Proporsjoner er en så kjent kombinasjon, som nok er kjent fra grunnskolen i grunnskolen. I den mest generelle forstand, proporsjon er likheten mellom to eller flere forhold.
Det vil si hvis det er noen tall A, B og C
deretter andelen
hvis det er fire tall A, B, C og D
da eller er også en andel
Det enkleste eksemplet hvor proporsjon brukes er å beregne prosenter.
Generelt er bruken av proporsjoner så bred at det er lettere å si hvor de ikke brukes.
Proporsjoner kan brukes til å bestemme avstander, masser, volumer og mengden av hva som helst, med en viktig betingelse: i forhold må det være lineære avhengigheter mellom ulike objekter... Nedenfor, ved å bruke eksemplet med å bygge en modell av bronserytteren, vil du se hvordan proporsjoner skal beregnes der det er ikke-lineære avhengigheter.
Bestem hvor mange kilo ris vil være hvis du tar 17 prosent av den totale risen i 150 kilo?
La oss sette sammen andelen i ord: 150 kilo er den totale mengden ris. Så la oss ta det som 100 %. Da vil 17 % av 100 % beregnes som en andel av to forhold: 100 prosent refererer til 150 kilo samt 17 prosent til et ukjent tall.
Nå kan det ukjente tallet beregnes elementært
Det vil si at svaret vårt er 25,5 kilo ris.
Interessante gåter er også assosiert med proporsjoner, som viser at du ikke hensynsløst bør bruke proporsjoner for alle anledninger.
Her er en av dem, litt modifisert:
For demonstrasjon på kontoret til selskapet beordret direktøren å lage en modell av skulpturen "Bronserytteren" uten granittsokkel. En av betingelsene er at layouten må være laget av samme materialer som originalen, proporsjonene overholdes og høyden på layouten var nøyaktig 1 meter. Spørsmål: Hva blir massen til oppsettet?
La oss først gå til oppslagsbøkene.
Rytterens høyde er 5,35 meter, og vekten er 8000 kg.
Hvis vi bruker den aller første tanken - å lage en proporsjon: 5,35 meter refererer til 8000 kilo som 1 meter til en ukjent verdi, så begynner vi kanskje ikke engang å regne, siden svaret blir feil.
Det hele handler om en liten nyanse som må tas i betraktning. Alt handler om sammenhengen mellom masse og høyde skulptører ikke-lineær, det vil si at vi ikke kan si at ved å øke for eksempel en terning med 1 meter (observere proporsjonene slik at den forblir en kube), vil vi øke vekten med samme mengde.
Det er enkelt å sjekke med eksempler:
1.Lim en kube med en kantlengde på 10 centimeter. Hvor mye vann vil gå inn der? Det er logisk at 10 * 10 * 10 = 1000 kubikkcentimeter, det vil si 1 liter. Vel, siden vann ble hellet der (tettheten er lik en), og ikke en annen væske, vil massen være lik 1 kg.
2. vi limer en lignende kube, men med en ribbelengde på 20 cm. Volumet av vann som helles der vil være lik 20 * 20 * 20 = 8000 kubikkcentimeter, det vil si 8 liter. Vel, vekten er naturlig nok 8 kg.
Det er lett å se at forholdet mellom massen og endringen i lengden på kanten av kuben er ikke-lineær, eller snarere kubisk.
Husk at volum er produktet av høyde, bredde og dybde.
Det vil si at når figuren endres (avhengig av proporsjoner / form) av den lineære størrelsen (høyde, bredde, dybde), endres massen / volumet til den volumetriske figuren kubisk.
Vi krangler:
Vår lineære størrelse har endret seg fra 5,35 meter til 1 meter, da vil massen (volumet) endres som terningroten av 8000 / x
Og vi får det oppsettet Bronse Rytter på kontoret til selskapet med en høyde på 1 meter vil det veie 52 kilo 243 gram.
Men på den annen side, hvis oppgaven ble stilt slik " layouten skal være laget av samme materialer som originalen, proporsjonene og volum 1 kubikkmeter "Ved å vite at det er et lineært forhold mellom volum og masse, ville vi bare bruke standardforholdet, det gamle volumet til det nye, og den gamle massen til det ukjente tallet.
Men boten vår hjelper til med å beregne proporsjoner i andre mer vanlige og praktiske tilfeller.
Det vil sikkert komme godt med for alle husmødre som lager mat.
Situasjoner oppstår når en oppskrift på en fantastisk kake på 10 kg blir funnet, men volumet er for stort til å tilberedes .. Jeg vil gjerne være mindre, for eksempel bare to kilo, men hvordan beregne alle de nye vektene og volumene av ingredienser ?
Det er her en bot vil hjelpe deg, som vil være i stand til å beregne nye parametere for en 2 kg kake.
Boten vil også hjelpe i beregninger for hardtarbeidende menn som bygger et hus, og de må beregne hvor mye de skal ta ingredienser til betong hvis han bare har 50 kilo sand.
Syntaks
For XMPP-klientbrukere: pro<строка>
der strengen har nødvendige elementer
tall1 / tall2 - finne andelen.
For ikke å la oss skremme av en så kort beskrivelse, skal vi gi et eksempel her.
200 300 100 3 400/100
Som sier for eksempel om følgende:
200 gram mel, 300 milliliter melk, 100 gram smør, 3 egg - produksjonen av pannekaker er 400 gram.
Hvor mange ingredienser må du ta for å bake bare 100 gram pannekaker?
Hvor lett det er å legge merke til
400/100 er forholdet mellom en typisk oppskrift og utgangen vi ønsker å få.
Vi vil vurdere eksempler mer detaljert i den tilsvarende delen.
Eksempler av
En venn delte en fantastisk oppskrift
Deig: 200 gram valmuefrø, 8 egg, 200 melis, 50 gram revet rundstykker, 200 gram malte nøtter, 3 kopper honning.
Kok valmuefrø i 30 minutter på lav varme, mal med en stamper, tilsett smeltet honning, malte kjeks, nøtter.
Pisk egg med melis, legg til massen.
Bland deigen forsiktig, hell i en form, stek.
Skjær den avkjølte kaken i 2 lag, strøk med syrlig syltetøy og deretter fløte.
Pynt med bær fra syltetøy.
Fløte: 1 kopp rømme, 1/2 kopp sukker, pisk.
Et forhold kalles et visst forhold mellom enhetene i vår verden. Dette kan være tall, fysiske mengder, gjenstander, produkter, fenomener, handlinger og til og med mennesker.
I hverdagen, når det kommer til forholdstall, sier vi "Forholdet mellom dette og det"... For eksempel, hvis det er 4 epler og 2 pærer i en vase, så sier vi "Forholdet mellom epler og pærer" "Forholdet mellom pærer og epler".
I matematikk brukes forholdet ofte som "Den-og-så-holdningen til den-og-så"... For eksempel vil forholdet mellom fire epler og to pærer, som vi vurderte ovenfor, i matematikk leses som "Forholdet mellom fire epler og to pærer" eller hvis du bytter epler og pærer, da "Forholdet mellom to pærer og fire epler".
