2.5 Формула Вієта для багаточленів (рівнянь) вищих ступенів

Формули, виведені Вієтом для квадратних рівнянь, вірні й багаточленів вищих ступенів.

Нехай багаточлен

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … + a n

Має n різного коріння x 1, x 2 …, x n.

У цьому випадку він має розкладання на множники виду:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Розділимо обидві частини цієї рівності на a 0 ≠ 0 і розкриємо у першій частині дужки. Отримаємо рівність:

xn + ()xn -1 + … + () = xn – (x 1 + x 2 + … + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + xn -1 xn)xn - 2 + … + (-1) nx 1 x 2 … xn

Але два многочлена тотожно рівні у цьому й лише тому випадку, коли коефіцієнти при однакових ступенях рівні. Звідси випливає, що виконується рівність

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Наприклад, для багаточленів третього ступеня

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Маємо тотожність

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Як і квадратних рівнянь, цю формулу називають формулами Виета. Ліві частини цих формул є симетричними багаточленами від коренів x 1 , x 2 …, x n даного рівняння, а праві частини виражаються через коефіцієнт многочлена.

2.6. Рівняння, що зводяться до квадратних (біквадратні)

До квадратних рівнянь зводяться рівняння четвертого ступеня:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

звані біквадратними, причому ≠ 0.

Достатньо покласти в цьому рівнянні х 2 = y, отже,

ay² + by + c = 0

знайдемо коріння отриманого квадратного рівняння

y 1,2 =

Щоб знайти відразу коріння х 1, x 2, x 3, x 4 замінимо y на x і отримаємо

x² =

х 1,2,3,4 = .

Якщо рівняння четвертого ступеня має х 1 то має і корінь х 2 = -х 1

Якщо має х 3 то х 4 = - х 3 . Сума коріння такого рівняння дорівнює нулю.

2х 4 – 9x² + 4 = 0

Підставимо рівняння у формулу коренів біквадратних рівнянь:

х 1,2,3,4 = ,

знаючи, що х 1 = -х 2 а х 3 = -х 4 то:

х 3,4 =

Відповідь: х 1,2 = ±2; х 1,2 =

2.7 Дослідження біквадратних рівнянь

Візьмемо біквадратичне рівняння

ax 4 + bx 2 + c = 0,

де a, b, c – дійсні числа, причому а > 0. Ввівши допоміжну невідому y = x², досліджуємо коріння даного рівняння, і результати занесемо до таблиці (див. додаток №1)

2.8 Формула Кардано

Якщо скористатися сучасною символікою, то висновок формули Кардано може мати такий вигляд:

х =

Ця формула визначає коріння загального рівняння третього ступеня:

ax3+3bx2+3cx+d=0.

Ця формула дуже громіздка і складна (вона містить кілька складних радикалів). Вона завжди застосовуватися, т.к. дуже складна для заповнення.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Список або вибрати з 2-3 текстів найцікавіші місця. Таким чином, ми розглянули загальні положення щодо створення та проведення курсів, які будуть враховані при розробці курсу з алгебри для 9 класу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром». Розділ II. Методика проведення елективного курсу «Квадратні рівняння та нерівності з параметром» 1.1. Загальні...

Рішення від чисельних способів розрахунку. Для визначення коренів рівняння не потрібно знання теорій груп Абеля, Галуа, Лі та ін. та застосування спеціальної математичної термінології: кілець, полів, ідеалів, ізоморфізмів тощо. Для вирішення рівняння алгебри n - ой ступеня потрібно тільки вміння вирішувати квадратні рівняння і витягувати корені з комплексного числа. Коріння може бути визначено з...

З одиницями вимірів фізичних величин у системі MathCAD? 11. Докладно охарактеризуйте текстові, графічні та математичні блоки. Лекція №2. Завдання лінійної алгебри та розв'язання диференціальних рівнянь у середовищі MathCAD У завданнях лінійної алгебри практично завжди виникає потреба виконувати різні операції з матрицями. Панель операторів із матрицями знаходиться на панелі Math. ...

Практично будь-яке квадратне рівняння \можна перетворити на вид \ Однак це можливо, якщо спочатку розділити кожне доданок на коефіцієнт \ перед \ Крім того, можна ввести нове позначення:

\[(\frac (b)(a))= p\] та \[(\frac (c)(a)) = q\]

Завдяки чому будемо мати рівняння, що зветься в математиці наведеним квадратним рівнянням. Коріння даного рівняння та коефіцієнти взаємопов'язані між собою, що підтверджено теоремою Вієта.

