үр дагавар юм. Үндэс сонгох нэг боломжит арга бол туршилт юм. Тригонометрийн тэгшитгэлийн хувьд үндэс сонгох, шалгахтай холбоотой бэрхшээл нь дүрмээр бол алгебрийн тэгшитгэлтэй харьцуулахад огцом нэмэгддэг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Эцсийн эцэст бид хязгааргүй тооны нэр томъёоноос бүрдэх цувралуудыг шалгах ёстой.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үл мэдэгдэхийг солих талаар онцгойлон дурдах хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд шаардлагатай орлуулалтын дараа алгебрийн тэгшитгэлийг олж авдаг. Түүгээр ч барахгүй тэгшитгэл нь эхний алхамын дараа тригонометрийн шинж чанартай боловч үндсэндээ тригонометр биш байх нь тийм ч ховор биш юм. --- орлуулалтхувьсагч --- алгебр болж хувирах ба тригонометр рүү буцах нь зөвхөн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатанд л тохиолддог.
Дахин нэг удаа сануулъя: үл мэдэгдэх зүйлийг солих ажлыг эхний боломжоор хийх ёстой; орлуулсны дараа үүссэн тэгшитгэлийг үндсийг сонгох үе шатыг багтаасан эцэс хүртэл шийдэж, дараа нь анхны үл мэдэгдэх зүйл рүү буцах ёстой.
Тригонометрийн тэгшитгэлийн нэг онцлог нь хариултыг олон тохиолдолд янз бүрийн аргаар бичиж болно. Тэр ч байтугай тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 
хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.
1) хоёр цуврал хэлбэрээр: 
, , ;
2) дээрх цувралуудын хослол болох стандарт хэлбэрээр: , ;
3) учир нь 
, дараа нь хариултыг хэлбэрээр бичиж болно 
, . (Дараах зүйлд хариултын бичлэгт , , эсвэл параметр байгаа нь автоматаар энэ параметр нь бүх боломжит бүхэл тоон утгыг хүлээн авна гэсэн үг юм. Үл хамаарах зүйлийг зааж өгнө.)
Мэдээжийн хэрэг, жагсаасан гурван тохиолдол нь хэлэлцэж буй тэгшитгэлийн хариултыг бичих бүх боломжийг шавхдаггүй (тэдгээрийн тоо хязгааргүй олон байдаг).
Жишээлбэл, тэгш байдал үнэн байх үед 
. Тиймээс, эхний хоёр тохиолдолд хэрэв -ээр сольж болно .
Ихэвчлэн хариултыг 2-р цэгийн үндсэн дээр бичдэг. Дараах зөвлөмжийг санах нь зүйтэй: хэрэв ажил тэгшитгэлийг шийдэхэд дуусаагүй бол судалгаа хийх, үндэс сонгох шаардлагатай хэвээр байна, дараа нь бичлэг хийх хамгийн тохиромжтой хэлбэр. 1-д заасан болно. (Тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй зөвлөмжийг өгөх ёстой.)
Хэлснийг харуулсан жишээг авч үзье.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Хамгийн ойлгомжтой арга бол дараахь зүйл юм. Энэ тэгшитгэл нь хоёр хуваагдана: ба . Тэдгээрийг тус бүрээр нь шийдэж, олж авсан хариултуудыг нэгтгэснээр бид .
Өөр арга зам., дараа нь, сольж, зэрэг бууруулах томъёог ашиглаж байна. Жижиг өөрчлөлтүүдийн дараа бид хаанаас авдаг 
.
Эхлээд харахад хоёр дахь томъёо нь эхнийхээс онцгой давуу талтай байдаггүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид жишээ нь авч үзвэл, энэ нь гарч ирнэ, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл нь шийдэлтэй байдаг бол эхний арга нь биднийг хариулт руу хөтөлдөг 
. "Харж", тэгш байдлыг батлах 
тийм ч амар биш.
Хариулах. .
Тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийн бүлгийг хөрвүүлэх, нэгтгэх
Бид авч үзэх болно арифметик прогресс, хоёр чиглэлд эцэс төгсгөлгүй сунадаг. Энэ прогрессийн гишүүдийг прогрессийн төв эсвэл тэг гишүүн гэж нэрлэгддэг тодорхой гишүүний баруун ба зүүн талд байрлах хоёр бүлэг гишүүдэд хувааж болно.
Хязгааргүй прогрессийн нөхцлүүдийн аль нэгийг тэг тоогоор тогтоосноор бид үлдсэн бүх гишүүний хувьд давхар дугаарлалт хийх шаардлагатай болно: баруун талд байрлах гишүүний хувьд эерэг, тэгээс зүүн талд байгаа гишүүний хувьд сөрөг.
Ерөнхийдөө хэрэв прогрессийн зөрүү нь тэг гишүүн бол хязгааргүй арифметик прогрессийн дурын (th) гишүүний томъёо нь:
Хязгааргүй арифметик прогрессийн аль ч гишүүний томъёоны хувиргалт
1. Хэрэв та прогрессийн зөрүүг тэг гишүүн рүү нэмэх буюу хасах юм бол прогресс өөрчлөгдөхгүй, харин зөвхөн тэг гишүүн шилжих болно, өөрөөр хэлбэл. Гишүүдийн дугаарт өөрчлөлт орно.
2. Хэрэв коэффициент нь үед хувьсагч-ээр үржүүлбэл энэ нь зөвхөн гишүүдийн баруун болон зүүн бүлгийг дахин зохион байгуулахад л нөлөөлнө.
3. Хязгааргүй прогрессийн дараалсан гишүүн бол
жишээ нь, , , ..., , ижил зөрүүтэй прогрессийн төв гишүүнийг дараахтай тэнцүү болго.
дараа нь прогресс болон цуврал прогресс нь ижил тоог илэрхийлдэг.
Жишээ Мөрийг дараах гурван мөрөөр сольж болно: , , .
4. Хэрэв ижил зөрүүтэй хязгааргүй прогрессууд нь ялгаатай арифметик прогресс үүсгэдэг төв гишүүдийн тоотой байвал эдгээр цувааг ялгавартай нэг прогрессоор, мөн эдгээр прогрессийн төв гишүүний аль нэгэнтэй тэнцүү төв гишүүнээр сольж болно. өөрөөр хэлбэл Хэрэв
Дараа нь эдгээр прогрессуудыг нэг болгон нэгтгэнэ:
Жишээ
... хоёулаа нэг бүлэгт нэгтгэгдсэн тул 
.
Нийтлэг шийдэлтэй бүлгүүдийг нийтлэг шийдэлгүй бүлэг болгон хувиргахын тулд эдгээр бүлгүүдийг дараах бүлэгт задалдаг. ерөнхий үе, дараа нь дахин давтагдах бүлгүүдийг хасч, үүссэн бүлгүүдийг нэгтгэхийг хичээ.
Factorization
Үржүүлэх арга нь дараах байдалтай байна: хэрэв
Дараа нь тэгшитгэлийн шийдэл бүр
нь тэгшитгэлийн багцын шийдэл юм
Эсрэг заалт нь ерөнхийдөө худал юм: популяцийн шийдэл бүр тэгшитгэлийн шийдэл биш юм. Үүнийг тус тусын тэгшитгэлийн шийдлүүдийг функцийн тодорхойлолтын мужид оруулахгүй байж болохтой холбон тайлбарлаж байна.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр илэрхийлнэ
Хариулах.
; 
.
Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид тэнцүү тэгшитгэлийг олж авна
Хариулах. .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Энэ тохиолдолд тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийн томъёог хэрэглэхээс өмнө багасгах томъёог ашиглах хэрэгтэй. 
. Үүний үр дүнд бид эквивалент тэгшитгэлийг олж авна
Хариулах.
, 
.
Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Хэд хэдэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ томъёог ашигладаг.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл.
Хариулах. , .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид ижил тэгшитгэлийг олж авна.
Хариулах. .
Бууруулах томъёо ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Өргөн хүрээний тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд томьёо гол үүрэг гүйцэтгэдэг.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид тэнцүү тэгшитгэлийг олж авна.
Хариулах. ; .
Гурвалсан аргументын томъёо ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Томьёог ашигласнаар бид тэгшитгэлийг олж авна
Хариулах. ; .
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Бид олж авсан зэрэглэлийг бууруулах томъёог ашиглан: 
. Өргөдөл гаргаснаар бид дараахь зүйлийг авна.
Хариулах. ; .
Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгш байдал
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
Хариулах. , .
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Тэгшитгэлийг өөрчилье.
Хариулах. .
Жишээ Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд тэгшитгэлийг хангана
Хэмжээг нь ол.
Шийдэл.Тэгшитгэлээс харахад ийм байна
Хариулах. .
Маягтын нийлбэрийг авч үзье
Эдгээр дүнг үржүүлж, хуваах замаар бүтээгдэхүүн болгон хувиргаж болно, дараа нь бид авна
Энэ техникийг зарим тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох боловч үр дүнд нь гадны үндэс гарч болзошгүйг анхаарах хэрэгтэй. Эдгээр томъёог нэгтгэн дүгнэж үзье:
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Олонлог нь анхны тэгшитгэлийн шийдэл гэдгийг харж болно. Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг үржүүлэх нь нэмэлт үндэс үүсэхэд хүргэхгүй.
Бидэнд байгаа 
.
Хариулах. ; .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг үржүүлж, тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах томъёог ашиглая.
Энэ тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эндээс ба .
Тэгшитгэлийн язгуур нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул бид хасах хэрэгтэй. Энэ нь багцад хасах шаардлагатай гэсэн үг юм.
Хариулах.Мөн , .
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Илэрхийлэлийг өөрчилье:
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.
Хариулах. .
Тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон багасгах
Дөрвөлжин болгон бууруулж болно
Хэрэв тэгшитгэл нь хэлбэртэй байвал
дараа нь солих нь квадрат руу хүргэдэг, оноос хойш 
() Мөн.
