Når vi studerte den logaritmiske funksjonen, vurderte vi hovedsakelig ulikheter i formen
logg en x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Løs ulikheten lg (x + 1) ≤ 2 (1).

Løsning.

1) Høyre side av den betraktede ulikheten gir mening for alle verdier, og venstre side - for x + 1> 0, dvs. for x> -1.

2) Intervallet x> -1 kalles definisjonsdomenet for ulikhet (1). Den logaritmiske funksjonen med grunntallet 10 øker, derfor, under betingelsen x + 1> 0, er ulikhet (1) oppfylt hvis x + 1 ≤ 100 (siden 2 = lg 100). Altså ulikhet (1) og systemet med ulikheter

(x> -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

er ekvivalente, med andre ord er settet med løsninger på ulikhet (1) og systemet med ulikheter (2) det samme.

3) Løsesystem (2), vi finner -1< х ≤ 99.

Svar. -en< х ≤ 99.

Løs ulikheten log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) ≤ 1 (3).

Løsning.

1) Domenet til den betraktede logaritmiske funksjonen er settet med positive verdier av argumentet; derfor gir venstre side av ulikheten mening for x - 3> 0 og x - 2> 0.

Følgelig er domenet til denne ulikheten intervallet x> 3.

2) Ved egenskapene til logaritmen er ulikhet (3) for x> 3 ekvivalent med ulikheten log 2 (x - 3) (x - 2) ≤ log 2 (4).

3) Den logaritmiske funksjonen med base 2 øker. Derfor, for x> 3, er ulikhet (4) tilfredsstilt hvis (x - 3) (x - 2) ≤ 2.

4) Dermed er den opprinnelige ulikheten (3) ekvivalent med systemet med ulikheter

((x - 3) (x - 2) ≤ 2,
(x> 3.

Ved å løse den første ulikheten i dette systemet får vi x 2 - 5x + 4 ≤ 0, hvorav 1 ≤ x ≤ 4. Ved å kombinere dette segmentet med intervallet x> 3, får vi 3< х ≤ 4.

Svar. 3< х ≤ 4.

Løs ulikhetsloggen 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4. (5)

Løsning.

1) Definisjonsdomenet til ulikheten er funnet fra betingelsen x 2 + 2x - 8> 0.

2) Ulikhet (5) kan skrives som:

log 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ log 1/2 16.

3) Siden den logaritmiske funksjonen med grunntallet ½ er avtagende, får vi for alle x fra hele domenet til ulikheten:

x 2 + 2x - 8 ≤ 16.

Dermed er den opprinnelige likheten (5) ekvivalent med systemet med ulikheter

(x 2 + 2x - 8> 0, eller (x 2 + 2x - 8> 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0.

Ved å løse den første kvadratulikheten får vi x< -4, х >2. Ved å løse den andre kvadratulikheten får vi -6 ≤ x ≤ 4. Derfor tilfredsstilles begge ulikhetene i systemet samtidig for -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4.

Svar. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Leksjonens mål:

Didaktikk:

• Nivå 1 - å lære hvordan du løser de enkleste logaritmiske ulikhetene ved å bruke definisjonen av logaritmen, egenskapene til logaritmene;
• Nivå 2 - løs logaritmiske ulikheter ved å velge en løsningsmetode på egenhånd;
• Nivå 3 - kunne anvende kunnskap og ferdigheter i ikke-standardiserte situasjoner.

Utvikler: utvikle hukommelse, oppmerksomhet, logisk tenkning, sammenligningsevner, kunne generalisere og trekke konklusjoner

Pedagogisk:å få opp nøyaktighet, ansvar for utført oppgave, gjensidig bistand.

Læringsmetoder: verbal , billedlig , praktisk , delvis søk , selvstyre , styre.

Former for å organisere den kognitive aktiviteten til studenter: frontal , individuell , arbeid i par.

Utstyr: et sett med testelementer, bakgrunnsnotater, blanke ark for løsninger.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk. Temaet og målene for leksjonen, timeplanen kunngjøres: hver elev får et vurderingsark, som eleven fyller ut i løpet av leksjonen; for hvert elevpar - trykt materiell med oppgaver, oppgaver skal utføres i par; blanke ark for løsninger; støtteark: definisjon av logaritmen; graf av en logaritmisk funksjon, dens egenskaper; egenskapene til logaritmer; algoritme for å løse logaritmiske ulikheter.

