Transformasjonen av en komplett kvadratisk ligning til en ufullstendig ligning ser slik ut (for tilfellet \ (b = 0 \)):

For tilfeller når \ (c = 0 \) eller når begge koeffisientene er lik null, er alt det samme.

Vær oppmerksom på at lik null \ (a \) er utelukket, den kan ikke være lik null, siden det i dette tilfellet blir til:

Løse ufullstendige andregradsligninger

Først av alt må du forstå at en ufullstendig kvadratisk ligning fortsatt er, derfor kan den løses på samme måte som en vanlig kvadratisk (gjennom). For å gjøre dette legger vi ganske enkelt til den manglende komponenten i ligningen med en null koeffisient.

Eksempel : Finn røttene til ligningen \ (3x ^ 2-27 = 0 \)
Løsning :

		Vi har en ufullstendig andregradsligning med en koeffisient \ (b = 0 \). Det vil si at vi kan skrive ligningen i følgende form:
\ (3x ^ 2 + 0 \ cdot x-27 = 0 \)		Her er faktisk den samme ligningen som i begynnelsen, men nå kan den løses som et vanlig kvadrat. Først skriver vi ut koeffisientene.
\ (a = 3; \) \ (b = 0; \) \ (c = -27; \)		Vi beregner diskriminanten med formelen \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = 0 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-27) = \) \(=0+324=324\)		Finn røttene til ligningen ved hjelp av formlene \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) og \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D) ) ) (2a) \)
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-0+ \ sqrt (324)) (2 \ cdot3) \)\ (= \) \ (\ frac (18) (6) \) \ (= 3 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-0- \ sqrt (324)) (2 \ cdot3) \)\ (= \) \ (\ frac (-18) (6) \) \ (= - 3 \)		Vi skriver ned svaret

Svar : \ (x_ (1) = 3 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Eksempel : Finn røttene til ligningen \ (- x ^ 2 + x = 0 \)
Løsning :

		Igjen, en ufullstendig andregradsligning, men nå er koeffisienten \ (c \) lik null. Vi skriver ligningen som komplett.

Bruken av ligninger er utbredt i livet vårt. De brukes i mange beregninger, bygningskonstruksjon og til og med sport. Mennesket brukte ligninger i antikken, og siden den gang har deres anvendelse bare økt. Diskriminanten lar deg løse alle andregradsligninger ved å bruke en generell formel som ser slik ut:

Diskriminantformelen avhenger av graden av polynomet. Formelen ovenfor er egnet for å løse kvadratiske ligninger av følgende form:

Diskriminanten har følgende egenskaper som du trenger å vite:

* "D" er 0 når polynomet har flere røtter (like røtter);

* "D" er et symmetrisk polynom med hensyn til røttene til polynomet og er derfor et polynom i sine koeffisienter; dessuten er koeffisientene til dette polynomet heltall uavhengig av utvidelsen der røttene er tatt.

La oss si at vi får en andregradsligning av følgende form:

1 ligning

Med formelen har vi:

Siden \ har ligningen 2 røtter. La oss definere dem:

Hvor kan du løse ligningen gjennom diskriminanten med en online løser?

Du kan løse ligningen på vår nettside https: // site. En gratis online løser vil tillate deg å løse en ligning online av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se en videoinstruksjon og finne ut hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du har spørsmål, kan du stille dem i vår Vkontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.

Løse ligninger ved "overføring"-metoden

Tenk på den andregradsligningen

ax 2 + bx + c = 0, hvor a? 0.

Multipliserer begge sider med a, får vi ligningen

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

La ax = y, hvorfra x = y / a; så kommer vi til ligningen

y 2 + by + ac = 0,

er ekvivalent med den gitte. Vi finner røttene ved 1 og ved 2 ved å bruke Vietas teorem.

Til slutt får vi x 1 = y 1 / a og x 1 = y 2 / a. Med denne metoden multipliseres koeffisienten a med frileddet, som om den ble "kastet" til den, derfor kalles den "kast"-metoden. Denne metoden brukes når du enkelt kan finne røttene til ligningen ved å bruke Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er et eksakt kvadrat.

* Eksempel.

