I denne leksjonen skal vi se på å redusere brøker til en fellesnevner og løse problemer om dette emnet. La oss gi en definisjon av begrepet en fellesnevner og en tilleggsfaktor, husk om gjensidige primtall. La oss definere begrepet minste fellesnevner (LCM) og løse en rekke problemer for å finne det.
Emne: Addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere
Leksjon: Konvertering av brøker til en fellesnevner
Gjentakelse. Hovedegenskapen til en brøk.
Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, får du en lik brøk.
For eksempel kan telleren og nevneren til en brøk deles på 2. Vi får en brøk. Denne operasjonen kalles brøkreduksjon. Du kan også utføre den inverse transformasjonen ved å multiplisere telleren og nevneren til brøken med 2. I dette tilfellet sier de at vi har redusert brøken til en ny nevner. Tallet 2 kalles den komplementære faktoren.
Konklusjon. En brøk kan reduseres til en hvilken som helst nevner, et multiplum av nevneren til en gitt brøk. For å bringe en brøk til en ny nevner, multipliseres telleren og nevneren med en tilleggsfaktor.
1. Før brøken til nevneren 35.
35 er et multiplum av 7, det vil si at 35 er delelig med 7 uten en rest. Dette betyr at denne transformasjonen er mulig. La oss finne en tilleggsfaktor. For å gjøre dette deler du 35 på 7. Vi får 5. Multipliser telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med 5.
2. Før brøken til nevneren 18.
La oss finne en tilleggsfaktor. For å gjøre dette deler vi den nye nevneren med den opprinnelige. Vi får 3. Multipliser telleren og nevneren til denne brøken med 3.
3. Før brøken til nevneren 60.
Ved å dele 60 på 15 får vi en ekstra multiplikator. Det er 4. Multipliser telleren og nevneren med 4.
4. Reduser brøken til nevneren 24
I enkle tilfeller utføres reduksjonen til en ny nevner i sinnet. Det er kun tillatt å angi en ekstra multiplikator utenfor parentesen like til høyre og over den opprinnelige brøken.
En brøk kan reduseres til en nevner på 15 og en brøk kan reduseres til en nevner på 15. Brøker har også en fellesnevner på 15.
Fellesnevneren for brøker kan være et hvilket som helst felles multiplum av nevnerne deres. For enkelhets skyld gir brøker den laveste fellesnevneren. Det er lik det minste felles multiplum av nevnerne til disse brøkene.
Eksempel. Reduser til laveste fellesnevner for brøken og.
Finn først det minste felles multiplum av nevnerne til disse brøkene. Dette tallet er 12. La oss finne en tilleggsfaktor for den første og den andre brøken. For å gjøre dette deler du 12 med 4 og 6. Tre er en tilleggsfaktor for den første brøken, og to for den andre. La oss redusere brøkene til nevneren 12.
Vi brakte brøkene til en fellesnevner, det vil si at vi fant brøker lik dem, som har samme nevner.
Regel. For å bringe brøker til laveste fellesnevner, trenger du
Først, finn det minste felles multiplum av nevnerne til disse brøkene, det vil være deres minste fellesnevner;
For det andre, del den laveste fellesnevneren med nevnerne til disse brøkene, det vil si finn en tilleggsfaktor for hver brøk.
For det tredje, multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren.
a) Reduser brøken og til en fellesnevner.
Den laveste fellesnevneren er 12. Tilleggsfaktoren for den første brøken er 4, og for den andre 3. Før brøkene til nevner 24.
b) Reduser brøken og til en fellesnevner.
Den laveste fellesnevneren er 45. Å dele 45 på 9 på 15 gir henholdsvis 5 og 3. Før brøkene til nevneren 45.
c) Reduser brøken og til en fellesnevner.
Fellesnevneren er 24. Tilleggsfaktorene er henholdsvis 2 og 3.
