I livet må vi ofte håndtere matematiske problemer: på skolen, på universitetet, og deretter hjelpe barnet vårt med lekser. Personer i visse yrker vil daglig bli eksponert for matematikk. Derfor er det nyttig å huske eller huske matematiske regler. I denne artikkelen vil vi analysere en av dem: finne benet til en rettvinklet trekant.
Hva er en rettvinklet trekant
Til å begynne med, la oss huske hva en rettvinklet trekant er. En rettvinklet trekant er en geometrisk figur av tre linjestykker som forbinder punkter som ikke ligger på én rett linje, og et av hjørnene på denne figuren er 90 grader. Sidene som danner en rett vinkel kalles ben, og siden som ligger motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen.
Finn beinet til en rettvinklet trekant
Det er flere måter å finne ut lengden på benet. Jeg vil gjerne vurdere dem mer detaljert.
Pythagoras teorem for å finne benet til en rettvinklet trekant
Hvis vi kjenner hypotenusen og benet, kan vi finne lengden på det ukjente benet ved å bruke Pythagoras teorem. Det høres slik ut: "Kvadratet til hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena." Formel: c² = a² + b², hvor c er hypotenusen, a og b er ben. Vi transformerer formelen og får: a² = c²-b².
Eksempel. Hypotenusen er 5 cm, og benet er 3 cm Vi transformerer formelen: c² = a² + b² → a² = c²-b². Så bestemmer vi: a² = 5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a = √16; a = 4 (cm).
Trigonometriske forhold for å finne benet til en rettvinklet trekant
Du kan også finne et ukjent ben hvis en annen side og en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er kjent. Det er fire alternativer for å finne et ben ved hjelp av trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, cotangens. For å løse problemer vil tabellen nedenfor hjelpe oss. La oss vurdere disse alternativene.
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke sinus
Sinusen til vinkelen (sin) er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen. Formel: sin = a / c, hvor a er benet motsatt en gitt vinkel, og c er hypotenusen. Deretter transformerer vi formelen og får: a = sin * c.
Eksempel. Hypotenusen er 10 cm, vinkelen A er 30 grader. I følge tabellen beregner vi sinusen til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter, ved hjelp av den transformerte formelen, løser vi: a = sin∠А * c; a = 1/2 * 10; a = 5 (cm).
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke cosinus
Vinkelens cosinus (cos) er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Formel: cos = b / c, hvor b er benet ved siden av den gitte vinkelen, og c er hypotenusen. La oss transformere formelen og få: b = cos * c.
Eksempel. Vinkel A er 60 grader, hypotenusen er 10 cm I følge tabellen regner vi ut cosinus til vinkel A, den er 1/2. Så bestemmer vi: b = cos∠A * c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).
Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke tangenten
Tangensen til vinkelen (tg) er forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende benet. Formel: tg = a / b, der a er benet motsatt hjørnet, og b er det tilstøtende. Vi transformerer formelen og får: a = tg * b.
Eksempel. Vinkel A er lik 45 grader, hypotenusen er lik 10 cm I følge tabellen beregner vi tangenten til vinkel A, den er lik Løs: a = tg∠A * b; a = 1 * 10; a = 10 (cm).
Finn benet til en rettvinklet trekant ved å bruke cotangensen
Kotangensen til en vinkel (ctg) er forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte benet. Formel: ctg = b / a, hvor b er benet ved siden av hjørnet, a er det motsatte benet. Med andre ord er en cotangens en "invertert tangent". Vi får: b = ctg * a.
Eksempel. Vinkel A er 30 grader, motsatt ben er 5 cm. I følge tabellen er tangenten til vinkel A √3. Regn ut: b = ctg∠A * a; b = √3 * 5; b = 5√3 (cm).
Så nå vet du hvordan du finner et ben i en rettvinklet trekant. Som du kan se, er dette ikke så vanskelig, det viktigste er å huske formlene.
