Sammen med tillegg er viktige operasjoner multiplikasjon og divisjon. La oss i det minste huske problemet med å bestemme hvor mange ganger Masha har flere epler enn Sasha, eller finne antall deler produsert per år, hvis antall deler produsert per dag er kjent.

Multiplikasjon Er en av fire grunnleggende aritmetiske operasjoner, hvor ett tall multipliseres med et annet. Med andre ord rekorden 5 · 3 = 15 betyr at tallet 5 ble brettet 3 ganger, dvs. 5 · 3 = 5 + 5 + 5 = 15.

Multiplikasjonen er regulert av systemet regler.

1. Produktet av to negative tall er positivt tall... For å finne modulen til produktet, må du multiplisere modulene til disse tallene.

(- 6) ( - 6) = 36; (- 17,5) ( - 17,4) = 304,5

2. Produktet av to tall med forskjellige fortegn er lik et negativt tall. For å finne modulen til produktet, må du multiplisere modulene til disse tallene.

(- 5) 6 = - tretti; 0,7 ( - 8) = - 21

3. Hvis en av faktorene er null, så er produktet null. Det motsatte er også sant: produktet er null bare hvis en av faktorene er null.

2,73 * 0 = 0; ( - 345,78) 0 = 0

Basert på materialet ovenfor vil vi prøve å løse ligningen 4 ∙ (x – 5) = 0.

1. La oss åpne parentesene og få 4x - 20 = 0.

2. Flytt (-20) til høyre side (ikke glem å endre skiltet til motsatt) og
vi får 4x = 20.

3. Finn x ved å annullere begge sider av ligningen med 4.

4. Totalt: x = 5.

Men ved å kjenne regel nr. 3, kan vi løse ligningen vår mye raskere.

1. Vår likning er 0, og i henhold til regel nummer 3 er produktet 0 hvis en av faktorene er 0.

2. Vi har to faktorer: 4 og (x - 5). 4 er ikke lik 0, så x - 5 = 0.

3. Vi løser den resulterende enkle ligningen: x - 5 = 0. Derfor er x = 5.

Multiplikasjon er avhengig av to lover - transposisjonelle og kombinasjonslover.

Reiselov: for alle tall en og b likhet er sant ab = ba:

(- 6) 1,2 = 1,2 ( - 6), dvs. = - 7,2.

Kombinasjonslov: for alle tall a, b og c likhet er sant (ab) c = a (bc).

(- 3) ( - 5) 2 = ( - 3) (2 ( - 5)) = (- 3) ( - 10) = 30.

Det motsatte av multiplikasjon er inndeling... Hvis komponentene i multiplikasjonen kalles multiplikatorer, så kalles delingen av tallet som er delelig delelig, tallet som vi deler med - deler og resultatet er privat.

12: 3 = 4, hvor 12 er utbyttet, 3 er deleren, 4 er kvotienten.

Divisjon, i likhet med multiplikasjon, er justerbar reglene.

1. Kvoten av to negative tall er et positivt tall. For å finne modulen til kvotienten, må du dele modulen til utbyttet med modulen til divisoren.

- 12: (- 3) = 4

2. Kvoten av to tall med forskjellige fortegn er et negativt tall. For å finne modulen til kvotienten, må du dele modulen til utbyttet med modulen til divisoren.

- 12: 3 = - 4; 12: (- 3) = - 4.

3. Å dele null med et hvilket som helst tall som ikke er null, resulterer i null. Du kan ikke dele på null.

0: 23 = 0; 23: 0 = XXXX

La oss prøve å løse et eksempel basert på delingsreglene - 4 x ( - 5) – (- 30) : 6 = ?

1. Utfør multiplikasjon: -4 x (-5) = 20. Så, vårt eksempel vil ta formen 20 - (-30): 6 =?

2. Utfør divisjon (-30): 6 = -5. Dette betyr at vårt eksempel vil ha formen 20 - (-5) =?.

3. Trekk fra 20 - (-5) = 20 + 5 = 25.

Så vår svaret er 25.

Kunnskap om multiplikasjon og divisjon, sammen med addisjon og subtraksjon, lar oss løse ulike ligninger og problemer, samt å perfekt navigere i tall- og operasjonsverdenen rundt oss.

La oss fikse materialet ved å bestemme oss ligning 3 ∙ (4x – 8) = 3x – 6.

1. La oss åpne parentesene 3 ∙ (4x - 8) og få 12x - 24. Ligningen vår har blitt 12x - 24 = 3x - 6.

2. Her er lignende. For å gjøre dette, flytt alle komponenter fra x til venstre, og alle tall til høyre.
Vi får 12x - 24 = 3x - 6 → 12x - 3x = -6 + 24 → 9x = 18.

IKKE glem å endre fortegnene til det motsatte når du overfører en komponent fra en side av ligningen til en annen.

