Dette materialet er viet til et slikt konsept som vinkelen mellom to kryssende rette linjer. I første avsnitt vil vi forklare hva det er og vise det i illustrasjoner. Deretter vil vi analysere på hvilke måter du kan finne sinus, cosinus til denne vinkelen og selve vinkelen (vi vil separat vurdere tilfellene med et plan og tredimensjonalt rom), gi de nødvendige formlene og vise med eksempler hvordan de brukes i praksis.

For å forstå hva vinkelen dannes når to rette linjer krysser hverandre, må vi huske selve definisjonen av vinkelen, perpendikulæriteten og skjæringspunktet.

Definisjon 1

Vi kaller to linjer som krysser hverandre hvis de har ett felles punkt. Dette punktet kalles skjæringspunktet mellom de to linjene.

Hver linje er delt av et skjæringspunkt i stråler. I dette tilfellet danner begge rette linjer 4 vinkler, hvorav to er vertikale, og to er tilstøtende. Hvis vi vet målet til en av dem, kan vi bestemme de andre gjenværende.

Anta at vi vet at en av vinklene er lik α. I dette tilfellet vil vinkelen som er vertikal i forhold til den også være lik α. For å finne de resterende vinklene må vi beregne differansen 180 ° - α. Hvis α er lik 90 grader, vil alle vinkler være rette. Linjer som krysser hverandre i rette vinkler kalles vinkelrett (en egen artikkel er viet begrepet vinkelrett).

Ta en titt på bildet:

La oss gå videre til å formulere hoveddefinisjonen.

Definisjon 2

Vinkelen som dannes av to kryssende linjer er et mål på den minste av de 4 vinklene som de to linjene danner.

En viktig konklusjon må trekkes fra definisjonen: størrelsen på vinkelen i dette tilfellet vil bli uttrykt med et hvilket som helst reelt tall i intervallet (0, 90]. Hvis de rette linjene er vinkelrette, så vil vinkelen mellom dem uansett være lik 90 grader.

Evnen til å finne mål på vinkelen mellom to kryssende rette linjer er nyttig for å løse mange praktiske problemer. Løsningsmetoden kan velges fra flere alternativer.

For det første kan vi ta geometriske metoder. Hvis vi vet noe om tilleggsvinkler, så kan vi assosiere dem med vinkelen vi trenger ved å bruke egenskapene til like eller lignende former. For eksempel, hvis vi kjenner sidene til en trekant og vi trenger å beregne vinkelen mellom de rette linjene som disse sidene er plassert på, så passer cosinussetningen for oss. Hvis vi har en rettvinklet trekant i tilstanden, så vil kunnskap om sinus, cosinus og tangens til en vinkel også komme godt med ved beregninger.

Koordinatmetoden er også veldig praktisk for å løse problemer av denne typen. La oss forklare hvordan du bruker det riktig.

Vi har et rektangulært (kartesisk) koordinatsystem O x y, der to linjer er gitt. La oss betegne dem med bokstavene a og b. I dette tilfellet kan de rette linjene beskrives ved hjelp av alle ligninger. De opprinnelige linjene har et skjæringspunkt M. Hvordan bestemme den nødvendige vinkelen (betegn den med α) mellom disse rette linjene?

La oss starte med å formulere det grunnleggende prinsippet for å finne en vinkel under gitte forhold.

Vi vet at begrepet en rett linje er nært knyttet til begreper som retning og normalvektor. Hvis vi har en likning av en rett linje, kan vi ta koordinatene til disse vektorene fra den. Vi kan gjøre dette for to kryssende linjer samtidig.

Vinkelen dannet av to kryssende linjer kan bli funnet ved å bruke:

• vinkel mellom retningsvektorer;
• vinkel mellom normale vektorer;
• vinkelen mellom normalvektoren til en rett linje og retningsvektoren til den andre.

Nå vil vi vurdere hver metode separat.