Forholdet er uttrykt som en Til b(hvor i stedet for en og b alle tall), men oftere kan du finne en oppføring som er satt sammen med et kolon som a: b... Du kan lese denne oppføringen på forskjellige måter:
- en Til b
- en refererer til b
- holdning en Til b
La oss skrive forholdet mellom fire epler og to pærer ved å bruke forholdssymbolet:
4: 2
Hvis vi bytter plass til epler og pærer, vil vi ha et forhold på 2: 4. Dette forholdet kan leses som "To til fire" eller enten "To pærer refererer til fire epler" .
I det følgende vil vi kalle forholdet et forhold.
Leksjonens innholdHva er en holdning?
Forholdet, som nevnt tidligere, er skrevet i skjemaet a: b... Det kan også skrives som en brøk. Og vi vet at en slik notasjon i matematikk betyr deling. Da vil resultatet av forholdet være kvotienten en og b.
Et forhold i matematikk kalles kvotienten av to tall.
Forholdet lar deg finne ut hvor mye av en enhet som faller på enheten til en annen. La oss gå tilbake til forholdet mellom fire epler og to pærer (4: 2). Dette forholdet vil tillate oss å finne ut hvor mange epler det er per enhet pære. En enhet betyr én pære. La oss først skrive forholdet 4:2 som en brøk:
Dette forholdet er delingen av tallet 4 med tallet 2. Hvis vi utfører denne divisjonen, vil vi få svar på spørsmålet hvor mange epler det er per enhet pære
Mottatt 2. Så fire epler og to pærer (4:2) korrelerer (er sammenkoblet med hverandre) slik at det er to epler per pære
Figuren viser hvordan fire epler og to pærer forholder seg til hverandre. Det kan sees at det er to epler for hver pære.
Forholdet kan snus ved å skrive som. Da får vi forholdet mellom to pærer og fire epler, eller «forholdet mellom to pærer og fire epler». Dette forholdet vil vise hvor mange pærer det er per enhet eple. Enheten eple betyr ett eple.
For å finne verdien av en brøk, må du huske hvordan du deler et mindre tall med et større.
Fikk 0,5. La oss konvertere denne desimalbrøken til en vanlig:
Reduser den resulterende fraksjonen med 5
Fikk svar (en halv pære). Dette betyr at to pærer og fire epler (2:4) korrelerer (sammenkobles med hverandre) slik at ett eple utgjør halvparten av pæren
Figuren viser hvordan to pærer og fire epler forholder seg til hverandre. Det kan sees at for hvert eple er det en halv pære.
Tallene som utgjør forholdet kalles medlemmer av forholdet... For eksempel, i forholdet 4:2, er medlemmene tallene 4 og 2.
La oss vurdere andre eksempler på forhold. For å tilberede noe, lages en oppskrift. Oppskriften er bygget ut fra forholdet mellom produktene. For eksempel krever å lage havregryn vanligvis et glass frokostblanding for to glass melk eller vann. Forholdet er 1: 2 ("ett til to" eller "ett glass frokostblanding for to glass melk").
Vi konverterer forholdet 1:2 til en brøk, får vi. Ved å regne ut denne brøken får vi 0,5. Dette betyr at ett glass frokostblanding og to glass melk er korrelert (sammenkoblet med hverandre) slik at ett glass melk utgjør et halvt glass frokostblanding.
Hvis du snur forholdet 1:2, får du et 2:1-forhold ("to til en" eller "to glass melk for ett glass frokostblanding"). Konverter forholdet 2:1 til en brøk, får vi. Ved å regne ut denne brøken får vi 2. Så to glass melk og ett glass korn er relatert (sammenkoblet med hverandre) slik at det er to glass melk for ett glass korn.
Eksempel 2. Det er 15 elever i klassen. 5 av dem er gutter, 10 er jenter. Du kan skrive ned forholdet mellom jenter og gutter 10:5 og konvertere det forholdet til en brøk. Ved å regne ut denne brøken får vi 2. Det vil si at jenter og gutter er i slekt med hverandre på en slik måte at for hver gutt er det to jenter
Figuren viser hvordan ti jenter og fem gutter forholder seg til hverandre. Det kan sees at det er to jenter for hver gutt.
Forholdet kan ikke alltid konverteres til en brøk og kvotienten kan finnes. I noen tilfeller vil dette ikke være logisk.
Så hvis du snur holdningen, viser det seg, og dette er guttenes holdning til jenter. Regner du ut denne brøken får du 0,5. Det viser seg at fem gutter forholder seg til ti jenter på en slik måte at det for hver jente er en halv gutt. Matematisk er dette selvsagt sant, men fra et virkelighetssynspunkt er det ikke helt rimelig, for en gutt er en levende person og man kan ikke bare ta og dele ham, som en pære eller et eple.
Å bygge den riktige holdningen er en viktig problemløsningsevne. Så i fysikk er forholdet mellom tilbakelagt avstand og tid bevegelseshastigheten.
Avstanden er angitt med variabelen S, tid - gjennom variabelen t, hastighet - gjennom variabelen v... Så setningen "Forholdet mellom tilbakelagt avstand og tid er bevegelseshastigheten" vil bli beskrevet med følgende uttrykk:
Anta at bilen har gått 100 kilometer på 2 timer. Da vil forholdet mellom de tilbakelagte hundre kilometerne til to timer være hastigheten til bilen:
Det er vanlig å kalle hastighet den avstanden kroppen har tilbakelagt per tidsenhet. Tidsenheten betyr 1 time, 1 minutt eller 1 sekund. Og forholdet, som nevnt tidligere, lar deg finne ut hvor mye av en enhet som faller på enheten til en annen. I vårt eksempel viser forholdet mellom hundre kilometer til to timer hvor mange kilometer det er for én times bevegelse. Vi ser at det er 50 kilometer for hver time med bevegelse.
Derfor måles hastigheten i km/t, m/min, m/s... Brøksymbolet (/) indikerer forholdet mellom avstand og tid: kilometer i timen , meter per minutt og meter per sekund hhv.
Eksempel 2... Forholdet mellom verdien av et produkt og dets mengde er prisen på en enhet av et produkt
Hvis vi tok 5 sjokoladebarer fra butikken og totalkostnaden deres var 100 rubler, kan vi bestemme prisen på en bar. For å gjøre dette må du finne forholdet mellom hundre rubler og antall barer. Da får vi at det er 20 rubler for en bar.
Sammenligning av mengder
Tidligere har vi lært at forholdet mellom mengder av ulik natur danner en ny størrelse. Så forholdet mellom tilbakelagt avstand og tid er bevegelseshastigheten. Forholdet mellom verdien av en vare og dens mengde er prisen på en enhet av en vare.
Men forholdet kan også brukes til å sammenligne verdier. Resultatet av et slikt forhold er et tall som viser hvor mange ganger den første verdien er større enn den andre, eller hvor mye av den første verdien som er fra den andre.
For å finne ut hvor mange ganger den første verdien er større enn den andre, må en større verdi skrives i telleren til forholdet, og en mindre verdi i nevneren.
