Энэ нийтлэлд бид цэгээс цэг хүртэлх зайг онолын хувьд тодорхойлох арга замыг авч үзэх бөгөөд тодорхой даалгаврын жишээг ашиглах болно. Эхлэхийн тулд зарим тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Цэгүүдийн хоорондох зайодоо байгаа масштабаар тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Хэмжих уртын нэгжтэй байхын тулд масштабыг тогтоох шаардлагатай. Иймд цэгүүдийн хоорондын зайг олох асуудлыг үндсэндээ координатын шулуун дээр, координатын хавтгайд эсвэл гурван хэмжээст орон зайд координатуудыг ашиглан шийддэг.

Анхны өгөгдөл: координатын O x шулуун ба түүн дээр байрлах дурын А цэг Шугамын аль ч цэг нэг бодит тоотой: А цэгийн хувьд тодорхой тоо байг. x A,Энэ нь мөн А цэгийн координат юм.

Ерөнхийдөө тодорхой сегментийн уртыг тухайн хуваарийн дагуу уртын нэгж болгон авсан сегменттэй харьцуулахад үнэлдэг гэж хэлж болно.

Хэрэв А цэг нь бүхэл тоон бодит тоотой тохирч байвал О цэгээс шулуун шугамын дагуу О А сегментийг - уртын нэгжээр дараалан буулгаснаар бид О А сегментийн уртыг хойш тавьсан нэгжийн сегментүүдийн нийт тооноос тодорхойлж болно.

Жишээлбэл, А цэг нь 3-р тоотой тохирч байна - О цэгээс түүнд хүрэхийн тулд та гурван нэгж сегментийг таслах хэрэгтэй болно. Хэрэв А цэг нь координат - 4 байвал нэгж хэсгүүдийг ижил төстэй байдлаар байрлуулсан боловч өөр, сөрөг чиглэлд байрлуулна. Тиймээс эхний тохиолдолд O A зай нь 3-тай тэнцүү байна; хоёр дахь тохиолдолд O A = 4.

Хэрэв А цэг нь координатын хувьд оновчтой тоотой бол эх үүсвэрээс (О цэг) бүхэл тооны нэгж сегментийг, дараа нь түүний шаардлагатай хэсгийг зурна. Гэхдээ геометрийн хувьд хэмжилт хийх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, 4 111-ийн бутархайг координатын шулуун дээр зурахад хэцүү мэт санагдаж байна.

Дээрх аргыг ашигласнаар иррационал тоог шулуун дээр зурах нь огт боломжгүй юм. Жишээлбэл, А цэгийн координат 11 байх үед. Энэ тохиолдолд хийсвэрлэл рүү шилжих боломжтой: хэрэв А цэгийн өгөгдсөн координат тэгээс их бол O A = x A (тоог зай гэж авна); хэрэв координат тэгээс бага бол O A = - x A . Ерөнхийдөө эдгээр мэдэгдэл нь хэний ч хувьд үнэн юм бодит тоох А.

Дүгнэж хэлэхэд: гарал үүслийн цэгээс координатын шулуун дээрх бодит тоотой тохирох цэг хүртэлх зай нь:

• Хэрэв цэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал 0;

• x A, хэрэв x A > 0;

• - x A бол x A< 0 .

Энэ тохиолдолд сегментийн урт нь өөрөө сөрөг байж болохгүй нь ойлгомжтой тул модулийн тэмдгийг ашиглан бид О цэгээс А цэг хүртэлх зайг координатаар бичнэ. хА: O A = x A

Дараах мэдэгдэл үнэн байх болно. нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх зай нь координатын зөрүүний модультай тэнцүү байх болно.Тэдгээр. аль ч байршлын хувьд ижил координатын шулуун дээр байрлах, харгалзах координаттай А ба В цэгүүдийн хувьд хАТэгээд x B: A B = x B - x A.

Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн координаттай тэгш өнцөгт координатын систем O x y хавтгай дээр хэвтэж буй A ба B цэгүүд: A (x A, y A) ба B (x B, y B).