1. Anta at vi har en rett linje a med en retningsvektor a → = (a x, a y) og en rett linje b med en retningsvektor b → (b x, b y). Nå vil vi utsette to vektorer a → og b → fra skjæringspunktet. Etter det skal vi se at de blir plassert på hver sin linje. Da har vi fire alternativer for deres relative stilling. Se illustrasjon:

Hvis vinkelen mellom de to vektorene ikke er stump, vil det være vinkelen vi trenger mellom de kryssende rette linjene a og b. Hvis den er stump, vil den søkte vinkelen være lik vinkelen ved siden av vinkelen a →, b → ^. Dermed er α = a →, b → ^ hvis a →, b → ^ ≤ 90 °, og α = 180 ° - a →, b → ^ hvis a →, b → ^> 90 °.

Basert på det faktum at cosinusene til like vinkler er like, kan vi omskrive de resulterende likhetene som følger: cos α = cos a →, b → ^, hvis a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, hvis a →, b → ^> 90 °.

I det andre tilfellet ble det brukt reduksjonsformler. På denne måten,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

La oss skrive den siste formelen med ord:

Definisjon 3

Cosinus til vinkelen dannet av to kryssende rette linjer vil være lik modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene.

Den generelle visningen av formelen for cosinus til vinkelen mellom to vektorer a → = (a x, a y) og b → = (b x, b y) ser slik ut:

cos a →, b → ^ = a →, b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Fra den kan vi utlede formelen for cosinus til vinkelen mellom to gitte rette linjer:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Da kan selve vinkelen bli funnet ved å bruke følgende formel:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Her er a → = (a x, a y) og b → = (b x, b y) retningsvektorer for gitte linjer.

La oss gi et eksempel på å løse problemet.

Eksempel 1

I et rektangulært koordinatsystem på planet er det gitt to kryssende rette linjer a og b. De kan beskrives med de parametriske ligningene x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R og x 5 = y - 6 - 3. Regn ut vinkelen mellom disse linjene.

Løsning

Vi har en parametrisk ligning i tilstanden, som betyr at vi for denne rette linjen umiddelbart kan skrive ned koordinatene til retningsvektoren. For å gjøre dette må vi ta verdiene til koeffisientene ved parameteren, dvs. den rette linjen x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R vil ha en retningsvektor a → = (4, 1).

Den andre rette linjen er beskrevet ved å bruke den kanoniske ligningen x 5 = y - 6 - 3. Her kan vi ta koordinatene fra nevnerne. Dermed har denne linjen en retningsvektor b → = (5, - 3).

Deretter går vi direkte til å finne vinkelen. For å gjøre dette, erstatter vi ganske enkelt de tilgjengelige koordinatene til de to vektorene i formelen ovenfor α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. Vi får følgende:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Svar: Disse rette linjene danner en vinkel på 45 grader.

Vi kan løse et lignende problem ved å finne vinkelen mellom normalvektorene. Hvis vi har en rett linje a med en normalvektor na → = (nax, nei) og en rett linje b med en normalvektor nb → = (nbx, nby), så vil vinkelen mellom dem være lik vinkelen mellom na → og nb → eller vinkelen, som vil være ved siden av na →, nb → ^. Denne metoden er vist på bildet:

Formlene for å beregne cosinus til vinkelen mellom kryssende rette linjer og denne vinkelen ved å bruke koordinatene til normale vektorer ser slik ut:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + a n x 2 + n a n 2 y

Her betegner n a → og n b → normalvektorene til to gitte linjer.

Eksempel 2

I et rektangulært koordinatsystem er to rette linjer gitt ved å bruke ligningene 3 x + 5 y - 30 = 0 og x + 4 y - 17 = 0. Finn sinus, cosinus til vinkelen mellom dem og verdien av denne vinkelen.