Side en trekant kan oppdages ikke bare langs omkretsen og området, men også langs en gitt side og hjørner. For dette brukes trigonometriske funksjoner - sinus og til sinus... Problemer med deres anvendelse finnes i skolegeometrikurset, så vel som i universitetskurset i analytisk geometri og lineær algebra.
Bruksanvisning
1. Hvis en av sidene av trekanten og vinkelen mellom den og den andre siden av den er kjent, bruk trigonometriske funksjoner - sinus ohm og co sinus ohm. Se for deg en rettvinklet trekant HBC med en vinkel? er lik 60 grader. HBC-trekanten er vist på figuren. På grunn av sinus, som er kjent, representerer forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, og til sinus- forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen, for å løse problemet, bruk det videre forholdet mellom disse parameterne: sin? = HB / BC Følgelig, hvis du vil kjenne benet til en rettvinklet trekant, uttrykk det gjennom hypotenusen i en videre vei: HB = BC * synd?
2. Hvis i tilstanden til problemet, tvert imot, trekantens ben er gitt, finn hypotenusen, veiledet av det videre forholdet mellom de gitte verdiene: BC = НB / sin? Analogt, finn sidene til trekanten og bruker co sinus a, endrer det forrige uttrykket på en annen måte: cos? = HC / BC
3. I elementær matematikk er det en representasjon av teoremet sinus ov. Styrt av fakta som denne teoremet beskriver, er det også tillatt å oppdage sidene i en trekant. I tillegg lar den deg oppdage sidene til en trekant innskrevet i en sirkel, hvis vi kjenner radiusen til sistnevnte. For å gjøre dette, bruk forholdet nedenfor: a / sin? = B / sin b = c / sin y = 2R Denne teoremet kan brukes i tilfellet når de to sidene og vinkelen til trekanten er kjente, eller et av hjørnene av trekanten og radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt den er gitt. ...
4. Bortsett fra teoremet sinus ov, det er også et teorem som ligner det i hovedsak. sinus ov, som, som den forrige, også gjelder trekanter av alle 3 varianter: rektangulær, spissvinklet og stump. Styrt av fakta som beviser dette teoremet, er det tillatt å finne ukjente størrelser ved å bruke følgende relasjoner mellom dem: c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab * cos?
En geometrisk figur som består av tre punkter som ikke tilhører en rett linje kalt toppunkter, og tre segmenter som forbinder dem i par, kalt sider, kalles en trekant. Det er mange oppgaver for å finne sidene og vinklene til en trekant fra et begrenset antall innledende data, en av slike oppgaver er å finne siden til en trekant langs en av sidene og to hjørner .
Bruksanvisning
1. La trekanten ABC bygges og BC-siden og vinklene er berømte. og ??. Det er kjent at summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er lik 180?, derfor i trekanten ABC er vinkelen ?? vil være lik ?? = 180? - (?? + ??) Det er tillatt å oppdage sidene AC og AB ved å bruke sinussetningen som sier AB / sin ?? = BC / synd ?? = AC / synd ?? = 2 * R, hvor R er radiusen til en sirkel omskrevet om en trekant ABC, da får vi R = BC / sin ??, AB = 2 * R * sin ??, AC = 2 * R * sin ?? Teoremet om sinus kan brukes for alle data 2 hjørner og side.
2. Sidene til en gitt trekant kan oppdages ved å beregne arealet ved hjelp av formelen S = 2 * R? * synd ?? * synd ?? * sin ??, hvor R beregnes av formelen R = BC / sin ??, R er radiusen til den beskrevne trekanten? ABC herfra Da side AB er tillatt å bli oppdaget ved å beregne høyden falt på den h = BC * sin ??, fra formelen S = 1/2 * h * AB har vi AB = 2 * S / h På samme måte er det tillatt å beregne side AC.
3. Hvis de ytre vinklene til trekanten er gitt som vinkler ?? og ??, så er det tillatt å oppdage indre vinkler med støtte fra de tilsvarende forholdstallene ?? = 180? - ??, ?? = 180? - ??, ?? = 180? - (?? + ??). Deretter handler vi på samme måte som de to første punktene.
