Definisjon 1

Hvis for hvert par $ (x, y) $ av verdier av to uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ z $, så sies $ z $ å være en funksjon av to variabler $ (x, y) $. Notasjon: $ z = f (x, y) $.

Med hensyn til funksjonen $ z = f (x, y) $, vurder begrepene generelle (hele) og partielle inkrementer av en funksjon.

La en funksjon $ z = f (x, y) $ av to uavhengige variabler $ (x, y) $ gis.

Merknad 1

Siden variablene $ (x, y) $ er uavhengige, kan en av dem endres, mens den andre forblir konstant.

La oss gi variabelen $ x $ en økning på $ \ Delta x $, mens verdien av variabelen $ y $ holdes uendret.

Da vil funksjonen $ z = f (x, y) $ motta en inkrement, som vil bli kalt den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til variabelen $ x $. Betegnelse:

På samme måte, la oss gi variabelen $ y $ en økning på $ \ Delta y $, mens verdien av variabelen $ x $ holdes uendret.

Da vil funksjonen $ z = f (x, y) $ motta en inkrement, som vil bli kalt den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til variabelen $ y $. Betegnelse:

Hvis argumentet $ x $ er gitt inkrementet $ \ Delta x $, og argumentet $ y $ - inkrementet $ \ Delta y $, så er hele inkrementet til den gitte funksjonen $ z = f (x, y) $ oppnådd. Betegnelse:

Dermed har vi:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Eksempel 1

Løsning:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ er den partielle økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ i forhold til $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Eksempel 2

Beregn kvotienten og den totale økningen av funksjonen $ z = xy $ i punktet $ (1; 2) $ for $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ i forhold til $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - delvis økning av funksjonen $ z = f (x, y) $ med hensyn til $ y $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - full økning av funksjonen $ z = f (x, y) $.

Derfor,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0,1) \ cdot 2 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0,1) = 2,1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Merknad 2

Den totale økningen av en gitt funksjon $ z = f (x, y) $ er ikke lik summen av dens partielle inkrementer $ \ Delta _ (x) z $ og $ \ Delta _ (y) z $. Matematisk notasjon: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Eksempel 3

Sjekk påstandsanmerkning for funksjon

Løsning:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (oppnådd i eksempel 1)

Finn summen av de partielle inkrementene til den gitte funksjonen $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definisjon 2

Hvis for hver trippel $ (x, y, z) $ av verdier av tre uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ w $, så sies $ w $ å være en funksjon av tre variabler $ ( x, y, z) $ i dette området.

Notasjon: $ w = f (x, y, z) $.

Definisjon 3

Hvis for hver samling $ (x, y, z, ..., t) $ av verdier av uavhengige variabler fra en bestemt region er knyttet en viss verdi på $ w $, så sies $ w $ å være en funksjon av variablene $ (x, y, z, ..., t) $ i dette domenet.

Notasjon: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

For en funksjon av tre eller flere variabler, på samme måte som for en funksjon av to variabler, bestemmes partielle inkrementer for hver av variablene:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ ved $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z, ..., t) $ med $ t $.

Eksempel 4

Skriv kvotienten og den totale økningen til en funksjon

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ z $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - full økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ .

Eksempel 5

Beregn kvotienten og den totale økningen av funksjonen $ w = xyz $ i punktet $ (1; 2; 1) $ for $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Løsning:

Ved definisjonen av det private inkrementet finner vi:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - delvis økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $ med hensyn til $ z $;

Ved definisjonen av hele økningen finner vi:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - full økning av funksjonen $ w = f (x, y, z) $.

Derfor,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0,1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2,2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0,1) \ cdot 1 = 2,1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Fra et geometrisk synspunkt er den totale økningen av funksjonen $ z = f (x, y) $ (per definisjon, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) er lik inkrementet til plottapplikasjonsfunksjonen $ z = f (x, y) $ når du går fra punkt $ M (x, y) $ til punkt $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (fig. 1).

Bilde 1.

i medisinsk og biologisk fysikk

FOREDRAG nr. 1

DERIVAT- OG DIFFERENSIALFUNKSJON.

PRIVATE DERIVATER.

1. Konseptet med et derivat, dets mekaniske og geometriske betydning.

en ) Argumenter og funksjoner.

