Hvordan avstanden fra et punkt til en rett linje endres. Avstand fra et punkt til en rett linje i rommet - teori, eksempler, løsninger. Bestemme avstanden fra et punkt til en rett linje

La et rektangulært koordinatsystem festes i tredimensjonalt rom Oxyz, et punkt er gitt, en rett linje en og det kreves å finne avstanden fra punktet EN til rett en.

Vi skal vise to måter å beregne avstanden fra et punkt til en rett linje i rommet. I det første tilfellet, finne avstanden fra punktet M 1 til rett en koker ned til å finne avstanden fra et punkt M 1 til punktet H 1 , hvor H 1 - basen av perpendikulæren falt fra punktet M 1 på en rett linje en... I det andre tilfellet vil avstanden fra punktet til planet bli funnet som høyden på parallellogrammet.

Så la oss komme i gang.

Den første måten å finne avstanden fra et punkt til en rett linje a i rommet.

Siden, per definisjon, avstanden fra punktet M 1 til rett en Er lengden på perpendikulæren M 1 H 1 , da etter å ha bestemt koordinatene til punktet H 1 , vil vi kunne beregne nødvendig avstand som avstanden mellom punktene og i henhold til formelen.

Dermed reduseres problemet til å finne koordinatene til bunnen av perpendikulæren konstruert fra punktet M 1 til rett en... Dette er enkelt nok: pek H 1 Er skjæringspunktet for den rette linjen en med et fly som passerer gjennom punktet M 1 vinkelrett på en rett linje en.

Derfor, algoritme som lar deg bestemme avstanden fra et punkt til retten i verdensrommet, er dette:

Den andre metoden lar deg finne avstanden fra et punkt til en rett linje a i rommet.

Siden i problemstillingen får vi en rett linje en, så kan vi definere retningsvektoren og koordinater for et eller annet punkt M 3 liggende på en rett linje en... Deretter koordinatene til punktene og vi kan beregne koordinatene til en vektor: (hvis nødvendig, se artikkelkoordinatene til en vektor gjennom koordinatene til start- og sluttpunktene).

Sett til side vektorer og fra punkt M 3 og bygg et parallellogram på dem. I dette parallellogrammet tegner vi høyden M 1 H 1 .

Helt klart høyden M 1 H 1 av det konstruerte parallellogrammet er lik den nødvendige avstanden fra punktet M 1 til rett en... Vi finner den.

På den ene siden, området til parallellogrammet (vi betegner det S) kan finnes i form av vektorproduktet til vektorer og etter formelen ... På den annen side er arealet til et parallellogram lik produktet av lengden på siden med høyden, det vil si, , hvor - vektorlengde lik lengden på siden av parallellogrammet som vurderes. Derfor er avstanden fra et gitt punkt M 1 til en gitt rett linje en kan finnes fra likestilling hvordan .

Så, for å finne avstanden fra et punkt til retten i plassen du trenger

Løse problemer med å finne avstanden fra et gitt punkt til en gitt rett linje i rommet.

La oss vurdere løsningen av et eksempel.

Eksempel.

Finn avstanden fra punktet til rett .

Løsning.

Den første måten.

La oss skrive ligningen til planet som går gjennom punktet M 1 vinkelrett på en gitt rett linje:

Finn koordinatene til punktet H 1 - skjæringspunkter mellom et plan og en gitt rett linje. For å gjøre dette, gjør vi overgangen fra de kanoniske ligningene til den rette linjen til ligningene til to kryssende plan

deretter løser vi systemet med lineære ligninger etter Cramers metode:

På denne måten, .

Det gjenstår å beregne den nødvendige avstanden fra et punkt til en rett linje som avstanden mellom punktene og:.

Andre vei.

Tallene i nevnerne av brøker i de kanoniske ligningene til en rett linje representerer de tilsvarende koordinatene til retningsvektoren til denne rette linjen, det vil si, - retningsvektor for en rett linje ... La oss beregne lengden: .

