2.5 Vietas formel for polynomer (ligninger) av høyere grader

Formlene utledet av Viet for kvadratiske ligninger er også gyldige for polynomer med høyere grader.

La polynomet

P (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +... + a n

Har n forskjellige røtter x 1, x 2 ..., x n.

I dette tilfellet har den en faktorisering av formen:

a 0 x n + a 1 x n-1 +... + a n = a 0 (x - x 1) (x - x 2)... (x - x n)

Vi deler begge sider av denne likheten med en 0 ≠ 0 og utvider parentesene i den første delen. Vi får likestilling:

xn + () xn -1 +... + () = xn - (x 1 + x 2 +... + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +... + xn -1 xn) xn - 2 +... + (- 1) nx 1 x 2... xn

Men to polynomer er identisk like hvis og bare hvis koeffisientene ved samme grader er like. Derfor følger det at likheten

x 1 + x 2 +... + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +... + x n -1 x n =

x 1 x 2 ... x n = (-1) n

For eksempel for tredjegradspolynomer

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Vi har identitetene

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Når det gjelder kvadratiske ligninger, kalles denne formelen Vietas formler. Venstresidene av disse formlene er symmetriske polynomer fra røttene x 1, x 2 ..., x n av denne ligningen, og høyresidene uttrykkes gjennom koeffisienten til polynomet.

2.6 Ligninger som kan reduseres til kvadrat (bikvadrat)

Ligninger av fjerde grad reduseres til kvadratiske ligninger:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kalt biquadratisk, og, og ≠ 0.

Det er nok å sette inn denne ligningen x 2 = y, derfor,

ay² + by + c = 0

finn røttene til den resulterende kvadratiske ligningen

y 1,2 =

For å finne røttene x 1, x 2, x 3, x 4 samtidig, bytt ut y med x og få

x² =

x 1,2,3,4 = .

Hvis ligningen av fjerde grad har x 1, så har den også en rot x 2 = -x 1,

Hvis den har x 3, så er x 4 = - x 3. Summen av røttene til en slik likning er null.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Bytt ut ligningen med formelen for røttene til bikvadratiske ligninger:

x 1,2,3,4 = ,

å vite at x 1 = -x 2, og x 3 = -x 4, så:

x 3,4 =

Svar: x 1,2 = ± 2; x 1,2 =

2.7 Undersøkelse av biquadratiske ligninger

Ta den biquadratiske ligningen

ax 4 + bx 2 + c = 0,

hvor a, b, c er reelle tall, og a> 0. Ved å introdusere hjelpe-ukjente y = x², undersøker vi røttene til denne ligningen, og setter resultatene i tabellen (se vedlegg #1)

2.8 Cardano Formel

Hvis vi bruker moderne symbolikk, kan utledningen av Cardano-formelen se slik ut:

x =

Denne formelen definerer røttene til den generelle ligningen av tredje grad:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Denne formelen er veldig tungvint og kompleks (den inneholder flere komplekse radikaler). Det gjelder ikke alltid, siden veldig vanskelig å fylle.

F ¢ (x®) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

List eller velg fra 2-3 tekster de mest interessante stedene. Derfor har vi undersøkt de generelle bestemmelsene for opprettelse og gjennomføring av valgfrie emner, som vil bli tatt i betraktning ved utvikling av et valgfag i algebra for klasse 9 "Kadratiske ligninger og ulikheter med en parameter." Kapittel II. Metodikk for gjennomføring av valgfaget «Avgradslikninger og ulikheter med en parameter» 1.1. Er vanlig...

Løsninger fra numeriske beregningsmetoder. For å bestemme røttene til en ligning kreves det ingen kjennskap til teoriene til Abel, Galois, Lie, osv. grupper, og ingen spesiell matematisk terminologi kreves: ringer, felt, idealer, isomorfismer osv. For å løse en algebraisk ligning av n-te grad trenger du bare evnen til å løse andregradsligninger og trekke ut røtter fra et komplekst tall. Røttene kan identifiseres fra ...

Med måleenheter for fysiske mengder i MathCAD-systemet? 11. Beskriv i detalj tekst, grafikk og matematiske blokker. Forelesning nummer 2. Lineære algebraoppgaver og løsning av differensialligninger i MathCAD-miljøet I lineære algebraoppgaver er det nesten alltid nødvendig å utføre ulike operasjoner med matriser. Matriseoperatørpanelet er plassert i Math-panelet. ...