La funksjonen y = f (x) gis, hvor x er verdien av argumentet fra funksjonens domene. Hvis vi velger to verdier av argumentet xo og x fra et visst intervall av domenet til funksjonen, kalles forskjellen mellom de to verdiene til argumentet økningen av argumentet: x - xo = ∆x .

Verdien av argumentet x kan bestemmes gjennom x 0 og dets inkrement: x = x o + ∆x.

Forskjellen mellom to verdier av funksjonen kalles inkrementet til funksjonen: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Økningen av argumentet og funksjonen kan representeres grafisk (fig. 1). Argumentøkninger og funksjonsøkninger kan være enten positive eller negative. Som det følger av figur 1 geometrisk, er inkrementet til argumentet ∆х avbildet av inkrementet til abscissen, og inkrementet til funksjonen ∆у er representert ved inkrementet til ordinaten. Beregningen av funksjonsøkningen bør utføres i følgende rekkefølge:

gi argumentet en økning ∆x og få verdien - x + ∆x;

2) vi finner verdien av funksjonen for verdien av argumentet (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) vi finner inkrementet til funksjonen ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

Eksempel: Bestem økningen av funksjonen y = x 2 hvis argumentet har endret seg fra x o = 1 til x = 3. For punktet x o verdien av funksjonen f (x o) = x² o; for punktet (x о + ∆х) verdien av funksjonen f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = х2 о + 2х о ∆х + ∆х 2, hvorav ∆f = f (x о + ∆х) –f (х о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

b)Oppgaver som fører til begrepet et derivat. Definisjon av et derivat, dets fysiske betydning.

Konseptet med et argument- og funksjonsvekst er nødvendig for å introdusere konseptet med en derivativ, som historisk oppsto fra behovet for å bestemme hastigheten til visse prosesser.

Vurder hvordan du kan bestemme hastigheten på rettlinjet bevegelse. La kroppen bevege seg rettlinjet i henhold til loven: ∆Ѕ =  · ∆t. For jevn bevegelse:  = ∆Ѕ / ∆t.

For variabel bevegelse bestemmer verdien av ∆Ѕ / ∆t verdien av av. , dvs. jfr. = ∆Ѕ / ∆t. Men gjennomsnittshastigheten gjør det ikke mulig å reflektere egenskapene til kroppens bevegelser og gi en ide om den sanne hastigheten på tidspunktet t. Med en nedgang i tidsintervallet, dvs. ved ∆t → 0, tenderer gjennomsnittshastigheten til sin grense - den øyeblikkelige hastigheten:

 øyeblikkelig =
 Ons =
∆Ѕ / ∆t.

Den øyeblikkelige hastigheten til en kjemisk reaksjon bestemmes på samme måte:

 øyeblikkelig =
 Ons =
∆х / ∆t,

hvor x er mengden stoff som dannes under en kjemisk reaksjon i løpet av tiden t. Lignende oppgaver for å bestemme hastigheten til ulike prosesser førte til introduksjonen av konseptet med den deriverte av en funksjon i matematikk.

La en kontinuerlig funksjon f (x) gis, definert på intervallet] a, i [og dens inkrement ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
er en funksjon av ∆x og uttrykker den gjennomsnittlige endringshastigheten til funksjonen.

Forholdsgrense , når ∆х → 0, forutsatt at denne grensen eksisterer, kalles den deriverte av funksjonen :

y "x =

.

Den deriverte er betegnet:
- (primtall x slag); f " (x) - (eff slag med x) ; y "- (strek); dy / dх – (de igrek po de iks); - (spill med en prikk).

Basert på definisjonen av den deriverte, kan vi si at den øyeblikkelige hastigheten for rettlinjet bevegelse er den tidsderiverte av banen:

 øyeblikkelig = S "t = f " (t).

Dermed kan vi konkludere med at den deriverte av funksjonen med hensyn til argumentet x er den øyeblikkelige endringshastigheten til funksjonen f (x):

y "x = f " (x) =  øyeblikk.

Dette er den fysiske betydningen av derivatet. Prosessen med å finne en derivert kalles differensiering, så uttrykket "differensiere en funksjon" tilsvarer uttrykket "finn den deriverte av en funksjon".

v)Den geometriske betydningen av derivatet.

