Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. Бүтэц ба изоморфизм

Өгүүллийн агуулга

МАТЕМАТИК.Математикийг ихэвчлэн зарим уламжлалт салбаруудын нэрийг жагсаан бичдэг. Юуны өмнө энэ нь тоо, тэдгээрийн хоорондын хамаарал, үйл ажиллагааны тоонуудын дүрмийг судлахтай холбоотой арифметик юм. Арифметикийн баримтууд нь янз бүрийн тодорхой тайлбаруудад өртөмтгий байдаг; жишээлбэл, 2 + 3 = 4 + 1 харьцаа нь хоёр ба гурван ном нь дөрөв, нэгтэй тэнцэх хэмжээний ном болдог гэсэн үгтэй тохирч байна. 2 + 3 = 4 + 1 гэх мэт аливаа хамаарал, i.e. физик ертөнцөөс ямар ч тайлбаргүйгээр цэвэр математикийн объектуудын хоорондын харилцааг хийсвэр гэж нэрлэдэг. Математикийн хийсвэр шинж чанар нь түүнийг олон төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, тоон дээрх үйлдлүүдийг авч үздэг алгебр нь арифметикээс давсан асуудлыг шийдэж чадна. Математикийн илүү тодорхой салбар бол геометр бөгөөд түүний гол ажил нь объектын хэмжээ, хэлбэрийг судлах явдал юм. Алгебрийн аргуудыг геометрийн аргуудтай хослуулах нь нэг талаас тригонометрид (анх геометрийн гурвалжныг судлахад зориулагдсан байсан бөгөөд одоо илүү өргөн хүрээний асуудлыг хамардаг), нөгөө талаас аналитик геометрт хүргэдэг. геометрийн бие ба дүрсийг алгебрийн аргаар судалдаг. Дээд алгебр, геометрийн хэд хэдэн салбар байдаг бөгөөд тэдгээр нь хийсвэрлэлийн өндөр түвшинтэй бөгөөд энгийн тоо, энгийн тоонуудын судалгаанд оролцдоггүй. геометрийн хэлбэрүүд; Геометрийн шинжлэх ухааны хамгийн хийсвэрийг топологи гэж нэрлэдэг.

Математик анализ нь орон зай, цаг хугацаанд өөрчлөгддөг хэмжигдэхүүнүүдийн судалгааг авч үздэг бөгөөд математикийн анхан шатны салбаруудад байдаггүй функц ба хязгаар гэсэн хоёр үндсэн ойлголт дээр суурилдаг. Эхэндээ математик анализ нь дифференциал болон интеграл тооцооноос бүрддэг байсан бол одоо бусад хэсгүүдийг багтаасан болно.

Математикийн хоёр үндсэн салбар байдаг - дедуктив үндэслэлийг онцолсон цэвэр математик, хэрэглээний математик. "Хэрэглээний математик" гэсэн нэр томъёо нь заримдаа шинжлэх ухааны хэрэгцээ, шаардлагыг хангахын тулд тусгайлан бүтээгдсэн математикийн салбаруудыг, заримдаа математикийг шийдвэрлэх хэрэгсэл болгон ашигладаг төрөл бүрийн шинжлэх ухааны салбаруудыг (физик, эдийн засаг гэх мэт) хэлдэг. тэдний даалгавар. "Хэрэглээний математик"-ийн эдгээр хоёр тайлбарыг төөрөгдүүлснээс болж математикийн талаарх нийтлэг буруу ойлголт бий болдог. Арифметик нь эхний утгаараа хэрэглээний математикийн жишээ, хоёрдугаарт нягтлан бодох бүртгэлийн жишээ байж болно.

Олон нийтийн итгэл үнэмшлээс ялгаатай нь математик хурдацтай хөгжиж байна. Математикийн тойм сэтгүүл ойролцоогоор нийтэлдэг. агуулсан нийтлэлийн 8000 товч хураангуй хамгийн сүүлийн үеийн үр дүн– Математикийн шинэ баримтууд, хуучин баримтуудын шинэ нотолгоо, тэр ч байтугай математикийн цоо шинэ чиглэлүүдийн талаархи мэдээлэл. Математикийн боловсролын өнөөгийн чиг хандлага нь математикийн заах явцад оюутнуудад орчин үеийн, хийсвэр математикийн санаануудыг эрт нэвтрүүлэх явдал юм. бас үзнэ үүМАТЕМАТИКИЙН ТҮҮХ. Математик бол соёл иргэншлийн тулгын чулуунуудын нэг боловч энэ шинжлэх ухааны өнөөгийн байдлын талаар маш цөөхөн хүн төсөөлдөг.

Математик нь сүүлийн зуун жилийн хугацаанд хичээлийн хувьд ч, судалгааны арга зүйн хувьд ч асар их өөрчлөлтийг хийсэн. Энэ нийтлэлд бид өгөхийг хичээх болно ерөнхий санааОрчин үеийн математикийн хувьслын үндсэн үе шатуудын талаар, тэдгээрийн гол үр дүнг нэг талаас цэвэр болон хэрэглээний математикийн хоорондын зөрүү нэмэгдэж, нөгөө талаас математикийн уламжлалт чиглэлүүдийг бүрэн дахин эргэцүүлэн бодох явдал юм. .

МАТЕМАТИКИЙН АРГА ЗҮЙН БОЛОВСРОЛ

Математикийн төрөлт.

МЭӨ 2000 орчим 3, 4, 5 нэгжийн урттай гурвалжинд нэг өнцөг нь 90 ° байх нь анзаарагдсан (энэ ажиглалт нь практик хэрэгцээнд зориулж зөв өнцгийг бүтээхэд хялбар болгосон). 5 2 = 3 2 + 4 2 харьцааг та анзаарсан уу? Энэ талаар бидэнд мэдээлэл алга. Хэдэн зуун жилийн дараа үүнийг нээсэн ерөнхий дүрэм: дурын гурвалжинд ABCорой дээр нь зөв өнцөгтэй Аболон талууд б = АСТэгээд в = AB, тэдгээрийн хооронд энэ өнцөг хаалттай, эсрэг тал а = МЭӨхарьцаа хүчинтэй байна а 2 = б 2 + в 2. Олон тооны бие даасан ажиглалтыг нэг ерөнхий хуулиар тайлбарласнаар шинжлэх ухаан эхэлдэг гэж бид хэлж чадна; иймээс "Пифагорын теорем"-ын нээлтийг жинхэнэ шинжлэх ухааны ололт амжилтын анхны мэдэгдэж буй жишээнүүдийн нэг гэж үзэж болно.

Гэхдээ ерөнхийд нь шинжлэх ухаан, тэр дундаа математикийн хувьд үүнээс ч илүү чухал зүйл бол ерөнхий хуулийг боловсруулахын зэрэгцээ үүнийг батлах оролдлого юм. бусад геометрийн шинж чанаруудаас заавал дагаж мөрддөг болохыг харуул. Дорно дахины "нотолгоо" -ын нэг нь энгийн байдлаараа тодорхой харагдаж байна: дөрвөлжин дотор үүнтэй тэнцүү дөрвөн гурвалжныг бичжээ. BCDEзурагт үзүүлсэн шиг. Дөрвөлжин талбай а 2 нь дөрвөн тэнцүү гурвалжинд хуваагдана нийт талбайтай 2МЭӨба дөрвөлжин AFGHталбай ( б – в) 2 . Тиймээс, а 2 = (б – в) 2 + 2МЭӨ = (б 2 + в 2 – 2МЭӨ) + 2МЭӨ = б 2 + в 2. Нэг алхам урагшилж, ямар "өмнөх" шинж чанаруудыг мэдэх ёстойг илүү нарийн олж мэдэх нь сургамжтай юм. Хамгийн тод баримт бол гурвалжингаас хойш BACТэгээд BEFяг, завсаргүй, давхцалгүй, хажуугийн дагуу "тохируулсан" Б.А.Тэгээд Б.Ф., энэ нь хоёр оройн өнцөг гэсэн үг БТэгээд ХАМТгурвалжинд ABCнийлээд 90° өнцгийг үүсгэдэг тул түүний бүх гурван өнцгийн нийлбэр нь 90° + 90° = 180°-тай тэнцүү байна. Дээрх "нотолгоо" нь мөн томъёог ашигладаг ( МЭӨ/2) гурвалжны талбайн хувьд ABCорой дээр 90°-ийн өнцөгтэй А. Үнэн хэрэгтээ бусад таамаглалуудыг ашигласан боловч бидний хэлсэн зүйл хангалттай бөгөөд ингэснээр математик нотлох үндсэн механизм болох цэвэр логик аргументуудыг ашиглах боломжийг олгодог дедуктив үндэслэлийг (бидний жишээн дээр зөв бэлтгэсэн материал дээр үндэслэн) тодорхой харж чадна. квадратыг хуваах) -аас дүгнэлт гаргах мэдэгдэж байгаа үр дүншинэ шинж чанарууд нь дүрмээр бол байгаа өгөгдлөөс шууд дагаж мөрддөггүй.

Аксиом ба нотлох арга.

Математикийн аргын үндсэн шинж чанаруудын нэг бол дараагийн холбоос бүр нь өмнөх холбоосуудтай холбогдсон мэдэгдлийн гинжин хэлхээг сайтар боловсруулсан цэвэр логик аргументуудыг ашиглан үүсгэх үйл явц юм. Хамгийн эхний анхаарах зүйл бол аливаа гинжин хэлхээнд эхний холбоос байх ёстой. Грекчүүд 7-р зуунд математикийн аргументуудыг системчилж эхэлснээр энэ нөхцөл байдал тодорхой болсон. МЭӨ. Энэ төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэхийн тулд Грекчүүдэд ойролцоогоор хэрэгтэй байв. 200 жилийн өмнө, амьд үлдсэн баримтууд нь яг хэрхэн ажиллаж байсан талаар зөвхөн бүдүүлэг санааг өгдөг. Бид зөвхөн судалгааны эцсийн үр дүнгийн талаар үнэн зөв мэдээлэлтэй байна - алдартай ЭхлэлЕвклид (МЭӨ 300 орчим). Евклид нь бусад бүх байрлалыг цэвэр логикоор олж авсан анхны байрлалуудыг жагсааж эхэлдэг. Эдгээр заалтуудыг аксиом буюу постулат гэж нэрлэдэг (нөхцөлүүдийг бараг сольж болно); Эдгээр нь аливаа төрлийн объектын маш ерөнхий бөгөөд тодорхой бус шинж чанаруудыг илэрхийлдэг, жишээлбэл, "бүхэл бүтэн хэсэг нь хэсгээс их" эсвэл зарим тодорхой математик шинж чанаруудыг илэрхийлдэг, жишээлбэл, дурын хоёр цэгийн хувьд тэдгээрийг холбосон өвөрмөц шулуун шугам байдаг. . Грекчүүд аксиомуудын "үнэн"-д илүү гүн гүнзгий утга, ач холбогдол өгсөн эсэх талаар бидэнд мэдээлэл алга, гэхдээ Грекчүүд зарим аксиомыг хүлээн зөвшөөрөхөөс өмнө хэсэг хугацаанд хэлэлцсэн гэсэн санаанууд байдаг. Евклид болон түүний дагалдагчдад аксиомуудыг зөвхөн математикийн бүтээн байгуулалтын эхлэлийн цэг болгон толилуулж, мөн чанарын талаар ямар ч тайлбаргүйгээр тайлбарладаг.

Баталгаажуулах аргуудын хувьд тэд дүрмээр бол өмнө нь батлагдсан теоремуудыг шууд ашиглахад буцалсан байдаг. Гэсэн хэдий ч заримдаа үндэслэлийн логик нь илүү төвөгтэй байдаг. Математикийн өдөр тутмын практикийн нэг хэсэг болсон Евклидийн дуртай аргыг бид энд дурьдах болно - шууд бус нотолгоо эсвэл зөрчилдөөнтэй нотолгоо. Зөрчилдөөнөөр нотлох энгийн жишээ болгон бид диагональын эсрэг талд байрлах хоёр булангийн квадратыг хайчилж авсан шатрын самбарыг тус бүр нь хоёр квадраттай тэнцэх даалуугаар хучиж болохгүй гэдгийг харуулах болно. (Шатрын талбайн талбай бүрийг зөвхөн нэг удаа хамрах ёстой гэж үздэг.) Эсрэг (“эсрэг”) мэдэгдэл үнэн гэж бодъё, i.e. самбарыг даалуугаар хучиж болно. Хавтан бүр нь нэг хар, нэг цагаан дөрвөлжин талбайг хамардаг тул даалуунууд хэрхэн зохион байгуулагдсанаас үл хамааран тэд ижил тооны хар, цагаан квадратыг хамардаг. Гэсэн хэдий ч хоёр булангийн дөрвөлжин хасагдсан тул шатрын самбар (анх цагаан шиг олон хар дөрвөлжинтэй байсан) нөгөө өнгийн дөрвөлжинтэй харьцуулахад нэг өнгийн хоёр квадрат илүү байна. Энэ нь бидний анхны таамаглал нь зөрчилдөөнд хүргэдэг тул үнэн байж чадахгүй гэсэн үг юм. Мөн өөр хоорондоо зөрчилдсөн саналууд нэгэн зэрэг худал байж чадахгүй (хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь худал бол эсрэг нь үнэн) тул бидний анхны таамаглал үнэн байх ёстой, учир нь түүнтэй зөрчилдөж буй таамаглал нь худал; тиймээс хоёр булангийн дөрвөлжин диагональ зүссэн шатрын самбарыг даалуугаар бүрхэж болохгүй. Тиймээс, тодорхой мэдэгдлийг батлахын тулд бид үүнийг худал гэж үзэж, энэ таамаглалаас үнэн нь мэдэгдэж байгаа бусад мэдэгдэлтэй зөрчилдөж байгааг гаргаж болно.