Хэрэв нэр томъёоны оронд байгаа бол шаардлагатай орлуулалт нь .
Тэгшитгэл
-д бууж ирдэг квадрат тэгшитгэл
хэлбэрээр танилцуулах 
. Аль нь тэгшитгэлийн үндэс биш болохыг шалгахад хялбар бөгөөд орлуулалтыг хийснээр тэгшитгэлийг квадрат болгон бууруулна.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Үүнийг зүүн тал руу шилжүүлж, -ээр орлуулж, ба -аар илэрхийлье.
Хялбаршуулсаны дараа бид дараахь зүйлийг авна. Нэр томьёог нэр томъёонд хувааж, орлуулах:
- руу буцаж очоод бид олдог 
.
-ийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд,
Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье
Хаана , , , ..., , --- хүчинтэйтоо. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа гишүүн бүрд мономиалуудын зэрэг нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл синус ба косинусын градусын нийлбэр нь ижил бөгөөд тэнцүү байна. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийнба -тай харьцуулах ба дугаарыг дуудна нэгэн төрлийн байдлын үзүүлэлт .
Хэрэв бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байх нь тодорхой байна.
Үүний шийдэл нь утгууд, өөрөөр хэлбэл, тоонууд, . Хаалтанд бичсэн хоёр дахь тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн боловч градус нь 1-ээс бага байна.
Хэрэв бол эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс биш юм.
Бид авах үед: , ба тэгшитгэлийн зүүн тал (1) утгыг авна.
Тэгэхээр, ба -ийн хувьд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж болно. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг авна.
Үүнийг орлуулах замаар алгебрийн хэлбэрт амархан буулгаж болно:
Нэг төрлийн индекстэй нэгэн төрлийн тэгшитгэл 1. Тэгшитгэлтэй байх үед .
Хэрэв , тэгвэл энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна , , хаанаас , .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Энэ тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн юм. Хоёр хэсгийг хуваавал: , , , .
Хариулах. .
Жишээ Бид хэлбэрийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авах үед
Шийдэл.
Хэрэв бол тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваавал тэгшитгэл гарна 
, үүнийг орлуулах замаар квадрат болгон хялбархан багасгаж болно: 
. Хэрэв 
, тэгвэл тэгшитгэл бодит язгууртай , . Анхны тэгшитгэл нь хоёр бүлэг шийдтэй байна: , , .
Хэрэв 
, тэгвэл тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Энэ тэгшитгэл нь хоёр дахь зэрэгтэй нэгэн төрлийн юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг -д хуваавал: . , тэгвэл , , . , , ; ...
Хариулах.
.
Тэгшитгэлийг хэлбэрийн тэгшитгэл болгон бууруулна
Үүнийг хийхийн тулд таних тэмдгийг ашиглахад хангалттай 
Ялангуяа тэгшитгэлийг орлуулбал нэгэн төрлийн болж буурна 
, тэгвэл бид тэнцүү тэгшитгэлийг авна:
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн болгон хувиргая:
Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваая 
, бид тэгшитгэлийг авна:
Дараа нь квадрат тэгшитгэлд хүрье. 
, , 
, 
, .
Хариулах.
.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг эерэг утгатай болохыг харгалзан квадрат болгоё: , ,
Байг, тэгвэл бид авна 
, , .
Хариулах. .
Identities ашиглан шийдсэн тэгшитгэл 
Дараахь томъёог мэдэх нь ашигтай.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Ашиглаж, бид авдаг
Хариулах.
Бид томъёог өөрсдөө биш, харин тэдгээрийг гаргаж авах аргыг санал болгож байна.
тиймээс,
Үүний нэгэн адил, .
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Илэрхийлэлийг өөрчилье:
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.
Хүлээн зөвшөөрснөөр бид хүлээн авдаг. , . Тиймээс
Хариулах. .
Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт
Маягтын тригонометрийн тэгшитгэл
Хаана --- оновчтойТомьёоны тусламжтайгаар функцийг -, түүнчлэн томъёоны тусламжтайгаар - болгож багасгаж болно рационал тэгшитгэларгументуудын хувьд , , , , дараа нь тэгшитгэлийг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын томъёог ашиглан алгебрийн рационал тэгшитгэл болгон бууруулж болно.
Томьёог ашиглах нь анхны тэгшитгэлийн OD-ийг нарийсгахад хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь энэ нь цэгүүд дээр тодорхойлогдоогүй тул ийм тохиолдолд өнцөг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай. .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Даалгаврын нөхцлийн дагуу. Томьёог хэрэглэж, орлуулалт хийснээр бид олж авна
хаанаас, тиймээс.
Маягтын тэгшитгэл
Хэлбэрийн тэгшитгэлүүд, хаана --- олон гишүүнт, үл мэдэгдэх орлуулалтыг ашиглан шийддэг
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Сэлгээ хийж, үүнийг харгалзан үзвэл бид олж авдаг
хаана, . --- гадны үндэс, учир нь . Тэгшитгэлийн үндэс 
байна.
Онцлогын хязгаарлалтыг ашиглах
Төвлөрсөн туршилтын практикт шийдэл нь хязгаарлагдмал функц болон . Жишээлбэл:
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл., -ээс хойш, зүүн тал нь хэтрэхгүй ба тэнцүү, хэрэв
Хоёр тэгшитгэлийг хангасан утгыг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана. Тэдгээрийн аль нэгийг нь шийдье, дараа нь олдсон утгуудын дотроос нөгөөд нь нийцэх утгуудыг сонгох болно.
Хоёр дахь нь эхэлье: , . Дараа нь, 
.
Зөвхөн тэгш тооны хувьд байх нь тодорхой байна.
Хариулах. .
Дараах тэгшитгэлийг шийдэх замаар өөр нэг санаа хэрэгждэг.
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Эд хөрөнгөө ашиглая экспоненциал функц: , 
.
Эдгээр тэгш бус байдлыг гишүүнээр нь нэмбэл бидэнд:
Иймд хоёр тэгшитгэл хангагдсан тохиолдолд энэ тэгшитгэлийн зүүн тал тэнцүү байна:
өөрөөр хэлбэл, , , утгыг авч болно, эсвэл , утгыг авч болно.
Хариулах. , .
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл., . Тиймээс, 
.
Хариулах. .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл.Бид урвуу тригонометрийн функцийн тодорхойлолтоос -г тэмдэглэе 
Тэгээд 
.
Иймээс тэгш бус байдал нь тэгшитгэлээс үүснэ, өөрөөр хэлбэл. . Түүнээс хойш ба , дараа нь ба . Гэсэн хэдий ч ийм учраас.
Хэрэв ба, тэгвэл. Өмнө нь тогтоогдсон учраас дараа нь .
Хариулах. , .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл.Тэгшитгэлийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь .
Эхлээд бид функцийг харуулж байна
Аливаа хүний хувьд энэ нь зөвхөн эерэг утгыг авч болно.
Функцийг дараах байдлаар төсөөлцгөөе.
оноос хойш, дараа нь энэ нь явагддаг, i.e. 
.
Тиймээс тэгш бус байдлыг батлахын тулд үүнийг харуулах хэрэгтэй 
. Үүний тулд энэ тэгш бус байдлын хоёр талыг шоо болгоё
Үүссэн тоон тэгш бус байдал нь . Хэрэв бид мөн үүнийг харгалзан үзвэл тэгшитгэлийн зүүн тал нь сөрөг биш байна.
Одоо тэгшитгэлийн баруун талыг харцгаая.
Учир нь 
, Тэр
Гэсэн хэдий ч энэ нь мэдэгдэж байна 
. Үүнээс үзэхэд, i.e. тэгшитгэлийн баруун тал нь -ээс хэтрэхгүй. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь сөрөг биш гэдгийг өмнө нь нотолсон тул in тэгш байдал нь зөвхөн хоёр тал тэнцүү байх тохиолдолд л боломжтой бөгөөд энэ нь зөвхөн .
Хариулах. .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл.болон гэж тэмдэглэе 
. Коши-Буняковскийн тэгш бус байдлыг ашигласнаар бид . Үүнийг дагадаг 
. Нөгөөтэйгүүр, байдаг 
. Тиймээс тэгшитгэлд үндэс байхгүй.
Хариулах. .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл.Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.
Хариулах. .
Тригонометрийн болон хосолсон тэгшитгэлийг шийдвэрлэх функциональ аргууд
Өөрчлөлтийн үр дүнд үүссэн тэгшитгэл бүрийг нэг эсвэл өөр стандарт хэлбэрийн тэгшитгэл болгон бууруулж болохгүй, үүнийг шийдвэрлэх тодорхой арга байдаг. Ийм тохиолдолд функцүүдийн монотон байдал, хязгаарлагдмал байдал, паритет, үе үе гэх мэт шинж чанаруудыг ашиглах нь ашигтай байдаг. Тэгэхээр, хэрэв функцүүдийн аль нэг нь буурч, хоёр дахь нь интервал дээр нэмэгдвэл тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна. Энэ интервал дээр үндэс, энэ үндэс нь өвөрмөц бөгөөд дараа нь жишээлбэл, сонголтоор олж болно. Хэрэв функц нь дээр хязгаарлагдмал, ба , функц нь доор хязгаарлагдмал, ба , тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна.
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл.Анхны тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлье
-тай квадрат харьцангуйгаар шийднэ. Дараа нь бид авах,
Хүн амын эхний тэгшитгэлийг шийдье. Функцийн хязгаарлагдмал шинж чанарыг харгалзан үзээд тэгшитгэл нь зөвхөн сегмент дээр үндэстэй байж болно гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Энэ интервал дээр функц нэмэгдэж, функц нэмэгдэнэ 
буурдаг. Тиймээс хэрэв энэ тэгшитгэл нь үндэстэй бол энэ нь өвөрмөц юм. Бид сонголтоор олдог.
Хариулах. .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл. Let and 
, тэгвэл анхны тэгшитгэлийг функциональ тэгшитгэл болгон бичиж болно. Функц нь сондгой тул . Энэ тохиолдолд бид тэгшитгэлийг авна.
