Энэ нийтлэл нь янз бүрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга техникт зориулагдсан болно
модуль тэмдгийн дор хувьсагч.

Хэрэв та шалгалтан дээр модультай тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдалтай таарвал үүнийг шийдэж болно
ямар ч тусгай аргыг огт мэдэхгүй, зөвхөн модулийн тодорхойлолтыг ашиглана. Үнэн,
Энэ нь шалгалтын үнэ цэнэтэй цаг хагас цаг зарцуулж болно.

Тиймээс бид ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбаршуулсан техникүүдийн талаар танд хэлэхийг хүсч байна.

Юуны өмнө үүнийг санаарай

Төрөл бүрийн төрлийг анхаарч үзээрэй модультай тэгшитгэл... (Бид дараа нь тэгш бус байдал руу шилжих болно.)

Зүүн талд модуль, баруун талд дугаар байна

Энэ бол хамгийн энгийн тохиолдол юм. Тэгшитгэлээ шийдье

Модулиуд нь дөрөвтэй тэнцүү хоёр л тоо байдаг. Эдгээр нь 4 ба -4 юм. Тиймээс тэгшитгэл
нь хоёр энгийн хослолтой тэнцүү байна:

Хоёр дахь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй. Эхнийх нь шийдлүүд: x = 0 ба x = 5.

Хариулт: 0; 5.

Модулийн доор болон гадна талд хувьсагч

Энд та модулийг тодорхойлолтоор нь өргөжүүлэх хэрэгтэй. ... ... эсвэл бодох!

Модулийн доорх илэрхийлэлийн тэмдгээс хамааран тэгшитгэл нь хоёр тохиолдолд хуваагдана.
Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хоёр системийг хослуулсантай адил юм:

Эхний системийн шийдэл:. Хоёр дахь систем нь ямар ч шийдэлгүй.
Хариулт: 1.

Эхний тохиолдол: x ≥ 3. Модулийг устгана уу:

Сөрөг тоо нь x ≥ 3 нөхцлийг хангахгүй тул анхны тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

Тоо нь энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд ялгааг бүрдүүлж, түүний тэмдгийг тодорхойлно уу.

Иймээс энэ нь гурваас их тул анхны тэгшитгэлийн үндэс болно

Хоёр дахь тохиолдол: x< 3. Снимаем модуль:

Тоо. -аас их, тиймээс x нөхцөлийг хангахгүй< 3. Проверим :

гэсэн үг, . нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.

Тодорхойлолтоор модулийг устгах уу? Ялгаварлан гадуурхагч нь бүтэн дөрвөлжин биш учраас энэ тухай бодох ч аймшигтай. Дараахь бодлыг илүү сайн ашиглацгаая: хэлбэрийн тэгшитгэл | A | = B нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна:

Үүнтэй ижил, гэхдээ арай өөр:

Өөрөөр хэлбэл, A = B ба A = −B гэсэн хоёр тэгшитгэлийг шийдэж, дараа нь B ≥ 0 нөхцөлийг хангасан язгууруудыг сонгоно.

Эхэлцгээе. Эхлээд бид эхний тэгшитгэлийг шийднэ:

Дараа нь бид хоёр дахь тэгшитгэлийг шийднэ.

Одоо, тохиолдол бүрт бид баруун талын тэмдгийг шалгана:

Тиймээс, зөвхөн тохиромжтой байдаг.

| x | орлуулалттай квадрат тэгшитгэл = т

Тэгшитгэлийг шийдье:

Учир нь | x | солих нь тохиромжтой = т. Бид авах:

Хариулт: ± 1.

Модуль нь модультай тэнцүү байна

Бид A | хэлбэрийн тэгшитгэлийн талаар ярьж байна = | B |. Энэ бол хувь заяаны бэлэг юм. Тодорхойлолтоор модулийг задруулахгүй! Энэ нь энгийн:

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье:. Энэ нь дараах нийлбэртэй тэнцүү байна.

Багцын тэгшитгэл бүрийг шийдэж, хариултыг бичихэд л үлддэг.

Хоёр ба түүнээс дээш модуль

Тэгшитгэлийг шийдье:

Модуль бүрийг тусад нь зовоохгүй, тодорхойлолтоор нь өргөжүүлье - хэтэрхий олон сонголт байх болно. Илүү оновчтой арга байдаг - интервалын арга.