А ба В цэгүүдээр дамжуулан О х ба О у координатын тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үр дүнд нь A x, A y, B x, B y проекцын цэгүүдийг олж авцгаая. А ба В цэгүүдийн байршилд үндэслэн дараах сонголтуудыг хийх боломжтой.

Хэрэв А ба В цэгүүд давхцаж байвал тэдгээрийн хоорондох зай тэг болно;

Хэрэв A ба В цэгүүд нь O x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шулуун дээр (абсцисса тэнхлэг) байвал цэгүүд давхцаж, | A B | = | A y B y | . Цэгүүдийн хоорондох зай нь тэдгээрийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү тул A y B y = y B - y A, тэгэхээр A B = A y B y = y B - y A болно.

Хэрэв A ба В цэгүүд нь O y тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр (ординатын тэнхлэг) байвал - өмнөх догол мөртэй адилтгаж үзвэл: A B = A x B x = x B - x A

Хэрэв А ба В цэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр оршдоггүй бол тэдгээрийн хоорондох зайг тооцоолох томъёог гарган олно.

A B C гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болохыг бид харж байна. Энэ тохиолдолд A C = A x B x ба B C = A y B y болно. Пифагорын теоремыг ашиглан бид тэгшитгэлийг үүсгэнэ: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, дараа нь үүнийг хувиргана: A B = A x B x 2 + A y B. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Хүлээн авсан үр дүнгээс дүгнэлт хийцгээе: хавтгай дээрх А цэгээс В цэг хүртэлх зайг эдгээр цэгүүдийн координатыг ашиглан томъёогоор тооцоолно.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Үүссэн томьёо нь цэгүүд тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамууд дээр байрлах цэгүүд эсвэл нөхцөл байдлын давхцлын талаар өмнө нь бий болгосон мэдэгдлийг баталгаажуулдаг. Тэгэхээр, хэрэв A ба B цэгүүд давхцвал дараахь тэгшитгэл үнэн болно: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

А ба В цэгүүд x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр байрлах нөхцөл байдлын хувьд:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

А ба В цэгүүд ординатын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун дээр байрлах тохиолдолд:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн A (x A, y A, z A) ба B (x B, y B, z B) координатуудтай дурын цэгүүдтэй тэгш өнцөгт координатын систем O x y z. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох шаардлагатай.

А ба В цэгүүд координатын аль нэг хавтгайтай параллель хавтгайд хэвтэхгүй байх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. А ба В цэгүүдээр дамжуулан координатын тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайг зурж, харгалзах проекцын цэгүүдийг олъё: A x, A y, A z, B x, B y, B z.

А ба В цэгүүдийн хоорондох зай нь үүссэн параллелепипедийн диагональ юм. Энэхүү параллелепипедийн хэмжилтийн барилгын дагуу: A x B x , A y B y and A z B z.

Геометрийн хичээлээс бид параллелепипедийн диагональ квадрат нь түүний хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид тэгш байдлыг олж авна: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Өмнө нь олж авсан дүгнэлтийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Илэрхийлэлийг өөрчилье:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Финал орон зайн цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох томъёоиймэрхүү харагдах болно:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Үүссэн томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.

Цэгүүд давхцаж байна;

Тэдгээр нь нэг координатын тэнхлэг эсвэл координатын аль нэг тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам дээр байрладаг.

Цэгүүдийн хоорондох зайг олох асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл: координатын шугам ба түүн дээр байрлах цэгүүдийг өгөгдсөн координат A (1 - 2) ба B (11 + 2) өгсөн болно. О цэгээс А цэг хүртэл, А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олох шаардлагатай.

Шийдэл

1. Лавлах цэгээс цэг хүртэлх зай нь энэ цэгийн координатын модультай тэнцүү O A = 1 - 2 = 2 - 1 байна.
2. Бид A ба B цэгүүдийн хоорондох зайг эдгээр цэгүүдийн координатын зөрүүний модуль гэж тодорхойлдог: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Хариулт: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт координатын систем ба үүн дээр байрлах A (1, - 1) ба B (λ + 1, 3) хоёр цэгийг өгсөн болно. λ нь бодит тоо юм. А В зай нь 5-тай тэнцүү байх энэ тооны бүх утгыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 томъёог ашиглах ёстой.