Эртний Грекийн математикийн хөгжлийн чухал үеүүдийн нэг болсон зөрчилдөөний нотолгооны маш сайн жишээ бол оновчтой тоо биш гэсэн нотолгоо юм. бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй х/q, Хаана хТэгээд q- бүхэл тоо. Хэрэв бол 2 = х 2 /q 2, хаанаас х 2 = 2q 2. Хоёр бүхэл тоо байна гэж бодъё хТэгээд q, Үүний төлөө х 2 = 2q 2. Өөрөөр хэлбэл, квадрат нь өөр бүхэл тооны квадратаас хоёр дахин их бүхэл тоо байна гэж бид таамаглаж байна. Хэрэв бүхэл тоо нь энэ нөхцлийг хангаж байвал тэдгээрийн аль нэг нь бусад бүх тооноос бага байх ёстой. Эдгээр тоонуудаас хамгийн бага нь дээр анхаарлаа хандуулцгаая. Энэ нь тоо байх болтугай х. 2 оноос хойш q 2 нь тэгш тоо ба х 2 = 2q 2, дараа нь тоо х 2 тэгш байх ёстой. Бүх сондгой тоонуудын квадрат нь сондгой, квадрат байдаг тул х 2 нь тэгш, энэ нь өөрөө тоо гэсэн үг хтэгш байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, тоо хзарим бүхэл тооноос хоёр дахин их r. Учир нь х = 2rТэгээд х 2 = 2q 2, бидэнд байна: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 ба q 2 = 2r 2. Сүүлийн тэгш байдал нь тэгш эрхтэй ижил хэлбэртэй байна х 2 = 2q 2, мөн бид ижил үндэслэлийг давтаж, тоог харуулж чадна qтэгш ба ийм бүхэл тоо байна с, Юу q = 2с. Харин дараа нь q 2 = (2с) 2 = 4с 2, мөн, оноос хойш q 2 = 2r 2, бид 4 гэж дүгнэж байна с 2 = 2r 2 эсвэл r 2 = 2с 2. Энэ нь түүний квадрат нь нөгөө бүхэл тооноос хоёр дахин их байх нөхцөлийг хангасан хоёр дахь бүхэл тоог өгдөг. Харин дараа нь хийм тоо хамгийн бага байж болохгүй (үүнээс хойш r = х/2), хэдийгээр бид үүнийг хамгийн бага тоо гэж таамаглаж байсан. Тиймээс бидний анхны таамаглал худал бөгөөд энэ нь зөрчилдөөнд хүргэдэг тул ийм бүхэл тоо байдаггүй. хТэгээд q, Үүний төлөө х 2 = 2q 2 (жишээ нь, ийм). Энэ нь тоо оновчтой байж болохгүй гэсэн үг юм.

Евклидээс 19-р зууны эхэн үе хүртэл.

Энэ хугацаанд математик гурван шинэчлэлийн үр дүнд ихээхэн өөрчлөгдсөн.

(1) Алгебрийн хөгжлийн явцад симбол тэмдэглэгээний аргыг зохион бүтээсэн бөгөөд энэ нь хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын улам бүр төвөгтэй харилцааг товчилсон хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгосон. Хэрэв ийм "зайлсан бичээс" байхгүй бол үүсэх таагүй байдлын жишээ болгон харилцааг үгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе ( а + б) 2 = а 2 + 2ab + б 2: "Өгөгдсөн хоёр квадратын талуудын нийлбэртэй тэнцүү талтай дөрвөлжингийн талбай нь тэдгээрийн талбайн нийлбэр ба талууд нь талуудтай тэнцүү тэгш өнцөгтийн талбайн хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцүү байна. өгөгдсөн квадратууд."

(2) 17-р зууны эхний хагаст бий болсон. аналитик геометр нь сонгодог геометрийн аливаа асуудлыг зарим алгебрийн асуудал болгон бууруулах боломжтой болгосон.

(3) 1600-аас 1800 он хүртэлх хугацаанд хязгааргүй жижиг тооцооллыг бий болгож, хөгжүүлсэн нь хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголттой холбоотой олон зуун асуудлыг хялбар, системтэйгээр шийдвэрлэх боломжийг олгосон бөгөөд тэдгээрийн цөөхөн нь маш их бэрхшээлтэй шийдэгдсэн. Эртний Грекийн математикчид. Математикийн эдгээр салбаруудыг АЛГЕБРА нийтлэлд илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно; ANALYTIC GEOMETRY ; МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭ ; ГЕОМЕТРИЙН ТОЙМ.

17-р зуунаас хойш. Өнөөг хүртэл шийдэгдээгүй байсан асуулт аажмаар тодорхой болж байна. Математик гэж юу вэ? 1800 оноос өмнө хариулт нь маш энгийн байсан. Тухайн үед янз бүрийн шинжлэх ухааны хооронд тодорхой хил хязгаар байхгүй байсан бөгөөд математик нь "байгалийн философи" -ын нэг хэсэг байсан - Сэргэн мандалтын үе ба 17-р зууны эхэн үеийн агуу шинэчлэгчдийн санал болгосон аргуудыг ашиглан байгалийг системтэйгээр судлах. – Галилео (1564–1642), Ф.Бэкон (1561–1626), Р.Декарт (1596–1650). Математикчид тоо, геометрийн объект гэсэн өөрийн гэсэн судалгааны талбартай гэж үздэг байсан бөгөөд математикчид үүнийг ашигладаггүй гэж үздэг байв. туршилтын арга. Гэсэн хэдий ч Ньютон болон түүний дагалдагчид Евклидийн геометрийг хэрхэн танилцуулсантай адил аксиоматик аргыг ашиглан механик, одон орон судлалыг судалжээ. Ерөнхийдөө туршилтын үр дүнг тоо эсвэл тоон систем ашиглан дүрсэлж болох аливаа шинжлэх ухаан нь математикийн хэрэглээний талбар болж хувирдаг (физикийн хувьд энэ санаа зөвхөн 19-р зуунд бий болсон).

Математикийн эмчилгээ хийлгэсэн туршилтын шинжлэх ухааны салбаруудыг ихэвчлэн "хэрэглээний математик" гэж нэрлэдэг; Сонгодог болон орчин үеийн стандартын аль алинд нь эдгээр програмуудад үнэхээр математикийн аргументууд байдаггүй, учир нь тэдгээрийн судлах сэдэв нь математикийн бус объектууд байдаг тул энэ нь маш харамсалтай нэр юм. Туршилтын өгөгдлийг тоо эсвэл тэгшитгэлийн хэл рүү хөрвүүлсний дараа (ийм "орчуулга" нь ихэвчлэн "хэрэглээний" математикчаас маш их чадвар шаарддаг) математик теоремуудыг өргөнөөр ашиглах боломжтой болно; үр дүнг буцаан орчуулж, ажиглалттай харьцуулна. "Математик" гэсэн нэр томъёог ийм төрлийн үйл явцад хэрэглэж байгаа нь эцэс төгсгөлгүй үл ойлголцлын эх сурвалжуудын нэг юм. Одоо бидний яриад байгаа "сонгодог" цаг үед энэ төрлийн үл ойлголцол байгаагүй, учир нь ижил хүмүүс математикийн анализ эсвэл тооны онолын асуудлууд дээр нэгэн зэрэг ажилладаг "хэрэглээний" болон "цэвэр" математикчид байсан. динамик эсвэл оптик. Гэсэн хэдий ч мэргэшсэн байдал, "цэвэр" болон "хэрэглээний" математикийг салгах хандлага нь урьд өмнө байсан түгээмэл байдлын уламжлалыг мэдэгдэхүйц сулруулж, Ж.фон Нейман (1903-1957) шиг эрдэмтэд идэвхтэй судалгаа хийж чадсан. шинжлэх ухааны үйл ажиллагааХэрэглээний болон цэвэр математикийн аль алинд нь дүрэм гэхээсээ үл хамаарах зүйл болсон.

Математикийн объектууд - тоо, цэг, шугам, өнцөг, гадаргуу гэх мэт ямар шинж чанартай байдаг вэ? Ийм объекттой холбоотой "үнэн" гэсэн ойлголт юу гэсэн үг вэ? Сонгодог үед эдгээр асуултад нэлээд тодорхой хариулт өгсөн. Мэдээжийн хэрэг, тэр үеийн эрдэмтэд бидний мэдрэхүйн ертөнцөд "цэвэр металл", "монохромат" байдаггүйтэй адил Евклидийн "хязгааргүй уртассан шулуун шугам", "хэмжээгүй цэг" гэж байдаггүй гэдгийг тодорхой ойлгодог. гэрэл”, “дулаан тусгаарлагч систем” гэх мэт .d., туршилтчид өөрсдийн үндэслэлээр ажилладаг. Эдгээр бүх ойлголтууд нь "Платоник санаанууд", өөрөөр хэлбэл. эрс өөр шинж чанартай боловч эмпирик үзэл баримтлалын үүсгэгч загваруудын нэг төрөл юм. Гэсэн хэдий ч санаануудын биет "дүрс" нь санаануудтай хүссэнээрээ ойр байж болно гэж далд таамаглаж байсан. Объектуудын санаануудын ойролцоо байдлын талаар юу ч хэлж болохын хэрээр "санаа" нь биет объектуудын "хязгаарлах тохиолдол" гэж нэрлэгддэг. Энэ үүднээс авч үзвэл Евклидийн аксиомууд болон тэдгээрээс гаргаж авсан теоремууд нь урьдчилан таамаглах боломжтой туршилтын баримтууд тохирох ёстой "хамгийн тохиромжтой" объектын шинж чанарыг илэрхийлдэг. Жишээлбэл, орон зайн гурван цэгээс үүссэн гурвалжны өнцгийг оптик аргаар хэмжихэд "хамгийн тохиромжтой" тохиолдолд 180 ° -тай тэнцэх нийлбэрийг өгөх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, аксиомууд нь физикийн хуулиудтай ижил түвшинд тавигддаг тул тэдгээрийн “үнэн” нь физикийн хуулиудын үнэнтэй адилаар ойлгогддог; тэдгээр. аксиомын логик үр дагаврыг туршилтын өгөгдөлтэй харьцуулах замаар баталгаажуулна. Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн хэмжих хэрэгслийн "төгс бус" шинж чанар ба хэмжсэн объектын "төгс бус шинж чанар" -тай холбоотой алдааны хүрээнд л тохиролцож болно. Гэсэн хэдий ч хэрэв хуулиуд нь "үнэн" бол хэмжилтийн үйл явцыг сайжруулах нь зарчмын хувьд хэмжилтийн алдааг хүссэн хэмжээгээрээ багасгаж чадна гэж үргэлж үздэг.

18-р зууны туршид. Үндсэн аксиомуудаас олж авсан бүх үр дагавар, ялангуяа одон орон судлал, механикийн хувьд туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байгааг нотлох баримт улам бүр нэмэгдэж байв. Эдгээр үр дагаврыг тухайн үед байсан математикийн аппарат ашиглан олж авсан тул ололт амжилтПлатоны хэлснээр "хүн бүрт ойлгомжтой" бөгөөд хэлэлцэх боломжгүй байдаг Евклидийн аксиомуудын үнэний талаарх үзэл бодлыг бэхжүүлэхэд хувь нэмэр оруулсан.

Эргэлзээ, шинэ итгэл найдвар.

Евклидийн бус геометр.

Евклидийн өгсөн постулатуудын нэг нь маш тодорхойгүй байсан тул агуу математикчийн анхны шавь нар хүртэл үүнийг системийн сул тал гэж үздэг байв. Эхэлсэн. Асууж буй аксиом нь өгөгдсөн шугамын гадна байрлах цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуунтай параллель зурж болно гэж заасан. Ихэнх геометрүүд параллель аксиомыг бусад аксиомоор нотлох боломжтой гэж үздэг байсан ба Евклид ийм нотолгоо гаргаж чадаагүйн улмаас параллель мэдэгдлийг постулат болгон томьёолжээ. Гэсэн хэдий ч шилдэг математикчид параллелуудын асуудлыг шийдэх гэж оролдсон ч тэдний хэн нь ч Евклидийг давж чадаагүй юм. Эцэст нь 18-р зууны хоёрдугаар хагаст. Эвклидийн параллелуудын тухай постулатыг зөрчилдөөнөөр нотлох оролдлого хийсэн. Зэрэгцээ аксиомыг худал гэж үздэг. Априори, Евклидийн постулат хоёр тохиолдолд худал болж хувирч болно: хэрэв өгөгдсөн шугамын гаднах цэгээр нэг параллель шугам татах боломжгүй бол; эсвэл хэд хэдэн зэрэгцээ нэгийг нь дундуур нь зурж болно. Эхний априори боломжийг бусад аксиомоор хассан нь тогтоогдсон. Математикчид параллелуудын тухай уламжлалт аксиомын оронд шинэ аксиом (өгөгдсөн шугамын гаднах цэгээр дамжуулан өгөгдсөнтэй параллель хэд хэдэн шулуун зурж болно) шинэ аксиомыг ашигласны дараа математикчид үүнээс бусад аксиомтой зөрчилдсөн мэдэгдлийг гаргаж авахыг оролдсон боловч бүтэлгүйтэв. Тэд шинэ "евклидийн эсрэг" эсвэл "евклидийн бус" аксиомоос үр дагавар гаргах гэж хичнээн хичээсэн ч зөрчилдөөн хэзээ ч гарч байгаагүй. Эцэст нь бие биенээсээ үл хамааран Н.И.Лобачевский (1793–1856), Ж.Боляй (1802–1860) нар параллелуудын тухай Евклидийн постулат нь нотлогдохгүй, өөрөөр хэлбэл “Евклидийн бус геометрт” зөрчил гарахгүй гэдгийг ойлгосон. ”

Евклидийн бус геометр бий болсноор философийн хэд хэдэн асуудал нэн даруй гарч ирэв. Аксиомын априори зайлшгүй шаардлага алга болсон тул үлдсэн цорын ганц арга замТэдний "үнэнийг" шалгах нь туршилтын шинж чанартай. Гэвч А.Пуанкаре (1854–1912) хожим тэмдэглэснээр аливаа үзэгдлийг тайлбарлахдаа маш олон физик таамаглал нуугдаж байдаг тул нэг ч туршилт математикийн аксиомын үнэн, худал байдлын баттай нотолгоо гаргаж чадахгүй. Түүгээр ч барахгүй манай ертөнцийг “Евклидийн бус” гэж тооцсон ч Евклидийн бүх геометр худал гэсэн үг үү? Мэдэгдэж байгаагаар ямар ч математикч ийм таамаглалыг нухацтай авч үзсэнгүй. Зөн совин нь Евклидийн болон Евклидийн бус геометрийн аль аль нь бүрэн математикийн жишээ юм гэж үзсэн.