Модулийн илэрхийллүүд x = 1, x = 2, x = 3 цэгүүдэд алга болно. Эдгээр цэгүүд нь тооны шулууныг дөрвөн интервалд (интервал) хуваадаг. Бид эдгээр цэгүүдийг тоон шугам дээр тэмдэглэж, модулиудын доор байгаа илэрхийлэл бүрийн тэмдгийг олж авсан интервалаар байрлуулна. (Тэмдгийн дараалал нь тэгшитгэл дэх харгалзах модулиудын дараалалтай ижил байна.)

Тиймээс бид дөрвөн тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй - x нь интервал бүрт байх үед.

Тохиолдол 1: x ≥ 3. Бүх модулиудыг "нэмэх"-ээр хассан:

Үр дүнгийн утга x = 5 нь x ≥ 3 нөхцөлийг хангасан тул анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Тохиолдол 2: 2 ≤ x ≤ 3. Сүүлийн модулийг одоо "хасах"-аар хаслаа:

Үр дүнгийн x утга нь бас сайн байна - энэ нь авч үзэж буй интервалд хамаарна.

Тохиолдол 3: 1 ≤ x ≤ 2. Хоёр ба гурав дахь модулийг "хасах"-аар хасав:

Бид авч үзсэн интервалаас дурын х-ийн зөв тоон тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Тохиолдол 4: x ≤ 1 ≤ 1. Хоёр ба гурав дахь модулийг "хасах"-аар хасав:

Шинэ зүйл биш. x = 1 нь шийдэл гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн.

Хариулт: ∪ (5).

Модуль дахь модуль

Тэгшитгэлийг шийдье:

Бид дотоод модулийг өргөжүүлж эхэлдэг.

1) x ≤ 3. Бид дараахь зүйлийг авна.

Модулийн доорх илэрхийлэл нь цагт алга болно. Энэ цэг нь авч үзсэн зүйлд хамаарна
интервал. Тиймээс бид хоёр дэд зүйлд дүн шинжилгээ хийх ёстой.

1.1) Энэ тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна.

Х-ийн энэ утга нь авч үзэж буй интервалд хамаарахгүй тул хүчин төгөлдөр бус байна.

1.2). Дараа нь:

Энэ x утга нь бас буруу байна.

Тэгэхээр x ≤ 3-ын хувьд шийдэл байхгүй. Хоёр дахь тохиолдол руугаа орцгооё.

2) x ≥ 3. Бидэнд:

Энд бид азтай байна: x + 2 илэрхийлэл нь авч үзэж буй интервалд эерэг байна! Тиймээс, нэмэлт тохиолдол байхгүй болно: модулийг "нэмэх"-ээр хассан:

x-ийн энэ утга нь авч үзсэн интервалд байгаа тул анхны тэгшитгэлийн үндэс болно.

Энэ төрлийн бүх даалгавруудыг ингэж шийддэг - бид дотоод модулиудаас эхлээд үүрлэсэн модулиудыг нэг нэгээр нь нээдэг.

MBOU 17-р дунд сургууль Иванов

« Модультай тэгшитгэлүүд "
Арга зүйн хөгжил

Эмхэтгэсэн

математикийн багш

Н.В.Лебедева

20010 гр.

Тайлбар тэмдэглэл

Бүлэг 1. Оршил

Бүлэг 2. Үндсэн шинж чанарууд Хэсэг 3. Тооны модулийн тухай ойлголтын геометрийн тайлбар 4-р хэсэг y = |x | функцийн график Бүлэг 5. Конвенци

Бүлэг 2. Модуль агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Хэсэг 1. |F (x) | хэлбэрийн тэгшитгэл = m (хамгийн энгийн) 2-р хэсэг. F (| x |) = m хэлбэрийн тэгшитгэл Бүлэг 3. |F (x) | хэлбэрийн тэгшитгэл = G (x) Бүлэг 4. |F (x) | хэлбэрийн тэгшитгэл = ± F (x) (сайхан) Бүлэг 5. |F (x) | хэлбэрийн тэгшитгэл = | G (x) | Хэсэг 6. Стандарт бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ Хэсэг 7. |F (x) | хэлбэрийн тэгшитгэл + | G (x) | = 0 Бүлэг 8. Маягтын тэгшитгэл |a 1 x ± b 1 | ± |a 2 x ± b 2 | ±… | a n x ± in n | = м Хэсэг 9. Олон модуль агуулсан тэгшитгэл

Бүлэг 3. Төрөл бүрийн тэгшитгэлийг модулаар шийдвэрлэх жишээ.