Бодит координатын утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Мөн бид одоо байгаа нөхцөлийг ашигладаг A B = 5, тэгвэл тэгш байдал нь үнэн болно:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Хариулт: λ = ± 3 бол A B = 5.

Жишээ 3

Анхны өгөгдөл: заасан гурван хэмжээст орон зайтэгш өнцөгт координатын системд O x y z ба түүнд байрлах A (1, 2, 3) ба B - 7, - 2, 4 цэгүүд.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 томъёог ашиглана.

Бодит утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Хариулт: | A B | = 9

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Математикийн хувьд алгебр болон геометрийн аль аль нь тухайн объектоос цэг эсвэл шугам хүртэлх зайг олоход асуудал үүсгэдэг. Энэ нь огт өөр аргаар олддог бөгөөд сонголт нь анхны өгөгдлөөс хамаарна. Өгөгдсөн объектуудын хоорондох зайг янз бүрийн нөхцөлд хэрхэн олохыг харцгаая.

Хэмжих хэрэгсэл ашиглах

Асаалттай эхний шатхөгжил математикийн шинжлэх ухаанТэд үндсэн хэрэгслийг (захирагч, протектор, луужин, гурвалжин гэх мэт) хэрхэн ашиглахыг заадаг. Тэдгээрийг ашиглан цэг эсвэл шугамын хоорондох зайг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Та хуваах хуваарийг хавсаргаад хариултаа бичихэд л хангалттай. Та зүгээр л зайтай байх болно гэдгийг мэдэх хэрэгтэй урттай тэнцүүцэгүүдийн хооронд зурж болох шулуун шугам, зэрэгцээ шугамын хувьд тэдгээрийн хоорондох перпендикуляр.

Геометрийн теорем ба аксиомуудыг ашиглах

Тэд тусгай төхөөрөмжүүдийн тусламжгүйгээр зайг хэмжиж сурдаг эсвэл Энэ нь олон тооны теорем, аксиом, тэдгээрийн нотолгоог шаарддаг. Ихэнхдээ зайг хэрхэн олох вэ гэдэг асуудал үүсэх, түүний талыг олоход ирдэг. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд Пифагорын теорем, гурвалжны шинж чанар, тэдгээрийг хувиргах аргуудыг мэдэхэд хангалттай.

Координатын хавтгай дээрх цэгүүд

Хэрэв хоёр цэг байгаа бөгөөд тэдгээрийн координатын тэнхлэг дээрх байрлалыг өгсөн бол нэгээс нөгөө хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ? Шийдэл нь хэд хэдэн үе шатыг агуулна.

1. Бид цэгүүдийг шулуун шугамаар холбодог бөгөөд урт нь тэдгээрийн хоорондох зай болно.
2. Бид тэнхлэг бүрийн цэгүүдийн (k;p) координатын утгуудын хоорондын зөрүүг олдог: |k 1 - k 2 |= d 1 ба |p 1 - p 2 |= d 2 (бид утгыг авна модуль, учир нь зай нь сөрөг байж болохгүй).
3. Үүний дараа бид гарсан тоонуудыг квадрат болгож, тэдгээрийн нийлбэрийг олно: d 1 2 + d 2 2
4. Эцсийн алхам бол үүссэн тоог гаргаж авах явдал юм. Энэ нь цэгүүдийн хоорондох зай байх болно: d = V (d 1 2 + d 2 2).

Үүний үр дүнд бүхэл бүтэн шийдлийг нэг томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ, үүнд зай нь тэнцүү байна квадрат язгуурКоординатын зөрүүний квадратуудын нийлбэрээс:

d =V(|k 1 - k 2 | 2 +|p 1 - p 2 | 2)

Хэрэв нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх зайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулт гарч ирвэл хариултыг хайх нь дээрхээс нэг их ялгаатай биш байх болно. Уусмалыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.

d=V(|k 1 - k 2 | 2 +|p 1 - p 2 | 2 +|e 1 - e 2 | 2)

