Minimum théorique

En théorie équations différentielles Il existe une méthode qui prétend avoir un degré d'universalité assez élevé pour cette théorie.
Nous parlons de la méthode de variation d'une constante arbitraire, applicable à la résolution de diverses classes d'équations différentielles et de leurs
systèmes C'est précisément le cas lorsque la théorie - si l'on met entre parenthèses les preuves des énoncés - est minimale, mais permet d'atteindre
des résultats significatifs, l’accent sera donc mis sur les exemples.

L'idée générale de la méthode est assez simple à formuler. Laisser équation donnée(système d'équations) est difficile à résoudre ou totalement incompréhensible,
comment le résoudre. Cependant, il est clair qu’en éliminant certains termes de l’équation, celle-ci est résolue. Ensuite, ils résolvent exactement cette question simplifiée
équation (système), on obtient une solution contenant un certain nombre de constantes arbitraires - selon l'ordre de l'équation (le nombre
équations dans le système). On suppose alors que les constantes de la solution trouvée ne sont pas réellement des constantes ; la solution trouvée
est substitué à l’équation (système) d’origine, une équation différentielle (ou système d’équations) est obtenue pour déterminer les « constantes ».
Il y a une certaine spécificité à appliquer la méthode de variation d'une constante arbitraire à différents problèmes, mais ce sont déjà des spécificités qui
démontré avec des exemples.

Considérons séparément la solution d'équations linéaires inhomogènes d'ordres supérieurs, c'est-à-dire équations de la forme
.
La solution générale d'une équation linéaire inhomogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et d'une solution particulière
de cette équation. Faisons comme si décision commune une équation homogène a déjà été trouvée, à savoir construite système fondamental solutions (RSF)
. Alors la solution générale de l’équation homogène est égale à .
Nous devons trouver une solution particulière à l’équation inhomogène. A cet effet, les constantes sont considérées comme dépendantes d'une variable.
Ensuite, vous devez résoudre le système d'équations
.
La théorie garantit que ce système équations algébriques concernant les dérivées des fonctions, il existe une solution unique.
Lors de la recherche des fonctions elles-mêmes, les constantes d'intégration n'apparaissent pas : après tout, n'importe quelle solution unique est recherchée.

Dans le cas de la résolution de systèmes d'équations linéaires inhomogènes du premier ordre de la forme

l'algorithme reste presque inchangé. Vous devez d'abord trouver le FSR du système d'équations homogène correspondant, composer la matrice fondamentale
système dont les colonnes représentent les éléments du FSR. Ensuite, l'équation est établie
.
Lors de la résolution du système, nous déterminons les fonctions, trouvant ainsi une solution particulière au système d'origine
(la matrice fondamentale est multipliée par la colonne des fonctions trouvées).
Nous l'ajoutons à la solution générale du système correspondant d'équations homogènes, qui est construit sur la base du FSR déjà trouvé.
La solution générale du système original est obtenue.

Exemples.

Exemple 1. Équations inhomogènes linéaires du premier ordre.

Considérons l'équation homogène correspondante (on note la fonction souhaitée) :
.
Cette équation peut facilement être résolue en utilisant la méthode de séparation des variables :

.
Imaginons maintenant la solution de l’équation originale sous la forme , où la fonction n'a pas encore été trouvée.
Nous substituons ce type de solution dans l'équation originale :
.
Comme vous pouvez le voir, les deuxième et troisième termes du côté gauche s'annulent - c'est caractéristique méthode de variation d’une constante arbitraire.

Ici, c'est déjà une constante véritablement arbitraire. Ainsi,
.

Exemple 2. L'équation de Bernoulli.

Nous procédons de la même manière que le premier exemple - nous résolvons l'équation

méthode de séparation des variables. Il s'avère que nous cherchons donc une solution à l'équation originale sous la forme
.
Nous substituons cette fonction dans l'équation originale :
.
Et encore une fois les réductions surviennent :
.
Ici, vous devez vous rappeler de vous assurer que la solution n'est pas perdue lors de la division. Et la solution à celle d'origine correspond au cas
équations Rappelons-le. Donc,
.
Écrivons-le.
C'est la solution. Lors de la rédaction de la réponse, vous devez également indiquer la solution trouvée précédemment, car elle ne correspond à aucune valeur finale
constantes

Exemple 3. Équations linéaires inhomogènes d'ordres supérieurs.

Notons tout de suite que cette équation peut être résolue plus simplement, mais il convient de démontrer la méthode qui l'utilise. Même si certains avantages
La méthode de variation a également une constante arbitraire dans cet exemple.
Vous devez donc commencer par le FSR de l’équation homogène correspondante. Rappelons que pour trouver le FSR, une courbe caractéristique est établie
l'équation
.
Ainsi, la solution générale de l'équation homogène
.
Les constantes incluses ici doivent être variées. Constituer un système

La méthode de variation d'une constante arbitraire, ou méthode de Lagrange, est une autre façon de résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre et l'équation de Bernoulli.

