Пусть X {\displaystyle X} - это либо множество вещественных чисел R {\displaystyle \mathbb {R} } , либо множество комплексных чисел C {\displaystyle \mathbb {C} } . Тогда последовательность { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} элементов множества X {\displaystyle X} называется числовой последовательностью .
Примеры
Операции над последовательностями
Подпоследовательности
Подпоследовательность последовательности (x n) {\displaystyle (x_{n})} - это последовательность (x n k) {\displaystyle (x_{n_{k}})} , где (n k) {\displaystyle (n_{k})} - возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.
Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.
Примеры
- Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
- Последовательность натуральных чисел, кратных , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.
Свойства
Предельная точка последовательности - это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом .
Предел последовательности
Предел последовательности - это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел - это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Фундаментальные последовательности
Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) - это последовательность элементов метрического пространства , в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел .
Если
функцию
задать на множестве натуральных чисел
,
то множество значений функции будет
счетным и каждому номеру
ставится в соответствие число
.
В этом случае говорят, что заданачисловая
последовательность
. Числаназываютэлементами
или членами
последовательности, а число– общим или–м
членом последовательности. Каждый
элементимеет последующий элемент
.
Это объясняет употребление термина
«последовательность».
Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером, т.е. указанием формулы ее‑го члена.
Пример.
Последовательность
может быть задана формулой
:
.
Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее-го члена.
Пример.
Последовательность
‑это последовательность
Множество
всех элементов последовательности
обозначается
.
Пусть
и
‑ две последовательности.
Суммой
последовательностей
и
называют последовательность
,
где
,
т.е..
Разностью
этих последовательностей называют
последовательность
,
где
,
т.е..
Если
и
‑
постоянные, то последовательность
,
называютлинейной комбинацией
последовательностей
и
,
т.е.
Произведением
последовательностей
и
называют последовательность с-м
членом
,
т.е.
.
Если
,
то можно определитьчастное
.
Сумма,
разность, произведение и частное
последовательностей
и
называются ихалгебраическими
композициями
.
Пример.
Рассмотрим последовательности
и
,
где.
Тогда
,
т.е. последовательность
имеет все элементы, равные нулю.
,
,
т.е. все элементы произведения и частного
равны
.
Если
вычеркнуть некоторые элементы
последовательности
так, чтобы осталось бесконечное множество
элементов, то получим другую
последовательность, называемуюподпоследовательностью
последовательности
.
Если вычеркнуть несколько первых
элементов последовательности
,
то новую последовательность называютостатком
.
Последовательность
ограничена
сверху
(снизу
),
если множество
ограничено сверху (снизу). Последовательность
называютограниченной
, если она
ограничена сверху и снизу. Последовательность
ограничена тогда и только тогда, когда
ограничен любой ее остаток.
Сходящиеся последовательности
Говорят,
что последовательность
сходится, если существует числотакое, что для любого
существует такое
,
что для любого
,
выполняется неравенство:
.
Число
называютпределом последовательности
.
При этом записывают
или
.
Пример.
.
Покажем,
что
.
Зададим любое число
.
Неравенство
выполняется для
,
такого, что
,
что определение сходимости выполняется
для числа
.
Значит,
.
Иными
словами
означает, что все члены последовательности
с достаточно большими номерами мало
отличается от числа,
т.е. начиная с некоторого номера
(при)
элементы последовательности находятся
в интервале
,
который называется–окрестностью
точки.
Последовательность
,
предел которой равен нулю (
,
или
при
)
называетсябесконечно малой
.
Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:
Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;
Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.
Теорема
.Для того чтобы последовательность
имела предел, необходимо и достаточно
чтобы
,
где– постоянная;–
бесконечно малая
.
Основные свойства сходящихся последовательностей:
Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.
Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степеничислителя и знаменателя).
Последовательность
называется:
Все такие последовательности называют монотонными .
Теорема
.
Если последовательность
монотонно возрастает и ограничена
сверху, то она сходится и ее предел равен
ее точной верхней грани; если
последовательность убывает и ограничена
снизу, то она сходится к своей точной
нижней грани.
Последовательность
Последовательность - это набор элементов некоторого множества:
- для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
- это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
- для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.
Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.
Последовательность по своей природе - отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.
В математике рассматривается множество различных последовательностей:
- временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
- последовательности элементов метрического пространства
- последовательности элементов функционального пространства
- последовательности состояний систем управления и автоматов.
Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.
Определение
Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).
Образ натурального числа , а именно, элемент , называется -ым членом или элементом последовательности , а порядковый номер члена последовательности - её индексом.
Связанные определения
- Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.
Комментарии
- В математическом анализе важным понятием является предел числовой последовательности .
Обозначения
Последовательности вида
принято компактно записывать при помощи круглых скобок:
илииногда используются фигурные скобки:
Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида
,которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Смотреть что такое "Последовательность" в других словарях:
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова
Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия
Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь
Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии
Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь
Книги
- Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им разобраться!…
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .
Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .
Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности
x 1 , x 2 , … x n , …
с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .
Пример 1 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
задана с помощью формулы общего члена
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .
x 1 , x 2 , … x n , …
называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n
x n + 1 > x n
Пример 3 . Последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, … n , …
является возрастающей последовательностью .
Определение 2. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
x n + 1 < x n
Пример 4 . Последовательность
заданная формулой
является убывающей последовательностью .
Пример 5 . Числовая последовательность
1, - 1, 1, - 1, …
заданная формулой
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .
Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 4. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 5. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .
Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
Определение 6. Числовую последовательность
x 1 , x 2 , … x n , …
называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство
m < x n < M
Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .
Пример 6 . Числовая последовательность
1, 4, 9, … n 2 , …
заданная формулой
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .
Пример 7 . Последовательность
.