Онолын доод хэмжээ

Онолын хувьд дифференциал тэгшитгэлЭнэ онолын хувьд нэлээн өндөр нийтлэг шинж чанартай гэж үздэг арга байдаг.
Бид янз бүрийн ангиллын дифференциал тэгшитгэл, тэдгээрийн шийдлийг шийдвэрлэхэд хамаарах дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын тухай ярьж байна.
системүүд Хэрэв бид мэдэгдлийн нотолгоог хаалтнаас гаргаж авбал онол нь хамгийн бага боловч бидэнд хүрэх боломжийг олгодог тохиолдолд яг ийм тохиолдол гардаг.
мэдэгдэхүйц үр дүнд хүрсэн тул жишээн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Аргын ерөнхий санааг томъёолоход маш энгийн. Болъё өгөгдсөн тэгшитгэл(тэгшитгэлийн систем) нь шийдвэрлэхэд хэцүү эсвэл бүрэн ойлгомжгүй,
яаж шийдэх вэ. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлээс зарим нэр томъёог хассанаар энэ нь шийдэгдэх нь тодорхой байна. Дараа нь тэд үүнийг хялбаршуулсан байдлаар шийддэг
тэгшитгэл (систем), бид тэгшитгэлийн дарааллаас хамааран тодорхой тооны дурын тогтмолуудыг агуулсан шийдлийг олж авдаг.
систем дэх тэгшитгэл). Дараа нь олсон шийдэл дэх тогтмолууд нь бодитой тогтмол биш, олсон шийдэл гэж үздэг
анхны тэгшитгэлд (системд) орлуулснаар "тогтмол" -ыг тодорхойлох дифференциал тэгшитгэл (эсвэл тэгшитгэлийн систем) -ийг олж авна.
Төрөл бүрийн асуудалд дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэхэд тодорхой онцлог байдаг боловч эдгээр нь аль хэдийн тодорхой болсон.
жишээгээр харуулсан.

Илүү өндөр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг тусад нь авч үзье. хэлбэрийн тэгшитгэл
.
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба тодорхой шийдийн ерөнхий шийдийн нийлбэр юм.
энэ тэгшитгэлийн. Ингэж жүжиглэе нийтлэг шийдвэрнэгэн төрлийн тэгшитгэл аль хэдийн олдсон, тухайлбал, баригдсан үндсэн системшийдэл (FSR)
. Тэгвэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь тэнцүү байна.
Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох хэрэгтэй. Энэ зорилгоор тогтмолуудыг хувьсагчаас хамааралтай гэж үздэг.
Дараа нь та тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй
.
Онол нь энэ системийг баталгаажуулдаг алгебрийн тэгшитгэлФункцийн деривативын хувьд өвөрмөц шийдэл байдаг.
Функцуудыг өөрөө олоход интеграцийн тогтмолууд гарч ирэхгүй: эцэст нь ямар ч шийдлийг хайж байна.

Маягтын шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тохиолдолд

алгоритм нь бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Эхлээд та тохирох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн FSR-ийг олж, үндсэн матрицыг бүрдүүлэх хэрэгтэй.
систем, баганууд нь FSR-ийн элементүүдийг төлөөлдөг. Дараа нь тэгшитгэлийг зурна
.
Системийг шийдэхдээ бид функцуудыг тодорхойлдог бөгөөд ингэснээр анхны системийн тодорхой шийдлийг олдог
(үндсэн матрицыг олсон функцуудын баганаар үржүүлнэ).
Бид үүнийг аль хэдийн олдсон FSR-ийн үндсэн дээр бүтээгдсэн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн холбогдох системийн ерөнхий шийдэлд нэмнэ.
Анхны системийн ерөнхий шийдлийг олж авна.

Жишээ.

Жишээ 1. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл.

Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье (бид хүссэн функцийг илэрхийлнэ):
.
Энэ тэгшитгэлийг хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан хялбархан шийдэж болно.

.
Одоо анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр төсөөлцгөөе , функц хараахан олдоогүй байна.
Бид энэ төрлийн шийдлийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.
.
Таны харж байгаагаар зүүн талд байгаа хоёр ба гурав дахь нөхцлүүд бие биенээ үгүйсгэдэг - энэ бол онцлогдурын тогтмолыг өөрчлөх арга.