Зэрэгцээ шугамууд

Нэг шулуун дээр байрлах дурын цэгээс параллель хүртэл татсан перпендикуляр нь зай болно. Хавтгайд асуудлыг шийдэхдээ аль нэг шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг олох шаардлагатай. Тэгээд түүнээс хоёр дахь шулуун шугам хүртэлх зайг тооцоол. Үүнийг хийхийн тулд бид тэдгээрийг Ax+By+C=0 ерөнхий хэлбэрт оруулна. Зэрэгцээ шугамын шинж чанараас харахад тэдгээрийн A ба B коэффициентүүд тэнцүү байх болно. Энэ тохиолдолд та үүнийг дараах томъёогоор олж болно.

d = |C 1 - C 2 |/V(A 2 + B 2)

Тиймээс, өгөгдсөн объектоос зайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулахдаа асуудлын нөхцөл, түүнийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан хэрэгслийг удирдан чиглүүлэх шаардлагатай. Эдгээр нь хэмжих хэрэгсэл эсвэл теорем, томъёо байж болно.

Хичээлийн төлөвлөгөө.

Шугаман дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.

Тэгш өнцөгт (декарт) координатын систем.

Шугаман дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.

Теорем 3.Хэрэв A(x) ба B(y) нь дурын хоёр цэг бол d - тэдгээрийн хоорондох зайг дараах томъёогоор тооцоолно: d = lу - xl.

Баталгаа.Теорем 2-ын дагуу бид AB = y - x байна. Гэхдээ А ба В цэгүүдийн хоорондох зай нь AB сегментийн урттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. AB векторын урт. Иймд d = lАВl=lu-хl болно.

y-x, x-y тоонуудыг модулаар авдаг тул d =lx-уl гэж бичиж болно. Тиймээс координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд тэдгээрийн координатын зөрүүний модулийг олох хэрэгтэй.

Жишээ 4. Өгөгдсөн A(2) ба B(-6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Шийдэл.Томъёонд x=2, y=-6-г орлуулъя. Бид AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8 болно.

Жишээ 5.Эхтэй харьцуулахад M(4) цэгт тэгш хэмтэй цэг байгуул.

Шийдэл.Учир нь М цэгээс О цэг хүртэл баруун тийш 4 нэгж сегментийг байрлуулсан бөгөөд дараа нь тэгш хэмтэй цэг байгуулахын тулд бид О цэгээс зүүн тийш 4 нэгж сегментийг тавиад M цэгийг авна" (-4).

Жишээ 6.В(2) цэгтэй харьцуулахад А(-4) цэгт тэгш хэмтэй C(x) цэгийг байгуулна.

Шийдэл.Тоон шулуун дээрх A(-4) ба B(2) цэгүүдийг тэмдэглэе. Теорем 3-ыг ашиглан цэгийн хоорондох зайг олъё, бид 6-ыг авна. Дараа нь В ба С цэгүүдийн хоорондох зай нь мөн 6-тай тэнцүү байх ёстой. В цэгээс баруун тийш 6 нэгж хэрчмийг тавиад С (8) цэгийг авна.

Дасгал. 1) A ба B цэгүүдийн хоорондох зайг ол: a) A(3) ба B(11), b) A(5) ба B(2), c) A(-1) ба B(3), d) A (-5) ба B(-3), e) A(-1) ба B(3), (Хариулт: a)8, b)3, c)4, d)2, e)2).

2) В(-1) цэгтэй харьцуулахад А(-5) цэгт тэгш хэмтэй C(x) цэгийг байгуулна. (Хариулт: C(3)).

Тэгш өнцөгт (декарт) координатын систем.

Нэг гарал үүсэлтэй Ox ба Oy хоёр харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүд нь ижил масштабын нэгжийг үүсгэдэг. тэгш өнцөгт(эсвэл Декарт) хавтгай координатын систем.

Үхрийн тэнхлэг гэж нэрлэгддэг x тэнхлэг, мөн Ой тэнхлэг - у тэнхлэг. Тэнхлэгүүдийн огтлолцлын О цэгийг нэрлэнэ гарал үүсэл. Үхэр ба Ой тэнхлэгүүд байрладаг хавтгайг нэрлэдэг координатын хавтгайба Оху гэж нэрлэгддэг.