Løs ligningen 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Løsning. La oss "overføre" koeffisienten 2 til frileddet, som et resultat får vi ligningen

2 - 11 år + 30 = 0.

I følge Vietas teorem

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Svar: 2,5; 3.

Egenskaper til koeffisientene til en kvadratisk ligning

EN. La en andregradsligning gis ax 2 + bx + c = 0, hvor a? 0.

1) Hvis, a + b + c = 0 (dvs. summen av koeffisientene er null), så er x 1 = 1,

Bevis. Dele begge sider av ligningen med a? 0, får vi den reduserte andregradsligningen

x 2 + b / a * x + c / a = 0.

I følge Vietas teorem

x 1 + x 2 = - b / a,

x 1 x 2 = 1 * c / a.

Ved betingelse a - b + c = 0, hvorav b = a + c. På denne måten,

x 1 + x 2 = - a + b / a = -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1 * (- c / a),

de. x 1 = -1 og x 2 = c / a, som var nødvendig for å bevise.

• * Eksempler.
• 1) Løs ligningen 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Løsning. Siden a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), så

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Svar: 1; -208/345.

2) Løs ligningen 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Løsning. Siden a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), så

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Svar: 1; 115/132.

B. Hvis den andre koeffisienten b = 2k er et partall, så er rotformelen

* Eksempel.

Løs ligningen 3x2 - 14x + 16 = 0.

Løsning. Vi har: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. en

1 Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon, ungdomsskole nummer 11

Teksten til verket er plassert uten bilder og formler.
Den fullstendige versjonen av verket er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

Andregradsligningers historie

Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første grad, men også av andre, selv i antikken, ble forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land, med utviklingen av astronomi og matematikk i seg selv. De var i stand til å løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. e. babylonere. Reglene for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med de moderne, men disse tekstene mangler konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Antikkens Hellas

Forskere som Diophantus, Euclid og Heron var også involvert i å løse andregradsligninger i antikkens Hellas. Diophantus Diophantus av Alexandria er en gammel gresk matematiker som antagelig levde i det 3. århundre e.Kr. Hovedverket til Diophantus er "Aritmetikk" i 13 bøker. Euklid. Euclid er en gammel gresk matematiker, forfatteren av den første av de eksisterende teoretiske avhandlingene om matematikk, Heron. Heron er en gresk matematiker og ingeniør for første gang i Hellas i det 1. århundre e.Kr. gir en rent algebraisk måte å løse den andregradsligningen på

India

Problemer for kvadratiske ligninger er allerede møtt i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (VII århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger, redusert til en enkelt kanonisk form: ax2 + bx = c, a> 0. (1) I ligning (1) kan koeffisientene være negative . Brahmagupta-regelen er i hovedsak den samme som vår. I India var offentlig konkurranse om vanskelige problemer vanlig. En av de gamle indiske bøkene sier om slike konkurranser: "Som solen formørker stjernene med sin glans, slik vil den lærde mannen formørke herligheten i populære forsamlinger, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgavene var ofte kledd i poetisk form.

Her er en av oppgavene til den berømte indiske matematikeren fra XII-tallet. Bhaskaras.

"Frisk flokk aper

Og tolv lianer spiste jeg med krefter, hadde det gøy

De begynte å hoppe mens de hang

Del åttende i rute

Hvor mange aper var det

Jeg ble underholdt i lysningen

Fortell meg, i denne pakken?"

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren visste om de to-verdiede røttene til kvadratiske ligninger. Bhaskars likning som tilsvarer oppgaven er skrevet under dekke av x2 - 64x = - 768, og for å fullføre venstre side av denne likningen til et kvadrat, legger du til 322 på begge sider, og får da: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024, (x - 32) 2 = 256, x - 32 = ± 16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratiske ligninger i Europa på 1600-tallet

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til Al - Khorezmi i Europa ble først presentert i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler innflytelsen fra matematikk, både i islams land og i antikkens Hellas, utmerker seg både ved fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på å løse problemer og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredning av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra "Book of the Abacus" ble overført til nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII. Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig i Viet, men Viet anerkjente bare positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. Vurder, i tillegg til positive og negative røtter. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse andregradsligninger en moderne form.

Definisjon av en andregradsligning

En likning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a, b, c er tall, kalles kvadrat.