Хэсэг 1. Тригонометрийн тэгшитгэл 2-р хэсэг. Экспоненциал тэгшитгэл Бүлэг 3. Логарифм тэгшитгэл Бүлэг 4. Иррационал тэгшитгэл Хэсэг 5. Нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлсэн даалгавар Дасгалын хариултууд Ном зүй

Тайлбар тэмдэглэл.

Бодит тооны үнэмлэхүй утгын (модуль) тухай ойлголт нь түүний чухал шинж чанаруудын нэг юм. Энэхүү ойлголт нь физик, математик, техникийн шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт өргөн тархсан байдаг. ОХУ-ын БХЯ-ны хөтөлбөрийн дагуу ерөнхий боловсролын сургуульд математикийн хичээл заах практикт "тооны үнэмлэхүй утга" гэсэн ойлголт олон удаа тохиолддог: 6-р ангид модулийн тодорхойлолт, түүний геометрийн утгыг танилцуулсан; 8-р ангид үнэмлэхүй алдааны тухай ойлголтыг бий болгож, модулийг агуулсан хамгийн энгийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлын шийдлийг авч үзэх, арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг судлах; 11-р ангид уг ойлголтыг "Үндэс n--р зэрэг.Багшлах туршлагаас харахад оюутнууд энэ материалын талаархи мэдлэг шаардсан даалгавруудыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн бэрхшээлтэй тулгардаг бөгөөд дуусгахаасаа өмнө алгасах нь элбэг байдаг. 9, 11-р ангийн хичээлийн шалгалтын даалгаврын текстэд ижил төстэй даалгавруудыг мөн оруулсан болно. Түүнчлэн, их дээд сургуулиас сургууль төгсөгчдөд тавих шаардлага нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс өндөр түвшинд ялгаатай байдаг. Орчин үеийн нийгэм дэх амьдралын хувьд сэтгэцийн тодорхой ур чадвараар илэрдэг математик сэтгэлгээний хэв маягийг бий болгох нь маш чухал юм. Модультай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх явцад ерөнхий болон тодорхой болгох, дүн шинжилгээ хийх, ангилах, системчлэх, аналоги гэх мэт арга техникийг ашиглах чадвар шаардлагатай. Ийм даалгаврын шийдэл нь сургуулийн хичээлийн үндсэн хэсгүүдийн талаархи мэдлэг, логик сэтгэлгээний түвшин, судалгааны ажлын анхны ур чадварыг шалгах боломжийг олгодог. Энэхүү ажил нь модуль агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэсгүүдийн аль нэгэнд зориулагдсан болно. Энэ нь гурван бүлгээс бүрдэнэ. Эхний бүлэгт үндсэн ойлголтууд болон онолын хамгийн чухал тооцооллыг танилцуулна. Хоёрдахь бүлэгт модуль агуулсан есөн төрлийн тэгшитгэлийг санал болгож, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэж, янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй байдлын жишээг авч үзсэн болно. Гурав дахь бүлэгт илүү төвөгтэй, стандарт бус тэгшитгэлүүдийг (тригонометр, экспоненциал, логарифм ба иррационал) санал болгож байна. Тэгшитгэлийн төрөл бүр бие даасан шийдвэрлэх дасгалуудтай (хариулт, зааврыг хавсаргасан). Энэхүү ажлын гол зорилго нь багш нарт хичээлд бэлтгэх, нэмэлт сургалт зохион байгуулахад арга зүйн туслалцаа үзүүлэхэд оршино. Энэ материалыг ахлах ангийн сурагчдад зориулсан сургалтын хэрэглэгдэхүүн болгон ашиглаж болно. Энэхүү ажилд санал болгож буй ажлууд нь сонирхолтой бөгөөд шийдвэрлэхэд хялбар байдаггүй бөгөөд энэ нь оюутнуудын боловсролын сэдлийг илүү ухамсартай болгох, тэдний чадварыг шалгах, сургууль төгсөгчдийн их дээд сургуульд элсэхэд бэлтгэх түвшинг дээшлүүлэх боломжийг олгодог. Санал болгож буй дасгалуудыг төрөлжүүлэн сонгох нь материалыг эзэмших нөхөн үржихүйн түвшингээс бүтээлч түвшинд шилжих, түүнчлэн стандарт бус асуудлыг шийдвэрлэхэд мэдлэгээ хэрхэн ашиглахыг заах боломжийг агуулдаг.

Бүлэг 1. Оршил.

Бүлэг 1. Үнэмлэхүй утгыг тодорхойлох .