Noen ganger er det vanskelig å muntlig finne det laveste felles multiplum for nevnerne til disse brøkene. Deretter finner man fellesnevneren og tilleggsfaktorene ved å bruke primfaktorisering.
Reduser brøken og til en fellesnevner.
La oss dele tallene 60 og 168 i primfaktorer. La oss skrive dekomponeringen av 60 og legge til de manglende faktorene 2 og 7 fra den andre dekomponeringen. Multipliser 60 med 14 for å få en fellesnevner på 840. Komplementærfaktoren for den første brøken er 14. Komplementærfaktoren for den andre brøken er 5. Reduser brøkene til en fellesnevner på 840.
Bibliografi
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. og annen matematikk 6. - M .: Mnemosina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikk klasse 6. - Gymnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bak sidene i en lærebok i matematikk. - Utdanning, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Oppgaver til emnet matematikk karakter 5-6. - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematikk 5-6. En manual for elever i 6. klasse ved MEPhI-korrespondanseskolen. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. Matematikk: Lærebok-samtaler for 5-6 klassetrinn på ungdomsskolen. Biblioteket til læreren i matematikk. - Utdanning, 1989.
Du kan laste ned bøkene spesifisert i klausul 1.2. av denne leksjonen.
Hjemmelekser
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. et al. Matematikk 6. - M .: Mnemosina, 2012. (lenke se 1.2)
Lekser: # 297, # 298, # 300.
Andre oppdrag: # 270, # 290
Fellesnevner for brøker
Brøker OG har de samme nevnerne. De sier de har fellesnevner 25. Brøker og har forskjellige nevnere, men de kan bringes til en fellesnevner ved å bruke den grunnleggende egenskapen til brøker. For å gjøre dette finner vi et tall som er delelig med 8 og 3, for eksempel 24. La oss bringe brøkene til nevneren 24, for dette multipliserer vi telleren og nevneren til brøken med tilleggsfaktor 3. Tilleggsfaktoren skrives vanligvis til venstre over telleren:
Multipliser telleren og nevneren til brøken med en tilleggsfaktor på 8:
La oss bringe brøkene til en fellesnevner. Oftest fører brøker til den laveste fellesnevneren, som er det laveste felles multiplum av nevneren til en gitt brøk. Siden LCM (8, 12) = 24, kan brøkene reduseres til nevneren 24. Finn tilleggsfaktorene til brøkene: 24: 8 = 3, 24:12 = 2. Deretter
Flere brøker kan bringes til en fellesnevner.
Eksempel. La oss bringe brøkene til en fellesnevner. Siden 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, så er LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.
La oss finne flere brøkfaktorer og bringe dem til nevneren 150:
Sammenligning av brøker
I fig. 4.7 viser et segment AB med lengde 1. Det er delt inn i 7 like deler. Segmentet AC har en lengde og segmentet AD har en lengde.
Lengden på segmentet AD er større enn lengden på segmentet AC, dvs. brøkdelen er større enn brøkdelen
Av de to brøkene med fellesnevner er den med den største telleren større, dvs.
For eksempel eller
For å sammenligne hvilke som helst to brøker, bringes de til en fellesnevner, og deretter brukes regelen for å sammenligne brøker med en fellesnevner.
Eksempel. Sammenlign brøker
Løsning. LCM (8, 14) = 56. Da Siden 21> 20, da
Hvis den første brøken er mindre enn den andre, og den andre er mindre enn den tredje, er den første mindre enn den tredje.
Bevis. La tre brøker gis. La oss bringe dem til en fellesnevner. La etter det ha formen Siden den første brøken er mindre
sekund, deretter r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.
Brøken kalles riktig hvis telleren er mindre enn nevneren.
Brøken kalles feil hvis telleren er større enn eller lik nevneren.
For eksempel er brøker riktige og brøker er feil.
Den lovlige brøken er mindre enn 1 og den uekte brøken er større enn eller lik 1.