3. Vi løser den resulterende ligningen 9x = 18, hvorav x = 18: 9 = 2. Så svaret vårt er 2.

4. For å være sikker på at avgjørelsen vår er riktig, kontrollerer vi:

3 ∙ (4x - 8) = 3x - 6

3 (4 ∙ 2 - 8) = 3 ∙ 2 - 6

3 ∙ (8 – 8) = 6 – 6

0 = 0, som betyr at svaret vårt er riktig.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Hvis en og to faktorer er lik 1, er produktet lik den andre faktoren.

III. Arbeider med nytt materiale.

Elevene kan forklare multiplikasjonsteknikken for tilfeller der det er nuller i midten av å skrive et flersifret tall: læreren foreslår for eksempel å regne ut produktet av 907 og 3. Elevene skriver ned løsningen i en kolonne og argumenterer: «Jeg skriv tallet 3 under enere.

Jeg multipliserer antallet enere med 3: tre ganger syv - 21, det er 2 desser. og 1 enhet; Jeg skriver 1 under enheter, og 2 dess. huske. Jeg multipliserer tiere: 0 multiplisert med 3, det blir 0, og 2 til, det blir 2 tiere, jeg skriver 2 under tiere. Jeg ganger hundrevis: 9 ganger 3, jeg får 27, jeg skriver 27. Jeg leser svaret: 2 721. "

For å konsolidere materialet løser elevene eksemplene fra oppgave 361 med en detaljert forklaring. Hvis læreren ser at barna har taklet det nye materialet godt, kan han komme med en kort kommentar.

Lærer. Vi vil forklare løsningen kort, nevne bare antall enheter av hvert siffer i den første multiplikatoren som du multipliserer, og resultatet, uten å navngi hvilket siffer av disse enhetene. La oss gange 4 019 med 7. Jeg forklarer: Jeg skal gange 9 med 7, jeg vil få 63, jeg skriver 3, jeg lærer 6 utenat. Jeg multipliserer med 7, det viser seg 7, og til og med 6 er 13, jeg skriver 3, jeg husker 1. Null ganget med 7, blir det null, og dessuten 1, jeg får 1, jeg skriver 1. 4 Jeg ganger med 7, jeg får 28, jeg skriver 28. Jeg leser svaret: 28 133.

F i z k u l t m og n u t k a

IV. Arbeid med materialet som dekkes.

1. Løse problemer.

Elevene løser oppgave 363 med kommentarer. Etter å ha lest oppgaven skrives en kort tilstand.

Læreren kan be elevene løse et problem på to måter.

Svar: 7.245 kvint korn ble høstet totalt.

Barn løser oppgave 364 på egenhånd (med etterfølgende verifisering).

1) 42 10 = 420 (q) - hvete

2) 420: 3 = 140 (q) - bygg

3) 420 - 140 = 280 (q)

Svar: 280 kvint hvete mer.

2. Løsning av eksempler.

Barna utfører oppgave 365 selvstendig: de skriver ned uttrykk og finner deres betydninger.

V. Leksjonssammendrag.

Lærer. Gutter, hva har dere lært i leksjonen?

Barn. Vi ble kjent med en ny multiplikasjonsteknikk.

Lærer. Hva ble gjentatt i leksjonen?

Barn. Vi løste problemer, komponerte uttrykk og fant betydningene deres.

Hjemmelekser: oppgaver 362, 368; notatbok nummer 1, s. 52, nr. 5-8.

Nivå 58
Multiplikasjon av tall skrevet
slutter med nuller

Mål:å gjøre seg kjent med teknikken for multiplikasjon med et enkeltsifret antall flersifrede tall som slutter på en eller flere nuller; å konsolidere evnen til å løse problemer, eksempler for deling med en rest; gjenta tabellen over tidsenheter.

"Parallellisme av to linjer" - Bevis at AB || CD. C - sekant for a og b. BC er halveringslinjen til vinkelen ABD. Vil det være m || n? Eksempler på samtidighet i det virkelige liv. Er linjene parallelle? Nevn parene: - liggende hjørner på kryss og tvers; - tilsvarende vinkler; - ensidige hjørner; Det første tegnet på parallellitet av rette linjer. Bevis at AC || BD.

"To frost" - Vel, tenker jeg, vent med meg nå. To frost. Og om kvelden møttes vi igjen på åpent jorde. Frost ristet på hodet - Blå nese og sa: - Eh, du er ung, bror, og dum. La ham, hvordan han kler seg, la ham få vite hva Frost er - Rød nese. Lev med min, så finner du ut at en øks varmer bedre enn en pels. Vel, jeg tror vi kommer til stedet, så tar jeg deg.

"Lineær ligning i to variabler" - Definisjon: Lineær ligning i to variabler. Algoritme for å bevise at et gitt tallpar er en løsning på en ligning: Gi eksempler. -Hvilken ligning i to variabler kalles lineær? -Hva kalles en ligning i to variabler? Likhet som inneholder to variabler kalles en ligning i to variabler.