Alle vedtak etter egenvurdering sendes til lærer.

Elevkarakterark

2. Oppdatering av kunnskap.

Lærerinstruksjoner. Husk definisjonen av en logaritme, grafen til en logaritmisk funksjon og dens egenskaper. For å gjøre dette, les teksten på side 88–90, 98–101 i læreboken “Algebra and the beginnings of analysis 10–11” redigert av Sh.A Alimov, Yu.M. Kolyagin og andre.

Elevene får utdelt ark hvor det er skrevet: definisjonen av logaritmen; viser en graf av en logaritmisk funksjon, dens egenskaper; egenskapene til logaritmer; en algoritme for å løse logaritmiske ulikheter, et eksempel på å løse en logaritmisk ulikhet som reduserer til en kvadratisk.

3. Lære nytt stoff.

Løsningen på logaritmiske ulikheter er basert på monotonisiteten til den logaritmiske funksjonen.

Algoritme for å løse logaritmiske ulikheter:

A) Finn ulikhetsdomenet (sublogaritmisk uttrykk er større enn null).
B) Presenter (hvis mulig) venstre og høyre side av ulikheten i form av logaritmer på samme base.
C) Bestem om den logaritmiske funksjonen øker eller avtar: hvis t> 1, så øker den; hvis 0 1, deretter avtagende.
D) Gå til en enklere ulikhet (sublogaritmiske uttrykk), ta i betraktning at ulikhetstegnet vil forbli hvis funksjonen øker, og endres hvis den avtar.

Læringselement # 1.

Formål: å fikse løsningen av de enkleste logaritmiske ulikhetene

Formen for å organisere den kognitive aktiviteten til studentene: individuelt arbeid.

Selvstudieoppgaver i 10 minutter. For hver ulikhet er det flere svaralternativer, du må velge riktig og sjekke med nøkkel.

NØKKEL: 13321, maksimalt antall poeng - 6 poeng.

Læringselement #2.

Formål: å fikse løsningen av logaritmiske ulikheter ved å bruke egenskapene til logaritmer.

Lærerinstruksjoner. Husk de grunnleggende egenskapene til logaritmer. For å gjøre dette, les teksten i læreboken på side 92, 103-104.

Selvstudieoppgaver i 10 minutter.

NØKKEL: 2113, maksimalt antall poeng - 8 poeng.

Læringselement #3.

Formål: å studere løsningen av logaritmiske ulikheter ved metoden for reduksjon til kvadratet.

Lærerens instruksjoner: metoden for å redusere ulikhet til kvadrat er at du må transformere ulikheten til en slik form at en logaritmisk funksjon blir utpekt av en ny variabel, og dermed oppnå en kvadratulikhet med hensyn til denne variabelen.

La oss bruke avstandsmetoden.

Du har bestått første nivå av assimilering av materialet. Nå må du uavhengig velge en metode for å løse logaritmiske ligninger, ved å bruke all din kunnskap og evner.

Læringselement #4.

Formål: å konsolidere løsningen av logaritmiske ulikheter ved å velge en rasjonell løsning på egenhånd.

Selvstudieoppgaver i 10 minutter

Læringselement #5.

Lærerinstruksjoner. Bra gjort! Du har mestret å løse ligninger på andre vanskelighetsgrad. Hensikten med det videre arbeidet ditt er å anvende dine kunnskaper og ferdigheter i mer komplekse og ikke-standardiserte situasjoner.

Oppgaver for selvstendig løsning:

Lærerinstruksjoner. Det er flott hvis du har taklet hele oppgaven. Bra gjort!

Karakteren for hele leksjonen avhenger av antall poeng for alle utdanningselementer:

• hvis N ≥ 20, får du karakteren "5",
• ved 16 ≤ N ≤ 19 - vurdering "4",
• ved 8 ≤ N ≤ 15 - klasse "3",
• på N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Gi vurderingsrevene til læreren.