Математикийн "мангасууд".

Гэнэтийн адил дүгнэлтэд огт өөр чиглэлээс хүрсэн - 19-р зууны математикчдыг цочирдуулсан объектууд олдсон. шоконд оруулж, "математикийн мангасууд" гэж нэрлэсэн. Энэхүү нээлт нь зөвхөн 19-р зууны дунд үед үүссэн математик шинжилгээний маш нарийн асуудлуудтай шууд холбоотой юм. Туршилтын муруйн ойлголттой яг ижил математикийн аналогийг олохыг оролдоход бэрхшээл гарч ирэв. "Тасралтгүй хөдөлгөөн" (жишээлбэл, цаасан дээр хөдөлж буй зургийн үзэгний цэг) гэсэн ойлголтын мөн чанар юу байсан бэ? (жишээлбэл, цаасан дээр хөдөлж буй зургийн үзэгний цэг) математикийн нарийн тодорхойлолтод захирагдаж байсан бөгөөд тасралтгүй байдлын тухай ойлголт нь математикийн хатуу ойлголтыг олж авснаар энэ зорилгод хүрсэн юм. утга ( см. Мөнмуруй). Зөн совингийн хувьд түүний цэг бүр дээрх "муруй" нь чиглэлтэй, өөрөөр хэлбэл. ерөнхий тохиолдолд, түүний цэг бүрийн ойролцоо муруй нь шулуун шугамтай бараг адилхан ажилладаг. (Нөгөө талаас, муруй нь олон өнцөгт шиг хязгаарлагдмал тооны булангийн цэгүүдтэй байдаг гэж төсөөлөхөд хэцүү биш юм.) Энэ шаардлагыг математикийн аргаар томъёолж болно, тухайлбал, муруйд шүргэгч байх нь гэж таамаглаж байсан бөгөөд 19-р зууны дунд үе хүртэл. Зарим "тусгай" цэгүүдийг эс тооцвол "муруй" нь бараг бүх цэгүүдэд шүргэгчтэй байдаг гэж үздэг байв. Тиймээс ямар ч үед шүргэгчгүй "муруй" олдсон нь жинхэнэ дуулиан дэгдээв ( см. МөнФУНКЦИЙН ОНОЛ). (Тригонометр ба аналитик геометрийг мэддэг уншигч тэгшитгэлээр өгөгдсөн муруйг хялбархан шалгаж болно. y = xнүгэл(1/ x), эхэнд шүргэгч байхгүй, гэхдээ аль ч цэг дээр шүргэгчгүй муруйг тодорхойлох нь илүү хэцүү байдаг.)

Хэсэг хугацааны дараа илүү "эмгэг судлалын" үр дүнд хүрсэн: квадратыг бүрэн дүүргэх муруйн жишээг бүтээх боломжтой болсон. Түүнээс хойш "эрүүл ухаан"-аас үл хамааран ийм олон зуун "мангас" зохион бүтээжээ. Ийм ер бусын математикийн объектууд оршин тогтнох нь гурвалжин эсвэл эллипс байдаг шиг хатуу бөгөөд логикийн хувьд өө сэвгүй үндсэн аксиомуудаас үүдэлтэй гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Учир нь математикийн "мангасууд" ямар ч туршилтын объекттой тохирч чадахгүй бөгөөд цорын ганц боломжтой дүгнэлт бол математикийн "санаа"-ны ертөнц нь төсөөлж байснаас хамаагүй баялаг бөгөөд ер бусын бөгөөд тэдний маш цөөхөн нь манай ертөнцөд захидал харилцаатай байдаг. мэдрэмжүүд. Гэхдээ математикийн "мангасууд" аксиомуудаас логикоор дагаж мөрддөг бол аксиомуудыг үнэн гэж үзэж болох уу?

Шинэ объектууд.

Дээрх үр дүн нь бас нэг талаас батлагдсан: математикт, голчлон алгебрт, тооны тухай ойлголтыг нэгтгэсэн математикийн шинэ объектууд ар араасаа гарч ирэв. Энгийн бүхэл тоо нь нэлээд "зөн совинтой" бөгөөд бутархайн тухай туршилтын үзэл баримтлалд хүрэх нь тийм ч хэцүү биш юм (хэдийгээр нэгжийг хэд хэдэн тэнцүү хэсэгт хувааж, хэд хэдэн хэсгийг нь сонгох үйл ажиллагаа нь мөн чанараараа ялгаатай гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. тоолох үйл явцаас). Тоонуудыг бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг олж мэдсэний дараа Грекчүүд иррационал тоонуудыг авч үзэхээс өөр аргагүй болсон бөгөөд үүнийг оновчтой тоогоор хязгааргүй ойртуулах дарааллаар зөв тодорхойлох нь хүний оюун ухааны хамгийн дээд амжилт юм. гэхдээ бидний физик ертөнцөд (ямар ч хэмжилт нь алдаатай байнга холбоотой байдаг) бодитой зүйлтэй бараг нийцдэггүй. Гэсэн хэдий ч иррационал тоонуудыг нэвтрүүлэх нь физик ойлголтыг "идеалчлах" сүнсээр бага багаар тохиолдсон юм. Алгебрийн хөгжилтэй холбоотойгоор аажмаар асар их эсэргүүцэлтэй тулгараад шинжлэх ухааны хэрэглээнд нэвтэрч эхэлсэн сөрөг тоонуудын талаар бид юу хэлэх вэ? Шууд хийсвэрлэх үйл явцын тусламжтайгаар сөрөг тооны тухай ойлголтыг бий болгоход бэлэн биет объект байгаагүй бөгөөд алгебрийн анхан шатны хичээлийг заахдаа бид олон туслах болон туслах хэрэгслүүдийг нэвтрүүлэх шаардлагатай байгааг бүрэн итгэлтэйгээр хэлж болно. хангалттай нарийн төвөгтэй жишээнүүд(баримтлагдсан сегмент, температур, өр гэх мэт) юу болохыг тайлбарлах сөрөг тоонууд. Энэ нөхцөл байдал нь Платон математикийн үндсэн санааг шаардсан шиг "хүн бүрт ойлгомжтой" гэсэн ойлголтоос маш хол бөгөөд тэмдгүүдийн дүрэм нууц хэвээр байгаа коллеж төгсөгчидтэй байнга тааралддаг (- а)(–б) = ab. бас үзнэ үүДУГААР.

Нөхцөл байдал "төсөөлөл" эсвэл "цогцолбор" тоонуудын хувьд бүр ч дор байна, учир нь тэдгээрт "тоо" орсон байдаг. би, ийм би 2 = –1, энэ нь тэмдгийн дүрмийг илт зөрчиж байна. Гэсэн хэдий ч 16-р зууны сүүлчээс математикчид. 200 жилийн өмнө тэд эдгээр "объектуудыг" тодорхойлж чадахгүй байсан ч, жишээлбэл, сөрөг тоонуудын чиглэсэн сегментүүдийг ашиглан тайлбарлаж чадахгүй байсан ч нийлмэл тоонуудтай тооцоолол хийхээс бүү эргэлз. . (1800 оноос хойш хэд хэдэн тайлбарыг санал болгосон нийлмэл тоо, хамгийн алдартай нь хавтгайд вектор ашиглах явдал юм.)

Орчин үеийн аксиоматик.

Хувьсгал 19-р зууны хоёрдугаар хагаст болсон. Хэдийгээр энэ нь албан ёсны мэдэгдэл дагаагүй ч бодит байдал дээр энэ нь нэг төрлийн "тусгаар тогтнолын тунхаг" тунхаглалын тухай байв. Бүр тодруулбал, математикийн гадаад ертөнцөөс хараат бус байдлыг бодитоор тунхагласан тухай.

Энэ үүднээс авч үзвэл математикийн "объектууд" нь "оршихуйн" тухай ярих нь утга учиртай бол оюун санааны цэвэр бүтээл бөгөөд тэдгээрт ямар нэгэн "харилцаа" байдаг бөгөөд физикийн ертөнцөд ямар нэгэн "тайлбар" хийх боломжийг олгодог уу? , математикийн хувьд чухал биш (хэдийгээр энэ асуулт өөрөө сонирхолтой юм).

Ийм "объект" -ын талаархи "үнэн" мэдэгдэл нь аксиомуудын ижил логик үр дагавар юм. Харин одоо аксиомуудыг бүрэн дур зоргоороо гэж үзэх ёстой бөгөөд тиймээс тэдгээр нь "илэрхий" байх эсвэл "идеалчлах" замаар өдөр тутмын туршлагаас дүгнэлт хийх шаардлагагүй юм. Практикт бүрэн эрх чөлөөг янз бүрийн үндэслэлээр хязгаарладаг. Мэдээжийн хэрэг, "сонгодог" объектууд болон тэдгээрийн аксиомууд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа боловч одоо тэдгээрийг математикийн цорын ганц объект, аксиом гэж үзэх боломжгүй бөгөөд аксиомуудыг ашиглах боломжтой болгохын тулд хаях, өөрчлөх зуршил нь өдөр тутмын практикийн нэг хэсэг болжээ. янз бүрийн арга замууд, Евклидийн геометрээс Евклидийн бус геометр рүү шилжих үед хийгдсэн шиг. (Ийм байдлаар Евклидийн геометр болон Лобачевский-Боляй геометрээс ялгаатай олон тооны "Евклидийн бус" геометрийн хувилбаруудыг олж авсан; жишээлбэл, параллель шугамгүй Евклидийн бус геометрүүд байдаг.)

Математикийн "объект"-ын шинэ хандлагаас үүдэлтэй нэг нөхцөл байдлыг би онцгойлон тэмдэглэхийг хүсч байна: бүх нотолгоо нь зөвхөн аксиом дээр үндэслэсэн байх ёстой. Хэрэв бид математикийн нотолгооны тодорхойлолтыг санаж байвал ийм мэдэгдэл давтагдсан мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч түүний объектууд эсвэл аксиомуудын "зөн совингийн" шинж чанараас шалтгаалан сонгодог математикт энэ дүрмийг бараг дагаж мөрддөггүй байв. Бүр дотор ЭхлэлЕвклид, илэрхий "хатуу" байдлаа үл харгалзан олон аксиомыг тодорхой заагаагүй бөгөөд олон шинж чанарыг далд таамагласан эсвэл хангалттай үндэслэлгүйгээр нэвтрүүлсэн. Евклидийн геометрийг баттай суурь болгохын тулд түүний зарчмуудыг шүүмжлэлтэй өөрчлөх шаардлагатай байв. Нотлох баримтын өчүүхэн нарийн ширийн зүйлийг хянах нь орчин үеийн математикчдад дүгнэлт хийхдээ болгоомжтой байхыг сургасан "мангасууд" гарч ирсний үр дагавар гэж хэлэх нь хэцүү юм. Сонгодог объектуудын талаархи хамгийн хор хөнөөлгүй бөгөөд "өөрөө ойлгомжтой" мэдэгдэл, жишээлбэл, шугамын эсрэг талд байрлах муруйг холбосон цэгүүд энэ шугамыг заавал огтолдог гэсэн мэдэгдэл нь орчин үеийн математикт албан ёсны хатуу нотолгоо шаарддаг.

Орчин үеийн математик яг аксиомыг баримталдаг учраас л үйлчилдэг гэж хэлэхэд гаж юм шиг санагдаж магадгүй. тод жишээямар ч шинжлэх ухаан ямар байх ёстой. Гэсэн хэдий ч, энэ арга нь харуулж байна онцлог шинжШинжлэх ухааны сэтгэлгээний үндсэн үйл явцын нэг бол бүрэн бус мэдлэгтэй нөхцөлд үнэн зөв мэдээлэл олж авах явдал юм. Шинжлэх ухааны судалгааТодорхой ангиллын объектууд нь нэг объектыг нөгөөгөөс нь ялгах боломжийг олгодог шинж чанаруудыг зориудаар мартсан гэж үздэг бөгөөд зөвхөн тухайн объектын ерөнхий шинж чанарууд хадгалагдан үлддэг. Математикийг шинжлэх ухааны ерөнхий салбараас ялгаж буй зүйл бол энэ хөтөлбөрийг бүх талаараа чанд баримталдаг явдал юм. Математикийн объектууд нь тэдгээр объектын онолд ашигласан аксиомоор бүрэн тодорхойлогддог гэж хэлдэг; эсвэл Пуанкарегийн хэлснээр аксиомууд нь тэдгээрт хамаарах объектуудын “далдлагдсан тодорхойлолт” болдог.

ОРЧИН ҮЕИЙН МАТЕМАТИК

Аливаа аксиом байх нь онолын хувьд боломжтой хэдий ч өдий хүртэл цөөн тооны аксиомуудыг санал болгож, судалж байна. Ихэвчлэн нэг буюу хэд хэдэн онолыг боловсруулах явцад тодорхой нотолгооны загварууд ижил төстэй нөхцөлд давтагддаг нь ажиглагддаг. Ерөнхий нотлох схемд ашигласан шинж чанаруудыг олж илрүүлсний дараа тэдгээрийг аксиом хэлбэрээр томъёолж, тэдгээрийн үр дагаврыг аксиомуудыг хийсвэрлэсэн тодорхой нөхцөлтэй шууд хамааралгүй ерөнхий онол болгон бүтээдэг. Ийм аргаар олж авсан ерөнхий теоремууд нь харгалзах аксиомуудыг хангасан объектын систем байгаа аливаа математик нөхцөл байдалд хамаарна. Математикийн өөр өөр нөхцөл байдалд ижил нотлох схемийг давтах нь бид ижил үзүүлэлтийн өөр өөр үзүүлэлттэй ажиллаж байгааг харуулж байна. ерөнхий онол. Энэ нь зохих тайлбар хийсний дараа энэ онолын аксиомууд нөхцөл байдал бүрт теорем болдог гэсэн үг юм. Аксиомуудаас олж авсан аливаа шинж чанар нь эдгээр бүх нөхцөл байдалд хүчинтэй байх болно, гэхдээ тохиолдол бүрийн хувьд тусдаа нотлох шаардлагагүй. Ийм тохиолдолд математикийн нөхцөл байдал нь ижил математикийн "бүтэцтэй" гэж хэлдэг.