Denne artikkelen forklarer hvordan du bringer brøker til en fellesnevner og hvordan du finner den laveste fellesnevneren. Definisjoner er gitt, en regel for å redusere brøker til en fellesnevner er gitt, og praktiske eksempler vurderes.
Hva er fellesnevnerreduksjon?
Vanlige brøker har en teller øverst og en nevner nederst. Hvis brøker har samme nevner, sies de å bringes til en fellesnevner. For eksempel har brøkene 11 14, 17 14, 9 14 samme nevner 14. De bringes med andre ord til en fellesnevner.
Hvis brøkene har forskjellige nevnere, kan de alltid bringes til en fellesnevner ved hjelp av enkle handlinger. For å gjøre dette må du multiplisere telleren og nevneren med visse tilleggsfaktorer.
Det er klart at brøkene 4 5 og 3 4 ikke bringes til en fellesnevner. For å gjøre dette, må du bringe dem til nevneren 20 ved å bruke tilleggsfaktorene 5 og 4. Hvordan skal du gjøre dette? Multipliser telleren og nevneren av 4 5 med 4 og gang telleren og nevneren av 3 4 med 5. I stedet for brøk 4 5 og 3 4 får vi henholdsvis 16 20 og 15 20.
Fellesnevner for brøker
Å bringe brøker til en fellesnevner er å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene med faktorer slik at resultatet er identiske brøker med samme nevner.
Fellesnevner: definisjon, eksempler
Hva er fellesnevneren?
Fellesnevner
Fellesnevneren for en brøk er et hvilket som helst positivt tall som er felles multiplum av alle gitte brøker.
Med andre ord vil fellesnevneren til et sett med brøker være et naturlig tall som er jevnt delelig med alle nevnerne til disse brøkene.
Utvalget av naturlige tall er uendelig, og derfor har hvert sett med vanlige brøker per definisjon et uendelig sett med fellesnevnere. Det er med andre ord uendelig mange felles multipler for alle nevnerne til det opprinnelige settet med brøker.
Fellesnevneren for flere brøker er lett å finne ved å bruke definisjonen. La det være brøk 1 6 og 3 5. Fellesnevneren for brøkene er et hvilket som helst positivt felles multiplum av 6 og 5. Disse positive felles multiplene er 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 og så videre.
La oss se på et eksempel.
Eksempel 1. Fellesnevner
Kan brøken 1 3, 21 6, 5 12 reduseres til en fellesnevner, som er 150?
For å finne ut om dette er tilfelle, må du sjekke om 150 er et felles multiplum for nevnerne til brøker, det vil si for tallene 3, 6, 12. Med andre ord må tallet 150 være delelig med 3, 6, 12 uten en rest. La oss sjekke:
150 ÷ 3 = 50, 150 ÷ 6 = 25, 150 ÷ 12 = 12, 5
Derfor er ikke 150 fellesnevneren for disse brøkene.
Laveste fellesnevner
Det minste naturlige tallet fra settet med fellesnevnere i et sett med brøker kalles den laveste fellesnevneren.
Laveste fellesnevner
Den laveste fellesnevneren for en brøk er det minste tallet blant alle fellesnevnerne til disse brøkene.
Minste felles deler av et gitt tallsett er det minste felles multiplum (LCM). LCM for alle nevnere av brøker er den laveste fellesnevneren av disse brøkene.
Hvordan finner du laveste fellesnevner? Å finne det reduseres til å finne det minste felles multiplum av brøker. La oss se på et eksempel:
Eksempel 2. Finn den minste fellesnevneren
Finn den laveste fellesnevneren for brøkene 1 10 og 127 28.
Vi ser etter LCM for nummer 10 og 28. La oss dekomponere dem i hovedfaktorer og få:
10 = 2 5 28 = 2 2 7 H O K (15, 28) = 2 2 5 7 = 140
Hvordan bringe brøker til laveste fellesnevner
Det er en regel som forklarer hvordan man bringer brøker til en fellesnevner. Regelen består av tre punkter.