Тодорхойлолт : Бодит тооны үнэмлэхүй утга (модуль). асөрөг бус тоо гэж нэрлэдэг: аэсвэл -а. Зориулалт: │ а │ Бичлэгийг дараах байдлаар уншина: "a тооны модуль" эсвэл "а тооны үнэмлэхүй утга"

│ a, хэрэв a> 0 бол

│a│ = │ 0 бол a = 0 (1)

│ - а, хэрэв а
Жишээ нь: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Илэрхийлэх модулийг өргөжүүлэх:

a) │x - 8│, хэрэв x> 12 b) │2x + 3│, хэрэв x ≤ -2 │x - 8│ = x - 8 │ 2x + 3│ = - 2x - 3

Бүлэг 2. Үндсэн шинж чанарууд.

Үнэмлэхүй утгын үндсэн шинж чанарыг авч үзье. Үл хөдлөх хөрөнгө №1: Эсрэг тоонууд нь тэнцүү модультай, өөрөөр хэлбэл. │а│ = │- a│Тэгш байдал зөв гэдгийг харуулъя. Тооны тодорхойлолтыг бичье - а : │- a│= (2) Цуглуулга (1) ба (2) харьцуулж үзье. Мэдээжийн хэрэг, тоонуудын үнэмлэхүй утгын тодорхойлолтууд аболон - атааруулах. Тиймээс, │а│ = │- a│
Дараах шинж чанаруудыг авч үзэхдээ тэдгээрийн нотолгоо нь өгөгдсөн тул бид тэдгээрийн томъёоллыг хязгаарладаг Үл хөдлөх хөрөнгө №2: Хязгаарлагдмал тооны бодит тоонуудын нийлбэрийн үнэмлэхүй утга нь нэр томъёоны абсолют утгуудын нийлбэрээс хэтрэхгүй байна: │а 1 + а 2 + ... + а n │ ≤│а 1 │ + │а 2 │ + ... + │а n │ Үл хөдлөх хөрөнгийн дугаар 3: Хоёр бодит тооны зөрүүний үнэмлэхүй утга нь тэдгээрийн үнэмлэхүй утгуудын нийлбэрээс хэтрэхгүй байна: │а - в│ ≤│а│ + │в│ Үл хөдлөх хөрөнгийн №4: Хязгаарлагдмал тооны бодит тоонуудын үржвэрийн үнэмлэхүй утга нь хүчин зүйлүүдийн абсолют утгын үржвэртэй тэнцүү байна. Өмч №5: Бодит тоонуудын коэффициентийн үнэмлэхүй утга нь тэдгээрийн абсолют утгуудын коэффициенттэй тэнцүү байна.

Хэсэг 3. Тооны модулийн тухай ойлголтын геометрийн тайлбар.

Бодит тоо бүрийг тоон шулуун дээрх цэгтэй холбож болох бөгөөд энэ нь өгөгдсөн бодит тооны геометрийн дүрс болно. Тоон шулуун дээрх цэг бүр нь гарал үүслийн цэгээс зайтай тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. эхлэлээс өгөгдсөн цэг хүртэлх сегментийн урт. Энэ зайг үргэлж сөрөг бус утга гэж үздэг. Тиймээс харгалзах сегментийн урт нь өгөгдсөн бодит тооны үнэмлэхүй утгын геометрийн тайлбар байх болно

Үзүүлсэн геометрийн дүрслэл нь №1 өмчийг тодорхой баталж байна, i.e. Эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү байна. Тиймээс тэгш байдлын үнэн зөвийг хялбархан ойлгож болно: │x - a│ = │a - x│. Мөн m ≥ 0, тухайлбал х 1,2 = ± m байх │х│ = m тэгшитгэлийн шийдэл илүү тодорхой болно. Жишээ нь: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1.2 = 2; 4

4-р хэсэг y = │х│ функцийн график

Энэ функцийн хамрах хүрээ нь бүх бодит тоонууд юм.

Бүлэг 5. Конвенци.

Ирээдүйд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүдийг авч үзэхдээ дараахь конвенцуудыг ашиглана. (- системийн тэмдэг [- нийт байдлын тэмдэг Тэгшитгэлийн системийг (тэгш бус байдал) шийдвэрлэх үед тэгшитгэлийн (тэгш бус байдал) системд багтсан шийдлүүдийн огтлолцлыг олно. Тэгшитгэлийн багцыг (тэгш бус байдал) шийдвэрлэх үед тэгшитгэлийн багц (тэгш бус байдал) -д багтсан шийдлүүдийн нэгдэл олддог.