Løsning

De opprinnelige rette linjene er gitt ved bruk av normale rettlinjeligninger på formen A x + B y + C = 0. Normalvektoren er betegnet med n → = (A, B). La oss finne koordinatene til den første normalvektoren for én rett linje og skrive dem ned: n a → = (3, 5). For den andre rette linjen x + 4 y - 17 = 0, vil normalvektoren ha koordinater n b → = (1, 4). La oss nå legge til de oppnådde verdiene til formelen og beregne totalen:

cos α = cos n a →, n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Hvis vi kjenner cosinus til en vinkel, kan vi beregne sinus ved å bruke den grunnleggende trigonometriske identiteten. Siden vinkelen α dannet av rette linjer ikke er stump, er sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

I dette tilfellet er α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Svar: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

La oss undersøke det siste tilfellet - finne vinkelen mellom rette linjer, hvis vi kjenner koordinatene til retningsvektoren til en rett linje og normalvektoren til den andre.

Anta at linje a har en retningsvektor a → = (a x, a y), og linje b er en normalvektor n b → = (n b x, n b y). Vi må utsette disse vektorene fra skjæringspunktet og vurdere alle alternativer for deres relative posisjon. Se på bildet:

Hvis verdien av vinkelen mellom de gitte vektorene ikke er mer enn 90 grader, viser det seg at den vil komplementere vinkelen mellom a og b til en rett vinkel.

a →, n b → ^ = 90 ° - α hvis a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Hvis det er mindre enn 90 grader, får vi følgende:

a →, n b → ^> 90 °, deretter a →, n b → ^ = 90 ° + α

Ved å bruke regelen om likhet for cosinus med like vinkler, skriver vi:

cos a →, n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α som en →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α som en →, n b → ^> 90 °.

På denne måten,

sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 90 ° ⇔ sin α = cos a →, nb → ^, a →, nb → ^> 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

La oss formulere en konklusjon.

Definisjon 4

For å finne sinusen til vinkelen mellom to rette linjer som skjærer hverandre på planet, må du beregne modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektoren til den første linjen og normalvektoren til den andre.

La oss skrive ned de nødvendige formlene. Finne sinusen til en vinkel:

sin α = cos a →, n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Å finne selve hjørnet:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Her er a → retningsvektoren til den første linjen, og n b → er normalvektoren til den andre.

Eksempel 3

To kryssende rette linjer er gitt av ligningene x - 5 = y - 6 3 og x + 4 y - 17 = 0. Finn skjæringsvinkelen.

Løsning

Vi tar koordinatene til retnings- og normalvektorene fra de gitte ligningene. Det viser seg a → = (- 5, 3) og n → b = (1, 4). Vi tar formelen α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 og vurderer:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Vær oppmerksom på at vi tok likningene fra forrige oppgave og fikk nøyaktig samme resultat, men på en annen måte.

Svar:α = a r c sin 7 2 34

Her er en annen måte å finne ønsket vinkel ved å bruke bakkene til de gitte rette linjene.

Vi har en linje a, som er gitt i et rektangulært koordinatsystem ved hjelp av ligningen y = k 1 x + b 1, og en linje b, som er definert som y = k 2 x + b 2. Dette er ligninger av rette linjer med en helning. For å finne skjæringsvinkelen, bruk formelen:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, hvor k 1 og k 2 er stigningene til de gitte rette linjene. For å få denne posten ble formlene for å bestemme vinkelen i form av koordinatene til normale vektorer brukt.

Eksempel 4

Det er to kryssende rette linjer på planet, gitt av ligningene y = - 3 5 x + 6 og y = - 1 4 x + 17 4. Regn ut skjæringsvinkelen.

Løsning

Helningene til linjene våre er k 1 = - 3 5 og k 2 = - 1 4. Legg dem til formelen α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 og beregn:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Svar:α = a r c cos 23 2 34

I konklusjonene til dette avsnittet skal det bemerkes at formlene for å finne vinkelen gitt her ikke trenger å læres utenat. For å gjøre dette er det nok å kjenne koordinatene til guidene og / eller normalvektorene til de gitte rette linjene og være i stand til å bestemme dem ved hjelp av forskjellige typer ligninger. Men det er bedre å huske eller skrive ned formlene for å beregne cosinus til en vinkel.