Бид бүтцийн санааг алхам тутамдаа ашигладаг Өдөр тутмын амьдрал. Хэрэв термометр 10 хэмийг зааж, урьдчилсан мэдээний газар 5 хэмийн температур өснө гэж таамаглаж байгаа бол бид ямар ч тооцоогүйгээр 15 ° C температурыг хүлээж байна. Хэрэв ном 10-р хуудсанд нээгдэж, бид 5 хуудас цааш харахыг хүсэх болно. , завсрын хуудсуудыг тоололгүйгээр 15-р хуудсанд нээхээс эргэлздэггүй. Аль ч тохиолдолд тоо нэмэх нь температур эсвэл хуудасны дугаар гэх мэт тайлбараас үл хамааран зөв үр дүнг өгдөг гэж бид үзэж байна. Бид термометрийн хувьд нэг арифметик, хуудасны дугаарын хувьд өөр арифметик сурах шаардлагагүй (хэдийгээр бид цагтай харьцахдаа 8 + 5 = 1 гэсэн тусгай арифметик ашигладаг, учир нь цаг нь номын хуудаснаас өөр бүтэцтэй байдаг). Математикчдын сонирхдог бүтэц нь арай илүү төвөгтэй бөгөөд үүнийг хоёр хэсэгт авч үзсэн жишээнүүдээс харахад хялбар байдаг. дараах хэсгүүдэнэ нийтлэлийн. Тэдний нэг нь бүлгийн онол ба математикийн ойлголтуудбүтэц ба изоморфизм.

Бүлгийн онол.

Дээр дурдсан үйл явцыг илүү сайн ойлгохын тулд орчин үеийн математикчийн лабораторийг чөлөөтэй судалж, түүний гол хэрэгслүүдийн нэг болох бүлгийн онолыг нарийвчлан авч үзье. см. МөнХИЙСЭН АЛГЕБР). Бүлэг нь объектуудын багц (эсвэл "иж бүрдэл") юм Г, дээр дурын хоёр объект эсвэл элементтэй тохирох үйлдлийг тодорхойлсон а, б-аас Г, заасан дарааллаар авсан (эхний элемент юм а, хоёр дахь нь элемент юм б), гурав дахь элемент в-аас Гхатуу тогтоосон дүрмийн дагуу. Товчхондоо бид энэ элементийг тэмдэглэв а*б; Од (*) нь хоёр элементийн найрлагын үйл ажиллагааг илэрхийлдэг. Бидний бүлгээр үржүүлэх гэж нэрлэх энэ үйлдэл нь дараах нөхцлийг хангасан байх ёстой.

(1) дурын гурван элементийн хувьд а, б, в-аас ГХолбооны өмч нь дараахь зүйлийг агуулна. а* (б*в) = (а*б) *в;

(2) дотор Гийм элемент байдаг д, аль ч элементийн хувьд а-аас Гхарилцаа байдаг д*а = а*д = а; энэ элемент дбүлгийн ганц буюу төвийг сахисан элемент гэж нэрлэдэг;

(3) аливаа элементийн хувьд а-аас Гийм элемент байдаг аў, урвуу эсвэл тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг элемент рүү а, Юу а*аў = аў* а = д.

Хэрэв эдгээр шинж чанаруудыг аксиом болгон авбал тэдгээрийн логик үр дагавар (бусад аксиом эсвэл теоремоос үл хамааран) хамтдаа бүлгийн онол гэж нэрлэгддэг зүйлийг бүрдүүлдэг. Математикийн бүх салбарт бүлгүүд өргөн хэрэглэгддэг тул эдгээр үр дагаврыг нэг удаа гарган авах нь маш ашигтай болсон. Мянга мянган боломжит бүлгүүдийн жишээнээс бид хамгийн энгийнийг нь л сонгох болно.

(a) бутархай х/q, Хаана хТэгээд q– дурын бүхэл тоо i1 (тэй q= 1 бид энгийн бүхэл тоог авдаг). Бутархай х/qбүлэг үржүүлэх дор бүлэг үүсгэх ( х/q) *(r/с) = (pr)/(qs). (1), (2), (3) шинж чанарууд нь арифметикийн аксиомуудаас үүснэ. Үнэхээр [( х/q) *(r/с)] *(т/у) = (prt)/(qsu) = (х/q)*[(r/с)*(т/у)]. Нэгж элемент нь 1 = 1/1 тоо, учир нь (1/1)*( х/q) = (1H х)/(1Ц q) = х/q. Эцэст нь бутархайтай урвуу элемент х/q, бутархай байна q/х, учир нь ( х/q)*(q/х) = (pq)/(pq) = 1.

(б) гэж үзэх Г 0, 1, 2, 3, гэх мэт дөрвөн бүхэл тоонуудын багц а*б- хэсгийн үлдэгдэл а + б at 4. Ийм байдлаар нэвтрүүлсэн үйл ажиллагааны үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 1 (элемент а*бшугамын огтлолцол дээр зогсож байна аба багана б). (1)–(3) шинж чанарууд хангагдсан эсэхийг шалгахад хялбар бөгөөд таних элемент нь 0 тоо юм.

(в) гэж сонгоцгооё Г 1, 2, 3, 4, гэх мэт тоонуудын багц а*б- хэсгийн үлдэгдэл ab(энгийн бүтээгдэхүүн) 5-аар. Үүний үр дүнд бид хүснэгтийг авна. 2. (1)–(3) шинж чанарууд хангагдсан эсэхийг шалгахад хялбар бөгөөд таних элемент нь 1 байна.

(г) 1, 2, 3, 4 гэсэн дөрвөн тоо зэрэг дөрвөн объектыг 24 аргаар дараалан байрлуулж болно. Зохицуулалт бүрийг "байгалийн" зохицуулалтыг өгөгдсөн хэлбэр болгон хувиргах хувиргалт хэлбэрээр дүрсэлж болно; жишээ нь: 4, 1, 2, 3 зохицуулалт нь хувиргалтаас үүсдэг

С: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

илүү тохиромжтой хэлбэрээр бичиж болно

Ийм хоёр өөрчлөлтийн хувьд С, Тбид тодорхойлох болно С*Тдэс дараалсан гүйцэтгэлийн үр дүнд бий болсон хувирал гэж Т, Тэгээд С. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь . Энэ тодорхойлолтоор бүх 24 боломжит өөрчлөлтүүд нь нэг бүлгийг үүсгэдэг; түүний нэгж элемент нь , харин элемент нь урвуу С, тодорхойлолт дахь сумыг солих замаар олж авсан Сэсрэгээр; жишээ нь хэрэв , дараа нь .

Үүнийг эхний гурван жишээнээс харахад амархан а*б = б*а; ийм тохиолдолд бүлэг эсвэл бүлгийн үржүүлгийг солих гэж нэрлэдэг. Нөгөө талаас, сүүлчийн жишээнд, тиймээс Т*С-аас ялгаатай С*Т.

(d) жишээн дэх бүлэг нь тусгай тохиолдол юм. тэгш хэмийн бүлэг, тэдгээрийн хэрэглээнд бусад зүйлсийн дотор алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд, атомын спектрийн шугамын үйл ажиллагаа орно. (b) ба (c) жишээн дэх бүлгүүд тоон онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг; жишээнд (б) 4-ийн тоог дурын бүхэл тоогоор сольж болно n, мөн 0-ээс 3 хүртэлх тоо - 0-ээс 3 хүртэлх тоо n– 1 (хамт n= 12 бид дээр дурьдсанчлан цагийн хэлхээнд байгаа тоонуудын системийг олж авдаг); жишээнд (в) 5-ын тоог дурын тоогоор сольж болно анхны тоо Р, мөн 1-ээс 4 хүртэлх тоо - 1-ээс 4 хүртэлх тоо х – 1.

Бүтэц ба изоморфизм.

Өмнөх жишээнүүд нь бүлгийг бүрдүүлдэг объектуудын шинж чанар хэр олон янз байдгийг харуулж байна. Гэвч үнэн хэрэгтээ тухайн тохиолдол бүрт бүх зүйл ижил хувилбараар бууж ирдэг: объектын олонлогийн шинж чанаруудаас бид зөвхөн энэ олонлогийг бүлэг болгон хувиргадаг зүйлсийг л авч үздэг (бүрэн бус мэдлэгийн жишээ энд байна!). Ийм тохиолдолд бид сонгосон бүлгийн үржүүлгээр өгөгдсөн бүлгийн бүтцийг авч үзэж байна гэж хэлдэг.

Бүтцийн өөр нэг жишээ нь гэж нэрлэгддэг бүтэц юм. захиалгын бүтэц. Цөөн хэдэн Эдэг журмын бүтэцтэй, эсвэл элементүүдийн хооронд эрэмблэгдсэн а è б, харьяалагддаг Э, тодорхой харьцаа өгөгдсөн бөгөөд үүнийг бид тэмдэглэдэг Р (а,б). (Энэ хамаарал нь аль ч хос элементийн хувьд утга учиртай байх ёстой Э, гэхдээ ерөнхийдөө энэ нь зарим хосын хувьд худал, бусад нь үнэн, жишээ нь 7 харьцаа

(1) Р (а,а) хүн бүрт үнэн А, эзэмшдэг Э;

(2) -аас Р (а,б) Мөн Р (б,а) үүнийг дагадаг а = б;

(3) -аас Р (а,б) Мөн Р (б,в) байх ёстой Р (а,в).

Маш олон янзын захиалгат багцаас хэд хэдэн жишээ өгье.

(А) Эбүх бүхэл тооноос бүрдэнэ Р (а,б) - харилцаа " Абага эсвэл тэнцүү б».

(б) Эбүх бүхэл тооноос бүрдэх >1, Р (а,б) - харилцаа " Ахуваадаг бэсвэл тэнцүү б».

(в) Эхавтгай дээрх бүх тойргуудаас бүрддэг, Р (а,б) – хамаарал “тойрог а-д агуулагддаг бэсвэл давхцаж байна б».

Бүтцийн эцсийн жишээ болгон метрийн орон зайн бүтцийг дурдъя; ийм бүтэц нь багц дээр тодорхойлогддог Э, хэрэв хос элемент бүр аТэгээд бхарьяалагддаг Э, та дугаарыг тааруулж болно г (а,б) i 0, дараах шинж чанаруудыг хангана.

(1) г (а,б) = 0 зөвхөн хэрэв байгаа бол а = б;

(2) г (б,а) = г (а,б);

(3) г (а,в) Ј г (а,б) + г (б,в) өгөгдсөн дурын гурван элементийн хувьд а, б, в-аас Э.

Метрийн орон зайн жишээг өгье:

(a) энгийн "гурван хэмжээст" орон зай, хаана г (а,б) – энгийн (эсвэл “Евклидийн”) зай;

(б) бөмбөрцгийн гадаргуу, хаана г (а,б) – хоёр цэгийг холбосон тойргийн хамгийн жижиг нумын урт аТэгээд ббөмбөрцөг дээр;

(в) дурын багц Э, Үүний төлөө г (а,б) = 1 бол а № б; г (а,а) = 0 аливаа элементийн хувьд а.

Бүтцийн тухай ойлголтыг нарийн тодорхойлох нь нэлээд хэцүү байдаг. Нарийвчилсан мэдээлэлгүйгээр бид олон талаар хэлж чадна ЭХэрэв олонлогийн элементүүдийн хооронд тодорхой төрлийн бүтцийг зааж өгсөн болно Э(мөн заримдаа бусад объектууд, жишээлбэл, туслах үүрэг гүйцэтгэдэг тоонууд) харгалзах төрлийн бүтцийг тодорхойлдог тодорхой тогтсон аксиомуудын багцыг хангадаг харилцааг зааж өгдөг. Дээр бид гурван төрлийн бүтцийн аксиомуудыг үзүүлэв. Мэдээжийн хэрэг, онол нь бүрэн боловсруулагдсан өөр олон төрлийн бүтэц бий.

Олон хийсвэр ойлголтууд бүтцийн тухай ойлголттой нягт холбоотой байдаг; Хамгийн чухал зүйлүүдийн зөвхөн нэгийг нэрлэе - изоморфизм гэсэн ойлголт. Өмнөх хэсэгт өгсөн (b) ба (c) бүлгүүдийн жишээг эргэн сана. Үүнийг хүснэгтээс шалгахад хялбар байдаг. 1 ширээ рүү 2-ыг тааруулах замаар удирдах боломжтой

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Энэ тохиолдолд бид эдгээр бүлгүүдийг изоморф гэж хэлдэг. Ерөнхийдөө хоёр бүлэг ГТэгээд Гμ нь бүлгийн элементүүдийн хооронд байвал изоморф байна Гба бүлгийн элементүүд Гђ ийм ганцаарчилсан захидал харилцааг бий болгох боломжтой а « ав, яах бол в = а*б, Тэр вў = аў* бº харгалзах элементүүдийн хувьд Гў. Бүлгийн хувьд хүчинтэй бүлгийн онолын аливаа мэдэгдэл Г, бүлэгт хүчинтэй хэвээр байна Гў, мөн эсрэгээр. Алгебрийн бүлгүүд ГТэгээд Гө ялгахын аргагүй.

Яг ижил аргаар хоёр изоморф дараалсан олонлог эсвэл хоёр изоморф метрийн орон зайг тодорхойлж болохыг уншигч амархан харж болно. Изоморфизмын тухай ойлголт нь ямар ч төрлийн бүтцэд хамаатай болохыг харуулж болно.

