En av metodene for å løse en andregradsligning er å bruke VIETA formler, som ble oppkalt etter FRANCOIS VIET.

Han var en kjent advokat og tjenestegjorde under den franske kongen på 1500-tallet. På fritiden studerte han astronomi og matematikk. Han etablerte en forbindelse mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning.

Fordeler med formelen:

1 ... Ved å bruke en formel kan du raskt finne en løsning. Fordi du ikke trenger å skrive inn den andre koeffisienten i kvadratet, så trekk 4ac fra den, finn diskriminanten, bytt inn verdien i formelen for å finne røttene.

2 ... Uten en løsning kan du bestemme tegnene til røttene, plukke opp betydningen av røttene.

3 ... Etter å ha løst systemet med to poster, er det lett å finne selve røttene. I den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene lik verdien av den andre koeffisienten med et minustegn. Produktet av røttene i den gitte kvadratiske ligningen er lik verdien av den tredje koeffisienten.

4 ... Bruk disse røttene, skriv ned en andregradsligning, det vil si løs det omvendte problemet. For eksempel brukes denne metoden til å løse problemer innen teoretisk mekanikk.

5 ... Det er praktisk å bruke formelen når den ledende koeffisienten er lik én.

Feil:

1 ... Formelen er ikke universell.

Vietas teorem karakter 8

Formel
Hvis x 1 og x 2 er røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0, så:

Eksempler av
x 1 = -1; x 2 = 3 - røttene til ligningen x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Det omvendte teoremet

Formel
Hvis tallene x 1, x 2, p, q er relatert av betingelsene:

Da er x 1 og x 2 røttene til ligningen x 2 + px + q = 0.

Eksempel
La oss komponere en kvadratisk ligning for røttene:

X 1 = 2 -? 3 og x 2 = 2 +? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 -? 3) (2 +? 3) = 4 - 3 = 1.

Den nødvendige ligningen er: x 2 - 4x + 1 = 0.

Når man studerer metoder for å løse andreordens ligninger i et skolealgebrakurs, vurderes egenskapene til de oppnådde røttene. De er nå kjent som Vietas teorem. Eksempler på bruken er gitt i denne artikkelen.

Kvadratisk ligning

Den andre ordensligningen er likheten, som er vist på bildet nedenfor.

Her er symbolene a, b, c noen tall som kalles koeffisientene til ligningen som vurderes. For å løse en likhet, må du finne verdiene til x som gjør den sann.

Merk at siden den maksimale verdien av potensen som x heves til er to, så er antallet røtter i det generelle tilfellet også to.

Det er flere måter å løse denne typen likestilling på. I denne artikkelen vil vi vurdere en av dem, som innebærer bruk av det såkalte Vieta-teoremet.

Vietas teoremformulering

På slutten av 1500-tallet la den berømte matematikeren François Viet (fransk) merke til, ved å analysere egenskapene til røttene til forskjellige kvadratiske ligninger, at visse kombinasjoner av dem tilfredsstiller spesifikke forhold. Spesielt er disse kombinasjonene deres produkt og sum.

Vietas teorem fastslår følgende: røttene til en kvadratisk ligning, når de summerer, gir forholdet mellom koeffisientene til det lineære og kvadratiske tatt med motsatt fortegn, og når de multipliseres, fører de til forholdet mellom det frie leddet til den kvadratiske koeffisienten.

Hvis den generelle formen til ligningen er skrevet som vist på bildet i forrige del av artikkelen, kan matematisk denne teoremet skrives i form av to likheter:

• r2 + r1 = -b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Der r 1, r 2 er verdien av røttene til den aktuelle ligningen.

Disse to likhetene kan brukes til å løse en rekke svært forskjellige matematiske problemer. Bruken av Vietas teorem i eksempler med løsninger er gitt i de følgende delene av artikkelen.