Nesten enhver annengradsligning \ kan transformeres til formen \ Dette er imidlertid mulig hvis du først deler hvert ledd med koeffisienten \ foran \ I tillegg kan du legge inn en ny notasjon:

\ [(\ frac (b) (a)) = p \] og \ [(\ frac (c) (a)) = q \]

På grunn av dette vil vi ha en ligning \ kalt i matematikk den reduserte andregradsligningen. Røttene til denne ligningen og koeffisientene \ er sammenkoblet, noe som bekreftes av Vieta-setningen.

Vietas teorem: Summen av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen \ er lik den andre koeffisienten \ tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er frileddet \

For klarhetens skyld vil vi løse ligningen i følgende form:

La oss løse denne andregradsligningen ved å bruke de skrevne reglene. Etter å ha analysert de første dataene, kan vi konkludere med at ligningen vil ha to forskjellige røtter, fordi:

Nå, av alle faktorene 15 (1 og 15, 3 og 5), velg de som har forskjellen 2. Tallene 3 og 5 faller under denne betingelsen. Før det mindre tallet, sett et minustegn. Dermed får vi røttene til ligningen \

Svar: \ [x_1 = -3 og x_2 = 5 \]

Hvor kan du løse Vieta-setningsligningen på nettet?

Du kan løse ligningen på vår nettside https: // site. En gratis online løser vil tillate deg å løse en ligning online av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se en videoinstruksjon og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår Vkontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.

I matematikk er det spesielle teknikker som mange andregradsligninger løses med svært raskt og uten noen diskriminanter. Dessuten, med riktig trening, begynner mange å løse andregradsligninger muntlig, bokstavelig talt "ved første blikk."

Dessverre, i det moderne kurset i skolematematikk, blir slike teknologier nesten ikke studert. Men du må vite! Og i dag vil vi vurdere en av slike teknikker - Vietas teorem. Først, la oss introdusere en ny definisjon.

En andregradsligning på formen x 2 + bx + c = 0 kalles redusert. Vær oppmerksom på at koeffisienten for x 2 er 1. Det er ingen andre begrensninger på koeffisientene.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 er den reduserte andregradsligningen;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - også gitt;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - men dette vises ikke, siden koeffisienten ved x 2 er 2.

Selvfølgelig kan enhver annengradsligning av formen ax 2 + bx + c = 0 reduseres - det er nok å dele alle koeffisientene med tallet a. Vi kan alltid gjøre dette, siden det følger av definisjonen av en kvadratisk ligning at a ≠ 0.

Riktignok vil disse transformasjonene ikke alltid være nyttige for å finne røtter. Litt senere vil vi sørge for at dette bare skal gjøres når i den siste kvadratiske ligningen alle koeffisientene er heltall. For nå, vurder de enkleste eksemplene:

Oppgave. Konverter andregradsligningen til den reduserte:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

Del hver ligning med koeffisienten til variabelen x 2. Vi får:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - delt alt på 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 = 0 - delt på −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - delt på 1,5, ble alle koeffisienter heltall;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 = 0 - delt på 2. I dette tilfellet oppsto brøkkoeffisienter.

Som du kan se, kan de gitte kvadratiske ligningene ha heltallskoeffisienter selv i tilfellet når den opprinnelige ligningen inneholdt brøker.

Nå skal vi formulere hovedteoremet, som faktisk konseptet med en redusert kvadratisk ligning ble introdusert for:

Vietas teorem. Tenk på en redusert andregradsligning av formen x 2 + bx + c = 0. Anta at denne ligningen har reelle røtter x 1 og x 2. I dette tilfellet er følgende utsagn sanne:

1. x 1 + x 2 = −b. Med andre ord er summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen lik koeffisienten til variabelen x, tatt med motsatt fortegn;
2. x 1 x 2 = c. Produktet av røttene til en kvadratisk ligning er lik den frie koeffisienten.

Eksempler. For enkelhets skyld vil vi kun vurdere de reduserte kvadratiske ligningene som ikke krever ytterligere transformasjoner:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; røtter: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; røtter: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; røtter: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietas teorem gir oss tilleggsinformasjon om røttene til en kvadratisk ligning. Ved første øyekast kan dette virke skremmende, men selv med minimal trening vil du lære å "se" røttene og bokstavelig talt gjette dem i løpet av sekunder.

Oppgave. Løs den andregradsligningen:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0.