АНГИЛАЛ

Математикийн хуучин ба шинэ ангилал.

Бүтцийн тухай ойлголт болон бусад холбогдох ойлголтууд нь орчин үеийн математикт цэвэр "техникийн" болон философи, арга зүйн үүднээс хоёуланд нь гол байр суурийг эзэлсээр ирсэн. Бүтцийн үндсэн төрлүүдийн ерөнхий теоремууд нь математикийн "техникийн" маш хүчирхэг хэрэгсэл болдог. Математикч өөрийн судалж буй объектууд нь тодорхой төрлийн бүтцийн аксиомуудыг хангаж байгааг харуулж чаддаг бол энэ төрлийн бүтцийн онолын бүх теоремууд нь түүний судалж буй тодорхой объектуудад хамааралтай болохыг нотолж байна (эдгээр ерөнхий теоремгүйгээр тэрээр Тэд онцгой сонголтоо мартсан байх эсвэл шаардлагагүй таамаглалаар миний үндэслэлийг дарамтлахаас өөр аргагүй болно). Үүний нэгэн адил, хэрэв хоёр бүтэц изоморф болох нь нотлогдвол теоремуудын тоо даруй хоёр дахин нэмэгддэг: аль нэг бүтцийн хувьд нотлогдсон теорем бүр нөгөөд нь харгалзах теоремыг шууд өгдөг. Иймд маш нарийн төвөгтэй, хэцүү онолууд байдаг нь гайхах зүйл биш юм, тухайлбал тооны онол дахь "ангийн талбайн онол". гол зорилгоЭнэ нь бүтцийн изоморфизмын нотолгоо юм.

Философийн үүднээс авч үзвэл бүтэц, изоморфизмыг өргөнөөр ашиглах нь орчин үеийн математикийн гол шинж чанарыг харуулж байна - математикийн "объект" -ын "мөн чанар" нь тийм ч чухал биш, зөвхөн объектуудын хоорондын хамаарал нь чухал ач холбогдолтой болохыг харуулж байна. бүрэн бус мэдлэгийн зарчим).

Эцэст нь, бүтцийн тухай ойлголт нь математикийн салбаруудыг шинэ хэлбэрээр ангилах боломжийг олгосон гэдгийг дурдах аргагүй юм. 19-р зууны дунд үе хүртэл. Тэд судалгааны сэдвээс хамааран өөр өөр байв. Арифметик (эсвэл тооны онол) нь бүхэл тоо, геометр нь шулуун, өнцөг, олон өнцөгт, тойрог, талбай гэх мэтийг авч үздэг. Алгебр нь тоон тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудтай бараг л холбоотой байсан бол аналитик геометр нь геометрийн асуудлыг ижил төстэй алгебрийн бодлого болгон хувиргах аргыг боловсруулсан. Математикийн өөр нэг чухал салбар болох “математик анализ” нь голчлон дифференциал болон интеграл тооцоолол, тэдгээрийн геометр, алгебр, бүр тооны онолд янз бүрийн хэрэглээг багтаасан. Эдгээр хэрэглээний тоо нэмэгдэж, ач холбогдол нь нэмэгдсэн нь математик анализыг функцийн онол, дифференциал тэгшитгэл (ердийн ба хэсэгчилсэн дериватив), дифференциал геометр, вариацын тооцоо гэх мэт дэд хэсгүүдэд хуваахад хүргэсэн.

Орчин үеийн олон математикчдын хувьд энэ хандлага нь эртний байгалийн судлаачдын амьтдыг ангилж байсан түүхийг эргэн санадаг: нэгэн цагт далайн яст мэлхий, туна загас хоёулаа усанд амьдардаг, ижил төстэй шинж чанартай тул загас гэж тооцогддог байв. Орчин үеийн хандлагаЗөвхөн гадаргуу дээр юу байгааг олж харахаас гадна илүү гүнзгий харж, математикийн объектуудын хуурамч дүр төрхийн ард байгаа үндсэн бүтцийг танихыг хичээсэн. Энэ үүднээс авч үзвэл бүтцийн хамгийн чухал төрлүүдийг судлах нь чухал юм. Эдгээр төрлүүдийн бүрэн бөгөөд тодорхой жагсаалт бидний мэдэлд байх магадлал багатай; Тэдний зарим нь сүүлийн 20 жилийн хугацаанд нээгдсэн бөгөөд ирээдүйд шинэ нээлтүүдийг хүлээх бүрэн үндэслэл бий. Гэсэн хэдий ч бид олон төрлийн үндсэн "хийсвэр" бүтцийн талаар аль хэдийн ойлголттой болсон. (Математикийн "сонгодог" объектуудтай харьцуулахад эдгээр нь "хийсвэр" юм, гэхдээ эдгээрийг ч "бетон" гэж нэрлэх боломжгүй; энэ нь хийсвэрлэлийн зэрэгтэй холбоотой юм.)

Мэдэгдэж буй бүтцийг агуулагдах харилцаа, нарийн төвөгтэй байдлаар нь ангилж болно. Нэг талаас, "алгебрийн" бүтцийн өргөн хүрээтэй блок байдаг бөгөөд үүний онцгой тохиолдол нь жишээлбэл, бүлгийн бүтэц юм; Бусад алгебрийн бүтцүүдийн дунд бид цагираг, талбаруудыг нэрлэнэ. см. МөнХИЙСЭН АЛГЕБР). Алгебрийн бүтцийг судлахтай холбоотой математикийн салбарыг ердийн эсвэл сонгодог алгебраас ялгаатай нь "орчин үеийн алгебр" эсвэл "хийсвэр алгебр" гэж нэрлэдэг. Евклидийн геометр, Евклидийн бус геометр, аналитик геометрийн нэлээд хэсэг нь шинэ алгебрт багтсан болно.

Ерөнхий байдлын ижил түвшинд өөр хоёр бүтцийн блок байдаг. Ерөнхий топологи гэж нэрлэгддэг тэдгээрийн нэг нь бүтцийн төрлүүдийн онолуудыг агуулдаг бөгөөд тэдгээрийн онцгой тохиолдол нь метрийн орон зайн бүтэц юм. см. Топологи; ХИЙСРЭЭС БАЙДАЛ). Гурав дахь блок нь дарааллын бүтэц, тэдгээрийн өргөтгөлийн онолуудаас бүрдэнэ. Бүтцийн "өргөтгөл" нь одоо байгаа аксиомууд дээр шинэ аксиомуудыг нэмэх явдал юм. Жишээлбэл, хэрэв бүлгийн аксиомуудад шилжих чадварын шинж чанарыг дөрөв дэх аксиом болгон нэмнэ. а*б = б*а, дараа нь бид коммутатив (эсвэл Абелийн) бүлгийн бүтцийг олж авна.

Эдгээр гурван блокийн сүүлийн хоёр нь саяхан болтол харьцангуй тогтвортой байдалд байсан бөгөөд "орчин үеийн алгебр" блок нь маш хурдацтай хөгжиж, заримдаа гэнэтийн чиглэлд (жишээлбэл, "гомологийн алгебр" хэмээх бүхэл бүтэн салбар хөгжсөн). Гадна гэж нэрлэгддэг "Цэвэр" төрлийн бүтэц нь өөр түвшинд байрладаг - "холимог" бүтэц, жишээлбэл алгебрийн болон топологийн бүтэц, тэдгээрийг холбосон шинэ аксиомууд. Ийм олон хослолыг судалж үзсэн бөгөөд ихэнх нь "топологийн алгебр" ба "алгебрийн топологи" гэсэн хоёр том блокт хуваагддаг.

Эдгээр блокуудыг нэгтгэж үзвэл шинжлэх ухааны маш том "хийсвэр" салбарыг бүрдүүлдэг. Олон тооны математикчид сонгодог онолыг илүү сайн ойлгож, хүнд хэцүү асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд шинэ арга хэрэгслийг ашиглана гэж найдаж байна. Үнэн хэрэгтээ, зохих түвшний хийсвэрлэл, ерөнхий ойлголттой бол эртний хүмүүсийн асуудал шинэ гэрэлд гарч ирэх бөгөөд энэ нь тэдний шийдлийг олох боломжийг олгоно. Сонгодог материалын асар том хэсэг нь шинэ математикийн нөлөөн дор орж, өөр онолуудтай нэгдэж эсвэл өөрчлөгдсөн. Өргөн уудам газар нутаг хэвээр байна орчин үеийн аргуудтийм ч гүн рүү ороогүй. Жишээ нь онол орно дифференциал тэгшитгэлмөн тооны онолын чухал хэсэг. Шинэ төрлийн барилга байгууламжийг олж, сайтар судалсны дараа эдгээр чиглэлээр томоохон ахиц дэвшил гарах магадлал өндөр байна.

ФИЛОСОФИЙН ХЭЦҮҮ

Математикийн онол зөрчилдөөнгүй байх ёстой гэдгийг эртний Грекчүүд ч тодорхой ойлгодог байсан. Энэ нь аксиомуудаас логик үр дагавар болгон мэдэгдлийг гаргах боломжгүй гэсэн үг юм Рмөн түүний үгүйсгэл нь тийм биш юм П. Гэсэн хэдий ч математикийн объектууд хоорондоо захидал харилцаатай байдаг гэж үздэг байсан бодит ертөнц, аксиомууд нь байгалийн хуулиудын "идеалчлалууд" тул математикийн тууштай байдалд хэн ч эргэлздэггүй. Сонгодог математикаас математикт шилжих үед орчин үеийн асуудалтууштай байдал нь өөр утгатай болсон. Аливаа математикийн онолын аксиомыг сонгох эрх чөлөө нь тууштай байх нөхцлөөр тодорхой хязгаарлагдах ёстой, гэхдээ энэ нөхцөл биелнэ гэдэгт итгэлтэй байж болох уу?

Олонлогийн тухай бид өмнө нь дурдсан. Энэ ойлголтыг математик, логикт бага багаар тодорхой ашиглаж ирсэн. 19-р зууны хоёрдугаар хагаст. Багцын тухай ойлголттой харьцах үндсэн дүрмийг хэсэгчлэн системчилсэн бөгөөд үүнээс гадна гэж нэрлэгддэг зүйлийн агуулгыг бүрдүүлсэн зарим чухал үр дүнг олж авсан. олонлогийн онол ( см. Мөн SET TEORY) нь бусад бүх математикийн онолын субстрат болсон юм. Эрт дээр үеэс 19-р зуун хүртэл. Элеатикийн Зеногийн (МЭӨ 5-р зуун) алдартай парадоксуудад тусгагдсан хязгааргүй олонлогийн талаар санаа зовж байсан. Эдгээр санаа зоволт нь зарим талаараа метафизик шинж чанартай байсан бөгөөд зарим талаараа хэмжигдэхүүнийг хэмжих (жишээлбэл, урт эсвэл цаг) гэсэн ойлголттой холбоотой бэрхшээлээс үүдэлтэй байв. Эдгээр бэрхшээлийг 19-р зууны дараа л арилгах боломжтой болсон. Математик анализын үндсэн ойлголтуудыг хатуу тодорхойлсон. 1895 он гэхэд бүх айдас арилж, математик нь олонлогийн онолын бат бөх суурь дээр тулгуурласан юм шиг санагдав. Гэвч дараагийн арван жилд олонлогийн онолын (болон бусад математикийн) дотоод зөрчилдөөнийг харуулсан шинэ аргументууд гарч ирэв.

Шинэ парадоксууд нь маш энгийн байсан. Эдгээрийн эхнийх нь Расселын парадоксыг үсчин парадокс гэж нэрлэгддэг энгийн хувилбараар авч үзэж болно. Тодорхой хотод үсчин үсээ хусдаггүй бүх оршин суугчдын үсийг хусдаг. Хэн үсчин өөрөө хусдаг вэ? Хэрэв үсчин өөрөө үсээ хусдаг бол тэр зөвхөн үсээ хусдаггүй оршин суугчдыг төдийгүй үсээ хусдаг нэг оршин суугчийг хусдаг; Хэрэв тэр өөрөө сахлаа хусдаггүй бол тэр өөрөө хусдаггүй хотын бүх оршин суугчдыг хусдаггүй. "Бүх олонлогийн багц" гэсэн ойлголтыг авч үзэх бүрт ийм төрлийн парадокс үүсдэг. Хэдийгээр энэ математикийн объект нь маш байгалийн юм шиг санагдаж байгаа ч түүний тухай бодох нь маш хурдан зөрчилдөөнд хүргэдэг.

Берригийн парадокс илүү илчлэгдэж байна. Арван долоон үгээс илүүгүй орос хэл дээрх бүх хэллэгийг авч үзье; Орос хэл дээрх үгсийн тоо хязгаартай тул ийм хэллэгийн тоо хязгаартай байдаг. Тэдгээрийн дотроос зарим нэг бүхэл тоог өвөрмөц байдлаар тодорхойлохыг сонгоцгооё, жишээлбэл: "Хамгийн том сондгой тоо араваас бага". Ийм хэллэгийн тоо бас хязгаартай; тиймээс тэдгээрээр тодорхойлогддог бүхэл тоонуудын багц нь төгсгөлтэй байна. Эдгээр тоонуудын төгсгөлтэй олонлогийг дараах байдлаар тэмдэглэе Д. Арифметикийн аксиомуудаас үзэхэд хамаарахгүй бүхэл тоонууд байдаг Д, мөн эдгээр тоонуудын дунд хамгийн бага тоо байна n. Энэ тоо n"Арван долоогоос илүүгүй орос үгээс бүрдсэн хэллэгээр тодорхойлох боломжгүй хамгийн жижиг бүхэл тоо" гэсэн хэллэгээр өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Гэхдээ энэ хэллэгт яг арван долоон үг орсон байна. Тиймээс энэ нь тоог тодорхойлдог nхамаарах ёстой Д, мөн бид парадоксик зөрчилдөөнд хүрч байна.

Зөн совин судлаачид ба формалистууд.