Бүлэг 2. Модуль агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Энэ бүлэгт бид нэг буюу хэд хэдэн модуль агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгебрийн аргуудыг авч үзэх болно.

Хэсэг 1. │F (x) │ = m хэлбэрийн тэгшитгэл

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг хамгийн энгийн гэж нэрлэдэг. Энэ нь зөвхөн m ≥ 0 тохиолдолд л шийдэлтэй байна. Модулийн тодорхойлолтоор анхны тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна: │ Ф(x) │ =м
Жишээ нь:
№1. Тэгшитгэлийг шийд: │7x - 2│ = 9


Хариулт: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│ = 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Хариулт: Үндэсний нийлбэр нь - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 гэж бид x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 гэж тэмдэглэнэ. ; ± √5 м 2 - 5м + 4 = 0 м = 1; 4 - хоёр утга хоёулаа m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 нөхцлийг хангаж байна Хариулт: тэгшитгэлийн язгуурын тоо 7 байна. Дасгалууд:
№1. Тэгшитгэлийг шийдэж, язгууруудын нийлбэрийг заана уу: │х - 5│ = 3 №2 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, жижиг язгуурыг заана уу: │x 2 + x│ = 0 №3 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, том язгуурыг заана уу: │x 2 - 5x + 4│ = 4 №4 .Тэгшитгэлийг шийдэж язгуурыг бүхэлд нь заана уу: │2x 2 - 7x + 6│ = 1 №5 .Тэгшитгэлийг шийдэж язгуурын тоог бич: │x 4 - 13x 2 + 50│ = 14

2-р хэсэг. F (│х│) = m хэлбэрийн тэгшитгэл

Зүүн талд байгаа функцийн аргумент нь модулийн тэмдгийн доор, баруун тал нь хувьсагчаас хамааралгүй байна. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх хоёр аргыг авч үзье. Арга 1:Үнэмлэхүй утгын тодорхойлолтоор анхны тэгшитгэл нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна. Тус бүрд нь дэд модулийн илэрхийлэлд нөхцөл ногдуулдаг. Ф(│х│) =м
F (│х│) функц нь тодорхойлолтын бүх мужид тэгш байх тул F (x) = m ба F (- x) = m тэгшитгэлийн язгуурууд нь эсрэг тоонуудын хос юм. Тиймээс аль нэг системийг шийдэхэд хангалттай (жишээг ийм байдлаар авч үзэхэд нэг системийн шийдлийг өгөх болно). Арга 2:Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг хэрэглэх. Энэ тохиолдолд │х│ = a гэсэн тэмдэглэгээг оруулсан бөгөөд a ≥ 0. Энэ арга нь дизайны хувьд бага эзэлхүүнтэй байдаг.
Жишээ нь: №1 ... Тэгшитгэлийг шийд: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Шинэ хувьсагчийн танилцуулгыг ашиглая. Бид │x│ = a-г тэмдэглэж, a ≥ 0. Бид тэгшитгэлийг олж авна 3a 2 - 4a + 1 = 0 A = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/3 Анхны хувьсагч руу буцах: │x │ = 1 ба │х│ = 1/3. Тэгшитгэл бүр хоёр үндэстэй. Хариулт: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Тэгшитгэлийг шийд: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
Олонлогийн эхний системийн шийдийг олцгооё: 4x 2 + 5x - 2 = 0 D = 57 x 1 = -5 + √57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 x 2 нь тийм биш гэдгийг анхаарна уу. x ≥ 0 нөхцөлийг хангана. Хоёр дахь систем нь x 1-ийн эсрэг байх болно. Хариулт: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Тэгшитгэлийг шийд: x 4 - │х│ = 0 │х│ = a гэж тэмдэглэ, энд a ≥ 0. a 4 - a = 0 a · (a 3 - 1) = 0 a 1 = 0 a 2 тэгшитгэлийг олж авна. = 1 Анхны хувьсагч руу буцах: │х│ = 0 ба │х│ = 1 х = 0; ± 1 Хариулт: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Дасгалууд: №6. Тэгшитгэлийг шийд: 2│x│ - 4.5 = 5 - 3/8 │x│ №7 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгуурын тоог бичнэ үү: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд бүх шийдлүүдийг зааж өгнө үү: x 4 + │x│ - 2 = 0