Åpenbart den rette linjen går gjennom punktet , deretter vektoren med origo i punktet og avslutte ved punkt det er ... Finn vektorproduktet til vektorer og :
da er lengden på dette kryssproduktet .

Nå har vi alle dataene for å bruke formelen for å beregne avstanden fra et gitt punkt til et gitt plan: .

Svar:

Gjensidig arrangement av rette linjer i rommet

Formel for å beregne avstanden fra et punkt til en rett linje på et plan

Hvis ligningen for den rette linjen Ax + By + C = 0 er gitt, kan avstanden fra punktet M (M x, M y) til den rette linjen bli funnet ved å bruke følgende formel

Eksempler på oppgaver for å beregne avstanden fra et punkt til en linje på et plan

Eksempel 1.

Finn avstanden mellom linjen 3x + 4y - 6 = 0 og punktet M (-1, 3).

Løsning. Bytt ut koeffisientene til den rette linjen og koordinatene til punktet i formelen

Svar: avstanden fra et punkt til en rett linje er 0,6.

likning av et plan som går gjennom punkter vinkelrett på en vektor Generell likning av et plan

En vektor som ikke er null vinkelrett på et gitt plan kalles normal vektor (eller kort sagt, vanlig ) for dette flyet.

La koordinatrommet (i et rektangulært koordinatsystem) gis:

Et poeng ;

b) en vektor som ikke er null (Figur 4.8, a).

Det er nødvendig å tegne en ligning av et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på vektor Slutt på bevis.

La oss nå vurdere ulike typer ligninger for en rett linje på et plan.

1) Generell ligning av flyetP .

Det følger av utledningen av ligningen at samtidig EN, B og C ikke lik 0 (forklar hvorfor).

Punktet tilhører flyet P bare hvis koordinatene tilfredsstiller ligningen til planet. Avhengig av koeffisientene EN, B, C og D flyet P inntar en eller annen stilling:

- flyet går gjennom origo til koordinatsystemet, - flyet går ikke gjennom origo til koordinatsystemet,

- planet er parallelt med aksen X,

X,

- planet er parallelt med aksen Y,

- planet er ikke parallelt med aksen Y,

- planet er parallelt med aksen Z,

- planet er ikke parallelt med aksen Z.

Bevis disse påstandene selv.

Ligning (6) er lett avledet fra ligning (5). Faktisk, la poenget ligge på flyet P... Da tilfredsstiller dens koordinater ligningen Ved å trekke fra ligning (7) fra ligning (5) og gruppere leddene, får vi ligning (6). Betrakt nå to vektorer med henholdsvis koordinater. Fra formel (6) følger det at deres skalarprodukt er lik null. Derfor er vektoren vinkelrett på vektoren. Begynnelsen og slutten av den siste vektoren er henholdsvis på punktene som hører til planet P... Derfor er vektoren vinkelrett på planet P... Avstand fra punkt til plan P, hvis generelle ligning er bestemmes av formelen Beviset for denne formelen er fullstendig analogt med beviset for formelen for avstanden mellom et punkt og en linje (se fig. 2).
Ris. 2. Til utledningen av formelen for avstanden mellom et plan og en rett linje.

Faktisk avstanden d mellom en rett linje og et plan er

hvor er et punkt som ligger på et fly. Derfor, som i forelesning nr. 11, oppnås formelen ovenfor. To plan er parallelle hvis normalvektorene deres er parallelle. Derfor får vi betingelsen for parallelliteten til to plan Er koeffisientene til de generelle ligningene til planene. To plan er perpendikulære hvis normalvektorene deres er perpendikulære, derfor får vi betingelsen for perpendikulæritet til to plan, hvis deres generelle ligninger er kjent

Injeksjon f mellom to plan er lik vinkelen mellom deres normalvektorer (se fig. 3) og kan derfor beregnes med formelen
Bestemmelse av vinkelen mellom planene.