I åttende klasse blir elevene introdusert for andregradsligninger og hvordan de løser dem. Samtidig, som erfaringen viser, bruker de fleste elever kun én metode når de løser komplette andregradsligninger – formelen for røttene til en andregradsligning. For elever med gode muntlige telleferdigheter er denne metoden helt klart irrasjonell. Elever må ofte løse andregradsligninger på videregående, og der er det rett og slett synd å kaste bort tid på å beregne diskriminanten. Etter min mening, når man studerer kvadratiske ligninger, bør mer tid og oppmerksomhet rettes mot anvendelsen av Vietas teorem (i henhold til programmet til AG Mordkovich Algebra-8, for å studere emnet "Vietas teorem. Dekomponering av et kvadratisk trinomium til lineære faktorer ” er planlagt i bare to timer).

I de fleste algebra-lærebøker er denne teoremet formulert for en redusert kvadratisk ligning og sier at hvis ligningen har røtter, og så gjelder likhetene for dem. Deretter formuleres et utsagn som er det motsatte av Vietas teorem, og det foreslås en rekke eksempler for å utrede dette temaet.

La oss ta spesifikke eksempler og spore logikken til løsningen på dem ved å bruke Vietas teorem.

Eksempel 1. Løs ligningen.

Anta at denne ligningen har røtter, nemlig og. Så, ved Vietas teorem, likhetene

Merk at produktet av røttene er et positivt tall. Dette betyr at røttene til ligningen er av samme fortegn. Og siden summen av røttene også er et positivt tall, konkluderer vi med at begge røttene til ligningen er positive. La oss gå tilbake til produktet av røtter. Anta at røttene til ligningen er positive heltall. Da kan den riktige første likheten kun oppnås på to måter (opp til rekkefølgen av faktorene): eller. La oss sjekke tilfredsstillelsen til den andre setningen i Vietas teorem for de foreslåtte tallparene: ... Dermed tilfredsstiller tallene 2 og 3 begge likhetene, og er derfor røttene til den gitte ligningen.

Svar: 2; 3.

La oss fremheve hovedstadiene av resonnement når vi løser den reduserte kvadratiske ligningen ved å bruke Vietas teorem:

skriv utsagnet til Vietas teorem

(*)

• Bestem tegnene til røttene til ligningen (Hvis produktet og summen av røttene er positive, så er begge røttene positive tall. Hvis produktet av røttene er et positivt tall, og summen av røttene er negativ, så begge røttene er negative tall Hvis produktet av røttene er et negativt tall, så har røttene I dette tilfellet, hvis summen av røttene er positiv, så er roten med størst modul et positivt tall, og hvis summen av røttene er mindre enn null, så er roten med den største modulen et negativt tall);
• velg par med heltall, hvis produkt gir riktig første likhet i notasjonen (*);
• fra de funnet tallparene, velg paret som, når det erstattes med den andre likheten i notasjonen (*), vil gi den riktige likheten;
• angi de funne røttene til ligningen i svaret.

Her er noen flere eksempler.

Eksempel 2. Løs ligningen .

Løsning.

La og være røttene til den gitte ligningen. Deretter, ved Vietas teorem, Legg merke til at produktet er positivt, og summen er et negativt tall. Derfor er begge røttene negative tall. Vi velger ut faktorpar som gir produktet 10 (-1 og -10; -2 og -5). Det andre tallparet summerer seg til -7. Derfor er tallene -2 og -5 røttene til denne ligningen.

Svar: -2; -5.

Eksempel 3. Løs ligningen .

Løsning.

La og være røttene til den gitte ligningen. Så ved Vietas teorem Legg merke til at produktet er negativt. Dette betyr at røttene er av forskjellige tegn. Summen av røttene er også et negativt tall. Dette betyr at roten med størst modul er negativ. Vi velger ut faktorpar som gir produktet -10 (1 og -10; 2 og -5). Det andre tallparet summerer seg til -3. Derfor er tallene 2 og -5 røttene til denne ligningen.

Svar: 2; -5.

Legg merke til at Vietas teorem i prinsippet kan formuleres for en komplett kvadratisk ligning: hvis den andregradsligningen har røtter, og så holder likestillingene for dem. Imidlertid er anvendelsen av denne teoremet ganske problematisk, siden i en fullstendig kvadratisk ligning er minst én av røttene (hvis noen, selvfølgelig) et brøktall. Og arbeidet med valg av brøker er langt og vanskelig. Men likevel er det en vei ut.

