Mål:

1. Generell utdanning: å systematisere, generalisere, utvide kunnskapen og ferdighetene til studenter knyttet til anvendelse av metoder for å løse ulikheter.
2. Utvikle: utvikle elevenes evne til å lytte til en forelesning, kortfattet skrive den ned i en notatbok.
3. Pedagogisk: å danne kognitiv motivasjon for studiet av matematikk.

I løpet av timene

I. Innledende samtale:

Vi er ferdige med emnet "Løse irrasjonelle ligninger" og i dag begynner vi å lære hvordan vi løser irrasjonelle ulikheter.

Først, la oss huske hvilke typer ulikheter du kan løse og med hvilke metoder?

Svar: Lineær, kvadratisk, rasjonell, trigonometrisk. Vi løser lineære basert på egenskapene til ulikheter, reduserer trigonometriske til de enkleste trigonometriske, løst ved hjelp av den trigonometriske sirkelen, og resten, hovedsakelig, ved hjelp av intervallmetoden.

Spørsmål: Hvilket utsagn er avstandsmetoden basert på?

Svar: På en teorem som hevder at en kontinuerlig funksjon som ikke forsvinner på et eller annet intervall, beholder fortegn på dette intervallet.

II. La oss vurdere en irrasjonell ulikhet som>

Spørsmål: Er det mulig å bruke metoden med intervaller for å løse det?

Svar: Ja, siden funksjonen y =- kontinuerlig på D (y).

Vi løser denne ulikheten intervallmetode .

Konklusjon: vi løste ganske enkelt denne irrasjonelle ulikheten ved hjelp av intervallmetoden, faktisk reduserte den til å løse en irrasjonell ligning.

La oss prøve å løse en annen ulikhet med denne metoden.

3)f (x) kontinuerlig på D (f)

4) Nullpunkter for funksjon:

• Langt søk D (f).
• Vanskelig å beregne bruddpunkter.

Spørsmålet oppstår: "Finnes det ingen andre måter å løse denne ulikheten på?"

Det er det åpenbart, og nå skal vi bli kjent med dem.

III. Så, emne av dagens leksjon: "Metoder for å løse irrasjonelle ulikheter."

Leksjonen vil bli holdt i form av en forelesning, siden veiledningen ikke gir en detaljert analyse av alle metodene. Derfor er vår viktige oppgave å komponere et detaljert sammendrag av denne forelesningen.

IV. Vi har allerede snakket om den første metoden for å løse irrasjonelle ulikheter.

dette - intervallmetode , en universell metode for å løse alle typer ulikheter. Men det leder ikke alltid til målet på en kort og enkel måte.

V. Når du løser irrasjonelle ulikheter kan du bruke de samme ideene som når du løser irrasjonelle ligninger, men siden enkel verifisering av løsninger er umulig (tross alt er løsninger på ulikheter oftest heltalls numeriske intervaller), er det nødvendig å bruke ekvivalens.

Vi presenterer ordninger for å løse hovedtypene av irrasjonelle ulikheter metode for ekvivalente overganger fra én ulikhet til et system av ulikheter.

2. Det kan på samme måte bevises at

La oss skrive disse diagrammene på en referansetavle. Tenk på bevis av type 3 og 4 hjemme, vi vil diskutere dem i neste leksjon.

Vi. La oss løse ulikheten på en ny måte.

Den opprinnelige ulikheten er ensbetydende med et sett med systemer.

Vii. Og det er en tredje metode som ofte bidrar til å løse komplekse irrasjonelle ulikheter. Vi har allerede snakket om det i forhold til ulikheter med en modul. Dette funksjonssubstitusjonsmetode (multiplikatorerstatning)... La meg minne deg på at essensen av erstatningsmetoden er at forskjellen i verdiene til monotone funksjoner kan erstattes av forskjellen i verdiene til argumentene deres.

Tenk på en irrasjonell ulikhet i formen<,

det er -< 0.