(11)

Avstand fra punkt til plan og hvordan du finner det

Avstand fra punkt til flyet- lengden på perpendikulæren falt fra et punkt på dette planet. Det er minst to måter å finne avstanden fra et punkt til et fly på: geometriske og algebraisk.

Med den geometriske metoden du må først forstå hvordan perpendikulæren er plassert fra punkt til plan: kanskje den ligger i et praktisk plan, er høyden i en passende (eller ikke) trekant, eller kanskje er denne perpendikulæren generelt høyden i en pyramide.

Etter dette første og vanskeligste stadiet brytes oppgaven ned i flere spesifikke planimetriske oppgaver (kanskje i forskjellige plan).

Med den algebraiske metoden for å finne avstanden fra et punkt til et plan, må du angi et koordinatsystem, finne koordinatene til punktet og ligningen til planet, og deretter bruke formelen for avstanden fra et punkt til et plan.

155 *. Bestem den faktiske størrelsen på segmentet AB av en rett linje i generell posisjon (fig. 153, a).

Løsning. Som du vet, er projeksjonen av et rett linjesegment på et hvilket som helst plan lik selve segmentet (med tanke på skalaen på tegningen) hvis det er parallelt med dette planet

(Fig. 153, b). Det følger av dette at ved å transformere tegningen er det nødvendig å oppnå parallelliteten til dette segmentet av kvadratet. V eller pl. H eller suppler V, H-systemet med ett plan til vinkelrett på pl. V eller til pl. H og samtidig parallelt med dette segmentet.

I fig. 153, viser introduksjonen av et ekstra plan S, vinkelrett på pl. H og parallelt med et gitt segment AB.

Fremskrivningen a s b s er lik naturverdien til segmentet AB.

I fig. 153, viser d en annen teknikk: segment AB roteres rundt en rett linje som går gjennom punkt B og vinkelrett på pl. H, til en posisjon parallelt

pl. V. I dette tilfellet forblir punkt B på plass, og punkt A inntar en ny posisjon A 1. Horisonten er i den nye posisjonen. projeksjon а 1 b || x-aksen. Projeksjonen a "1 b" er lik naturverdien til segmentet AB.

156. Gitt en pyramide SABCD (fig. 154). Bestem den faktiske størrelsen på kantene til pyramiden AS og CS, ved å bruke metoden for å endre projeksjonsplan, og kantene BS og DS, ved hjelp av rotasjonsmetoden, og ta rotasjonsaksen vinkelrett på kvadratet. H.

157 *. Bestem avstanden fra punkt A til rett linje BC (Fig. 155, a).

Løsning. Avstanden fra et punkt til en rett linje måles med et vinkelrett segment trukket fra et punkt til en rett linje.

Hvis den rette linjen er vinkelrett på et hvilket som helst plan (fig. 155.6), så måles avstanden fra punktet til den rette linjen ved avstanden mellom projeksjonen av punktet og projeksjonspunktet til den rette linjen på dette planet. Hvis en rett linje inntar en generell posisjon i V, H-systemet, er det nødvendig å introdusere ytterligere to plan i V, H-systemet for å bestemme avstanden fra et punkt til en rett linje ved å endre projeksjonsplanene.

Først (fig. 155, c) legger vi inn pl. S parallelt med BC-segmentet (den nye S/H-aksen er parallell med bc-projeksjonen), og konstruer b s c s- og a s-projeksjonene. Så (fig. 155, d) introduserer vi en annen pl. T vinkelrett på linjen BC (den nye T/S-aksen er vinkelrett på b s med s). Vi bygger projeksjoner av en rett linje og et punkt - med t (b t) og en t. Avstanden mellom punktene a t og c t (b t) er lik avstanden l fra punkt A til linje BC.