Kvadratiske ligningskoeffisienter

Tallene a, b, c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen. A er den første koeffisienten (før x²), a ≠ 0; b er den andre koeffisienten (før x); c er frileddet (uten x).

Hvilke av de gitte ligningene er ikke kvadratiske?

1. 4x² + 4x + 1 = 0; 2. 5x - 7 = 0; 3. - x² - 5x - 1 = 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 = 0; 5. ¼ x² - 6x + 1 = 0; 6. 2x² = 0;

7,4x² + 1 = 0; 8. x² - 1 / x = 0; 9. 2x² - x = 0; 10. x² -16 = 0; 11. 7x² + 5x = 0; 12. -8x² = 0; 13. 5x³ + 6x -8 = 0.

Typer andregradsligninger

Navn	Generell oversikt over ligningen	Funksjon (hva er koeffisientene)	Eksempler på ligninger
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - andre tall enn 0	1 / 3x 2 + 5x - 1 = 0
Ufullstendig
			x 2 - 1 / 5x = 0
Det gitte	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Redusert kalles en kvadratisk ligning der den ledende koeffisienten er lik én. En slik ligning kan fås ved å dele hele uttrykket med den ledende koeffisienten en:

x 2 + px + q = 0, p = b / a, q = c / a

En slik kvadratisk ligning kalles komplett, alle koeffisientene er ikke null.

Ufullstendig er en andregradsligning der minst én av koeffisientene, bortsett fra den ledende (enten den andre koeffisienten eller frileddet) er lik null.

Metoder for å løse andregradsligninger

Metode I. Generell formel for beregning av røtter

For å finne røttene til en andregradsligning øks 2 + b + c = 0 Generelt bør følgende algoritme brukes:

Regn ut verdien av diskriminanten til en kvadratisk ligning: dette kalles uttrykket D = b 2 - 4ac

Utledning av formelen:

Merk: det er åpenbart at formelen for en rot av multiplisitet 2 er et spesialtilfelle av den generelle formelen, oppnådd ved å erstatte likheten D = 0 i den, og konklusjonen om fraværet av reelle røtter ved D0, og (displaystyle (sqrt ( -1)) = i) = i.

Den beskrevne metoden er universell, men den er langt fra den eneste. Løsningen av en ligning kan tilnærmes på forskjellige måter, preferanser avhenger vanligvis av den mest avgjørende. I tillegg, ofte for dette, viser noen av metodene seg å være mye mer elegante, enkle, mindre tidkrevende enn standarden.

Metode II. Kvadratiske røtter med jevn koeffisient b Metode III. Løse ufullstendige andregradsligninger

Metode IV. Bruke partielle forhold av koeffisienter

Det er spesielle tilfeller av kvadratiske ligninger der koeffisientene står i relasjoner med hverandre, noe som gjør det mye lettere å løse dem.

Røttene til en kvadratisk ligning der summen av den ledende koeffisienten og skjæringspunktet er lik den andre koeffisienten

Hvis i en andregradsligning øks 2 + bx + c = 0 summen av den første koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten: a + b = c, da er røttene -1 og tallet motsatt av forholdet mellom frileddet og ledende koeffisient ( -c/a).

Derfor, før du løser en annengradsligning, bør man sjekke muligheten for å bruke denne teoremet på den: sammenlign summen av den ledende koeffisienten og det frie leddet med den andre koeffisienten.

Røttene til en kvadratisk ligning, hvor summen av alle koeffisientene er lik null

Hvis summen av alle koeffisientene i en kvadratisk ligning er null, er røttene til en slik ligning 1 og forholdet mellom det frie leddet og den ledende koeffisienten ( c/a).

Derfor, før du løser ligningen med standardmetoder, bør man sjekke anvendeligheten til denne teoremet på den: legg til alle koeffisientene til denne ligningen og se om denne summen er lik null.