Ved teoremet, if p (x)øker over et intervall som en og b, og en>b, så ulikhetene p (a) - p (b)> 0 og a - b> 0 tilsvarer D (p), det er

VIII. La oss løse ulikheten ved å erstatte faktorene.

Derfor er denne ulikheten ekvivalent med systemet

Dermed har vi sett at bruk av faktorbyttemetoden for å redusere løsningen av en ulikhet til en intervallmetode reduserer arbeidsmengden betydelig.

IX. Nå som vi har dekket de tre hovedmetodene for å løse ligninger, la oss gjøre det selvstendig arbeid med selvtest.

Det er nødvendig å utføre følgende tall (i henhold til læreboken til AM Mordkovich): 1790 (a) - løse_ ved metoden for_ ekvivalente overganger, _ 1791 (a) - løse ved metoden for å erstatte faktorer For å løse irrasjonelle ulikheter, foreslås å bruke metodene som tidligere er analysert ved løsning av irrasjonelle ligninger:

• endring av variabler;
• bruk av LDZ;
• ved å bruke egenskapene til monotonisitet av funksjoner.

Fullføringen av studiet av emnet er testen.

Analysen av testen viser:

• typiske feil for svake elever, i tillegg til aritmetiske og algebraiske, er ukorrekte ekvivalente overganger til et system av ulikheter;
• multiplikatorerstatningsmetoden har blitt brukt med suksess bare av sterke studenter.

Enhver ulikhet som inkluderer en funksjon under roten kalles irrasjonell... Det er to typer slike ulikheter:

I det første tilfellet er roten mindre enn funksjonen g (x), i det andre er den større. Hvis g (x) - konstant, ulikhet er drastisk forenklet. Vær oppmerksom på: utad er disse ulikhetene veldig like, men løsningsskjemaene deres er fundamentalt forskjellige.

I dag vil vi lære hvordan du løser irrasjonelle ulikheter av den første typen - de er de enkleste og mest forståelige. Ulikhetstegnet kan være strengt eller ikke-strengt. Følgende utsagn er sant for dem:

Teorem. Enhver irrasjonell ulikhet i formen

Tilsvarer systemet med ulikheter:

Ikke svak? La oss ta en titt på hvor et slikt system kommer fra:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - alt er klart her. Dette er den opprinnelige kvadratiske ulikheten;
2. f (x) ≥ 0 er ODZ til roten. La meg minne deg på: den aritmetiske kvadratroten eksisterer bare fra ikke-negativ tall;
3. g (x) ≥ 0 er området til roten. Ved å kvadrere ulikhet brenner vi ulempene. Som et resultat kan det oppstå ekstra røtter. Ulikheten g (x) ≥ 0 avskjærer dem.

Mange elever «fikserer» på den første ulikheten i systemet: f (x) ≤ g 2 (x) – og glemmer helt de to andre. Resultatet er forutsigbart: feil avgjørelse, tapte poeng.

Siden irrasjonelle ulikheter er et ganske komplekst tema, vil vi analysere 4 eksempler på en gang. Fra elementært til virkelig komplekst. Alle problemer er hentet fra opptaksprøvene til Moskva statsuniversitet. M.V. Lomonosov.

Eksempler på problemløsning

Oppgave. Løs ulikheten:

Foran oss er klassikeren irrasjonell ulikhet: f (x) = 2x + 3; g (x) = 2 er en konstant. Vi har:

Av de tre ulikhetene gjenstår bare to ved slutten av løsningen. Fordi ulikheten 2 ≥ 0 alltid holder. Vi krysser de gjenværende ulikhetene:

Så, x ∈ [−1,5; 0,5]. Alle prikker er fylt ut pga ulikheter er ikke strenge.

Oppgave. Løs ulikheten:

Vi bruker teoremet:

Vi løser den første ulikheten. For å gjøre dette, la oss åpne kvadratet av forskjellen. Vi har:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

La oss nå løse den andre ulikheten. Der også kvadratisk trinomium:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1] ∪∪∪∪)