I fig. 155e, utføres den samme oppgaven ved å bruke en rotasjonsmetode i sin form, som kalles en parallellbevegelsesmetode. Først snur den rette linjen BC og punkt A, mens de holder deres innbyrdes posisjon uendret, rundt noen (ikke angitt på tegningen) rett linje vinkelrett på pl. H, slik at linjen BC er parallell med kvadratet. V. Dette er ensbetydende med å flytte punktene A, B, C i plan parallelt med kvadratet. H. I dette tilfellet, horisonten. projeksjonen av et gitt system (BC + A) endres verken i størrelse eller konfigurasjon, bare dets posisjon i forhold til x-aksen endres. Vi posisjonerer horisonten. projeksjonen av den rette linjen BC parallelt med x-aksen (posisjon b 1 c 1) og definere projeksjonen a 1, utsette c 1 1 1 = c-1 og a 1 1 1 = a-1, og a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Tegner vi rette linjer b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 parallelt med x-aksen, finner vi fronten på dem. projeksjon b "1, a" 1, c "1. Deretter flytter vi punktene B 1, C 1 og A 1 i plan parallelt med kvadrat V (også uten å endre deres relative posisjon), for å få B 2 C 2 ⊥ kvadrat H. I dette tilfellet vil frontprojeksjonen av den rette linjen være plassert vinkelrett på x-aksen, b 2 c "2 = b" 1 c "1, og for å konstruere projeksjonen a" 2, må du ta b "2 2" 2 = b "1 2" 1, trekk 2 "a" 2 ⊥ b "2 s" 2 og utsett en "2 2" 2 = a "1 2" 1. Nå, etter å ha utført med 1 s 2 og a 1 a 2 || x 1, får vi projeksjoner b 2 c 2 og a 2 og den nødvendige avstanden l fra punkt A til rett linje BC. Du kan bestemme avstanden fra A til BC ved å dreie planet definert av punkt A og linje BC rundt horisontalplanet til dette planet til posisjonen T || pl. H (fig. 155, e).

I planet spesifisert av punkt A og rett linje BC, tegn en horisontal linje A-1 (fig. 155, g) og snu punkt B rundt den. Punkt B flyttes til kvadrat. R (gitt på tegningen av sporet av R h), vinkelrett på A-1; ved punkt O er rotasjonssenteret til punkt B. Nå bestemmer vi den faktiske verdien av rotasjonsradiusen til VO, (fig. 155, c). I ønsket stilling, dvs. når pl. T, definert av punkt A og linje BC, blir || pl. H, punkt B vil vise seg på R h i en avstand Ob 1 fra punkt O (det kan være en annen posisjon på samme spor Rh, men på den andre siden av O). Punkt b 1 er horisonten. projeksjonen av punkt B etter å ha flyttet det til posisjon B 1 i rommet, når planet definert av punkt A og linje BC har tatt posisjon T.

Etter å ha tegnet (fig. 155, i) rett linje b 1 1, får vi horisonten. projeksjonen av den rette linjen BC, allerede lokalisert || pl. H i samme plan med A. I denne posisjonen er avstanden fra a til b 1 1 lik ønsket avstand l. Planet P, som de gitte elementene ligger i, kan kombineres med pl. H (fig. 155, k), vending pl. Det er en horisont rundt det. spore. Går vi fra å spesifisere et plan ved punkt A og rett linje BC til å spesifisere rette linjer BC og A-1 (Fig. 155, l), finner vi spor av disse rette linjene og trekker spor P ϑ og P h gjennom dem. Vi bygger (Fig. 155, m) kombinert med pl. H-posisjon foran. spor - P ϑ0.

Tegn horisonten gjennom punkt a. frontal projeksjon; den justerte fronten går gjennom punkt 2 på sporet Р h parallelt med Р ϑ0. Punkt A 0 - kombinert med pl. H er posisjonen til punkt A. På samme måte finner vi punkt B 0. Direkte sol kombinert med pl. H-posisjon går gjennom punkt B 0 og punkt m (horisontalt spor av en rett linje).

Avstanden fra punkt A 0 til linje B 0 C 0 er lik den nødvendige avstanden l.