La oss prøve å skrive ut koeffisientene i henhold til Vietas teorem og "gjette" røttene:

1. x 2 - 9x + 14 = 0 er den reduserte andregradsligningen.
   Ved Vietas teorem har vi: x 1 + x 2 = - (- 9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Det er lett å se at røttene er tall 2 og 7;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - også gitt.
   Ved Vietas teorem: x 1 + x 2 = - (- 12) = 12; x 1 x 2 = 27. Derav røttene: 3 og 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - denne ligningen er ikke redusert. Men vi skal nå korrigere dette ved å dele begge sider av ligningen med koeffisienten a = 3. Vi får: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Løs ved Vietas teorem: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ røtter: −10 og −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - igjen er koeffisienten ved x 2 ikke lik 1, dvs. ligning ikke gitt. Del alt med tallet a = −7. Vi får: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Ved Vietas teorem: x 1 + x 2 = - (- 11) = 11; x 1 x 2 = 30; fra disse ligningene er det lett å gjette røttene: 5 og 6.

Fra resonnementet ovenfor kan man se hvordan Vietas teorem forenkler løsningen av andregradsligninger. Ingen kompliserte utregninger, ingen aritmetiske røtter og brøker. Og vi trengte ikke engang diskriminanten (se leksjonen "Løse andregradsligninger").

Selvfølgelig, i alle våre refleksjoner, gikk vi ut fra to viktige forutsetninger, som generelt sett ikke alltid er oppfylt i reelle problemer:

1. Andregradsligningen reduseres, dvs. koeffisienten ved x 2 er 1;
2. Ligningen har to forskjellige røtter. Fra et algebra-synspunkt, i dette tilfellet diskriminanten D> 0 - faktisk antar vi i utgangspunktet at denne ulikheten er sann.

Men i typiske matematiske problemer er disse betingelsene oppfylt. Hvis beregningene resulterer i en "dårlig" andregradsligning (koeffisienten ved x 2 er forskjellig fra 1), er det lett å fikse det - ta en titt på eksemplene helt i begynnelsen av leksjonen. Jeg er generelt stille om røttene: hva er dette problemet der det ikke er noe svar? Selvfølgelig vil det være røtter.

Dermed er det generelle opplegget for å løse kvadratiske ligninger ved å bruke Vietas teorem som følger:

1. Reduser den andregradsligningen til den reduserte, hvis det ikke allerede er gjort i problemstillingen;
2. Hvis koeffisientene i den gitte kvadratiske ligningen viste seg å være brøk, løser vi gjennom diskriminanten. Du kan til og med gå tilbake til den opprinnelige ligningen for å jobbe med mer "praktiske" tall;
3. Når det gjelder heltallskoeffisienter, løser vi ligningen ved Vietas teorem;
4. Hvis det i løpet av få sekunder ikke var mulig å gjette røttene, hamrer vi inn i Vietas teorem og løser gjennom diskriminanten.

Oppgave. Løs ligningen: 5x 2 - 35x + 50 = 0.

Så foran oss er en ligning som ikke er redusert, fordi koeffisient a = 5. Del alt med 5, vi får: x 2 - 7x + 10 = 0.

Alle koeffisientene til den kvadratiske ligningen er heltall - la oss prøve å løse det med Vietas teorem. Vi har: x 1 + x 2 = - (- 7) = 7; x 1 · x 2 = 10. I dette tilfellet er røttene lett å gjette - disse er 2 og 5. Det er ikke nødvendig å telle gjennom diskriminanten.

Oppgave. Løs ligningen: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Se: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - denne ligningen er ikke redusert, vi deler begge sider med koeffisienten a = −5. Vi får: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - en likning med brøkkoeffisienter.

Det er bedre å gå tilbake til den opprinnelige ligningen og telle gjennom diskriminanten: −5x 2 + 8x - 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 = 0,4.

Oppgave. Løs ligningen: 2x 2 + 10x - 600 = 0.

La oss først dele alt med koeffisienten a = 2. Vi får ligningen x 2 + 5x - 300 = 0.

Denne reduserte ligningen, ifølge Vietas teorem, har vi: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Det er vanskelig å gjette røttene til kvadratisk ligning i dette tilfellet - personlig "satte jeg meg fast" da jeg løste dette problemet.

Vi må lete etter røttene gjennom diskriminanten: D = 5 2 - 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2. Hvis du ikke husker roten til diskriminanten, vil jeg bare legge merke til at 1225: 25 = 49. Derfor er 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2.

Nå som roten til diskriminanten er kjent, vil det ikke være vanskelig å løse ligningen. Vi får: x 1 = 15; x 2 = −20.

