Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл

Өгчихье ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ:

Шулуун шугамын харгалзах координатын тэнхлэгт огтолж буй сегментүүд нь сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамыг байгуул.

Үүнээс бид энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр байгуулж болно.

Харилцан зохицуулалтхавтгай дээрх шулуун шугамууд.

Мэдэгдэл 1.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамын дарааллаар:

Санамсаргүй байдал зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай бөгөөд ингэснээр:

Баталгаажуулалт: ба давхцах, тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ба коллинеар, өөрөөр хэлбэл:

Энэ шулуун шугамаар M 0 цэгийг авъя, тэгвэл:

Эхний тэгшитгэлийг үржүүлж, хоёр дахь тэгшитгэлийг (2) нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс (2), (3) ба (4) томъёо нь тэнцүү байна. (2)-ыг хангавал (*) системийн тэгшитгэлүүд тэнцүү байна; харгалзах шулуун шугамууд давхцаж байна.

Мэдэгдэл 2.

(*) тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамууд нь параллель бөгөөд зөвхөн дараах тохиолдолд давхцахгүй.

Нотолгоо:

Тэд таарахгүй байсан ч:

Тохиромжгүй, өөрөөр хэлбэл Кронекер-Капелли теоремын дагуу:

Энэ нь зөвхөн дараах тохиолдолд л боломжтой:

Энэ нь нөхцөл (5) хангагдсан үед гэсэн үг юм.

Эхний тэгшитгэл (5) биелэх үед - хоёр дахь тэгшитгэлийг хангаагүй нь системийн (*) нийцэхгүй байдалд хүргэдэг шугамууд зэрэгцээ бөгөөд давхцдаггүй.

Тайлбар 1.

Туйлын координатын систем.

Хавтгай дээрх цэгийг засаад түүнийг туйл гэж нэрлэе. Туйлаас ялгарах цацрагийг туйлын тэнхлэг гэж нэрлэнэ.

Хэсгүүдийн уртыг хэмжих хуваарийг сонгож, цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг эргэлтийг эерэг гэж үзнэ гэдгийг зөвшөөрье. Аливаа цэгийг анхаарч үзээрэй өгсөн онгоц, туйл хүртэлх зайгаар тэмдэглээд туйлын радиус гэж нэрлэнэ. Туйлын тэнхлэгтэй давхцаж байхаар эргүүлэх ёстой өнцгийг туйлын өнцөг гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт 3.

Цэгийн туйлын координатууд нь түүний туйлын радиус ба туйлын өнцөг юм.

Тайлбар 2. шон дотор. Цэгээс бусад онооны утгыг хугацаа хүртэл тодорхойлно.

Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзье: туйл нь эхлэлтэй, туйлын тэнхлэг нь эерэг хагас тэнхлэгтэй давхцдаг. Энд. Дараа нь:

Тэгш өнцөгт декарт ба туйлын координатын системийн хооронд ямар хамааралтай вэ.

Бернуллигийн лемнискатын тэгшитгэл. Үүнийг туйлын координатын системд бичнэ үү.

Хавтгай дээрх шулууны хэвийн тэгшитгэл. Туйлын тэнхлэг нь эхийг дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй давхцаж байг. Байцгаая:

Дараа нь зөвшөөр:

Цэгийн нөхцөл (**):

Туйлын координатын систем дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Энд - гарал үүслээс шулуун шугам хүртэл зурсан урт, - тэнхлэгт хэвийн налуугийн өнцөг.

Тэгшитгэл (7)-ийг дахин бичиж болно:

Хавтгай дээрх шулууны хэвийн тэгшитгэл.

Зарим аффин координатын системийг OXY өгье.

Теорем 2.1.Аливаа шулуун шугам лкоординатын систем OX нь хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлээр өгөгдөнө

А x+Б y+ C = O, (1)

Энд A, B, C R ба A 2 + B 2 0. Эсрэгээр (1) хэлбэрийн аливаа тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлно.