Du kan utføre den angitte konstruksjonen, og finne bare ett spor P h (fig. 155, n og o). Hele konstruksjonen ligner en sving rundt en horisontal (se fig. 155, g, c, i): sporet Р h er en av konturlinjene til kvadratet. R.

Av metodene for å transformere en tegning gitt for å løse dette problemet, er metoden for rotasjon rundt en horisontal eller frontal å foretrekke.

158. Gitt en pyramide SABC (fig. 156). Bestem avstander:

a) fra toppen B av basen til siden AC ved parallell bevegelse;

b) fra toppen av S-pyramiden til sidene BC og AB av basen ved hjelp av rotasjon rundt horisontalen;

c) fra toppen S til siden AC av basen ved å endre projeksjonsplanene.


159. Et prisme er gitt (fig. 157). Bestem avstander:

a) mellom kantene AD og CF ved å endre projeksjonsplanene;

b) mellom ribbene BE og CF ved rotasjon rundt fronten;

c) mellom kantene AD og BE ved metoden med parallell bevegelse.

160. Bestem den faktiske størrelsen på firkanten ABCD (fig. 158) ved å justere den med pl. H. Bruk kun det horisontale sporet til flyet.

161 *. Bestem avstanden mellom krysslinjene AB og CD (Fig. 159, a) og bygg projeksjoner av perpendikulæren som er felles for dem.

Løsning. Avstanden mellom de kryssende linjene måles ved segmentet (MN) av vinkelrett på begge linjene (Fig. 159, b). Selvfølgelig, hvis en av linjene er plassert vinkelrett på en hvilken som helst firkant. T da

segmentet MN av vinkelrett på begge linjene vil være parallell med kvadrat. T-projeksjon på dette planet vil vise ønsket avstand. Projeksjonen av den rette vinkelen til menaden MN n AB på firkanten. T viser seg også å være en rett vinkel mellom m t n t og a t b t, siden en av sidene av rett vinkel AMN, nemlig MN. parallelt med pl. T.

I fig. 159, c og d, er den ønskede avstanden l bestemt ved metoden for å endre projeksjonsplanene. Først introduserer vi en ekstra firkant. anslag S, vinkelrett på pl. H og parallelt med den rette linjen CD (Fig. 159, c). Så introduserer vi en annen ekstra firkant. T, vinkelrett på pl. S og vinkelrett på samme rette linje CD (fig. 159, d). Nå kan du bygge en projeksjon av den vanlige perpendikulæren ved å tegne m t n t fra punktet c t (d t) vinkelrett på projeksjonen a t b t. Punktene m t og n t er projeksjoner av skjæringspunkter av denne perpendikulæren med linjene AB og CD. I punktet m t (fig. 159, e) finner vi m s på a s b s: projeksjonen m s n s skal være parallell med T/S-aksen. Videre, ved m s og n s finner vi m og n på ab og cd, og på dem m "og n" på a "b" og c "d".

I fig. 159, c viser løsningen på dette problemet ved metoden med parallelle bevegelser. Først legger vi en rett CD parallelt med kvadratet. V: projeksjon c 1 d 1 || X. Deretter flytter vi rette linjer CD og AB fra posisjonene C 1 D 1 og A 1 B 1 til posisjonene C 2 B 2 og A 2 B 2 slik at C 2 D 2 er vinkelrett på H: projeksjon med "2 d" 2 ⊥ x. Segmentet til den søkte perpendikulæren er lokalisert || pl. H, og derfor uttrykker m 2 n 2 ønsket avstand l mellom AB og CD. Finn posisjonen til fremspringene m "2, og n" 2 på en "2 b" 2 og c "2 d" 2, deretter fremspringene og m 1 og m "1, n 1 og n" 1, og til slutt projeksjoner m "og n", m og n.

