Sekvenser og deres typer. Tallrekkekonsept. Eksempler på ubegrensede stigende sekvenser

La X (\ displaystil X) er enten et sett med reelle tall R (\ displaystyle \ mathbb (R)), eller settet med komplekse tall C (\ displaystyle \ mathbb (C))... Deretter sekvensen (x n) n = 1 ∞ (\ displaystyle \ (x_ (n) \) _ (n = 1) ^ (\ infty)) elementer i settet X (\ displaystil X) kalt numerisk rekkefølge.

Eksempler av

Sekvensoperasjoner

Følger

Etterfølge sekvenser (x n) (\ visningsstil (x_ (n))) er sekvensen (x n k) (\ visningsstil (x_ (n_ (k)))), hvor (n k) (\ displaystyle (n_ (k)))- en økende sekvens av elementer i settet med naturlige tall.

Med andre ord, en undersekvens oppnås fra en sekvens ved å fjerne et begrenset eller tellbart antall elementer.

Eksempler av

En sekvens av primtall er en undersekvens av en sekvens av naturlige tall.
En sekvens av multipler av naturlige tall er en undersekvens av en sekvens av partall naturlige tall.

Egenskaper

Begrens sekvensen er et punkt, i ethvert nabolag som det er uendelig mange elementer i denne sekvensen av. For konvergerende tallsekvenser er grensepunktet det samme som grensen.

Sekvensgrense

Sekvensgrense er et objekt som medlemmene av sekvensen nærmer seg med økende antall. Så, i et vilkårlig topologisk rom, er grensen for en sekvens et element i ethvert nabolag som alle medlemmene av sekvensen ligger i, og starter med noen. Spesielt for numeriske sekvenser er grensen et tall i et hvilket som helst nabolag hvor alle medlemmene av sekvensen ligger fra en eller annen.

Grunnleggende sekvenser

Grunnleggende sekvens (konvergerende sekvens , Cauchy sekvens ) er en sekvens av elementer av metrisk rom, der det for enhver forhåndsbestemt avstand er et slikt element, hvor avstanden til noen av de følgende elementene ikke overskrider en gitt. For numeriske sekvenser er begrepene fundamentale og konvergerende sekvenser likeverdige, men generelt er dette ikke tilfelle.

Numerisk rekkefølge er en numerisk funksjon definert på settet med naturlige tall .

Hvis funksjonen er satt på settet med naturlige tall
, da vil settet med verdier til funksjonen kunne telles og hvert tall
samsvarer med tallet
... I dette tilfellet sier de at gitt numerisk rekkefølge... Tallene kalles elementer eller medlemmer av sekvensen, og nummeret - generelt eller Medlemmet av sekvensen. Hvert element har et oppfølgingselement
... Dette forklarer bruken av begrepet "sekvens".

En sekvens settes vanligvis enten ved å telle elementene, eller ved å spesifisere loven som elementet med tallet beregnes etter. , dvs. angir formelen Medlemmet .

Eksempel.Sekvens
kan gis av formelen:
.

Vanligvis er sekvensene utpekt som følger: etc., hvor formelen er angitt i parentes medlem.

Eksempel.Sekvens
‑dette er sekvensen

Sett med alle elementer i sekvensen
angitt
.

La
og
- to sekvenser.

MED ummah sekvenser
og
samtalesekvens
, hvor
, dvs.

R overfloden disse sekvensene kalles sekvensen
, hvor
, dvs.

Hvis og ‑ konstant, deretter sekvensen
,
er kalt lineær kombinasjon sekvenser
og
, dvs.

Etter produkt sekvenser
og
kalle en sekvens med -te medlem
, dvs.
.

Hvis
, så kan du definere privat
.

Sum, differanse, produkt og kvotient av sekvenser
og
de kalles algebraiskkomposisjoner.

Eksempel.Vurder sekvensene
og
, hvor. Deretter
, dvs. sekvens
har alle elementer lik null.

,
, dvs. alle elementer i arbeidet og kvotienten er like
.

Hvis du krysser ut noen elementer i sekvensen
slik at et uendelig antall elementer gjenstår, så får vi en annen sekvens, kalt etterfølge sekvenser
... Hvis du krysser ut de første elementene i sekvensen
, så kalles den nye sekvensen resten.

Sekvens
begrensetovenfor(nedenfra) hvis settet
avgrenset øverst (nederst). Sekvensen kalles begrenset hvis den er avgrenset over og under. Sekvensen er begrenset hvis og bare hvis noen av resten er begrenset.