For å finne ut hvilken del av den første verdien som er fra den andre, må du skrive en mindre verdi i telleren av forholdet, og en større verdi i nevneren.
Tenk på tallene 20 og 2. La oss finne ut hvor mange ganger tallet 20 er større enn tallet 2. For å gjøre dette finner vi forholdet mellom tallet 20 og tallet 2. I telleren til forholdet skriver vi tallet 20, og i nevneren - tallet 2
Verdien av dette forholdet er ti
Forholdet mellom tallet 20 og tallet 2 er tallet 10. Dette tallet viser hvor mange ganger tallet 20 er større enn tallet 2. Så tallet 20 er ti ganger større enn tallet 2.
Eksempel 2. Det er 15 elever i klassen. 5 av dem er gutter, 10 er jenter. Bestem hvor mange ganger det er flere jenter enn gutter.
Vi skriver ned jenters holdning til gutter. Vi skriver ned antall jenter i telleren av forholdet, og antall gutter i nevneren av forholdet:
Verdien av dette forholdet er 2. Dette betyr at det er dobbelt så mange jenter i en klasse på 15 som gutter.
Det er ikke lenger spørsmålet om hvor mange jenter det er for en gutt. I dette tilfellet brukes forholdstallet for å sammenligne antall jenter med antall gutter.
Eksempel 3... Hvilken del av tallet 2 er fra tallet 20.
Vi finner forholdet mellom tallet 2 og tallet 20. I telleren av forholdet skriver vi tallet 2, og i nevneren - tallet 20
For å finne meningen med dette forholdet, må du huske
Verdien av forholdet mellom tallet 2 og tallet 20 er tallet 0,1
I dette tilfellet kan desimalbrøken 0,1 konverteres til en vanlig. Dette svaret vil være lettere å forstå:
Så tallet 2 av tallet 20 er en tiendedel.
Du kan sjekke. For å gjøre dette finner vi fra tallet 20. Hvis vi gjorde alt riktig, skulle vi få tallet 2
20: 10 = 2
2 × 1 = 2
Vi fikk tallet 2. Så en tidel av tallet 20 er tallet 2. Derfor konkluderer vi med at problemet er løst riktig.
Eksempel 4. Det er 15 personer i klassen. 5 av dem er gutter, 10 er jenter. Bestem hvor stor andel av det totale antallet skolebarn som er gutter.
Vi skriver ned forholdet mellom gutter og det totale antallet skolebarn. Vi skriver ned fem gutter i telleren av forholdet, og totalt antall elever i nevneren. Totalt antall skolebarn er 5 gutter pluss 10 jenter, så vi skriver 15 i nevneren for forholdet
For å finne betydningen av dette forholdet, må du huske hvordan du deler et mindre tall med et større. I dette tilfellet må tallet 5 deles på tallet 15
Når du deler 5 på 15, får du en periodisk brøk. La oss konvertere denne brøken til en vanlig
Vi fikk det endelige svaret. Så gutter utgjør en tredjedel av klassen.
Figuren viser at i en klasse med 15 elever utgjør 5 gutter en tredjedel av klassen.
Finner vi fra 15 skoleelever for verifisering, så får vi 5 gutter
15: 3 = 5
5 × 1 = 5
Eksempel 5. Hvor mange ganger er 35 større enn 5?
Vi skriver ned forholdet mellom tallet 35 og tallet 5. I telleren av forholdet må du skrive tallet 35, i nevneren - tallet 5, men ikke omvendt
Verdien av dette forholdet er 7. Så tallet 35 er syv ganger tallet 5.
Eksempel 6. Det er 15 personer i klassen. 5 av dem er gutter, 10 er jenter. Bestem hvor stor andel av det totale antallet jenter.
Vi skriver ned forholdet mellom jenter og det totale antallet skolebarn. Vi skriver ti jenter i telleren for forholdet, og totalt antall skoleelever i nevneren. Totalt antall skolebarn er 5 gutter pluss 10 jenter, så vi skriver 15 i nevneren for forholdet
For å finne betydningen av dette forholdet, må du huske hvordan du deler et mindre tall med et større. I dette tilfellet må tallet 10 deles på tallet 15
Når du deler 10 på 15, får du en periodisk brøk. La oss konvertere denne brøken til en vanlig
Reduser den resulterende fraksjonen med 3
Vi fikk det endelige svaret. Så jenter utgjør to tredjedeler av klassen.
Figuren viser at i en klasse på 15 elever er to tredjedeler av klassen 10 jenter.
Finner vi fra 15 skoleelever til verifisering, så får vi 10 jenter
15: 3 = 5
5 × 2 = 10
Eksempel 7. Hvilken del av 10 cm er 25 cm
Vi skriver ned forholdet mellom ti centimeter til tjuefem centimeter. Vi skriver 10 cm i telleren av forholdet, 25 cm i nevneren
For å finne betydningen av dette forholdet, må du huske hvordan du deler et mindre tall med et større. I dette tilfellet må tallet 10 deles på tallet 25
La oss konvertere den resulterende desimalbrøken til en vanlig
Reduser den resulterende fraksjonen med 2
Vi fikk det endelige svaret. Dette betyr at 10 cm er fra 25 cm.
Eksempel 8. Hvor mange ganger er 25 cm mer enn 10 cm
Vi skriver ned forholdet mellom tjuefem centimeter til ti centimeter. I telleren av forholdet skriver vi 25 cm, i nevneren - 10 cm
Svaret var 2,5. Betyr 25 cm mer enn 10 cm 2,5 ganger (to og en halv ganger)
Viktig notat. Når man finner forholdet mellom fysiske mengder med samme navn, må disse mengdene nødvendigvis uttrykkes i én måleenhet, ellers vil svaret være feil.
For eksempel, hvis vi har å gjøre med to lengder og vi ønsker å vite hvor mange ganger den første lengden er større enn den andre, eller hvilken del av den første lengden som er fra den andre, må begge lengdene først uttrykkes i en enhet av mål.
Eksempel 9. Hvor mange ganger er 150 cm mer enn 1 meter?
Først, la oss gjøre det slik at begge lengdene uttrykkes i samme måleenhet. For å gjøre dette, la oss konvertere 1 meter til centimeter. En meter er hundre centimeter
1 m = 100 cm
Nå finner vi forholdet mellom hundre og femti centimeter til hundre centimeter. I telleren av forholdet skriver vi 150 centimeter, i nevneren - 100 centimeter
La oss finne verdien av dette forholdet
Svaret var 1,5. Dette betyr at 150 cm er 1,5 ganger mer enn 100 cm (en og en halv gang).
Og hvis de ikke konverterte meter til centimeter og umiddelbart prøvde å finne forholdet 150 cm til en meter, ville vi få følgende:
Det skulle vise seg at 150 cm er mer enn én meter hundre og femti ganger, men dette stemmer ikke. Derfor er det viktig å ta hensyn til måleenhetene for fysiske mengder som er involvert i forholdet. Hvis disse mengdene er uttrykt i forskjellige måleenheter, må du gå til én måleenhet for å finne forholdet mellom disse mengdene.