Tenk på den komplette andregradsligningen ... Vi multipliserer begge sider av ligningen med den første koeffisienten en og skriv ligningen i skjemaet ... Vi introduserer en ny variabel og får en redusert kvadratisk ligning, hvis røtter og (hvis noen) kan finnes av Vietas teorem. Da vil røttene til den opprinnelige ligningen være. Merk at det er veldig enkelt å tegne den reduserte hjelpeligningen: den andre koeffisienten er bevart, og den tredje koeffisienten er lik produktet ess... Med en viss ferdighet komponerer elevene umiddelbart en hjelpeligning, finner røttene i henhold til Vietas teorem og angir røttene til en gitt fullstendig ligning. Her er noen eksempler.

Eksempel 4. Løs ligningen .

La oss komponere en hjelpeligning og ved Vietas teorem finner vi dens røtter. Dette betyr at røttene til den opprinnelige ligningen .

Svar: .

Eksempel 5. Løs ligningen .

Hjelpeligningen har formen. Ved Vietas teorem, dets røtter. Finn røttene til den opprinnelige ligningen .

Svar: .

Og ett tilfelle til når anvendelsen av Vietas teorem lar deg muntlig finne røttene til en komplett kvadratisk ligning. Det er ikke vanskelig å bevise det tallet 1 er roten til ligningen , hvis og bare hvis... Den andre roten av ligningen er funnet av Vietas teorem og er lik. En annen uttalelse: slik at tallet –1 er roten til ligningen nødvendig og tilstrekkelig til... Da er den andre roten av ligningen ved Vietas teorem lik. Lignende utsagn kan formuleres for den reduserte andregradsligningen.

Eksempel 6. Løs ligningen.

Merk at summen av koeffisientene til ligningen er lik null. Derfor røttene til ligningen .

Svar: .

Eksempel 7. Løs ligningen.

Koeffisientene til denne ligningen tilfredsstiller egenskapen (faktisk, 1 - (- 999) + (- 1000) = 0). Derfor røttene til ligningen .

Svar: ..

Eksempler på anvendelsen av Vietas teorem

Oppgave 1. Løs den gitte andregradslikningen ved å bruke Vietas teorem.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Oppgave 2. Løs hele andregradsligningen ved å gå til den reduserte hjelpeligningen.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Oppgave 3. Løs den andregradsligningen ved å bruke egenskapen.

2.5 Vietas formel for polynomer (ligninger) av høyere grader

Formlene utledet av Viet for kvadratiske ligninger er også gyldige for polynomer med høyere grader.

La polynomet

P (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +... + a n

Har n forskjellige røtter x 1, x 2…, x n.

I dette tilfellet har den en faktorisering av formen:

a 0 x n + a 1 x n-1 +... + a n = a 0 (x - x 1) (x - x 2)... (x - x n)

Vi deler begge sider av denne likheten med en 0 ≠ 0 og utvider parentesene i den første delen. Vi får likestilling:

xn + () xn -1 +... + () = xn - (x 1 + x 2 +... + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +... + xn -1 xn) xn - 2 +... + (- 1) nx 1 x 2... xn

Men to polynomer er identisk like hvis og bare hvis koeffisientene ved samme grader er like. Derfor følger det at likheten

x 1 + x 2 +... + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +... + x n -1 x n =

x 1 x 2 ... x n = (-1) n

For eksempel for tredjegradspolynomer

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Vi har identitetene

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Når det gjelder kvadratiske ligninger, kalles denne formelen Vietas formler. Venstresidene av disse formlene er symmetriske polynomer fra røttene x 1, x 2 ..., x n av denne ligningen, og høyresidene uttrykkes gjennom koeffisienten til polynomet.

2.6 Ligninger som kan reduseres til kvadrat (bikvadrat)

Ligninger av fjerde grad reduseres til kvadratiske ligninger:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kalt biquadratisk, og, og ≠ 0.