, ба дээр монотон байгаа тул тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. 
, нэг үндэстэй.
Хариулах. .
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Дериватив теорем дээр үндэслэсэн нарийн төвөгтэй функцфункц байгаа нь тодорхой байна 
буурах (функц буурах, нэмэгдэх, буурах). Үүнээс харахад функц нь тодорхой байна 
дээр тодорхойлогдсон, буурч байна. Тиймээс энэ тэгшитгэл нь хамгийн ихдээ нэг үндэстэй. Учир нь 
, Тэр
Хариулах. .
Жишээ Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.Гурван интервал дээр тэгшитгэлийг авч үзье.
a) зөвшөөрөх. Тэгвэл энэ олонлог дээр анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Аль нь интервал дээр ямар ч шийдэл байхгүй, учир нь 
, , А. Интервал дээр анхны тэгшитгэл нь мөн үндэсгүй, учир нь 
, А.
б) зөвшөөрөх. Тэгвэл энэ олонлог дээр анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна
интервал дээрх язгуурууд нь , , , .
в) зөвшөөрөх. Тэгвэл энэ олонлог дээр анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна
Аль нь интервал дээр шийдэлгүй, учир нь , ба . Интервал дээр тэгшитгэл нь бас шийдэлгүй, учир нь , , А.
Хариулах. , , , .
Симметрийн арга
Даалгаврын томъёолол нь тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем гэх мэт өвөрмөц шийдлийг шаарддаг тохиолдолд тэгш хэмийн аргыг ашиглахад тохиромжтой. эсвэл шийдлийн тоог тодорхой зааж өгсөн болно. Энэ тохиолдолд өгөгдсөн илэрхийллийн тэгш хэмийг илрүүлэх шаардлагатай.
Мөн тэгш хэмийн янз бүрийн боломжит төрлүүдийг харгалзан үзэх шаардлагатай.
Үүнтэй адил чухал зүйл бол тэгш хэмтэй сэтгэхдээ логик үе шатуудыг чанд дагаж мөрдөх явдал юм.
Ерөнхийдөө тэгш хэм нь зөвхөн тогтоох боломжийг олгодог шаардлагатай нөхцөл, дараа нь тэдгээрийн хүрэлцээг шалгах шаардлагатай.
Жишээ Тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй параметрийн бүх утгыг ол.
Шийдэл.Тэрийг тэмдэглэ --- бүрфункцүүд тул тэгшитгэлийн зүүн тал нь тэгш функц болно.
Тэгэхээр хэрэв --- шийдэлтэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн шийдэл. Хэрэв --- цорын ганц зүйлДараа нь тэгшитгэлийн шийдэл шаардлагатай , .
Бид сонгох болно боломжтойтэгшитгэлийн үндэс байхыг шаарддаг утгууд.
Бусад үнэ цэнэ нь асуудлын нөхцөлийг хангаж чадахгүй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе.
Гэхдээ сонгогдсон хүмүүс бүгд даалгаврын нөхцлийг хангаж байгаа эсэх нь одоогоор тодорхойгүй байна.
Хангалттай байдал.
1) тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна 
.
2) тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Энэ нь мэдээжийн хэрэг, хүн бүрт болон 
. Тиймээс сүүлийн тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна:
Тиймээс, -ийн тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй болохыг бид нотолсон.
Хариулах. .
Функцийг судлах шийдэл
Жишээ Тэгшитгэлийн бүх шийдэл гэдгийг батал
Бүхэл тоо.
Шийдэл.Анхны тэгшитгэлийн үндсэн үе нь . Тиймээс бид эхлээд энэ тэгшитгэлийг интервал дээр шалгана.
Тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлье.
Микро тооцоолуур ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.
Хэрэв бол өмнөх тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна.
Үүссэн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг авна.
Гүйцэтгэсэн тооцоолол нь тэгшитгэлийн үндэс гэж үзэх боломжтой болгодог сегментэд хамаарах, байна , ба .
Шууд тест нь энэ таамаглалыг баталж байна. Ийнхүү тэгшитгэлийн язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо, , байх нь батлагдсан.
Жишээ
Тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл.Тэгшитгэлийн үндсэн үеийг олъё. Функц нь үндсэн хугацаатай тэнцүү байна. Функцийн үндсэн үе нь . ба-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь тэнцүү байна. Иймд тэгшитгэлийн үндсэн үе нь . Let .
Мэдээжийн хэрэг, энэ нь тэгшитгэлийн шийдэл юм. Интервал дээр. Функц нь сөрөг байна. Тиймээс тэгшитгэлийн бусад язгуурыг зөвхөн x ба интервалаас хайх хэрэгтэй.
Микро тооцоолуур ашиглан бид эхлээд тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгыг олдог. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн утгуудын хүснэгтийг эмхэтгэдэг 
интервалууд дээр ба ; өөрөөр хэлбэл интервалууд дээр болон .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Хүснэгтээс дараах таамаглалыг хялбархан ялгах боломжтой: сегментэд хамаарах тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм: ; ; . Шууд тест нь энэ таамаглалыг баталж байна.
Хариулах.
; 
; .
Нэгж тойргийг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх
Тригонометрийн функцүүдийн нэг болох хэлбэрийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын шийдлийг хамгийн тодорхой илэрхийлж, хариултыг бичихийн тулд тригонометрийн тойрог ашиглах нь тохиромжтой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга бол тэдгээрийг хамгийн энгийн төрлийн тэгш бус байдал болгон багасгах явдал юм. Ийм тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
Жишээ Тэгш бус байдлыг шийд.
Шийдэл.Тригонометрийн тойрог зураад түүн дээр ординат нь давсан цэгүүдийг тэмдэглэе.
Энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь . Мөн тодорхой тоо нь заасан интервалаас ямар нэгэн тооноос ялгаатай байвал энэ нь мөн -ээс багагүй байх нь тодорхой байна. Тиймээс та олсон шийдлийн сегментийн төгсгөлд нэмэх хэрэгтэй. Эцэст нь бид анхны тэгш бус байдлын шийдлүүд бүгд байх болно гэдгийг олж мэдэв 
.
Хариулах.
.
Тангенс ба котангенс бүхий тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд шүргэгч ба котангентын шугамын тухай ойлголт хэрэгтэй. Эдгээр нь тригонометрийн тойрогт шүргэгч шулуун шугамууд ба тус тус (Зураг (1) ба (2)) юм.
Хэрэв бид координатын гарал үүсэлтэй туяаг абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өнцөг үүсгэвэл уг туяаг огтлолцох цэгээс сегментийн урттай болохыг харахад хялбар байдаг. шүргэгч шугам нь энэ туяа абсцисса тэнхлэгтэй хийсэн өнцгийн тангенстай яг тэнцүү байна. Котангентын хувьд ижил төстэй ажиглалт явагдана.
Жишээ Тэгш бус байдлыг шийд.
Шийдэл.-г тэмдэглэвэл тэгш бус байдал нь хамгийн энгийн хэлбэрийг авна: . Шүргэгчийн хамгийн бага эерэг үетэй (LPP) тэнцүү уртын интервалыг авч үзье. Энэ сегмент дээр шүргэгч шугамыг ашиглан бид үүнийг тогтооно. Одоо NPP функцээс хойш юу нэмэх хэрэгтэйг санацгаая. Тэгэхээр, 
. Хувьсагч руу буцаж очоод бид үүнийг олж авна.
Хариулах.
.
Урвуу тригонометрийн функцтэй тэгш бус байдлыг урвуу тригонометрийн функцуудын график ашиглан шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг жишээгээр харуулъя.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг графикаар шийдвэрлэх
гэдгийг анхаарна уу --- үе үефункц байгаа бол тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд урт нь функцийн үетэй тэнцүү сегмент дээр түүний шийдийг олох шаардлагатай. Анхны тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд нь олсон утгуудаас гадна функцийн бүхэл тооны үеээр олдсоноос ялгаатай бүх утгуудаас бүрдэнэ.
Тэгш бус байдлын шийдлийг авч үзье ().
-ээс хойш тэгш бус байдал шийдэлгүй болно. Хэрэв , тэгвэл тэгш бус байдлын шийдүүдийн багц болно --- бөөнбүх бодит тоо.
Let . Синусын функц нь хамгийн бага эерэг үетэй тул тэгш бус байдлыг эхлээд уртын сегмент дээр, жишээлбэл, сегмент дээр шийдэж болно. Бид функцийн графикийг бүтээдэг ба (). хэлбэрийн тэгш бус байдлаар өгөгдсөн: ба хаанаас,
Энэхүү ажилд энгийн болон олимпиадын түвшний тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзсэн. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг авч үзсэн бөгөөд үүнээс гадна тодорхой --- онцлогзөвхөн тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хувьд, мөн тригонометрийн тэгшитгэлд хэрэглэсэн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий функциональ аргууд.
Төгсөлтийн ажил нь онолын үндсэн мэдээллийг өгдөг: тригонометрийн болон урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, шинж чанарууд; тригонометрийн функцийг бусад тригонометрийн функцээр илэрхийлэх нь тригонометрийн илэрхийлэл, ялангуяа урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийлэлийг хувиргахад маш чухал юм; Сургуулийн хичээлээс сайн мэддэг тригонометрийн үндсэн томъёоноос гадна урвуу тригонометрийн функцийг агуулсан илэрхийллийг хялбарчлах томъёог өгдөг. Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл, үржвэрлэх арга, тригонометрийн тэгшитгэлийг алгебрийн тэгшитгэл болгон бууруулах аргуудыг авч үзнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хэд хэдэн аргаар бичиж болох бөгөөд эдгээр шийдлүүдийн хэлбэр нь эдгээр шийдлүүд нь ижил эсвэл өөр эсэхийг шууд тодорхойлох боломжийг олгодоггүй тул тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий схемийг авч үзэж, хувиргах болно. тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийн бүлгүүдийг нарийвчлан авч үзсэн болно. Анхан шатны тригонометрийн тэгш бус байдлыг нэгж тойрог болон график аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан авч үзсэн болно. Анхан бус тригонометрийн тэгш бус байдлыг энгийн тэгш бус байдлын тусламжтайгаар шийдвэрлэх үйл явц, сургуулийн сурагчдад аль хэдийн сайн мэддэг интервалын аргыг тайлбарласан болно. Үндэс сонгох ердийн ажлуудын шийдлүүдийг өгсөн болно. Үндэс сонгоход шаардлагатай онолын мэдээллийг өгсөн болно: бүхэл тооны багцыг салангид дэд олонлогт хуваах, бүхэл тоогоор тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (диафантин).