Тэгшитгэл (1) - шугамын ерөнхий тэгшитгэл .

(1) тэгшитгэлийн бүх A, B, C коэффициентүүд тэгээс ялгаатай байг. Дараа нь

Ah-By=-C, ба .

-C/A=a, -C/B=b гэж тэмдэглэе. Бид авдаг

-сегмент дэх тэгшитгэл .

Үнэн хэрэгтээ |a| тоонууд ба |b| шулуун шугамаар таслагдсан сегментүүдийн хэмжээг заана л OX болон OY тэнхлэгүүд дээр тус тус .

Шулуун байг лтэгш өнцөгт координатын системд ерөнхий тэгшитгэл (1)-ээр өгөгдсөн ба M 1 (x 1,y 1) ба M 2 (x 2,y 2) цэгүүд нь хамаарагдана. л. Дараа нь

А x 1 + В цагт 1 + C = A X 2 + В цагт 2 + C, өөрөөр хэлбэл, A( x 1 -x 2) + B( цагт 1 -цагт 2) = 0.

Сүүлийн тэгшитгэл нь =(A,B) вектор =(x 1 -x 2,y 1 -y 2) векторт ортогональ байна гэсэн үг. тэдгээр. Вектор (A,B) гэж нэрлэдэг l шугамын хэвийн вектор.

=(-B,A) векторыг авч үзье. Дараа нь

A(-B)+BA=0. тэдгээр. ^.

Тиймээс =(-B,A) вектор нь халуун ногоотой чиглэлийн вектор юм л.

Шугамын параметрийн болон каноник тэгшитгэл

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Аффины координатын системд шулуун шугам өгье (0, X, Y) л, түүний чиглэлийн вектор = (m,n) ба цэг M 0 ( x 0 ,y 0) эзэмшдэг л. Дараа нь дурын M цэгийн хувьд ( x,цагт) энэ шугамын бидэнд байна

ба түүнээс хойш .

Хэрэв бид ба гэж тэмдэглэвэл

Дараа нь M ба M цэгүүдийн радиус векторууд 0 байна

- вектор хэлбэрийн шулууны тэгшитгэл.

Учир нь =( X,цагт), =(X 0 ,цагт 0), дараа нь

x= x 0 + mt,

y= y 0 + nt

- шугамын параметрийн тэгшитгэл .

Үүнийг дагадаг

- шугамын каноник тэгшитгэл .

Эцэст нь, хэрэв шулуун шугам дээр байвал лхоёр оноо өгсөн M 1 ( X 1 ,цагт 1) ба

М2( x 2 ,цагт 2), дараа нь вектор =( X 2 -X 1 ,y 2 -цагт 1) байна хөтөч шулуун шугамын вектор л. Дараа нь

- Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Хоёр шулуун шугамын харьцангуй байрлал.

Шулуун бай л 1 ба л 2-ыг тэдгээрийн ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн

л 1: А 1 X+ B 1 цагт+ C 1 = 0, (1)

л 2: A 2 X+ B 2 цагт+ C 2 = 0.

Теорем. Шулуун бай л 1 ба л 2-ыг (1) тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Зөвхөн дараа нь:

1) λ тоо байхгүй үед шугамууд огтлолцоно

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2;

2) λ тоо байх үед шугамууд давхцдаг

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2, C 1 =λC 2;

3) ийм λ тоо байгаа тохиолдолд шугамууд ялгаатай ба зэрэгцээ байна

A 1 =λA 2, B 1 =λB 2, C 1 λC 2.

Шулуун шугамууд

Цөөн тооны шулуун шугамууд гэж нэрлэгддэг тодорхой цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн бүх шулуунуудын багц юм төв цацраг.

Цацрагийн тэгшитгэлийг тодорхойлохын тулд дурын хоёр шулуун шугамыг мэдэхэд хангалттай л 1 ба л 2 цацрагийн төвөөр дамжин өнгөрдөг.