Det er nok å sette inn denne ligningen x 2 = y, derfor,

ay² + by + c = 0

finn røttene til den resulterende kvadratiske ligningen

y 1,2 =

For å finne røttene x 1, x 2, x 3, x 4 samtidig, bytt ut y med x og få

x² =

x 1,2,3,4 = .

Hvis ligningen av fjerde grad har x 1, så har den også en rot x 2 = -x 1,

Hvis den har x 3, så er x 4 = - x 3. Summen av røttene til en slik likning er null.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Bytt ut ligningen med formelen for røttene til bikvadratiske ligninger:

x 1,2,3,4 = ,

å vite at x 1 = -x 2, og x 3 = -x 4, så:

x 3,4 =

Svar: x 1,2 = ± 2; x 1,2 =

2.7 Undersøkelse av biquadratiske ligninger

Ta den biquadratiske ligningen

ax 4 + bx 2 + c = 0,

hvor a, b, c er reelle tall, og a> 0. Ved å introdusere hjelpe-ukjente y = x², undersøker vi røttene til denne ligningen, og setter resultatene i tabellen (se vedlegg #1)

2.8 Cardano Formel

Hvis vi bruker moderne symbolikk, kan utledningen av Cardano-formelen se slik ut:

x =

Denne formelen definerer røttene til den generelle ligningen av tredje grad:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Denne formelen er veldig tungvint og kompleks (den inneholder flere komplekse radikaler). Det gjelder ikke alltid, siden veldig vanskelig å fylle.

F ¢ (x®) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

List eller velg fra 2-3 tekster de mest interessante stedene. Derfor har vi undersøkt de generelle bestemmelsene for opprettelse og gjennomføring av valgfrie emner, som vil bli tatt i betraktning ved utvikling av et valgfag i algebra for klasse 9 "Kadratiske ligninger og ulikheter med en parameter." Kapittel II. Metodikk for gjennomføring av valgfaget «Avgradslikninger og ulikheter med en parameter» 1.1. Er vanlig...

Løsninger fra numeriske beregningsmetoder. For å bestemme røttene til en ligning kreves det ingen kjennskap til teoriene til Abel, Galois, Lie, osv. grupper, og ingen spesiell matematisk terminologi kreves: ringer, felt, idealer, isomorfismer osv. For å løse en algebraisk likning av n-te grad trenger du bare evnen til å løse andregradsligninger og trekke ut røtter fra et komplekst tall. Røttene kan identifiseres fra ...

Med måleenheter for fysiske mengder i MathCAD-systemet? 11. Beskriv i detalj tekst, grafikk og matematiske blokker. Forelesning nummer 2. Lineære algebraoppgaver og løsning av differensialligninger i MathCAD-miljøet I lineære algebraoppgaver er det nesten alltid nødvendig å utføre ulike operasjoner med matriser. Matriseoperatørpanelet er plassert i Math-panelet. ...

Mellom røttene og koeffisientene til den kvadratiske ligningen, i tillegg til rotformlene, er det andre nyttige relasjoner som settes Vietas teorem... I denne artikkelen vil vi gi formuleringen og beviset på Vietas teorem for en kvadratisk ligning. Deretter vurderer du et teorem i motsetning til Vietas teorem. Etter det vil vi analysere løsningene til de mest typiske eksemplene. Til slutt skriver vi ned Vietas formler som definerer sammenhengen mellom de virkelige røttene algebraisk ligning grad n og dens koeffisienter.

Sidenavigering.

Vietas teorem, formulering, bevis

Formlene for røttene til den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c = 0 av formen, der D = b 2 −4 a c, antyder relasjonene x 1 + x 2 = −b / a, x 1 x 2 = c / a. Disse resultatene er godkjent Vietas teorem:

Teorem.

Hvis x 1 og x 2 er røttene til kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0, da er summen av røttene lik forholdet mellom koeffisientene b og a, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røtter er lik forholdet mellom koeffisientene c og a, det vil si ...

Bevis.

Vi vil bevise Vietas teorem i henhold til følgende skjema: komponer summen og produktet av røttene til den kvadratiske ligningen ved å bruke de velkjente rotformlene, transformer deretter de oppnådde uttrykkene og sørg for at de er lik −b / a og c/a, henholdsvis.