Энэхүү дипломын ажлын үр дүнг курсын ажил бэлтгэхэд боловсролын материал болгон ашиглаж болно дипломууд, сургуулийн сурагчдад зориулсан сонгон суралцах хичээлийг эмхэтгэхдээ уг бүтээлийг элсэлтийн шалгалт, төвлөрсөн шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглаж болно.
Выгодский Я.Я., Анхан шатны математикийн гарын авлага. /Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970.
Игудисман О., Аман шалгалтын математик / Игудисман О. --- М.: Ирис Пресс, Рольф, 2001.
Азаров А.И., тэгшитгэлүүд / Азаров А.И., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Mn.: Trivium, 1994.
Литвиненко В.Н., Анхан шатны математикийн семинар / Литвиненко В.Н. --- М.: Боловсрол, 1991 он.
Шарыгин И.Ф., Математикийн нэмэлт хичээл: асуудал шийдвэрлэх / Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Боловсрол, 1991 он.
Бардушкин В., Тригонометрийн тэгшитгэл. Үндэс сонголт/B. Бардушкин, А.Прокофьев.// Математик, No12, 2005 х. 23--27.
Василевский А.Б., Математикийн хичээлээс гадуурх ажлын даалгавар / Василевский А.Б. --- М.: Ардын Асвета. 1988. --- 176 х.
Сапунов П.И., Тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийн бүлгүүдийн хувиргалт ба нэгдэл / Сапунов П.И. // Математикийн боловсрол, 1935 оны №3 дугаар.
Бородин П., Тригонометр. Москвагийн Улсын Их Сургуулийн элсэлтийн шалгалтын материал [текст]/П.Бородин, В.Галкин, В.Панферов, И.Сергеев, В.Тарасов // Математик No1, 2005 х. 36--48.
Самусенко А.В., Математик: Өргөдөл гаргагчдын ердийн алдаа: Лавлах гарын авлага / Самусенко А.В., Казаченок В.В. --- Мн.: Дээд сургууль, 1991 он.
Азаров А.И., Шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэх функциональ ба график аргууд / Азаров А.И., Барвенов С.А., --- Мн.: Аверсев, 2004.
ТРИГОНОМЕТРИЙН ТЭГШ БУС БАЙДЛЫГ ШИЙДЭХ АРГА
Хамааралтай байдал. Түүхээс харахад тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт онцгой байр суурь эзэлдэг. Тригонометр бол сургуулийн хичээлийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг бөгөөд бүхэлдээ гэж хэлж болно математикийн шинжлэх ухаанерөнхийдөө.
Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн хичээлд сургалтын материалын агуулга, суралцах явцад бий болох, шаардлагатай боловсролын болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны арга барилын хувьд гол байруудын нэгийг эзэлдэг бөгөөд олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. онолын болон хэрэглээний шинж чанартай асуудлуудын .
Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь бүх зүйлтэй холбоотой оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх урьдчилсан нөхцөлийг бүрдүүлдэг. боловсролын материалтригонометрийн чиглэлээр (жишээлбэл, тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах арга гэх мэт) бөгөөд алгебрийн судлагдсан материалтай үр дүнтэй холбоо тогтоох боломжийг олгодог (тэгшитгэл, тэгшитгэлийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, таниулах өөрчлөлтүүдалгебрийн илэрхийлэл гэх мэт).
Өөрөөр хэлбэл, тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга техникийг авч үзэх нь эдгээр ур чадварыг шинэ агуулгад шилжүүлэх явдал юм.
Онолын ач холбогдол, түүний олон тооны хэрэглээ нь сонгосон сэдвийн хамаарлын нотолгоо юм. Энэ нь эргээд курсын ажлын зорилго, зорилт, судалгааны сэдвийг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Судалгааны зорилго: тригонометрийн тэгш бус байдлын боломжит төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн ба тусгай аргуудыг нэгтгэн дүгнэх, сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх багц асуудлыг сонгох.
Судалгааны зорилго:
1. Судалгааны сэдвээр байгаа уран зохиолын дүн шинжилгээнд үндэслэн материалыг системчлэх.
2. “Тригонометрийн тэгш бус байдал” сэдвийг нэгтгэхэд шаардлагатай багц даалгавруудыг өг.
Судалгааны объект нь сургуулийн математикийн хичээлийн тригонометрийн тэгш бус байдал юм.
Судалгааны сэдэв: тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.
Онолын ач холбогдол материалыг системчлэх явдал юм.
Практик ач холбогдол: асуудлыг шийдвэрлэхэд онолын мэдлэгийг ашиглах; тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн нийтлэг аргуудын шинжилгээ.
Судалгааны аргууд : шинжлэх ухааны уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх, олж авсан мэдлэгийг нэгтгэх, нэгтгэх, асуудлыг шийдвэрлэхэд дүн шинжилгээ хийх, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх оновчтой аргуудыг хайх.
§1. Тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд
1.1. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал
Хоёр тригонометрийн илэрхийллүүд, эсвэл > тэмдгээр холбогдсоныг тригонометрийн тэгш бус байдал гэнэ.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гэдэг нь тэгш бус байдлыг хангасан тэгш бус байдалд орсон үл мэдэгдэх утгуудын багцыг олохыг хэлнэ.
Тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн хэсгийг хамгийн энгийн шийдэл болгон бууруулж шийддэг.
Энэ нь хүчин зүйлчлэл, хувьсагчийг өөрчлөх арга байж болно ( 
, 
гэх мэт), ердийн тэгш бус байдлыг эхлээд шийдэж, дараа нь хэлбэрийн тэгш бус байдал 
гэх мэт, эсвэл бусад аргууд.
Хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг хоёр аргаар шийдэж болно: нэгж тойрог ашиглах эсвэл графикаар.
Болъёf(x
- тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд 
түүний шийдлийг нэг хугацаанд олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. урт нь функцийн үетэй тэнцүү аль ч сегмент дээре
x
. Тэгвэл анхны тэгш бус байдлын шийдэл бүгд олдоноx
, түүнчлэн функцийн бүхэл тоогоор олдсон утгуудаас ялгаатай утгууд. Энэ тохиолдолд график аргыг ашиглах нь тохиромжтой.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмын жишээг өгье 
(
) Мөн 
.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм (
).
1. Тооны синусын тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.
3. Ординатын тэнхлэг дээр цэгийг координатаар тэмдэглэнэа .
4. Энэ цэгээр OX тэнхлэгтэй параллель шулуун зурж, огтлолцох цэгүүдийг тойрогоор тэмдэглэнэ.
5. Бүх цэгүүд нь ординатаас бага байх тойргийн нумыг сонгоа .
6. Тойргийн чиглэлийг (цагийн зүүний эсрэг) зааж, интервалын төгсгөлд функцийн үеийг нэмж хариултыг бичнэ үү.2πn
,
.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм .
1. Тооны шүргэгчийн тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.
2. Нэгж тойрог зур.
3. Шүргэгчийн шугамыг зурж, ординат бүхий цэгийг тэмдэглэа .
4. Энэ цэгийг эхтэй холбож, үүссэн сегментийн огтлолцлын цэгийг нэгж тойрогтой тэмдэглэнэ.
5. Бүх цэгүүд нь шүргэгч шулуун дээр ординаттай байхаас бага тойргийн нумыг сонгоа .
6. Гүйлтийн чиглэлийг зааж, функцийн тодорхойлолтын мужийг харгалзан цэг нэмж хариултыг бичнэ үү.πn
,
(оруултын зүүн талд байгаа тоо нь баруун талд байгаа тооноос үргэлж бага байдаг).
Хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлийн график тайлбар, тэгш бус байдлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдвэрлэх томъёог хавсралтад (Хавсралт 1, 2) үзүүлэв.
Жишээ 1.
Тэгш бус байдлыг шийд 
.
Нэгж тойрог дээр шулуун шугам зур 
, энэ нь тойрогтой А ба В цэгүүдээр огтлолцдог.
Бүх утгаy
интервал дээр NM илүү байна
, AMB нумын бүх цэгүүд энэ тэгш бус байдлыг хангаж байна. Бүх эргэлтийн өнцөгт, том 
, гэхдээ бага 
,
илүү их үнэ цэнийг авах болно
(гэхдээ нэгээс илүүгүй).
Зураг 1
Тиймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал дахь бүх утгууд байх болно 
, өөрөөр хэлбэл 
. Энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийг олж авахын тулд энэ интервалын төгсгөлд нэмэхэд хангалттай 
, Хаана 
, өөрөөр хэлбэл 
,
.
утгууд гэдгийг анхаарна уу 
Тэгээд 
тэгшитгэлийн үндэс юм 
,
тэдгээр. 
;
.
Хариулт: 
, .
1.2. График арга
Практикт тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга нь ихэвчлэн ашигтай байдаг. Тэгш бус байдлын жишээг ашиглан аргын мөн чанарыг авч үзье 
:
1. Хэрэв аргумент нь төвөгтэй бол (хэрэвX ), дараа нь үүнийг солинот .
2. Бид нэг дор бүтээдэг координатын хавтгай
тоглоом
функцын графикууд 
Тэгээд 
.