162. Gitt pyramide SABC (fig. 160). Bestem avstanden mellom kanten SB og siden AC til bunnen av pyramiden og bygg projeksjoner av felles vinkelrett på SB og AC, bruk metoden for å endre projeksjonsplan.


163. Gitt pyramide SABC (fig. 161). Bestem avstanden mellom kanten SH og BC-siden av bunnen av pyramiden og konstruer projeksjonen av felles vinkelrett på SX og BC, ved å bruke metoden for parallell bevegelse.

164 *. Bestem avstanden fra punkt A til planet i tilfeller der planet er gitt: a) ved trekanten BCD (fig. 162, a); b) spor (fig. 162, b).

Løsning. Som du vet, er avstanden fra et punkt til et plan målt ved verdien av en vinkelrett trukket fra et punkt til et plan. Denne avstanden projiseres på en hvilken som helst firkant. projeksjoner i naturlig størrelse, hvis dette planet er vinkelrett på kvadratet. fremspring (fig. 162, c). Denne situasjonen kan oppnås ved å transformere tegningen, for eksempel ved å endre kvadratet. projeksjoner. Vi introduserer pl. S (fig. 16c, d), vinkelrett på pl. trekant BCD. For å gjøre dette bruker vi i pl. trekant horisontal B-1 og plasser projeksjonsaksen S vinkelrett på projeksjonen b-1 av horisontalen. Vi bygger projeksjoner av et punkt og et plan - a s og et segment c s d s. Avstanden fra a s til c s d s er lik den nødvendige avstanden l av punktet til planet.

På rio. 162, brukes metoden for parallell bevegelse. Vi flytter hele systemet til horisontalplanet til B-1-planet er vinkelrett på planet V: projeksjonen b 1 1 1 må være vinkelrett på x-aksen. I denne posisjonen vil trekantens plan bli frontprojeksjon, og avstanden l fra punkt A til den vil vise seg å være firkantet. V uten forvrengning.


I fig. 162, b, er planet definert av spor. Vi introduserer (fig. 162, e) en ekstra firkant. S, vinkelrett på pl. P: S / H-aksen vinkelrett på P h. Resten fremgår tydelig av tegningen. I fig. 162, problemet ble løst med en bevegelse: pl. P går i posisjon P 1, det vil si at den blir frontprojeksjon. Spor. Р 1h er vinkelrett på x-aksen. Vi bygger en front i denne posisjonen av flyet. horisontal trace - punkt n "1, n 1. Trace P 1ϑ vil passere gjennom P 1x og n 1. Avstanden fra a" 1 til P 1ϑ er lik den nødvendige avstanden l.

165. Gitt pyramide SABC (se fig. 160). Bestem avstanden fra punkt A til SBC-flaten til pyramiden ved å bruke parallellbevegelsesmetoden.

166. Gitt pyramide SABC (se fig. 161). Bestem høyden på pyramiden ved å bruke parallellbevegelsesmetoden.

167 *. Bestem avstanden mellom kryssende linjer AB og CD (se fig. 159, a) som avstanden mellom parallelle plan trukket gjennom disse linjene.

Løsning. I fig. 163, og plan P og Q parallelle med hverandre er vist, hvorav pl. Q utføres gjennom CD parallelt med AB, og pl. R - gjennom AB parallelt med pl. Q. Avstanden mellom slike plan er avstanden mellom kryssende linjene AB og CD. Du kan imidlertid begrense deg til å bygge bare ett plan, for eksempel Q, parallelt med AB, og deretter bestemme avstanden fra minst punkt A til dette planet.

I fig. 163c viser Q-planet trukket gjennom CD parallelt med AB; i anslag tegnet med "e" || a "b" og ce || ab. Bruke metoden for å endre kvadratet. projeksjoner (fig. 163, c), introduserer vi en ekstra firkant. S, vinkelrett på pl. V og samtidig


vinkelrett på pl. Q. For å tegne S/V-aksen, ta frontal D-1 i dette planet. Nå tegner vi S / V vinkelrett på d "1" (fig. 163, c). Pl. Q vil vises på pl. S som en rett linje med s d s. Resten fremgår tydelig av tegningen.