La oss starte med summen av røttene, komponer den. Nå bringer vi brøkene til en fellesnevner, det har vi. I telleren til den resulterende brøken, hvoretter:. Endelig, etter 2, får vi. Dette beviser den første relasjonen til Vietas teorem for summen av røttene til en kvadratisk ligning. La oss gå videre til det andre.

Vi komponerer produktet av røttene til den kvadratiske ligningen:. I henhold til regelen for å multiplisere brøker kan det siste produktet skrives som. Nå multipliserer vi parentesen med parentesen i telleren, men det er raskere å kollapse dette produktet med formelen for forskjellen på kvadrater, Så . Så, husker vi, utfører vi neste overgang. Og siden diskriminanten til den kvadratiske ligningen tilsvarer formelen D = b 2 −4 · a · c, så kan man i siste brøk i stedet for D erstatte b 2 −4 · a · c, får vi. Etter å ha åpnet parentesene og redusert lignende termer, kommer vi til en brøk, og dens reduksjon med 4 · a gir. Dette beviser den andre relasjonen til Vietas teorem for produktet av røtter.

Hvis vi utelater forklaringene, får beviset på Vietas teorem en lakonisk form:
,
.

Det gjenstår bare å merke seg at når diskriminanten er lik null, har kvadratisk ligning én rot. Men hvis vi antar at ligningen i dette tilfellet har to identiske røtter, så holder også likhetene fra Vietas teorem. Faktisk, for D = 0 er roten av den andregradsligningen lik, da og, og siden D = 0, det vil si b 2 −4 · a · c = 0, hvorav b 2 = 4 · a · c, da.

I praksis brukes Vietas teorem oftest i forhold til en redusert andregradsligning (med ledende koeffisient a lik 1) på formen x 2 + p x + q = 0. Noen ganger er det formulert for andregradsligninger av akkurat denne formen, noe som ikke begrenser generaliteten, siden enhver kvadratisk ligning kan erstattes av en ekvivalent ligning ved å dele begge deler med et tall som ikke er null. La oss gi den tilsvarende formuleringen av Vietas teorem:

Teorem.

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0 er lik koeffisienten ved x tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er frileddet, det vil si x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q.

Det motsatte av Vietas teorem

Den andre formuleringen av Vietas teorem, gitt i forrige avsnitt, indikerer at hvis x 1 og x 2 er røttene til den reduserte kvadratiske ligningen x 2 + px + q = 0, så er relasjonene x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q. På den annen side, fra de skrevne relasjonene x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q følger det at x 1 og x 2 er røttene til den andregradsligningen x 2 + p x + q = 0. Med andre ord er det motsatte av Vietas teorem sant. La oss formulere det i form av et teorem og bevise det.

Teorem.

Hvis tallene x 1 og x 2 er slik at x 1 + x 2 = −p og x 1 x 2 = q, så er x 1 og x 2 røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + p x + q = 0.

Bevis.

Etter å ha erstattet koeffisientene p og q i ligningen x 2 + p x + q = 0, deres uttrykk i form av x 1 og x 2, transformeres den til en ekvivalent ligning.

Ved å erstatte tallet x 1 i den resulterende ligningen i stedet for x, har vi likheten x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0, som for enhver x 1 og x 2 er en sann numerisk likhet 0 = 0, siden x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0... Derfor er x 1 en rot av ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, som betyr at x 1 er en rot av ekvivalentligningen x 2 + p x + q = 0.

Hvis ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 erstatte x tallet x 2, så får vi likheten x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0... Dette er en gyldig likhet, siden x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 + x 1 x 2 = 0... Derfor er x 2 også en rot av ligningen x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, og derav ligningene x 2 + p x + q = 0.

Dette fullfører beviset for teoremet i motsetning til Vietas teorem.

Eksempler på bruk av Vietas teorem

Det er på tide å snakke om den praktiske anvendelsen av Vietas teorem og dens omvendte teorem. I dette avsnittet vil vi analysere løsningene til flere av de mest typiske eksemplene.

