Дасгал хийх. Харгалзах интервал дахь X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний хос утгын цохилтын тоог хүснэгтэд үзүүлэв. Эдгээр өгөгдлүүдийг ашиглан түүвэр корреляцийн коэффициент ба түүврийн тэгшитгэлийг X дээр Y ба X дээр X дээр регрессийн шулуун шугамуудыг ол.
Шийдэл

Жишээ. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) магадлалын тархалтыг хүснэгтээр үзүүлэв. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн X,Y хэмжигдэхүүн ба p(X,Y) корреляцийн коэффициентийн тархалтын хуулийг ол.
Шийдэл татаж авах

Дасгал хийх. Хоёр хэмжээст салангид хэмжигдэхүүн(X, Y) хуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн. X, Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хууль, ковариац, корреляцийн коэффициентийг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг ( X, Ю), боломжит утгууд нь хос тоонууд ( x, y). Бүрэлдэхүүн хэсгүүд XТэгээд Ю, нэгэн зэрэг авч үзсэн, хэлбэр системхоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүнийг геометрийн хувьд санамсаргүй цэг гэж тайлбарлаж болно М(X; Ю) гадаргуу дээр xOyэсвэл санамсаргүй вектор хэлбэрээр ОМ.

Дискретбүрэлдэхүүн хэсгүүд нь салангид байдаг хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Үргэлжилсэнбүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тасралтгүй хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Хуваарилалтын хуульХоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлал нь боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын хамаарал юм.

Дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар тодорхойлж болно: а) боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалыг агуулсан давхар оролт бүхий хүснэгт хэлбэрээр; б) аналитик байдлаар, жишээлбэл, хуваарилалтын функц хэлбэрээр.

Түгээлтийн функцХоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалыг функц гэнэ F(x, y), хос тоо тус бүрийг тодорхойлох (х, у)магадлал X x-ээс бага утгыг авах бөгөөд нэгэн зэрэг Ю-аас бага утгыг авна y:

F(x, y) = P(X< x, Y < y).

Геометрийн хувьд энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар тайлбарлаж болно. F(x, y)санамсаргүй цэг байх магадлалтай ( X, Y) оройтой хязгааргүй квадратад унана. x,y), зүүн ба энэ оройн доор байрладаг.

Заримдаа "тархалтын функц" гэсэн нэр томъёоны оронд "интеграл функц" гэсэн нэр томъёог ашигладаг.

Түгээлтийн функц нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Түгээлтийн функцийн утгууд нь давхар тэгш бус байдлыг хангадаг

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Тархалтын функц нь аргумент бүрийн хувьд буурахгүй функц юм:

F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), хэрэв x 2 > x 1,

F(x, y 2) ≥ F(x, y 1) хэрэв y 2 > y 1 бол.

Эд хөрөнгө 3. Хязгаарлалтын харилцаа бий:

1) F(–∞, у) = 0,

3) F(–∞, –∞) = 0,

2) F(x, –∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4. A) Хэзээ y=∞ системийн тархалтын функц нь X бүрэлдэхүүн хэсгийн тархалтын функц болно:

F(x, ∞) = F 1 (x).

б) x үед = ∞ системийн тархалтын функц нь Y бүрэлдэхүүн хэсгийн тархалтын функц болно:

F(∞, y) = F 2 (y).

Тархалтын функцийг ашиглан тэгш өнцөгтийн санамсаргүй цэг унах магадлалыг олж болно x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P(x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Хамтарсан магадлалын нягт (хоёр хэмжээст магадлалын нягт)Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын функцийн хоёр дахь холимог дериватив гэж нэрлэдэг.

Заримдаа "хоёр хэмжээст магадлалын нягт" гэсэн нэр томъёоны оронд "системийн дифференциал функц" гэсэн нэр томъёог ашигладаг.

Хамтарсан тархалтын нягтыг D талтай тэгш өнцөгт рүү санамсаргүй цэг унах магадлалын харьцааны хязгаар гэж үзэж болно. xболон Д yэнэ тэгш өнцөгтийн талбайн аль аль тал нь тэг байх үед; гэж нэрлэгддэг гадаргуу гэж геометрийн хувьд тайлбарлаж болно түгээлтийн гадаргуу.