Аффины координатын систем дэх шулуун шугамуудыг үзье л 1 ба л 2-ыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн

л 1: А 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,

л 2: A 2 x+ B 2 y+ C 2 = 0.

Тэгшитгэл:

А 1 x+ B 1 y+ C + λ (A 2 X+ B 2 y+ C) = 0

- l 1 ба l 2 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугамын харандааны тэгшитгэл.

Ирээдүйд координатын системээр бид тэгш өнцөгт координатын системийг ойлгох болно .

Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл

Мөрүүдийг өгье л 1 ба л 2. тэдгээрийн ерөнхий тэгшитгэл; = (A 1 ,B 1), = (A 2 ,B 2) – эдгээр шугамын хэвийн векторууд; к 1 = tgα 1, к 2 = tanα 2 – өнцгийн коэффициентүүд; = ( м 1 ,n 1), (м 2 ,n 2) – чиглэлийн векторууд. Дараа нь шууд л 1 ба лДараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол 2 параллель байна.

эсвэл аль нэг нь к 1 =к 2, эсвэл .

Одоо шууд байг л 1 ба л 2 перпендикуляр байна. Дараа нь A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 байх нь ойлгомжтой.

Хэрэв шулуун бол л 1 ба л 2-ыг тэгшитгэлээр тус тус үзүүлэв

л 1: цагт=к 1 x+ б 1 ,

л 2: цагт=к 2 x+ б 2 ,

дараа нь tanα 2 = tan(90º+α) = .

Үүнийг дагадаг

Эцэст нь, хэрэв ба чиглэлийн векторууд шулуун байвал ^, өөрөөр хэлбэл

м 1 м 2 + n 1 n 2 = 0

Сүүлийн хамаарал нь хоёр хавтгайн перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг илэрхийлдэг.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Хоёр шулуун шугамын хоорондох φ өнцөгт л 1 ба л 2 Бид нэг шулуун шугамыг өөр шулуунтай параллель эсвэл давхцах, өөрөөр хэлбэл 0 £ φ £ болгохын тулд эргүүлэх хамгийн бага өнцгийг ойлгох болно.

Шугамуудыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгье. Энэ нь ойлгомжтой

cosφ=

Одоо шууд байг л 1 ба л 2-ыг налуугийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр тодорхойлно к 1 инч к 2 тус тус. Дараа нь

Энэ нь тодорхой байна, тэр нь ( X-X 0) + B( цагт-цагт 0) + C( z-z 0) = 0

Хаалтыг нээж D= -A гэж тэмдэглэе x 0 - В цагт 0 - C z 0 . Бид авдаг

А x+Б y+ C z+ D = 0 (*)

- хавтгай тэгшитгэл ерөнхий хэлбэрээрэсвэл ерөнхий хавтгай тэгшитгэл.

Теорем 3.1Шугаман тэгшитгэл (*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) нь хавтгайн тэгшитгэл бөгөөд эсрэгээр хавтгайн аливаа тэгшитгэл нь шугаман байна.

1) D = 0, дараа нь онгоц эхийг дайран өнгөрнө.

2) A = 0, дараа нь хавтгай нь OX тэнхлэгтэй параллель байна

3) A = 0, B = 0, тэгвэл онгоц нь OXY хавтгайтай параллель байна.

Тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд тэгээс ялгаатай байг.

- сегмент дэх хавтгай тэгшитгэл. Тоо |a|, |b|, |c| координатын тэнхлэг дээр хавтгайгаар таслагдсан сегментүүдийн утгыг заана.

Даалгавар нь сегментийн төгсгөлийн өгөгдсөн координатыг ашиглан түүнийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг барих явдал юм.

Бид сегмент нь доройтдоггүй, i.e. тэгээс их урттай (өөрөөр бол хязгааргүй олон янзын шугамууд дамжин өнгөрөх нь мэдээжийн хэрэг).