M нь хавтгай дээрх дурын цэг байг. Үүнээс Ox болон Oy тэнхлэгт MA ба MB перпендикуляруудыг тус тус буулгая. Эдгээр перпендикуляруудын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох А ба В цэгүүдийг нэрлэнэ төсөөлөлкоординатын тэнхлэг дээрх M цэгүүд.

A ба B цэгүүд нь тодорхой тооны x ба y-тэй тохирч байна - тэдний Ox болон Oy тэнхлэг дээрх координатууд. x тоог дууддаг абсциссацэг M, тоо y - түүний ординат.

М цэг нь х ба у координаттай болохыг бэлгэдлээр дараах байдлаар тэмдэглэв: M(x,y). Энэ тохиолдолд хаалтанд эхлээд абсциссыг, хоёрдугаарт ординатыг зааж өгнө. Гарал үүсэл нь координаттай (0,0).

Тиймээс, сонгосон координатын системээр, хавтгайн М цэг бүр нь хос тоо (x, y) - түүний тэгш өнцөгт координат, эсрэгээр, хос тоо (x, y) бүр, үүнээс гадна нэг цэгтэй тохирч байна. Окси хавтгай дээрх M нь абсцисс нь х, ординат нь у юм.

Тиймээс, хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем нь хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн олонлог ба хос тоонуудын хооронд нэг нэгээр нь харгалзах харилцааг бий болгодог бөгөөд энэ нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ алгебрийн аргыг ашиглах боломжийг олгодог.

Координатын тэнхлэгүүд нь онгоцыг дөрвөн хэсэгт хуваадаг, тэдгээрийг нэрлэдэг дөрөвний нэг, дөрөвний нэгэсвэл координат өнцөгЗурагт үзүүлсэн шиг I, II, III, IV ром тоогоор дугаарласан (гипер холбоос).

Зурагт мөн тэдгээрийн байршлаас хамааран цэгүүдийн координатын тэмдгүүдийг харуулав. (жишээлбэл, эхний улиралд хоёр координат эерэг байна).

Жишээ 7.Барилгын цэгүүд: A(3;5), B(-3;2), C(2;-4), D (-5;-1).

Шийдэл.А(3;5) цэгийг байгуулъя. Юуны өмнө бид тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж байна. Дараа нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу бид 3 масштабын нэгжийг баруун тийш, ордны тэнхлэгийн дагуу бид 5 хуваалтын нэгжийг дээшлүүлж, эцсийн хуваах цэгүүдээр бид координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг зурна. Эдгээр шугамын огтлолцлын цэг нь хүссэн A(3;5) цэг юм. Үлдсэн цэгүүд нь ижил аргаар баригдсан (гипер холбоосын зургийг харна уу).

Дасгал.

А(2;-4) цэгийг зурахгүйгээр аль улиралд хамаарахыг олоорой.

Ординат нь эерэг байвал цэгийг аль хэсэгт байрлуулах вэ?

Ой тэнхлэг дээр -5 координаттай цэгийг авав. Түүний онгоц дээрх координатууд юу вэ? (хариулт: цэг нь Ой тэнхлэг дээр байрладаг тул түүний абсцисса нь 0-тэй тэнцүү, ординатыг нөхцөлийн дагуу өгсөн тул цэгийн координат (0;-5) байна).

Өгөгдсөн оноо: a) A(2;3), b) B(-3;2), c) C(-1;-1), d) D(x;y). Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэдгээрт тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Эдгээр бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: а) (2;-3), б) (-3;-2), в) (-1;1), г) (x;-y)).

Өгөгдсөн оноо: a) A(-1;2), b) B(3;-1), c) C(-2;-2), d) D(x;y). Ой тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Эдгээр бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: а) (1;2), б) (-3;-1), в) (2;-2), г) (-x;y)).

Өгөгдсөн оноо: a) A(3;3), b) B(2;-4), c) C(-2;1), d) D(x;y). Гарал үүсэлтэй нь харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Эдгээр бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: а) (-3;-3), б) (-2;4), в) (2;-1), г) (-x;-y)).