Энд аль хэдийн үнэхээр дурын тогтмол байна. Тиймээс,
.

Жишээ 2. Бернуллигийн тэгшитгэл.

Бид эхний жишээтэй ижил төстэй үйл ажиллагаа явуулдаг - бид тэгшитгэлийг шийддэг

хувьсагчдыг салгах арга. Энэ нь болж хувирсан тул бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж байна
.
Бид энэ функцийг анхны тэгшитгэлд орлуулна.
.
Мөн дахин бууралт гарч байна:
.
Энд та уусмалаар хуваахдаа алдагдахгүй гэдгийг санах хэрэгтэй. Мөн анхны шийдэл нь тухайн хэрэгт тохирно
тэгшитгэл Үүнийг санацгаая. Тэгэхээр,
.
Үүнийг бичээд үзье.
Энэ бол шийдэл юм. Хариултыг бичихдээ та өмнө нь олсон шийдлийг зааж өгөх ёстой, учир нь энэ нь эцсийн утгатай тохирохгүй байна
тогтмолууд

Жишээ 3. Дээд зэрэглэлийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл.

Энэ тэгшитгэлийг илүү хялбар шийдэж болох боловч үүнийг ашиглах аргыг харуулах нь тохиромжтой гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Хэдийгээр зарим давуу талтай
Вариацын арга нь энэ жишээнд мөн дурын тогтмол утгатай байна.
Тиймээс, та тохирох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн FSR-ээс эхлэх хэрэгтэй. FSR-ийг олохын тулд шинж чанарын муруйг эмхэтгэдэг гэдгийг санацгаая
тэгшитгэл
.
Ийнхүү нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл
.
Энд орсон тогтмолууд нь янз бүр байх ёстой. Систем бүрдүүлэх

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга буюу Лагранжийн арга нь нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл болон Бернулли тэгшитгэлийг шийдвэрлэх өөр нэг арга юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь y’+p(x)y=q(x) хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Хэрэв баруун талд тэг байвал: y’+p(x)y=0, энэ нь шугаман байна. нэгэн төрлийн 1-р эрэмбийн тэгшитгэл. Үүний дагуу y’+p(x)y=q(x) нь тэг биш баруун талтай тэгшитгэл болно. гетероген 1-р эрэмбийн шугаман тэгшитгэл.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга (Лагранж арга) дараах байдалтай байна:

1) Бид y’+p(x)y=0: y=y* нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна.

2) Ерөнхий шийдэлд бид C-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үздэг: C = C (x). Бид ерөнхий шийдлийн деривативыг (y*)’ олж, үүссэн илэрхийлэлийг y* ба (y*)’-г эхний нөхцөлд орлуулна. Үүссэн тэгшитгэлээс бид C(x) функцийг олно.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд С-ийн оронд олсон C(x) илэрхийллийг орлуулна.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын жишээг авч үзье. Үүнтэй ижил даалгавруудыг авч, шийдлийн явцыг харьцуулж, олж авсан хариултууд нь давхцаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

1) y’=3x-y/x

Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичье (Бернуллигийн аргаас ялгаатай нь тэгшитгэл нь шугаман байгааг харахын тулд тэмдэглэгээ хийх шаардлагатай байсан).

y’+y/x=3x (I). Одоо бид төлөвлөгөөний дагуу явж байна.

1) y’+y/x=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. y’=dy/dx гэж төсөөлөөд үз дээ, орлуулах: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, xy≠0-д хуваана: dy/y=-dx/x. Нэгтгэцгээе:

2) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн үр дүнд гарсан ерөнхий шийдэлд бид С-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үзнэ: C=C(x). Эндээс

Бид үүссэн илэрхийллийг нөхцөл (I) болгон орлуулна:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:

энд C аль хэдийн шинэ тогтмол байна.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн y=C/x ерөнхий шийдэлд C=C(x), өөрөөр хэлбэл y=C(x)/x гэж үзсэн C(x)-ын оронд олсон x³ илэрхийллийг орлуулна. +C: y=(x³ +C)/x эсвэл y=x²+C/x. Бид Бернуллигийн аргаар шийдвэрлэхтэй ижил хариулт авсан.