Тархалтын нягтыг мэдсэнээр та томъёог ашиглан тархалтын функцийг олох боломжтой

Санамсаргүй цэг (X, Y) D мужид орох магадлалыг тэгшитгэлээр тодорхойлно

Хоёр хэмжээст магадлалын нягт нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Хоёр хэмжээст магадлалын нягт нь сөрөг биш юм:

f(x,y) ≥ 0.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хоёр хэмжээст магадлалын нягтаас хязгааргүй хязгаартай давхар буруу интеграл нэгтэй тэнцүү :

Ялангуяа бүх боломжит утгууд (X, Y) хязгаарлагдмал D домэйнд хамаарах бол

226. Дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг дараах байдлаар өгөв.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хуулийг ол.

228. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг өгөв

Санамсаргүй цэгийг онох магадлалыг ол ( X, Y x = 0, x= p/4, y= p/6, y= p/3.

229. Санамсаргүй цэгийг онох магадлалыг ол ( X, Y) шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна x = 1, x = 2, y = 3, yХэрэв тархалтын функц мэдэгдэж байгаа бол = 5

230. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг өгөв

Системийн хоёр хэмжээст магадлалын нягтыг ол.

231. Тойрог дотор x 2 + y 2 ≤ R 2хоёр хэмжээст магадлалын нягт; тойргийн гадна f(x, y)= 0. Олно: a) тогтмол C; б) санамсаргүй цэгийг онох магадлал ( X, Y) радиустай тойрог болгон r= 1 гарал үүсэл дээр төвлөрсөн бол Р = 2.

232. Нэгдүгээр квадратад хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын функц өгөгдсөн F(x, y) = 1 + 2 - x – 2 - y + 2 - x- y. Олно: a) системийн хоёр хэмжээст магадлалын нягт; б) санамсаргүй цэгийг онох магадлал ( X, Y) оройтой гурвалжинд А(1; 3), Б(3; 3), C(2; 8).

8.2. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн магадлалын тархалтын нөхцөлт хуулиуд
дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нь зөвшөөр XТэгээд Юнь салангид байх ба дараах боломжит утгуудыг тус тус агуулна. x 1, x 2, …, x n; y 1 , y 2 , …, y м.

X бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт тархалтцагт Y=yj(j нь X-ийн бүх боломжит утгуудын хувьд ижил утгыг хадгална) нөхцөлт магадлалын багц гэж нэрлэдэг

p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).

Y-ийн нөхцөлт тархалтыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нөхцөлт магадлалыг томъёог ашиглан тус тус тооцно

Тооцооллыг хянахын тулд нөхцөлт тархалтын магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү эсэхийг шалгахыг зөвлөж байна.

233. Дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн өгөгдсөн ( X, Y):

Олно: a) нөхцөлт хуваарилалтын хууль Xгэж заасан Ю=10; б) нөхцөлт хуваарилалтын хууль Югэж заасан X=6.

8.3. Нягт ба нөхцөлт тархалтын хуулиудыг олох
тасралтгүй хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэгний тархалтын нягт нь тэнцүү байна буруу интегралсистемийн хамтарсан тархалтын нягтын хязгааргүй хязгаартай, интеграцийн хувьсагч нь өөр бүрэлдэхүүн хэсэгтэй тохирч байна.

Энд бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийн боломжит утгууд нь бүхэл тоон мөрөнд хамаарна гэж үздэг; хэрэв боломжит утгууд нь хязгаарлагдмал интервалд хамаарах бол интегралын хязгаар гэж харгалзах төгсгөлөг тоонуудыг авна.

X бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт тархалтын нягтөгөгдсөн утгад Y = yнь системийн хамтарсан тархалтын нягтыг бүрэлдэхүүн хэсгийн тархалтын нягттай харьцуулсан харьцаа юм Ю:

Бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт тархалтын нягтыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно Ю:

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний нөхцөлт тархалтын нягт XТэгээд Юнь тэдний болзолгүй нягттай тэнцүү бол ийм хэмжигдэхүүн нь бие даасан байна.

Дүрэмт хувцаснь хоёр хэмжээст тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X, Y), хэрэв бүх боломжит утгыг агуулсан хэсэгт байгаа бол ( x, y), хамтарсан магадлалын тархалтын нягт тогтмол хэвээр байна.

235. Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) хамтарсан тархалтын нягтыг өгөгдсөн.

Олно: a) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягтыг; б) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нөхцөлт тархалтын нягт.

236. Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын нягт ( X, Y)

Ол: a) тогтмол хүчин зүйл C; б) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягт; в) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нөхцөлт тархалтын нягт.

237. Тасралтгүй хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X, Y) нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель 2a ба 2b талуудтай тэгш хэмийн төвтэй тэгш өнцөгт дотор жигд тархсан. Олно: a) системийн хоёр хэмжээст магадлалын нягт; б) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягт.

238. Тасралтгүй хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X, Y) дотор нь жигд тархсан зөв гурвалжиноргилуудтай О(0; 0), А(0; 8), IN(8;0). Олно: a) системийн хоёр хэмжээст магадлалын нягт; б) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягт ба нөхцөлт нягт.

8.4. Тасралтгүй системийн тоон шинж чанар
хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) -ийн X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын нягтыг мэдэхийн тулд тэдгээрийн математик хүлээлт, дисперсийг олж болно.

Заримдаа хоёр хэмжээст магадлалын нягтыг агуулсан томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг (давхар интегралыг системийн боломжит утгын хүрээнд авдаг):

Анхны момент n k, sзахиалга k+sсистемүүд ( X, Y) бүтээгдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг X k Y с:

n k, s = M.

Тухайлбал,

n 1.0 = M(X), n 0.1 = M(Y).

Төвийн момент m k, sзахиалга k+sсистемүүд ( X, Y)-ийг тус тус хазайлтын үржвэрийн математик хүлээлт гэж нэрлэдэг к th болон ср зэрэг:

m k, s = M( k ∙ s ).

Тухайлбал,

м 1.0 =М = 0, м 0.1 = М = 0;

m 2.0 =M 2 = D(X), m 0.2 = M 2 = D(Y);

Корреляцийн момент m xусистемүүд ( X, Y) төв мөч гэж нэрлэдэг м 1.1 1 + 1 захиалга:

m xу = M( ∙ ).

Корреляцийн коэффициент X ба Y хэмжигдэхүүнүүдийг корреляцийн моментийн эдгээр хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтын үржвэрт харьцуулсан харьцаа гэж нэрлэдэг.

r xy = m xy / (s x s y).

Корреляцийн коэффициент нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн бөгөөд | r xy| ≤ 1. Корреляцийн коэффициентийг хоорондын шугаман хамаарлын ойр байдлыг үнэлэхэд ашигладаг XТэгээд Ю: ойрхон үнэмлэхүй үнэ цэнэнэгдмэл байдлын корреляцийн коэффициент, холболт илүү хүчтэй байх болно; Корреляцийн коэффициентийн үнэмлэхүй утга тэг рүү ойртох тусам хамаарал сул байна.

ХолбогдохХоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэдгээрийн корреляцийн момент тэгээс өөр бол дуудна.

Харилцаа холбоогүйХоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг корреляцийн момент нь тэг бол дуудна.

Хоёр хамааралтай хэмжигдэхүүн нь мөн хамааралтай; хэрэв хоёр хэмжигдэхүүн хамааралтай бол тэдгээр нь харилцан хамааралтай эсвэл хамааралгүй байж болно. Хоёр хэмжигдэхүүний бие даасан байдлаас харахад тэдгээр нь хоорондоо хамааралгүй, гэхдээ хамааралгүйгээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан гэж дүгнэх боломжгүй хэвээр байна (хэвийн тархсан хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн хамааралгүй байдлаас шалтгаалан тэдгээрийн бие даасан байдал үүсдэг).

Учир нь тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүд X ба Y корреляцийн моментийг дараах томъёогоор олж болно.

239. Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) хамтарсан тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

Олно: a) математикийн хүлээлт; б) X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дисперс.

240. Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) хамтарсан тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн математик хүлээлт ба дисперсийг ол.

241. Үргэлжилсэн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын нягт ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx cozyквадрат 0 ≤ x≤p/4, 0 ≤ y≤p/4; талбайн гадна f(x, y)= 0. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн математик хүлээлтийг ол.

242. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн хоёр хэмжээст магадлалын нягт ( X, Y) хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр дүрслэгдэж болох бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь зөвхөн үүнээс хамаарна x, нөгөө нь - зөвхөн y, дараа нь тоо хэмжээ XТэгээд Юбие даасан.

243. Хэрэв тийм бол гэдгийг батал XТэгээд Юшугаман хамааралтай Ю = aX + б, тэгвэл корреляцийн коэффициентийн үнэмлэхүй утга нь нэгдэлтэй тэнцүү байна.

Шийдэл. Корреляцийн коэффициентийн тодорхойлолтоор,

r xy = m xy / (s x s y).

m xу = M( ∙ ). (*)

Математикийн хүлээлтийг олъё Ю:

M(Y) = M = aM(X) + b. (**)

(**)-г (*) орлуулснаар бид энгийн хувиргалтуудыг олж авна

m xу = aM 2 = aD(X) = 2 x гэж.

Үүнийг харгалзан үзвэл

Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,

ялгааг олъё Ю:

D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .

Эндээс s y = |a|s x. Тиймээс корреляцийн коэффициент

Хэрэв а> 0, тэгвэл r xy= 1; Хэрэв а < 0, то r xy = –1.

Тэгэхээр, | r xy| = 1, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний эрэмблэгдсэн хосыг (X, Y) хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн буюу хоёр хэмжээст орон зайд санамсаргүй вектор гэнэ. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг (X,Y) мөн X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн систем гэж нэрлэдэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалыг тэдгээрийн магадлалын багцыг энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. Дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) нь тархалтын хууль нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн гэж үзнэ.

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Үйлчилгээний зорилго. Өгөгдсөн түгээлтийн хуулийн дагуу үйлчилгээг ашигласнаар та дараахь зүйлийг олох боломжтой.

• тархалтын X ба Ү цуврал, математикийн хүлээлт M[X], M[Y], дисперс D[X], D[Y];
• ковариац cov(x,y), корреляцийн коэффициент r x,y, нөхцөлт тархалтын цуврал X, нөхцөлт хүлээлт М;

Зааварчилгаа. Магадлалын тархалтын матрицын хэмжээс (мөр ба баганын тоо) болон түүний төрлийг зааж өгнө. Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална.

Жишээ №1. Хоёр хэмжээст дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тархалтын хүснэгттэй байна:

Шийдэл. Σp ij = 1 нөхцөлөөс q-ийн утгыг олно
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 + … + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91+q = 1. q = 0.09 хаанаас гардаг вэ?

Томъёог ашиглах ∑P(x би, у j) = х би(j=1..n), бид X тархалтын цувралыг олно.

Ковариац cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 ·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0,11 + 3·30·0,08 + 4·30·0,01 + 1·40·0,03 + 2·40·0,11 + 3·40·0,05 + 4·40 ·0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Корреляцийн коэффициент r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

Жишээ 2. X ба Y гэсэн хоёр үзүүлэлтийн статистик боловсруулалтын өгөгдлийг корреляцийн хүснэгтэд тусгасан болно. Шаардлагатай:

1. X ба Ү-ийн тархалтын цуваа бичиж, тэдгээрийн түүврийн дундаж болон түүврийн стандарт хазайлтыг тооцоолох;
2. нөхцөлт тархалтын Y/x цуваа бичиж, нөхцөлт дундаж Y/x-ийг тооцоолох;
3. нөхцөлт дундаж Y/x-ийн X утгуудын хамаарлыг графикаар дүрслэх;
4. түүврийн корреляцийн коэффициент Y-ийг X дээр тооцоолох;
5. урагш регрессийн тэгшитгэлийн жишээ бичих;
6. корреляцийн хүснэгтийн өгөгдлийг геометрээр дүрсэлж, регрессийн шугам байгуулна.

Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Нөхцөлт дисперс D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Нөхцөлт тархалтын хууль X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Нөхцөлт дисперс D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Нөхцөлт тархалтын хууль X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Нөхцөлт дисперс D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Нөхцөлт тархалтын хууль X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Нөхцөлт дисперс D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Нөхцөлт тархалтын хууль X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Нөхцөлт дисперс D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Нөхцөлт тархалтын хууль Ү.
Нөхцөлт тархалтын хууль Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Нөхцөлт дисперс D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Нөхцөлт тархалтын хууль Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Нөхцөлт дисперс D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Нөхцөлт тархалтын хууль Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Нөхцөлт дисперс D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Нөхцөлт тархалтын хууль Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Нөхцөлт дисперс D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Нөхцөлт тархалтын хууль Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Нөхцөлт дисперс D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Нөхцөлт тархалтын хууль Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Нөхцөлт математикийн хүлээлт M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Нөхцөлт дисперс D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Ковариац.
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25.3 42.3 = 38.11
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал тэдгээрийн ковариац нь тэг болно. Манай тохиолдолд cov(X,Y) ≠ 0 байна.
Корреляцийн коэффициент.


y-ээс x хүртэлх шугаман регрессийн тэгшитгэл нь:

x-ээс y хүртэлх шугаман регрессийн тэгшитгэл нь:

Шаардлагатай тоон шинж чанаруудыг олцгооё.
Жишээ дундаж:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Зөрчлүүд:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 у = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
Стандарт хазайлтыг хаанаас авах вэ:
σ x = 9.99 ба σ y = 4.9
ба ковариац:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42.3 25.3 = 38.11
Корреляцийн коэффициентийг тодорхойлъё:


y(x) регрессийн шугамын тэгшитгэлийг бичье.

ба тооцоолсноор бид дараахь зүйлийг авна.
y x = 0.38 x + 9.14
Регрессийн шугамын тэгшитгэлийг бичье x(y):

ба тооцоолсноор бид дараахь зүйлийг авна.
x y = 1.59 y + 2.15
Хүснэгт болон регрессийн шугамаар тодорхойлсон цэгүүдийг зурвал хоёр шулуун координаттай (42.3; 25.3) цэгийг дайран өнгөрч, цэгүүд нь регрессийн шугамтай ойролцоо байрлаж байгааг харна.
Корреляцийн коэффициентийн ач холбогдол.

Ач холбогдолын түвшин α=0.05, эрх чөлөөний зэрэг k=100-m-1 = 98 гэсэн Оюутны хүснэгтийг ашигласнаар бид t критийг олно.
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
Энд m = 1 нь тайлбарлагч хувьсагчдын тоо юм.
Хэрэв t ажиглагдсан > t чухал бол корреляцийн коэффициентийн үр дүнгийн утгыг чухал ач холбогдолтой гэж үзнэ (корреляцийн коэффициент тэгтэй тэнцүү гэсэн тэг таамаглал няцаагдана).
t obs > t crit тул корреляцийн коэффициент 0-тэй тэнцүү гэсэн таамаглалыг бид үгүйсгэдэг. Өөрөөр хэлбэл корреляцийн коэффициент нь статистикийн ач холбогдолтой.

Дасгал хийх. Харгалзах интервал дахь X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний хос утгын цохилтын тоог хүснэгтэд үзүүлэв. Эдгээр өгөгдлүүдийг ашиглан түүвэр корреляцийн коэффициент ба түүврийн тэгшитгэлийг X дээр Y ба X дээр X дээр регрессийн шулуун шугамуудыг ол.
Шийдэл

Жишээ. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний (X, Y) магадлалын тархалтыг хүснэгтээр үзүүлэв. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн X,Y хэмжигдэхүүн ба p(X,Y) корреляцийн коэффициентийн тархалтын хуулийг ол.
Шийдэл татаж авах

Дасгал хийх. Хоёр хэмжээст дискрет хэмжигдэхүүн (X, Y) нь тархалтын хуулиар өгөгдсөн. X, Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хууль, ковариац, корреляцийн коэффициентийг ол.

хоёр хэмжээст салангид хуваарилалтСанамсаргүй

Ихэнхдээ туршилтын үр дүнг хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхойлдог: . Жишээлбэл, өдрийн тодорхой цагт тухайн газрын цаг агаарыг дараах санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхойлж болно. X 1 - температур, X 2 - даралт, X 3 - агаарын чийгшил, X 4 - салхины хурд.

Энэ тохиолдолд бид олон хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ярьдаг.

Боломжит утгууд нь хос тоо болох хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье. Геометрийн хувьд хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хавтгай дээрх санамсаргүй цэг гэж тайлбарлаж болно.