Regelen for å redusere brøker til en fellesnevner
- Finn den laveste fellesnevneren for brøkene.
- Finn en tilleggsfaktor for hver brøk. For å finne faktoren må du dele den laveste fellesnevneren med nevneren til hver brøk.
- Multipliser telleren og nevneren med tilleggsfaktoren som er funnet.
La oss vurdere bruken av denne regelen ved å bruke et spesifikt eksempel.
Eksempel 3. Redusere brøker til en fellesnevner
Det er brøk 3 14 og 5 18. La oss bringe dem til den laveste fellesnevneren.
Som regel finner vi først LCM for nevnerne til brøkene.
14 = 2 7 18 = 2 3 3 H O K (14, 18) = 2 3 3 7 = 126
Vi beregner tilleggsfaktorer for hver brøk. For 3 14 er tilleggsmultiplikatoren 126 ÷ 14 = 9, og for brøken 5 18 vil tilleggsmultiplikatoren være 126 ÷ 18 = 7.
Vi multipliserer telleren og nevneren for brøker med tilleggsfaktorer og får:
3 9 14 9 = 27 126, 5 7 18 7 = 35 126.
Redusere flere brøker til laveste fellesnevner
I henhold til den betraktede regelen kan ikke bare brøkpar, men også et større antall av dem bringes til en fellesnevner.
La oss gi et eksempel til.
Eksempel 4. Redusere brøker til en fellesnevner
Reduser brøkene 3 2, 5 6, 3 8 og 17 18 til laveste fellesnevner.
La oss beregne LCM for nevnerne. Vi finner LCM for tre eller flere tall:
H O C (2, 6) = 6 H O C (6, 8) = 24 H O C (24, 18) = 72 H O C (2, 6, 8, 18) = 72
For 3 2 er tilleggsmultiplikatoren 72 ÷ 2 = 36, for 5 6 er tilleggsmultiplikatoren 72 ÷ 6 = 12, for 3 8 er tilleggsmultiplikatoren 72 ÷ 8 = 9, til slutt, for 17 18 er tilleggsmultiplikatoren 72 ÷ 18 = 4.
Vi multipliserer brøkene med tilleggsfaktorer og går til laveste fellesnevner:
3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72
Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter
Materialet i denne artikkelen forklarer, hvordan finne den laveste fellesnevneren og hvordan bringe brøker til en fellesnevner... Først gis definisjonene av brøkens fellesnevner og laveste fellesnevner, og det vises også hvordan man finner fellesnevneren til brøkene. Følgende er en regel for å redusere brøker til en fellesnevner, og eksempler på bruk av denne regelen vurderes. Avslutningsvis analyseres eksempler på å bringe tre eller flere brøker til en fellesnevner.
Sidenavigering.
Hva kalles fellesnevnerreduksjon av brøker?
Nå kan vi si hva reduksjonen av brøker til en fellesnevner er. Fellesnevner for brøker Er multiplikasjonen av tellerne og nevnerne til disse brøkene med slike tilleggsfaktorer at resultatet blir brøker med de samme nevnerne.
Fellesnevner, definisjon, eksempler
Nå er det på tide å definere fellesnevneren for brøker.
Med andre ord, fellesnevneren til et sett med vanlige brøker er et hvilket som helst naturlig tall som er delelig med alle nevnerne til disse brøkene.
Det følger av definisjonen ovenfor at et gitt sett med brøker har uendelig mange fellesnevnere, siden det er uendelig mange felles multipler av alle nevnerne i det opprinnelige settet med brøker.
Ved å bestemme fellesnevneren for brøker kan du finne fellesnevnerne for gitte brøker. Anta for eksempel gitt brøkene 1/4 og 5/6, at nevnerne deres er henholdsvis 4 og 6. De positive felles multiplum av 4 og 6 er 12, 24, 36, 48, ... Hvilke som helst av disse tallene er fellesnevneren for 1/4 og 5/6.