3-р хэсэг. │F (x) │ = G (x) хэлбэрийн тэгшитгэлүүд

Энэ хэлбэрийн тэгшитгэлийн баруун тал нь хувьсагчаас хамаардаг тул баруун тал нь G (x) ≥ 0 функц байвал шийдэлтэй байна. Анхны тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. : Арга 1:Стандарт нь түүний тодорхойлолт дээр үндэслэн модулийг задлахад үндэслэсэн бөгөөд хоёр системийг хослуулахтай тэнцэх шилжилтээс бүрддэг. │ Ф(x) │ =Г(X)

F (x) функцтэй тэгш бус байдлын шийдийг авч үзсэн тул G (x) функцийн цогц илэрхийлэл ба F (x) функцийн хувьд бага төвөгтэй илэрхийллийн хувьд энэ аргыг ашиглах нь оновчтой юм. Арга 2:Энэ нь баруун гар талд нөхцөл ногдуулдаг эквивалент системд шилжихээс бүрдэнэ. │ Ф(х)│= Г(х)

G (x) функцийн илэрхийлэл нь F (x) функцийг бодвол ээдрээ багатай тохиолдолд энэ аргыг хэрэглэхэд илүү тохиромжтой, учир нь тэгш бус байдал G (x) ≥ 0 байна. Үүнээс гадна хэд хэдэн модулиудын хувьд энэ аргыг хоёр дахь сонголтыг ашиглахыг зөвлөж байна. Жишээ нь: №1. Тэгшитгэлийг шийд: │x + 2│ = 6 -2x
(1 арга зам) Хариулт: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1│ = 2 (x + 1)
(2 арга зам) Хариулт: Үндэсний үржвэр нь 3 байна.
№3. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу.
│x - 6│ = x 2 - 5x + 9

Хариулт: Үндэсний нийлбэр нь 4.
Дасгалууд: №9. │x + 4│ = - 3x №10. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд шийдлийн тоог бичнэ үү: │x 2 + x - 1│ = 2x - 1 №11 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд үндэсийн үржвэрийг заана уу: │х + 3│ = х 2 + х - 6

4-р хэсэг. │F (x) │ = F (x) ба │F (x) │ = - F (x) хэлбэрийн тэгшитгэлүүд

Ийм төрлийн тэгшитгэлийг заримдаа "хамгийн хөөрхөн" гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэлийн баруун тал нь хувьсагчаас хамаардаг тул баруун тал нь сөрөг биш тохиолдолд л шийдэл бий. Тиймээс анхны тэгшитгэлүүд нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна:
│F (x) │ = F (x) F (x) ≥ 0 ба │F (x) │ = - F (x) F (x) Жишээ нь: №1 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултдаа жижиг бүхэл язгуурыг зааж өгнө үү: │5x - 3│ = 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 Хариулт: x = 1№2. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултдаа цоорхойн уртыг заана уу: │х 2 - 9│ = 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Хариулт: Цоорхойн урт нь 6 байна.№3 . Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултдаа бүхэл тоон шийдүүдийн тоог бичнэ үү: │2 + х - х 2 │ = 2 + х - х 2 2 + х - х 2 ≥ 0 х 2 - х - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Хариулт: 4 бүхэл шийдэл.№4 . Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд хамгийн том язгуурыг заана уу.
│4 - x -
│ = 4 - x -
x 2 - 5x + 5 = 0 D = 5 x 1.2 =
≈ 1,4

Хариулт: x = 3.

Дасгалууд: №12. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд бүх язгуурыг заана уу: │x 2 + 6x + 8│ = x 2 + 6x + 8 №13. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд бүхэл тооны шийдлийн тоог бичнэ үү: │13x - x 2 - 36│ + x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд тэгшитгэлийн үндэс биш бүхэл тоог бичнэ үү.

5-р хэсэг. │F (x) │ = │G (x) │ хэлбэрийн тэгшитгэлүүд

Тэгшитгэлийн хоёр тал нь сөрөг биш тул шийдэлд хоёр тохиолдлыг авч үзэх шаардлагатай: дэд модулийн илэрхийллүүд нь тэмдгээр тэнцүү эсвэл эсрэг байна. Тиймээс анхны тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна: │ Ф(х)│= │ Г(х)│
Жишээ нь: №1. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд бүх язгуурыг заана уу: │x + 3│ = │2x - 1│
Хариулт: бүх үндэс x = 4.№2. Тэгшитгэлийг шийд: │ x - x 2 - 1│ = │2x - 3 - x 2 │
Хариулт: x = 2.№3 . Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд үндэсийн үржвэрийг зааж өгнө үү.