Eksempel 10. Forrige måned var en persons lønn 25 000 rubler, og denne måneden har lønnen økt til 27 000 rubler. Bestem hvor mange ganger lønnen har vokst
Vi skriver ned forholdet mellom tjuesju tusen til tjuefem tusen. Vi skriver 27000 i telleren av forholdet, 25000 i nevneren.
La oss finne verdien av dette forholdet
Svaret var 1,08. Det betyr at lønnen har økt med 1,08 ganger. I fremtiden, når vi får vite prosenter, vil vi uttrykke slike indikatorer som lønn i prosent.
Eksempel 11... Bredden på bygården er 80 meter og høyden er 16 meter. Hvor mange ganger er huset bredere enn høyden?
Vi skriver ned forholdet mellom husets bredde og høyden:
Verdien av dette forholdet er 5. Dette betyr at bredden på huset er fem ganger høyden.
Relasjonseiendom
Forholdet vil ikke endres hvis medlemmene multipliseres eller divideres med samme tall.
Dette er en av de viktigste egenskapene til forholdet følger av egenskapen til den enkelte. Vi vet at dersom utbytte og divisor multipliseres eller divideres med samme tall, vil ikke kvotienten endres. Og siden forholdet ikke er annet enn deling, fungerer den enkeltes eiendom også for den.
La oss gå tilbake til jenters holdninger til gutter (10:5). Denne holdningen viste at det er to jenter for hver gutt. La oss sjekke hvordan relasjonsegenskapen fungerer, nemlig la oss prøve å multiplisere eller dele medlemmene med samme tall.
I vårt eksempel er det mer praktisk å dele medlemmene av forholdet etter deres største felles divisor (GCD).
Gcd for medlemmene 10 og 5 er tallet 5. Derfor kan medlemmene i forholdet deles på tallet 5
Fikk en ny holdning. Dette er et to-til-en-forhold (2:1). Dette forholdet, som tidligere forhold på 10: 5, viser at det er to jenter for en gutt.
Figuren viser et forhold på 2:1 (to til en). Som tidligere har forholdet 10:5 per gutt to jenter. Holdningen har med andre ord ikke endret seg.
Eksempel 2... Det er 10 jenter og 5 gutter i en klasse. I en annen klasse er det 20 jenter og 10 gutter. Hvor mange ganger er det flere jenter i første klasse enn gutter? Hvor mange ganger er det flere jenter i andre klasse enn gutter?
I begge klassene er det dobbelt så mange jenter som gutter, fordi forholdene og er like mange.
Relasjonsegenskapen lar deg bygge ulike modeller som har lignende parametere som det virkelige objektet. Anta at en bygård er 30 meter bred og 10 meter høy.
For å tegne et lignende hus på papir, må du tegne det i samme forhold på 30: 10.
Del begge leddene i dette forholdet med tallet 10. Da får vi forholdet 3:1. Dette forholdet er 3, akkurat som det forrige forholdet er 3
La oss konvertere meter til centimeter. 3 meter er 300 centimeter, og 1 meter er 100 centimeter
3 m = 300 cm
1 m = 100 cm
Vi har et forhold på 300 cm: 100 cm. Del vilkårene for dette forholdet med 100. Vi får et forhold på 3 cm: 1 cm. Nå kan vi tegne et hus med en bredde på 3 cm og en høyde på 1 cm.
Selvfølgelig er det tegnede huset mye mindre enn det virkelige huset, men forholdet mellom bredde og høyde forblir uendret. Dette tillot oss å tegne et hus så nært som mulig til det virkelige.
Holdning kan også forstås på andre måter. Det ble opprinnelig sagt at et ekte hus har en bredde på 30 meter og en høyde på 10 meter. Totalen er 30 + 10, det vil si 40 meter.
Disse 40 meterne kan forstås som 40 deler. Et forhold på 30:10 betyr at det er 30 stykker for bredden og 10 stykker for høyden.
Videre ble medlemmene av forholdet 30:10 delt med 10. Resultatet ble et forhold på 3:1. Dette forholdet kan forstås som 4 deler, hvorav tre er for bredden, en for høyden. I dette tilfellet må du vanligvis finne ut hvor mange meter som er i bredden og høyden.
Du må med andre ord finne ut hvor mange meter som er i 3 deler og hvor mange meter som er i 1 del. Først må du finne ut hvor mange meter som er i en del. For å gjøre dette må de totale 40 meterne deles på 4, siden i et 3: 1-forhold er det bare fire deler
La oss finne ut hvor mange meter som er i bredden:
10 m × 3 = 30 m
La oss finne ut hvor mange meter som er i høyden:
10 m × 1 = 10 m
Flere relasjonsmedlemmer
Hvis flere medlemmer er gitt i en relasjon, kan de forstås som deler av noe.
Eksempel 1... Kjøpte 18 epler. Disse eplene ble delt mellom mor, far og datter i forholdet 2: 1: 3. Hvor mange epler fikk hver?
Forholdet 2:1:3 betyr at mamma fikk 2 deler, pappa - 1 del, datter - 3 deler. Med andre ord, hvert medlem av forholdet 2: 1: 3 er en spesifikk brøkdel av 18 epler:
Hvis du legger sammen medlemmene i forholdet 2: 1: 3, kan du finne ut hvor mange deler det er totalt:
2 + 1 + 3 = 6 (deler)
Finn ut hvor mange epler som er i en del. For å gjøre dette, del 18 epler med 6
18: 6 = 3 (epler per skive)
La oss nå finne ut hvor mange epler hver fikk. Ved å multiplisere tre epler med hvert medlem av forholdet 2:1:3, kan du finne ut hvor mange epler mamma fikk, hvor mye pappa fikk og hvor mye datteren fikk.
La oss finne ut hvor mange epler mamma fikk:
3 × 2 = 6 (epler)
Finn ut hvor mange epler pappa fikk:
3 × 1 = 3 (epler)
La oss finne ut hvor mange epler datteren min mottok:
3 × 3 = 9 (epler)
Eksempel 2... Nytt sølv (alpakka) er en legering av nikkel, sink og kobber i forholdet 3:4:13. Hvor mange kilo av hvert metall må du ta for å få 4 kg nytt sølv?
4 kilo nytt sølv vil inneholde 3 deler nikkel, 4 deler sink og 13 deler kobber. Først finner vi ut hvor mange deler det vil være i fire kilo sølv:
3 + 4 + 13 = 20 (deler)
La oss bestemme hvor mange kilo som vil være i en del:
4 kg: 20 = 0,2 kg
La oss bestemme hvor mange kilo nikkel som skal inneholdes i 4 kg nytt sølv. I forholdet 3:4:13 er tre deler av legeringen indikert å inneholde nikkel. Derfor multipliserer vi 0,2 med 3:
0,2 kg × 3 = 0,6 kg nikkel
La oss nå finne ut hvor mange kilo sink som vil være i 4 kg nytt sølv. I forholdet 3:4:13 sies de fire delene av legeringen å inneholde sink. Derfor multipliserer vi 0,2 med 4:
0,2 kg × 4 = 0,8 kg sink
La oss nå finne ut hvor mange kilo kobber som vil være i 4 kg nytt sølv. I forholdet 3:4:13 sies tretten deler av legeringen å inneholde kobber. Derfor multipliserer vi 0,2 med 13:
0,2 kg × 13 = 2,6 kg kobber
Dette betyr at for å få 4 kg nytt sølv, må du ta 0,6 kg nikkel, 0,8 kg sink og 2,6 kg kobber.