Хоёр хэмжээст хэрэг

Хэсэг өгье, өөрөөр хэлбэл. түүний төгсгөлүүдийн координат , , , мэдэгдэж байна.

Барилга барихад шаардлагатай хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл, энэ сегментээр дамжин өнгөрөх, i.e. Шулуун шугамын тэгшитгэлээс , , коэффициентүүдийг ол:

Өгөгдсөн сегментийг дайран өнгөрөх шаардлагатай гурвалсан тоонууд гэдгийг анхаарна уу хязгааргүй олон: Та бүх гурван коэффициентийг дурын тэг биш тоогоор үржүүлээд ижил шулуун шугамыг гаргаж болно. Тиймээс бидний даалгавар бол эдгээр гурван ихэрүүдийн нэгийг олох явдал юм.

Дараах коэффициентүүдийн багц тохиромжтой болохыг (эдгээр илэрхийлэл, цэгүүдийн координатыг орлуулан шулуун шугамын тэгшитгэлд оруулснаар) шалгахад хялбар байдаг.

Бүхэл тоо

Шулуун шугам барих энэ аргын чухал давуу тал нь хэрэв төгсгөлүүдийн координатууд бүхэл тоо байсан бол үр дүнд нь коэффициентүүд мөн адил байх болно. бүхэл тоо. Зарим тохиолдолд энэ нь геометрийн үйлдлүүдийг бодит тоонд огт ашиглахгүйгээр гүйцэтгэх боломжийг олгодог.

Гэсэн хэдий ч жижиг сул тал бий: ижил шугамын хувьд өөр өөр гурвалсан коэффициентийг авч болно. Үүнээс зайлсхийхийн тулд бүхэл тооны коэффициентээс холдохгүй байхын тулд та ихэвчлэн нэрлэдэг дараах аргыг ашиглаж болно норм. , , гэсэн тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олж, бүх гурван коэффициентийг түүгээр нь хувааж, тэмдгийг хэвийн болгоё: хэрэв эсвэл байвал бүх гурван коэффициентийг үржүүлнэ. Үүний үр дүнд бид ижил шугамуудын хувьд ижил гурван коэффициентийг олж авах бөгөөд энэ нь шугамын тэгш байдлыг шалгахад хялбар болгоно гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.

Бодит үнэ цэнэтэй хэрэг

Бодит тоонуудтай ажиллахдаа алдааны талаар үргэлж мэдэж байх ёстой.

Бидний олж авсан коэффициентүүд нь анхны координатын дарааллаар байна, коэффициент нь тэдгээрийн квадратын дарааллаар байна. Эдгээр нь аль хэдийн нэлээд том тоо байж болох бөгөөд жишээлбэл, шугамууд огтлолцох үед тэдгээр нь улам томрох бөгөөд энэ нь дарааллын анхны координаттай байсан ч том дугуйралтын алдаа гаргахад хүргэдэг.

Тиймээс бодит тоонуудтай ажиллахдаа энэ гэж нэрлэгддэг зүйлийг хийхийг зөвлөж байна хэвийн болгохшууд: тухайлбал, коэффициентүүдийг ийм болгох . Үүнийг хийхийн тулд та дараах тоог тооцоолох хэрэгтэй.

бүх гурван коэффициентийг , , түүгээр хуваана.

Тиймээс коэффициентүүдийн дараалал нь оролтын координатын дарааллаас хамаарахгүй бөгөөд коэффициент нь оролтын координаттай ижил дарааллаар байх болно. Практикт энэ нь тооцооллын нарийвчлалыг мэдэгдэхүйц сайжруулахад хүргэдэг.

Эцэст нь дурдъя харьцуулалтшулуун шугамууд - эцэст нь ижил шулуун шугамын хувьд ийм хэвийн болсны дараа зөвхөн хоёр гурвалсан коэффициентийг авах боломжтой: үржүүлэх хүртэл. Үүний дагуу, хэрэв бид тэмдгийг харгалзан нэмэлт нормчилол хийвэл (хэрэв эсвэл -ээр үржүүлбэл) үр дүнгийн коэффициентүүд нь өвөрмөц байх болно.