3. Бид ийм зүйл олдогграфикуудын огтлолцох хоёр зэргэлдээ цэг, тэдгээрийн хоорондсинус долгионбайрладагилүү өндөр
Чигээрээ . Бид эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг олдог.
4. Аргументийн давхар тэгш бус байдлыг бичт , косинусын үеийг харгалзан (т олдсон абсциссуудын хооронд байх болно).
5. Урвуу орлуулалт хийж (анхны аргумент руу буцах) утгыг илэрхийлX давхар тэгш бус байдлаас бид хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичнэ.
Жишээ 2. Тэгш бус байдлыг шийдэх: .
График аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн графикийг аль болох нарийвчлалтай байгуулах шаардлагатай. Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт шилжүүлье.
Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя 
Тэгээд 
(Зураг 2).
Зураг 2
Функцийн графикууд цэг дээр огтлолцдогА
координатуудтай 
; 
. Хооронд 
график цэгүүд 
график цэгүүдийн доор 
. Тэгээд хэзээ функцын утга ижил байна. Тийм ч учраас цагт 
.
Хариулт: 
.
1.3. Алгебрийн арга
Ихэнх тохиолдолд анхны тригонометрийн тэгш бус байдлыг зөв сонгосон орлуулалтын тусламжтайгаар алгебрийн (рационал эсвэл иррациональ) тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Энэ арга нь тэгш бус байдлыг хувиргах, орлуулах эсвэл хувьсагчийг орлуулахыг хэлнэ.
Энэ аргыг хэрэглэх тодорхой жишээг авч үзье.
Жишээ 3.
Хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах 
.
(Зураг 3)
Зураг 3
, 
.
Хариулт: 
,
Жишээ 4. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:
ОДЗ: 
, 
.
Томьёог ашиглах: 
, 
Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичье. 
.
Эсвэл итгэх 
энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид олж авдаг
,
,
.
Сүүлчийн тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
Зураг 4
, тус тус 
. Дараа нь Зураг дээрээс. 4 дагадаг 
, Хаана 
.
Зураг 5
Хариулт: 
, 
.
1.4. Интервалын арга
Ерөнхий схемИнтервалын аргыг ашиглан тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх:
Тригонометрийн томьёог ашиглах хүчин зүйл.
Функцийн тасалдлын цэг ба тэгийг олж тойрог дээр байрлуул.
Ямар ч цэгийг авTO (гэхдээ өмнө нь олдоогүй) ба бүтээгдэхүүний тэмдгийг олж мэдээрэй. Хэрэв бүтээгдэхүүн эерэг байвал тухайн өнцөгт тохирох туяан дээр нэгж тойргийн гадна цэг тавина. Үгүй бол цэгийг тойрог дотор байрлуулна.
Хэрэв цэг тэгш олон удаа тохиолдвол бид үүнийг тэгш үржвэрийн цэг гэж нэрлэдэг бол сондгой олон тооны цэг гэж нэрлэдэг. Дараах байдлаар нуман зурна: цэгээс эхэлнэTO , хэрэв дараагийн цэг нь сондгой үржвэртэй бол нум нь энэ цэг дээр тойрогтой огтлолцдог, харин цэг нь тэгш үржвэртэй бол огтлолцохгүй.
Тойргийн ард байгаа нумууд нь эерэг интервалууд юм; тойрог дотор сөрөг орон зай бий.
Жишээ 5. Тэгш бус байдлыг шийдэх
, 
.
Эхний цувралын оноо: 
.
Хоёр дахь цувралын оноо: 
.
Цэг бүр сондгой олон удаа тохиолддог, өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүд сондгой үржвэртэй байдаг.
Бүтээгдэхүүний тэмдгийг олж мэдье 
: . Нэгж тойрог дээрх бүх цэгүүдийг тэмдэглэе (Зураг 6):
Цагаан будаа. 6
Хариулт: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Жишээ 6 . Тэгш бус байдлыг шийд.
Шийдэл:
Илэрхийллийн тэгийг олцгооё .
Хүлээн авахaeм :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Нэгж тойргийн цувааны утгууд дээрX
1
цэгээр дүрслэгдсэн 
. ЦувралX
2
оноо өгдөг 
. ЦувралX
3
Бид хоёр оноо авдаг 
. Эцэст нь цувралX
4
цэгүүдийг төлөөлөх болно 
. Эдгээр бүх цэгүүдийг нэгж тойрог дээр зурж, тэдгээрийн үржвэрийг тус бүрийн хажууд хаалтанд оруулъя.
Одоо тоогоо өгье 
тэнцүү байх болно. Тэмдэгт дээр үндэслэн тооцоо хийцгээе.
Тэгэхээр, цэгА
өнцгийг бүрдүүлж буй цацраг дээр сонгогдох ёстой 
цацрагтайӨө,
нэгж тойргийн гадна. (Туслах цацраг гэдгийг анхаарна ууТУХАЙ
А
Үүнийг зураг дээр дүрслэх шаардлагагүй. ЦэгА
ойролцоогоор сонгосон.)
Одоо цэгээсА
бүх тэмдэглэгдсэн цэгүүд рүү дараалан долгионтой тасралтгүй шугам зурна. Мөн цэгүүдэд Бидний шугам нэг хэсгээс нөгөөд шилждэг: хэрэв энэ нь нэгж тойргийн гадна байсан бол түүний дотор ордог. Зорилгодоо ойртож байна 
, шугам нь дотоод бүс рүү буцаж ирдэг, учир нь энэ цэгийн олон талт тэгш байдаг. Яг л цэг дээр 
(тэгш олон талт) шугамыг гаднах бүс рүү эргүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс бид Зураг дээр үзүүлсэн тодорхой зургийг зурсан. 7. Энэ нь нэгжийн тойрог дээр хүссэн хэсгүүдийг тодруулахад тусална. Тэд "+" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.
Зураг 7
Эцсийн хариулт:
Анхаарна уу. Хэрэв долгионы шугамыг нэгж тойрог дээр тэмдэглэсэн бүх цэгүүдийг тойруулсны дараа тухайн цэг рүү буцаах боломжгүйА , "хууль бус" газар тойргийг гатлахгүйгээр энэ нь шийдэлд алдаа гарсан, тухайлбал сондгой тооны үндэс алга болсон гэсэн үг юм.
Хариулт: .
§2. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бодлогын багц
Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явцад 3 үе шатыг ялгаж салгаж болно.
1. бэлтгэл,
2. энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;
3. бусад төрлийн тригонометрийн тэгш бус байдлын танилцуулга.
Бэлтгэл үе шатны зорилго нь сургуулийн хүүхдүүдэд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд тригонометрийн тойрог эсвэл график ашиглах чадварыг хөгжүүлэх шаардлагатай.
Хэлбэрийн энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар ,
, ,
,
синус ба косинусын функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах;
Тоон тойргийн нуман эсвэл функцийн графикийн нумын хувьд давхар тэгш бус байдлыг бий болгох чадвар;
Тригонометрийн илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалтыг хийх чадвар.
Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг системчлэх явцад энэ үе шатыг хэрэгжүүлэхийг зөвлөж байна. Гол хэрэгсэл нь оюутнуудад санал болгож, багшийн удирдлаган дор эсвэл бие даан гүйцэтгэх даалгавар, мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар байж болно.
Ийм ажлуудын жишээ энд байна:
1
. Нэгж тойрог дээр цэг тэмдэглэ 
, Хэрэв
.
2.
Цэг нь координатын хавтгайн аль дөрөвний нэгт байрладаг вэ? , Хэрэв 
тэнцүү байна: 
3.
Тригонометрийн тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэ , Хэрэв:
4. Илэрхийлэлийг тригонометрийн функц болгон хувиргаIулирал.
A) 
,
б) 
,
V) 
5. Arc MR өгөгдсөн.М - дундI-р улирал,Р - дундII-р улирал. Хувьсагчийн утгыг хязгаарлахт хувьд: (давхар тэгш бус байдал гаргах) a) нуман MR; б) RM нумууд.
6. Графикийн сонгосон хэсгүүдийн давхар тэгш бус байдлыг бичнэ үү.
Цагаан будаа. 1
7.
Тэгш бус байдлыг шийдэх 
, 
, 
, 
.
8. Илэрхийлэл хөрвүүлэх .
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэж сурах хоёр дахь шатанд бид оюутны үйл ажиллагааг зохион байгуулах арга зүйтэй холбоотой дараах зөвлөмжийг санал болгож болно. Энэ тохиолдолд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад бий болсон тригонометрийн тойрог эсвэл графиктай ажиллах оюутнуудын одоо байгаа ур чадварт анхаарлаа хандуулах шаардлагатай.
Нэгдүгээрт, жишээлбэл, хэлбэрийн тэгш бус байдал руу шилжих замаар хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх ерөнхий аргыг олж авах нь зүйтэй эсэхийг өдөөж болно. 
.
дээр олж авсан мэдлэг, ур чадвараа ашиглах бэлтгэл үе шат, оюутнууд санал болгож буй тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулах болно 
, гэхдээ үүссэн тэгш бус байдлын цогц шийдлүүдийг олоход хэцүү байж магадгүй, учир нь Зөвхөн синус функцийн шинж чанарыг ашиглан үүнийг шийдэх боломжгүй юм. Тохиромжтой дүрслэл (тэгшитгэлийг графикаар шийдэх эсвэл нэгж тойрог ашиглан) хийх замаар энэ хүндрэлээс зайлсхийх боломжтой.
Хоёрдугаарт, багш оюутнуудын анхаарлыг даалгаврыг гүйцэтгэх янз бүрийн аргуудад хандуулж, тэгш бус байдлыг графикаар болон тригонометрийн тойрог ашиглан шийдвэрлэх тохиромжтой жишээг өгөх ёстой.
Тэгш бус байдлын дараах шийдлүүдийг авч үзье .
1. Нэгж тойргийг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх эхний хичээлээр бид оюутнуудад тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх үндсэн ур чадварыг алхам алхмаар танилцуулах дэлгэрэнгүй алгоритмыг санал болгох болно.