Олонлогийн онолын парадоксуудаас үүдэлтэй цочрол нь янз бүрийн хариу үйлдэл үзүүлэхэд хүргэсэн. Зарим математикчид нэлээд шийдэмгий байж, математик анхнаасаа буруу замаар хөгжиж байсан, шал өөр суурь дээр тулгуурлах ёстой гэсэн байр суурийг илэрхийлж байсан. Ийм "зөн билэгчдийн" үзэл бодлыг (тэд өөрсдийгөө ингэж нэрлэж эхэлсэн) ямар ч үнэн зөвөөр тайлбарлах боломжгүй, учир нь тэд өөрсдийн үзэл бодлоо цэвэр логик схем болгон бууруулахаас татгалзсан. Зөн билэгчдийн үзэж байгаагаар хэрэглэх нь буруу логик процессуудзөн совингоор илэрхийлэх боломжгүй объектуудад. Зөн совингийн хувьд ойлгомжтой цорын ганц объект бол натурал тоо 1, 2, 3,... болон хязгаарлагдмал олонлогууд юм. натурал тоонууд, нарийн заасан дүрмийн дагуу "барьсан". Гэхдээ ийм объектуудад ч гэсэн зөн совин судлаачид сонгодог логикийн бүх хасалтыг ашиглахыг зөвшөөрдөггүй байв. Жишээлбэл, тэд үүнийг ямар ч мэдэгдлийн төлөө хүлээн зөвшөөрөөгүй Рбас үнэн Р, эсвэл биш Р. Ийм хязгаарлагдмал арга хэрэгслээр тэд "парадокс" -аас амархан зайлсхийж байсан ч орчин үеийн бүх математикийг төдийгүй сонгодог математикийн үр дүнгийн нэлээд хэсгийг халсан бөгөөд үлдсэн хүмүүсийн хувьд шинэ зүйлийг олох шаардлагатай байв. , илүү төвөгтэй нотолгоо.

Орчин үеийн математикчдын дийлэнх нь зөн билэгчдийн аргументуудтай санал нийлэхгүй байв. Зөн совинтой бус математикчид парадоксуудад хэрэглэгддэг аргументууд нь олонлогийн онолтой ердийн математикийн ажилд хэрэглэгддэг аргументуудаас эрс ялгаатай байдгийг анзаарсан тул ийм аргументууд нь одоо байгаа математикийн онолыг эрсдэлд оруулахгүйгээр хууль бус гэж үгүйсгэх ёстой. Өөр нэг ажиглалт бол "парадоксууд" гарч ирэхээс өмнө байсан "гэнэн" олонлогийн онолд "олоног", "өмч", "харилцаа" гэсэн нэр томъёоны утгыг эргэлздэггүй байсан - сонгодог геометрийн нэгэн адил "зөн совин" гэж асуугаагүй.энгийн геометрийн ухагдахууны мөн чанар. Иймээс хүн геометрийн нэгэн адил үйлдэл хийж болно, тухайлбал, "зөн совин"-д хандах бүх оролдлогыг хаяж, нарийн томъёологдсон аксиомуудын системийг олонлогийн онолын эхлэл болгон авч болно. Гэсэн хэдий ч "өмч" эсвэл "харилцаа" гэх мэт үгс нь энгийн утгыг хэрхэн алдаж болох нь тодорхойгүй байна; Хэрэв бид Берригийн парадокс гэх мэт аргументуудыг үгүйсгэхийг хүсвэл үүнийг хийх ёстой. Энэ арга нь аксиом эсвэл теоремыг томъёолохдоо энгийн хэллэг ашиглахаас татгалзах явдал юм; Зөвхөн хатуу дүрмийн тодорхой тогтолцооны дагуу бүтээгдсэн саналуудыг математикт "шинж чанар" эсвэл "харилцаа" гэж зөвшөөрч, аксиомын томъёололд оруулна. Энэ үйл явцыг математик хэлийг "албан ёсны болгох" гэж нэрлэдэг (энгийн хэлний тодорхой бус байдлаас үүссэн үл ойлголцолоос зайлсхийхийн тулд нэг алхам урагшилж, албан ёсны өгүүлбэрт үгсийг тусгай тэмдэгтээр солих, жишээлбэл, холбогчийг солихыг зөвлөж байна. "болон" & тэмдэгтэй, холбогч "эсвэл" - b тэмдэгтэй, "оршдог" гэсэн тэмдэгтэй $ гэх мэт). Зөн билэгчдийн санал болгосон аргуудаас татгалзсан математикчдыг "формалистууд" гэж нэрлэж эхлэв.

Гэсэн хэдий ч анхны асуултад хэзээ ч хариулсангүй. "Аксиоматик олонлогын онол" нь зөрчилдөөнгүй юу? 1920-иод онд Д.Хилберт (1862-1943) болон түүний сургууль "албан ёсны" онолуудын нийцтэй байдлыг батлах шинэ оролдлого хийсэн бөгөөд үүнийг "метаматематик" гэж нэрлэжээ. Үндсэндээ метаматематик бол "хэрэглээний математик"-ийн салбар бөгөөд математик үндэслэлийг ашиглах объектууд нь албан ёсны онолын саналууд ба тэдгээрийн нотлох баримтуудын зохицуулалт юм. Эдгээр өгүүлбэрийг зөвхөн тодорхой тогтсон дүрмийн дагуу бүтээгдсэн тэмдэгтүүдийн материаллаг хослол гэж үзэх бөгөөд эдгээр тэмдгүүдийн боломжит "утга"-ыг (хэрэв байгаа бол) ямар ч дурдаагүй болно. Сайн зүйрлэл бол шатрын тоглоом юм: тэмдэг нь хэсгүүдэд, өгүүлбэрүүд нь самбар дээрх янз бүрийн байрлалд, логик дүгнэлтүүд нь хэсгүүдийг хөдөлгөх дүрэмд нийцдэг. Албан ёсны онолын тууштай байдлыг тогтоохын тулд энэ онолд нэг ч нотолгоо 0 No 0 гэсэн мэдэгдлээр төгсдөггүй гэдгийг харуулахад хангалттай. Гэсэн хэдий ч "мета-математик" нотолгоонд математикийн аргумент ашиглахыг эсэргүүцэж болно. Математикийн онолын тууштай байдлын тухай; Хэрэв математик зөрчилдөөнтэй байсан бол математикийн аргументууд бүх хүчээ алдаж, бид чөтгөрийн тойрогт орох болно. Эдгээр эсэргүүцэлд хариулахын тулд Гильберт зөн билэгчдийн метаматематикт ашиглахыг зөвшөөрч болохуйц гэж үздэг маш хязгаарлагдмал математик үндэслэлийг зөвшөөрсөн. Гэсэн хэдий ч К.Годель удалгүй (1931) арифметикийн тууштай байдал нь үнэхээр нийцэж байгаа бол ийм хязгаарлагдмал арга хэрэгслээр нотлогдохгүй гэдгийг харуулсан (энэ өгүүллийн хамрах хүрээ нь энэхүү гайхалтай үр дүнд хүрсэн овсгоотой аргыг тоймлохыг бидэнд зөвшөөрөхгүй. ба метаматематикийн дараагийн түүх).

Өнөөгийн асуудалтай нөхцөл байдлыг албан ёсны үүднээс дүгнэж үзвэл энэ нь эцэс төгсгөлгүй байгааг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Олонлогийн тухай ойлголтыг ашиглах нь мэдэгдэж буй парадоксоос зайлсхийхийн тулд тусгайлан оруулсан тайлбараар хязгаарлагдаж байсан бөгөөд аксиоматжуулсан олонлогийн онолд шинэ парадокс үүсэхгүй гэсэн баталгаа байхгүй. Гэсэн хэдий ч аксиоматик олонлогын онолын хязгаарлалт нь шинэ амьдрах боломжтой онолуудыг бий болгоход саад болоогүй юм.

МАТЕМАТИК БА БОДИТ ЕРТӨНЦ

Математикийн бие даасан байдлын тухай мэдэгдлийг үл харгалзан математик болон физик ертөнц хоорондоо холбоотой гэдгийг хэн ч үгүйсгэхгүй. Мэдээжийн хэрэг, сонгодог физикийн асуудлыг шийдвэрлэх математикийн хандлага хүчинтэй хэвээр байна. Математикийн маш чухал салбарт, тухайлбал дифференциал тэгшитгэл, энгийн ба хэсэгчилсэн деривативын онолд физик, математикийн харилцан баяжуулах үйл явц нэлээд үр дүнтэй байдаг нь үнэн юм.

Математик нь бичил ертөнцийн үзэгдлийг тайлбарлахад тустай. Гэсэн хэдий ч математикийн шинэ "хэрэглээ" нь сонгодог хувилбараас эрс ялгаатай. Физикийн хамгийн чухал хэрэглүүрүүдийн нэг нь урьд өмнө онолын хувьд голчлон хэрэглэж байсан магадлалын онол болжээ. мөрийтэй тоглоомболон даатгалын бизнес. Физикчдийн "атомын төлөв" буюу "шилжилт"-тэй холбодог математикийн объектууд нь маш хийсвэр шинж чанартай бөгөөд математикчид үүсэж хөгжихөөс нэлээд өмнө танилцуулж, судалж байжээ. квант механик. Эхний амжилтын дараа ноцтой хүндрэлүүд гарч ирснийг нэмж хэлэх хэрэгтэй. Энэ нь физикчид математикийн санааг квант онолын нарийн тал дээр хэрэгжүүлэхийг оролдож байх үед болсон; Гэсэн хэдий ч олон физикчид математикийн шинэ онолуудыг шинэ асуудлуудыг шийдвэрлэхэд нь тусална гэж итгэл найдвараар харсаар байна.

Математик бол шинжлэх ухаан эсвэл урлаг уу?

Магадлалын онол эсвэл математик логикийг "цэвэр" математикт оруулсан ч мэдэгдэж байгаа математикийн үр дүнгийн 50 хүрэхгүй хувийг бусад шинжлэх ухаанд ашиглаж байгаа нь харагдаж байна. Үлдсэн хагасын талаар бид юу бодох ёстой вэ? Өөрөөр хэлбэл, физикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хамааралгүй математикийн салбаруудын цаад зорилго юу вэ?

Энэ төрлийн теоремуудын ердийн төлөөлөгчийн хувьд тооны иррационалийн талаар бид аль хэдийн дурдсан. Өөр нэг жишээ бол Ж.-Л.Лагранжийн (1736–1813) нотолсон теорем юм. Үүнийг "чухал" эсвэл "сайхан" гэж хэлэхгүй математикч бараг байхгүй. Лагранжийн теорем нь эсвэл-ээс их бүхэл тоо гэж заасан нэгтэй тэнцүү, дөрвөөс илүүгүй тооны квадратуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно; жишээ нь 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Одоогийн нөхцөл байдалд энэ үр дүн нь аливаа туршилтын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болно гэж төсөөлөх аргагүй юм. Физикчид бүхэл тоонуудтай өмнөх үетэй харьцуулахад илүү олон удаа харьцдаг нь үнэн боловч тэдний ажилладаг бүхэл тоонууд үргэлж хязгаарлагдмал байдаг (хэдэн зуугаас давах нь ховор); иймээс Лагранж гэх мэт теорем нь ямар нэг хил хязгаар дотор бүхэл тоонд хэрэглэгдэж байж л "ашигтай" болно. Гэхдээ бид Лагранжийн теоремын томъёоллыг хязгаарламагц математикчдад сонирхолтой байхаа больсон, учир нь энэ теоремын бүхэл бүтэн тоонд хэрэглэх чадварт оршдог. (Бүхэл тоонуудын тухай маш олон мэдэгдлүүд байдаг бөгөөд үүнийг компьютерууд маш сайн шалгаж болно их тоо; гэхдээ аль болох хурдан ерөнхий нотолгооолдоогүй, тэд таамаглал хэвээр байгаа бөгөөд мэргэжлийн математикчдад сонирхолгүй байдаг.)

Одон орон судлал, биологи гэх мэт аль ч салбарт ажилладаг эрдэмтдийн хувьд шууд хэрэглэгдэхүүнээс хол сэдвүүдэд анхаарлаа төвлөрүүлэх нь ер бусын зүйл биш юм. Гэсэн хэдий ч туршилтын үр дүнг сайжруулж, сайжруулж болох ч математикийн нотолгоо нь үргэлж төгс байдаг. Тийм ч учраас математикийг эсвэл ядаж түүний "бодит байдал"-тай ямар ч холбоогүй хэсгийг урлаг гэж үзэх уруу таталтыг эсэргүүцэхэд хэцүү байдаг. Математикийн асуудлуудыг гаднаас нь тулгадаггүй бөгөөд хэрэв бид орчин үеийн үүднээс авч үзвэл бид материалыг сонгохдоо бүрэн чөлөөтэй байдаг. Математикийн зарим бүтээлийг үнэлэхдээ математикчдад "объектив" шалгуур байдаггүй бөгөөд өөрсдийн "амт"-д найдахаас өөр аргагүй болдог. Амт нь цаг хугацаа, улс орон, уламжлал, хувь хүнээс хамааран ихээхэн ялгаатай байдаг. Орчин үеийн математикт загвар, "сургууль" гэж байдаг. Одоогийн байдлаар ийм гурван "сургууль" байгаа бөгөөд бид хялбар болгох үүднээс "сонгодог үзэл", "модернизм", "абстракционизм" гэж нэрлэх болно. Тэдний хоорондын ялгааг илүү сайн ойлгохын тулд математикчид теорем эсвэл бүлэг теоремыг үнэлэхдээ ашигладаг өөр өөр шалгууруудыг шинжилье.

(1) Ерөнхий үзэл бодлын дагуу "сайхан" математикийн үр дүн нь өчүүхэн биш байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. аксиом эсвэл өмнө нь батлагдсан теоремуудын илэрхий үр дагавар байж болохгүй; нотлох баримт нь ямар нэгэн шинэ санаа ашиглах эсвэл хуучин санааг ухаалаг хэрэгжүүлэх ёстой. Өөрөөр хэлбэл математикчийн хувьд үр дүн нь өөрөө чухал биш харин түүнийг олж авахад тулгарч байсан бэрхшээлийг даван туулах үйл явц юм.