Eksempel 3... Messing er en legering av kobber og sink, hvis vekt er 3:2. For å lage et stykke messing kreves det 120 g kobber. Hvor mye sink skal til for å lage denne messingbiten?
La oss finne ut hvor mange gram legering som er i en del. Betingelsen sier at det kreves 120 g kobber for å lage et stykke messing. Det sies også at de tre delene av legeringen inneholder kobber. Hvis vi deler 120 med 3, finner vi ut hvor mange gram legering som er i en del:
120:3 = 40 gram per porsjon
La oss nå finne ut hvor mye sink som kreves for å lage et stykke messing. For å gjøre dette, multipliser 40 gram med 2, siden i forholdet 3: 2 er det indikert at to deler inneholder sink:
40 g × 2 = 80 gram sink
Eksempel 4... Vi tok to legeringer av gull og sølv. I den ene er mengden av disse metallene i forholdet 1: 9, og i den andre 2: 3. Hvor mye av hver legering bør man ta for å få 15 kg av en ny legering, der gull og sølv vil være i et forhold på 1:4?
Løsning
15 kg av den nye legeringen bør være i forholdet 1: 4. Dette forholdet antyder at en del av legeringen vil være gull, og fire deler vil være sølv. Det er fem deler totalt. Dette kan skjematisk representeres som følger
La oss bestemme massen til en del. For å gjøre dette, legg først til alle delene (1 og 4), del deretter massen til legeringen med antallet av disse delene
1 + 4 = 5
15 kg: 5 = 3 kg
En del av legeringen vil ha en masse på 3 kg. Da vil 15 kg av den nye legeringen inneholde 3 × 1 = 3 kg gull og sølv 3 × 4 = 12 kg sølv.
Derfor, for å få en legering som veier 15 kg, trenger vi 3 kg gull og 12 kg sølv.
La oss nå svare på spørsmålet om problemet - " Hvor mye av hver legering bør du ta? »
Vi vil ta 10 kg av den første legeringen, siden gull og sølv i den er i forholdet 1: 9. Det vil si at denne første legeringen vil gi oss 1 kg gull og 9 kg sølv.
Vi vil ta 5 kg av den andre legeringen, siden gull og sølv er i den i forholdet 2: 3. Det vil si at denne andre legeringen vil gi oss 2 kg gull og 3 kg sølv.
Likte du leksjonen?
Bli med i vår nye Vkontakte-gruppe og begynn å motta varsler om nye leksjoner
Formel for proporsjoner
Proporsjon er likheten mellom to forhold når a: b = c: d
forhold 1 : 10 er lik forholdet 7 : 70, som også kan skrives som en brøk: 1 10 = 7 70 lyder som: "en refererer til ti så vel som syv refererer til sytti"Grunnleggende proporsjonsegenskaper
Produktet av de ekstreme leddene er lik produktet av midtleddene (på tvers): hvis a: b = c: d, så a⋅d = b⋅c
1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7Inversjon av proporsjon: hvis a: b = c: d så b: a = d: c
1 10 7 70 10 1 = 70 7Permutasjon av mellomledd: hvis a: b = c: d, så a: c = b: d
1 10 7 70 1 7 = 10 70Permutasjon av ekstreme termer: hvis a: b = c: d, så d: b = c: a
1 10 7 70 70 10 = 7 1Løse proporsjoner med en ukjent | Ligningen
1 : 10 = x : 70 eller 1 10 = x 70For å finne x må du multiplisere to kjente tall på kryss og tvers og dele på motsatt verdi
x = 1 ⋅ 70 10 = 7Hvordan beregne andelen
Oppgave: du må drikke 1 tablett aktivt kull per 10 kilo vekt. Hvor mange tabletter bør du ta hvis en person veier 70 kg?
La oss lage en proporsjon: 1 tablett - 10 kg x tabletter - 70 kg For å finne x må du multiplisere to kjente tall på kryss og tvers og dele på motsatt verdi: 1 nettbrett x piller✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Svar: 7 tabletter
Oppgave: Vasya skriver to artikler på fem timer. Hvor mange artikler vil han skrive på 20 timer?
La oss lage en proporsjon: 2 artikler - 5 timer x artikler - 20 timer x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Svar: 8 artikler
Jeg kan si til fremtidige skolekandidater at evnen til å lage proporsjoner kom godt med for meg både, og for å redusere bilder proporsjonalt, og i HTML-layout av en nettside, og i hverdagssituasjoner.
For å løse de fleste oppgavene i videregående matematikk kreves kunnskap om proporsjonering. Denne enkle ferdigheten vil hjelpe deg med ikke bare å utføre komplekse øvelser fra læreboken, men også fordype deg i selve essensen av matematikk. Hvordan lage andelen? La oss ta en titt på det nå.
Det enkleste eksemplet er et problem hvor tre parametere er kjent, og den fjerde må finnes. Proporsjonene er selvfølgelig forskjellige, men ofte må du finne noen tall etter prosent. For eksempel hadde gutten ti epler totalt. Han ga den fjerde delen til sin mor. Hvor mange epler har gutten igjen? Dette er det enkleste eksemplet som lar deg komponere andelen. Det viktigste er å gjøre det. Det var opprinnelig ti epler. La det være 100%. Vi merket alle eplene hans. Han ga bort en fjerdedel. 1/4 = 25/100. Dette betyr at han har gått: 100% (det var opprinnelig) - 25% (han ga) = 75%. Denne figuren viser prosentandelen av antall gjenværende frukt til antallet av de første tilgjengelige. Nå har vi tre tall, som det allerede er mulig å løse andelen med. 10 epler - 100%, X epler - 75%, hvor x er den nødvendige mengden frukt. Hvordan lage andelen? Du må forstå hva det er. Matematisk ser det slik ut. Likhetstegnet er satt for din forståelse.
10 epler = 100%;
x epler = 75%.
Det viser seg at 10 / x = 100% / 75. Dette er hovedegenskapen til proporsjoner. Tross alt, jo større x, jo flere prosent er dette tallet fra originalen. Vi løser denne andelen og vi får at x = 7,5 epler. Hvorfor gutten bestemte seg for å gi et ikke-helt beløp er ukjent for oss. Nå vet du hvordan du skal proporsjonere. Det viktigste er å finne to relasjoner, hvorav den ene inneholder det ukjente ukjente.