Vietas teorem (mer presist, den inverse teorem til Vietas teorem) lar deg redusere tiden for å løse andregradsligninger. Du trenger bare å vite hvordan du bruker den. Hvordan lære å løse andregradsligninger ved å bruke Vietas teorem? Dette er ikke vanskelig, hvis du tenker deg litt om.

Nå skal vi bare snakke om løsningen av den reduserte andregradslikningen i henhold til Vietas teorem.Den reduserte andregradslikningen er en likning der a, det vil si koeffisienten foran x², er lik en. Det er også mulig å løse ikke-reduserte kvadratiske ligninger ved å bruke Vietas teorem, men der allerede er minst én av røttene ikke et heltall. Det er vanskeligere å gjette dem.

Den omvendte teoremet til Vietas teorem sier: hvis tallene x1 og x2 er slik at

da er x1 og x2 røttene til andregradsligningen

Når man løser en andregradsligning i henhold til Vietas teorem, er kun 4 alternativer mulig. Hvis du husker resonnementet, kan du lære å finne hele røtter veldig raskt.

I. Hvis q er et positivt tall,

dette betyr at røttene x1 og x2 er tall med samme fortegn (siden bare når man multipliserer tall med samme fortegn er et positivt tall).

I.a. Hvis -p er et positivt tall, (henholdsvis s<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Hvis -p er negativ, (henholdsvis p> 0), da er begge røttene negative tall (ved å legge til tall med samme fortegn, fikk et negativt tall).

II. Hvis q er negativ,

dette betyr at røttene x1 og x2 har forskjellige fortegn (når man multipliserer tall, oppnås et negativt tall bare hvis fortegnene til faktorene er forskjellige). I dette tilfellet er ikke x1 + x2 lenger en sum, men en forskjell (tross alt, når vi legger til tall med forskjellige fortegn, trekker vi det minste fra det større). Derfor viser x1 + x2 hvor mye en rot skiller seg fra x1 og x2, det vil si hvor mye den ene roten er større enn den andre (modulo).

II.a. Hvis -p er et positivt tall, (dvs. s<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Hvis -p er negativ, (p> 0), så er den største (modulo) roten et negativt tall.

La oss vurdere løsningen av kvadratiske ligninger ved Vietas teorem ved å bruke eksempler.

Løs den reduserte andregradsligningen med Vietas teorem:

Her er q = 12> 0, derfor er røttene x1 og x2 tall med samme fortegn. Summen deres er -p = 7> 0, så begge røttene er positive tall. Vi velger heltall, produktet av disse er 12. Disse er 1 og 12, 2 og 6, 3 og 4. Summen er 7 for et par på 3 og 4. Så 3 og 4 er røttene til ligningen.

I dette eksemplet er q = 16> 0, som betyr at røttene x1 og x2 er tall med samme fortegn. Deres sum -p = -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Her er q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, da er det største tallet positivt. Så røttene er 5 og -3.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Vietas teorem brukes ofte for å sjekke røtter som allerede er funnet. Hvis du finner røttene, kan du bruke formlene \ (\ begynne (tilfeller) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ slutten (tilfeller) \) for å beregne verdiene ​​\ (p \) og \ (q \ ). Og hvis de viser seg å være de samme som i den opprinnelige ligningen, ble røttene funnet riktig.

La oss for eksempel ved å bruke, løse ligningen \ (x ^ 2 + x-56 = 0 \) og få røttene: \ (x_1 = 7 \), \ (x_2 = -8 \). La oss sjekke om vi gjorde en feil i løsningsprosessen. I vårt tilfelle, \ (p = 1 \), og \ (q = -56 \). Ved Vietas teorem har vi:

\ (\ begynne (caser) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ slutten (caser) \) \ (\ Venstre-høyrepil \) \ (\ begynner (caser) 7 + (- 8) = - 1 \\ 7 \ cdot (-8) = - 56 \ end (cases) \) \ (\ Venstre-høyrepil \) \ (\ begynne (cases) -1 = -1 \\ - 56 = -56 \ end (cases) \ )

Begge påstandene stemmer overens, noe som betyr at vi løste ligningen riktig.

Denne kontrollen kan gjøres muntlig. Det vil ta 5 sekunder og redde deg fra dumme feil.

Vietas omvendte teorem

Hvis \ (\ begynner (tilfeller) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ slutten (tilfeller) \), så er \ (x_1 \) og \ (x_2 \) røttene til kvadratisk ligning \ (x ^ 2 + px + q = 0 \).