P
den deriverte av funksjonen y = f (x) har en enkel geometrisk betydning assosiert med konseptet med en tangent til en buet linje på et eller annet punkt M. Dessuten er tangenten, dvs. en rett linje uttrykkes analytisk som y = kx = tanx, hvor – hellingsvinkelen til tangenten (rett linje) til X-aksen La oss representere en kontinuerlig kurve som funksjon av y = f (x), ta et punkt M på kurven og et punkt M 1 nær denne og gi en sekant gjennom dem. Helningen til sek = tan β = Hvis punktet М 1 bringes nærmere M, vil inkrementet til argumentet ∆х vil tendere til null, og sekanten ved β = α vil ta posisjonen til tangenten. Fra fig. 2 følger: tgα =
tgβ =
= y "x. Men tgα er lik helningen til tangenten til grafen til funksjonen:

k = tgα =
= y "x = f " (X). Så helningen til tangenten til grafen til funksjonen ved et gitt punkt er lik verdien av dens deriverte ved tangenspunktet. Dette er den geometriske betydningen av derivatet.

G)Generell regel for å finne den deriverte.

Basert på definisjonen av et derivat, kan prosessen med å differensiere en funksjon representeres som følger:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

finn økningen til funksjonen: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

utgjør forholdet mellom funksjonen inkrement og argumentet inkrement:

;

Eksempel: f (x) = x 2; f " (x) = ?.

Men som det kan sees selv fra dette enkle eksempelet, er anvendelsen av den spesifiserte sekvensen når du tar derivater en arbeidskrevende og kompleks prosess. Derfor, for ulike funksjoner, introduseres generelle formler for differensiering, som presenteres i form av en tabell "Grunnleggende formler for differensiering av funksjoner".

I livet er vi ikke alltid interessert i de nøyaktige verdiene av noen mengder. Noen ganger er det interessant å vite endringen i denne verdien, for eksempel bussens gjennomsnittlige hastighet, forholdet mellom mengden bevegelse og tidsperioden, etc. For å sammenligne verdien av en funksjon på et tidspunkt med verdiene til samme funksjon på andre punkter, er det praktisk å bruke begreper som "funksjonsøkning" og "argumentøkning".

Begrepene "funksjonsøkning" og "argumentøkning"

Anta at x er et vilkårlig punkt som ligger i et område av punktet x0. Økningen av argumentet ved punktet x0 er forskjellen x-x0. Inkrementet er indikert som følger: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Noen ganger kalles denne verdien også økningen av den uavhengige variabelen ved punktet x0. Fra formelen følger: x = x0 + ∆x. I slike tilfeller sies det at startverdien til den uavhengige variabelen x0 fikk et inkrement ∆x.

Hvis vi endrer argumentet, vil også verdien av funksjonen endres.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

Økningen av funksjonen f i punktet x0, forskjellen f (x0 + ∆x) - f (x0) kalles tilsvarende økningen ∆x. Inkrementet til en funksjon er betegnet som ∆f. Dermed får vi per definisjon:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Noen ganger kalles ∆f også inkrementet til den avhengige variabelen og ∆y brukes til å betegne det hvis funksjonen for eksempel var y = f (x).

Geometrisk betydning av inkrement

Ta en titt på følgende figur.

Som du kan se, viser inkrementet endringen i ordinaten og abscissen til punktet. Og forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet bestemmer helningsvinkelen til sekanten som går gjennom den innledende og endelige posisjonen til punktet.

Tenk på eksempler på funksjons- og argumentøkninger

Eksempel 1. Finn økningen til argumentet ∆x og økningen til funksjonen ∆f i punktet x0, hvis f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

La oss bruke formlene gitt ovenfor:

a) ∆х = х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2,1) - f (2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Eksempel 2. Beregn inkrementet ∆f for funksjonen f (x) = 1 / x i punktet x0, hvis argumentinkrementet er lik ∆x.

Igjen vil vi bruke formlene oppnådd ovenfor.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0-∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).