Хэрэв бүрэлдэхүүн хэсгүүд XТэгээд Юнь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол дискрет хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. XТэгээд Ютасралтгүй, дараа нь тасралтгүй хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль нь боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын хамаарал юм.

Хоёр хэмжээст дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг давхар оролттой хүснэгт хэлбэрээр зааж өгч болно (Хүснэгт 6.1-ийг үз), үүнд бүрэлдэхүүн хэсэг байх магадлал байна. Xутга учрыг нь авсан x би, болон бүрэлдэхүүн хэсэг Ю- утга y j .

Хүснэгт 6.1.1.

	y 1	y 2		y j		y м
x 1	х 11	х 12		х 1ж		х 1м
x 2	х 21	х 22		х 2j		х 2м
x би	х i1	х i2		х ij		х им
x n	х n1	х n2		х nj		х nm

Үйл явдал нь хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Хүснэгт 6.1-ээс нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хуулиудыг олж болно XТэгээд Ю.

Жишээ 6.1.1 . Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтын хуулийг ол XТэгээд Y,хэрэв хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг 6.1.2-р хүснэгтийн хэлбэрээр өгвөл.

Хүснэгт 6.1.2.

Хэрэв бид аргументуудын аль нэгний утгыг засах юм бол, жишээлбэл, үр дүнд нь утгын хуваарилалт Xнөхцөлт хуваарилалт гэж нэрлэдэг. Нөхцөлт хуваарилалтыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог Ю.

Жишээ 6.1.2 . Хүснэгтэд өгөгдсөн хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын дагуу. 6.1.2, ол: a) бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт тархалтын хуулийг Xөгөгдсөн; б) нөхцөлт хуваарилалтын хууль Югэж заасан.

Шийдэл. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нөхцөлт магадлал XТэгээд Ютомъёо ашиглан тооцоолно

Нөхцөлт хуваарилалтын хууль Xмаягттай бол

Хяналт:.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг маягтаар зааж өгч болно түгээлтийн функцууд, энэ нь хос тоо тус бүрийн магадлалыг тодорхойлдог X-аас бага утгыг авна X, мөн үүнд Ю-аас бага утгыг авна y:

Геометрийн хувьд функц гэдэг нь санамсаргүй цэг нь цэг дээрээ оройтой нь хязгааргүй квадрат руу унах магадлалыг хэлнэ (Зураг 6.1.1).

шинж чанаруудыг тэмдэглэе.

• 1. Функцийн утгын муж нь , i.e. .
• 2. Функц - аргумент бүрийн хувьд буурахгүй функц.
• 3. Хязгаарлагдмал харилцаа байдаг:

Системийн хуваарилалтын функц нь бүрэлдэхүүн хэсгийн тархалтын функцтэй тэнцүү болоход X, өөрөөр хэлбэл .

Үүний нэгэн адил, .

Үүнийг мэдсэнээр та ABCD тэгш өнцөгт дотор санамсаргүй цэг унах магадлалыг олж чадна.

Тухайлбал,

Жишээ 6.1.3. Хоёр хэмжээст дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн хүснэгтээр тодорхойлно

Түгээлтийн функцийг ол.

Шийдэл. Салангид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд үнэ цэнэ XТэгээд Юбүх магадлалыг индексээр нэгтгэн олно биТэгээд j, Үүний төлөө, . Дараа нь, хэрэв ба, дараа нь (үйл явдал ба боломжгүй). Үүнтэй адилаар бид дараахь зүйлийг авна.

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, дараа нь;

хэрэв ба, тэгвэл.

Хүснэгтийн (6.1.3) утгын хэлбэрээр олж авсан үр дүнг танилцуулъя.

Учир нь хоёр хэмжээст тасралтгүйсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, магадлалын нягтын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн

Геометрийн магадлалын нягт нь орон зай дахь тархалтын гадаргуу юм

Хоёр хэмжээст магадлалын нягт нь дараахь шинж чанартай байдаг.

3. Тархалтын функцийг томъёогоор илэрхийлж болно

4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн тухайн бүсэд унах магадлал нь тэнцүү байна

5. Функцийн шинж чанарын (4) дагуу дараах томьёог баримтална.

Жишээ 6.1.4.Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг өгөв