Å løse proporsjoner kommer ofte ned til enkel multiplikasjon, og deretter til divisjon. På skolene får ikke barn forklart hvorfor akkurat det er slik. Selv om det er viktig å forstå at proporsjonale forhold er en matematisk klassiker, er det selve essensen av vitenskap. For å løse proporsjoner må du kunne håndtere brøker. For eksempel er det ofte nødvendig å konvertere prosenter til brøker. Det vil si at en rekord på 95 % ikke vil fungere. Og hvis du skriver 95/100 med en gang, så kan du gjøre solide reduksjoner uten å starte hovedtellingen. Det skal sies med en gang at hvis andelen din viste seg å være med to ukjente, kan den ikke løses. Ingen professor kan hjelpe deg her. Og oppgaven din har mest sannsynlig en mer kompleks algoritme for riktige handlinger.
Tenk på et annet eksempel der det ikke er interesse. Bilisten kjøpte 5 liter bensin for 150 rubler. Han lurte på hvor mye han ville betale for 30 liter drivstoff. For å løse dette problemet, la x betegne det nødvendige beløpet. Du kan løse dette problemet selv og deretter sjekke svaret. Hvis du ennå ikke har funnet ut hvordan du lager proporsjonen, så ta en titt. 5 liter bensin er 150 rubler. Som i det første eksemplet vil vi skrive ned 5L - 150r. La oss nå finne det tredje tallet. Selvfølgelig er dette 30 liter. Enig at et par på 30 liter - x rubler er passende i denne situasjonen. La oss gå videre til matematisk språk.
5 liter - 150 rubler;
30 liter - x rubler;
Vi løser denne andelen:
x = 900 rubler.
Så vi bestemte oss. I oppgaven din, ikke glem å sjekke tilstrekkeligheten til svaret. Det hender at med feil avgjørelse når bilene urealistiske hastigheter på 5000 kilometer i timen og så videre. Nå vet du hvordan du skal proporsjonere. Du kan også løse det. Som du kan se, er dette ikke vanskelig.
Grunnlaget matematisk forskning er evnen til å få kunnskap om visse mengder ved å sammenligne dem med andre mengder som enten er like eller mer eller mindre enn de som er gjenstand for forskning. Dette gjøres vanligvis ved hjelp av serien ligninger og proporsjoner... Når vi bruker ligninger, bestemmer vi den nødvendige verdien ved å finne den likestilling med en annen allerede kjent mengde eller mengder.
Imidlertid hender det ofte at vi sammenligner en ukjent mengde med andre som ikke lik henne, men mer eller mindre av henne. Dette krever en annen tilnærming til databehandling. Vi må kanskje finne ut av f.eks. hvor mye en mengde er større enn den andre, eller hvor mange ganger den ene inneholder den andre. For å finne svaret på disse spørsmålene, vil vi lære hva som er forhold to mengder. Ett forhold kalles aritmetikk og den andre geometriske... Det er imidlertid verdt å merke seg at begge disse begrepene ikke ble vedtatt ved et uhell eller bare for å skille seg ut. Både aritmetiske og geometriske forhold gjelder for både aritmetikk og geometri.
Som en del av et stort og viktig emne avhenger proporsjoner av proporsjoner, derfor er en klar og fullstendig forståelse av disse konseptene nødvendig.
338. Aritmetisk forhold den forskjellmellom to mengder eller en serie mengder... Selve mengdene kalles medlemmer av forhold, det vil si ledd som det er et forhold mellom. Dermed er 2 et aritmetisk forhold på 5 og 3. Dette uttrykkes ved å sette et minustegn mellom to verdier, det vil si 5 - 3. Selvfølgelig er begrepet aritmetisk forholdstall og dets skriblerier praktisk talt ubrukelig, siden bare ordet er erstattet forskjell ved minustegnet i uttrykket.
339. Hvis begge ledd i den aritmetiske relasjonen multiplisere eller dele opp med samme beløp altså forhold, vil til slutt multipliseres eller divideres med denne verdien.
Så hvis vi har a - b = r
Så multipliserer vi begge sider med h, (Ax. 3.) ha - hb = hr
Og dividere med h, (Ax. 4.) $ \ frac (a) (h) - \ frac (b) (h) = \ frac (r) (h) $
340. Hvis leddene til et aritmetisk forhold legges til eller trekkes fra de tilsvarende leddene til et annet, vil forholdet mellom summen eller differansen være lik summen eller differansen av de to forholdstallene.
Hvis a - b
Og d - h,
er to relasjoner,
Deretter (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Som i hvert tilfelle = a + d - b - h.
Og (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Som i hvert tilfelle = a - d - b + h.
Så det aritmetiske forholdet 11 - 4 er 7
Og det aritmetiske forholdet 5 - 2 er 3
Forholdet mellom summen av medlemmene 16 - 6 er 10, er summen av forholdstallene.
Forholdet mellom forskjellen mellom leddene 6 - 2 er 4, er forskjellen mellom forholdene.
341. Geometrisk forhold
er forholdet mellom mengder, som er uttrykt PRIVAT hvis en mengde deles på en annen.
Dermed kan forholdet 8 til 4 skrives som 8/4 eller 2. Det vil si kvotienten 8 til 4. Med andre ord viser den hvor mange ganger 4 er inneholdt i 8.
På samme måte kan forholdet mellom en hvilken som helst mengde til en annen bestemmes ved å dele den første med den andre eller, som i prinsippet er den samme, ved å gjøre den første til telleren av brøken og den andre til nevneren.
Så forholdet mellom a og b er $ \ frac (a) (b) $
Forholdet mellom d + h og b + c er $ \ frac (d + h) (b + c) $.
342. Det geometriske forholdet registreres også ved å plassere to punkter over hverandre mellom verdiene som sammenlignes.
Dermed er a:b en registrering av forholdet mellom a og b, og 12:4 er et forhold på 12 til 4. De to mengdene danner sammen par der det første leddet kalles forutgående og den siste er konsekvent.
343. Denne notasjonen ved hjelp av prikker og den andre, i form av en brøk, er utskiftbare etter behov, mens antecedenten blir telleren til brøken, og den konsekvente blir nevneren.
Så 10: 5 er det samme som $ \ frac (10) (5) $ og b: d, det samme som $ \ frac (b) (d) $.
344. Hvis av disse tre verdiene: antecedent, consequent og ratio, evt to så kan den tredje bli funnet.
La a = antecedent, c = konsekvent, r = forhold.
Per definisjon er $ r = \ frac (a) (c) $, det vil si at forholdet er lik antecedenten delt på den påfølgende.
Multiplisere med c, a = cr, det vil si at antecedenten er lik den påfølgende multiplisert med forholdet.
Del med r, $ c = \ frac (a) (r) $, det vil si at konsekvensen er lik antecedenten delt på forholdet.
Tilsvarende 1. Hvis to par har like antecedenter og konsekvenser, er forholdstallene også like.
Tilsvarende 2. Hvis forholdstallene og antecedentene for to par er like, så er konsekvensene like, og hvis forholdene og konsekvensene er like, så er antecedentene like.
345. Hvis to sammenlignet verdier er like, så er deres forhold lik en eller forholdet mellom likhet. Forholdet 3 * 6: 18 er lik en, siden kvotienten av enhver mengde delt på seg selv er lik 1.