1-р алхам.Нэгж тойрог зурж ординатын тэнхлэг дээр цэгийг тэмдэглэе 
түүгээр х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татна. Энэ шугам нь нэгж тойргийг хоёр цэгээр огтолно. Эдгээр цэг бүр нь синус нь тэнцүү тоонуудыг илэрхийлдэг .
Алхам 2.Энэ шулуун шугам нь тойргийг хоёр нуман болгон хуваасан. -аас их синустай тоог дүрсэлсэн тоог сонгоцгооё . Мэдээжийн хэрэг, энэ нум нь зурсан шулуун шугамын дээгүүр байрладаг.
Цагаан будаа. 2
Алхам 3.Тэмдэглэгдсэн нумын төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгоно уу. Нэгж тойргийн энэ цэгээр дүрслэгдсэн тоонуудын аль нэгийг бичье 
.
Алхам 4.Сонгосон нумын хоёр дахь төгсгөлд тохирох тоог сонгохын тулд бид энэ нумын дагуу нэрлэсэн төгсгөлөөс нөгөө рүү "алхдаг". Үүний зэрэгцээ, цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байх үед бидний дамжин өнгөрөх тоо нэмэгдэж байгааг санаарай (эсрэг чиглэлд шилжих үед тоо буурах болно). Нэгж тойрог дээр тэмдэглэгдсэн нумын хоёр дахь төгсгөлд дүрслэгдсэн тоог бичье 
.
Тиймээс бид тэгш бус байдлыг харж байна тэгш бус байдал үнэн байх тоонуудыг ханга 
. Бид синусын функцийн ижил үе дээр байрлах тоонуудын тэгш бус байдлыг шийдсэн. Тиймээс тэгш бус байдлын бүх шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно 
Суралцагчдаас зургийг сайтар судалж, тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийн шалтгааныг олж мэдэхийг хүсэх хэрэгтэй хэлбэрээр бичиж болно 
, 
.
Цагаан будаа. 3
Косинусын функцийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татдаг болохыг оюутнуудын анхаарлыг татах шаардлагатай.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга.
Бид график бүтээдэг 
Тэгээд 
, үүнийг өгсөн 
.
Цагаан будаа. 4
Дараа нь бид тэгшитгэлийг бичнэ 
болон түүний шийдвэр 
, 
, 
, томьёо ашиглан олсон 
, 
, 
.
(Өгөхn
0, 1, 2 утгууд, бид эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн гурван үндэсийг олдог). Үнэ цэнэ 
графикуудын огтлолцох цэгүүдийн дараалсан гурван абсцисса юм Тэгээд . Мэдээжийн хэрэг, үргэлж интервал дээр байдаг 
тэгш бус байдал бий 
, мөн интервал дээр 
- тэгш бус байдал 
. Бид эхний тохиолдлыг сонирхож байгаа бөгөөд дараа нь энэ интервалын төгсгөлд синусын үеийн олон тооны тоог нэмснээр тэгш бус байдлын шийдлийг олж авна. зэрэг: 
, .
Цагаан будаа. 5
Дүгнэж хэлье. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд , та харгалзах тэгшитгэлийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүссэн томъёоноос үндсийг ол 
Тэгээд 
, тэгш бус байдлын хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ үү. , .
Гуравдугаарт, харгалзах тригонометрийн тэгш бус байдлын язгуурын олонлогийн тухай баримтыг графикаар шийдвэрлэхэд маш тодорхой нотлогддог.
Цагаан будаа. 6
Тэгш бус байдлын шийдэл болох эргэлт нь тригонометрийн функцийн үетэй тэнцэх ижил интервалаар давтагдаж байгааг оюутнуудад харуулах шаардлагатай. Та мөн синус функцийн графикийн ижил төстэй дүрслэлийг авч үзэж болно.
Дөрөвдүгээрт, тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (ялгааг) үржвэр болгон хувиргах техникийг оюутнуудад шинэчлэх ажлыг хийж, тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд эдгээр аргуудын үүрэг рольд оюутнуудын анхаарлыг хандуулахыг зөвлөж байна.
Энэ ажлыг дамжуулан зохион байгуулж болно өөрийгөө гүйцэтгэхбагшийн санал болгосон даалгаврын оюутнуудад бид дараахь зүйлийг онцолж байна.
Тавдугаарт, оюутнуудаас энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал бүрийн шийдлийг график эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглан дүрслэн харуулахыг шаардах ёстой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед холбогдох зураглал нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын шийдлийн багцыг бүртгэх маш тохиромжтой хэрэгсэл болдог тул та түүний зохистой байдалд, ялангуяа тойргийг ашиглахад анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.
Дараах схемийн дагуу хамгийн энгийн биш тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг оюутнуудад танилцуулахыг зөвлөж байна: тодорхой тригонометрийн тэгш бус байдал руу шилжих, холбогдох тригонометрийн тэгшитгэл рүү шилжих хамтарсан хайлт (багш - оюутнууд) -ийг бие даан шилжүүлэх. ижил төрлийн бусад тэгш бус байдлын аргыг олсон.
Тригонометрийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг системчлэхийн тулд бид үүнийг шийдвэрлэх явцад хэрэгжүүлж болох янз бүрийн өөрчлөлтийг шаарддаг ийм тэгш бус байдлыг тусгайлан сонгож, оюутнуудын анхаарлыг тэдгээрийн онцлогт төвлөрүүлэхийг зөвлөж байна.
Ийм бүтээмжтэй тэгш бус байдлын хувьд бид жишээлбэл дараахь зүйлийг санал болгож болно.
Дүгнэж хэлэхэд бид тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлын багцын жишээг өгье.
1. Тэгш бус байдлыг шийд:
2. Тэгш бус байдлыг шийд: 3. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол: 4. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол:A) 
, нөхцөлийг хангаж байна 
;
б) 
, нөхцөлийг хангаж байна 
.
5. Тэгш бус байдлын бүх шийдийг ол:
A) ;
б) ;
V) 
;
G) 
;
г) 
.
6. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) ;
б) ;
V);
G) 
;
г);
e);
ба) 
.
7. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) 
;
б) ;
V);
G) .
8. Тэгш бус байдлыг шийд:
A) ;
б) ;
V);
G) 
;
г) 
;
e);
ба) 
;
h) .
Математикийн чиглэлээр суралцаж буй оюутнуудад 6, 7-р даалгавруудыг санал болгохыг зөвлөж байна дээшилсэн түвшин, даалгавар 8 - математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн сурагчдад зориулсан.
§3. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусгай аргууд
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргууд - өөрөөр хэлбэл зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох аргууд. Эдгээр аргууд нь тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах, түүнчлэн янз бүрийн тригонометрийн томьёо, таних тэмдгүүдийг ашиглахад суурилдаг.
3.1. Салбарын арга
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх секторын аргыг авч үзье. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх 
, ХаанаП
(
x
)
ТэгээдQ
(
x
)
– рационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхтэй адил рационал тригонометрийн функцууд (синус, косинус, тангенс ба котангенсууд нь рациональ байдлаар орно). Рационал тэгш бус байдлыг тоон шулуун дээрх интервалын аргыг ашиглан шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Рационал тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аналог нь тригонометрийн тойрог дахь секторуудын арга юм.синкс
Тэгээдcosx
(
) эсвэл тригонометрийн хагас тойрогtgx
Тэгээдctgx
(
).
Интервалын аргад хэлбэрийн тоо болон хуваагчийн шугаман хүчин зүйл бүрийг 
тооны тэнхлэг дээрх цэгтэй тохирч байна 
, мөн энэ цэгээр дамжин өнгөрөх үед тэмдгийг өөрчилдөг. Салбарын аргад маягтын хүчин зүйл бүр 
, Хаана 
- функцүүдийн нэгсинкс
эсвэлcosx
Тэгээд 
, тригонометрийн тойрогт тохирох хоёр өнцөг байна 
Тэгээд 
, энэ нь тойргийг хоёр секторт хуваадаг. Хажуугаар өнгөрөхдөө Тэгээд функц тэмдгийг өөрчилдөг.
Дараахь зүйлийг санаж байх ёстой.
a) Маягтын хүчин зүйлүүд 
Тэгээд 
, Хаана 
, бүх утгын тэмдгийг хадгална 
. Тоолуур ба хуваагчийн ийм хүчин зүйлийг өөрчлөх замаар устгана (хэрэв 
) ийм татгалзах бүрт тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
б) Маягтын хүчин зүйлүүд 
Тэгээд 
бас хаядаг. Түүнээс гадна, хэрэв эдгээр нь хуваагчийн хүчин зүйлүүд бол тэгш бус байдлын эквивалент системд хэлбэрийн тэгш бус байдлыг нэмнэ. 
Тэгээд 
. Хэрэв эдгээр нь тоологчийн хүчин зүйлүүд юм бол хязгаарлалтын эквивалент системд тэдгээр нь тэгш бус байдалд тохирно. Тэгээд хатуу анхны тэгш бус байдлын хувьд, мөн тэгш байдал 
Тэгээд 
хатуу бус анхны тэгш бус байдлын хувьд. Үржүүлэгчийг хаях үед 
эсвэл 
тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу байна.
Жишээ 1.
Тэгш бус байдлыг шийдэх: a) 
, б) 
.
Бидэнд b) функц байна. Бидэнд байгаа тэгш бус байдлыг шийд,
3.2. Төвлөрсөн тойрог арга
Энэ арга нь оновчтой тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх зэрэгцээ тооны тэнхлэгийн аргын аналог юм.
Тэгш бус байдлын системийн жишээг авч үзье.
Жишээ 5.
Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын системийг шийд 
Эхлээд бид тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийддэг (Зураг 5). Зургийн баруун дээд буланд бид тригонометрийн тойргийг аль аргументыг авч үзэхийг зааж өгнө.