Forståelsen av trekanter har blitt utført av matematikere i flere årtusener. Vitenskapen om trekanter - trigonometri - bruker spesielle størrelser: sinus og cosinus.
Høyre trekant
Opprinnelig dukket sinus og cosinus opp på grunn av behovet for å beregne mengder i rettvinklede trekanter. Det ble lagt merke til at hvis verdien av gradmålet for vinkler i en rettvinklet trekant ikke endres, forblir sideforholdet, uansett hvor mye disse sidene endrer seg i lengde, alltid identiske. Dette er hvordan sinus- og cosinusrepresentasjonene ble introdusert. Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, og cosinus er den ved siden av hypotenusen.
Cosinus og sinus teoremer
Men cosinus og sinus kan brukes ikke bare i rettvinklede trekanter. For å finne verdien av en stump eller spiss vinkel, sider av en hvilken som helst trekant, er det nok å bruke teoremet om cosinus og sinus. Cosinussetningen er ganske primitiv: "Kvadraten på siden av en trekant er lik summen av kvadratene til 2 andre sider minus dobbeltproduktet av disse sidene med cosinus til vinkelen mellom dem." Det er to tolkninger av sinussetningen: liten og utvidet. I følge den lille: "I en trekant er vinklene proporsjonale med de motsatte sidene." Denne teoremet utvides ofte på grunn av egenskapen til en sirkel omskrevet om en trekant: "I en trekant er vinklene proporsjonale med de motsatte sidene, og deres forhold er lik diameteren til den omskrevne sirkelen."
Derivater
En derivert er et matematisk verktøy som viser hvor raskt en funksjon endres i forhold til metamorfosen av argumentet. Derivater brukes i algebra, geometri, økonomi og fysikk, og en rekke tekniske disipliner. Når du løser problemer, må du kjenne tabellverdiene til derivatene av trigonometriske funksjoner: sinus og cosinus. Den deriverte av sinus er cosinus, og cosinus er sinus, men med et minustegn.
Søknad i matematikk
Spesielt ofte brukes sinus og cosinus når man løser rettvinklede trekanter og problemer knyttet til dem. Bekvemmeligheten med sinus og cosinus gjenspeiles i teknologi. Vinkler og sider ble primitivt evaluert av teoremene om cosinus og sinus, og bryte vanskelige former og objekter i "primitive" trekanter. Ingeniører og arkitekter, som ofte arbeider med sideforholdsberegninger og gradmål, brukte mye tid og krefter på å beregne cosinus og sinus for vinkler som ikke er tabellformede. Da kom Bradis-tabeller til unnsetning, som inneholder tusenvis av verdier av sinus, cosinus, tangenter og cotangenter i forskjellige vinkler. I sovjettiden tvang noen lærere elevene sine til å lære sidene til Bradis-tabellene utenat.
Hvis problemet gir lengdene til de to sidene av en trekant og vinkelen mellom dem, kan du bruke formelen for arealet av en trekant i form av sinus.
Et eksempel på å beregne arealet til en trekant gjennom en sinus. Gitt sidene a = 3, b = 4, og vinkelen γ = 30 °. Sinusen til en vinkel på 30° er 0,5 
Arealet av trekanten vil være 3 kvadratmeter. cm.
Det kan også være andre forhold. Hvis lengden på den ene siden og vinklene er gitt, må du først beregne den manglende vinkelen. Fordi summen av alle vinklene i trekanten er 180°, da:
Arealet vil være lik halvparten av kvadratet på siden multiplisert med brøken. Dens teller inneholder produktet av sinusene til de tilstøtende vinklene, og nevneren er sinusen til den motsatte vinkelen. Nå beregner vi arealet ved å bruke følgende formler:
For eksempel gitt en trekant med siden a = 3 og vinklene γ = 60 °, β = 60 °. Vi beregner den tredje vinkelen: 
Bytter data inn i formelen
Vi får at arealet av trekanten er 3,87 kvadratmeter. cm.