Теорема Вієта: Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другу коефіцієнту взятому з протилежним знаком, а добуток коріння - вільному члену

Для наочності розв'яжемо рівняння наступного виду:

Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою виписаних правил. Проаналізувавши вихідні дані, можна зробити висновок, що рівняння матиме два різні корені, оскільки:

Тепер із усіх множників числа 15 (1 і 15, 3 і 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Під цю умову потрапляють числа 3 та 5. Перед меншим числом ставимо знак "мінус". Таким чином, отримаємо корені рівняння.

Відповідь: \[x_1=-3 та x_2=5\]

Де можна вирішити рівняння по теоремі Вієта онлайн?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

У математиці існують спеціальні прийоми, з якими багато квадратних рівнянь вирішуються дуже швидко і без будь-яких дискримінантів. Більше того, при належному тренуванні багато хто починає вирішувати квадратні рівняння усно, буквально «з першого погляду».

На жаль, у сучасному курсі шкільної математики подібні технології майже не вивчаються. А знати треба! І сьогодні ми розглянемо один із таких прийомів — теорему Вієта. Спочатку введемо нове визначення.

Квадратне рівняння виду x 2 + bx + c = 0 називається наведеним. Зверніть увагу: коефіцієнт при x 2 дорівнює 1. Жодних інших обмежень на коефіцієнти не накладається.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 – це наведене квадратне рівняння;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 — також наведене;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 — а ось це ніфіга не наведена, оскільки коефіцієнт при x 2 дорівнює 2.

Зрозуміло, будь-яке квадратне рівняння виду ax 2 + bx + c = 0 можна зробити наведеним - достатньо розділити всі коефіцієнти на число a . Ми завжди можемо зробити так, оскільки з визначення квадратного рівняння випливає, що a ≠ 0.

Правда, далеко не завжди ці перетворення будуть корисними для відшукання коренів. Трохи нижче ми переконаємося, що це треба лише тоді, як у підсумковому наведеному квадратом рівнянні всі коефіцієнти будуть цілими. А поки що розглянемо найпростіші приклади:

Завдання. Перетворити квадратне рівняння на наведене:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2+7,5x+3=0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Розділимо кожне рівняння на коефіцієнт при змінній х 2 . Отримаємо:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 – розділили всі на 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 — поділили на −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - розділили на 1,5, всі коефіцієнти стали цілими;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 — поділили на 2. При цьому виникли дробові коефіцієнти.

Як бачите, наведені квадратні рівняння можуть мати цілі коефіцієнти навіть у тому випадку, коли вихідне рівняння містило дроби.

Тепер сформулюємо основну теорему, для якої власне і вводилося поняття наведеного квадратного рівняння:

Теорема Вієта. Розглянемо наведене квадратне рівняння виду x 2 + bx + c = 0. Припустимо, що це рівняння має дійсне коріння x 1 і x 2 . І тут вірні такі твердження:

1. x 1 + x 2 = −b. Іншими словами, сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при змінній x взятому з протилежним знаком;
2. x 1 · x 2 = c. Добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному коефіцієнту.

приклади. Для простоти розглядатимемо лише наведені квадратні рівняння, що не потребують додаткових перетворень:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 · x 2 = 20; коріння: х 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 · x 2 = -15; коріння: х 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = 4; коріння: x1 = −1; x 2 = -4.

Теорема Вієта дає нам додаткову інформацію про коріння квадратного рівняння. На перший погляд, це може здатися складним, але навіть при мінімальному тренуванні ви навчитеся «бачити» коріння і буквально вгадувати їх за лічені секунди.

Завдання. Розв'яжіть квадратне рівняння:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x2+33x+30=0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Спробуємо виписати коефіцієнти за теоремою Вієта і «вгадати» коріння:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 – це наведене квадратне рівняння.
   За теоремою Вієта маємо: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Неважко помітити, що коріння - числа 2 та 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 – теж наведене.
   За теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Звідси коріння: 3 та 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 – це рівняння не є наведеним. Але ми зараз виправимо, розділивши обидві сторони рівняння на коефіцієнт a = 3. Отримаємо: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Вирішуємо за теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ коріння: −10 та −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 — знову коефіцієнт при x 2 не дорівнює 1, тобто. рівняння не наведене. Ділимо все на число a = −7. Отримаємо: x 2 - 11x + 30 = 0.
   За теоремою Вієта: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 · x 2 = 30; з цих рівнянь легко вгадати коріння: 5 та 6.

З наведених міркувань видно, як теорема Вієта спрощує розв'язання квадратних рівнянь. Жодних складних обчислень, жодних арифметичних коренів та дробів. І навіть дискримінант (див. урок «Рішення квадратних рівнянь») нам не знадобився.