5. Lekser: hvis du ikke fikk mer enn 15 b - fullfør arbeidet med feilene (du kan ta løsningene fra læreren), hvis du fikk mer enn 15 b - fullfør den kreative oppgaven om emnet "Logaritmiske ulikheter".

De er innenfor logaritmene.

Eksempler:

\ (\ log_3⁡x≥ \ log_3⁡9 \)
\ (\ log_3⁡ ((x ^ 2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\ (\ log_ (x + 1) ⁡ ((x ^ 2 + 3x-7))> 2 \)
\ (\ lg ^ 2⁡ ((x + 1)) + 10≤11 \ lg⁡ ((x + 1)) \)

Hvordan løse logaritmiske ulikheter:

Eventuell logaritmisk ulikhet bør reduseres til formen \ (\ log_a⁡ (f (x)) ˅ \ log_a (⁡g (x)) \) (symbolet \ (˅ \) betyr hvilken som helst av). Denne formen lar deg bli kvitt logaritmene og deres baser, og gjør overgangen til ulikheten i uttrykk under logaritmene, det vil si til formen \ (f (x) ˅ g (x) \).

Men det er en veldig viktig subtilitet når du utfører denne overgangen:
\ (- \) hvis er et tall og det er større enn 1, forblir ulikhetstegnet det samme under overgangen,
\ (- \) hvis grunntallet er et tall større enn 0, men mindre enn 1 (ligger mellom null og én), så må fortegnet på ulikheten reverseres, dvs.

Eksempler:

\ (\ log_2⁡ ((8-x))<1\) ODZ: \ (8-x> 0 \) \ (- x> -8 \) \ (x<8\) Løsning: \ (\ log \) \ (_ 2 \) \ ((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \ (8-x \) \ (<\) \(2\) \(8-2\ (x> 6 \) Svar: \ ((6; 8) \)

\ (\ log \) \ (_ (0,5⁡) \) \ ((2x-4) \) ≥ \ (\ log \) \ (_ (0,5) \) ⁡ \ (((x +) en))\) ODZ: \ (\ begynner (tilfeller) 2x-4> 0 \\ x + 1> 0 \ slutt (tilfeller) \) \ (\ begynnelse (caser) 2x> 4 \\ x> -1 \ end (caser) \) \ (\ Venstre-høyrepil \) \ (\ begynne (caser) x> 2 \\ x> -1 \ slutt (caser) \) \ (\ Venstre-høyrepil \) \ (x \ i (2; \ infty) \) Løsning: \ (2x-4 \) \ (≤ \) \ (x + 1 \) \ (2x-x≤4 + 1 \) \ (x≤5 \) Svar: \ ((2; 5] \)

Veldig viktig! I enhver ulikhet kan overgangen fra formen \ (\ log_a (⁡f (x)) ˅ \ log_a⁡ (g (x)) \) til sammenligningen av uttrykk under logaritmer gjøres bare hvis:

Eksempel ... Løs ulikhet: \ (\ log \) \ (≤-1 \)

Løsning:

\ (\ Logg \) \ (_ (\ frac (1) (3)) ⁡ (\ frac (3x-2) (2x-3)) \)\(≤-1\)	La oss skrive ut ODZ.
ODZ: \ (\ frac (3x-2) (2x-3) \) \ (> 0 \)
\ (⁡ \ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \)\(≥\) \(0\)	Vi åpner parentesene, vi gir.
\ (⁡ \ frac (-3x + 7) (2x-3) \) \ (≥ \) \ (0 \)	Vi multipliserer ulikheten med \ (- 1 \), uten å glemme å snu sammenligningstegnet.
\ (⁡ \ frac (3x-7) (2x-3) \) \ (≤ \) \ (0 \)
\ (⁡ \ frac (3 (x- \ frac (7) (3))) (2 (x- \ frac (3) (2)))) \)\(≤\) \(0\)	La oss bygge en tallakse og merke punktene \ (\ frac (7) (3) \) og \ (\ frac (3) (2) \ på den. Merk at prikken fra nevneren er punktert, til tross for at ulikheten ikke er streng. Poenget er at dette punktet ikke vil være en løsning, siden når det erstattes med ulikhet, vil det føre oss til divisjon med null.
\ (x∈ (\) \ (\ frac (3) (2) \) \ (; \) \ (\ frac (7) (3)] \)	Nå, på den samme numeriske aksen, plotter vi ODZ og skriver som svar intervallet som faller inn i ODZ.
	Vi skriver ned det endelige svaret.