Konvergerende sekvenser

De sier det sekvens
konvergerer hvis det er et tall slik at for noen
det er slikt
det for noen
, ulikheten gjelder:
.

Nummer er kalt rekkefølgegrense
... Skriv samtidig
eller
.

Eksempel.
.

La oss vise det
... La oss sette et hvilket som helst tall
... Ulikhet
utført for
slik at
at definisjonen av konvergens er oppfylt for tallet
... Midler,
.

Med andre ord
betyr at alle medlemmer av sekvensen
med tilstrekkelig store tall skiller seg lite fra antallet , dvs. starter fra et tall
(for) elementene i sekvensen er i intervallet
som kalles - området til punktet .

Sekvens
, hvis grense er null (
, eller
på
) er kalt uendelig liten.

Med hensyn til infinitesimal er følgende utsagn sanne:

Summen av to infinitesimal er infinitesimal;

Produktet av en infinitesimal med en begrenset mengde er infinitesimal.

Teorem .For å få konsistens
har en grense, er det nødvendig og tilstrekkelig at
, hvor - konstant; - uendelig liten .

Grunnleggende egenskaper ved konvergerende sekvenser:

Egenskaper 3. og 4. generaliserer til tilfellet av et hvilket som helst antall konvergerende sekvenser.

Legg merke til at når du beregner grensen for en brøk, er telleren og nevneren lineære kombinasjoner av potenser , grensen for brøken er lik grensen for forholdet mellom de høyeste leddene (dvs. leddene som inneholder de største potensene teller og nevner).

Sekvens
kalt:

Alle slike sekvenser kalles monotont.

Teorem . Hvis sekvensen
øker monotont og er avgrenset ovenfra, så konvergerer den og grensen er lik den nøyaktige øvre grensen; hvis sekvensen avtar og er avgrenset nedenfra, så konvergerer den til sin nøyaktige nedre grense.

Sekvens

Sekvens- det sett elementer i et sett:

for hvert naturlig tall kan du spesifisere et element i dette settet;
dette tallet er elementnummeret og indikerer posisjonen til dette elementet i sekvensen;
for et hvilket som helst element (medlem) i sekvensen, kan du spesifisere neste element i sekvensen.

Så sekvensen er resultatet konsistent utvalg av elementer i et gitt sett. Og hvis et sett med elementer er endelig, og vi snakker om et utvalg av et endelig volum, så viser sekvensen seg å være et utvalg av et uendelig volum.

En sekvens er i sin natur et display, så den må ikke forveksles med et sett som "løper" gjennom sekvensen.

Mange forskjellige sekvenser vurderes i matematikk:

tidsserier av både numerisk og ikke-numerisk karakter;
sekvenser av elementer i metrisk rom
sekvenser av funksjonelle romelementer
sekvens av tilstander for kontrollsystemer og automater.

Målet med å studere alle slags sekvenser er å finne mønstre, forutsi fremtidige tilstander og generere sekvenser.

Definisjon

La et sett med elementer av vilkårlig natur gis. | Enhver tilordning av settet med naturlige tall til et gitt sett kalles sekvens(elementer i settet).

Bildet av et naturlig tall, nemlig et element, kalles - th medlem av eller sekvenselement, og ordenstallet til et medlem av sekvensen er dens indeks.

Beslektede definisjoner

Hvis vi tar en økende sekvens av naturlige tall, kan den betraktes som en sekvens av indekser av en viss sekvens: hvis vi tar elementene i den opprinnelige sekvensen med de tilsvarende indeksene (hentet fra en økende sekvens av naturlige tall), så vi kan igjen få en sekvens, som kalles etterfølge en gitt sekvens.

Kommentarer (1)

I matematisk analyse er et viktig konsept grensen for en tallsekvens.

Betegnelser

Sekvenser av skjemaet

det er vanlig å skrive kompakt med parenteser:

eller

krøllete seler brukes noen ganger:

Ved å tillate en viss ytringsfrihet, kan man også vurdere endelige sekvenser av formen

som representerer bildet av det innledende segmentet av en sekvens av naturlige tall.

se også

Wikimedia Foundation. 2010.