Les équations différentielles linéaires du premier ordre sont des équations de la forme y’+p(x)y=q(x). S’il y a un zéro à droite : y’+p(x)y=0, alors c’est un linéaire homogèneÉquation du 1er ordre. En conséquence, une équation avec un membre droit non nul, y’+p(x)y=q(x), est hétérogèneÉquation linéaire du 1er ordre.

Méthode de variation d'une constante arbitraire (méthode de Lagrange) est comme suit:

1) On cherche une solution générale à l’équation homogène y’+p(x)y=0 : y=y*.

2) Dans la solution générale, on considère C non pas une constante, mais une fonction de x : C = C (x). Nous trouvons la dérivée de la solution générale (y*)' et substituons l'expression résultante pour y* et (y*)' dans la condition initiale. À partir de l’équation résultante, nous trouvons la fonction C(x).

3) Dans la solution générale de l'équation homogène, au lieu de C, on substitue l'expression trouvée C(x).

Regardons des exemples de la méthode permettant de faire varier une constante arbitraire. Reprenons les mêmes tâches que dans, comparons l'avancée de la solution et veillons à ce que les réponses obtenues coïncident.

1) y'=3x-y/x

Réécrivons l'équation sous forme standard (contrairement à la méthode de Bernoulli, où nous avions besoin de la forme de notation uniquement pour voir que l'équation est linéaire).

y'+y/x=3x (I). Maintenant, nous procédons comme prévu.

1) Résolvez l’équation homogène y’+y/x=0. Il s'agit d'une équation à variables séparables. Imaginez y'=dy/dx, remplacez : dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. On multiplie les deux côtés de l'équation par dx et on divise par xy≠0 : dy/y=-dx/x. Intégrons :

2) Dans la solution générale résultante de l'équation homogène, nous considérerons C non pas une constante, mais une fonction de x : C=C(x). D'ici

Nous substituons les expressions résultantes dans la condition (I) :

Intégrons les deux côtés de l'équation :

ici C est déjà une nouvelle constante.

3) Dans la solution générale de l'équation homogène y=C/x, où nous avons supposé C=C(x), c'est-à-dire y=C(x)/x, au lieu de C(x), nous substituons l'expression trouvée x³ +C : y=(x³ +C)/x ou y=x²+C/x. Nous avons obtenu la même réponse qu'en résolvant par la méthode de Bernoulli.

Réponse : y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Ici, l'équation est déjà écrite sous forme standard ; il n'est pas nécessaire de la transformer.

1) Résoudre l’équation linéaire homogène y’+y=0 : dy/dx=-y ; dy/y=-dx. Intégrons :

Pour obtenir une forme de notation plus pratique, nous prenons l’exposant à la puissance de C comme le nouveau C :

Cette transformation a été effectuée pour faciliter la recherche de la dérivée.

2) Dans la solution générale résultante de l'équation linéaire homogène, nous considérons C non pas une constante, mais une fonction de x : C=C(x). Dans cette condition

Nous substituons les expressions résultantes y et y’ dans la condition :

Multipliez les deux côtés de l'équation par

On intègre les deux côtés de l'équation en utilisant la formule d'intégration par parties, on obtient :

Ici C n'est plus une fonction, mais une constante ordinaire.

3) Dans la solution générale de l'équation homogène

remplacez la fonction trouvée C(x) :

Nous avons obtenu la même réponse qu'en résolvant par la méthode de Bernoulli.

La méthode de variation d'une constante arbitraire est également applicable à la résolution.

y'x+y=-xy².

Nous mettons l’équation sous forme standard : y’+y/x=-y² (II).

1) Résolvez l’équation homogène y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. On multiplie les deux côtés de l'équation par dx et on divise par y : dy/y=-dx/x. Intégrons maintenant :

Nous substituons les expressions résultantes dans la condition (II) :

Simplifions :

Nous avons obtenu une équation à variables séparables pour C et x :

Ici C est déjà une constante ordinaire. Lors du processus d'intégration, nous avons écrit simplement C au lieu de C(x), afin de ne pas surcharger la notation. Et à la fin nous sommes revenus à C(x), pour ne pas confondre C(x) avec le nouveau C.

3) Dans la solution générale de l'équation homogène y=C(x)/x on substitue la fonction trouvée C(x) :

Nous avons obtenu la même réponse que lors de sa résolution en utilisant la méthode de Bernoulli.