Hvordan beregne vinkelen mellom kryssende linjer i rommet

Beregningen av en slik vinkel kan reduseres til å beregne koordinatene til retningsvektorene og bestemme verdien av vinkelen som dannes av disse vektorene. For slike eksempler brukes samme resonnement som vi ga før.

La oss si at vi har et rektangulært koordinatsystem plassert i 3D-rom. Den inneholder to rette linjer a og b med et skjæringspunkt M. For å beregne koordinatene til retningsvektorene, må vi kjenne likningene til disse linjene. Vi betegner retningsvektorene a → = (a x, a y, a z) og b → = (b x, b y, b z). For å beregne cosinus til vinkelen mellom dem bruker vi formelen:

cos α = cos a →, b → ^ = a →, b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

For å finne selve vinkelen trenger vi denne formelen:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Eksempel 5

Vi har en rett linje definert i tredimensjonalt rom ved å bruke ligningen x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Det er kjent at den skjærer Oz-aksen. Regn ut skjæringsvinkelen og cosinus for den vinkelen.

Løsning

La oss betegne vinkelen som skal beregnes med bokstaven α. La oss skrive ned koordinatene til retningsvektoren for den første rette linjen - a → = (1, - 3, - 2). For den aktuelle aksen kan vi ta koordinatvektoren k → = (0, 0, 1) som retning. Vi har mottatt de nødvendige dataene og kan legge dem til den nødvendige formelen:

cos α = cos a →, k → ^ = a →, k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Som et resultat fikk vi at vinkelen vi trenger vil være lik a r c cos 1 2 = 45 °.

Svar: cos α = 1 2, α = 45 °.

Hvis du oppdager en feil i teksten, velg den og trykk Ctrl + Enter

VINKEL MELLOM FLY

Tenk på to plan α 1 og α 2, gitt henholdsvis av ligningene:

Under vinkel mellom to plan mener vi en av de dihedrale vinklene som dannes av disse planene. Det er klart at vinkelen mellom normalvektorene og planene α 1 og α 2 er lik en av de indikerte tilstøtende dihedrale vinklene eller ... Så ... Fordi og , deretter

.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom planene x+2y-3z+ 4 = 0 og 2 x+3y+z+8=0.

Tilstand for parallellitet av to plan.

To plan α 1 og α 2 er parallelle hvis og bare hvis deres normalvektorer og er parallelle, som betyr .

Så to plan er parallelle med hverandre hvis og bare hvis koeffisientene ved de tilsvarende koordinatene er proporsjonale:

eller

Betingelse for vinkelrett av plan.

Det er klart at to plan er vinkelrette hvis og bare hvis deres normale vektorer er vinkelrette, og derfor, eller.

På denne måten, .

Eksempler.

RETT I ROMMET.

VEKTORLINJELIGNING.

PARAMETRISKE LIGNINGER AV LINJE

Posisjonen til en rett linje i rommet bestemmes fullstendig ved å spesifisere noen av dens faste punkter M 1 og en vektor parallelt med denne linjen.

En vektor parallell med en rett linje kalles veiledning vektor av denne linjen.

Så la det være rett l går gjennom punktet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) liggende på en rett linje parallelt med vektoren.

Tenk på et vilkårlig poeng M (x, y, z) på en rett linje. Figuren viser det .

Vektorer og er kollineære, så det er et slikt tall t, hva, hvor er faktoren t kan ta hvilken som helst numerisk verdi avhengig av posisjonen til punktet M på en rett linje. Faktor t kalt en parameter. Angir radiusvektorene til punktene M 1 og M henholdsvis gjennom og, vi får. Denne ligningen kalles vektor ligning av en rett linje. Det viser det for hver verdi av parameteren t tilsvarer radiusvektoren til et punkt M liggende på en rett linje.