(2) Математикийн аливаа асуудал өөрийн гэсэн түүхтэй, өөрөөр хэлбэл "удам угсаа"-тай байдаг ерөнхий схемҮүний дагуу аливаа шинжлэх ухааны түүх хөгждөг: анхны амжилтын дараа тавьсан асуултын хариултыг олох хүртэл хэсэг хугацаа өнгөрч магадгүй юм. Шийдэл олж авбал түүх үүгээр дуусахгүй, учир нь олны танил болсон өргөтгөх, ерөнхийлөн дүгнэх үйл явц эхэлдэг. Жишээлбэл, дээр дурдсан Лагранж теорем нь аливаа бүхэл тоог шоо, дөрөв, тав дахь зэрэглэлийн нийлбэрээр илэрхийлэх асуултад хүргэдэг. Эцсийн шийдэлд хүрээгүй байгаа “Дайны асуудал” ингэж л урган гарч байна. Түүгээр ч барахгүй аз таарвал бидний шийдэж буй асуудал нэг буюу хэд хэдэн үндсэн бүтэцтэй холбоотой болж хувирах бөгөөд энэ нь эргээд эдгээр бүтэцтэй холбоотой шинэ асуудлуудыг бий болгоно. Анхны онол нь эцэстээ үхсэн ч олон тооны амьд найлзуурыг үлдээдэг. Орчин үеийн математикчид туршилтын шинжлэх ухаантай бүх холбоо тасарсан байсан ч тэдгээрийг шийдвэрлэхэд дахиад хэдэн зуун жил шаардагдах маш олон тооны асуудал тулгараад байна.

(3) Математикч бүр түүний өмнө шинэ асуудал гарч ирэхэд түүнийг ямар ч аргаар шийдвэрлэх нь түүний үүрэг гэдэгтэй санал нийлэх болно. Сонгодог математикийн объектуудтай холбоотой асуудал (сонгодогч нар бусад төрлийн объекттой харьцах нь ховор байдаг) сонгодог судлаачид зөвхөн сонгодог арга хэрэгслийг ашиглан шийдвэрлэхийг хичээдэг бол бусад математикчид даалгаварт хамаарах ерөнхий теоремуудыг ашиглахын тулд илүү "хийсвэр" бүтцийг нэвтрүүлдэг. Энэхүү арга барилын ялгаа нь шинэ зүйл биш юм. 19-р зуунаас хойш. Математикчдыг асуудлын цэвэр хүчээр шийдлийг олохыг хичээдэг "тактикчид" болон дайсныг жижиг хүчээр дарах боломжтой тойрог замын маневр хийх хандлагатай "стратегчид" гэж хуваадаг.

(4) Теоремын "гоо сайхны" чухал элемент бол түүний энгийн байдал юм. Мэдээжийн хэрэг, энгийн байдлыг эрэлхийлэх нь бүх шинжлэх ухааны сэтгэлгээний онцлог шинж юм. Гэхдээ туршилтууд зөвхөн асуудлыг шийдэж чадвал "муухай шийдлүүдийг" тэвчихэд бэлэн байна. Үүний нэгэн адил математикийн хувьд сонгодог судлаачид болон хийсвэр судлаачид "эмгэг судлалын" үр дүнгийн талаар тийм ч их санаа зовдоггүй. Нөгөөтэйгүүр, модернистууд онолын "эмгэг судлалын" дүр төрхөөс үндсэн ойлголтуудын төгс бус байдлыг илтгэх шинж тэмдгийг олж хардаг.

Математик нэвтэрхий толь - математикийн бүх салбарын лавлах хэвлэл. Нэвтэрхий толь нь тойм өгүүлэлд үндэслэсэн болно хамгийн чухал газруудматематик. Энэ төрлийн нийтлэлд тавигдах гол шаардлага бол хянан үзэх бүрэн боломжтой байх явдал юм. одоогийн байдалтанилцуулгын хамгийн их хүртээмжтэй онол; Эдгээр нийтлэлийг математикийн ахлах ангийн оюутнууд, аспирантууд, математикийн холбогдох салбарын мэргэжилтнүүд, зарим тохиолдолд ажилдаа ашигладаг бусад мэдлэгийн салбарын мэргэжилтнүүд ашиглах боломжтой. математик аргууд, инженер, математикийн багш нар. Цаашилбал, математикийн бие даасан асуудал, аргын талаархи дунд хэмжээний нийтлэлүүд; Эдгээр нийтлэлүүд нь илүү хязгаарлагдмал уншигчдад зориулагдсан тул хүртээмж муутай байж магадгүй юм. Эцэст нь, өөр төрлийн нийтлэл - товч мэдээлэл-тодорхойлолт. Зарим тодорхойлолтыг эхний хоёр төрлийн нийтлэлд өгсөн болно. Нэвтэрхий толь бичгийн ихэнх өгүүлэлд гарчиг тус бүрийн серийн дугаар бүхий ном зүй дагалддаг бөгөөд энэ нь өгүүллийн эх бичвэрт тэдгээрийг иш татах боломжтой болгодог. Өгүүллийн төгсгөлд (дүрмээр) өгүүлэл өмнө нь хэвлэгдсэн бол зохиогч эсвэл эх сурвалжийг зааж өгсөн болно (гол төлөв эдгээр нь Их Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичигт багтсан нийтлэлүүд юм). Нийтлэлд дурдсан гадаадын (эртний) эрдэмтдийн нэрсийг латин үсгийн үсэг (хэрэв лавлагааны жагсаалтад холбоос байхгүй бол) хавсаргасан болно.

Нэвтэрхий толь бичигт нийтлэлүүдийг байрлуулах зарчим нь цагаан толгойн үсгийн дараалал юм. Хэрэв өгүүллийн гарчиг нь ижил утгатай нэр томьёо бол сүүлчийнх нь үндсэн зүйлийн дараа өгөгдөнө. Ихэнх тохиолдолд өгүүллийн гарчиг нь хоёр ба түүнээс дээш үгнээс бүрддэг. Эдгээр тохиолдолд нэр томьёо нь хамгийн нийтлэг хэлбэрээр өгөгдсөн эсвэл хамгийн чухал утгатай үгийг эхний байранд тавьдаг. Өгүүллийн гарчиг нь зохих нэрийг агуулсан бол эхний байранд байрлуулна (ийм өгүүллийн лавлагааны жагсаалт нь дүрмээр бол нэр томъёоны нэрийг тайлбарласан үндсэн эх сурвалжийг агуулна). Өгүүллийн гарчгийг голчлон ганц тоогоор өгсөн болно.

Нэвтэрхий толь нь бусад нийтлэлийн холбоосын системийг өргөн ашигладаг бөгөөд уншигч авч үзэж буй сэдвийн талаар нэмэлт мэдээллийг олж авах болно. Тодорхойлолт нь өгүүллийн гарчигт гарч буй нэр томъёоны лавлагааг заагаагүй болно.

Орон зай хэмнэхийн тулд нийтлэлүүд нэвтэрхий толь бичигт зориулсан зарим үгсийн ердийн товчлолыг ашигладаг.

1-р боть дээр ажилласан

Математикийн хэвлэлийн газрын редакци " Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг" - В. И. БИТИЮЦКОВ (редакцийн дарга), М. И. ВОЙЦЕХОВСКИЙ (шинжлэх ухааны редактор), Ю. А. ГОРБКОВ (шинжлэх ухааны редактор), А. Б. ИВАНОВ (шинжлэх ухааны ахлах редактор), О. А. ИВАНОВА (шинжлэх ухааны ахлах редактор), Т. Ю. (шинжлэх ухааны ахлах редактор), Е. Г. СОБОЛЕВСКАЯ (редактор), Л. В. СОКОЛОВА (бага редактор), Л. Р. ХАБИБ (бага редактор).

Хэвлэлийн газрын ажилтнууд: Е.П.РЯБОВА (уран зохиолын редакторууд). Е. И. ЖАРОВА, А. М. МАРТЫНОВ (ном зүй). А.Ф.ДАЛКОВСКАЯ (хүчтэй бичвэр). Н.А.ФЕДОРОВА (худалдан авах хэлтэс). 3. А.СУХОВА (зурагны хэвлэл). Е.И.АЛЕКСЕЕВА, Н.Ю.КРУЖАЛОВА (толь бичгийн редактор). М.В.АКИМОВА, А.Ф.ПРОШКО (засварлагч). G. V. SMIRNOVA (техникийн хэвлэл).

Хавтас зураач Р.И.МАЛАНИЧЕВ.

1-р ботьтой холбоотой нэмэлт мэдээлэл

"Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг" хэвлэлийн газар

Нэвтэрхий толь бичиг, толь бичиг, лавлах ном

Хэвлэлийн газрын шинжлэх ухаан, редакцийн зөвлөл

А.М.ПРОХОРОВ (дарган), И.В.АБАШИДЗЕ, П.А.АЗИМОВ, А.П.АЛЕКСАНДРОВ, В.А.АМБАРСУМЯН, И.И.АРТОБОЛЕВСКИЙ, А.В.АРЦИХОВСКИЙ, М.С.АСИМОВ, М.С.А. Н.БОГОЛЮБОВ, П.У.БРОВКА, Ю.В.БРОМЛЕЙ, Б.Е.БЫХОВСКИЙ, В.Х.ВАСИЛЕНКО , Л М.ВОЛОДАРСКИЙ, В.В.ВОЛЬСКИЙ, Б.М.ВУЛ, Б.Г.ГАФУРОВ, С.Р.ГЕРШБЕРГ, М.С.ГИЛЯРОВ, В.П.ГЛУШКО, В.М.ГЛУШКОВ, Г.Н.ГОЛИКОВ, Д.Б.ГУЛИЕВ, В.Д.Б.ГУЛИЕВ, В.Де ЭМЕЛЬЯНОВ, Е.М.ЖУКОВ , А.А.ИМШЕНЕЦКИЙ, Н.Н.ИНОЗЕМЦЕВ, М А.И.КАБАЧНИК, С.В.КАЛЕСНИК, Г.А.КАРАВАЕВ, К.К.КАРАКЕЕВ, М.К.КАРАТАЕВ, Б.М.КЕДРОВ, Г.В.КЕЛДЫШ, Л.И. орлогч дарга), Ф.В.КОНСТАНТИНОВ, В.Н.КУДРЯВЦЕВ , М. И. КУЗНЕЦОВ (орлогч дарга), Б. В. КУКАРКИН, В. Г. КУЛИКОВ, И. А. КУТУЗОВ, П. П. ЛОБАНОВ, Г. М. ЛОЗА, Ю. Е. МАКСАРЕВ, П. А. МАРКОВ, А. И. МАРКУШЕВИЧИН, Й. И. Б.Э.ПАТОН, В.М.ПОЛЕВОЙ, М.А.ПРОКОФИЕВ, Ю.В.ПРОХОРОВ, Н.Ф.РОСТОВЦЕВ, А.М.РУМЯНЦЕВ, Б.А.РЫБАКОВ, В.П.САМСОН, М.И.СЛАДКОВСКИЙ, В.И.СМИРНОВ, Д.Н.СОЛОВЬЕВ (орлогч дарга, В.Г.Н.СОЛОВЬЕВ, В.Г.НИТОВ), В. СТУКАЛИН, А.А.СУРКОВ, М.Л.ТЕРЕНТЬЕВ, С.А.ТОКАРЕВ, В.А. ТРАПЕЗНИКОВ, Е.К.ФЕДОРОВ, М.Б.ХРАПЧЕНКО, Е.И.ЧАЗОВ, В.Н.ЧЕРНИГОВСКИЙ, Ю.Е.ШМУШКИС, С.И.ЮТКЕВИЧ. Зөвлөлийн нарийн бичгийн дарга Л.В.КИРИЛЛОВА.

Москва 1977

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. 1-р боть (A - D)

Ерөнхий редактор I. M. ВИНОГРАДОВ

Редакцийн баг

С.И.АДЯН, П.С.АЛЕКСАНДРОВ, Н.С.БАХВАЛОВ, В.И.БИТЮЦКОВ (орлогч редактор), А.В.БИЦАДЗЕ, Л.Н.БОЛЬШЕВ, А.А.ГОНЧАР, Н.В ЕФИМОВ, В.А.А.ИЛЬЯВ, М.К. Эвитан, К.К.Маржанишвили, Э.Ф. МИЩЕНКО, С.П.НОВИКОВ, Е.Г.ПОЗНЯК, Ю.В.ПРОХОРОВ (ерөнхий редакторын орлогч), А.Г.СВЕШНИКОВ, А.Н.ТИХОНОВ, П.Л.УЛЬЯНОВ, А.И.ШИРШОВ, С.В.ЯБЛОНСК.

Математик нэвтэрхий толь бичиг. Эд. Удирдах зөвлөл: И.М. Виноградов (ерөнхий редактор) [болон бусад] Т. 1 - М., "Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг", 1977

(Нэвтэрхий толь. Толь бичиг. Лавлах ном), боть 1. А - Г. 1977. 1152 ст. хуурмаг байдлаас.

1976 оны 6-р сарын 9-нд хэвлэхээр өгсөн. 1977 оны 2-р сарын 18-нд хэвлүүлэхээр гарын үсэг зурсан. нэрэмжит Нэгдүгээр загвар хэвлэх үйлдвэрт хийсэн матрицаар текст хэвлэх. А.А.Жданова. Хөдөлмөрийн гавьяаны улаан тугийн одонт "Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь" хэвлэлийн газар. 109817. Москва, Ж - 28, Покровскийн бульвар, 8. Т - 02616 Царц 150,000 хувь. Захиалга No418. Хэвлэх цаас No1. Цаасан формат 84xl08 1/14. Боть 36 физик. p.l. ; 60, 48 уламжлалт p.l. текст. 101, 82 академич. - ред. л. Номын үнэ 7 рубль байна. 10 к.