"Interferens av to bølger" - Interferens. Årsaken? Thomas Jungs erfaring. Interferens av mekaniske bølger på vann. Bølgelengde. Lys interferens. Et stabilt interferensmønster observeres hvis de overlagrede bølgene er koherente. Radioteleskop-interferometer lokalisert i New Mexico, USA. Påføring av interferens. Interferens av mekaniske lydbølger.

"Tegn på vinkelrett på to plan" - Oppgave 6. Planenes vinkelrett. Svar: Ja. Finnes det en trekantet pyramide der tre flater er parvis vinkelrette? Oppgave 1. Finn vinklene ADB og ACB. Svar: 90 °, 60 °. Oppgave 10. Oppgave 3. Oppgave 7. Oppgave 9. Er det sant at to plan vinkelrett på det tredje er parallelle?

"Ulikheter i to variabler" - Den geometriske modellen for løsninger på ulikheter er midtregionen. Leksjonsmål: Løsninger på ulikheter med to variabler. 1. Plott ligningen f (x, y) = 0. For å løse ulikheter med to variabler brukes en grafisk metode. Sirklene har delt planet i tre områder. En ulikhet med to variabler har oftest et uendelig antall løsninger.

Hva er det i ytre utseende ligninger bestemmer om denne ligningen blir ufullstendig kvadratisk ligning? Men som løse ufullstendig andregradsligninger?

Hvordan finne ut "av syne" en ufullstendig andregradsligning

Venstre en del av ligningen er kvadratisk trinomium, a Ikke sant — Nummer 0. Slike ligninger kalles fullstendig andregradsligninger.

Ha fullstendig kvadratisk ligning alle odds, og ikke lik 0. Det er spesielle formler for deres løsning, som vi vil bli kjent med senere.

Mest enkel for løsningen er ufullstendig andregradsligninger. Dette er andregradsligninger der noen koeffisienter er null.

Koeffisient per definisjon kan ikke være null, ellers vil ikke ligningen være kvadratisk. Vi snakket om dette. Det betyr at det viser seg at å snu til null mai kun odds eller.

Avhengig av dette er det tre typer ufullstendige andregradsligninger.

1) , hvor ;
2) , hvor ;
3) , hvor .

Så hvis vi ser en andregradsligning, på venstre side av denne i stedet for tre medlemmer tilstede to medlemmer eller ett medlem, da blir en slik ligning ufullstendig kvadratisk ligning.

Bestemme en ufullstendig kvadratisk ligning

Ufullstendig andregradsligning kalles en andregradsligning der minst én av koeffisientene eller er null.

Denne definisjonen inneholder en veldig viktig frasen " minst en fra koeffisientene ... er null". Det betyr at en eller mer koeffisientene kan være like null.

Basert på dette er det mulig tre alternativer: eller en koeffisienten er null, eller en annen koeffisienten er null, eller både koeffisienter er samtidig lik null. Slik får vi tre typer ufullstendige andregradsligninger.

Ufullstendig kvadratiske ligninger er følgende ligninger:
1)
2)
3)

Ligningsløsning

Disposisjon løsningsplan av denne ligningen. Venstre en del av ligningen kan være lett faktor, siden leddene på venstre side av ligningen har fellesfaktor, kan den tas ut av parentesen. Da oppnås produktet av to faktorer til venstre, og null til høyre.

Og da vil regelen "produktet er lik null hvis og bare hvis minst en av faktorene er lik null, og den andre gir mening" fungere. Alt er veldig enkelt!

Så, løsningsplan.
1) Faktor venstre side.
2) Vi bruker regelen "produktet er lik null ..."

Ligninger av denne typen kaller jeg "en skjebnegave"... Dette er ligninger for hvilke høyre side er null, a venstre del kan utvides av faktorer.

Løse ligningen i følge planen.

1) La oss utvide venstre side av ligningen av faktorer, for dette tar vi ut fellesfaktoren, vi får følgende ligning.

2) I ligningen ser vi at venstre kostnader arbeid, a høyre null.

Ekte en skjebnegave! Her vil vi selvfølgelig bruke regelen "produktet er lik null hvis og bare hvis minst en av faktorene er lik null, og den andre gir mening".

Når vi oversetter denne regelen til matematikkspråket, får vi to ligninger eller.

Vi ser at ligningen oppløst for to mer simpelt ligninger, hvorav den første allerede er løst ().

La oss løse det andre ligningen. Flytt de ukjente begrepene til venstre, og de kjente til høyre. Det ukjente medlemmet er allerede til venstre, vi vil la det være der. Og vi vil flytte det kjente begrepet til høyre med motsatt fortegn. La oss få ligningen.

Vi har funnet, men vi må finne. For å bli kvitt faktoren må du dele begge sider av ligningen med.