Тэгшитгэлийн үндэс 4x 2 + 2x - 1 = 0 x 1.2 = - 1 ± √5 / 4 Хариулт: үндэсийн бүтээгдэхүүн нь - 0.25-тай тэнцүү байна. Дасгалууд: №15 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултдаа бүх шийдийг бичнэ үү: │x 2 - 3x + 2│ = │x 2 + 6x - 1│ №16. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд жижиг язгуурыг заана уу: │5x - 3│ = │7 - x│ №17 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу.

Хэсэг 6. Стандарт бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Энэ хэсэгт бид стандарт бус тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхдээ илэрхийлэлийн үнэмлэхүй утгыг тодорхойлолтоор илрүүлдэг. Жишээ нь:

№1. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу: x │x│- 5x - 6 = 0
Хариулт: Үндэсний нийлбэр нь 1 №2. . Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд жижиг язгуурыг зааж өгнө үү: x 2 - 4x
- 5 = 0
Хариулт: жижиг үндэс x = - 5. №3. Тэгшитгэлийг шийд:

Хариулт: x = -1. Дасгалууд: №18. Тэгшитгэлийг шийдэж, язгууруудын нийлбэрийг заана уу: x 3x + 5│ = 3x 2 + 4x + 3
№19. Тэгшитгэлийг шийд: x 2 - 3x =

№20. Тэгшитгэлийг шийд:

7-р хэсэг. │F (x) │ + │G (x) │ = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд

Энэ төрлийн тэгшитгэлийн зүүн талд сөрөг бус утгуудын нийлбэр байгааг харахад хялбар байдаг. Иймээс хоёр гишүүн нэг зэрэг тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд анхны тэгшитгэл нь шийдэлтэй болно. Тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна: │ Ф(х)│+│ Г(х)│=0
Жишээ нь: №1 ... Тэгшитгэлийг шийд:
Хариулт: x = 2. №2. Тэгшитгэлийг шийд: Хариулт: x = 1. Дасгалууд: №21. Тэгшитгэлийг шийд: №22 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу. №23 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд шийдлийн тоог зааж өгнө үү.

8-р хэсэг. │а 1 х + в 1 │ ± │а 2 х + в 2 │ ± ... │а n х + в n │ = m хэлбэрийн тэгшитгэлүүд.

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд интервалын аргыг ашигладаг. Хэрэв бид модулиудыг дараалан өргөтгөх замаар үүнийг шийдвэл бид үүнийг авна nсистемүүдийн багц, энэ нь маш төвөгтэй бөгөөд тохиромжгүй юм. Интервалын аргын алгоритмыг авч үзье: 1). Хувьсагч утгыг олох Xмодуль бүр тэгтэй тэнцүү байна (дэд модулийн илэрхийллийн тэг):
2). Олдсон утгуудыг интервалд хуваасан тоон мөрөнд тэмдэглээрэй (интервалын тоо нь тус тус байна) n+1 ) 3). Модуль бүрийг олж авсан интервал тус бүрээр илчлэх тэмдгийг тодорхойл (шийдвэр гаргахдаа та түүн дээр тэмдэглэгээ хийх замаар тоон шугам ашиглаж болно) 4). Анхны тэгшитгэл нь нийттэй тэнцүү байна n+1 систем тус бүр нь хувьсагчийн харьяаллыг илэрхийлдэг Xинтервалуудын нэг. Жишээ нь: №1 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд хамгийн том язгуурыг заана уу.
нэг). Дэд модулийн илэрхийллүүдийн тэгийг ол: x = 2; x = -3 2). Олдсон утгыг тоон мөрөнд тэмдэглэж, модуль бүрийг олж авсан интервал дээр өргөжүүлэх тэмдгийг тодорхойлъё.
x - 2 x - 2 x - 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- шийдэл байхгүй Тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Хариулт: хамгийн том үндэс нь x = 2. №2. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд бүх язгуурыг зааж өгнө үү.
нэг). Дэд модулийн илэрхийллүүдийн тэгийг ол: x = 1.5; x = - 1 2). Олдсон утгыг тоон мөрөнд тэмдэглэж, модуль бүрийг олж авсан интервалд ямар тэмдгээр илрүүлж байгааг тодорхойлъё: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 х 2х - 3 2х - 3 2х - 3 - - +
3).
Сүүлийн систем нь шийдэлгүй тул тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад та хоёр дахь модулийн урд байрлах "-" тэмдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хариулт: бүх үндэс x = 7. №3. Тэгшитгэлийг шийд, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу: 1). Дэд модулийн илэрхийллүүдийн тэгийг ол: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Бид олсон утгуудыг тоон мөрөнд тэмдэглэж, модуль бүрийг олж авсан интервал дээр ямар тэмдгээр илрүүлж байгааг тодорхойлно: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Тэгшитгэл нь x = 0 ба 2 гэсэн хоёр үндэстэй. Хариулт: Үндэсний нийлбэр нь 2. №4 . Тэгшитгэлийг шийд: 1). Дэд модулийн илэрхийллүүдийн тэгийг ол: x = 1; x = 2; x = 3.2). Модуль бүрийг олж авсан интервал дээр илчлэх тэмдгийг тодорхойлъё. 3).
Эхний гурван системийн шийдлүүдийг нэгтгэж үзье. Хариулт: ; x = 5.
Дасгалууд: №24. Тэгшитгэлийг шийд:
№25. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу. №26. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд жижиг язгуурыг зааж өгнө үү. №27. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд том язгуурыг зааж өгнө үү.