V metode. Dekomponering av et kvadratisk trinomium til lineære faktorer

Hvis en ternær av formen (visningsstil ax ^ (2) + bx + c (anot = 0)) ax 2 + bx + c (a ≠ 0) kan på en eller annen måte representeres som et produkt av lineære faktorer (visningsstil (kx + m) (lx + n) = 0) (kx + m) (lx + n), så kan du finne røttene til ligningen øks 2 + bx + c = 0- de vil være -m / k og n / l, faktisk fordi (visningsstil (kx + m) (lx + n) = 0Langvenstrepil kx + m = 0kopp lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n, og ved å løse de indikerte lineære ligningene får vi ovenstående. Merk at det kvadratiske trinomiale ikke alltid dekomponeres i lineære faktorer med reelle koeffisienter: dette er mulig hvis den tilsvarende ligningen har reelle røtter.

La oss vurdere noen spesielle tilfeller

Bruke formelen for kvadratsum (forskjell).

Hvis et kvadratisk trinomium har formen (visningsstil (ax) ^ (2) + 2abx + b ^ (2)) ax 2 + 2abx + b 2, og bruker formelen ovenfor på det, kan vi faktorere det inn i lineære faktorer og, finn derfor røtter:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Ekstraksjon av hele kvadratet av summen (forskjell)

Den navngitte formelen brukes også ved å bruke en metode som kalles "utheving av hele kvadratet av summen (forskjellen)". Med hensyn til den gitte kvadratiske ligningen med de tidligere introduserte betegnelsene, betyr dette følgende:

Merk: hvis du la merke til, faller denne formelen sammen med den som er foreslått i avsnittet "Røttene til den reduserte kvadratiske ligningen", som igjen kan fås fra den generelle formelen (1) ved å erstatte likheten a = 1. Dette faktum er ikke bare en tilfeldighet: med den beskrevne metoden, etter å ha gjort noen ekstra resonnementer, er det mulig å utlede en generell formel, samt å bevise egenskapene til diskriminanten.

VI metode. Ved å bruke Vietas direkte og inverse teorem

Vietas direkte teorem (se nedenfor i avsnittet med samme navn) og dets omvendte teorem tillater å løse de reduserte kvadratiske ligningene muntlig, uten å ty til ganske tungvinte beregninger ved å bruke formel (1).

I følge det omvendte teoremet er et hvilket som helst tallpar (tall) (visningsstil x_ (1), x_ (2)) x 1, x 2, som er en løsning på følgende ligningssystem, røttene til ligningen

I det generelle tilfellet, det vil si for en enestående kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b / a, x 1 * x 2 = c / a

Den direkte teoremet vil hjelpe deg med å finne muntlige tall som tilfredsstiller disse ligningene. Med dens hjelp kan du bestemme tegnene på røttene uten å kjenne røttene selv. For å gjøre dette, bør du bli veiledet av regelen:

1) hvis frileddet er negativt, så har røttene forskjellige fortegn, og den største i absoluttverdi av røttene er tegnet motsatt tegnet til den andre koeffisienten i ligningen;

2) hvis frileddet er positivt, så har begge røttene samme fortegn, og dette er motsatt fortegn på den andre koeffisienten.

VII metode. Overføringsmetode

Den såkalte "overføringsmetoden" lar deg redusere løsningen av ikke-redusert og ikke-konverterbar til formen redusert med heltallskoeffisienter ved å dele dem med den ledende koeffisienten til ligningene til løsningen redusert med heltallskoeffisienter. Det er som følger:

Løs deretter ligningen muntlig som beskrevet ovenfor, gå deretter tilbake til den opprinnelige variabelen og finn røttene til ligningene (visningsstil y_ (1) = ax_ (1)) y 1 = øks 1 og y 2 = øks 2 . (visningsstil y_ (2) = ax_ (2))

Geometrisk betydning

Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning kalles abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og abscisseaksen. Hvis en parabel beskrevet av en kvadratisk funksjon ikke skjærer abscissen, har ligningen ingen reelle røtter. Hvis en parabel skjærer abscissen på ett punkt (ved toppunktet til parablen), har ligningen én reell rot (det sies også at ligningen har to sammenfallende røtter). Hvis parabelen krysser abscisseaksen ved to punkter, har ligningen to reelle røtter (se bildet til høyre.)

Hvis koeffisienten (visningsstil a) en positiv, grenene til parablen er rettet oppover og omvendt. Hvis koeffisienten (visningsstil b) b positiv (med positiv (visningsstil a) en, for negativ, omvendt), så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan og omvendt.