II. Arealet av en trekant når det gjelder cosinus
For å finne arealet til en trekant, må du vite lengdene på alle sider. Ved cosinus-teoremet kan ukjente sider bli funnet, og kun da brukes.
Ved cosinussetningen er kvadratet på den ukjente siden i en trekant lik summen av kvadratene til de gjenværende sidene minus dobbeltproduktet av disse sidene med cosinus til vinkelen mellom dem.
Fra teoremet utleder vi formler for å finne lengden på den ukjente siden:
Når du vet hvordan du finner den manglende siden, har to sider og vinkelen mellom dem, kan du enkelt beregne arealet. Formelen for arealet av en trekant når det gjelder cosinus hjelper deg raskt og enkelt å finne en løsning på ulike problemer.
Et eksempel på beregning av formelen for arealet av en trekant i form av cosinus
Du får en trekant med kjente sider a = 3, b = 4 og en vinkel γ = 45 °. Først, finn den manglende siden Med... I cosinus 45 ° = 0,7. For å gjøre dette, erstatter vi dataene i ligningen utledet fra cosinussetningen.
Nå, ved å bruke formelen, finner vi
Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av sidene med sinusen til vinkelen mellom dem.
Bevis:
Tenk på en vilkårlig trekant ABC. La siden BC = a, siden CA = b og S være arealet av denne trekanten. Det er nødvendig å bevise det S = (1/2) * a * b * sin (C).
Til å begynne med introduserer vi et rektangulært koordinatsystem og plasserer origo i punkt C. Plasser koordinatsystemet vårt slik at punkt B ligger på den positive retningen til Cx-aksen, og punkt A vil ha en positiv ordinat.
Hvis alt er gjort riktig, bør du få følgende figur.
Arealet til en gitt trekant kan beregnes ved å bruke følgende formel: S = (1/2) * a * h hvor h er høyden på trekanten. I vårt tilfelle er høyden på trekanten h lik ordinaten til punktet A, det vil si h = b * sin (C).
Gitt de oppnådde resultatene, kan formelen for arealet av en trekant skrives om som følger: S = (1/2) * a * b * sin (C). Q.E.D.
Løser problemer
Oppgave 1. Finn arealet av en trekant ABC hvis a) AB = 6 * √8 cm, AC = 4 cm, vinkel A = 60 grader b) BC = 3 cm, AB = 18 * √2 cm, vinkel B = 45 grader i ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, vinkel C = 48 grader.
Ved teoremet bevist ovenfor, er arealet S av en trekant ABC lik:
S = (1/2) * AB * AC * sin (A).
La oss gjøre beregningene:
a) S = ((1/2) * 6 * √8 * 4 * sin (60˚)) = 12 * √6 cm ^ 2.
b) S = (1/2) * BC * BA * sin (B) = ((1/2) * 3 * 18 * √2 * (√2 / 2)) = 27 cm ^ 2.
c) S = (1/2) * CA * CB * sin (C) = ½ * 14 * 7 * sin48˚ cm ^ 2.
Verdien av sinusen til vinkelen beregnes på en kalkulator, eller vi bruker verdiene fra tabellen over verdier for trigonometriske vinkler. Svar:
a) 12 * √6 cm ^ 2.
c) omtrent 36,41 cm ^ 2.
Oppgave 2. Arealet av trekanten ABC er 60 cm ^ 2. Finn side AB hvis AC = 15 cm, vinkel A = 30˚.
La S være arealet av trekanten ABC. Ved teoremet om arealet av en trekant har vi:
S = (1/2) * AB * AC * sin (A).
La oss erstatte våre eksisterende verdier i det:
60 = (1/2) * AB * 15 * sin30˚ = (1/2) * 15 * (1/2) * AB = (15/4) * AB.
Herfra uttrykker vi lengden på siden AB: AB = (60 * 4) / 15 = 16.
Sinus er en av de grunnleggende trigonometriske funksjonene, hvis bruk ikke er begrenset til bare én geometri. Tabeller for beregning av trigonometriske funksjoner, som tekniske kalkulatorer, er ikke alltid tilgjengelig, og beregning av sinus er noen ganger nødvendig for å løse ulike problemer. Generelt vil beregning av sinus bidra til å styrke dine tegneferdigheter og kunnskap om trigonometriske identiteter.