Хариулт: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Энд тэгшитгэл нь аль хэдийн стандарт хэлбэрээр бичигдсэн тул хувиргах шаардлагагүй.

1) y’+y=0 нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийг шийд: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Нэгтгэцгээе:

Тэмдэглэгээний илүү тохиромжтой хэлбэрийг олж авахын тулд бид C-ийн хүчийг шинэ С гэж авна.

Деривативыг олоход илүү хялбар болгох үүднээс энэхүү хувиргалтыг хийсэн.

2) Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн үр дүнд гарсан ерөнхий шийдэлд бид С-г тогтмол биш, харин х-ийн функц гэж үзнэ: C=C(x). Энэ нөхцөлд

Бид үүссэн y ба y' илэрхийллийг дараах нөхцөлд орлуулна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ

Хэсгийн интеграцийн томъёог ашиглан тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Энд C нь функц байхаа больсон, энгийн тогтмол юм.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд

олсон C(x) функцийг орлуулах:

Бид Бернуллигийн аргаар шийдвэрлэхтэй ижил хариулт авсан.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг мөн шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

y'x+y=-xy².

Бид тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулав: y’+y/x=-y² (II).

1) y’+y/x=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. dy/dx=-y/x. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, у-д хуваана: dy/y=-dx/x. Одоо нэгтгэж үзье:

Бид үүссэн илэрхийллийг нөхцөл (II) болгон орлуулна:

Хялбарчилъя:

Бид C ба x-ийн хувьд салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авлаа.

Энд C аль хэдийн энгийн тогтмол байна. Интегралчлалын явцад тэмдэглэгээг хэт ачаалахгүйн тулд бид C(x)-ийн оронд зүгээр л С гэж бичсэн. Эцэст нь бид C(x)-г шинэ С-тэй андуурахгүйн тулд C(x) руу буцлаа.

3) Нэг төрлийн y=C(x)/x тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд олдсон C(x) функцийг орлуулна:

Бид Бернулли аргыг ашиглан шийдэхтэй ижил хариулт авсан.

Өөрийгөө шалгах жишээ:

1. Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичье: y’-2y=x.

1) y’-2y=0 нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийд. y’=dy/dx, тэгэхээр dy/dx=2y, тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, у-д хувааж, интегралчил:

Эндээс бид y-г олно:

Бид y ба y’-ийн илэрхийллүүдийг нөхцөл байдалд орлуулна (товчлохын тулд бид C(x)-ийн оронд C, C"(x)-ийн оронд C'-г ашиглана):

Баруун талд байгаа интегралыг олохын тулд бид хэсгүүдийн интегралын томъёог ашиглана:

Одоо бид u, du, v-г томъёонд орлуулна.

Энд C =const.

3) Одоо бид нэгэн төрлийн уусмалыг уусмалд орлуулж байна

Одоо шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье
. (2)
y 1 ,y 2 ,.., y n шийдлийн суурь систем, харгалзах нэгэн төрлийн L(y)=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байг. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн нэгэн адил бид (2) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно.
. (3)
Энэ хэлбэрийн шийдэл байгаа эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийг тэгшитгэлд орлуулна. Энэ функцийг тэгшитгэлд орлуулахын тулд бид түүний деривативуудыг олно. Эхний дериватив нь тэнцүү байна
. (4)
Хоёрдахь деривативыг тооцохдоо (4)-ийн баруун талд дөрвөн гишүүн, гурав дахь деривативыг тооцоход найман гишүүн байх гэх мэт. Тиймээс цаашдын тооцоололд хялбар болгох үүднээс (4)-ийн эхний гишүүнийг авч үзнэ тэгтэй тэнцүү. Үүнийг харгалзан үзвэл хоёр дахь дериватив нь тэнцүү байна
. (5)
Өмнөхтэй ижил шалтгаанаар (5)-д бид эхний гишүүнийг тэгтэй тэнцүү болгосон. Эцэст нь, n-р деривативтэнцүү
. (6)
Гарсан үүсмэл утгуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар бид байна
. (7)
y j , j=1,2,...,n функцууд нь харгалзах нэгэн төрлийн L(y)=0 тэгшитгэлийн шийдэл тул (7)-ын хоёр дахь гишүүн тэгтэй тэнцүү байна. Өмнөхтэй хослуулснаар бид C" j (x) функцийг олох алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
(8)
Энэ системийн тодорхойлогч нь L(y)=0 харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн y 1 ,y 2 ,..,y n шийдлүүдийн үндсэн системийн Вронски тодорхойлогч тул тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс (8) системд өвөрмөц шийдэл бий. Үүнийг олсны дараа бид C" j (x), j=1,2,…,n, улмаар C j (x), j=1,2,...,n функцуудыг олж авах болно. (3) бид шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг олж авна.
Энэ аргыг дурын тогтмолыг өөрчлөх арга эсвэл Лагранжийн арга гэж нэрлэдэг.