Хэлбэрийн шугамын тэгшитгэл , хаана аТэгээд б– тэгээс бусад бодит тоонуудыг дууддаг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл. Энэ нэр нь санамсаргүй биш, учир нь үнэмлэхүй утгуудтоо АТэгээд бкоординатын тэнхлэгүүд дээр шулуун шугамыг таслах сегментүүдийн урттай тэнцүү ҮхэрТэгээд Өөтус тус (сегментүүдийг гарал үүслээс нь тоолно). Тиймээс сегмент дэх шугамын тэгшитгэл нь энэ шугамыг зурахад хялбар болгодог. Үүнийг хийхийн тулд хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх цэгүүдийг координатаар тэмдэглэж, шугамаар тэдгээрийг шулуун шугамаар холбох хэрэгтэй.

Жишээлбэл, хэлбэрийн сегмент дэх тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамыг байгуулъя. Цэгүүдийг тэмдэглээд тэдгээрийг холбоно.

Хавтгай дээрх шугамын энэ төрлийн тэгшитгэлийн талаар дэлгэрэнгүй мэдээллийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэлийн нийтлэлээс авах боломжтой.

Хуудасны дээд талд

Ажлын төгсгөл -

Энэ сэдэв нь дараахь хэсэгт хамаарна.

Алгебр ба аналитик геометр. Матрицын тухай ойлголт, матриц дээрх үйлдлүүд, тэдгээрийн шинж чанарууд

Матрицын тухай ойлголт нь матрицууд болон тэдгээрийн шинж чанаруудын үйлдлүүд юм.. Матриц нь байж болохгүй тоонуудаас тогтсон тэгш өнцөгт хүснэгт бөгөөд матриц нэмэх нь элементийн шинж чанартай үйлдэл юм.

Хэрэв танд энэ сэдвээр нэмэлт материал хэрэгтэй бол эсвэл хайж байсан зүйлээ олоогүй бол манай ажлын мэдээллийн санд байгаа хайлтыг ашиглахыг зөвлөж байна.

Хүлээн авсан материалыг бид юу хийх вэ:

Хэрэв энэ материал танд хэрэгтэй байсан бол та үүнийг нийгмийн сүлжээн дэх хуудсандаа хадгалах боломжтой.

Жиргээ

Энэ хэсгийн бүх сэдвүүд:

Ялгаатай байдлын тодорхойлолт
Деривативыг олох үйлдлийг функцийг ялгах гэж нэрлэдэг. Функц нь тухайн цэг дээр хязгаарлагдмал деривативтэй байвал тухайн үед дифференциалагдах боломжтой гэж нэрлэдэг ба

Ялгах дүрэм
Үр дүн 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс хасаж болно.

Деривативын геометрийн утга. Тангенсийн тэгшитгэл
y = kx+b шулуун шугамын хазайлтын өнцөг нь тухайн байрлалаас хэмжсэн өнцөг юм

Цэг дэх функцийн деривативын геометрийн утга
y = f(x) функцийн графикийн AB секантыг А ба В цэгүүд тус тус координаттай байхаар авч үзье.

Шийдэл
Хүн бүрт зориулсан функцийг тодорхойлсон бодит тоо. (-1; -3) нь шүргэлтийн цэг учраас

Экстремум үүсэхэд шаардлагатай нөхцөл ба экстремумын хувьд хангалттай нөхцөл
Өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолт. y = f(x) функц хэрэв байгаа бол X интервал дээр нэмэгдэнэ

Функцийн экстремумын хангалттай шинж тэмдэг
Функцийн максимум ба минимумыг олохын тулд та экстремумын хангалттай гурван тэмдгийн аль нэгийг ашиглаж болно. Хэдийгээр хамгийн түгээмэл бөгөөд тохиромжтой нь эхнийх нь юм.