La x være en vilkårlig punktis i et eller annet nabolag til et fast punkt x 0. forskjellen x - x 0 kalles vanligvis inkrementet til den uavhengige variabelen (eller inkrementet til argumentet) i punktet x 0 og er betegnet med Δx. På denne måten,

Δx = x –x 0,

hvor det følger det

Funksjonsøkning - forskjellen mellom de to verdiene til funksjonen.

La funksjonen på = f (x), definert når verdien av argumentet er lik X 0. Gi argumentet en økning D X, ᴛ.ᴇ. vurdere verdien av argumentet lik x 0 + D X... Anta at denne argumentverdien også er innenfor omfanget av denne funksjonen. Så forskjellen D y = f (x 0 + D X) – f (x 0) det er vanlig å kalle funksjonen inkrement. Funksjonsøkning f(x) på punktet x er en funksjon vanligvis betegnet med Δ x f på den nye variabelen Δ x definert som

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Finn økningen til argumentet og økningen av funksjonen ved punktet x 0, if

Eksempel 2. Finn økningen til funksjonen f (x) = x 2, hvis x = 1, ∆x = 0,1

Løsning: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Finn økningen til funksjonen ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /

Ved å erstatte verdiene x = 1 og ∆x = 0,1 får vi ∆f = 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 = 0,2 + 0,01 = 0,21

Finn økningen til argumentet og økningen av funksjonen ved punktet x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0,8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3,8

Definisjon: Avledet funksjon på et punkt, er det vanlig å kalle grensen (hvis den eksisterer og er endelig) for forholdet mellom funksjonsøkningen og argumentøkningen, forutsatt at sistnevnte har en tendens til null.

Følgende derivatbetegnelser er mest brukt:

På denne måten,

Å finne den deriverte kalles vanligvis differensiering ... Introdusert definisjon av differensierbar funksjon: En funksjon f som har en derivert i hvert punkt i et bestemt intervall kalles vanligvis differensierbar på et gitt intervall.

La en funksjon være definert i et eller annet område av et punkt; U(x 0) kan representeres som

f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)

hvis det finnes.

Bestemmelse av den deriverte av en funksjon i et punkt.

La funksjonen f (x) definert i intervallet (a; b), og er punktene i dette intervallet.

Definisjon... Derivativ funksjon f (x) på et tidspunkt er det vanlig å kalle grensen for forholdet mellom funksjonen inkrement og argumentet inkrement ved. Det er indikert.

Når den siste grensen får en bestemt sluttverdi, snakker de om eksistensen den endelige deriverte på punktet... Hvis grensen er uendelig, så sier de det avledet er uendelig på et gitt punkt... Hvis grensen ikke finnes, da den deriverte av funksjonen eksisterer ikke på dette tidspunktet.

Funksjon f (x) kalles differensierbar på et punkt når den har en endelig derivert.

Hvis funksjonen f (x) differensierbar på hvert punkt i et eller annet intervall (a; b), så kalles funksjonen differensierbar på dette intervallet. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, hvilket som helst punkt x i mellom (a; b) vi kan assosiere verdien av den deriverte av funksjonen på dette tidspunktet, det vil si at vi har muligheten til å definere en ny funksjon, som kalles den deriverte av funksjonen f (x) på intervallet (a; b).

Operasjonen med å finne en derivert kalles vanligvis differensiering.

La X- argument (uavhengig variabel); y = y (x)- funksjon.

La oss ta en fast verdi av argumentet x = x 0 og beregne verdien av funksjonen y 0 = y (x 0 ) ... Nå setter vi vilkårlig øke (endre) argumentet og angi det  X ( X kan ha et hvilket som helst tegn).

Inkrementelt argument er prikk X 0 +  X... Anta at den også inneholder verdien av funksjonen y = y (x 0 +  X)(se figur).

Dermed, med en vilkårlig endring i verdien av argumentet, oppnås en endring i funksjonen, som kalles trinnvis funksjonsverdier:

og er ikke vilkårlig, men avhenger av funksjonens form og verdien
.

Argument og funksjon inkrementer kan være endelig, dvs. uttrykt som konstante tall, i dette tilfellet kalles de noen ganger endelige forskjeller.

I økonomi vurderes endelige økninger ganske ofte. For eksempel inneholder tabellen data om lengden på jernbanenettet i en bestemt stat. Tydeligvis beregnes nettolengdeøkningen ved å trekke den forrige verdien fra den neste.