Зрозуміло, у всіх міркуваннях ми виходили з двох важливих припущень, які, взагалі кажучи, не завжди виконуються у реальних завданнях:

1. Квадратне рівняння є наведеним, тобто. коефіцієнт при х 2 дорівнює 1;
2. Рівняння має два різні корені. З погляду алгебри, у разі дискримінант D > 0 — власне, ми спочатку припускаємо, що це нерівність правильне.

Однак у типових математичних завданнях ці умови виконуються. Якщо ж у результаті обчислень вийшло «погане» квадратне рівняння (коефіцієнт при 2 відмінний від 1), це легко виправити — погляньте на приклади на самому початку уроку. Про коріння взагалі мовчу: що це за завдання, у якому немає відповіді? Звичайно, коріння буде.

Таким чином, загальна схема розв'язання квадратних рівнянь по теоремі Вієта виглядає так:

1. Звести квадратне рівняння до наведеного, якщо це ще не зроблено за умови завдання;
2. Якщо коефіцієнти у наведеному квадратному рівнянні вийшли дробовими, вирішуємо через дискримінант. Можна навіть повернутися до вихідного рівняння, щоб працювати з більш зручними числами;
3. У випадку з цілими коефіцієнтами вирішуємо рівняння по теоремі Вієта;
4. Якщо протягом кількох секунд не вдалося вгадати коріння, забиваємо на теорему Вієта і вирішуємо через дискримінант.

Завдання. Розв'яжіть рівняння: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Отже, маємо рівняння, яке є наведеним, т.к. коефіцієнт a = 5. Розділимо все на 5, отримаємо: x 2 − 7x + 10 = 0.

Всі коефіцієнти квадратного рівняння є цілими — спробуємо вирішити за теоремою Вієта. Маємо: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. У цьому випадку коріння легко вгадується — це 2 і 5. Вважати через дискримінант не треба.

Завдання. Розв'яжіть рівняння: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Дивимося: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 — це рівняння не є наведеним, розділимо обидві сторони на коефіцієнт a = −5. Отримаємо: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 – рівняння із дробовими коефіцієнтами.

Краще повернутися до вихідного рівняння та рахувати через дискримінант: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; х 2 = 0,4.

Завдання. Розв'яжіть рівняння: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Для початку розділимо все на коефіцієнт a = 2. Вийде рівняння x 2 + 5x − 300 = 0.

Це наведене рівняння, за теоремою Вієта маємо: x 1 + x 2 = −5; x 1 · x 2 = -300. Вгадати коріння квадратного рівняння в даному випадку важко — особисто я серйозно завис, коли вирішував це завдання.

Доведеться шукати коріння через дискримінант: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Якщо ви не пам'ятаєте корінь із дискримінанта, просто зазначу, що 1225: 25 = 49. Отже, 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2 .

Тепер, коли корінь з дискримінанта відомий, вирішити рівняння не важко. Отримаємо: х 1 = 15; x2 = −20.

Теорема Вієта (точніше, теорема, обернена до теореми Вієта) дозволяє скоротити час на розв'язання квадратних рівнянь. Тільки треба вміти користуватися нею. Як навчитися розв'язувати квадратні рівняння з теореми Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.

Зараз ми будемо говорити тільки про рішення по теоремі Вієта наведеного квадратного рівняння. Наведене квадратне рівняння - це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x ², дорівнює одиниці. Не наведені квадратні рівняння вирішити за теоремою Вієта теж можна, але там уже, як мінімум, одне з коренів — не ціле число. Їх вгадувати складніше.

Теорема, обернена теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що

то x1 і x2 - коріння квадратного рівняння

При розв'язанні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі лише 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити ціле коріння можна навчитися дуже швидко.

I. Якщо q - позитивне число,

це означає, що коріння x1 та x2 — числа однакового знака (оскільки лише при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).

I.a. Якщо -p - позитивне число, (відповідно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Якщо -p - Негативне число, (відповідно, p>0), то обидва корені - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).

ІІ. Якщо q - від'ємне число,

це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел негативне число утворюється лише у випадку, коли знаки у множників різні). У цьому випадку x1+x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знаками ми віднімаємо з більшого за модулем менше). Тому x1+x2 показує, на скільки одне відрізняється коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більший за інший (за модулем).

II.a. Якщо -p - позитивне число, (тобто p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Якщо -p - Негативне число, (p>0), то більший (за модулем) корінь - від'ємне число.

Розглянемо розв'язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.