Тодорхой интегралын үндсэн шинж чанарууд. Property 1. Дериватив -ийн тодорхой интеграл By дээд хязгаархувьсагчийн оронд нэгтгэсэн интегралтай тэнцүү

Ньютон-Лейбницийн томъёо (баталгаатай)
Ньютон-Лейбницийн томъёо. y = f(x) функц нь интервал дээр тасралтгүй байх ба F(x) нь энэ интервал дээрх функцийн эсрэг деривативуудын нэг байг, тэгвэл тэгшитгэл

Ах + Ву + С шугамын ерөнхий тэгшитгэлд = 0 С ¹ 0 байвал –С-д хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм АШугамын Окс тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б– шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x – y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн.Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Ax + By + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр тал нь дуудагдсан тоонд хуваагдвал хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

Xcosj + ysinj - p = 0 –

хэвийн тэгшитгэлЧигээрээ.

Норматив хүчин зүйлийн ± тэмдгийг m×С байхаар сонгох ёстой< 0.

p нь эхлэлээс шулуун шугам руу унасан перпендикулярын урт, j нь Окс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг юм.

Жишээ. 12x – 5y – 65 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэлийг өгсөн.Энэ мөрөнд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл бичих шаардлагатай.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын хэвийн тэгшитгэл:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлөх боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгтэй параллель эсвэл координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ. Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 нь асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжгүй.

Нийт: эсвэл x + y – 4 = 0.

Жишээ. А(-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , энд x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Өгөгдсөн шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх y = kx + b шулуун шугамд перпендикуляр шулуун шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт.Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Хэрэв k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна.

k 1 = -1/k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. A 1 = lA, B 1 = lB коэффициентүүд пропорциональ байх үед Ax + Bу + C = 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 шулуун шугамууд параллель байна. Хэрэв мөн С 1 = lС байвал шугамууд давхцана.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Bу + C = 0 шулуун хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь дамжин өнгөрөх шугамын тэгшитгэл юм өгсөн оноо M 0 нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байна.

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ . Шугамануудын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 тгж = ; j = p/4.

Жишээ. 3x – 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y – 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Бид олох болно: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) гурвалжны оройг өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Бид AB талын тэгшитгэлийг олно: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Шаардлагатай өндрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b.

k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана: эндээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3x + 2y – 34 = 0.

Хоёр дахь эрэмбийн муруй.

Хоёрдахь эрэмбийн муруйг тэгшитгэлээр өгч болно

Ax 2 + 2Bhu + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Энэ тэгшитгэлийг доор өгөгдсөн хэлбэрүүдийн аль нэгээр илэрхийлж болох координатын систем (заавал декартын тэгш өнцөгт байх албагүй) байдаг.

1) - эллипсийн тэгшитгэл.

2) - "төсөөлөл" эллипсийн тэгшитгэл.

3) - гиперболын тэгшитгэл.

4) 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – огтлолцсон хоёр шулууны тэгшитгэл.

5) y 2 = 2px – параболын тэгшитгэл.

6) y 2 – a 2 = 0 – хоёр зэрэгцээ шулууны тэгшитгэл.

7) y 2 + a 2 = 0 – хоёр “төсөөлөл” зэрэгцээ шугамын тэгшитгэл.

8) y 2 = 0 – давхцаж буй хос шугам.

9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – тойргийн тэгшитгэл.

Тойрог.

(x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 тойрогт төв нь координаттай (a; b).

Жишээ. Тойргийн тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр өгсөн бол тойргийн төвийн координат ба радиусыг ол.

2х 2 + 2у 2 – 8х + 5у – 4 = 0.

Тойргийн төв ба радиусын координатыг олохын тулд энэ тэгшитгэлийг 9-р зүйлд заасан хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бүрэн квадратуудыг сонгоно уу:

x 2 + y 2 – 4x + 2.5y – 2 = 0

x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2.5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Эндээс бид O(2; -5/4); R = 11/4.