Vi vil vurdere lengden på jernbanenettet som en funksjon, hvis argumentasjon vil være tid (år).

	Jernbanelengde per 31. desember, tusen km	Øke	Gjennomsnittlig årlig vekst

I seg selv karakteriserer økningen av funksjonen (i dette tilfellet lengden på jernbanen) til nettverket dårlig endringen i funksjonen. I vårt eksempel, fra det faktum at 2,5>0,9 det kan ikke konkluderes med at nettverket vokste raskere i 2000-2003 år enn i 2004 g, fordi økningen 2,5 refererer til en treårsperiode, og 0,9 - med bare ett år. Derfor er det ganske naturlig at økningen av funksjonen fører til endringsenheten i argumentet. Argumentøkninger her er perioder: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Vi får det som heter i økonomisk litteratur gjennomsnittlig årlig vekst.

Det er mulig å unngå operasjonen med å konvertere inkrementet til endringsenheten for argumentet, hvis vi tar verdiene til funksjonen for verdiene til argumentet som avviker med én, noe som ikke alltid er mulig.

I matematisk analyse, spesielt i differensialregning, vurderes infinitesimale (BM) inkrementer av et argument og en funksjon.

Differensiering av en funksjon av én variabel (derivert og differensial) Derivert av en funksjon

Argument og funksjon øker på punkt X 0 kan betraktes som sammenlignbare infinitesimale størrelser (se tema 4, sammenligning av BM), dvs. BM av samme orden.

Da vil forholdet deres ha en endelig grense, som er definert som den deriverte av funksjonen ved m X 0 .

Grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og BM-økningen av argumentet ved punktet x = x 0 kalt derivat fungerer på et gitt punkt.

Den symbolske betegnelsen på derivatet med et primtall (eller rettere sagt, romertallet I) ble introdusert av Newton. Du kan også bruke et subscript, som viser hvilken variabel den deriverte er beregnet over, f.eks. ... En annen notasjon er også mye brukt, foreslått av grunnleggeren av beregningen av derivater, den tyske matematikeren Leibniz:
... Du vil lære mer om opprinnelsen til denne betegnelsen i avsnittet Funksjonsdifferensial og argumentdifferensial.

Dette tallet evaluerer hastighet endre funksjonen som går gjennom punktet
.

Installere geometrisk betydning avledet av funksjonen i punktet. For dette formålet plotter vi funksjonen y = y (x) og marker på den punktene som bestemmer endringen y (x) i mellomtiden

Tangenten til grafen til funksjonen i punktet M 0
vi vil vurdere begrensningsposisjonen til sekanten M 0 M sørget for
(punktum M skyver funksjonsgrafen til et punkt M 0 ).

Ta i betraktning
... Åpenbart,
.

Hvis punkt M flytt langs grafen til funksjonen mot punktet M 0 , deretter verdien
vil tendere til en viss grense, som vi betegner
... Hvori.

Begrensende vinkel  faller sammen med helningsvinkelen til tangenten tegnet til grafen til funksjonen, inkl. M 0 , altså den deriverte
numerisk lik hellingen til tangenten på det angitte punktet.

-

den geometriske betydningen av den deriverte av en funksjon i et punkt.

Dermed kan vi skrive ned likningene til tangenten og normalen ( vanlig Er en linje vinkelrett på tangenten) på grafen til funksjonen på et tidspunkt X 0 :

Tangent -.

Vanlig -
.

Av interesse er tilfellene når disse rette linjene er plassert horisontalt eller vertikalt (se emne 3, spesielle tilfeller av posisjonen til en rett linje på et plan). Deretter,

hvis
;

hvis
.

Definisjonen av den deriverte kalles differensiering funksjoner.

 Hvis funksjonen på punktet X 0 har en endelig avledet, så kalles den differensierbar På dette punktet. En funksjon som er differensierbar på alle punkter i et visst intervall kalles differensierbar på dette intervallet.

 Teorem . Hvis funksjonen y = y (x) differensierbar inkl. X 0 , så er den kontinuerlig på dette tidspunktet.

På denne måten, kontinuitet- en nødvendig (men ikke tilstrekkelig) betingelse for differensierbarheten til en funksjon.