La oss skrive denne ligningen i koordinatform. Legg merke til det , og herfra

De resulterende ligningene kalles parametrisk ligninger av en rett linje.

Når du endrer en parameter t koordinatene endres x, y og z og pek M beveger seg i en rett linje.

Kanoniske rette ligninger

La M 1 (x 1 , y 1 , z 1) er et punkt som ligger på en rett linje l, og Er retningsvektoren. Igjen, ta et vilkårlig punkt på en rett linje M (x, y, z) og vurdere en vektor.

Det er klart at vektorer og er kollineære, så deres tilsvarende koordinater må være proporsjonale, derfor

– kanonisk ligninger av den rette linjen.

Merknad 1. Merk at de kanoniske ligningene til den rette linjen kan fås fra de parametriske ved å ekskludere parameteren t... Faktisk, fra de parametriske ligningene vi får eller .

Eksempel. Skriv ligningen til en rett linje i parametrisk form.

Vi angir , herfra x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Merknad 2. La den rette linjen være vinkelrett på en av koordinataksene, for eksempel aksen Okse... Da er retningsvektoren vinkelrett Okse, derfor, m= 0. Følgelig tar de parametriske ligningene til den rette linjen formen

Eliminering av parameteren fra ligningene t, får vi ligningene til den rette linjen i formen

Men også i dette tilfellet er vi enige om å formelt skrive de kanoniske ligningene til den rette linjen i skjemaet ... Således, hvis nevneren til en av brøkene er null, betyr dette at linjen er vinkelrett på den tilsvarende koordinataksen.

Tilsvarende de kanoniske ligningene tilsvarer en rett linje vinkelrett på aksene Okse og Oy eller parallelt med aksen Oz.

Eksempler.

GENERELLE LIGNINGER AV EN LINJE SOM EN Skjæringslinje AV TO FLY

Et utallig antall fly passerer gjennom hver rett linje i rommet. Hvilke som helst to av dem, kryssende, definerer det i rommet. Følgelig representerer likningene til alle to slike plan, sett sammen, likningene til denne rette linjen.

Generelt, alle to ikke-parallelle plan gitt av de generelle ligningene

definere skjæringslinjen deres. Disse ligningene kalles generelle ligninger rett.

Eksempler.

Konstruer en rett linje gitt ved ligninger

For å bygge en rett linje er det nok å finne to av punktene. Den enkleste måten er å velge skjæringspunktene til linjen med koordinatplanene. For eksempel skjæringspunktet med flyet xOy vi får fra ligningene til den rette linjen, innstilling z= 0:

Etter å ha løst dette systemet, finner vi poenget M 1 (1;2;0).

Tilsvarende innstilling y= 0, får vi skjæringspunktet for den rette linjen med planet xOz:

Fra de generelle ligningene til en rett linje kan du gå til dens kanoniske eller parametriske ligninger. For å gjøre dette, må du finne et poeng M 1 på linjen og retningsvektoren til linjen.

Punktkoordinater M 1 vil bli oppnådd fra dette ligningssystemet ved å tildele en vilkårlig verdi til en av koordinatene. For å finne retningsvektoren, merk at denne vektoren må være vinkelrett på begge normalvektorene og ... Derfor, bak retningsvektoren til den rette linjen l vi kan ta kryssproduktet av normale vektorer:

.

Eksempel. Gi de generelle ligningene for den rette linjen til den kanoniske formen.

Finn et punkt på en rett linje. For å gjøre dette velger vi vilkårlig en av koordinatene, for eksempel, y= 0 og løs ligningssystemet:

Normalvektorer til planene som definerer den rette linjen har koordinater Derfor vil retningsvektoren til den rette linjen være

... Derfor, l: .

VINKEL MELLOM RETT

Hjørne mellom rette linjer i rommet vil vi kalle noen av de tilstøtende vinklene dannet av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.