Хэсэг 9. Олон модуль агуулсан тэгшитгэл

Олон модуль агуулсан тэгшитгэл нь дэд модулийн илэрхийлэлд үнэмлэхүй утгыг авна. Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх гол зарчим бол "гадаад" модулиудаас эхлээд модулиудыг дараалан задлах явдал юм. Шийдвэрлэх явцад №1, №3 хэсэгт дурдсан арга техникийг ашигладаг.

Жишээ нь: №1. Тэгшитгэлийг шийд:
Хариулт: x = 1; - арван нэгэн. №2. Тэгшитгэлийг шийд:
Хариулт: x = 0; 4; - 4. №3. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд үндэсийн үржвэрийг зааж өгнө үү.
Хариулт: үндэс үржвэр нь - 8 байна. №4. Тэгшитгэлийг шийд:
Олонлогийн тэгшитгэлийг тэмдэглэе (1) болон (2) дизайны тав тухыг хангах үүднээс тус бүрийн шийдлийг тусад нь авч үзье. Хоёр тэгшитгэл нь нэгээс олон модулийг агуулж байгаа тул системүүдийн багц руу тэнцэх шилжилтийг хийх нь илүү тохиромжтой. (1)

(2)


Хариулт:
Дасгалууд: №36. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг бичнэ үү: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Тэгшитгэлийг шийд, хэрэв нэгээс олон үндэс байвал хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу: │x + 2│x - 3x - 10 = 1 №38. Тэгшитгэлийг шийд: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгуурын тоог дараах байдлаар бичнэ үү: 2 │ sin х│ = √2 №40 ... Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд язгуурын тоог зааж өгнө үү.

Бүлэг 3. Логарифм тэгшитгэл.

Дараах тэгшитгэлийг шийдэхийн өмнө логарифмын шинж чанар болон логарифмын функцийг давтах шаардлагатай. Жишээ нь: №1. Тэгшитгэлийг шийдэж, хариултанд үндэсийн үржвэрийг зааж өгнө үү: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1│ = 6 ODZ. x + 1 ≠ 0 x ≠ - 1

1 тохиолдол: хэрэв x ≥ - 1 бол log 2 (x + 1) 2 + log 2 (x + 1) = 6 log 2 (x + 1) 3 = log 2 2 6 (x + 1) 3 = 2 6 x + 1 = 4 x = 3 - нөхцөлийг хангана х ≥ - 1 2 тохиолдол: хэрэв х log 2 (x + 1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x + 1) 2 + log 2 (- (x + 1)) = 6 log 2 (- (x + 1) 3) = log 2 2 6- (x + 1) 3 = 2 6- (x + 1) = 4 x = - 5 - x - 1 нөхцөлийг хангана
Хариулт: үндэсийн бүтээгдэхүүн - 15.
№2. Тэгшитгэлийг шийд, хариултанд язгууруудын нийлбэрийг заана уу: lg
О.Д.З.

Хариулт: Үндэсний нийлбэр нь 0.5 байна.
№3. Тэгшитгэлийг шийд: log 5
О.Д.З.

Хариулт: x = 9. №4. Тэгшитгэлийг шийд: │2 + log 0.2 x│ + 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x> 0 Өөр суурь руу шилжих томъёог ашиглая. │2 - лог 5 x│ + 3 = │1 + лог 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│ = - 3 Дэд модулийн илэрхийллүүдийн тэгийг ол: x = 25; x = Эдгээр тоонууд нь зөвшөөрөгдөх утгын мужийг гурван интервалд хуваадаг тул тэгшитгэл нь гурван системийн хослолтой тэнцүү байна.
Хариулт:)