Exemples d'autotest :

1. Réécrivons l'équation sous forme standard : y'-2y=x.

1) Résolvez l’équation homogène y’-2y=0. y'=dy/dx, donc dy/dx=2y, multipliez les deux côtés de l'équation par dx, divisez par y et intégrez :

De là, nous trouvons y :

Nous substituons les expressions pour y et y’ dans la condition (par souci de concision, nous utiliserons C au lieu de C(x) et C’ au lieu de C"(x)) :

Pour trouver l'intégrale du côté droit, on utilise la formule d'intégration par parties :

Maintenant, nous substituons u, du et v dans la formule :

Ici C = const.

3) Maintenant, nous substituons homogène dans la solution

Considérons maintenant l'équation inhomogène linéaire
. (2)
Soit y 1 ,y 2 ,.., y n un système fondamental de solutions, et soit la solution générale de l'équation homogène correspondante L(y)=0. Semblable au cas des équations du premier ordre, nous chercherons une solution à l’équation (2) sous la forme
. (3)
Assurons-nous qu’une solution sous cette forme existe. Pour ce faire, nous substituons la fonction dans l'équation. Pour substituer cette fonction dans l'équation, on trouve ses dérivées. La dérivée première est égale à
. (4)
Lors du calcul de la dérivée seconde, quatre termes apparaîtront à droite de (4), lors du calcul de la dérivée troisième, huit termes apparaîtront, et ainsi de suite. Par conséquent, pour faciliter les calculs ultérieurs, le premier terme de (4) est supposé égal à zéro. En tenant compte de cela, la dérivée seconde est égale à
. (5)
Pour les mêmes raisons que précédemment, dans (5) nous fixons également le premier terme égal à zéro. Enfin, nième dérivéeégal à
. (6)
En substituant les valeurs obtenues des dérivées dans l'équation d'origine, nous avons
. (7)
Le deuxième terme de (7) est égal à zéro, puisque les fonctions y j , j=1,2,..,n, sont des solutions de l'équation homogène correspondante L(y)=0. En combinant avec le précédent, on obtient un système d'équations algébriques pour trouver les fonctions C" j (x)
(8)
Le déterminant de ce système est le déterminant de Wronski du système fondamental de solutions y 1 ,y 2 ,..,y n de l'équation homogène correspondante L(y)=0 et n'est donc pas égal à zéro. Par conséquent, il existe une solution unique au système (8). L'ayant trouvé, on obtient les fonctions C" j (x), j=1,2,…,n, et, par conséquent, C j (x), j=1,2,…,n En substituant ces valeurs dans (3), nous obtenons une solution d’une équation linéaire inhomogène.
La méthode présentée est appelée méthode de variation d'une constante arbitraire ou méthode de Lagrange.

Exemple n°1. Trouvons la solution générale de l'équation y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Considérons l'équation homogène correspondante y"" + 4y" + 3y = 0. Les racines de son équation caractéristique r 2 + 4r + 3 = 0 sont égaux à -1 et - 3. Par conséquent, le système fondamental de solutions d'une équation homogène est constitué des fonctions y 1 = e - x et y 2 = e -3 x. Nous cherchons une solution à l'équation inhomogène sous la forme y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Pour trouver les dérivées C" 1 , C" 2 on compose un système d'équations (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
en résolvant ce que nous trouvons, en intégrant les fonctions obtenues, nous avons
Finalement on obtient

Exemple n°2. Résolvez des équations différentielles linéaires du second ordre avec des coefficients constants en utilisant la méthode de variation de constantes arbitraires :

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Solution:
Cette équation différentielle fait référence aux équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Nous chercherons une solution à l'équation sous la forme y = e rx. Pour ce faire, on compose l'équation caractéristique d'une équation différentielle homogène linéaire à coefficients constants :
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Racines de l'équation caractéristique : r 1 = 4, r 2 = 2
Par conséquent, le système fondamental de solutions est constitué des fonctions : y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
La solution générale de l'équation homogène a la forme : y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Rechercher une solution particulière en faisant varier une constante arbitraire.
Pour trouver les dérivées de C" i nous composons un système d'équations :
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Exprimons C" 1 à partir de la première équation :
C" 1 = -c 2 e -2x
et remplacez-le par le second. En conséquence nous obtenons :
C"1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C"2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
On intègre les fonctions obtenues C"i :
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Puisque y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, on écrit les expressions résultantes sous la forme :
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Ainsi, la solution générale de l’équation différentielle a la forme :
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ou
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Trouvons une solution particulière sous la condition :
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

En substituant x = 0 dans l'équation trouvée, nous obtenons :
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
On trouve la dérivée première de la solution générale obtenue :
y' = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
En remplaçant x = 0, on obtient :
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

On obtient un système de deux équations :
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10 ln3
ou
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ou
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
De : C 1 = 0, C * 2 = 2
La solution privée s’écrira comme suit :
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Une méthode de résolution d'équations différentielles inhomogènes linéaires d'ordres supérieurs avec des coefficients constants par la méthode de variation des constantes de Lagrange est considérée. La méthode de Lagrange est également applicable à la résolution de toute équation linéaire inhomogène si le système fondamental de solutions de l'équation homogène est connu.