Linjal og blyantspill
Enkelt problem: hvordan finne sinusen til en vinkel tegnet på papir? For løsningen trenger du en vanlig linjal, en trekant (eller kompass) og en blyant. Den enkleste måten å beregne sinus til en vinkel på er ved å dele det ytterste benet i en trekant med rett vinkel på langsiden - hypotenusen. Derfor må du først fullføre den spisse vinkelen til formen til en rettvinklet trekant ved å tegne en linje vinkelrett på en av strålene i en vilkårlig avstand fra vinkelens toppunkt. Du må observere vinkelen nøyaktig 90 °, som vi trenger en geistlig trekant for.
Å bruke et kompass er litt mer nøyaktig, men vil ta lengre tid. På en av strålene må du markere 2 punkter i en viss avstand, justere radiusen på kompasset, omtrent lik avstanden mellom punktene, og tegne halvsirkler med sentre på disse punktene til skjæringene mellom disse linjene er oppnådd. Ved å koble skjæringspunktene til sirklene våre med hverandre, får vi en streng vinkelrett på strålen i hjørnet vårt, det gjenstår bare å forlenge linjen til den skjærer en annen stråle.
I den resulterende trekanten må du måle siden motsatt hjørnet med en linjal og langsiden på en av strålene. Forholdet mellom den første dimensjonen og den andre vil være den ønskede verdien av sinusen til den spisse vinkelen.
Finn sinus for en vinkel større enn 90°
For en stump vinkel er ikke oppgaven mye vanskeligere. Det er nødvendig å tegne en stråle fra toppunktet i motsatt retning ved å bruke en linjal for å danne en rett linje med en av strålene i vinkelen av interesse for oss. Med den oppnådde spisse vinkelen bør du fortsette som beskrevet ovenfor, sinusene til de tilstøtende vinklene, som sammen danner en utviklet vinkel på 180 °, er like.
Beregning av sinus fra andre trigonometriske funksjoner
Det er også mulig å beregne sinus hvis verdiene til andre trigonometriske funksjoner av vinkelen eller i det minste lengden på sidene av trekanten er kjent. Trigonometriske identiteter vil hjelpe oss med dette. La oss se på vanlige eksempler.
Hvordan finne sinusen for en kjent cosinus til en vinkel? Den første trigonometriske identiteten, som kommer fra Pythagoras teorem, sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus i samme vinkel er lik én.
Hvordan finne sinus ved en kjent tangens til en vinkel? Tangenten oppnås ved å dele det fjerne benet med det nærliggende eller ved å dele sinusen med cosinus. Dermed vil sinus være produktet av cosinus og tangent, og kvadratet av sinus vil være kvadratet av dette produktet. Vi erstatter cosinus i kvadratet med forskjellen mellom en og kvadratsinus i henhold til den første trigonometriske identiteten, og ved hjelp av enkle manipulasjoner bringer vi ligningen til beregningen av kvadratsinus gjennom tangenten, henholdsvis for å beregne sinus, vi må trekke ut roten fra det oppnådde resultatet.
Hvordan finne sinusen med en kjent cotangens av en vinkel? Verdien av cotangens kan beregnes ved å dividere lengden på benet nær hjørnet med lengden på det fjerne benet, samt å dele cosinus med sinus, det vil si at cotangens er en funksjon invers til tangenten i forhold til tallet 1. For å beregne sinus kan du beregne tangensen med formelen tg α = 1 / ctg α og bruke formelen i det andre alternativet. Du kan også utlede en direkte formel ved analogi med tangenten, som vil se slik ut.
Hvordan finne sinus på tre sider av en trekant
Det er en formel for å finne lengden på den ukjente siden av en hvilken som helst trekant, ikke bare rektangulær, langs to kjente sider ved å bruke den trigonometriske funksjonen til cosinus til den motsatte vinkelen. Det ser slik ut.