Synonymer:

Se hva "Sequence" er i andre ordbøker:

SEKVENS. I IV Kireevskys artikkel «The Nineteenth Century» (1830) leser vi: «Fra Romerrikets fall til vår tid, viser Europas opplysning seg for oss i en gradvis utvikling og i en uavbrutt sekvens» (bd. 1, s. ... ... Ordenes historie

SEKVENS, sekvenser, pl. nei, koner. (bok). distrahere. substantiv til konsekvent. En sekvens av noen slags fenomener. Konsistens i endringen av flo og fjære. Konsistens i resonnement. Ushakovs forklarende ordbok. ... ... Ushakovs forklarende ordbok

Konsistens, kontinuitet, konsistens; rad, progresjon, konklusjon, serie, streng, suksesjon, kjede, kjede, kaskade, relé; utholdenhet, gyldighet, rekruttering, metodikk, ordning, harmoni, utholdenhet, etterfølge, forbindelse, tur, ... ... Synonymordbok

SEKVENS, tall eller elementer i organisert rekkefølge. Sekvenser kan være endelige (med et begrenset antall elementer) eller uendelige, som den komplette sekvensen av naturlige tall 1, 2, 3, 4 .... ... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

SEQUENCE, et sett med tall (matematiske uttrykk, etc.; de sier: elementer av enhver art), nummerert med naturlige tall. Sekvensen skrives som x1, x2, ..., xn, ... eller kort tid (xi) ... Moderne leksikon

Et av de grunnleggende begrepene i matematikk. Sekvensen er dannet av elementer av en hvilken som helst art, nummerert med naturlige tall 1, 2, ..., n, ..., og skrevet i formen x1, x2, ..., xn, ... eller kort tid (xn) ) ... Stor encyklopedisk ordbok

Sekvens- SEQUENCE, et sett med tall (matematiske uttrykk, etc.; de sier: elementer av enhver art), nummerert med naturlige tall. Sekvensen skrives som x1, x2, ..., xn, ... eller kort (xi). ... Illustrert encyklopedisk ordbok

SEKVENS, og, koner. 1. se sekvensiell. 2. I matematikk: et uendelig ordnet sett med tall. Ozhegovs forklarende ordbok. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Ozhegovs forklarende ordbok

Engelsk. rekkefølge / sekvens; tysk Konsequenz. 1. Rekkefølgen etter hverandre. 2. Et av de grunnleggende begrepene i matematikk. 3. Kvaliteten på korrekt logisk tenkning, mens resonnement er fri for indre motsetninger i en og samme ... ... Encyclopedia of Sociology

Sekvens- "en funksjon definert på settet med naturlige tall, hvis verdisett kan bestå av elementer av enhver art: tall, punkter, funksjoner, vektorer, sett, tilfeldige variabler, etc., nummerert med naturlige tall .. . Ordbok for økonomi og matematikk

Bøker

Vi bygger en sekvens. Kattunger. 2-3 år,. Spillet "Kattunger". Vi bygger en sekvens. 1. nivå. Serien "Førskoleopplæring". Morsomme kattunger bestemte seg for å sole seg på stranden! Men de kan ikke dele plasser på noen måte. Hjelp dem å finne ut av det! ...

Hvis hvert naturlig tall n er assosiert med et reelt tall x n, så sier de det gitt numerisk rekkefølge

x 1 , x 2 , … x n , …

Nummer x 1 kalles et medlem av sekvensen med nummer 1 eller det første medlemmet av sekvensen, Nummer x 2 - et medlem av sekvensen med nummer 2 eller det andre leddet i sekvensen osv. Tallet x n kalles medlem av sekvensen nummerert n.

Det er to måter å spesifisere tallsekvenser på - med og med tilbakevendende formel.

Sekvensering med vanlige begrepsformler Er en sekvensoppgave

x 1 , x 2 , … x n , …

ved å bruke en formel som uttrykker avhengigheten av begrepet x n av tallet n.

Eksempel 1. Nummerrekkefølge

1, 4, 9, … n 2 , …

gitt ved bruk av fellesbegrepsformelen

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Sekvensering ved hjelp av en formel som uttrykker et medlem av sekvensen x n i form av sekvensmedlemmene med foregående tall kalles sekvensering ved å bruke tilbakevendende formel.

x 1 , x 2 , … x n , …

er kalt økende sekvens, mer det foregående medlemmet.

Med andre ord for alle n

x n + 1 >x n

Eksempel 3. Sekvens av naturlige tall

1, 2, 3, … n, …

er en økende sekvens.

Definisjon 2. Numerisk rekkefølge

x 1 , x 2 , … x n , …

er kalt avtagende sekvens, hvis hvert medlem av denne sekvensen mindre det foregående medlemmet.

Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, ... ulikheten

x n + 1 < x n