Vi begynner med å bruke et teorem omvendt til Vietas teorem. Det er praktisk å bruke det til å sjekke om de gitte to tallene er røttene til en gitt andregradsligning. I dette tilfellet beregnes summen og differansen deres, hvoretter gyldigheten av forholdene kontrolleres. Hvis begge disse relasjonene er oppfylt, konkluderes det i kraft av en teorem invers til Vietas teorem at disse tallene er røttene til ligningen. Hvis minst en av relasjonene ikke er oppfylt, er disse tallene ikke røttene til den kvadratiske ligningen. Denne tilnærmingen kan brukes når du løser kvadratiske ligninger for å sjekke røttene som er funnet.

Eksempel.

Hvilket av tallparene 1) x 1 = −5, x 2 = 3, eller 2), eller 3) er et røtterpar til den andregradsligningen 4 x 2 −16 x + 9 = 0?

Løsning.

Koeffisientene til den gitte kvadratiske ligningen 4 x 2 −16 x + 9 = 0 er a = 4, b = −16, c = 9. I følge Vietas teorem skal summen av røttene til en kvadratisk ligning være lik −b / a, det vil si 16/4 = 4, og produktet av røttene skal være lik c / a, det vil si 9 /4.

La oss nå beregne summen og produktet av tallene i hvert av de tre gitte parene, og sammenligne dem med verdiene som nettopp er oppnådd.

I det første tilfellet har vi x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2. Den resulterende verdien er forskjellig fra 4, så ytterligere verifisering kan ikke utføres, og i henhold til teoremet invers til Vietas teorem, kan man umiddelbart konkludere med at det første tallparet ikke er et par røtter av en gitt kvadratisk ligning.

La oss gå videre til den andre saken. Her, det vil si at den første betingelsen er oppfylt. Vi sjekker den andre betingelsen: den resulterende verdien er forskjellig fra 9/4. Følgelig er det andre tallparet ikke et par røtter til en kvadratisk ligning.

Den siste saken gjenstår. Her og . Begge betingelsene er oppfylt, så disse tallene x 1 og x 2 er røttene til den gitte kvadratiske ligningen.

Svar:

Den inverse teoremet til Vietas teorem kan brukes i praksis for å finne røttene til en kvadratisk ligning. Vanligvis velges hele røttene til de reduserte kvadratiske ligningene med heltallskoeffisienter, siden det i andre tilfeller er ganske vanskelig å gjøre dette. I dette tilfellet bruker de det faktum at hvis summen av to tall er lik den andre koeffisienten til kvadratisk ligning, tatt med et minustegn, og produktet av disse tallene er lik frileddet, så er disse tallene røttene til denne andregradsligningen. La oss se på dette med et eksempel.

Ta den andregradsligningen x 2 −5 x + 6 = 0. For at tallene x 1 og x 2 skal være røttene til denne ligningen, må de to likhetene x 1 + x 2 = 5 og x 1 x 2 = 6 holde. Det gjenstår å finne slike tall. I dette tilfellet er det ganske enkelt å gjøre dette: slike tall er 2 og 3, siden 2 + 3 = 5 og 2 · 3 = 6. Dermed er 2 og 3 røttene til denne kvadratiske ligningen.

Den omvendte teoremet til Vietas teorem er spesielt praktisk å bruke for å finne den andre roten av en redusert kvadratisk ligning når en av røttene allerede er kjent eller åpenbar. I dette tilfellet er den andre roten funnet fra noen av relasjonene.

La oss for eksempel ta den andregradsligningen 512 x 2 −509 x − 3 = 0. Det er lett å se her at en er roten til ligningen, siden summen av koeffisientene til denne kvadratiske ligningen er null. Så x 1 = 1. Den andre roten x 2 kan for eksempel finnes fra relasjonen x 1 x 2 = c / a. Vi har 1 x 2 = −3 / 512, hvorav x 2 = −3 / 512. Slik bestemte vi begge røttene til kvadratisk ligning: 1 og −3/512.