Contenu

Voir également:

Méthode de Lagrange (variation de constantes)

Considérons une équation différentielle inhomogène linéaire avec des coefficients constants d'ordre n arbitraire :
(1) .
La méthode de variation d'une constante, que nous avons considérée pour une équation du premier ordre, est également applicable pour les équations d'ordre supérieur.

La solution s'effectue en deux étapes. Dans la première étape, nous écartons le membre de droite et résolvons l’équation homogène. En conséquence, nous obtenons une solution contenant n constantes arbitraires. Lors de la deuxième étape, nous faisons varier les constantes. Autrement dit, nous pensons que ces constantes sont des fonctions de la variable indépendante x et trouvons la forme de ces fonctions.

Bien que nous considérions ici des équations à coefficients constants, mais La méthode de Lagrange est également applicable à la résolution de toutes équations linéaires inhomogènes. Cependant, pour ce faire, il faut connaître le système fondamental de solutions de l’équation homogène.

Étape 1. Résolution de l'équation homogène

Comme dans le cas des équations du premier ordre, nous cherchons d’abord la solution générale de l’équation homogène, assimilant le membre inhomogène de droite à zéro :
(2) .
La solution générale de cette équation est :
(3) .
Voici des constantes arbitraires ; - n solutions linéairement indépendantes de l'équation homogène (2), qui forment un système fondamental de solutions à cette équation.

Étape 2. Variation des constantes - remplacement des constantes par des fonctions

Dans un deuxième temps nous traiterons de la variation des constantes. Autrement dit, nous remplacerons les constantes par des fonctions de la variable indépendante x :
.
Autrement dit, nous recherchons une solution à l’équation originale (1) sous la forme suivante :
(4) .

Si nous substituons (4) dans (1), nous obtenons une équation différentielle pour n fonctions. Dans ce cas, nous pouvons relier ces fonctions avec des équations supplémentaires. Vous obtenez alors n équations à partir desquelles n fonctions peuvent être déterminées. Des équations supplémentaires peuvent être écrites différentes façons. Mais nous ferons cela pour que la solution ait la forme la plus simple. Pour ce faire, lors de la différenciation, vous devez assimiler à zéro les termes contenant les dérivées des fonctions. Montrons-le.

Pour substituer la solution proposée (4) dans l'équation originale (1), nous devons trouver les dérivées des n premiers ordres de la fonction écrite sous la forme (4). On différencie (4) en utilisant les règles de différenciation de somme et de produit :
.
Regroupons les membres. Tout d’abord, nous écrivons les termes avec dérivées de , puis les termes avec dérivées de :

.
Imposant la première condition aux fonctions :
(5.1) .
Alors l’expression de la dérivée première par rapport à aura une forme plus simple :
(6.1) .

En utilisant la même méthode, on trouve la dérivée seconde :

.
Imposant une deuxième condition aux fonctions :
(5.2) .
Alors
(6.2) .
Et ainsi de suite. Dans des conditions supplémentaires, nous assimilons à zéro les termes contenant des dérivées de fonctions.

Ainsi, si l’on choisit les équations supplémentaires suivantes pour les fonctions :
(5.k) ,
alors les dérivées premières par rapport à auront la forme la plus simple :
(6.k) .
Ici .

Trouvez la nième dérivée :
(6.n)
.

Remplacer dans l'équation d'origine (1) :
(1) ;






.
Prenons en compte que toutes les fonctions satisfont à l'équation (2) :
.
Alors la somme des termes contenant zéro donne zéro. En conséquence nous obtenons :
(7) .

En conséquence, nous avons reçu un système d'équations linéaires pour les dérivées :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

En résolvant ce système, nous trouvons des expressions pour les dérivées en fonction de x. En intégrant, on obtient :
.
Voici des constantes qui ne dépendent plus de x. En substituant dans (4), nous obtenons une solution générale à l’équation d’origine.

A noter que pour déterminer les valeurs des dérivées, nous n'avons jamais utilisé le fait que les coefficients a i sont constants. C'est pourquoi La méthode de Lagrange est applicable pour résoudre toutes les équations linéaires inhomogènes, si le système fondamental de solutions de l'équation homogène (2) est connu.

Exemples

Résoudre des équations en utilisant la méthode de variation de constantes (Lagrange).


Solution d'exemples > > >

Voir également: Résolution d'équations du premier ordre par la méthode de variation d'une constante (Lagrange)
Résolution d'équations d'ordre supérieur à l'aide de la méthode de Bernoulli
Résolution d'équations différentielles inhomogènes linéaires d'ordres supérieurs à coefficients constants par substitution linéaire