For å konsolidere materialet, vurder løsningen til følgende eksempel.
Eksempel.
Kan brøkene 2/3, 23/6 og 7/12 reduseres til en fellesnevner på 150?
Løsning.
For å svare på spørsmålet som stilles, må vi finne ut om tallet 150 er et felles multiplum av nevnerne 3, 6 og 12. For å gjøre dette, sjekk om 150 er jevnt delelig med hvert av disse tallene (se om nødvendig reglene og eksemplene for å dele naturlige tall, samt regler og eksempler for å dele naturlige tall med en rest): 150: 3 = 50, 150: 6 = 25, 150: 12 = 12 (rest 6).
Så, 150 er ikke jevnt delelig med 12, så 150 er ikke et felles multiplum av 3, 6 og 12. Derfor kan ikke tallet 150 være fellesnevneren for de opprinnelige brøkene.
Svar:
Det er forbudt.
Den laveste fellesnevneren, hvordan finner jeg den?
I settet med tall som er fellesnevnerne til disse brøkene, er det det minste naturlige tallet, som kalles den laveste fellesnevneren. La oss formulere definisjonen av den minste fellesnevneren for disse brøkene.
Definisjon.
Laveste fellesnevner Er det minste antallet av alle fellesnevnere for disse brøkene.
Det gjenstår å finne ut hvordan du finner den minst felles faktoren.
Siden det er den minste positive fellesnevneren til et gitt sett med tall, er LCM for nevnerne til disse brøkene den minste fellesnevneren til disse brøkene.
Å finne den laveste fellesnevneren av brøker reduseres dermed til nevnerne til disse brøkene. La oss ta en titt på eksempelløsningen.
Eksempel.
Finn den laveste fellesnevneren for brøkene 3/10 og 277/28.
Løsning.
Nevnerne til disse brøkene er 10 og 28. Den ønskede laveste fellesnevneren finnes som LCM for tallene 10 og 28. I vårt tilfelle er det enkelt: siden 10 = 2 5 og 28 = 2 2 7, så er LCM (15, 28) = 2 2 5 7 = 140.
Svar:
140 .
Hvordan bringer du brøker til en fellesnevner? Regler, eksempler, løsninger
Vanlige brøker gir laveste fellesnevner. Vi skal nå skrive ned en regel som forklarer hvordan man bringer brøker til laveste fellesnevner.
Regelen for å redusere brøker til laveste fellesnevner består av tre trinn:
- Først finner man den laveste fellesnevneren av brøkene.
- For det andre beregnes en tilleggsfaktor for hver brøk ved å dele den laveste fellesnevneren med nevneren til hver brøk.
- For det tredje multipliseres telleren og nevneren for hver brøk med dens tilleggsfaktor.
La oss bruke den angitte regelen på løsningen av følgende eksempel.
Eksempel.
Før brøkene 5/14 og 7/18 til laveste fellesnevner.
Løsning.
La oss utføre alle trinnene i algoritmen for å redusere brøker til laveste fellesnevner.
Finn først den laveste fellesnevneren, som er det laveste felles multiplum av 14 og 18. Siden 14 = 2 7 og 18 = 2 3 3, er LCM (14, 18) = 2 3 3 7 = 126.
Nå beregner vi tilleggsfaktorene som brøkene 5/14 og 7/18 vil reduseres med til nevneren 126. For brøken 5/14 er tilleggsfaktoren 126: 14 = 9, og for brøken 7/18 er tilleggsfaktoren 126: 18 = 7.
Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene 5/14 og 7/18 med tilleggsfaktorer på henholdsvis 9 og 7. Vi har og 
.
Så å bringe brøkene 5/14 og 7/18 til laveste fellesnevner er fullført. Resultatet er brøk 45/126 og 49/126.