Eller i enklere termer: hvis du har en ligning av formen \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), så løser du systemet \ (\ begynner (tilfeller) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (caser) \) vil du finne røttene.

Takket være denne teoremet kan du raskt finne røttene til kvadratisk ligning, spesielt hvis disse røttene er det. Denne ferdigheten er viktig siden den sparer mye tid.

Eksempel ... Løs ligningen \ (x ^ 2-5x + 6 = 0 \).

Løsning : Ved å bruke Vietas inverse teorem finner vi at røttene tilfredsstiller betingelsene: \ (\ begynne (tilfeller) x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \ cdot x_2 = 6 \ slutt (tilfeller) \).
Se på den andre ligningen til \ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \) systemet. I hvilke to kan tallet \ (6 \) dekomponeres? På \ (2 \) og \ (3 \), \ (6 \) og \ (1 \) eller \ (- 2 \) og \ (- 3 \), og \ (- 6 \) og \ (- en\). Den første ligningen i systemet vil fortelle deg hvilket par du skal velge: \ (x_1 + x_2 = 5 \). \\ (2 \\) og \\ (3 \\) er like, siden \\ (2 + 3 \ u003d 5 \\).
Svar : \ (x_1 = 2 \), \ (x_2 = 3 \).

Eksempler av ... Bruk det inverse teoremet til Vietas teorem, finn røttene til den kvadratiske ligningen:
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \); b) \ (x ^ 2 + 3x-4 = 0 \); c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \); d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \).

Løsning :
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \) - til hvilke faktorer dekomponerer \ (14 \)? \ (2 \) og \ (7 \), \ (- 2 \) og \ (- 7 \), \ (- 1 \) og \ (- 14 \), \ (1 \) og \ (14 \) ). Hvilke tallpar utgjør \ (15 \)? Svar: \ (1 \) og \ (14 \).

b) \ (x ^ 2 + 3x-4 \ u003d 0 \) - til hvilke faktorer brytes \ (- 4 \) ned? \ (- 2 \) og \ (2 \), \ (4 \) og \ (- 1 \), \ (1 \) og \ (- 4 \). Hvilke tallpar utgjør \ (- 3 \)? Svar: \ (1 \) og \ (- 4 \).

c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 = 0 \) - til hvilke faktorer dekomponerer \ (20 \)? \ (4 \) og \ (5 \), \ (- 4 \) og \ (- 5 \), \ (2 \) og \ (10 ​​\), \ (- 2 \) og \ (- 10 \ ), \ (- 20 \) og \ (- 1 \), \ (20 \) og \ (1 \). Hvilke tallpar utgjør \ (- 9 \)? Svar: \ (- 4 \) og \ (- 5 \).

d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \) - til hvilke faktorer brytes \ (780 \) ned? \ (390 \) og \ (2 \). Vil de totalt \ (88 \)? Nei. Hvilke andre faktorer har \ (780 \)? \ (78 \) og \ (10 ​​\). Vil de totalt \ (88 \)? Ja. Svar: \ (78 \) og \ (10 ​​\).

Det er ikke nødvendig å dekomponere siste ledd i alle mulige faktorer (som i det siste eksemplet). Du kan umiddelbart sjekke om summen deres gir \ (- p \).

Viktig! Vietas setning og omvendt setning fungerer bare med, det vil si slik at koeffisienten foran \ (x ^ 2 \) er lik en. Hvis vi i utgangspunktet har en ikke-redusert ligning, kan vi gjøre den redusert ved ganske enkelt å dele på koeffisienten foran \ (x ^ 2 \).

for eksempel, la ligningen \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) gis og vi vil bruke en av Vietas teoremer. Men vi kan ikke, siden koeffisienten foran \ (x ^ 2 \) er \ (2 \). La oss bli kvitt det ved å dele hele ligningen med \ (2 \).

\ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) \ (|: 2 \)
\ (x ^ 2-2x-3 = 0 \)

Klar. Nå kan du bruke begge teoremene.

Svar på vanlige spørsmål

Spørsmål: Ved Vietas teorem kan du løse noen?
Svar: Dessverre ikke. Hvis ligningen ikke er heltall eller ligningen ikke har noen røtter i det hele tatt, vil ikke Vietas teorem hjelpe. I dette tilfellet må du bruke diskriminerende ... Heldigvis har 80 % av ligningene i matematikk på videregående skoler hele løsninger.