168. Gitt pyramide SABC (se fig. 160). Bestem avstanden mellom ribbene SC og AB Bruk: 1) metoden for å endre kvadratet. projeksjoner, 2) en metode for parallell bevegelse.

169 *. Bestem avstanden mellom parallelle plan, hvorav det ene er gitt ved rette linjer AB og AC, og det andre ved rette linjer DE og DF (fig. 164, a). Utfør også konstruksjonen for saken når flyene er gitt av spor (fig. 164, b).

Løsning. Avstanden (fig. 164, c) mellom parallelle plan kan bestemmes ved å tegne en perpendikulær fra et hvilket som helst punkt i ett plan til et annet plan. I fig. 164, g innførte en tilleggspl. S vinkelrett på pl. H og til begge gitte fly. S.H-aksen er vinkelrett på horisonten. horisontal projeksjon tegnet i et av planene. Vi bygger en projeksjon av dette planet og et punkt i et annet plan på torget. 5. Avstanden fra punktet d s til den rette linjen l s a s er lik nødvendig avstand mellom de parallelle planene.

I fig. 164, d en annen konstruksjon er gitt (i henhold til metoden for parallell bevegelse). For at planet, uttrykt ved kryssende rette linjer AB og AC, skal være vinkelrett på pl. V, horisont. projeksjonen av horisontalen til dette planet er satt vinkelrett på x-aksen: 1 1 2 1 ⊥ x. Avstand mellom fronten. projeksjon d "1 punkt D og rett linje a" 1 2 "1 (frontprojeksjon av planet) er lik nødvendig avstand mellom planene.

I fig. 164, e viser innføringen av en tilleggspl. S, vinkelrett på området H og til de gitte planene P og Q (S/H-aksen er vinkelrett på sporene P h, og Q h). Vi bygger spor P s og Q s. Avstanden mellom dem (se fig. 164, c) er lik den nødvendige avstanden l mellom planene P og Q.

I fig. 164 viser g bevegelsen av planene P 1 n Q 1, til posisjonen P 1 og Q 1, når horisonten. sporene viser seg å være vinkelrett på x-aksen. Avstanden mellom den nye fronten. ved spor P 1ϑ og Q 1ϑ er lik den nødvendige avstanden l.

170. Gitt et parallellepipedum ABCDEFGH (fig. 165). Bestem avstandene: a) mellom basene til parallellepipedet - l 1; b) mellom flatene ABFE og DCGH - l 2; c) mellom kantene ADHE og BCGF-l 3.

Introduksjon

I dette kurset vurderte jeg temaet "avstand fra et punkt til en rett linje": definisjonen av avstanden fra et punkt til en rett linje er gitt, grafiske illustrasjoner er gitt. Behandlet å finne avstanden fra et punkt til en rett linje på et plan og i rommet ved hjelp av koordinatmetoden. Etter hver teoriblokk vises detaljerte løsninger på eksempler og problemer med å finne avstanden fra et punkt til en rett linje.

Pek til linjeavstand - definisjon

La en rett linje a og et punkt M 1 som ikke ligger på en rett linje a gis på et plan eller i et tredimensjonalt rom. La oss tegne en rett linje b gjennom punktet M 1, vinkelrett på den rette linjen a. La oss betegne skjæringspunktet mellom linjene a og b som H 1. Segmentet M 1 H 1 kalles perpendikulæren trukket fra punktet M 1 til linjen a.

Definisjon.

Avstanden fra punkt M 1 til linje a er avstanden mellom punktene M 1 og H 1.

Det er imidlertid mer vanlig å bestemme avstanden fra et punkt til en rett linje, der lengden på perpendikulæren vises.

Definisjon.

Avstanden fra et punkt til en rett linje er lengden av en perpendikulær tegnet fra et gitt punkt til en gitt rett linje.