Хөдөлмөрийн гавъяаны улаан тугийн одонт Москвагийн №1 хэвлэх үйлдвэр ЗХУ-ын Сайд нарын Зөвлөлийн Хэвлэл, хэвлэл, номын худалдааны улсын хорооны дэргэдэх "Союзполиграфпрома", Москва, I - 85, Мира проспект, 105. Захиалга No. 865.

Математик нэвтэрхий толь 5 боть номыг татаж авна уутуйлын үнэ төлбөргүй.

Файл байршуулах үйлчилгээнээс ном үнэгүй татаж авахын тулд үнэгүй номын тайлбарын дараах холбоосууд дээр дарна уу.

Эрхэм уншигчид, хэрэв энэ нь танд тохирохгүй бол

Математикийн нэвтэрхий толь бичгийг 5 боть татаж авах

Энэ талаар сэтгэгдэл дээр бичээрэй, бид танд туслах болно.

Танд энэ ном таалагдаж, уншсан байх гэж найдаж байна. Баярлалаа, та манай вэбсайтын холбоосыг форум эсвэл блог дээр үлдээж болно :) 5 боть бүхий Математик нэвтэрхий толь цахим ном нь зөвхөн цаасан ном худалдаж авахаас өмнө хянуулах зориулалттай бөгөөд хэвлэмэл хэвлэлтэй өрсөлдөхүйц биш юм.

Математик нэвтэрхий толь - математикийн бүх салбарын лавлах хэвлэл. Нэвтэрхий толь нь математикийн хамгийн чухал салбаруудад зориулсан тойм нийтлэлд үндэслэсэн болно. Энэ төрлийн нийтлэлд тавигдах гол шаардлага бол онолын өнөөгийн байдлын тоймыг бүрэн дүүрэн, танилцуулгад хамгийн их хүртээмжтэй байлгах явдал юм; Эдгээр нийтлэлийг математикийн ахлах ангийн оюутнууд, аспирантууд, математикийн холбогдох салбарын мэргэжилтнүүд, зарим тохиолдолд математикийн аргыг ажилдаа ашигладаг бусад мэдлэгийн салбарын мэргэжилтнүүд, инженерүүд, математикийн багш нар ашиглах боломжтой. Цаашилбал, математикийн бие даасан асуудал, аргын талаархи дунд хэмжээний нийтлэлүүд; Эдгээр нийтлэлүүд нь илүү хязгаарлагдмал уншигчдад зориулагдсан тул хүртээмж муутай байж магадгүй юм. Эцэст нь, өөр нэг төрлийн нийтлэл бол товч лавлагаа, тодорхойлолт юм. Нэвтэрхий толь бичгийн сүүлчийн ботийн төгсгөлд бүх өгүүллийн гарчгийг төдийгүй олон ойлголтыг багтаасан сэдвийн индекс байх бөгөөд тэдгээрийн тодорхойлолтыг эхний хоёр төрлийн нийтлэлд өгөх болно. нийтлэлд дурдсан хамгийн чухал үр дүн гэж. Нэвтэрхий толь бичгийн ихэнх өгүүлэлд гарчиг тус бүрийн серийн дугаар бүхий ном зүй дагалддаг бөгөөд энэ нь өгүүллийн эх бичвэрт тэдгээрийг иш татах боломжтой болгодог. Өгүүллийн төгсгөлд (дүрмээр) өгүүлэл өмнө нь хэвлэгдсэн бол зохиогч эсвэл эх сурвалжийг зааж өгсөн болно (гол төлөв эдгээр нь Их Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичигт багтсан нийтлэлүүд юм). Нийтлэлд дурдсан гадаадын (эртний) эрдэмтдийн нэрсийг латин үсгийн үсэг (хэрэв лавлагааны жагсаалтад холбоос байхгүй бол) хавсаргасан болно.

Математик нэвтэрхий толь бичиг, 3-р боть, Виноградов И.М., 1982 оныг татаж аваад уншина уу.

Математик нэвтэрхий толь бичиг, 2-р боть, Виноградов И.М., 1979 оныг татаж аваад уншина уу.

Математик нэвтэрхий толь бичиг, 1-р боть, Виноградов И.М., 1977 оныг татаж аваад уншина уу.

Алгебр нь анх тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд чиглэсэн математикийн салбар байв. Геометрээс ялгаатай нь алгебрийн аксиоматик бүтэц нь 19-р зууны дунд үе хүртэл алгебрийн сэдэв, мөн чанарын тухай цоо шинэ үзэл гарч ирэх хүртэл байгаагүй. Судалгаа нь алгебрийн бүтэц гэж нэрлэгддэг судалгаанд улам бүр анхаарал хандуулж эхлэв. Энэ нь хоёр давуу талтай байсан. Нэг талаас, хувь хүний теоремууд хүчинтэй байх талбарууд тодорхой болсон бол нөгөө талаас, ижил нотолгоог огт өөр газар ашиглах боломжтой болсон. Алгебрийн энэхүү хуваагдал нь 20-р зууны дунд үе хүртэл үргэлжилсэн бөгөөд "сонгодог алгебр", "орчин үеийн алгебр" гэсэн хоёр нэр гарч ирэхэд тусгалаа олсон юм. Сүүлийнх нь "хийсвэр алгебр" гэсэн өөр нэрээр илүү тодорхойлогддог. Баримт нь энэ хэсэг нь математикийн хувьд анх удаа бүрэн хийсвэр байдлаар тодорхойлогддог байв.

Жижиг математикийн нэвтэрхий толь, Фрид Э., Пастор И., Рейман И., Ревес П., Рузса И., 1976, татаж аваад уншина уу.

“Магадлал ба Математик Статистик” - магадлалын онол, математик статистик ба тэдгээрийн хэрэглээний талаархи лавлах хэвлэл. янз бүрийн бүс нутагШинжлэх ухаан ба технологи. Нэвтэрхий толь нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: гол хэсэг нь тойм өгүүллүүд, бие даасан асуудал, аргуудад зориулагдсан нийтлэл, үндсэн ойлголтуудын тодорхойлолт, хамгийн чухал теорем, томьёо агуулсан товч лавлагаа агуулсан. Мэдээллийн онол, дарааллын онол, найдвартай байдлын онол, туршилтын төлөвлөлт болон холбогдох салбарууд - физик, геофизик, генетик, хүн ам зүй, технологийн бие даасан салбарууд зэрэг хэрэглээний асуудлуудад ихээхэн зай эзэлдэг. Ихэнх өгүүлэлд энэ асуудлын талаархи хамгийн чухал бүтээлүүдийн ном зүй дагалддаг. Өгүүллийн гарчгийг мөн орчуулсан болно Англи хэл. Хоёрдахь хэсэг - "Магадлалын онол ба математикийн статистикийн антологи" нь өнгөрсөн үеийн дотоодын нэвтэрхий толь бичигт зориулж бичсэн нийтлэлүүд, түүнчлэн бусад бүтээлүүдэд өмнө нь хэвлэгдсэн нэвтэрхий толь бичгийн материалыг багтаасан болно. Нэвтэрхий толь нь магадлалын онол, математикийн статистикийн сэдвүүдийг хамарсан сэтгүүл, тогтмол хэвлэл, байнгын хэвлэлүүдийн өргөн жагсаалтыг дагалддаг.
Нэвтэрхий толь бичигт орсон материал нь судалгаа, практик ажилд магадлалын аргыг ашигладаг математик болон бусад шинжлэх ухааны чиглэлээр суралцаж буй бакалавр, аспирант, судлаачдад зайлшгүй шаардлагатай.

Математик нэвтэрхий толь бичиг

Математик нэвтэрхий толь бичиг- Математикийн сэдэвт зориулсан таван боть бүхий Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичгийн хэвлэл. 1985 онд "Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь" хэвлэлийн газраас хэвлэгдсэн. Ерөнхий редактор: Академич И.М.Виноградов.

Энэ бол математикийн бүх үндсэн салбаруудын үндсэн зурагтай хэвлэл юм. Энэ номонд сэдэвчилсэн материал, алдартай математикчдын намтар, зураг, график, диаграмм, диаграмм зэргийг багтаасан болно.

Нийт хэмжээ: 3000 орчим хуудас. Нийтлэлийг эзлэхүүнээр нь хуваарилах:

1-р боть: Абакус - Гюйгенсийн зарчим, 576 х.
2-р боть: D'Alembert оператор - Хамтын тоглоом, 552 х.
3-р боть: Координат - Мономиал, 592 х.
4-р боть: Теоремын нүд - Нарийн төвөгтэй функц, 608 х.
5-р боть: Санамсаргүй утга- Эс, 623 х.
5-р боть хавсралт: индекс, тэмдэглэсэн үсгийн жагсаалт.

Холбоосууд

"Математикийн тэгшитгэлийн ертөнц" портал дээрх математикийн ерөнхий болон тусгай лавлах ном, нэвтэрхий толь бичгийг цахим хэлбэрээр татаж авах боломжтой.

Ангилал:

Номууд цагаан толгойн үсгийн дарааллаар
Математикийн уран зохиол
Нэвтэрхий толь бичиг
"Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь" хэвлэлийн газрын номууд
ЗХУ-ын нэвтэрхий толь бичиг

Викимедиа сан. 2010 он.

Математик хими
Квант механикийн математик үндэс

Бусад толь бичгүүдэд "Математик нэвтэрхий толь" гэж юу болохыг харна уу.

Математик логик- (онолын логик, симбол логик) математикийн үндэс суурийг нотлох, асуултуудыг судалдаг математикийн салбар. "Орчин үеийн математик логикийн сэдэв нь олон талт юм." П.С.Порецкийн тодорхойлолтоор “математикийн ... ... Википедиа

нэвтэрхий толь бичиг- (шинэ Латин нэвтэрхий толь бичиг (16-р зууны өмнөх биш) бусад Грек хэлнээс ἐγκύκλιος παιδεία "сургалт бүтэн тойрог", κύκλος тойрог болон παιδεία сургалт/paideia) системд авчирсан тухай ... Wikipedia

нэвтэрхий толь- (Грекийн enkyklios paydeia-аас бүхэл бүтэн мэдлэгийг сургах), шинжлэх ухааны. эсвэл шинжлэх ухааны системчилсэн мэдээллийг агуулсан түгээмэл лавлах хэвлэл. мэдлэгийн цогц юм. E.-ийн материалыг цагаан толгойн дарааллаар эсвэл системчилсэн байдлаар байрлуулна. зарчим (мэдлэгийн салбаруудын дагуу)....... ... Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

МАТЕМАТИК ЛОГИК- хоёрдугаарт орж ирсэн орчин үеийн логикийн нэг нэр. шал. 19 эхэлнэ 20-р зуун уламжлалт логикийг солих. Өөр нэрээр орчин үеийн үе шатЛогикийн шинжлэх ухааны хөгжилд бэлгэдлийн логик гэсэн нэр томъёог бас ашигладаг. Тодорхойлолт…… Философийн нэвтэрхий толь бичиг

МАТЕМАТИКИЙН Хязгааргүй байдал- задралын нийтлэг нэр. Математик дахь хязгааргүй байдлын санааг хэрэгжүүлэх. Хэдийгээр ойлголтын утгын хооронд M. b. болон хязгааргүй гэсэн нэр томъёог ашигладаг бусад утгад хатуу хязгаарлалт байхгүй (учир нь эдгээр бүх ойлголтууд эцсийн эцэст маш их ... ... тусгасан байдаг. Философийн нэвтэрхий толь бичиг

МАТЕМАТИК ИНДУКЦИЯ- бүрэн математикийн индукц (математикт ихэвчлэн зүгээр л бүрэн индукц гэж нэрлэдэг; энэ тохиолдолд энэ ойлголтыг математикийн бус албан ёсны логикт авч үзсэн бүрэн индукцийн ойлголтоос ялгах хэрэгтэй), - нотлох арга ерөнхий саналууд V…… Философийн нэвтэрхий толь бичиг

МАТЕМАТИК ТААМАГЛАЛ- судлагдсан үзэгдлийн талбайн хуулийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийн хэлбэр, төрөл, шинж чанарын таамаглаж буй өөрчлөлт, түүнийг шинэ, хараахан судлагдаагүй талбарт өвөрмөц хууль болгон өргөжүүлэх зорилгоор. M. g нь орчин үед өргөн хэрэглэгддэг. онолын ...... Философийн нэвтэрхий толь бичиг

УЛС ТӨРИЙН ЭДИЙН ЗАСГИЙН МАТЕМАТИКИЙН СУРГУУЛЬ- Англи хэл улс төрийн эдийн засгийн математикийн сургууль; Герман Mathematische Schule in der politischen Okonomie. 19-р зууны хоёрдугаар хагаст үүссэн улс төр, эдийн засгийн чиглэлийг төлөөлөгчид (Л. Вальрас, В. Парето, О. Жевонс гэх мэт) ... ... Социологийн нэвтэрхий толь бичиг

НИЙГЭМ ЗҮЙН МАТЕМАТИКИЙН СУРГУУЛЬ- Англи хэл социологийн математикийн сургууль; Герман Mathematische Schule in der Soziologie. 20-р зууны эхний хагаст үүссэн социологийн чиг хандлага нь социологийн онолуудыг социологийн онолууд ... ... түвшинд хүрдэг гэж социологийг үндэслэгч (А.Зипф, Э.Додд гэх мэт) үздэг байв. Социологийн нэвтэрхий толь бичиг

Барилга байгууламжийн математик загвар- Барилга байгууламжийн математик (компьютер) загвар - зураг төсөл боловсруулах, барих, боловсруулах явцад гарч буй цогц асуудлыг шийдвэрлэхэд тоон тооцоолол хийх зориулалттай барилга байгууламжийг хязгаарлагдмал элементийн диаграм хэлбэрээр дүрслэх. Барилгын материалын нэр томъёо, тодорхойлолт, тайлбарын нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

Математикийн нэвтэрхий толь (5 номын багц), . Математик нэвтэрхий толь - Математикийн бүх салбар дахь тохиромжтой лавлах хэвлэл. Нэвтэрхий толь нь математикийн хамгийн чухал салбаруудад зориулагдсан нийтлэлүүд дээр үндэслэсэн болно. Байршлын зарчим...