Зураг 5
Дараа нь бид аргументийн төвлөрсөн тойргийн системийг бий болгодогX . Бид тойрог зурж, эхний тэгш бус байдлын шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь илүү том радиустай тойрог зурж, хоёр дахь шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь бид гурав дахь тэгш бус байдлын тойрог ба суурийн тойрог байгуулна. Бид системийн төвөөс нумануудын төгсгөлд туяа татдаг бөгөөд ингэснээр тэдгээр нь бүх тойрогтой огтлолцдог. Бид үндсэн тойрог дээр уусмал үүсгэдэг (Зураг 6).
Зураг 6
Хариулт:
, 
.
Дүгнэлт
Хичээлийн судалгааны бүх зорилго биелсэн. Онолын материалыг системчилсэн: тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд ба тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг (график, алгебр, интервалын арга, сектор ба төвлөрсөн тойргийн арга) өгсөн болно. Арга тус бүрт тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгсөн. Онолын хэсгийн дараа практик хэсэг байв. Энэ нь тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх олон даалгавруудыг агуулдаг.
Энэхүү сургалтын ажлыг оюутнууд ашиглах боломжтой бие даасан ажил. Сургуулийн сурагчид энэ сэдвийг эзэмшсэн түвшинг шалгаж, янз бүрийн нарийн төвөгтэй даалгавруудыг гүйцэтгэх дадлага хийх боломжтой.
Энэ асуудлын талаархи холбогдох уран зохиолыг судалсны дараа бид сургуулийн алгебр, анхан шатны шинжилгээний хичээлд тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар, ур чадвар маш чухал бөгөөд үүнийг хөгжүүлэх нь математикийн багшаас ихээхэн хүчин чармайлт шаарддаг гэж бид дүгнэж болно.
Тийм ч учраас энэ ажил"Тригонометрийн тэгш бус байдал" сэдвээр оюутнуудын сургалтыг үр дүнтэй зохион байгуулах боломжийг олгодог тул математикийн багш нарт хэрэгтэй болно.
Судалгааг эцсийн мэргэшлийн ажил болгон өргөжүүлэх замаар үргэлжлүүлж болно.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт
Богомолов, Н.В. Математикийн асуудлын цуглуулга [Текст] / N.V. Богомолов. – М .: тоодог, 2009. – 206 х.
Выгодский, М.Я. Анхан шатны математикийн гарын авлага [Текст] / М.Я. Выгодский. – М .: тоодог, 2006. – 509 х.
Журбенко, Л.Н. Жишээ ба бодлого дахь математик [Текст] / Л.Н. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 х.
Иванов, О.А. Сургуулийн сурагчид, оюутнууд, багш нарт зориулсан бага ангийн математик [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 х.
Карп, А.П. 11-р ангид эцсийн давталт, баталгаажуулалтыг зохион байгуулах алгебрийн талаархи даалгавар, шинжилгээний эхлэл [Текст] / A.P. Carp. – М.: Боловсрол, 2005. – 79 х.
Куланин, Э.Д. Математикийн 3000 уралдааны бодлого [Текст] / Э.Д. Куланин. – М.: Iris-press, 2007. – 624 х.
Лейбсон, К.Л. Цуглуулга практик даалгаварматематикийн чиглэлээр [Текст] / K.L. Лейбсон. – М .: тоодог, 2010. – 182 х.
Тохой, V.V. Параметрүүдтэй холбоотой асуудлууд ба тэдгээрийн шийдэл. Тригонометр: тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем. 10-р анги [Текст] / V.V. Тохой. – М.: АРКТИ, 2008. – 64 х.
Манова, А.Н. Математик. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх экспресс багш: оюутан. гарын авлага [Текст] / A.N. Манова. – Ростов-на-Дону: Финикс, 2012. – 541 х.
Мордкович, А.Г. Алгебр ба математик анализын эхлэл. 10-11 анги. Оюутнуудад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд[Текст] / A.G. Мордкович. – М.: Iris-press, 2009. – 201 х.
Новиков, А.И. Тригонометрийн функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / A.I. Новиков. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 260 х.
Оганесян, В.А. Математик заах арга зүй ахлах сургууль: Ерөнхий техник. Сурах бичиг физикийн оюутнуудад зориулсан гарын авлага - дэвсгэр. хуурамч. ped. Инст. [Текст] / V.A. Оганесян. – М.: Боловсрол, 2006. – 368 х.
Оленик, С.Н. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Стандарт бус шийдлийн аргууд [Текст] / С.Н. Оленик. – М.: Факториал хэвлэлийн газар, 1997. – 219 х.
Севрюков, П.Ф. Тригонометрийн, экспоненциал ба логарифм тэгшитгэлба тэгш бус байдал [Текст] / P.F. Севрюков. – М.: Ардын боловсрол, 2008. – 352 х.
Сергеев, I.N. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн хариулт, шийдэл бүхий 1000 бодлого. C бүлгийн бүх даалгавар [Текст] / I.N. Сергеев. – М.: Шалгалт, 2012. – 301 х.
Соболев, А.Б. Анхан шатны математик [Текст] / А.Б. Соболев. – Екатеринбург: Дээд мэргэжлийн боловсролын улсын боловсролын байгууллага USTU-UPI, 2005. – 81 х.
Фенко, Л.М. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, функцийг судлах интервалын арга [Текст] / L.M. Фенко. – М .: тоодог, 2005. – 124 х.
Фридман, Л.М. Онолын үндэслэлМатематик заах арга [Текст] / Л.М. Фридман. – М.: “ЛИБРОКОМ” номын өргөө, 2009. – 248 х.
Хавсралт 1
Энгийн тэгш бус байдлын шийдлийн график тайлбар
Цагаан будаа. 1
Цагаан будаа. 2
Зураг 3
Зураг 4
Зураг 5
Зураг 6
Зураг 7
Зураг 8
Хавсралт 2
Энгийн тэгш бус байдлын шийдэл
“Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх” алгебрийн төсөл Гүйцэтгэсэн 10 “Б” ангийн сурагч Казачкова Юлия Удирдагч: математикийн багш Кочакова Н.Н.
Зорилго "Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь" сэдвээр материалыг нэгтгэж, оюутнуудад удахгүй болох шалгалтанд бэлтгэх сануулга бий болгох.
Зорилго: Энэ сэдвээрх материалыг нэгтгэн дүгнэх. Хүлээн авсан мэдээллийг системчлэх. Улсын нэгдсэн шалгалтанд энэ сэдвийг авч үзье.
Хамааралтай байдал Миний сонгосон сэдвийн хамаарал нь "Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх" сэдвийн даалгавруудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт багтаасан явдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдал Тэгш бус байдал нь хоёр тоо буюу илэрхийллийг дараах тэмдгүүдийн аль нэгээр нь холбосон хамаарлыг хэлнэ: (илүү их); ≥ (илүү их эсвэл тэнцүү). Тригонометрийн тэгш бус байдал нь тригонометрийн функцуудыг хамарсан тэгш бус байдал юм.
Тригонометрийн тэгш бус байдал Тригонометрийн функц агуулсан тэгш бус байдлын шийдийг дүрмээр бол син x>a, sin x хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгш бус байдлын шийдэл болгон бууруулна. a, cos x a, tg x a,ctg x
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм Өгөгдсөн тригонометрийн функцтэй харгалзах тэнхлэг дээр үүнийг тэмдэглэ. тоон утгаэнэ функц. Нэгж тойргийг огтолж буй тэмдэглэсэн цэгээр шугам зур. Шугаман ба тойргийн огтлолцлын цэгүүдийг хатуу эсвэл хатуу бус тэгш бус байдлын тэмдгийг харгалзан сонгоно. Тэгш бус байдлын шийдүүд байрлах тойргийн нумыг сонго. Дугуй нумын эхлэл ба төгсгөлийн өнцгийн утгыг тодорхойлно. Өгөгдсөн тригонометрийн функцийн үечлэлийг харгалзан тэгш бус байдлын шийдийг бич.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх томьёо sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). синкс a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл sinx >a
Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл sinx Тригонометрийн үндсэн тэгш бус байдлын график шийдэл cosx >a Тригонометрийн үндсэн тэгш бус байдлын график шийдэл cosx Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл tgx >a Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл tgx Үндсэн тригонометрийн тэгш бус байдлын график шийдэл ctgx >a
Асаалттай практик хичээлБид "Тригонометр" сэдвийн үндсэн төрлийн даалгавруудыг давтаж, нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй асуудлуудад нэмэлт дүн шинжилгээ хийж, янз бүрийн тригонометрийн тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх болно.
Энэ хичээл нь B5, B7, C1, C3 төрлийн даалгавруудын аль нэгэнд бэлтгэхэд тусална.
"Тригонометр" сэдвээр бидний үзсэн үндсэн төрлийн даалгавруудыг судалж, стандарт бус хэд хэдэн асуудлыг шийдэж эхэлцгээе.
Даалгавар №1. Өнцгийг радиан ба градус болгон хувиргах: a) ; б) .
a) градусыг радиан болгон хувиргах томъёог ашиглая
Түүнд заасан утгыг орлуулъя.
б) Радианыг градус болгон хувиргах томъёог хэрэглэнэ
Орлуулах ажлыг хийцгээе 
.
Хариулах. A) ; б) .
Даалгавар №2. Тооцоолох: a) ; б) .
a) Өнцөг нь хүснэгтээс хол давсан тул синусын үеийг хасах замаар үүнийг багасгах болно. Учир нь Өнцгийг радианаар зааж өгсөн бол бид үеийг .
б) Энэ тохиолдолд нөхцөл байдал ижил байна. Өнцгийг градусаар зааж өгсөн тул шүргэгчийн үеийг .
Үүссэн өнцөг нь тухайн үеийнхээс бага боловч илүү том бөгөөд энэ нь үндсэн хэсэгт хамаарахаа больсон, харин хүснэгтийн өргөтгөсөн хэсгийг илэрхийлнэ гэсэн үг юм. Тригофункцийн утгын өргөтгөсөн хүснэгтийг цээжилж санах ойгоо дахин сургахгүйн тулд шүргэгч үеийг дахин хасъя.