Denne definisjonen tilsvarer den første definisjonen av avstanden fra et punkt til en linje.

Bilde 1

Merk at avstanden fra et punkt til en linje er den korteste av avstandene fra det punktet til punkter på en gitt linje. La oss vise det.

Ta et punkt Q på linjen a som ikke sammenfaller med punktet M 1. Segmentet M 1 Q kalles skråstilt, trukket fra punktet M 1 til den rette linjen a. Vi må vise at perpendikulæren trukket fra punktet M 1 til linjen a er mindre enn noen skrå linje trukket fra punktet M 1 til linjen a. Dette er virkelig slik: en trekant M 1 QH 1 er rektangulær med en hypotenus M 1 Q, og lengden på hypotenusen er derfor alltid større enn lengden på noen av bena.

Avstanden fra punkt til linje er lengden på perpendikulæren som faller fra punkt til linje. I beskrivende geometri bestemmes det grafisk ved hjelp av algoritmen nedenfor.

Algoritme

  1. Den rette linjen overføres til en posisjon der den vil være parallell med et hvilket som helst projeksjonsplan. For dette brukes metoder for å transformere ortogonale projeksjoner.
  2. Fra et punkt trekkes en perpendikulær til en rett linje. Denne konstruksjonen er basert på rettvinklet projeksjonsteoremet.
  3. Lengden på en perpendikulær bestemmes ved å transformere projeksjonene eller bruke den rettvinklede trekantmetoden.

Følgende figur viser en kompleks tegning av punkt M og linje b definert av segment CD. Det er nødvendig å finne avstanden mellom dem.

I følge vår algoritme er det første du må gjøre å flytte linjen til en posisjon parallelt med projeksjonsplanet. Det er viktig å forstå at etter transformasjonene skal den faktiske avstanden mellom punktet og linjen ikke endres. Derfor er det praktisk å bruke metoden for å erstatte fly her, som ikke innebærer bevegelse av figurer i rommet.

Resultatene av første byggetrinn er vist nedenfor. Figuren viser hvordan et ekstra frontalplan P 4 introduseres parallelt med b. I det nye systemet (P 1, P 4) er punktene C "" 1, D "" 1, M "" 1 i samme avstand fra X-aksen 1 som C "", D "", M "" fra akse X.

Ved å utføre den andre delen av algoritmen, fra M "" 1 senker vi den perpendikulære M "" 1 N "" 1 til den rette linjen b "" 1, siden den rette vinkelen MND mellom b og MN projiseres på planet P 4 i full størrelse. På kommunikasjonslinjen bestemmer vi posisjonen til punktet N "og utfører projeksjonen M" N "av segmentet MN.

På det siste stadiet må du bestemme verdien av segmentet MN ved projeksjonene M "N" og M "" 1 N "" 1. For å gjøre dette bygger vi en rettvinklet trekant M "" 1 N "" 1 N 0, hvis ben N "" 1 N 0 er lik forskjellen (YM 1 - YN 1) av avstanden til punktene M "og N" fra X 1-aksen. Lengden på hypotenusen M "" 1 N 0 til trekanten M "" 1 N "" 1 N 0 tilsvarer ønsket avstand fra M til b.

Andre løsning

  • Parallelt med CD introduserer vi et nytt frontalplan P 4. Den skjærer П 1 langs X 1-aksen, og X 1 ∥C "D". I samsvar med metoden for å erstatte fly, bestemmer vi projeksjonene av punktene C "" 1, D "" 1 og M "" 1, som vist på figuren.
  • Vinkelrett på C "" 1 D "" 1 bygger vi et ekstra horisontalt plan P 5, på hvilket den rette linjen b projiseres til punktet C "2 = b" 2.
  • Avstanden mellom punkt M og linje b bestemmes av lengden på segmentet M "2 C" 2, markert med rødt.

Lignende oppgaver:

LIGNENDE ARTIKLER