Brøker har forskjellig eller samme nevner. Den samme nevneren eller på annen måte kalles fellesnevner ha en brøkdel. Eksempel på fellesnevner:
\ (\ frac (17) (5), \ frac (1) (5) \)
Et eksempel på forskjellige nevnere for brøker:
\ (\ frac (8) (3), \ frac (2) (13) \)
Hvordan bringe en brøk til en fellesnevner?
Den første brøken har nevneren 3, den andre har 13. Du må finne et tall som er delelig med både 3 og 13. Dette tallet er 39.
Den første brøken må multipliseres med tilleggsfaktor 13. For at brøken ikke skal endres, må vi gange både telleren med 13 og nevneren.
\ (\ frac (8) (3) = \ frac (8 \ ganger \ farge (rød) (13)) (3 \ ganger \ farge (rød) (13)) = \ frac (104) (39) \)
Den andre brøken multipliseres med en tilleggsfaktor på 3.
\ (\ frac (2) (13) = \ frac (2 \ ganger \ farge (rød) (3)) (13 \ ganger \ farge (rød) (3)) = \ frac (6) (39) \)
Vi har brakt brøken til en fellesnevner:
\ (\ frac (8) (3) = \ frac (104) (39), \ frac (2) (13) = \ frac (6) (39) \)
Laveste fellesnevner.
La oss vurdere et annet eksempel:
La oss redusere brøkene \ (\ frac (5) (8) \) og \ (\ frac (7) (12) \) til en fellesnevner.
Fellesnevneren for tallene 8 og 12 kan være tallene 24, 48, 96, 120, ..., det er vanlig å velge laveste fellesnevner i vårt tilfelle er dette tallet 24.
Laveste fellesnevner Er det minste tallet som nevneren til den første og andre brøken deles med.
Hvordan finner du laveste fellesnevner?
Ved å telle opp tall, som nevneren til den første og andre brøken deles med og den minste av dem velges.
Vi trenger brøken med nevner 8 multiplisert med 3, og brøken med nevner 12 multiplisert med 2.
\ (\ begynne (justere) & \ frac (5) (8) = \ frac (5 \ ganger \ farge (rød) (3)) (8 \ ganger \ farge (rød) (3)) = \ frac (15) ) (24) \\\\ & \ frac (7) (12) = \ frac (7 \ ganger \ farge (rød) (2)) (12 \ ganger \ farge (rød) (2)) = \ frac ( 14) (24) \\\\ \ slutt (juster) \)
Hvis du ikke umiddelbart lykkes med å bringe brøkene til laveste fellesnevner, er det ikke noe galt i det, å løse eksempelet videre må du kanskje få svaret
Fellesnevneren kan finnes for alle to brøker; den kan være produktet av nevnerne til disse brøkene.
For eksempel:
Reduser brøkene \ (\ frac (1) (4) \) og \ (\ frac (9) (16) \) til laveste fellesnevner.
Den enkleste måten å finne en fellesnevner på er produktet av nevnerne 4⋅16 = 64. 64 er ikke den laveste fellesnevneren. I følge oppgaven skal du finne akkurat den laveste fellesnevneren. Derfor ser vi videre. Vi trenger et tall som kan være delelig med både 4 og 16, dette er tallet 16. Ta brøken til en fellesnevner, gang brøken med nevneren 4 med 4, og brøken med nevneren 16 med én. Vi får:
\ (\ begynne (justere) & \ frac (1) (4) = \ frac (1 \ ganger \ farge (rød) (4)) (4 \ ganger \ farge (rød) (4)) = \ frac (4) ) (16) \\\\ & \ frac (9) (16) = \ frac (9 \ ganger \ farge (rød) (1)) (16 \ ganger \ farge (rød) (1)) = \ frac ( 9) (16) \\\\ \ slutt (justere) \)