Hvis antecedenten til paret mer, enn følgelig er forholdet større enn én. Siden utbyttet er større enn divisoren, er kvotienten større enn én. Så forholdet 18:6 er 3. Dette kalles forholdet større ulikhet.
På den annen side, hvis antecedenten mindre enn den påfølgende, så er forholdet mindre enn enhet og dette kalles forholdet mindre ulikhet... Så forholdet 2: 3 er mindre enn én, fordi utbyttet er mindre enn divisoren.
346. Det motsatte ratio er forholdet mellom to gjensidige.
Så det inverse forholdet mellom 6 og 3 er k, det vil si:.
Det direkte forholdet mellom a og b er $ \ frac (a) (b) $, det vil si at antecedenten er delt inn i en konsekvens.
Det omvendte forholdet er $ \ frac (1) (a) $: $ \ frac (1) (b) $ eller $ \ frac (1) (a). \ Frac (b) (1) = \ frac (b) (a) $.
det vil si den påfølgende b dividert med antecedenten a.
Derfor uttrykkes den omvendte relasjonen ved å snu brøken, som viser et direkte forhold, eller, når opptaket utføres ved hjelp av prikker, snu rekkefølgen til medlemmene.
Dermed refererer a til b på samme måte som b til a.
347. Kompleks forhold dette forholdet virker tilsvarende termer med to eller flere enkle sammenhenger.
Så forholdet 6:3 er 2
Og forholdet 12:4 tilsvarer 3
Forholdet som består av dem er 72:12 = 6.
Her oppnås en kompleks relasjon ved å multiplisere mellom seg to antecedenter og også to konsekvenser av enkle relasjoner.
Så forholdet laget
Fra forholdet a: b
Og forholdet c:d
og forholdet h:y
Dette forholdet er $ ach: bdy = \ frac (ach) (bdy) $.
Sammensetningsforholdet er ikke forskjellig i sin natur fra et hvilket som helst annet forhold. Dette begrepet brukes for å vise opprinnelsen til forholdet i visse tilfeller.
Tilsvarende Et komplekst forhold er lik produktet av enkle forhold.
Forholdet a: b er lik $ \ frac (a) (b) $
Forholdet c:d er lik $ \ frac (c) (d) $
Forholdet h:y er $ \ frac (h) (y) $
Og forholdet lagt til av disse tre vil være ach / bdy, som er produktet av brøker som uttrykker enkle forhold.
348. Hvis i sekvensen av forholdstall i hvert foregående par er konsekvensen antecedenten i det neste, så forholdet mellom den første antecedenten og den siste påfølgende er lik det oppnådd fra de mellomliggende forholdene.
Så i en rekke forhold
a: b
b: c
c: d
d:h
forholdet a:h er lik forholdet lagt til fra forholdene a:b og b:c og c:d og d:h. Så det komplekse forholdet i den siste artikkelen er $ \ frac (abcd) (bcdh) = \ frac (a) (h) $, eller a: h.
På samme måte er alle mengder som er både antecedenter og konsekvenser forsvinne, når produktet av brøker vil forenkles til sine laveste termer og i resten vil det komplekse forholdet uttrykkes av den første antecedenten og den siste påfølgende.
349. En spesiell klasse av komplekse relasjoner oppnås ved å multiplisere en enkel relasjon med meg selv eller noe annet lik forhold. Disse forholdene kalles dobbelt, trippel, quads, og så videre, i henhold til antall multiplikasjonsoperasjoner.
Et forhold som består av to like forhold, dvs. torget dobbelt forhold.
Består av tre, det er, kube enkel relasjon kalles trippel, etc.
Tilsvarende forholdet kvadratrøtter to størrelser kalles forholdet kvadratrot og forholdet kubikkrøtter- forholdet kubikkrot, etc.
Så det enkle forholdet mellom a og b er a: b
Dobbeltforholdet mellom a og b er lik a 2:b 2
Trippelforholdet mellom a og b er lik a 3:b 3
Forholdet mellom kvadratroten av a og b er √a: √b
Forholdet mellom terningroten av a og b er 3 √a: 3 √b, og så videre.
Vilkår dobbelt, trippel, og så videre trenger ikke å blandes med doblet, tredoblet, etc.
Forholdet 6 til 2 er 6:2 = 3
Ved å doble dette forholdet, det vil si forholdet to ganger, får vi 12: 2 = 6
Vi tredobler dette forholdet, det vil si dette forholdet tre ganger, så får vi 18: 2 = 9
EN dobbelt forhold, altså torget forholdet er 6 2: 2 2 = 9
OG trippel forholdet, det vil si kuben til forholdet, er 6 3: 2 3 = 27
350. For at mengdene skal korreleres med hverandre, må de være av samme art, slik at man trygt kan hevde om de er like hverandre, eller en av dem er større eller mindre. En fot er som 12 til 1 i forhold til en tomme: den er 12 ganger større enn en tomme. Men man kan for eksempel ikke si at en time er lengre eller kortere enn en pinne, eller en acre er større eller mindre enn en grad. Men hvis disse mengdene er uttrykt i tall, så kan det være en sammenheng mellom disse tallene. Det vil si at det kan være en sammenheng mellom antall minutter per time og antall skritt per mil.
351. Vende til natur forholdstall, neste trinn må vi ta hensyn til måten endringen i ett eller to ledd, som sammenlignes med hverandre, vil påvirke forholdet i seg selv. Husk at det direkte forholdet er uttrykt som en brøk, hvor antecedet par alltid det teller, a konsekvent - nevner... Da vil det være lett å få ut fra egenskapen til brøker at endringer i forholdet skjer ved å variere de sammenlignede verdiene. Forholdet mellom de to mengdene er det samme som betydning brøker, som hver representerer privat: teller delt på nevner. (Artikkel 341.) Nå har det vist seg at å multiplisere telleren til en brøk med en hvilken som helst verdi er det samme som å multiplisere betydning med samme beløp og å dele telleren er det samme som å dele verdiene til en brøk. Så,
352. Å multiplisere antecedenten til et par med en hvilken som helst verdi betyr å multiplisere forholdene med denne verdien, og å dele antecedenten er å dele dette forholdet.
Så forholdet 6:2 er 3
Og forholdet 24: 2 er lik 12.
Her er antecedenten og forholdet i det siste paret 4 ganger større enn i det første.
Forholdet a:b er $ \ frac (a) (b) $
Og forholdet na:b er lik $ \ frac (na) (b) $.
Tilsvarende Med kjent konsekvens, jo mer forutgående, jo mer forhold, og omvendt, jo større forholdet er, desto større er antecedenten.
353. Ved å multiplisere konsekvensen av paret med en hvilken som helst verdi, som et resultat, får vi divisjonen av forholdet med denne verdien, og ved å dele den påfølgende multipliserer vi forholdet. Ved å multiplisere nevneren til en brøk deler vi verdien, og ved å dele nevneren multipliseres verdien.
Så forholdet 12:2 er 6
Og forholdet 12: 4 er 3.
Her er konsekvensen av det andre paret inn to ganger mer, og forholdet to ganger mindre enn den første.