Svar: \ (x∈ (\) \ (\ frac (3) (2) \) \ (; \) \ (\ frac (7) (3)] \)

Eksempel ... Løs ulikheten: \ (\ log ^ 2_3⁡x- \ log_3⁡x-2> 0 \)

Løsning:

\ (\ log ^ 2_3⁡x- \ log_3⁡x-2> 0 \)	La oss skrive ut ODZ.
ODZ: \ (x> 0 \)	La oss komme ned til løsningen.
Løsning: \ (\ log ^ 2_3⁡x- \ log_3⁡x-2> 0 \)	Vi har foran oss en typisk kvadratisk-logaritmisk ulikhet. Vi gjør det.
\ (t = \ log_3⁡x \) \ (t ^ 2-t-2> 0 \)	Utvid venstre side av ulikheten til.
\ (D = 1 + 8 = 9 \) \ (t_1 = \ frac (1 + 3) (2) = 2 \) \ (t_2 = \ frac (1-3) (2) = - 1 \) \ ((t + 1) (t-2)> 0 \)
	Nå må du gå tilbake til den opprinnelige variabelen - x. For å gjøre dette, gå til en som har samme løsning og gjør omvendt erstatning.
\ (\ venstre [\ begynne (samlet) t> 2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \ log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Konverter \ (2 = \ log_3⁡9 \), \ (- 1 = \ log_3⁡ \ frac (1) (3) \).
\ (\ venstre [\ begynne (samlet) \ log_3⁡x> \ log_39 \\ \ log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Vi gjør overgangen til sammenligning av argumenter. Basene til logaritmene er større enn \ (1 \), så tegnet på ulikhetene endres ikke.
\ (\ venstre [\ begynne (samlet) x> 9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	La oss kombinere løsningen av ulikhet og DHS i en figur.
	La oss skrive ned svaret.

Svar: \ ((0; \ frac (1) (3)) ∪ (9; ∞) \)

Logaritmiske ulikheter

I de forrige leksjonene møtte vi logaritmiske ligninger, og nå vet vi hva det er og hvordan vi skal løse dem. Og dagens leksjon vil bli viet til studiet av logaritmiske ulikheter. Hva er disse ulikhetene og hva er forskjellen mellom å løse en logaritmisk ligning og en ulikhet?

Logaritmiske ulikheter er ulikheter som har en variabel under tegnet til logaritmen eller ved basen.

Eller vi kan også si at en logaritmisk ulikhet er en ulikhet der dens ukjente verdi, som i den logaritmiske ligningen, vil være under logaritmens tegn.

De enkleste logaritmiske ulikhetene er som følger:

hvor f (x) og g (x) er noen uttrykk som avhenger av x.

La oss se på dette med et eksempel: f (x) = 1 + 2x + x2, g (x) = 3x − 1.

Løse logaritmiske ulikheter

Før du løser logaritmiske ulikheter, er det verdt å merke seg at når du løser dem, ligner de eksponentielle ulikheter, nemlig:

For det første, når vi går fra logaritmer til uttrykk under fortegnet for logaritmen, må vi også sammenligne basen til logaritmen med en;

For det andre, ved å løse den logaritmiske ulikheten ved å bruke en endring av variabler, må vi løse ulikheten om endringen til vi får den enkleste ulikheten.

Men du og jeg har vurdert lignende aspekter ved å løse logaritmiske ulikheter. Og la oss nå ta hensyn til en ganske betydelig forskjell. Du og jeg vet at den logaritmiske funksjonen har et begrenset definisjonsdomene, derfor, ved å gå fra logaritmer til uttrykk under logaritmens tegn, er det nødvendig å ta hensyn til rekkevidden av tillatte verdier (ADV).