Det er klart at valg av røtter er tilrådelig bare i de enkleste tilfellene. I andre tilfeller, for å finne røttene, kan du bruke formlene for røttene til den kvadratiske ligningen gjennom diskriminanten.

En annen praktisk anvendelse av teoremet invers til Vietas teorem er å komponere kvadratiske ligninger for gitte røtter x 1 og x 2. For å gjøre dette er det nok å beregne summen av røttene, som gir koeffisienten ved x med motsatt fortegn på den reduserte kvadratiske ligningen, og produktet av røttene, som gir frileddet.

Eksempel.

Skriv en andregradsligning med tallene −11 og 23 som røtter.

Løsning.

Vi setter x 1 = −11 og x 2 = 23. Vurder summen og produktet av disse tallene: x 1 + x 2 = 12 og x 1 x 2 = −253. Derfor er de indikerte tallene røttene til den reduserte kvadratiske ligningen med den andre koeffisienten −12 og et skjæringspunkt på −253. Det vil si at x 2 −12 x − 253 = 0 er den ønskede ligningen.

Svar:

x 2 −12 x − 253 = 0.

Vietas teorem brukes veldig ofte til å løse problemer knyttet til tegnene til røttene til kvadratiske ligninger. Hvordan er Vietas teorem relatert til fortegnene til røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + p x + q = 0? Her er to relevante utsagn:

• Hvis skjæringspunktet q er et positivt tall, og hvis andregradsligningen har reelle røtter, er enten begge positive eller begge negative.
• Hvis det frie leddet q er et negativt tall, og hvis kvadratisk ligning har reelle røtter, er fortegnene deres forskjellige, med andre ord, den ene roten er positiv og den andre negativ.

Disse utsagnene følger av formelen x 1 x 2 = q, samt reglene for å multiplisere positive, negative tall og tall med forskjellige fortegn. La oss vurdere eksempler på deres anvendelse.

Eksempel.

R det er positivt. Ved å bruke diskriminantformelen finner vi D = (r + 2) 2 −4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8, verdien av uttrykket r 2 + 8 er positiv for enhver reell r, dermed D> 0 for enhver reell r. Derfor har den opprinnelige kvadratiske ligningen to røtter for eventuelle reelle verdier av parameteren r.

La oss nå finne ut når røttene har forskjellige tegn. Hvis fortegnene til røttene er forskjellige, er produktet deres negativt, og ifølge Vietas teorem er produktet av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen lik frileddet. Derfor er vi interessert i de verdiene av r der frileddet r − 1 er negativt. For å finne verdiene til r vi er interessert i, trenger vi derfor løse lineær ulikhet r - 1<0 , откуда находим r<1 .

Svar:

ved r<1 .

Vieta formler

Ovenfor snakket vi om Vietas teorem for en kvadratisk ligning og analyserte relasjonene den hevder. Men det er formler som forbinder de virkelige røttene og koeffisientene til ikke bare kvadratiske ligninger, men også kubiske ligninger, firedoble ligninger og generelt, algebraiske ligninger grad n. De kalles Vieta formler.

La oss skrive Vietas formler for en algebraisk ligning av grad n av formen, i dette tilfellet antar vi at den har n reelle røtter x 1, x 2, ..., x n (blant dem kan det være sammenfallende):

Få Vietas formler tillater lineær faktoriseringsteorem, samt definisjonen av like polynomer gjennom likheten av alle deres tilsvarende koeffisienter. Så polynomet og dets faktorisering til lineære faktorer av formen er like. Ved å utvide parentesene i det siste produktet og likestille de tilsvarende koeffisientene, får vi Vietas formler.

Spesielt for n = 2 har vi Vieta-formlene for den kvadratiske ligningen som allerede er kjent for oss.

For den kubiske ligningen er Vietas formler

Det gjenstår bare å merke seg at på venstre side av Vietas formler er de såkalte elementære symmetriske polynomer.

Bibliografi.

• Algebra: studere. for 8 cl. allmennutdanning. institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008 .-- 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. Lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utgave, slettet. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 s .: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning. institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; utg. A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - M .: Utdanning, 2010.- 368 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-022771-1.