Бид шүргэгч функцийн сондгой байдлыг ашигласан.
Хариулах. a) 1; б) .
Даалгавар №3. Тооцоол 
, Хэрэв .
Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг -д хуваах замаар илэрхийллийг бүхэлд нь шүргэгч болгон бууруулъя. Үүний зэрэгцээ бид үүнээс айж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд шүргэгч утга байхгүй болно.
Даалгавар No4. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
Заасан илэрхийлэлүүдийг багасгах томъёог ашиглан хөрвүүлдэг. Тэдгээрийг градус ашиглан ер бусын байдлаар бичдэг. Эхний илэрхийлэл нь ерөнхийдөө тоог илэрхийлдэг. Бүх тригофункцуудыг нэг нэгээр нь хялбарчилж үзье.
Учир нь , дараа нь функц нь кофункц болж өөрчлөгдөнө, өөрөөр хэлбэл. котангенс руу орох ба өнцөг нь хоёр дахь хэсэгт ордог бөгөөд анхны шүргэгч нь сөрөг тэмдэгтэй байдаг.
Өмнөх илэрхийлэлтэй ижил шалтгааны улмаас функц нь кофункц болж өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл. котангенс руу орох ба өнцөг нь анхны шүргэгч эерэг тэмдэгтэй эхний улиралд ордог.
Бүгдийг хялбаршуулсан илэрхийлэл болгон орлъё:
Асуудал №5. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.
Давхар өнцгийн тангенсыг тохирох томьёогоор бичиж, илэрхийллийг хялбаршуулъя.
Сүүлийн таних тэмдэг нь косинусыг орлуулах бүх нийтийн томъёоны нэг юм.
Асуудал №6. Тооцоол.
Гол нь илэрхийлэл нь тэнцүү гэсэн хариулт өгөхгүй стандарт алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Хажууд нь хоёр хэлбэртэй хүчин зүйл байгаа бол та арктангентын үндсэн шинж чанарыг ашиглах боломжгүй. Үүнээс салахын тулд бид давхар өнцгийн тангенсийн томъёоны дагуу илэрхийлэлийг энгийн аргумент гэж авч үзэх болно.
Одоо бид арктангентын үндсэн шинж чанарыг ашиглаж болно; түүний тоон үр дүнд ямар ч хязгаарлалт байхгүй гэдгийг санаарай.
Асуудал №7. Тэгшитгэлийг шийд.
Тэгтэй тэнцүү бутархай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тоологчийг үргэлж заадаг. тэгтэй тэнцүү, харин хуваагч нь биш, учир нь Та тэгээр хувааж болохгүй.
Эхний тэгшитгэл нь тригонометрийн тойрог ашиглан шийдэж болох хамгийн энгийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол юм. Энэ шийдлийг өөрөө санаарай. Хоёр дахь тэгш бус байдлыг шүргэгчийн язгуурын ерөнхий томъёог ашиглан хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон шийддэг, гэхдээ зөвхөн тэнцүү биш тэмдэгтэй.
Бидний харж байгаагаар язгуурын нэг гэр бүл нь тэгшитгэлийг хангаагүй яг ижил төрлийн язгуурын өөр гэр бүлийг оруулаагүй болно. Тэдгээр. үндэс байхгүй.
Хариулах. Үндэс байхгүй.
Асуудал №8. Тэгшитгэлийг шийд.
Бид нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж, үүнийг хийцгээе гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе.
Тэгшитгэлийг хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх стандарт хэлбэрүүдийн аль нэг болгон бууруулсан. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь эсвэл гурав дахь нь гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Үүнийг тэгшитгэлийн багц хэлбэрээр бичье.
Эхний хоёр тэгшитгэл нь хамгийн энгийн хувилбаруудын онцгой тохиолдлууд бөгөөд бид ижил төстэй тэгшитгэлүүдтэй олон удаа тулгарсан тул тэдгээрийн шийдлийг нэн даруй зааж өгөх болно. Гурав дахь тэгшитгэлийг давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан нэг функц болгон бууруулна.
Сүүлийн тэгшитгэлийг тусад нь шийдье:
Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй, учир нь синус утга нь хэтэрч болохгүй 
.
Тиймээс шийдэл нь зөвхөн эхний хоёр үндэс гэр бүл бөгөөд тэдгээрийг нэг болгон нэгтгэж болох бөгөөд үүнийг тригонометрийн тойрог дээр харуулахад хялбар байдаг.
 |
Энэ бол бүх хагасын гэр бүл, өөрөөр хэлбэл.
Тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийг үргэлжлүүлье. Нэгдүгээрт, бид ерөнхий шийдлийн томъёог ашиглахгүйгээр, харин тригонометрийн тойрог ашиглан жишээг шийдвэрлэх арга барилд дүн шинжилгээ хийх болно.
Асуудал №9. Тэгш бус байдлыг шийдэх.
Тригонометрийн тойрог дээр -тэй тэнцүү синусын утгатай тохирох туслах шугамыг зурж, тэгш бус байдлыг хангах өнцгийн мужийг харуулъя.
 |
Үүссэн өнцгийн интервалыг хэрхэн яаж зааж өгөхийг ойлгох нь маш чухал юм. түүний эхлэл юу вэ, төгсгөл нь юу вэ. Интервалын эхлэл нь бид цагийн зүүний эсрэг хөдөлвөл интервалын хамгийн эхэнд орох цэгтэй тохирох өнцөг байх болно. Манай тохиолдолд энэ нь зүүн талд байгаа цэг юм, учир нь цагийн зүүний эсрэг хөдөлж, зөв цэгийг өнгөрөөхөд бид эсрэгээр шаардлагатай өнцгийн хүрээг үлдээдэг. Тиймээс зөв цэг нь цоорхойн төгсгөлтэй тохирч байх болно.
Одоо бид тэгш бус байдлын шийдлийн интервалын эхлэл ба төгсгөлийн өнцгийг ойлгох хэрэгтэй. Ердийн алдаа бол баруун цэг нь өнцөг, зүүн талтай тохирч байгааг нэн даруй зааж, хариултыг өгөх явдал юм. Энэ үнэн биш! Бид тойргийн дээд хэсэгт харгалзах интервалыг зааж өгсөн боловч доод хэсгийг сонирхож байгаа, өөрөөр хэлбэл бидэнд хэрэгтэй уусмалын интервалын эхлэл ба төгсгөлийг хольсон гэдгийг анхаарна уу.
Интервал баруун цэгийн булангаас эхэлж, зүүн цэгийн булангаар дуусахын тулд эхний заасан өнцөг нь хоёр дахь өнцөгөөс бага байх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид зөв цэгийн өнцгийг лавлагааны сөрөг чиглэлд хэмжих шаардлагатай болно, жишээлбэл. цагийн зүүний дагуу ба энэ нь тэнцүү байх болно. Дараа нь түүнээс цагийн зүүний дагуу эерэг чиглэлд хөдөлж эхэлснээр бид зүүн цэгийн дараа баруун цэг рүү хүрч, түүний өнцгийн утгыг авна. Одоо өнцгийн интервалын эхлэл төгсгөлөөс бага байгаа бөгөөд бид үеийг харгалзахгүйгээр шийдлийн интервалыг бичиж болно.
Ийм интервалууд нь бүхэл тооны эргэлтийн дараа хязгааргүй олон удаа давтагдана гэдгийг харгалзан бид синусын үеийг харгалзан ерөнхий шийдлийг олж авна.
Тэгш бус байдал нь хатуу тул бид хаалт хийж, тойрог дээрх интервалын төгсгөлд тохирох цэгүүдийг сонгоно.
Хүлээн авсан хариултаа бидний лекцэнд өгсөн ерөнхий шийдлийн томъёотой харьцуул.
Хариулах. 
.
Энэ арга нь хамгийн энгийн тригон тэгш бус байдлын ерөнхий шийдлүүдийн томъёо хаанаас гарсныг ойлгоход тохиромжтой. Нэмж дурдахад, эдгээр бүх төвөгтэй томъёог сурахаас залхуурдаг хүмүүст ашигтай байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ арга нь өөрөө тийм ч хялбар биш тул шийдэлд аль хандлагыг сонгох нь танд хамгийн тохиромжтой.
Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд та нэгж тойрог ашиглан үзүүлсэн аргатай адил туслах шугамыг барьсан функцүүдийн графикийг ашиглаж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол шийдлийн энэ аргыг өөрөө олж мэдээрэй. Цаашид бид ашиглах болно ерөнхий томъёоэнгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан.
Асуудал №10. Тэгш бус байдлыг шийдэх.
Тэгш бус байдал нь хатуу биш гэдгийг харгалзан ерөнхий шийдлийн томъёог ашиглацгаая.
Манай тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна.
Хариулах. 
Асуудал №11. Тэгш бус байдлыг шийдэх.
Харгалзах хатуу тэгш бус байдлын ерөнхий шийдлийн томъёог ашиглая:
Хариулах. 
.
Асуудал №12. Тэгш бус байдлыг шийдэх: a) ; б) .
Эдгээр тэгш бус байдлын хувьд ерөнхий шийдэл эсвэл тригонометрийн тойргийн томъёог ашиглах гэж яарах шаардлагагүй, синус ба косинусын утгын хүрээг санахад л хангалттай.
a) Түүнээс хойш 
, тэгвэл тэгш бус байдал нь утгагүй болно. Тиймээс ямар ч шийдэл байхгүй.
б) Учир нь үүнтэй адилаар аливаа аргументийн синус нь тухайн нөхцөлд заасан тэгш бус байдлыг хангадаг. Тиймээс аргументийн бүх бодит утга нь тэгш бус байдлыг хангаж байна.
Хариулах. а) шийдэл байхгүй; б) .
Асуудал 13. Тэгш бус байдлыг шийдэх 
.