Det vil si at man bør huske på at når man løser en logaritmisk ligning, kan du og jeg først finne røttene til ligningen, og deretter sjekke denne løsningen. Men å løse den logaritmiske ulikheten vil ikke fungere på den måten, siden det å gå fra logaritmer til uttrykk under logaritmens tegn, vil være nødvendig å skrive ned ODZ for ulikhet.

I tillegg er det verdt å huske at teorien om ulikheter består av reelle tall, som er positive og negative tall, samt tallet 0.

For eksempel, når tallet "a" er positivt, må du bruke følgende post: a> 0. I dette tilfellet vil både summen og produktet av disse tallene også være positive.

Hovedprinsippet for å løse en ulikhet er å erstatte den med en enklere ulikhet, men hovedsaken er at den er ekvivalent med den gitte. Videre fikk vi også en ulikhet og erstattet den igjen med en som har en enklere form osv.

Løse ulikheter med en variabel, må du finne alle dens løsninger. Hvis to ulikheter har én variabel x, så er slike ulikheter ekvivalente, forutsatt at løsningene deres er sammenfallende.

Når du utfører oppgaver for å løse logaritmiske ulikheter, er det nødvendig å huske at når a> 1, så øker den logaritmiske funksjonen, og når 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Måter å løse logaritmiske ulikheter

La oss nå se på noen av måtene som finner sted når man løser logaritmiske ulikheter. For en bedre forståelse og assimilering vil vi prøve å forstå dem med spesifikke eksempler.

Du og jeg vet at den enkleste logaritmiske ulikheten har følgende form:

I denne ulikheten er V - et av slike ulikhetstegn som:<,>, ≤ eller ≥.

Når basen til denne logaritmen er større enn én (a> 1), og gjør overgangen fra logaritmer til uttrykk under logaritmens fortegn, så er ulikhetstegnet bevart i denne versjonen, og ulikheten vil se slik ut:

som tilsvarer et slikt system:

I tilfellet når basisen til logaritmen er større enn null og mindre enn én (0

Dette tilsvarer dette systemet:

La oss se flere eksempler på å løse de enkleste logaritmiske ulikhetene vist på bildet nedenfor:

Løsningseksempler

Trening. La oss prøve å løse denne ulikheten:

Løsning av rekkevidden av gyldige verdier.

La oss nå prøve å multiplisere høyresiden med:

La oss se hva vi får:

La oss nå gå videre til transformasjonen av sublogaritmiske uttrykk. På grunn av det faktum at basen til logaritmen er 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8> 16;
3x> 24;
x> 8.

Og av dette følger det at intervallet vi har fått er helt og fullt eid av GDZ og er en løsning på en slik ulikhet.

Her er svaret vårt:

Hva trengs for å løse logaritmiske ulikheter?

La oss nå prøve å analysere hva vi trenger for å lykkes med å løse logaritmiske ulikheter?

Først, fokuser all oppmerksomhet og prøv å ikke gjøre feil når du utfører transformasjonene som er gitt i denne ulikheten. Det bør også huskes at når man løser slike ulikheter, er det nødvendig å forhindre utvidelse og sammentrekning av ODZ-ulikheten, noe som kan føre til tap eller anskaffelse av fremmede løsninger.

For det andre, når du løser logaritmiske ulikheter, må du lære å tenke logisk og forstå forskjellen mellom konsepter som et system av ulikheter og et sett med ulikheter, slik at du enkelt kan velge løsninger på ulikhet, samtidig som du blir veiledet av dens ODV.

For det tredje, for å lykkes med å løse slike ulikheter, må hver av dere kjenne alle egenskapene til elementære funksjoner perfekt og tydelig forstå betydningen deres. Disse funksjonene inkluderer ikke bare logaritmiske, men også rasjonelle, potensielle, trigonometriske, etc., med et ord, alle de du studerte i løpet av skolealgebrastudiene.