Зууван.

Тодорхойлолт. Зуувантэгшитгэлээр өгөгдсөн муруй гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Анхаарал хандуулдагИйм хоёр цэг гэж нэрлэгддэг бөгөөд эллипсийн аль ч цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол утга юм.

F 1, F 2 - анхаарлаа төвлөрүүлдэг. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c - фокус хоорондын зайны хагас;

a - хагас гол тэнхлэг;

b – хагас жижиг тэнхлэг.

Теорем. Эллипсийн фокусын урт ба хагас тэнхлэг нь дараахь хамаарлаар холбогдоно.

a 2 = b 2 + c 2.

Нотолгоо:Хэрэв M цэг нь эллипсийн огтлолцол дээр байвал босоо тэнхлэг, r 1 + r 2= 2 (Пифагорын теоремын дагуу). Хэрэв M цэг нь эллипсийн огтлолцол дээр байвал хэвтээ тэнхлэг, r 1 + r 2 = a – c + a + c.Учир нь тодорхойлолтоор бол хэмжээ r 1 + r 2Энэ нь тогтмол утга юм, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

Тодорхойлолт.Эллипсийн хэлбэрийг фокусын уртыг гол тэнхлэгт харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлдог шинж чанараар тодорхойлно. хазгай байдал.

Учир нь -тай< a, то е < 1.

Тодорхойлолт. k = b/a хэмжигдэхүүнийг нэрлэнэ шахалтын харьцааэллипс ба 1 – k = (a – b)/a хэмжигдэхүүнийг нэрлэнэ шахалтэллипс.

Шахалтын харьцаа ба хазайлт нь дараах хамаарлаар холбогдоно: k 2 = 1 – e 2 .

Хэрэв a = b (c = 0, e = 0, голомтууд нийлдэг) бол эллипс тойрог болж хувирна.

M(x 1, y 1) цэгийн нөхцөл хангагдсан бол энэ нь эллипсийн дотор байрлана, хэрэв , байвал цэг нь эллипсийн гадна байна.

Теорем. Зуувант хамаарах дурын M(x, y) цэгийн хувьд дараах харилцаа үнэн байна.:

R 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Баталгаа. r 1 + r 2 = 2a гэдгийг дээр харуулсан. Нэмж дурдахад геометрийн үүднээс бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Квадрат болгож багасгасны дараа ижил төстэй нэр томъёо:

Үүнтэй адилаар r 2 = a + ex гэдгийг баталсан. Теорем нь батлагдсан.

Эллипс нь хоёр шулуун шугамтай холбогдсон дарга нар. Тэдний тэгшитгэл нь:

X = a/e; x = -a/e.

Теорем. Эллипс дээр цэг байхын тулд фокусын зай ба харгалзах чиглүүлэлт хүртэлх зайны харьцаа нь хазгай e-тэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Жишээ. Тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийн зүүн фокус ба доод оройг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.

1) Доод оройн координат: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Зүүн фокусын координатууд: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл:

Жишээ. Эллипсийн голомтууд нь F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), гол тэнхлэг нь 2 бол түүний тэгшитгэлийг бич.

Эллипсийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Фокусын зай:

2c = иймд a 2 – b 2 = c 2 = ½

2a = 2 нөхцөлөөр a = 1, b =

Гипербола.

Тодорхойлолт. Гиперболөгөгдсөн хоёр цэгээс зайны зөрүүний модуль гэж нэрлэгддэг хавтгайн цэгүүдийн багц юм заль мэхголомт хоорондын зайнаас бага тогтмол утга юм.

Тодорхойлолтоор ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1, F 2 - гиперболын фокусууд. F 1 F 2 = 2c.