Розв'язати наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Тут q=12>0, тому коріння x1 та x2 – числа одного знака. Їхня сума дорівнює -p=7>0, тому обидва корені — позитивні числа. Підбираємо цілі числа, добуток яких дорівнює 12. Це 1 та 12, 2 та 6, 3 та 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 та 4. Отже, 3 та 4 – корені рівняння.

У цьому прикладі q=16>0, отже, коріння x1 і x2 — числа одного знака. Їхня сума -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тут q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то більша кількість позитивна. Отже, коріння 5 та -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Теорема Вієта часто використовується для перевірки вже знайденого коріння. Якщо ви знайшли коріння, то зможете за допомогою формул \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) обчислити значення \(p\) та \(q\ ). І якщо вони вийдуть такими ж, як у вихідному рівнянні – значить коріння знайдено вірно.

Наприклад, нехай ми, використовуючи , вирішили рівняння \(x^2+x-56=0\) та отримали коріння: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Перевіримо, чи ми не помилилися в процесі рішення. У разі \(p=1\), а \(q=-56\). По теоремі Вієта маємо:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Обидва твердження зійшлися, отже ми вирішили рівняння правильно.

Таку перевірку можна проводити усно. Вона займе 5 секунд та убереже вас від дурних помилок.

Зворотня теорема Вієта

Якщо \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), то \(x_1\) та \(x_2\) – коріння квадратного рівняння \(x^ 2+px+q=0).

Або по-простому: якщо у вас є рівняння виду \(x^2+px+q=0\), то вирішивши систему \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) ви знайдете його коріння.

Завдяки цій теоремі можна швидко підібрати коріння квадратного рівняння, особливо якщо це коріння – . Це вміння важливе, тому що економить багато часу.

Приклад . Розв'язати рівняння \(x^2-5x+6=0\).

Рішення : Скориставшись зворотною теоремою Вієта, отримуємо, що коріння задовольняє умовам: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Подивіться друге рівняння системи \(x_1 \cdot x_2=6\). На які два можна розкласти число (6)? На (2) і (3), (6) і (1) або (-2) і (-3), і (-6) і (- 1\). А яку пару вибрати підкаже перше рівняння системи: \(x_1+x_2=5\). Походять \(2\) і \(3\), тому що \(2+3=5\).
Відповідь : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Приклади . Використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, знайдіть корені квадратного рівняння:
а) (x^2-15x+14=0); б) (x^2+3x-4=0); в) \(x^2+9x+20=0\); г) (x^2-88x+780=0).

Рішення :
а) \(x^2-15x+14=0\) - на які множники розкладається \(14\)? \(2\) та \(7\), \(-2\) та \(-7\), \(-1\) та \(-14\), \(1\) та \(14\) ). Які пари чисел у сумі дадуть (15)? Відповідь: \(1\) та \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на які множники розкладається \(-4\)? \(-2\) та \(2\), \(4\) та \(-1\), \(1\) та \(-4\). Які пари чисел у сумі дадуть (-3)? Відповідь: \(1\) та \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – на які множники розкладається \(20\)? \(4\) та \(5\), \(-4\) та \(-5\), \(2\) та \(10\), \(-2\) та \(-10\) ), \(-20\) та \(-1\), \(20\) та \(1\). Які пари чисел у сумі дадуть (-9)? Відповідь: \(-4\) та \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) - на які множники розкладається \(780\)? \(390\) та \(2\). Вони в сумі дадуть (88)? Ні. Ще які множники є у (780)? \(78\) та \(10\). Вони в сумі дадуть (88)? Так. Відповідь: \(78\) та \(10\).

Необов'язково останнє доданок розкладати на всі можливі множники (як в останньому прикладі). Можна відразу перевіряти, чи дає їх сума \(-p\).

Важливо!Теорема Вієта і обернена теорема працюють тільки з , тобто таким, у якого коефіцієнт перед \(x^2\) дорівнює одиниці. Якщо ж у нас спочатку дано не наведене рівняння, ми можемо зробити його наведеним, просто розділивши на коефіцієнт, що стоїть перед \(x^2\).

Наприклад, Нехай дано рівняння \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) і ми хочемо скористатися однією з теорем Вієта. Але можемо, оскільки коефіцієнт перед \(x^2\) дорівнює \(2\). Позбавимося його, розділивши все рівняння на \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Готово. Тепер можна скористатися обома теоремами.

Відповіді на запитання, що часто ставляться

Питання: По теоремі Вієта можна вирішити будь-які?
Відповідь: На жаль немає. Якщо рівняння не цілі або рівняння взагалі немає коренів, то теорема Виета не допоможе. В цьому випадку треба користуватися дискримінантом . На щастя, 80% рівнянь у шкільному курсі математики мають цілі рішення.