Som du kan se, etter å ha studert temaet logaritmiske ulikheter, er det ikke noe vanskelig å løse disse ulikhetene, forutsatt at du er oppmerksom og utholdende i å nå målene dine. For å unngå problemer med å løse ulikheter, må du trene så mye som mulig, løse ulike oppgaver og samtidig huske hovedmåtene for å løse slike ulikheter og deres systemer. I tilfelle mislykkede løsninger på logaritmiske ulikheter, bør du nøye analysere feilene dine for ikke å gå tilbake til dem igjen i fremtiden.

Hjemmelekser

For en bedre forståelse av emnet og konsolidering av det beståtte materialet, løs følgende ulikheter:

Tror du at det fortsatt er tid til eksamen, og du vil ha tid til å forberede deg? Kanskje er det slik. Men i alle fall, jo tidligere studenten begynner å trene, desto mer vellykket består han eksamenene. I dag bestemte vi oss for å vie en artikkel til logaritmiske ulikheter. Dette er en av oppgavene, som betyr en mulighet til å få et ekstra poeng.

Vet du allerede hva en logaritme er? Vi håper virkelig det. Men selv om du ikke har et svar på dette spørsmålet, er det ikke et problem. Det er veldig lett å forstå hva en logaritme er.

Hvorfor akkurat 4? Du må heve tallet 3 til en slik potens for å få 81. Når du forstår prinsippet, kan du gå videre til mer komplekse beregninger.

Du passerte ulikhetene for noen år siden. Og siden da blir de stadig møtt i matematikk. Hvis du har problemer med å løse ulikheter, se den tilsvarende delen.
Nå som vi har blitt kjent med konseptene hver for seg, la oss gå videre til å vurdere dem generelt.

Den enkleste logaritmiske ulikheten.

De enkleste logaritmiske ulikhetene er ikke begrenset til dette eksemplet, det er tre til, bare med forskjellige fortegn. Hvorfor er dette nødvendig? For bedre å forstå hvordan man løser ulikhet med logaritmer. Nå vil vi gi et mer anvendelig eksempel, det er fortsatt ganske enkelt, vi vil la komplekse logaritmiske ulikheter ligge til senere.

Hvordan løser man dette? Det hele starter med ODZ. Det er verdt å vite mer om det hvis du alltid enkelt vil løse eventuelle ulikheter.

Hva er ODU? ODV for logaritmiske ulikheter

Forkortelsen står for rekkevidde av gyldige verdier. I oppgaver til eksamen dukker ofte denne formuleringen opp. ODZ er nyttig for deg ikke bare i tilfelle av logaritmiske ulikheter.

Ta en ny titt på eksemplet ovenfor. Vi vil vurdere DHS basert på det, slik at du forstår prinsippet, og løsningen av logaritmiske ulikheter reiser ingen spørsmål. Fra definisjonen av logaritmen følger det at 2x + 4 må være større enn null. I vårt tilfelle betyr dette følgende.

Dette tallet må per definisjon være positivt. Løs ulikheten ovenfor. Dette kan til og med gjøres muntlig, her er det klart at X ikke kan være mindre enn 2. Løsningen på ulikheten vil være definisjonen av rekkevidden av tillatte verdier.
La oss nå gå videre til å løse den enkleste logaritmiske ulikheten.

Vi forkaster selve logaritmene fra begge sider av ulikheten. Hva har vi igjen som et resultat? Enkel ulikhet.

Det er ikke vanskelig å løse det. X må være større enn -0,5. Nå kombinerer vi de to oppnådde verdiene inn i systemet. På denne måten,

Dette vil være rekkevidden av tillatte verdier for den betraktede logaritmiske ulikheten.

Hvorfor trenger du ODZ i det hele tatt? Dette er en mulighet til å luke ut feil og umulige svar. Hvis svaret ikke er innenfor rekkevidden av akseptable verdier, gir svaret rett og slett ikke mening. Dette er verdt å huske i lang tid, siden det i USE ofte er behov for å søke etter ODV, og det gjelder ikke bare logaritmiske ulikheter.

Algoritme for å løse logaritmisk ulikhet

Løsningen består av flere trinn. Først må du finne utvalget av gyldige verdier. Det vil være to verdier i ODZ, vi diskuterte dette ovenfor. Deretter må du løse selve ulikheten. Løsningsmetoder er som følger:

• multiplikatorerstatningsmetode;
• dekomponering;
• metode for rasjonalisering.