M(3;-1) цэгийг өгөв. Үхрийн тэнхлэг, Ой тэнхлэг, эхлэлтэй харьцуулахад түүнд тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

M(x;y) цэг нь аль хэсэгт байрлаж болохыг тодорхойлбол: a) xy>0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

10-тай тэнцүү талтай тэгш талт гурвалжны оройн аль нэг орой нь О координатын эхтэй давхцаж, гурвалжны суурь нь Үхрийн тэнхлэгт байрлаж байгаа бол эхний улиралд байрлах тэгш өнцөгт гурвалжны оройн координатыг тодорхойл. Зураг зурах. (хариулт: (0;0), (10;0), (5;5v3)).

Координатын аргыг ашиглан бүх оройн координатыг тодорхойлно ердийн зургаан өнцөгт ABCDEF. (хариулт: A (0;0), B (1;0), C (1.5;v3/2), D (1;v3), E (0;v3), F (-0.5;v3 /2). Заавар: А цэгийг координатын эх болгон авч, абсцисса тэнхлэгийг А-аас В хүртэл чиглүүлж, АВ талын уртыг масштабын нэгжээр авна. Зургаан өнцөгтийн том диагональ зурах нь тохиромжтой.)

§ 1 Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох дүрэм

Энэ хичээлээр бид координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох дүрмийг гаргаж авахаас гадна энэ дүрмийг ашиглан хэрчмийн уртыг хэрхэн олох талаар сурах болно.

Даалгавраа гүйцээцгээе:

Илэрхийлэлүүдийг харьцуул

1. a = 9, b = 5;

2. a = 9, b = -5;

3. a = -9, b = 5;

4. a = -9, b = -5.

Илэрхийлэлд утгуудыг орлуулж, үр дүнг олцгооё.

9 ба 5-ын зөрүүний модуль нь 4-ийн модультай, 4-ийн модуль нь 4-тэй тэнцүү. 5 ба 9-ийн зөрүүний модуль нь хасах 4-тэй тэнцүү, -4-ийн модуль 4-тэй тэнцүү.

9 ба -5-ын зөрүүний модуль нь модуль 14, модуль 14 нь 14. Хасах 5 ба 9-ийн зөрүүний модуль нь модуль -14, модуль -14=14.

Хасах 9 ба 5-ын зөрүүний модуль нь хасах 14-ийн модуль, хасах 14-ийн модуль 14. 5 ба хасах 9-ийн модуль нь модуль 14, 14-ийн модультай тэнцүү байна. 14-тэй тэнцүү

Хасах 9 ба хасах 5-ын зөрүүний модуль нь хасах 4-ийн модультай тэнцүү, -4-ийн модуль нь 4. Хасах 5 ба хасах 9-ийн модуль нь 4-ийн модультай тэнцүү байна. 4-ийн модуль нь (l-9 - (-5)l = l-4l = 4; l -5 - (-9)l = l4l = 4) тэнцүү байна.

Аль ч тохиолдолд үр дүн нь тэнцүү байсан тул бид дараахь зүйлийг дүгнэж болно.

a ба b хоорондын зөрүүгийн модуль ба b ба a хоорондын зөрүүгийн модулийн илэрхийллийн утгууд нь a ба b-ийн аль ч утгуудын хувьд тэнцүү байна.

Өөр нэг даалгавар:

Координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зайг ол

1.A(9) ба B(5)

2.A(9) ба B(-5)

Координатын шугам дээр бид A (9) ба B (5) цэгүүдийг тэмдэглэнэ.

Эдгээр цэгүүдийн хоорондох нэгж хэсгүүдийн тоог тоолъё. Тэдгээрийн 4 нь байдаг бөгөөд энэ нь A ба B цэгүүдийн хоорондох зай 4 гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил бид бусад хоёр цэгийн хоорондох зайг олдог. Координатын шулуун дээр A(9) ба B(-5) цэгүүдийг тэмдэглээд координатын шугамаар эдгээр цэгийн хоорондох зайг тодорхойлъё, зай нь 14.

Үр дүнг өмнөх ажлуудтай харьцуулж үзье.

9 ба 5-ын зөрүү 4, 9 ба 5 координаттай цэгүүдийн хоорондох зай мөн 4. 9 ба хасах 5-ын зөрүү 14, 9 ба хасах 5 координаттай цэгүүдийн хоорондох зай 14 байна. 14 байна.