Жишээ №1. y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. Харгалзах нэгэн төрлийн y"" + 4y" + 3y = 0 тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд r 2 + 4r + 3 = 0 нь -1 ба - 3-тай тэнцүү байна. Иймд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем нь y 1 = e - x, y 2 = e -3 x функцуудаас бүрдэнэ. Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x хэлбэрээр хайж байна. C" 1 , C" 2 деривативуудыг олохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлнэ (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
шийдвэрлэх, бид олох , Олж авсан функцүүдийг нэгтгэх, бид байна
Эцэст нь бид авдаг

Жишээ №2. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглан шийд.

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Шийдэл:
Энэ дифференциал тэгшитгэл нь тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийг хэлнэ.
Бид тэгшитгэлийн шийдлийг y = e rx хэлбэрээр хайх болно. Үүнийг хийхийн тулд бид тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийг байгуулна.
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс: r 1 = 4, r 2 = 2
Үүний үр дүнд шийдлүүдийн үндсэн систем нь: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x гэсэн функцүүдээс бүрдэнэ.
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y =C 1 e 4x +C 2 e 2x хэлбэртэй байна.
Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргаар тодорхой шийдлийг хайх.
C" i-ийн деривативуудыг олохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг байгуулна.
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Эхний тэгшитгэлээс C" 1-ийг илэрхийлье.
C" 1 = -c 2 e -2x
мөн үүнийг хоёр дахь нь орлуулах. Үүний үр дүнд бид:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Бид олж авсан функцүүдийг нэгтгэдэг C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x тул үүссэн илэрхийллүүдийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
эсвэл
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Дараах нөхцөлийн дагуу тодорхой шийдлийг олцгооё.
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Олдсон тэгшитгэлд x = 0-ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Бид олж авсан ерөнхий шийдлийн эхний деривативыг олно.
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0-ийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Бид хоёр тэгшитгэлийн системийг авна.
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
эсвэл
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
эсвэл
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Эндээс: C 1 = 0, C * 2 = 2
Хувийн шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Тогтмол коэффициент бүхий дээд эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргаар шийдвэрлэх аргыг авч үзсэн. Лагранжийн арга нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем нь мэдэгдэж байгаа бол шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд мөн хамаарна.

Агуулга

Мөн үзнэ үү:

Лагранжийн арга (тогтмолуудын өөрчлөлт)

Дурын n-р эрэмбийн тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд бидний авч үзсэн тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх арга нь дээд эрэмбийн тэгшитгэлд мөн хамаарна.

Уусмалыг хоёр үе шаттайгаар явуулдаг. Эхний алхамд бид баруун талыг нь хаяж, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ. Үүний үр дүнд бид n дурын тогтмолыг агуулсан шийдлийг олж авна. Хоёр дахь шатанд бид тогтмолуудыг өөрчилдөг. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр тогтмолууд нь x бие даасан хувьсагчийн функцууд бөгөөд эдгээр функцүүдийн хэлбэрийг олдог гэж бид үзэж байна.

Хэдийгээр бид энд тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлийг авч үзэж байна, гэхдээ Лагранжийн арга нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бас тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн үндсэн системийг мэддэг байх ёстой.