La to rette linjer gis i rommet:

Åpenbart kan vinkelen mellom de rette linjene tas som vinkelen mellom retningsvektorene deres og. Siden da, i henhold til formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorene, får vi

Hver student som forbereder seg til eksamen i matematikk vil finne det nyttig å gjenta temaet «Finne vinkelen mellom rette linjer». Som statistikk viser, forårsaker problemer i denne delen av stereometrien vanskeligheter for et stort antall studenter ved bestått sertifiseringstesten. Samtidig finnes oppgaver som krever å finne vinkelen mellom rette linjer i BRUK av både grunn- og profilnivå. Det betyr at alle skal kunne løse dem.

Grunnleggende øyeblikk

Det er 4 typer gjensidig arrangement av rette linjer i rommet. De kan falle sammen, krysse hverandre, være parallelle eller krysse hverandre. Vinkelen mellom dem kan være skarp eller rett.

For å finne vinkelen mellom de rette linjene i eksamen eller for eksempel i løsningen, kan skolebarn i Moskva og andre byer bruke flere metoder for å løse problemer i denne delen av stereometri. Du kan fullføre oppgaven ved å bruke klassiske konstruksjoner. For å gjøre dette er det verdt å lære de grunnleggende aksiomer og teoremer for stereometri. Eleven må kunne logisk bygge resonnement og lage tegninger for å bringe oppgaven til et planimetrisk problem.

Du kan også bruke vektorkoordinatmetoden ved å bruke enkle formler, regler og algoritmer. Det viktigste i dette tilfellet er å gjøre alle beregningene riktig. Det pedagogiske prosjektet "Shkolkovo" vil hjelpe deg med å finpusse ferdighetene dine i å løse problemer i stereometri og andre deler av skolekurset.

Definisjon

En geometrisk figur som består av alle punkter i planet innelukket mellom to stråler som kommer ut fra ett punkt kalles flat vinkel.

Definisjon

Vinkelen mellom de to kryssende rett er verdien av den minste planvinkelen i skjæringspunktet mellom disse rette linjene. Hvis to rette linjer er parallelle, blir vinkelen mellom dem tatt til null.

Verdien av vinkelen mellom to kryssende rette linjer (hvis du måler plane vinkler i radianer) kan variere fra null til $ \ dfrac (\ pi) (2) $.

Definisjon

Vinkelen mellom to kryssede linjer kalt verdien lik vinkelen mellom to kryssende rette linjer parallelt med krysset. Vinkelen mellom de rette linjene $ a $ og $ b $ er betegnet $ \ vinkel (a, b) $.

Riktigheten av den introduserte definisjonen følger av følgende teorem.

Planvinkelteorem med parallelle sider

Verdiene til to konvekse planvinkler med henholdsvis parallelle og like rettede sider er like.

Bevis

Hvis hjørnene er brettet ut, er de begge lik $ \ pi $. Hvis de ikke er utfoldet, sett til side like segmenter $ ON = O_1ON_1 $ og $ OM = O_1M_1 $ på de tilsvarende sidene av vinklene $ \ vinkel AOB $ og $ \ vinkel A_1O_1B_1 $.

Firkanten $ O_1N_1NO $ er et parallellogram siden dens motsatte sider $ ON $ og $ O_1N_1 $ er like og parallelle. På samme måte er firkanten $ O_1M_1MO $ et parallellogram. Derfor er $ NN_1 = OO_1 = MM_1 $ og $ NN_1 \ parallell OO_1 \ parallell MM_1 $, derfor $ NN_1 = MM_1 $ og $ NN_1 \ parallell MM_1 $ ved transitivitet. Firkanten $ N_1M_1MN $ er et parallellogram, siden dens motsatte sider er like og parallelle. Dette betyr at segmentene $ NM $ og $ N_1M_1 $ er like. Trekanter $ ONM $ og $ O_1N_1M_1 $ er like i trekanters tredje likhetstegnet, som betyr at de tilsvarende vinklene $ \ vinkel NOM $ og $ \ vinkel N_1O_1M_1 $ er like.