Дүгнэлт нь:

Координатын шугамын A(a) ба B(b) цэгүүдийн хоорондох зай нь эдгээр цэгүүдийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү байна l a - b l.

Түүгээр ч зогсохгүй, нэгж сегментийн тоо нь бидний тоолж буй цэгээс хамаарч өөрчлөгдөхгүй тул зайг b ба a хоорондын зөрүүний модуль хэлбэрээр олж болно.

§ 2 Хоёр цэгийн координатаас хэрчмийн уртыг олох дүрэм

C(16), D(8) координатын шулуун дээр байвал CD хэрчмийн уртыг олъё.

Сегментийн урт нь сегментийн нэг төгсгөлөөс нөгөө төгсгөл хүртэлх зайтай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ, өөрөөр хэлбэл. координатын шугамын С цэгээс D цэг хүртэл.

Дүрмийг ашиглая:

c ба d координатуудын ялгааны модулийг ол

Тэгэхээр CD сегментийн урт 8 байна.

Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье:

Координатууд нь M (20), N (-23) өөр өөр тэмдэгтэй MN сегментийн уртыг олъё.

Утгыг орлуулж үзье

-(-23) = +23 гэдгийг бид мэднэ

энэ нь 20 ба хасах 23-ын зөрүүний модуль нь 20 ба 23-ын нийлбэрийн модультай тэнцүү гэсэн үг юм.

Энэ сегментийн координатын модулиудын нийлбэрийг олъё.

Энэ тохиолдолд координатын зөрүүний модулийн утга ба координатын модулиудын нийлбэр ижил байна.

Бид дүгнэж болно:

Хэрэв хоёр цэгийн координат өөр өөр тэмдэгтэй бол цэгүүдийн хоорондох зай нь координатын модулиудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хичээл дээр бид координатын шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олох дүрэмтэй танилцаж, энэ дүрмийг ашиглан хэрчмийн уртыг хэрхэн олохыг сурсан.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Математик. 6-р анги: хичээлийн төлөвлөгөөсурах бичигт I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович// Эмхэтгэсэн: Л.А. Топилина. – М .: Мнемосин 2009.
2. Математик. 6-р анги: сурагчдад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд. I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемосине, 2013.
3. Математик. 6-р анги: Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг./Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемосине, 2013.
4. Математикийн гарын авлага - http://lyudmilanik.com.ua
5. Оюутны гарын авлага ахлах сургууль http://shkolo.ru

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай нь 6-р зэрэг юм.

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох томъёо

Цэгийн координатыг олох алгоритм - сегментийн дунд хэсэг

Энэхүү танилцуулгад материалыг ашигласан интернетийн хамт олондоо баярлалаа!

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай x 0 1 A B AB = ρ (A, B)

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай Хичээлийн зорилго: - Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох аргыг (томьёо, дүрэм) ол. - Олдсон дүрмийг ашиглан координатын шулуун дээрх цэг хоорондын зайг олж сур.

1. Аман тоо 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Асуудлыг координатын шугам ашиглан амаар шийд: а) – 8,9 ба 2 б) – 10,4 ба – 3,7 в) – 1,2 ба 4,6 тоонуудын хооронд хэдэн бүхэл тоо байгаа вэ? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 эерэг тоо -1 -5 сөрөг тоо Гэрээс цэнгэлдэх хүртэлх зай 6 Гэрээс сургууль хүртэлх зай 6 Координатын шугам

0 1 2 7 -1 -5 Цэнгэлдэх хүрээлэнгээс байшин хүртэлх зай 6 Сургуулиас байшин хүртэлх зай 6 Координатын шугамын цэг хоорондын зайг олох ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Цэгүүдийн хоорондох зайг ρ (rho) үсгээр тэмдэглэнэ.