Алхам 1. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн нэгэн адил бид эхлээд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж, баруун талын нэг төрлийн бус талыг тэгтэй тэнцүүлнэ.
(2) .
Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
(3) .
Энд дурын тогтмолууд байна; - Нэг төрлийн тэгшитгэлийн (2) шугаман бие даасан n шийдлүүд нь энэ тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг.

Алхам 2. Тогтмолуудын өөрчлөлт - тогтмолыг функцээр солих

Хоёр дахь шатанд бид тогтмолуудын өөрчлөлтийг авч үзэх болно. Өөрөөр хэлбэл, бид тогтмолуудыг бие даасан x хувьсагчийн функцээр солих болно.
.
Өөрөөр хэлбэл, бид анхны тэгшитгэлийн (1) шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
(4) .

Хэрэв бид (4)-г (1) орлуулбал n функцийн нэг дифференциал тэгшитгэлийг авна. Энэ тохиолдолд бид эдгээр функцийг нэмэлт тэгшитгэлээр холбож болно. Дараа нь та n функцийг тодорхойлж болох n тэгшитгэл авна. Нэмэлт тэгшитгэл бичиж болно янз бүрийн арга замууд. Гэхдээ шийдэл нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байхын тулд бид үүнийг хийх болно. Үүнийг хийхийн тулд ялгахдаа функцүүдийн дериватив агуулсан нэр томъёог тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Үүнийг харуулъя.

Санал болгож буй шийдлийг (4) анхны тэгшитгэлд (1) орлуулахын тулд (4) хэлбэрээр бичсэн функцийн эхний n дарааллын деривативуудыг олох хэрэгтэй. Бид нийлбэр ба бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглан (4) ялгадаг.
.
Гишүүдээ бүлэглэе. Эхлээд бид -ийн деривативтай нэр томъёог, дараа нь -ийн деривативтэй нэр томъёог бичнэ.

.
Функцүүдэд эхний нөхцөлийг тавьцгаая.
(5.1) .
Дараа нь анхны деривативын илэрхийлэл нь илүү энгийн хэлбэртэй байна:
(6.1) .

Үүнтэй ижил аргыг ашиглан бид хоёр дахь деривативыг олно.

.
Функцүүдэд хоёрдахь нөхцөлийг тавья:
(5.2) .
Дараа нь
(6.2) .
гэх мэт. Нэмэлт нөхцөлд функцийн дериватив агуулсан нэр томъёог тэгтэй тэнцүүлнэ.

Тиймээс, хэрэв бид функцүүдэд дараах нэмэлт тэгшитгэлийг сонговол:
(5.k) ,
Дараа нь анхны деривативууд хамгийн энгийн хэлбэртэй байна:
(6.k) .
Энд.

n-р деривативыг ол:
(6.н)
.

Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу (1):
(1) ;






.
Бүх функцууд (2) тэгшитгэлийг хангаж байгааг анхаарч үзээрэй.
.
Дараа нь тэг агуулсан нөхцлийн нийлбэр нь тэгийг өгдөг. Үүний үр дүнд бид:
(7) .

Үүний үр дүнд бид деривативын шугаман тэгшитгэлийн системийг хүлээн авлаа.
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Энэ системийг шийдэж бид деривативуудын илэрхийлэлийг х-ийн функцээр олно. Интеграцчилснаар бид дараахь зүйлийг авна.
.
Энд x-ээс хамаарахаа больсон тогтмолууд байна. (4) -д орлуулснаар бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

Деривативын утгыг тодорхойлохын тулд a i коэффициентүүд тогтмол байдаг гэдгийг бид хэзээ ч ашиглаж байгаагүй гэдгийг анхаарна уу. Тийм ч учраас Лагранжийн аргыг аливаа шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг, хэрэв нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн (2) шийдлийн үндсэн систем мэдэгдэж байгаа бол.

Жишээ

Тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг (Лагранж) ашиглан тэгшитгэлийг шийднэ.


Жишээнүүдийн шийдэл > > >

Мөн үзнэ үү: Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх аргаар шийдвэрлэх (Лагранж)
Бернулли аргыг ашиглан дээд эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Тогтмол коэффициент бүхий дээд эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шугаман орлуулалтаар шийдвэрлэх