Anvendelse av andregradsligninger i livet

Andregradsligningen er utbredt. Det brukes i mange beregninger, strukturer, sport, og også rundt oss.

La oss vurdere og gi noen eksempler på anvendelsen av den kvadratiske ligningen.

Sport. Høye hopp: når hopperen tar av, brukes beregningene knyttet til parabelen for det mest nøyaktige treffet på startstangen og høyflyging.

Også lignende beregninger er nødvendig i kasting. Flyrekkevidden til et objekt avhenger av kvadratisk ligning.

Astronomi. Banen til planetene kan bli funnet ved å bruke den kvadratiske ligningen.

Flyreise. Starten av flyet er hovedkomponenten i flyturen. Her er beregningen tatt for liten luftmotstand og startakselerasjon.

Dessuten brukes kvadratiske ligninger i ulike økonomiske disipliner, i programmer for behandling av lyd, video, vektor- og rastergrafikk.

Konklusjon

Som et resultat av arbeidet som ble gjort, viste det seg at kvadratiske ligninger tiltrakk seg forskere i antikken, de hadde allerede møtt dem når de løste noen problemer og prøvde å løse dem. Ved å vurdere ulike måter å løse andregradsligninger på, kom jeg til den konklusjon at ikke alle er enkle. Etter min mening er den beste måten å løse andregradsligninger på å bruke formler. Formler er enkle å huske, denne metoden er universell. Hypotesen om at ligninger er mye brukt i livet og matematikken ble bekreftet. Etter å ha studert emnet, lærte jeg mange interessante fakta om kvadratiske ligninger, deres bruk, anvendelse, typer, løsninger. Og jeg vil fortsette å studere dem med glede. Håper dette hjelper meg til å gjøre det bra på eksamenene mine.

Liste over brukt litteratur

Materialer på nettstedet:

Wikipedia

Åpen leksjon.rf

Håndbok i elementær matematikk Vygodsky M. Ya.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 eller x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Etter å ha lært å løse likninger av første grad, vil jeg selvfølgelig jobbe med andre, spesielt med likninger av andre grad, som på en annen måte kalles kvadratiske.

Kvadratiske ligninger er ligninger av typen ax ² + bx + c = 0, hvor variabelen er x, tallene vil være - a, b, c, der a ikke er lik null.

Hvis i en kvadratisk ligning er den ene eller den andre koeffisienten (c eller b) lik null, vil denne ligningen referere til en ufullstendig kvadratisk ligning.

Hvordan kan man løse en ufullstendig andregradsligning hvis elevene så langt kun har kunnet løse førstegradsligninger? Vurder ufullstendige andregradsligninger av forskjellige typer og enkle måter å løse dem på.

a) Hvis koeffisienten c er lik 0, og koeffisienten b ikke er lik null, reduseres ax ² + bx + 0 = 0 til en ligning på formen ax ² + bx = 0.

For å løse en slik ligning, må du kjenne formelen for å løse en ufullstendig kvadratisk ligning, som består i å faktorisere venstre side av den og senere bruke betingelsen om produktets likhet til null.

For eksempel, 5x ² - 20x = 0. Faktor venstre side av ligningen mens du utfører den vanlige matematiske operasjonen: ta den felles faktoren ut av parentesen

5x (x - 4) = 0

Vi bruker betingelsen om at produktene er lik null.

5 x = 0 eller x - 4 = 0

Svaret vil være: den første roten er 0; den andre roten er 4.

b) Hvis b = 0, og frileddet ikke er lik null, reduseres likningen ax ² + 0x + c = 0 til en likning på formen ax ² + c = 0. Ligningene løses på to måter : a) ved å utvide polynomet til ligningen på venstre side til faktorer ; b) ved å bruke egenskapene til den aritmetiske kvadratroten. En slik ligning løses ved en av metodene, for eksempel:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Svaret er: den første roten er 5/2; den andre roten er - 5/2.

c) Hvis b er lik 0 og c er lik 0, så reduseres ax ² + 0 + 0 = 0 til en likning på formen ax ² = 0. I en slik likning vil x være lik 0.

Som du kan se, kan ufullstendige kvadratiske ligninger ikke ha mer enn to røtter.