0 1 2 7 -1 -5 Цэнгэлдэх хүрээлэнгээс байшин хүртэлх зай 6 Сургуулиас байшин хүртэлх зай 6 Координатын шугамын цэг хоорондын зайг олох ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) =? | a-b |

a ба b цэгүүдийн хоорондох зай нь эдгээр цэгүүдийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү байна. ρ (a; b)= | a-b | Координатын шугам дээрх цэгүүдийн хоорондох зай

Бодит тооны модулийн геометрийн утга a b a a=b b x x x Хоёр цэгийн хоорондох зай

0 1 2 7 -1 -5 Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг ол - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг ол - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Гаралт: илэрхийллийн утгууд | a – b | болон | б–а | a ба b =-ийн аль ч утгын хувьд тэнцүү байна

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зай

Хэрэв: 1) x = – 14, y = – 23 бол ρ(x; y)-г ол; ρ(x; y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5.9, y = –6.8; ρ(x; y)=|5.9 –(– 6.8)|=|5.9+6.8|=| 12.7 |=12.7

Өгүүлбэрийг үргэлжлүүлээрэй 1. Координатын шугам нь ... заасан шулуун шугам 2. Хоёр цэгийн хоорондох зай нь ... 3. Эсрэг тоонууд нь тоонууд ... 4. Х тооны модулийг . .. 5. - a – b V b – a гэсэн илэрхийллийн утгыг харьцуулж дүгнэлт гарга... - Илтгэлийн утгыг харьцуулна уу | a – b | V | б–а | в дүгнэлт гаргах...

Винтик, Шпунтик нар координатын цацрагийн дагуу алхаж байна. Винтик нь В цэгт (236), Шпунтик нь W (193) цэгт байрладаг.Винтик, Шпунтик хоёр бие биенээсээ ямар зайд байрладаг вэ? ρ (B, W) = 43

A(0), B(1) A(2), B(5) A(0), B (- 3) A(- 10), B(1) AB = 1 AB = 3 AB цэгүүдийн хоорондох зайг ол. = 3 AB = 11

A(- 3.5), B(1.4) K(1.8), B(4.3) A(- 10), C(3) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

AB = KB = AC = гэдгийг шалгана уу

С(– 5) С(– 3) Цэгийн координатыг ол - BA сегментийн дунд.

А (–3.25) ба В (2.65) цэгүүдийг координатын шулуун дээр тэмдэглэв. AB сегментийн дунд хэсэг болох О цэгийн координатыг ол. Шийдэл: 1) ρ(A;B)= |–3.25 – 2.65| = |–5.9| = 5.9 2) 5.9: 2 = 2.95 3) –3.25 + 2.95 = – 0.3 эсвэл 2.65 – 2.95 = – 0.3 Хариулт: O(–0, 3)

Координатын шулуун дээр C(–5.17) ба D(2.33) цэгүүдийг тэмдэглэв. CD сегментийн дунд хэсэг болох А цэгийн координатыг ол. Шийдэл: 1) ρ(C; D)= |– 5, 17 – 2, 33 | = |– 7, 5 | = 7, 5 2) 7, 5: 2 = 3, 7 5 3) – 5, 17 + 3, 7 5 = – 1, 42 эсвэл 2, 33 – 3, 7 5 = – 1, 42 Хариулт: A ( – 1, 42)

Дүгнэлт: Цэгийн координатыг олох алгоритм - өгөгдсөн сегментийн дунд: 1. Цэгүүдийн хоорондох зай - өгөгдсөн сегментийн төгсгөл = 2. Үр дүн-1-ийг 2-т хуваана (утгын хагас) = c 3 .А координатад үр дүн-2-ыг нэмэх эсвэл a + c эсвэл - c координатаас үр дүн-2-ыг хасна 4. Үр дүн-3 нь цэгийн координат - энэ сегментийн дунд хэсэг юм.

Сурах бичигтэй ажиллах: §19, х.112, A. No573, 575 V. No578, 580 Гэрийн даалгавар: §19, p.112, A. No574, 576, B. No579, 581 “Рационал тоог нэмэх, хасах. Координатын шугам дээрх цэгүүдийн хоорондох зай"

Өнөөдөр би олж мэдлээ... Сонирхолтой байсан... Би үүнийг ойлголоо... Одоо би чадна ... би сурсан ... Би үүнийг хийсэн ... Би хичээх болно ... Би гайхсан ... Би хүссэн...