Гиперболын дурын M(x, y) цэгийг сонгоцгооё. Дараа нь:

c 2 – a 2 = b 2 гэж тэмдэглэе (геометрийн хувьд энэ хэмжигдэхүүн нь бага хагас тэнхлэг юм)

Бид гиперболын каноник тэгшитгэлийг олж авсан.

Гипербола нь голомтыг холбосон сегментийн дунд болон координатын тэнхлэгүүдийн ойролцоо тэгш хэмтэй байна.

2а тэнхлэгийг гиперболын бодит тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

2b тэнхлэгийг гиперболын төсөөллийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.

Гипербол нь хоёр асимптоттой бөгөөд тэдгээрийн тэгшитгэл нь байна

Тодорхойлолт.харилцаа гэж нэрлэдэг хазгай байдалгипербол, энд c нь голомтын хоорондох зайны хагас ба бодит хагас тэнхлэг юм.

c 2 – a 2 = b 2 гэдгийг харгалзан үзвэл:

Хэрэв a = b, e = бол гиперболыг дуудна тэгш талт (тэнцүү талт).

Тодорхойлолт.Гиперболын бодит тэнхлэгт перпендикуляр, төвөөс a/e зайд тэгш хэмтэй байрлалтай хоёр шулуун шугамыг гэнэ. дарга наргипербол. Тэдний тэгшитгэл нь: .

Теорем. Хэрэв r нь гиперболын дурын М цэгээс дурын фокус хүртэлх зай, d нь ижил цэгээс энэ фокустай харгалзах директор хүртэлх зай бол r/d харьцаа нь хазгайтай тэнцүү тогтмол утга юм.

Баталгаа.Гиперболыг бүдүүвчээр дүрсэлцгээе.

Тодорхой геометрийн хамаарлаас бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

a/e + d = x, тиймээс d = x – a/e.

(x – c) 2 + y 2 = r 2

Каноник тэгшитгэлээс: b 2 = c 2 – a 2-г харгалзан:

Дараа нь учир нь с/a = e, дараа нь r = ex – a.

Гиперболын зүүн мөчрийн хувьд нотлох баримт ижил байна. Теорем нь батлагдсан.

Жишээ. Орой болон голомтууд нь эллипсийн харгалзах орой ба голомтуудад байрлах гиперболын тэгшитгэлийг ол.

Эллипсийн хувьд: c 2 = a 2 – b 2.

Гиперболын хувьд: c 2 = a 2 + b 2.

Гиперболын тэгшитгэл: .

Жишээ. Гиперболын эксцентриситет 2, голомтууд нь эллипсийн голомтуудтай давхцаж байвал параболын параметр болох тэгшитгэлийг бич. Параболагийн каноник тэгшитгэлийг гаргая.

Геометрийн хамаарлаас: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4

Directrix тэгшитгэл: x = -p/2.

Жишээ . y 2 = 8x парабол дээр чиглүүлэгчээс зай нь 4 байх цэгийг ол.

Параболын тэгшитгэлээс бид p = 4 гэдгийг олж мэднэ.

r = x + p/2 = 4; иймээс:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Хайсан цэгүүд: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Жишээ. Туйлтын координатын систем дэх муруйн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Декартын тэгш өнцөгт координатын систем дэх муруйны тэгшитгэлийг олох, муруйн төрлийг тодорхойлох, фокус ба хазгай байдлыг ол. Муруйг бүдүүвчээр зур.

Декартын тэгш өнцөгт ба туйлын координатын системийн хоорондын холболтыг ашиглая: ;

Бид гиперболын каноник тэгшитгэлийг олж авсан. Тэгшитгэлээс харахад гипербол Окс тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш 5-аар шилжсэн, том хагас тэнхлэг a нь 4, бага хагас тэнхлэг b нь 3-тай тэнцүү, үүнээс бид c 2 = a-г олж авна. 2 + b 2 ; c = 5; e = c/a = 5/4.

F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0) дээр төвлөрдөг.

Энэ гиперболын графикийг байгуулъя.