Avhengig av situasjonen, bør du bruke en av metodene ovenfor. La oss gå direkte til løsningen. Vi vil avsløre den mest populære metoden som er egnet for å løse USE-oppgaver i nesten alle tilfeller. Deretter skal vi se på nedbrytningsmetoden. Det kan hjelpe hvis du kommer over spesielt vanskelige ulikheter. Så, algoritmen for å løse den logaritmiske ulikheten.

Løsningseksempler :

Vi har ikke tatt akkurat en slik ulikhet for ingenting! Vær oppmerksom på basen. Husk: hvis det er større enn én, forblir tegnet det samme når utvalget av akseptable verdier er funnet; ellers må ulikhetstegnet endres.

Som et resultat får vi ulikheten:

Nå bringer vi venstre side til formen av ligningen lik null. I stedet for tegnet "mindre" setter vi "lik", løs ligningen. Dermed vil vi finne ODZ. Vi håper du ikke vil ha noen problemer med å løse en så enkel ligning. Svarene er -4 og -2. Det er ikke alt. Du må vise disse punktene på diagrammet, plasser "+" og "-". Hva må gjøres for dette? Bytt ut tall fra intervaller inn i uttrykket. Der verdiene er positive, setter vi "+" der.

Svar: x kan ikke være mer enn -4 og mindre enn -2.

Vi fant utvalget av gyldige verdier bare for venstre side, nå må vi finne utvalget av gyldige verdier for høyre side. Dette er mye enklere. Svar: -2. Vi krysser begge innhentede områdene.

Og først nå begynner vi å ta opp selve ulikheten.

La oss forenkle det så mye som mulig for å gjøre det lettere å løse.

Bruk avstandsmetoden igjen i løsningen. La oss utelate beregningene, med ham er alt allerede klart fra forrige eksempel. Svar.

Men denne metoden er egnet hvis den logaritmiske ulikheten har samme grunnlag.

Å løse logaritmiske ligninger og ulikheter med forskjellige baser forutsetter initial reduksjon til én base. Følg deretter metoden ovenfor. Men det er også en mer komplisert sak. Tenk på en av de vanskeligste typene logaritmiske ulikheter.

Variable base logaritmiske ulikheter

Hvordan løse ulikheter med slike egenskaper? Ja, og slikt finner du på eksamen. Å løse ulikheter på følgende måte vil også være fordelaktig for utdanningsprosessen din. La oss se på problemet i detalj. La oss forkaste teorien, la oss gå rett til praksis. For å løse logaritmiske ulikheter er det nok å lese eksemplet en gang.

For å løse den logaritmiske ulikheten til den presenterte formen, er det nødvendig å redusere høyre side til logaritmen med samme grunntall. Prinsippet ligner tilsvarende overganger. Som et resultat vil ulikheten se slik ut.

Egentlig gjenstår det å lage et system av ulikheter uten logaritmer. Ved å bruke rasjonaliseringsmetoden går vi over til et ekvivalent system av ulikheter. Du vil forstå selve regelen når du erstatter de riktige verdiene og sporer endringene deres. Systemet vil ha følgende ulikheter.

Ved å bruke rasjonaliseringsmetoden når du løser ulikheter, må du huske følgende: det er nødvendig å trekke en fra basen, x, etter definisjonen av logaritmen, trekkes fra begge sider av ulikheten (høyre fra venstre), to uttrykk multipliseres og settes under det opprinnelige tegnet med hensyn til null.

Ytterligere løsning utføres ved metoden for intervaller, alt er enkelt her. Det er viktig for deg å forstå forskjellene i løsningsmetoder, da vil alt begynne å ordne seg lett.

Det er mange nyanser i logaritmiske ulikheter. De enkleste av dem er enkle å løse. Hvordan sikre at du kan løse hver av dem uten problemer? Du har allerede fått alle svarene i denne artikkelen. Nå har du en lang øvelse foran deg. Øv deg på å løse en rekke problemer konsekvent i eksamen, og du vil kunne få høyest poengsum. Lykke til i din vanskelige virksomhet!