Forholdet a:b er $ \ frac (a) (b) $
Og forholdet a:nb er lik $ \ frac (a) (nb) $.
Tilsvarende Med en gitt antecedent, jo større konsekvens, jo lavere er forholdet. Omvendt, jo større forholdet er, desto lavere blir den påfølgende.
354. Av de to siste artiklene følger det at multiplikasjon av antecedent par med et hvilket som helst beløp vil ha samme effekt på forholdet som deling av den påfølgende med dette beløpet, og inndeling av antecedent, vil ha samme effekt som påfølgende multiplikasjon.
Derfor er forholdet 8:4 lik 2
Ved å multiplisere antecedenten med 2 er forholdet 16:4 4
Ved å dele antecedenten med 2, er forholdet 8:2 4.
Tilsvarende Noen faktor eller deler kan overføres fra parets antecedent til følge eller fra følge til antecedent uten å endre forholdet.
Det er verdt å merke seg at når en faktor dermed overføres fra et ledd til et annet, blir det en divisor, og den overførte divisoren blir en faktor.
Så forholdet er 3,6:9 = 2
Overføring av faktor 3, $ 6: \ frac (9) (3) = 2 $
samme forhold.
Forhold $ \ frac (ma) (y): b = \ frac (ma) (ved) $
Overføre y $ ma: by = \ frac (ma) (av) $
Flytter m, a: $ a: \ frac (m) (by) = \ frac (ma) (by) $.
355. Som det fremgår av artiklene. 352 og 353, hvis antecedenten og påfølgende både multipliseres eller divideres med samme verdi, endres ikke forholdet.
Tilsvarende 1. Forholdet mellom de to brøker, som har en fellesnevner, er det samme som forholdet mellom deres tellere.
Så forholdet a/n:b/n er det samme som a:b.
Tilsvarende 2. Direkte forholdet mellom to brøker som har en felles teller er lik det inverse forholdet til deres nevnere.
356. Fra artikkelen er det lett å bestemme forholdet mellom to fraksjoner. Hvis hvert ledd multipliseres med to nevnere, vil forholdet bli gitt ved integraluttrykk. Ved å multiplisere leddene til paret a / b: c / d med bd, får vi $ \ frac (abd) (b) $: $ \ frac (bcd) (d) $, som blir ad: bc, ved å redusere fellesverdiene fra tellerne og nevnerne.
356. b. Forhold større ulikhet øker hans
La forholdet mellom den større ulikheten gis som 1 + n: 1
Og ethvert forhold som a: b
Sammensetningsforholdet vil være (art. 347,) a + na: b
Som er større enn forholdet a:b (art. 351. resp.)
Men forholdet mindre ulikhet brettet med et annet forhold, reduserer hans.
La forholdet mellom den mindre forskjellen 1-n: 1
Ethvert gitt forhold a: b
Kompleks forhold a - na: b
Som er mindre enn a: b.
357. Hvis til eller fra medlemmer av et parLegg til eller trekke fra to andre mengder som er i samme forhold, så vil summene eller saldoene ha samme forhold.
La forholdet a: b
Vil være det samme som c:d
Så forholdet summer antecedenter til summen av konsekvensene, nemlig a + c til b + d, er også de samme.
Det vil si $ \ frac (a + c) (b + d) $ = $ \ frac (c) (d) $ = $ \ frac (a) (b) $.
Bevis.
1.I henhold til antagelsen, $ \ frac (a) (b) $ = $ \ frac (c) (d) $
2. Multipliser med b og d, ad = bc
3. Legg til cd på begge sider, ad + cd = bc + cd
4. Del med d, $ a + c = \ frac (bc + cd) (d) $
5. Del med b + d, $ \ frac (a + c) (b + d) $ = $ \ frac (c) (d) $ = $ \ frac (a) (b) $.
Forhold forskjeller antecedentene til den påfølgende forskjellen er også de samme.
358. Hvis forholdene i flere par er like, da summen av alle antecedenter refererer til summen av alle påfølgende, som enhver antecedent til dens påfølgende.
Dermed forholdet
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Dermed er forholdet (12 + 10 + 8 + 6) :( 6 + 5 + 4 + 3) = 2.
358. b. Forhold større ulikhetavtar legger til samme verdi til begge medlemmene.
La den gitte relasjonen a + b: a eller $ \ frac (a + b) (a) $
Ved å legge til x til begge medlemmene får vi a + b + x: a + x eller $ \ frac (a + b) (a) $.
Den første blir $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax + bx) (a (a + x)) $
Og den siste er $ \ frac (a ^ 2 + ab + ax) (a (a + x)) $.
Siden den siste telleren åpenbart er mindre enn den andre, altså forhold bør være mindre. (Art. 351. hhv.)
Men forholdet mindre ulikhet øker ved å legge samme beløp til begge vilkårene.
La den gitte relasjonen (a-b): a, eller $ \ frac (a-b) (a) $.
Hvis du legger til x til begge ledd, tar det formen (a-b + x) :( a + x) eller $ \ frac (a-b + x) (a + x) $
bringe dem til en fellesnevner,
Den første blir $ \ frac (a ^ 2-ab + ax-bx) (a (a + x)) $
Og den siste, $ \ frac (a ^ 2-ab + ax) (a (a + x)). \ Frac ((a ^ 2-ab + ax)) (a (a + x)) $.
Siden den siste telleren er større enn den andre, altså forhold mer.
Hvis i stedet for å legge til samme verdi ta bort fra to terminer er det åpenbart at effekten på forholdet vil være motsatt.
Eksempler.
1. Hva er størst: et 11:9-forhold eller et 44:35-forhold?
2. Hva er størst: forholdet $ (a + 3): \ frac (a) (6) $, eller forholdet $ (2a + 7): \ frac (a) (3) $?
3. Hvis parets antecedent er 65 og forholdet er 13, hva er konsekvensen?
4. Hvis konsekvensen av et par er 7 og forholdet er 18, hva er antecedenten?
5. Hvordan ser et komplekst forhold sammen av 8: 7, og 2a: 5b, og også (7x + 1) :( 3y-2) ut?
6. Hvordan ser et komplekst forhold sammen av (x + y): b, og (x-y) :( a + b), og også (a + b): h ut? Resp. (x 2 - y 2): bh.
7. Hvis forholdene (5x + 7) :( 2x-3), og $ (x + 2): \ venstre (\ frac (x) (2) +3 \ høyre) $ danner et komplekst forhold, hvilket forhold vil oppnås: mer eller mindre ulikhet? Resp. Forholdet mellom større ulikhet.
8. Hva er forholdet sammensatt av (x + y): a og (x - y): b, og $ b: \ frac (x ^ 2-y ^ 2) (a) $? Resp. Likhetsforhold.
9. Hva er forholdet 7:5 og to ganger forholdet 4:9 og tre ganger forholdet 3:2?
Resp. 14:15.
10. Hva består forholdet av 3:7 og tredoble x:y-forholdet og rotutvinning fra forholdet 49:9?
Resp. x 3: y 3.
